Aula 12 Derivando fun»c~ oes trigonom¶ etricas Nesta aula estaremos deduzindo derivadas de fun»c~oes trigonom¶etricas. Estaremos tamb¶em apresentando as fun»c~oes trigonom¶etricas inversas e deduzindo suas derivadas. Admitiremos que as seis fun»c~oes trigonom¶etricas s~ao cont¶³nuas nos pontos onde est~ao de¯nidas. Recordemo-nos de que, pela proposi»c~ao 11.1, aula 11, temos o primeiro limite fundamental, sen h lim =1 h!0 h Como conseqÄu^encia, deduziremos agora as derivadas das fun»c~oes seno e cosseno. Teorema 12.1 (sen x)0 = cos x (cos x)0 = ¡ sen x Demonstra»c~ao. Seja f(x) = sen x. Consideremos ent~ao, fazendo ¢x = h, ¢f f (x + h) ¡ f (x) sen(x + h) ¡ sen x = = ¢x h h sen x cos h + sen h cos x ¡ sen x = h cos h ¡ 1 sen h = sen x ¢ + cos x ¢ h h f (x + h) ¡ f (x) h!0 h cos h ¡ 1 sen h = sen x ¢ lim + cos x ¢ lim h!0 h!0 h h f 0 (x) = lim 101 ~ es trigonom¶ Derivando func »o etricas 102 sen h = 1, e h!0 h Agora, temos lim cos h ¡ 1 (cos h ¡ 1)(cos h + 1) (cos2 h ¡ 1) = lim = lim h!0 h!0 h!0 h(cos h + 1) h h(cos h + 1) 2 0 ¡ sen h sen h ¡ sen h = lim = lim ¢ lim =1¢ =0 h!0 h(cos h + 1) h!0 h!0 cos h + 1 h 2 lim Portanto, f 0 (x) = (sen x) ¢ 0 + (cos x) ¢ 1 = cos x. Assim (sen x)0 = cos x, para todo x 2 R. ¢ ¡ Agora, cos x = sen ¼2 ¡ x . Por deriva»c~ao em cadeia, h ³¼ ´i0 (cos x)0 = sen ¡x ³ ¼2 ´ ³ ¼ ´0 = cos ¡x ¢ ¡ x = (sen x) ¢ (¡1) = ¡ sen x 2 2 Proposi»c~ ao 12.1 (tg x)0 (cotg x)0 (sec x)0 (cosec x)0 = sec2 x = ¡ cosec2 x = sec x tg x = ¡ cosec x cotg x Demonstra»c~ao. Para deduzir estas novas f¶ormulas, basta fazer uso das rela»c~oes 1 1 ; cosec x = cos x sen x ³ u ´0 u0 v ¡ uv 0 e aplicar a regra de deriva»c~ao de um quociente, = . Deixamos o prazer v v2 da descoberta para o leitor. tg x = 12.1 sen x ; cos x cotg x = cos x sen x sec x = Fun»c~ oes trigonom¶ etricas inversas e suas derivadas A fun»c~ ao arco-seno. Para cada n¶umero real a, ¡1 · a · 1, existe um ¶unico arco orientado ®, ¡¼=2 · ® · ¼=2, tal que sen ® = a. Dizemos que ® ¶e o arco cujo seno ¶e a, ou que ® ¶e o arco-seno de a, e denotamos isto por ® = arc sen a Sumarizando, 103 ~ es trigonom¶ Derivando func »o etricas ( ® = arc sen a se e somente se sen ® = a ¡¼=2 · ® · ¼=2 y α = arc sen a π /2 a α x A O - π /2 Assim, por exemplo (con¯ra), p ¼ 3 ¼ arc sen 1 = ; arc sen = ; 2 2 3 µ 1 arc sen ¡ 2 ¶ ¼ =¡ ; 6 arc sen(¡1) = ¡ ¼ 2 A fun»c~ ao arco-cosseno. Para cada n¶umero real a, ¡1 · a · 1, existe um u¶nico arco orientado ¯, 0 · ¯ · ¼, tal que cos ¯ = a. y β = arc cos a β π x a O Dizemos que ¯ ¶e o arco cujo cosseno ¶e a, ou que ¯ ¶e o arco-cosseno de a, e denotamos isto por ¯ = arccos a Sumarizando, ( ¯ = arccos a se e somente se cos ¯ = a 0·¯·¼ 104 ~ es trigonom¶ Derivando func »o etricas p Assim, por exemplo, arccos 1 = 0, arccos( 2=2) = ¼=4, arccos(¡1=2) = 2¼=3, arccos(¡1) = ¼. A fun»c~ ao arco-tangente. Para cada n¶umero real a, ¡1 < a < +1, existe um u¶nico arco orientado °, ¡¼=2 < ° < ¼=2, tal que tg ° = a. Dizemos que ° ¶e o arco cuja tangente ¶e a, ou que ° ¶e o arco-tangente de a, e denotamos isto por ° = arc tg a γ = arc tg a y y' π /2 a γ x O - π /2 Sumarizando, ( ° = arc tg a se e somente se a = tg ° ¡¼=2 < ° < ¼=2 Assim, de¯nem-se as fun»c~oes arc sen x e arccos x, para ¡1 · x · 1, e arc tg x para todo x 2 R. Algumas calculadoras cient¶³¯cas chamam essas fun»c~oes pelas teclas INV SIN , INV COS , INV TAN , e µas vezes pelas teclas SIN¡1 , COS¡1 , TAN¡1 . Proposi»c~ ao 12.2 1 (arc sen x)0 = p ; ¡1 < x < 1 1 ¡ x2 1 (arccos x)0 = ¡ p ; ¡1 < x < 1 1 ¡ x2 1 (arc tg x)0 = ; ¡1 < x < +1 1 + x2 Demonstra»c~ao. Sendo ¡1 < x < 1, y = arc sen x se e somente se sen y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2 105 ~ es trigonom¶ Derivando func »o etricas Por deriva»c~ao impl¶³cita da equa»c~ao sen y = x, temos (sen y)0 = 1 ) (cos y) ¢ y 0 = 1 1 1 1 ) y0 = =p =p cos y 1 ¡ x2 1 ¡ sen2 y 1 Portanto (arc sen x)0 = p . 1 ¡ x2 Para ¡1 < x < 1, y = arccos x se e somente se cos y = x, e 0 < y < ¼. Por deriva»c~ao impl¶³cita temos (cos y)0 = 1 ) ¡(sen y) ¢ y 0 = 1 1 1 1 ) y0 = ¡ = ¡p =p sen y 1 ¡ x2 1 ¡ cos2 y 1 Portanto (arccos x)0 = ¡ p . 1 ¡ x2 Finalmente, para x 2 R, y = arc tg x se e somente se tg y = x; e ¡ ¼=2 < y < ¼=2 Por deriva»c~ao impl¶³cita temos (tg y)0 = 1 ) (sec2 y) ¢ y 0 = 1 1 1 1 = =¡ ) y0 = 2 2 sec y 1 + tg y 1 + x2 Portanto (arc tg x)0 = 12.2 1 . 1 + x2 Problemas 1. Sendo f (x) = sen x, mostre que f 0 (x) = cos x, fazendo uso da f¶ormula sen p ¡ sen q = 2 sen p¡q p+q cos 2 2 para calcular o limite de ¢f f (x + ¢x) ¡ f (x) sen(x + ¢x) ¡ sen x = = ¢x ¢x ¢x quando ¢x ! 0. 106 ~ es trigonom¶ Derivando func »o etricas y O ϕ A x d Figura 12.1. 2. A dist^ancia d = OA (veja ¯gura 12.1) que um proj¶etil alcan»ca, quando disparado de um canh~ao com velocidade inicial v0 , por um cano inclinado com um ^angulo de eleva»c~ao ' em rela»c~ao ao ch~ao (horizontal), ¶e dada pela f¶ormula d= v0 sen 2' g sendo g a acelera»c~ao da gravidade local. Qual ¶e o ^angulo ' que proporciona alcance m¶aximo? Resposta. 45± . 3. Calcule as derivadas das p (a) y = sec x ¡ 1 (c) y = cotg(x3 ¡ 2x) cos 4x (e) y = 1 ¡ sen 4x (g) y = tg2 x sec3 x (i) y = x2 sec2 5x p (k) y = e¡3x tg x (m) y = xsen x seguintes fun»co~es. (b) y = cosec(x2 + 4) (d) f (x) = cos 3x2 (f) g(x) = cos2 3x (h) f (x) = tg3 (3x + 1) (j) f (x) = ln j cosec x + cotg xj (l) g(x) = ln(ln sec 2x) (n) f (x) = ln j sec x + tg xj p p x¡1 p tg x¡1 2 x¡1 ¡(3x2 ¡ 2) cosec2 (x3 ¡ 2x) Respostas. (a) sec (cos2 a signi¯ca (cos a)2 ) (b) ¡2x cosec(x2 + 4) cotg(x2 + 4) 4 (d) ¡6x sen 3x2 (e) 1¡sen (f) ¡3 sen 6x (c) 4x 3 3 5 2 2 (g) 3 tg x sec x + 2 tg x sec x (h) 9 tg (3x + 1) sec (3x + 1)p ¡3x 2 x ¡3x tg px p ¡ 3e (l) (i) 2x sec2 5x+ 10x2 sec2 5x tg 5x (j) ¡ cosec x (k) e 2sec x ¡ ¢ 2 tg 2x (m) xsen x cos x ¢ ln x + senx x (n) sec x ln sec 2x 4. Calcule as derivadas das seguintes fun»co~es. p (a) y = arc sen x (b) f (x) = (1 + arccos 3x)3 3 (d) y = 3arc sen x (e) g(x) = (tg x)arc tg x (c) f (x) = ln arc tg x2 p p p Respostas. (a) 1=(2 x 1 ¡ x) (b) ¡9(1 +parccos 3x)2 = 1 ¡ 9x2 3 (c) (1+x4 )2x (d) (3 ln 3)x2 ¢ 3arc sen x = 1 ¡ x6 arc tg x2 (e) (tg x)arc tg x [cotg x sec2 x arc tg x + (ln tg x)=(1 + x2 )] 5. Determine y 0 por deriva»c~ao impl¶³cita. (a) y = x sen y (b) ex cos y = x ey (c) x2 + x arc sen y = yex 107 ~ es trigonom¶ Derivando func »o etricas x y sen y cos y¡e Respostas. (a) y 0 = 1¡x (b) y 0 = eex sen cos y y+xey p x 2 1 ¡ y (ye ¡ arc sen y ¡ 2x) p (c) y 0 = x ¡ ex 1 ¡ y 2 6. Esboce os gr¶a¯cos das fun»c~oes, analisando-as previamente atrav¶es de derivadas e limites apropriados. (a) y = x + sen x (b) y = arc tg x (c) y = x + arc tg x Respostas. (Daremos as derivadas como suporte µas solu»co~es.) (a) y 0 = 1 + cos x, y 00 = ¡ sen x. Ao pesquisar retas ass¶³ntotas do gr¶a¯co, voc^e vai se deparar com os limites lim senx x . Use o seguinte racioc¶³nio. Como ¡1 · sen x · 1 x!§1 sen x 1 ³, usando um teorema de para todo x 2 R, temos ¡1 x · x · x , para todo x > 0. Da¶ sen x confronto (sandu¶³che), temos lim x = 0. Calcule tamb¶em lim senx x . (b) y 0 = 1 , 1+x2 y 00 = ¡2x (1+x2 )2 x!+1 (c) y 0 = 1 + (a) 1 , 1+x2 y 00 = ¡2x (1+x2 )2 x!¡1 (b) 3π y y π /2 π /4 2π x 0 π x π 2π π /2 π 3π (c) y π π /2 - π /2 x - π /2 1 - π /2