CADERNO DE EXERCÍCIOS 1 Lista 1 – 1º semestre 2015 – Ensino Médio – Matemática Conteúdo Questão 1 2 3 4 Teorema de Pitágoras Área de círculo Equação do 2º grau Área de círculo Equação do 1º grau Área de trapézio Habilidade da Matriz da EJA/FB H13 H17 H18 H13 H17 H18 H13 1 Caderno de exercícios 1. Um projetista de utensílios domésticos criou um suporte para copos que tem uma área revestida com tecido impermeável. Na figura 1, apresenta-se esse suporte e a região coberta pelo círculo é a região em que há o revestimento impermeável. Figura 1 Para construir esse suporte, inicialmente o projetista criou um quadrado de diagonal igual a 8,49 cm e, a partir do quadrado, ele determinou qual seria a região coberta com o tecido. Acompanhe nas imagens o passo a passo até a finalização do modelo do suporte. 1º passo 2º passo 3º passo 4º e último passo Se o círculo que será revestido tem o diâmetro igual à medida do lado do quadrado, qual é a quantidade necessária de tecido impermeável para colocar nessa parte do suporte? 2 Caderno de exercícios Observação: adote π = 3,14 2. Considere que o suporte mencionado no exercício 1, teve uma ótima aceitação no mercado de utensílios e o projetista resolveu produzir uma nova versão que serviria para copos de chope. Para produzir esse novo produto, o projetista iniciou seus trabalhos a partir do quadrado já utilizado para fazer o primeiro suporte, aumentando nessa nova versão a medida do lado em x centímetros. O novo quadrado, utilizado para confeccionar o suporte para copos de chope, tem área igual a 100 cm². Observe os desenhos. Medida aumentada para produzir o 2° suporte x 1° suporte produzido x x Suporte para copo de chope Medida aumentada para produzir o 2° suporte A parte hachurada representa a região que aumentou no 2° suporte. 3 Caderno de exercícios A partir dos desenhos e das informações apresentadas, determine a área da região circular, do novo suporte, que também será revestida com um tecido impermeável. Para tanto, é importante que você considere que a medida do lado do quadrado utilizado para confeccionar o primeiro suporte é igual a 6 cm. Observação: lembre-se de que o círculo tem diâmetro igual à medida do lado do quadrado utilizado para fazer o segundo suporte. 3. Em uma viagem de férias, uma família fez a seguinte organização, para que não houvesse surpresas com os gastos: Transporte Hotel Passeios Refeições 1/3 do valor reservado para a viagem 1/4 do valor reservado para a viagem 1/3 do valor reservado para a viagem R$ 900,00 A partir das informações apresentadas na tabela, qual foi o valor reservado para a viagem? _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4 Caderno de exercícios 4. (Enem 2009) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes. Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m3/s b) 750 m3/s c) 1.050 m3/s d) d) 1.512 m3/s e) e) 2.009 m3/s 5 Caderno de exercícios Gabarito comentado 1. Para saber qual é a área do tecido impermeável, devemos calcular a área do círculo. Para tanto, inicialmente vamos calcular a medida do lado do quadrado, já que sabemos que o diâmetro do círculo tem a medida igual ao lado do quadrado. Devemos lembrar que, no enunciado do exercício, foi mencionado que a diagonal desse quadrado tem medida igual a 8,49 cm. Conforme podemos observar na imagem a seguir, ao traçar a diagonal de um quadrado, obtemos um triângulo retângulo. Para saber a medida do lado do quadrado, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras. L d L L L d² = L² + L² (8,49)² = L² + L² 72,08 = 2L² 72,08 L² 2 36,04 = L² L 6 Portanto, vamos considerar que o lado do quadrado tem medida igual de 6,0 cm. Se o lado do quadrado mede 6,0 cm, o diâmetro do círculo, como mencionado no enunciado, também mede 6,0 cm. Vamos agora calcular a área do círculo. Para tanto, utilizaremos a seguinte expressão: Ac = πr² π = 3,14 raio = 3 cm 6 Caderno de exercícios Lembre-se: o raio de um círculo tem medida igual à metade do diâmetro, por isso, neste caso, o raio mede 3 cm. Ac = 3,14.3² Ac = 3,14.9 Ac = 28,26 Portanto, para revestir o círculo, serão necessários 28,26 cm² de tecido impermeável. Observações: Em todos os cálculos realizados consideramos os valores com apenas 2 casas decimais. Logo, se, ao realizar o cálculo, forem utilizadas mais que duas casas decimais, poderão existir pequenas diferenças entre os resultados apresentados no gabarito e os resultados encontrados por você. 2. Para encontrar a medida do tecido que revestirá o suporte para copos, devemos fazer algumas interpretações. Primeiro vamos observar o desenho a seguir: Se essa parte representa o primeiro suporte construído, a medida do lado desse quadrado é igual a 6 cm. 1° suporte produzido Conforme informado no enunciado do exercício, a área do quadrado utilizado para confeccionar o novo suporte é igual a 100 cm², e a medida do lado do quadrado é igual a medida do lado do quadrado utilizado para produzir o primeiro suporte aumentado de uma medida x. Logo, teremos: 7 Caderno de exercícios 6 6 x 1° suporte produzido x Se a área de um quadrado é calculada multiplicando-se a medida de seus lados, a área desse quadrado pode ser calculada da seguinte maneira: A = (6 + x) . ( 6 + x) Sabemos que a área é igual a 100 cm². 100 = ( 6 + x) . ( 6 + x) Para determinar o valor de x, e assim encontrar a medida total do lado desse quadrado, vamos aplicar a distributiva. 100 = ( 6 + x) . ( 6 + x) 100 = 36 + 6x + 6x + x² 100 = 36 + 12x + x² 0 = x² + 12x – 100 + 36 0 = x² + 12x - 64 Chegamos a uma equação do 2º grau. Para encontrar o valor da medida do lado do quadrado, devemos resolvê-la. Inicialmente, identificaremos os coeficientes da equação. 0 = x² + 12x – 64 a=1 b = 12 c = – 64 8 Caderno de exercícios x= b Δ Δ b² 4.a.c 2a x= 12 (-12)² - 4.1.( - 64) 2.1 x= 12 144 - 4.( - 64) 2.1 12 144 256 x= 2 12 400 x= 2 x= 12 20 2 x= 12 20 2 x= 12 20 2 = 8 4 2 32 16 2 Obtivemos os valores x = 4 e x = – 16, vamos verificar qual deles representa a medida x do lado do quadrado. O quadrado tem a medida de lado 6 + x. Substituiremos a incógnita x pelos valores encontrados. 6 + 4 = 10 6 – 16 = – 10 Como estamos falando de medida, devemos considerar que o valor da incógnita é x = 4, pois ao substituir o valor desconhecido por – 16, encontramos um valor negativo que não pode ser considerado como medida de lado de um quadrado. 9 Caderno de exercícios Agora, já sabemos que o novo quadrado utilizado para confeccionar o 2º suporte, tem lado igual a 10 cm. 6 6 4 10 1° suporte produzido 10 4 Se o quadrado tem lado igual a 10 cm, o diâmetro do círculo também é igual a 10 cm. Basta agora calcular a área do círculo que será revestido. Ac = π. r² Ac = 3,14 .5² Ac = 3,14. 25 Ac = 78,5 Portanto, para confeccionar o suporte para chope, serão necessários 78,5 cm² de tecido impermeável. 3. Analisando a tabela, observa-se que, exceto o valor reservado para as refeições, todos os outros valores apresentados têm como referência o valor reservado para a viagem. Mas, não se sabe qual foi o valor reservado para a viagem, portanto, esse valor desconhecido chamaremos de x. A partir dessa denominação, representa-se os gastos com a viagem por meio de uma equação do 1º grau. x representa o valor reservado para a viagem. 1 x 3 representa o valor reservado para o transporte. 10 Caderno de exercícios 1 x 4 representa o valor reservado para o hotel. 2 x representa o valor reservado para os passeios. 3 R$ 900,00 é o valor reservado para as refeições. Temos então a equação: 1 x 3 1 x 4 + + 1 x 3 + 900 = x Como as frações que compõem a equação têm denominadores diferentes, calcula-se o mmc dos denominadores. 3,4,1 2 3,2,1 2 3,1,1 3 1,1,1 2.2.3 = 12 1 x 3 1 x 4 + 4 x 12 + + 1 x 3 + 900 = x 3 4 10.800 x+ x+ 12 12 12 = 12 x 12 Realiza-se o seguinte cálculo: 12:3 = 4 4x1=4 Para todas as outras frações serão realizados estes cálculos Pode-se cancelar os denominadores quando os dois membros da equação possuem o mesmo denominador. 11 Caderno de exercícios 4 x 12 + 3 4 10.800 x+ x+ 12 12 12 = 12 x 12 4x + 3x + 4x + 10.800 = 12x Resolve-se a equação: 4x + 3x + 4x + 10.800 = 12x 10.800 = 12x – 4x – 3x – 4x 10.800 = 1x 10.800 x 1 10.800 = x Conclui-se que, para a viagem, foi reservado o valor de R$ 10.800,00. 4. Alternativa D Pela figura I, a área A1 é dada pela expressão do trapézio: A1 = (base maior + base menor). altura 2 A1 = (20 + 30). 2,5 2 A1 = 62,5 m2. E utilizando a expressão Q = A.v onde a vazão A vale 1.050 m3/s teremos para a velocidade: Q = A.v 1.050 = 62,5.v v = 16,8 m/s. Observando figura 2 a área do trapézio será de: A2 = (base maior + base menor). altura 2 A2 = (49 + 41). 2 2 12 Caderno de exercícios A2 = 90 m2 Mantendo a mesma velocidade a nova vazão Q será: Q = A.v Q = 90.16,8 Q = 1.512 m3/s 13 Caderno de exercícios