EXERCÍCIO DE RECAPITULAÇÃO
1. Integre as seguintes funções:
a) ∫
b) ∫ (
c) ∫ (
)
)
√
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO

Método de integração análoga à regra da cadeia.
∫
sendo
∫
e
Assim como a regra da cadeia, não existe uma regra rígida para a determinação da função
Além do mais, ela não é aplicável sempre, somente em alguns casos.

.
Exemplo: Calcule:
a) ∫
b) ∫
c) ∫
a) Para tornar a função integrável, fazemos a substituição:
Isolando o dx, na relação da derivada obtemos:
Assim, substituindo
por
e
por
, a integral fica:
∫
∫
Como o é uma constante, ele pode ser posto fora da integral. Sabemos que a integral de
assim:
Retornando, com x:
é
,
ou
b) Para tornar a função integrável, fazemos:
Repare que ao isolar o
, obtemos ainda um :
Substituindo na função:
∫
∫
Repare que a variável x não está mais presente na integral, pois o x da função foi cancelada com
o x do divisor que veio da derivada. Se após as substituições ainda restar algum x então o
método não pode ser aplicado.
Finalizando:
∫
c) Para tornar a função integrável, fazemos:
Fazendo a substituição:
∫
∫
∫
Repare que a função “externa”
foi novamente cancelado pelo divisor que veio com o termo
derivado. Neste caso, fica claro que se a função “externa” for um polinômio, entõa esse polinômio
deve ter um grau a menos do que o polinômio da função chamada de u(x).
Lembrando que a integral de é
∫
, obtemos:
Exemplo 2: Função que o método não se aplica.
∫
Neste caso, a identificação da função
seria óbvia:
Fazendo a substituição:
∫
∫
Note que sobraram duas variáveis (u e x) dentro da integral. Se isso acontecer, o método não
pode ser aplicado e a integral deve ser resolvida de outra forma.
Obs: na verdade, essa integral é bem complicada de ser resolvida. Somente por curiosidade, a
solução dela seria:
EXERCÍCIOS
2. Aplicando o método da substituição, resolva as integrais:
a) ∫
b) ∫
c) ∫
d) ∫
e) ∫
√
3. Verifique se as seguintes funções são integráveis pelo método da substituição. Se forem
integráveis, resolva-as.
a) ∫
b) ∫
c) ∫
d) ∫
e) ∫
4. Em um experimento de cinemática o seguinte aparato foi montado:
O carrinho de massa M desliza sobre o trilho sem atrito. Assim, a aceleração do carrinho se dará
de acordo com a equação:
Um motor faz com que o ângulo de inclinação se eleve com o tempo t de acordo com a equação:
Supondo que em
, a velocidade é zero (
) e o carrinho se encontra na origem (
qual será a equação do espaço (s) em função do tempo (t) para esse experimento?
),