UNIVERSIDADE NOVA DE LISBOA
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Departamento de Informática
Métodos Quantitativos
Ano 2001/02
3 horas / com consulta
1ª Questão [3 valores]
Um avião de carga tem 3 compartimentos de carga: frente, centro e atrás. Cada um destes compartimentos tem
limitações de carga quanto ao peso e volume. O limites de peso, expressos em toneladas, são 12, 18 e 10,
respectivamente. Os limites de volume, expressos em metros cúbicos são 700, 900, e 500, respectivamente.
Além disso, por questões de equilíbrio da carga, é necessário que a distribuição de peso da carga pelos 3
compartimentos seja proporcional à sua capacidade de carga, relativamente ao peso.
Há a necessidade de transportar 4 tipos de carga diferentes com as características seguintes:
Carga
1
2
3
4
Peso (103 Kg)
20
16
25
13
Volume (m3)
50
70
60
40
Lucro (€/103 Kg)
320
400
360
290
Considere que é possível transportar qualquer proporção destas cargas. Formule este problema como um
problema de programação linear.
2ª Questão [3 valores]
Está a ser planeada a construção de dois quarteis de bombeiros, numa povoação, para substituir antigo e único
quartel que terá que ser demolido. Uma das decisões a tomar é onde deverão ser construídos os dois quarteis
para melhor servir a povoação. Para tal, a povoação foi dividida em 5 regiões e, naturalmente, que os dois
quarteis não poderão ficar numa mesma região. Cada quartel deve responder a todos os alarmes da região onde
está implantado e às outras regiões que lhe estejam afectas. Assim as decisões que é necessário tomar são: (i)
Em que regiões se iram instalar os dois quarteis; (ii) Afectar cada região a um dos quarteis. O objectivo é
minimizar o tempo médio de resposta aos alarmes de incêndio.
No quadro seguinte estão indicados os tempos de resposta a alarmes de incêndio, para cada região, considerando
que o quartel dos bombeiros que atende a chamada estaria numa região. A última linha da tabela indica o
número médio de incêndios previstos para cada região, por dia.
Região do quartel
que responde ao
incêndio
1
2
3
4
5
Frequência
Tempos de resposta (minutos)
Região do incêndio
1
2
3
4
5
5
12
30
20
15
20
4
15
10
25
15
20
6
15
12
25
15
15
4
10
10
25
15
12
5
2
1
3
1
3
Formule o problema como um problema de programação binária pura. Identifique as restrições que
correspondem a decisões mutuamente exclusivas ou decisões contingentes
3ª Questão [4 valores]
Considere que todas as variáveis usadas nas alíneas desta questao são variaveis binárias.
a) Fixe o máximo de variáveis que for possível, da restrição seguinte: 4x1 –x2 + 3x3 + 2x4 ≥ 7
b) Diga, justificando a sua resposta, se cada uma das restrições seguinte é ou não redundante:
3x1 – 4 x2 + 5x3 ≤ 5
3x1 – x2 - 2x3 ≤ -4
c) Aplique o procedimento para restringir restrições à restrição seguinte: x1 – x2 + 3x3 + 4x4 ≥ 1
d) Gere tantos planos de corte quantos for possível, para a restrição seguinte: 3x1 + 5x2 + 4x3 + 8x4 ≤ 10
Exame de Recurso (24.07.2002)
MQ - 2001/02
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4ª Questão [6 valores]
Numa fábrica as máquinas envolvidas na produção avariam e como tal existe um departamento de manutenção
que trata dessas avarias. É necessário determinar quantas máquinas devem ser alocadas a cada técnico do
departamento de manutenção. Cada um dos técnicos tratará apenas das máquinas a ele afectas e não tem ajuda
dos outros técnicos. O tempo entre a conclusão de uma reparação e novo pedido de reparação da mesma
máquina segue uma distribuição exponencial com uma média de 150 minutos. O tempo de reparação tem uma
distribuição exponencial com uma média de 15 minutos.
Para manter o ritmo de produção na fábrica as máquinas devem estar a operar pelo menos 89% do tempo, em
média.
a) Determine qual é o máximo número de máquinas que podem ser atribuídas a cada técnico de manutenção de
modo a manter o ritmo de produção da fábrica. Explicite os seus cálculos.
b) Considere que o número de máquinas afectas a cada técnico é o número máximo determinado na alínea
anterior. Caso não tenha feito a alínea a) considere um valor arbitrário inferior a 8 e superior a 1. Determine a
fracção esperada de tempo em que os operadores estão ocupados (a reparar as máquinas). Explicite os seus
cálculos.
c) Para as mesmas condições da alínea anterior, determine qual o número esperado de máquinas à espera de
reparação.
d) Para as mesmas condições da alínea anterior, determine qual o tempo esperado desde o momento em que uma
máquina avaria até ao instante em que volta a estar em produçãoo.
5ª Questão [4 valores]
Uma empresa está a considerar o lançamento de um novo produto. As chances de este produto ser um sucesso
são de dois para um. Se o novo produto for um sucesso então a empresa prevê um lucro de um milhão e meio
de Euros. No entanto se o produto não for bem recebido prevê um prejuízo de 1 800 000 €. É possível realizar
um estudo de mercado com um custo de 300 000 € para determinar se o produto vai ou não ser bem recebido no
mercado. Experiência anterior sobre esses estudos de mercado, indicam que produtos de sucesso são previstos
como sucesso 80% das vezes, e produtos sem sucesso são previstos como sem sucesso 70% das vezes.
a) Indique, justificando a sua resposta, qual a decisão de acordo com a regra de decisão de Bayes, supondo que
não se realiza o estudo de mercado.
b) Determine o EVPI
c) Determine as probabilidades aposteriori supondo que o estudo de mercado indica que o produto vai ser um
sucesso.
d) Determine as probabilidades aposteriori supondo que o estudo de mercado indica que o produto vai ser um
falhanço.
e) Diga qual a decisão a tomar em relação à realização ou não do estudo de mercado.
Exame de Recurso (24.07.2002)
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