Matemática
ETAPA
Com isso, podemos obter P(x), dividindo Q(x) + 1
por x − 1 três vezes:
Questão 1
Determine o conjunto-solução da equação
sen3 x + cos3 x = 1 − sen2 x ⋅ cos2 x.
Resposta
3
3
2
1
10 −24 15
0
0
0
−1
1
10 −14
1
1
1
1
0
1
10
−4
−3
−2
−1
0
10
6
3
1
0
2
sen x + cos x = 1 − sen x ⋅ cos x ⇔
⇔ (sen x + cos x)(sen 2 x − sen x ⋅cos x + cos 2 x) =
= (1 − sen x ⋅ cos x)(1 + sen x ⋅ cos x) ⇔
⇔ (sen x + cos x)(1 − sen x ⋅ cos x) =
= (1 − sen x ⋅ cos x)(1 + sen x ⋅ cos x) ⇔
⇔ 1 − sen x ⋅ cos x = 0 ou sen x + cos x =
= 1 + sen x ⋅ cos x ⇔ 2 sen x ⋅ cos x = 2 ou
sen x(cos x − 1) + 1 − cos x = 0 ⇔ sen 2x = 2 ou
(cos x −1)(sen x −1) = 0 ⇔ cos x = 1ou
π
sen x = 1 ⇔ x = 2kπ ou x =
+ 2kπ,k ∈ Z
2
π
⎫
⎧
V = ⎨x t .q . (x = 2kπ ou x =
+ 2kπ),k ∈ Z ⎬
2
⎭
⎩
Logo P(x) = 10x 3 + 6x 2 + 3x + 1.
Questão 3
Os elementos da matriz dos coeficientes de
um sistema de quatro equações lineares e
quatro incógnitas (x, y, z e w) são função de
quatro constantes a, b, c e d. Determine as
relações entre a, b, c e d para que o referido
sistema admita uma solução não trivial, sa⎡a b ⎤
bendo que CD = − DC, onde C = ⎢
⎥ e
⎣ c d⎦
⎡x y⎤
D = ⎢
⎥.
⎣ z w⎦
Questão 2
Resposta
Encontre o polinômio P(x) tal que
Q( x ) + 1 = ( x − 1)3 ⋅ P( x ) e Q( x ) + 2 é divisível por x4 , onde Q(x) é um polinômio do
6º grau.
Resposta
Temos que 1 é raiz tripla de Q(x) + 1 e 0 é raiz
quádrupla de Q(x) + 2 , logo 1 é raiz dupla de
(Q(x) + 1)’ = Q’(x) e 0 é raiz tripla de
(Q(x) + 2)’ = Q’(x).
Como Q(x) tem grau 6, Q ’(x ) tem grau 5, de modo
que Q’(x) = ax 3 (x − 1) 2 = ax 5 − 2ax 4 + ax 3 ⇒
⇒ Q(x) =
ax
6
6
−
2a 5
a 4
x +
x + b, a, b ∈ R .
5
4
Sendo Q(1) + 1 = 0 e Q(0) + 2 = 0, temos Q(0) =
= −2 ⇔ b = −2 e Q(1) = −1 ⇔
⇔
a
2a
a
−
+
− 2 = −1 ⇔ a = 60.
6
5
4
Vamos supor que o trecho “sabendo que
CD = −DC ” signifique que as incógnitas x, y, z e w
satisfazem as equações impostas pela condição
CD = −DC . Assim:
⎡a b ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡ x y ⎤ ⎡a b ⎤
CD = −DC ⇔ ⎢
⎥⎢
⎥ =
⎥⎢
⎥ +⎢
⎣c d ⎦ ⎣z w ⎦ ⎣z w ⎦ ⎣c d ⎦
ax
ay
⎡0 0 ⎤
=⎢
⎥ ⇔ cx
⎣0 0 ⎦
cy
+ bz + ax + cy = 0
+ bw + bx + dy = 0
+ dz + az + cw = 0
+ dw + bz + dw = 0
⇔
+
=0
2ax
cy + bz
+ bw = 0
bx + (a + d)y
⇔
( ∗)
+ (a + d)z + cw = 0
cx
cy + bz + 2dw = 0
Supondo que o sistema em questão seja ( ∗), tal
sistema admite solução não trivial se, e somente
se, o determinante da sua matriz incompleta for
nulo, ou seja:
IME
2a
c
b
0
−L4 + L1
b a +d
0
b
=0 ⇔
c
0
a +d c
0
c
b
2d
−L4 + L1
⇔
ETAPA
matemática 2
2a
0
0
b a +d
0
c
0
a +d
0
c
b
⇔ ( −1)1 + 1 ⋅ 2 a
−2d
b
c
2d
q =
⇔ a=
=0 ⇔
a +d
0
b
0
a +d c +
c
b
2d
b
+ ( −1)1 + 4 ( −2d) c
0
= (aq 3 − 7) − (aq 2 − 2) ⇔
a +d
0
0
a +d =0 ⇔
c
b
⇔ a((a + d) 2 ⋅ 2d − 2bc(a + d)) + d( −2bc(a + d)) =
= 0 ⇔ 2ad(a + d) 2 − 2bc(a + d) 2 = 0 ⇔
⇔ (ad − bc)(a + d) 2 = 0 ⇔
⇔ ad − bc = 0 ou a + d = 0
Questão 4
2 = a(q − 1) 2
3 = a(q − 1) 2 ⋅ q
⇔
3
2
2
⎞
⎛3
− 1⎟
⎜
⎠
⎝2
2
=8
Assim, a PG original é:
2
3⎞
⎛
⎜8, 8 ⋅ 3 , 8 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ , 8 ⋅ ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎟ = (8, 12, 18, 27)
⎜
⎝2 ⎠
⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
2
⎝
Questão 5
Cinco equipes concorrem numa competição
automobilística, em que cada equipe possui
dois carros. Para a largada são formadas
duas colunas de carros lado a lado, de tal forma que cada carro da coluna da direita tenha
ao seu lado, na coluna da esquerda, um carro
de outra equipe. Determine o número de formações possíveis para a largada.
Resposta
Uma seqüência de quatro termos forma uma
PG. Subtraindo-se 2 do primeiro termo e k do
quarto termo, transforma-se a seqüência original em uma PA. Uma terceira seqüência é
obtida somando-se os termos correspondentes
da PG e da PA. Finalmente, uma quarta seqüência, uma nova PA, é obtida a partir da
terceira seqüência, subtraindo-se 2 do terceiro termo e sete do quarto. Determine os termos da PG original.
Vamos contar o número de maneiras de colocarmos os 10 carros de modo que haja pelo menos
k equipes com carros lado a lado. Escolhemos as
⎛5 ⎞
equipes de ⎜ ⎟ maneiras, escolhemos as filas
⎝k ⎠
⎛5 ⎞
onde ficarão de ⎜ ⎟ maneiras, permutamos as fi⎝k ⎠
las entre as equipes de k! maneiras, escolhemos, para cada equipe, quem fica à esquerda de
2 maneiras e permutamos os demais 10 − 2k
carros de (10 − 2k)! maneiras. Há, portanto,
2
⎛5 ⎞
Resposta
⎜ ⎟ ⋅ k! ⋅ 2 k ⋅ (10 − 2k)! maneiras de colocarmos
⎝k ⎠
Sejam (a1 , a2 , a3 , a4 ) =
os 10 carros de modo que haja pelo menos k
= (a, aq, aq 2 , aq 3 ),(b1 , b2 , b3 , b4 ) =
equipes com carros lado a lado.
Assim, pelo princípio da inclusão/exclusão, há
= (a − 2 , aq , aq 2 , aq 3 − k), (c1 , c 2 , c 3 , c4 ) =
2
⎛5 ⎞
= (2a − 2, 2aq, 2aq 2 , 2aq 3 − k) e (d1 , d 2 , d 3 , d4 ) = 10! − ⎜ ⎟ ⋅ 1! ⋅ 21 ⋅ 8! +
⎝1 ⎠
= (2a − 2, 2aq, 2aq 2 − 2, 2aq 3 − k − 7) as quatro
2
2
seqüências consideradas. Como (b1 , b2 , b3 , b4 ) e + ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⋅ 2! ⋅ 2 2 ⋅ 6! − ⎛⎜ 5 ⎞⎟ ⋅ 3! ⋅ 2 3 ⋅ 4! +
⎝2 ⎠
⎝3 ⎠
(d1 , d 2 , d 3 , d4 ) são PAs,
(d1 − b1 , d 2 − b2 , d 3 − b3 , d4 − b4 ) =
2
3
= (a, aq, aq − 2, aq − 7) também é PA. Assim,
aq − a = (aq 2 − 2) − aq =
2
2
⎛5 ⎞
⎛5 ⎞
+ ⎜ ⎟ ⋅ 4! ⋅ 2 4 ⋅ 2! − ⎜ ⎟ ⋅ 5! ⋅ 2 5 = 2 088 960 for⎝4 ⎠
⎝5 ⎠
mações possíveis.
IME
ETAPA
matemática 3
Questão 6
Questão 8
Determine a expressão da soma a seguir,
onde n é um inteiro múltiplo de 4.
1 + 2i + 3i2 + . . . + (n + 1) i n
Em um quadrado ABCD o segmento AB’,
com comprimento igual ao lado do quadrado,
descreve um arco de círculo, conforme indicado na figura. Determine o ângulo BAB’
correspondente à posição em que a razão entre o comprimento do segmento B’C e o lado
do quadrado vale 3 − 6 .
Resposta
n
. A soma dada é, então, igual a
4
2
(1 + 2i + 3i + 4i 3 ) + (5i 4 + 6i 5 + 7i 6 + 8i7 ) +
Seja k =
A
+ ... + (4k − 3)i 4k − 4 + (4k − 2)i 4k − 3 +
B
+ (4k − 1)i 4k − 2 + 4ki 4k −1 + (4k + 1)i 4k =
=
k
∑ ((4p
B’
− 3)i 4p − 4 + (4p − 2)i 4p − 3 +
p =1
+ (4p − 1)i 4p − 2 + 4p ⋅ i 4p −1 ) + (4k + 1) =
= 4k + 1 +
k
∑ ((4p
− 3) + (4p − 2)i +
p =1
+ (4p − 1)( −1) + 4p( −i)) = 4k + 1 +
D
k
∑ ( −2i
C
− 2) =
Resposta
p =1
n
= 4k + 1 − (2i + 2) ⋅ k = n + 1 − (2i + 2) ⋅
=
4
n
n
i.
=
+1 −
2
2
Seja l o lado do quadrado. Considere o sistema
cartesiano em que D é a origem, C = ( l; 0) e
A = (0; l).
y
A
(0; )
Questão 7
B
a
A área de uma calota esférica é o dobro da área
do seu círculo base. Determine o raio do círculo
base da calota em função do raio R da esfera.
B’
Resposta
A área da calota da esfera de raio R, sendo h a
altura da calota, é 2 πR ⋅ h. Assim, a área do seu
círculo base é πRh. Sendo r o raio do círculo base, temos πr 2 = πRh ⇔ r 2 = Rh e R 2 = r 2 +
+ (R − h) 2 ⇔ h 2 − Rh = 0 ⇔ h = R. Logo r = R .
h
R_h
r
R
h
D
C
( ; 0)
x
$ ),0 < α < 90o , B ’ = (l cos α;
Sendo α = m (BAB’
l − l sen α).
Assim, B’C = 3 − 6 l ⇔ ( l cosα − l) 2 +
+ ( l − l sen α − 0) 2 = (3 − 6 ) l2 ⇔
⇔ l2cos 2 α − 2 l2cos α + l2 + l2 − 2 l senα +
+ l2 sen 2 α = (3 − 6 ) l2 ⇔
⇔ cos α + sen α =
6
⇔
2
IME
⇔ cos α ⋅
ETAPA
matemática 4
2
2
3
+ sen α ⋅
=
⇔
2
2
2
⇔ cos( α − 45 o ) = cos 30o ( ∗).
Como 0 < α < 90o ⇔
⇔ − 45 o < α − 45 o < 45 o ( ∗) ⇔
⇔ α − 45 o = 30o ou α − 45 o = −30o ⇔
⇔ α = 75 o ou α = 15 o .
Questão 9
Considere
os
números
complexos
Z1 = senα + i cosα e Z2 = cosα − i senα ,
onde α é um número real. Mostre que, se
então
e
−1 ≤ Re( Z ) ≤ 1
Z = Z1 Z2 ,
−1 ≤ Im( Z ) ≤ 1, onde Re(Z) e Im(Z) indicam,
respectivamente, as partes real e imaginária
de Z.
Resposta
O
centro
e
o
raio
= sen 2 α + cos 2 α ⋅ cos 2 α + ( −senα) 2 = 1 e
Re(Z) 2 + Im(Z) 2 =
= | Z |2 ⇒
⇔
| Re(Z)| ≤ | Z |
| Re(Z)| ≤ 1
⇔
⇔
| Im(Z)| ≤ | Z |
| Im(Z)| ≤ 1
−1 ≤ Re(Z) ≤ 1
.
−1 ≤ Im(Z) ≤ 1
Questão 10
Considere todos os pontos de coordenadas
(x, y) que pertençam à circunferência de
equação x2 + y2 − 6x − 6y + 14 = 0. Determiy
ne o maior valor possível de .
x
circunferência
⇔ (x − 3) 2 + (y − 3) 2 = 2 2 são (3; 3) e 2, respectivamente.
y
Seja m = . Então m é o coeficiente angular da
x
reta y = mx , e é máximo quando o ângulo formado pela reta e pelo eixo dos x é máximo. Isso
ocorre quando a reta é tangente à circunferência:
y
mmáximo
r
C
3
mmínimo
Resposta
Temos | Z | = | Z1 Z 2 | = | Z1 || Z 2 | =
da
x 2 + y 2 − 6x − 6y + 14 = 0 ⇔
3
x
Assim, o valor máximo de m ocorre quando
|3 − 3m|
d (C,r) = 2 ⇔
=2 ⇔
1 + m2
⇔ 9m 2 − 18m + 9 = 4m 2 + 4 ⇔
9 + 2 14
.
⇔ 5m 2 − 18m + 5 = 0 ⇔ m =
5