Módulo de Cı́rculo Trigonométrico
Secante, Cossecante e Cotangente.
1a série E.M.
3
Cı́rculo Trigonométrico
Secante, Cossecante e Cotangente.
1
Exercı́cios de Aprofundamento e
de Exames
Exercı́cio 10. Sabendo que sen x =
cossec x − sec x
de
cotg x − 1
Exercı́cios Introdutórios
3π
Exercı́cio 1. Seja α ∈
; 2π tal que sen α = −1, de2
termine, se existir, o resultado de todas as razões trigonométricas de α.
h
πi
tal que cos β = −0, 6,
Exercı́cio 2. Seja β ∈ −π, −
2
determine, se existir:
1
3
e
π
2
< x < π, o valor
Exercı́cio 11. Quais os valores de t pra que tenhamos
(cos α)t2 − 2t + cos α = 0?
3π
e
Exercı́cio 12. Se o número real x é tal que π < x <
2
√
sec x = − 5, então cotg x é igual a
a) sen β;
b) cos β;
Exercı́cio 13. A partir das fórmulas do cosseno da soma e
do cosseno da diferença, prove que:
c) tg β;
a) cos(a + b) − cos(a − b) = 2 sen a sen b.
d) cotg β;
b) cos 1◦ − cos 45◦ = 2 · sen 23◦ · sen 22◦ .
e) sec β;
c) 1 − cotg 23◦ =
f) cossec β.
2
.
1 − cotg 22◦
Exercı́cio 14. .
1
Exercı́cio 3. Definindo a sec x =
, demonstre, a partir
cos x
da relação fundamental da trigonometria, que
a) Prove que sen(2x) =
tg2 x + 1 = sec2 x.
b) Prove que cos x =
Exercı́cio 4. Qual o resultado obtido após a simplificação
de
2 tg x
.
1 + tg2 x
1 − tg2 x
.
1 + tg2 x
α
c) Se tg
é um número racional (α 6= kπ, k ∈ Z),
2
prove que cos α e sen α são números racionais.
E = (sec x − cos x) · (cossec x − sen x) · (tg x + cotg x)?
d) Prove que tg x = cossec(2x) − cotg(2x).
2
Exercı́cios de Fixação
e) Reciprocamente,
α se cos α e sen α são números racionais,
é número racional.
prove que tg
2
h πi
2
Exercı́cio 5. Se sen α = e α ∈ 0, . Quais os valores
3
2
de cossec α, cotg α e cossec α?
Exercı́cio 15. Resolva a equação trigonométrica
(sen)3 x(1 + cotg x) + (cos)3 x(1 + tg x) = cos(2x),
Exercı́cio 6. Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro
quadrante, qual o valor da expressão 9 · sec2 x + tg2 x ?
sendo 0 6 x 6 π.
1
Exercı́cio 7. Se cos α = , calcule o valor de
4
x=
3π
1
Exercı́cio 16. Sendo α ∈ π,
e tg α · sec α = , calcule
2
5
o valor do sen α.
sec2 α − sec α · cossec α
.
1 − cotg α
Exercı́cio 8. Seja x um número real positivo tal que
sec x − tg x = 1.
Calcule sec x + tg x.
Exercı́cio 9. Calcule uma expressão equivalente a
cotg(2x) + cossec(2x).
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1
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Respostas e Soluções.
4.
1. (Extraı́do
da
Vı́deo Aula)
3π
3π
Se α ∈
; 2π e sen α = −1, então α =
e
2
2
E
=
=
i) sen α = −1.
=
ii) cos α = 0.
=
iii) tg α = @.
=
iv) cotg α = 0.
=
v) sec α = @.
(sec x − cos x) · (cossec x − sen x) · (tg x + cotg x)
1
sen x cos x 1
− cos x ·
− sen x ·
+
cos x
sen x
cos x sen x
1 − cos2 x
1 − sen2 x
sen2 x + cos2 x
·
·
cos x
sen x
sen x · cos x
2 2
sen x
cos x
1
·
·
cos x
sen x
sen x · cos x
1
(sen x · cos x) ·
sen x · cos x
1
5. Como α está no 1◦ quadrante, todas as suas razões
trigonométricas são positivas. Pela relação fundamental
teremos
vi) cossec α = −1.
2. (Extraı́do
Aula)
i
h πda Vı́deo
Como β ∈ − , −π , teremos o seno, o cosseno, a secante,
2
e a cossecante com sinais negativos e as tangente e cotangente positivas. Seguindo com a relação fundamental da
trigonometria, teremos
sen2 β + cos2 β
=
1
sen2 β + (−0, 6)2
=
1
sen β
cos x
=
1
√
5
.
3
√
= −0, 8.
ii) cotg α =
5
;e
2
iii) cossec α =
3
.
2
a) sen β = −0, 8;
6. (Adaptado do vestibular da UFSC)
Como x ∈ [0, π], então todas as suas razões trigonométricas
são positivas. Tendo cossec x = 5/4, chegamos a
sen x = 4/5 e, pela relação fundamental da trigonometria,
cos x = 3/5. Por fim, sec x = 5/3, tg x = 4/3 e
b) cos β = −0, 6;
4
;
3
d) cotg β =
=
Agora, resolvendo o que foi pedido, teremos
√
3
3 5
;
i) sec α = √ =
5
5
Portanto:
c) tg β =
sen2 x + cos2 x
3
;
4
" 2 #
2
5
4
9 · sec x + tg x = 9 ·
+
= 41.
3
3
2
5
e) sec β = − ;
3
2
7. Simplificando a equação em função do seno e do cosseno de α chega-se a
5
f) cossec β = − .
4
sec2 α − sec α · cossec α
1 − cotg α
sec α(sec α − cossec α)
=
1 − cotg α
1
sen α − cos α
sen α
=
·
·
cos α
cos α · sen α
sen α − cos α
1
=
cos2 α
= 16.
x =
3. Podemos dividir a relação por cos2 x 6= 0 obtendo
sen2 x + cos2 x = 1
sen2 x cos2 x
1
+
=
2
2
cos x cos x
cos2 x
2
tg x + 1 = sec2 x
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2
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8.
Desenvolvendo a equação inicial, destacando que
cos x 6= 0, chegamos a
sec x − tan x
sen x
1
−
cos x cos x
1 − sen x
cos x
1 − sen x
=
1
=
1
=
1
=
cos x
12. (Adaptado
do vestibular da UNIFOR CE)
3π
Se x ∈ π,
, então o sen x < 0 e a cotg x > 0. Com
2
√
1
sec x = − 5 chegamos a cos x = − √ e, pela relação
5
2
fundamental da trigonometria, sen x = − √ . Por fim,
5
obteremos
1
cos x
= .
cotg x =
sen x
2
13.
Substituindo na relação fundamental, teremos sen x = 0
(com cos x = 1) ou sen x = 1. Apenas o primeiro serve,
pois para o segundo terı́amos cos x = 0, absurdo. Por
fim, sec x = 1 e tg x = 0. Portanto,
a) As fórmulas do cosseno de soma e da subtração são
sec x + tg x = 1.
9. (Adaptado do vestibular da UDESC - 2012)
=
cos a cos b − sen a sen b
(1)
cos(a − b)
=
cos a cos b + sen a sen b
(2)
fazendo (2) − (1), teremos
1
cos(2x)
+
cotg(2x) + cossec(2x) =
sen(2x) sen(2x)
cos(2x) + 1
=
sen(2x)
cos2 x − sen2 x + 1
=
2 sen x cos x
cos2 x + cos2 x
=
2 sen x cos x
cos x
=
sen x
= cotg x
cos(a − b) − cos(a + b)
=
2 sen a sen b
b) Usando a fórmula do item a,
cos(a − b) − cos(a + b) = 2 sen a sen b,
fazendo a − b = 1◦ e a + b = 45◦ teremos a = 23◦ e
b = 22◦ , o que demonstra o pedido.
c) Provar o solicitado é equivalente a provar que
2
10. (Adaptado
i vestibular da UFV MG)
h π do
, π teremos que o cosseno, a tangente, a
Como x ∈
2
cotangente e a secante com sinais negativos e o seno e a
cossecante positivos. Seguindo com a √
relação fundamental
2 2
da trigonometria, teremos cos x = −
e, desenvolvendo
3
o que foi pedido, chegamos a
cossec x − sec x
cotg x − 1
cos(a + b)
(1 − cotg 23◦ )(1 − cotg 22◦ )
cos 23◦
cos 22◦
=
1−
1
−
sen 23◦
sen 22◦
(sen 23◦ − cos 23◦ )(sen 22◦ − cos 22◦ )
=
sen 23◦ · sen 22◦
A−B
=
sen 23◦ · sen 22◦
=
com
A =
1
1
−
x cos x
= sencos
x
−1
sen x
1
=
.
cos√
x
3 2
= −
.
4
cos 23◦ cos 22◦ + sen 22◦ sen 23◦
=
cos(23◦ − 22◦ )
=
cos 1◦
=
sen 22◦ cos 23◦ − sen 23◦ cos 22◦
=
sen(22◦ + 23◦ )
=
cos 45◦
e
B
11. (Adaptado do vestibular da FURG RS)
Para cos α = 0, teremos t = 0. Caso contrário, resolvendo
a equação do 2o grau em t, chegaremos a
pelo item b, teremos
sen 23◦ · sen 22◦
∆ = 4 − 4cos2 = 4(1 − cos2 ) = 4sen2 α
=
cos 1◦ − cos 45◦
.
2
Por fim, obtemos
e
t
A−B
sen 23◦ · sen 22◦
2 ± 2 sen α
=
2 cos α
2
2 sen α
=
±
2 cos α 2 cos α
= sec α ± tg α.
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=
=
cos 1◦ − cos 45◦
cos 1◦ − cos 45◦
2
2.
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16.
A equação tg α · sec α · sen α = 3 é equivalente a
3cos2 α = sen2 α. Agora, substituindo na relação fundamental da trigonometria, chega-se a
14.
a) Basta desenvolver os dois membros da equação.
3cos2 α + cos2 α
b) Basta desenvolver os dois membros da equação.
2
4cos α
c) (Extraı́do da Olimpı́ada
α pCearense de Matemática)
Supondo que tg
= , p inteiro e q inteiro não nulo
2
q
e usando as identidades dos itens a e b teremos
cosα
=
1
=
1
1
= ± .
2
3π
Como α ∈ π,
, então cos α < 0, o mesmo para o seno
2
1
e, por fim, sen α = − .
2
p2
2p
1− 2
2pq
q 2 − p2
q
q
sen α =
2 = p2 + q 2 e cos α =
2 = q 2 + p2 ,
p
p
1+ 2
1+ 2
q
q
o que conclui que cos α e sen α são também racionais.
d) Basta desenvolver os dois membros da equação.
e) (Extraı́do da Olimpı́ada Cearense de Matemática)
Utilizando a identidade do item d teremos que
tg
α
2
=
cossec α − cotg α
=
1
cos α
−
sen α sen α
Como α 6= kπ, k ∈ Z, a divisão por sen α existe.
Além
α
disso, como cos α e sen α são racionais, tg
é racio2
nal.
.
15. (Adaptado da Olimpı́ada Pan Africana)
Desenvolvendo o membro da esquerda chegamos a
(sen x)3 (1 + cotg x) + (cos x)3 (1 + tg x)
2
(sen x) (sen x + cos x) + (cos x)2 (cos x + sen x)
=
=
(sen x)2 + (cos x)2 (sen x + cos x)
Agora, o membro da esquerda produz o desenvolvimento
cos 2x
=
(cos x)2 − (sen x)2
=
(cos x + sen x)(cos x − sen x)
O que resulta em
(cos x + sen x)(cos x − sen x − 1) = 0.
3π
rad,
Então (cos x = − sen x), o que resulta em x =
4
ou cos x − sen x √= 1. A última equação é equivalente à
sen(45◦ − x) = 2/2. Daı́, como 0 6 x 6 π, segue que
3π
x = 0. Portanto, S =
,0 .
4
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Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda
Produzido por Arquimedes Curso de Ensino
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4
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