2. Análise de Circuitos Elétricos
Simples
REDES e CIRCUITOS:
A interconexão de dois ou mais elementos de circuitos
simples forma uma rede elétrica. Se a rede tiver pelo
menos um caminho fechado, ela é também um circuito
elétrico.
ELEMENTO DE CIRCUITO: é o modelo matemático de um
dispositivo elétrico de dois terminais, que pode ser
caracterizado por sua relação tensão – corrente. Não pode
ser subdividido em outros dispositivos de dois terminais.
Ex: Fontes de tensão e corrente, resistor, indutor, capacitor,
transformador e ampop.
Lei de Ohm e Resistores
reais
Cap. 2: Elementos de circuito
• Elementos de circuito
→ Resistores e sua dependência com o material usado
em sua construção;
→ Modelo linear do resistor: tensão e corrente.
→ Modelo linear de fontes de corrente e tensão.
→ Modelos de interruptores e transdutores.
• Projeto do capítulo: sensor de temperatura.
Elemento de circuito linear
i
a
b
+
v
–
• Sob que condições o dispositivo acima, com
uma corrente de excitação i e uma tensão de
resposta v, pode ser considerado linear?
i→v
saída
(resposta)
entrada
(excitação)
1
Elemento de circuito linear
i1 → v 1
• Superposição:
i2 → v2
⇒ i1 + i 2 → v1 + v 2
• Homogeneidade:
i→v
⇒ki→kv
• Sistema linear: satisfaz ambos os princípios.
• Sistema não-linear: pelo menos um dos princípios
não é satisfeito.
Componente de circuito elétrico
• Componente ou dispositivo de circuito:
→ Seu comportamento é descrito em termos da
relação entre sua tensão e corrente ⇒
característica v – i.
→ Característica v – i: (pode ser obtida experimentalmente ou a partir de princípios físicos)
di
Um elemento descrito pela relação v =
é linear?
dt
Por que?
v = Ri, i ≥ 0
Um dispositivo descrito por 
v = 0, i < 0
é linear? Por que?
Componente de circuito elétrico
A relação tensão – corrente de dois elementos estão
mostrados a seguir. Determine um modelo linear para cada
elemento e indique o intervalo de linearidade. Assuma que
os elementos normalmente operam nas vizinhanças de i = 0.
(Por que foi feita esta restrição?)
v (V)
2,5
–1
1
i (A)
– 2,5
2
Componente de circuito elétrico
Modelo linear?
Intervalo de linearidade?
v (V)
2
1,5
– 1,5
i (A)
–2
Resistores
• Resistividade: A habilidade de um material em
resistir ao fluxo de cargas.
• Materiais isolantes: elevada resistividade
• Materiais condutores: baixa resistividade
• Resistividade de alguns materiais:
Resistividade (ohm-m)
Vidro
10 12
Quartzo (fundido)
5 × 10 16
Silício
2,3 × 10 3
Alumínio
2,7 × 10 – 8
Carbono
4 × 10 – 5
Cobre
1,7 × 10 – 8
Resistores
• Cobre: fios condutores
• Resistência (R): propriedade física de um elemento
ou dispositivo que dificulta o fluxo de corrente
• Georg Simon Ohm:
→ circuito: bateria + fio condutor de seção transversal
Av
constante ⇒ i =
→ ρ: resistividade
ρL
L
A
FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/conins.html
3
Resistores
• Georg Simon Ohm (cont.):
→ i=
Av
ρL
→ Resistência: R =
ρL
A
⇒ Lei de Ohm: v = R i
1 Ω = 1 V 

A 
: relação linear
entre v e i
R
i
+
v
–
⇒ Formulação alternativa da Lei de Ohm: i = G v
G: condutância [S – siemens (SI); mho]
Resistores
• Dependência com a temperatura:
→ Elevadas temperaturas: aumento da resistência
(aumento da colisão dos elétrons com a rede cristalina)
→ Baixas temperaturas: resistência praticamente constante
(depende basicamente da presença de impurezas ou
defeitos no material)
FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/restmp.html#c1
Resistores
• Materiais:
→ Resistores de filme de carbono (carvão):
Durante a
construção, uma película fina de carbono (filme) é depositada sobre
um pequeno tubo de cerâmica. O filme resistivo é enrolado em hélice
por fora do tubinho ¾ tudo com máquina automática ¾ até que a
resistência entre os dois extremos fique tão próxima quanto possível
do valor que se deseja. São acrescentados terminais (um em forma
de tampa e outro em forma de fio) em cada extremo e, a seguir, o
resistor é recoberto com uma camada isolante.
4
Resistores
• Materiais:
→ Resistores de filme de metal: Resistores de filme de metal
ou de óxido de metal são feitos de maneira similar aos de
carbono, mas apresentam maior acuidade em seus valores
(podem ser obtidos com tolerâncias de (+ ou-) 2% ou 1% do
valor nominal).
Resistores
• Materiais:
→ Resistores de fio:
Resistores de fio são feitos enrolando fios
finos, de ligas especiais, sobre uma barra cerâmica. Eles podem
ser confeccionados com extrema precisão ao ponto de serem
recomendados para circuitos e reparos de multitestes,
osciloscópios e outros aparelhos de medição. Alguns desses tipos
de resistores permitem passagem de corrente muito intensa sem
que ocorra aquecimento excessivo e, como tais, podem ser usados
em fontes de alimentação e circuitos de corrente bem intensas.
Resistores
• Outras configurações físicas de resistores:
5
Resistores
• Código de cores:
PRATA
DOURADO
PRETO
MARROM
VERMELHO
LARANJA
AMARELO
VERDE
AZUL
VIOLETA
CINZA
BRANCO
a = 1ª Dígito
b = 2ª Dígito
n = 3ª Dígito
Tolerância
(%)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
1
2
-
Resistores
• Valores nominais:
FONTE: http://www.mecatronicas.hpg.ig.com.br/tiposresistores.htm
Resistores – Potência
• p=vi:
2
v
v
p = v i = v   =
R R
→ p ≥ 0 sempre!
p = v i = (i R ) i = i 2 R
t
w = ∫ i2 R d τ ≥ 0
−∞
→ elemento passivo!
6
Resistores – Potência
• Exemplo: Modelo para uma bateria de carro quando
as luzes são deixadas acesas e o motor desligado.
Bateria de automóvel: v = 12 V (fonte de tensão constante)
Lâmpada: R = 6 Ω
Determine a corrente i, a potência p e a energia fornecida
pela bateria para um período de quatro horas.
i
v = R i ⇒ i = 12 / 6 = 2 A
p = v i = 12 × 2 = 24 W
12 V
t
w=∫ pd τ
6Ω
R
0
= 24 t = 24(60 × 60 × 4) = 3,46 × 105 J
Bateria: energia armazenada é finita (≈ 106 J quando carregada)
Transdutores
• Transdutores: Dispositivos que convertem
quantidades físicas em quantidades elétricas.
– Exemplos: potenciômetros e sensores de temperatura
• Potenciômetros:
– Convertem posição em resistência.
(1 – a) R p
Rp
aRp
0≤a≤1
Transdutores
• Exemplo: No circuito da figura (a) a seguir a tensão
medida fornece uma indicação da posição angular da haste
do potenciômetro. Na figura (b), a fonte de corrente, o
potenciômetro e o voltímetro foram substituídos por
modelos destes mesmos dispositivos. Qual a relação entre
θ e v m?
7
Transdutores
• Exemplo: Para o mesmo circuito, suponha R = 10 kΩ e I = 1
mA. Qual seria a tensão marcada no voltímetro para um
ângulo θ = 163o? E de quanto seria o deslocamento angular
quando a leitura no voltímetro fosse v m = 7,83 V?
vm = a R p I =
θ
Rp I
360
→ θ=
360
vm
Rp I
→ θ = 163° ⇒ vm = 4,53 V
→ vm = 7,83 V ⇒ θ = 282° V
Transdutores
• Sensores de temperatura:
– Convertem temperatura em corrente.
– São fontes de corrente que fornecem
uma corrente proporcional à temperatura
absoluta.
– Para operar adequadamente, a tensão v(t)
deve satisfazer a condição:
4V ≤ v ≤ 30V
– Como mencionado anteriormente, nestas
condições, a corrente é numericamente
igual à temperatura em K:
µA
i = k T, k =1
K
Exercícios
1) A tensão e corrente de um sensor de temperatura
AD590 são, respectivamente, 10V e 280µA.
Determine a temperatura medida.
(Resp: T = 280K ou 6,8o C, aproximadamente)
2) Para o potenciômetro da figura, calcule a tensão
v m quando θ = 45o, R p = 20KΩ e I = 2mA.
8
Interruptores
•
•
Abertos ou fechados.
Idealmente:
–
–
•
Curto circuito quando fechados;
Circuito aberto quando abertos.
Interruptores ideais:
instantaneamente.
mudam
de
estado
Interruptores
Interruptores
•
Qual é o valor da corrente i na figura acima no
tempo t = 1s? E no tempo t = 5s?
(Resp: i = 4mA em t = 1s – interruptor fechado; i = 0A em t = 5s –
interruptor aberto.)
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Exemplo
•
Os multímetros da figura indicam que v1 = - 4V,
v2 = 8V e i = 1A.
(a) Verifique se estes resultados satisfazem a lei de
Ohm.
(b) Verifique que a potência fornecida pela fonte de
tensão é igual à potência absorvida pelos resistores.
Fontes independentes
i
Fontes ideais!
+
v (t)
–
Fontes independentes
FONTE: http://www.ead.eee.ufmg.br/~renato/circuitos/aulas/aula1.pdf
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Curto circuito e circuito aberto
• Curto circuito:
– Fonte de tensão ideal com v (t) = 0
– Também pode ser descrito como um
caso especial de resistência, em que R
= 0 (G = ∞)
i (t)
v (t) = 0
• Circuito aberto:
– Fonte de corrente ideal com i (t) = 0
– Também pode ser descrito como um
caso especial de resistência, em que R
= ∞ (G = 0)
i (t) = 0
+
v (t)
–
Amperímetros e voltímetros
• Amperímetro ideal:
– Mede a corrente passando por seus terminais.
– Possui uma tensão nula entre seus terminais ⇒ não
interfere no circuito.
– Age como um curto-circuito.
• Voltímetro ideal:
– Mede a tensão entre seus terminais.
– A corrente que passa por seus terminais é nula ⇒ não
interfere no circuito.
– Age como um circuito aberto.
Amperímetros e voltímetros
• Princípio de funcionamento:
FONTE: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elecur.html
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Voltímetros e amperímetros
(FONTE: http://www.physics.odu.edu/dcook/teach/phys403/phys403lec1.PDF)
• Galvanômetro:
Voltímetros e amperímetros
(FONTE: http://www.physics.odu.edu/dcook/teach/phys403/phys403lec1.PDF)
• Voltímetro ideal: mede a tensão entre seus terminais,
sem que haja passagem de corrente pelo mesmo.
Voltímetros e amperímetros
(FONTE: http://www.physics.odu.edu/dcook/teach/phys403/phys403lec1.PDF)
• Amperímetro ideal: mede a corrente que flui por seus
terminais, sem que haja uma queda de potencial
(tensão) entre seus terminais.
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Fontes dependentes
• Consistem de dois elementos:
– o elemento de controle e o elemento controlado.
• Fonte de tensão controlada ou dependente:
– Fonte cuja tensão é controlada por outra tensão ou por
uma corrente.
• Fonte de corrente controlada ou dependente:
– Fonte cuja corrente é controlada por outra corrente ou
por uma tensão.
Fontes dependentes
FONTE: http://www.ead.eee.ufmg.br/~renato/circuitos/aulas/aula1.pdf
Fontes dependentes
• Exemplo: Determine a potência absorvida pela
fonte de tensão controlada por tensão da figura
abaixo.
+ 2,0 V
+
+ 1,5 A
–
+ vc –
vc = 2 V ⇒ vd = 2 × vc = 4 V
+
vd = 2 vc
–
id
id = 1,5 A
⇒ pd = vd id = 4 × 1,5 = 6 W
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Circuitos Resistivos
• Análise de circuitos contendo resistores e fontes
Lei de Ohm: v = R i
Leis de Kirchoff (1847):
–
–
•
Lei dos nós (fluxo de corrente em terminais
conectados)
Lei das malhas (soma das tensões em um caminho
fechado)
•
• Algumas definições:
–
Circuito concentrado conectado: qualquer nó pode ser
alcançado a partir de qualquer outro nó no circuito
seguindo-se uma trajetória através dos elementos do
circuito.
Exemplos?
–
NÓ, CAMINHOS, LAÇOS e RAMOS
NÓ: um ponto no qual dois ou mais elementos de circuito
têm uma conexão comum.
CAMINHO: trajeto partindo de um nó em uma rede,
passando por vários nós sem passar por um nó mais de
uma vez.
LAÇO: quando o nó de partida for igual ao nó de chegada
em um caminho.
RAMO: caminho único em uma rede, composto por um
elemento simples e os nós presentes em cada uma de suas
extremidades.
Lei das tensões de Kirchhoff
• Dado qualquer circuito conectado de n nós, pode-se escolher
arbitrariamente um destes nós como uma referência para a
medição de potenciais elétricos (tensão).
• Com relação a este nó de referência, define-se n – 1 tensões de
cada nó até esta referência.
Lei das tensões de Kirchhoff:
k
+ v k–j
–
2
1
j
ek
e1
–
–
–
n
en=0
n–1
e n–1
• Para qualquer circuito concentrado
conectado, para qualquer escolha do
nó de referência para a tensão, em
qualquer tempo t, para qualquer par
de nós k e j:
vk − j (t ) = ek (t ) − e j (t )
∴ v j −k (t ) = e j (t ) − ek (t ) = −vk − j (t )
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