PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática
CADERNO DE ATIVIDADES
MODELOS NUMÉRICOS DE APROXIMAÇÃO
DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL REAL
José Luiz Giarola Andrade
Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
1
José Luiz Giarola Andrade
CADERNO DE ATIVIDADES:
Modelos numéricos de aproximação de funções de uma variável real
Produto construído após aplicação e análise das
atividades da pesquisa, apresentado ao Programa de
Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
da Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, como requisito parcial para obtenção do
título de Mestre em Ensino de Ciências e
Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda
Belo Horizonte
2014
2
PREFÁCIO
Este caderno de atividades é produto da dissertação de Mestrado em Ensino de
Ciências e Matemática da PUC Minas, intitulada “Modelos numéricos de interpolação e
ajuste de curvas como método de cálculo, aproximação e caracterização de tendência de
dados experimentais” e tem como objetivo geral, propor atividades que possibilitem aos
estudantes de cursos de ciências exatas, que estudam aproximação de funções de uma variável
real, desenvolverem a habilidade de identificação, escolha e utilização de modelos de
interpolação polinomial e ajuste de curvas por mínimos quadrados através de algoritmos e
softwares.
A elaboração da sequência didática das atividades, conveniente ao cronograma
previsto no projeto, foi baseada em Zabala (1998), propiciando a comunicação e adaptação de
lições e sugestões de estudos em livros didáticos.
Foram utilizados três softwares gratuitos: o Visual Cálculo Numérico (VCN), o
GeoGebra e o Box CalcX (Scilab). O Box CalcX (Scilab), cujos comandos buscam e utilizam
algoritmos do software Scilab, foi construído durante a pesquisa de mestrado com ajuda de
um aluno monitor de Cálculo Numérico do curso de Ciência da Computação do UNIFORMG (Centro Universitário de Formiga – MG). Todos os softwares são de fácil utilização, e
disponibilizam a forma analítica e a representação gráfica das funções obtidas.
Foram cinco atividades, em sequência didática, especialmente preparadas e aplicadas a
estudantes do curso de Engenharia Ambiental e Sanitária do UNIFOR-MG durante a pesquisa
de mestrado. Cada atividade continha uma amostra de dados fictícios, uma delas de forma
direta e não contextualizada e as outras a partir de situações contextualizadas. Após análise
das atividades e entrevistas a alunos, revisões, adaptações e acréscimos de exercícios
compõem este caderno de atividades.
Os autores.
3
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 4
2
SOFTWARES .............................................................................................................. 6
2.1 Geogebra........................................................................................................................ 6
2.2 Visual Cálculo Numérico ............................................................................................... 7
2.3 Scilab ............................................................................................................................. 9
3
ATIVIDADES ............................................................................................................ 12
Atividade Piloto............................................................................................................ 13
Atividade Aplicada 1 .................................................................................................... 15
Atividade Aplicada 2 .................................................................................................... 16
Atividade Aplicada 3 .................................................................................................... 17
Atividade Aplicada 4 .................................................................................................... 19
Atividade Aplicada 5 .................................................................................................... 20
Atividade Aplicada 6 .................................................................................................... 21
Atividade Complementar 1 ........................................................................................... 23
Atividade Complementar 2 ........................................................................................... 24
Atividade Complementar 3 ........................................................................................... 27
REFERÊNCIAS................................................................................................................. 28
ANEXO A – CD Aplicativo do Box CalcX (Scilab) .......................................................... 30
4
1 INTRODUÇÃO
O professor pesquisador, primeiro autor deste produto, disserta, em seu trabalho de
mestrado “Modelos numéricos de interpolação e ajuste de curvas como método de cálculo,
aproximação e caracterização de tendência de dados experimentais”, sobre alguns autores
que trabalham modelos matemáticos, delimitando seu uso em situações de aproximação de
funções, de maneira conveniente às amostras que, por ventura os estudantes se deparem. As
atividades especialmente elaboradas e aplicadas, permitem aos estudantes desenvolverem a
habilidade de escolha de modelos, dentre os estudados, que serão mais ou menos viáveis.
O embasamento metodológico da dissertação de mestrado, que gerou este produto, foi
sustentado pela Modelagem Matemática descrita por Bassanezi (2011), visando à utilização
de modelos matemáticos, como conjunto de símbolos e relações matemáticas que representam
o objeto estudado. Segundo Bassanezi (2011), Modelagem Matemática é um processo
dinâmico utilizado para a obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de
abstração e generalização, com a finalidade de previsão de tendências. As vantagens do
emprego da modelagem em termos de pesquisa podem ser constatadas nos avanços obtidos
em vários campos como a Física, a Química, a Biologia e a Astronomia, entre outros.
A partir de problemas reais ou fictícios, o autor da pesquisa passou a utilizar
diretamente a atividade intelectual, definida como Abstração por Bassanezi (2011), em que ao
se formular hipóteses à busca ou montagem de modelos matemáticos, predefinidos ou
escolhidos, se dá mediante uma quantidade de opções (menu) dentre as estudadas, para que
assim, em busca de sua resolução, obtenha-se possíveis soluções. A Modificação seria uma
das atividades consideradas como possíveis retornos ao problema inicial, repassando pelo
sistema utilizado bem como a verificação de outros modelos, em busca de uma melhor
validação dos mesmos. O professor pesquisador sintetizou um diagrama (Figura 1), que
conceitua melhor seu pensamento diante da abstração pessoal quanto à escolha e utilização de
modelos matemáticos em um processo de Modelagem Matemática, modelos que serão
escolhidos dentre tipos variados de aproximação de funções por polinômios interpoladores e
curvas ajustadas.
5
Figura 1: Relação entre problemas reais e possíveis soluções via modelos matemáticos
(menu)
Problemas
Modelos
Possíveis soluções
Matemáticos
Fonte: Elaborada pelos autores
A análise de fenômenos naturais e de resultados de experimentos permitiu o avanço de
várias ciências. Considerando que grande parte dessa análise é feita em dados quantificados, é
necessário o uso de algoritmos matemáticos para que os dados possam ser interpretados mais
facilmente. Um conjunto extenso de dados discretos torna necessário e viável o uso de
softwares matemáticos, propiciando agilidade e confiabilidade na resolução de algoritmos
modelados desses dados.
A seção seguinte apresenta os três softwares escolhidos como ferramenta de pesquisa e
também como sugestão de apoio para a confecção das atividades deste caderno.
6
2 SOFTWARES
2.1 Geogebra
O GeoGebra é um software gratuito de Matemática, de fácil manuseio, tanto para
estudantes do ensino básico como superior. Foi criado por Markus Hohenwarter1, cujo projeto
foi iniciado em 2001, na Universidade de Salzburg, Áustria. O download do software pode ser
obtido em www.geogebra.org.
Possibilita o trabalho em geometria, álgebra, estatística e cálculo. Sua interface
principal de trabalho, ilustrada na Figura 2, opera em duas dimensões, sendo oferecidos vários
tutoriais disponíveis na web, que também sugerem download de arquivo.
Figura 2: Página inicial do software GeoGebra
Fonte: Computador dos autores
De fácil aprendizado, visualização clara e interativa, agrega valor positivo,
principalmente pelo ganho em tempo de trabalho e resultados obtidos. A facilidade de
tabulação e manuseio de pontos em sistemas de coordenadas, os quais podem ser interagidos
1
Professor de educação matemática na Universidade Johannes Kepler, de Linz, na Áustria.
7
com curvas aproximadas a partir de recurso de regressão em sua caixa de entrada (Figura 3),
torna o software interessante para o estudo analítico, principalmente visual, que trabalha de
forma concomitante os dados em dispersão, representação gráfica contínua e as respectivas
formas algébricas das equações em uma mesma página, com uma ou várias amostras distintas.
Figura 3: Página inicial do GeoGebra com comandos de regressão
Fonte: Computador dos autores
2.2 Visual Cálculo Numérico
O software Visual Cálculo Numérico VCN é um programa gratuito de matemática
com interface de entrada numérica direta, ou seja, não exige uma programação prévia. Foi
desenvolvido pelos professores Célio Humberto Vasconcelos, Cristina Almeida Magalhães,
Dimas Felipe de Miranda, Lamounier Josino de Assis, Luiz C. Picoreli de Araújo, Marcos
Almeida Magalhães, Pedro Américo Almeida Magalhães e Pedro Américo Almeida
Magalhães
Júnior.
O
download
do
software
pode
ser
obtido
em
www.matematica.pucminas.br/lcn/vcn1.htm.
Trata-se de um software largamente utilizado na disciplina de Cálculo Numérico,
oferecendo auxílio a estudantes, pesquisadores e profissionais de engenharias, computação ou
8
qualquer curso de ciências exatas.
O VCN possibilita opções como tratamento de funções reais de uma variável real;
representações de erros e operadores numéricos, interpolação e extrapolação, derivação e
integração numérica, equações diferenciais, cálculo de raízes, sistemas lineares, ajuste de
curvas e aproximação de funções, otimização, somatório e produtório de termos em
sequências numéricas, em sua maioria com opção de interpretação gráfica dos intervalos
numéricos trabalhados.
Seu fácil manuseio, perante conceitos prévios formados, agrega agilidade,
confiabilidade e análise do comportamento dos dados inseridos. Segue Figura 4, página inicial
do software.
Figura 4: Página inicial do VCN em perspectiva
Fonte: Elaborada pelos autores
9
2.3 Scilab
O Scilab é um software livre de computação e programação numérica de propósito
geral, desenvolvido na França em 1990, por pesquisadores do INRIA (Institut National de
Recherche en Informatique et en Automatic) e do ENPC (École des Ponts ParisTech)
(GOMEZ, 1999). Disponível em www.scilab.org.
O software, por ser uma ferramenta computacional matemática completa, possui uma
linguagem de programação própria. Apesar desse fato tornar o sistema muito atrativo, pois
provê maior flexibilidade, requer de seu usuário o domínio prévio dessa linguagem. Segue
Figura 5, página inicial do software.
Figura 5: Página inicial do Scilab
Fonte: Computador pessoal dos autores
Muitas vezes o tempo na pesquisa científica ou na execução de trabalhos científicos é
de extrema importância, por isso pesquisadores preferem trabalhar com outras ferramentas
que apresentam mais dinamicidade e agilidade na inserção dos dados, embora o software
Scilab ofereça a possibilidade de criação de interfaces pessoais mais ágeis, caixas Box de
algoritmos próprios, em que o programador (usuário), com a utilização dos códigos
disponíveis do programa, possa efetuar a criação desses pacotes específicos, com entradas
mais acessíveis e diretas. Pensando na agilidade do software VCN, mas que não permite a
inserção de mais de uma amostra de dados discretos em um mesmo sistema, que é de estrema
valia para se fazer o levante de hipóteses e análise de comportamento de curvas simultâneas e
distintas em uma mesma amostra, o pesquisador incluiu, em fase final da pesquisa, a criação
de uma interface própria, a partir de um Box, com comandos básicos de aproximações de
10
curvas a partir do software Scilab.
O CalcX (Scilab), nome dado ao Box criado, tem como principal objetivo prover um
meio mais acessível e direto. Sua interface permite a inserção de dados discretos com a opção,
até o momento, de escolha entre os modelos de interpolação (Lagrange ou Splines Cúbicas) e
ajustes (Polinomial de grau 1, grau superior ou Exponencial). Após a escolha do modelo, o
CalcX (Scilab) fica responsável por gerar o código necessário para a representação do método
escolhido, aplicado aos dados que foram inseridos pelo usuário. Como todo o código do
Scilab é migrado para o CalcX (Scilab), não é preciso que o usuário do sistema tenha
conhecimento prévio dos comandos e/ou programações de entrada do Scilab, sendo
necessário apenas conhecimento dos modelos numéricos, que são disponibilizados no sistema,
e suas funcionalidades. Seguem Box CalcX (Scilab) (Figura 6) e gráficos obtidos por ajustes
simultâneos (Figura 7).
Ao final deste caderno de atividades, Anexo A, uma unidade em CD disponibiliza o
aplicativo do Box CalcX (Scilab) e instalador do Software Scilab, necessário para que o Box
seja utilizado. Será também necessário, e já instalado no respectivo computador, o aplicativo
Java, gratuito e disponível em http://www.java.com/pt_BR.
Figura 6: Interface de entrada do Box CalcX (Scilab)
Fonte: Edilson Anselmo Corrêa Júnior 2
2
Edilson Anselmo Corrêa Júnior atualmente cursa o 7º período de Ciência da Computação do UNIFOR-MG, é
monitor de Cálculo Numérico e colaborador voluntário da pesquisa.
11
Figura 7: Gráfico de ajustes simultâneos no CalcX (Scilab)
Fonte: Edilson Anselmo Corrêa Júnior
A próxima seção apresenta o conjunto de atividades reelaboradas, acrescidas e/ou
adaptadas, sugerindo uma sequência de aplicação, mas deixa ao seu tutor, liberdade de
associar combinações entre três categorias designadas como: atividade piloto, atividades
aplicadas e atividades complementares.
12
3 ATIVIDADES
Na prática educativa, a unidade mais elementar que constitui o processo educativo é
definida por Zabala (1998) como atividade ou tarefa, e pode-se considerar uma atividade
como uma exposição, um debate, uma pesquisa, uma observação, um exercício, um estudo,
etc. A maneira como as atividades são desenvolvidas, a ordem como são apresentadas, as
relações que se estabelecem entre essas atividades, determinam o tipo e as características do
ensino.
O conjunto de dez atividades deste caderno é assim distribuído: uma atividade piloto,
seis atividades aplicadas e três atividades extras. Os autores sugerem a sequência, iniciando
pela atividade piloto, com intuito de levantar a curiosidade dos estudantes quanto às
diferentes curvas que se aproximam de dados discretos de uma amostra, uma vez que neste
início, é possível que os alunos ainda não tenham conhecimento do assunto e menos ainda da
obtenção dessas curvas aproximadas, já oferecidas na questão. Iniciadas a atividades
aplicadas, a sequência sugere o estudo de polinômios interpoladores e, gradativamente, vai
incluindo a utilização de curvas obtidas por ajustes. Dentre as atividades aplicadas, cinco
delas fizeram parte da pesquisa de mestrado do primeiro autor, já a atividade aplicada 3, foi
acrescida à sequência.
Ao final das atividades aplicadas, três atividades complementares tendem a reforçálas, uma vez que o tutor das atividades, professor ou aluno, possa intercalar sua aplicação
como julgar necessária. Mais atividades podem ser instrumento de estudo e exercícios
complementares se buscadas junto a autores de Cálculo Numérico e Cálculo Diferencial e
Integral, constantes nas referências finais deste caderno.
13
Atividade Piloto
Atividade:
Comparação dos dados de uma amostra com funções algébricas predefinidas.
Proposta:
Levantar a importância da visualização gráfica e do comportamento dos dados discretos de
uma função real específica com funções distintas aproximadas.
Objetivo:

Comparar modelos de diversas funções reais com os dados discretos de uma amostra, a
fim de estabelecer uma possível semelhança de comportamento entre os dados e os
modelos.
QUESTÃO:
Considere a função f  x   2 x como sendo a função referência para esta atividade. Em
seguida, faça o que se pede.
a) No quadro abaixo são dadas, a função referência f  x   2 x e outras funções diferentes.
Utilize-as, substituindo os valores de x sugeridos, registrando os resultados com
aproximação de três casas decimais após a vírgula. Compare, numericamente, os
respectivos resultados obtidos em cada função, em relação à função referência.
Observação: Usaremos a notação y para uma função aproximada.
xi
x1  0 x2  0,5 x3  1 x4  1,5 x5  2
f  xi  = 2 x
1,000
1,414
2,000
2,828
4,000
x6  2,5
x7  3
5,657
8,000
yi  1  x
yi  2 x
yi  0,5 x 2  0,5 x  1
yi  1/ 6  x3   5 / 6  x  1
yi  2,3 x  0,3
yi  0,75 x 2  0, 05 x  1, 05
yi  e0,69315 x
b) Utilize o software GeoGebra para representar, no sistema de eixos, os sete pares
ordenados  xi , f  xi   , obtidos nas duas primeiras linhas da tabela.
c) No mesmo sistema de eixos, trace a curva de f  x   2 x e verifique a coincidência(*) da
curva com os pares ordenados inseridos anteriormente.
14
( )
* Observação: Aqui neste texto, as palavras coincidência e identidade indicam a mesma
posição ou valor relativo de dois objetos matemáticos. Por exemplo, dois pontos
geométricos, A e B, podem ocupar uma mesma posição em um sistema, mesmo que sejam
nomeados diferentemente, daí dizemos que A coincide com B. Outro exemplo, seria de
duas funções distintas, g  x  e h  x  , que têm a mesma imagem para um mesmo valor
específico de x  k , daí dizemos que g  k   h  k  , significando que a função g  x 
coincide com a função h  x  quando x  k , ou ainda, podemos dizer que a função g
apresenta identidade com a função h quando x  k .
d) Ainda no mesmo sistema, insira, uma a uma, as curvas das funções seguintes, comparando
os pontos  xi , f  xi   com as respectivas curvas. Compare as possíveis coincidências dos
pontos com as curvas (identidade entre as funções), retornando sempre aos valores obtidos
na tabela do item a.
15
Atividade Aplicada 1
Atividade:
Interpolação linear.
Proposta:
Obtenção de Modelo Matemático para uma interpolação linear.
Objetivos:
 A presente atividade tem por objetivo a introdução de métodos de interpolação de dados
diante de uma amostra de pontos definidos por duas grandezas. Visa ainda à abstração da
situação problema diante da possibilidade de obtenção de valores desconhecidos, mas de
possível estimação, isolados da complexidade das outras relações fenomenológicas.
 Percepção da proporção existente em um comportamento linear como método plausível
diante de subintervalos consecutivos de toda a amostra. Por final, análise diante de uma
amostra que não apresenta uma taxa de variação constante e inviabiliza uma única
interpolação linear para sua totalidade.
QUESTÃO:
O volume y de bactérias, em unidades de volume, existente em uma cultura após x horas, é
apresentado na tabela abaixo, obtida a partir de experiência em laboratório em um período de
quatro horas.
x (horas)
y (volume de bactérias)
0
32
1
47
2
65
3
92
4
132
a) Pesquise sobre interpolação linear.
b) Usando o software GeoGebra, discrimine os pontos descritos na tabulação acima e analise
sua representação gráfica.
c) É possível descobrir o volume de bactérias no instante x = 3 horas e 42 minutos? E no
instante x = 1 hora e 25 minutos? Argumente.
d) É possível estimar os valores de y(3h42min) e y(1h25min)? Argumente. Sendo afirmativa
a resposta, estimem, de forma linear, esses valores diante de intervalos consecutivos de
horas inteiras retirados da amostra.
e) É possível criar um modelo linear único que admita a obtenção dos valores y no intervalo
x   0, 4 ? Se possível, obtenha-o.
f) É possível criar um modelo linear que admita a obtenção de valores estimados entre os
valores discretos das horas para cada intervalo de limitantes inteiros consecutivos de 0 a 4,
ou seja, um modelo linear para 0  x  1 , outro modelo para 1  x  2 , outro para
2  x  3 e outro para 3  x  4 ? Se possível, obtenha-os.
16
Atividade Aplicada 2
Atividade:
Interpolação polinomial.
Proposta:
Utilização de sistemas lineares para obtenção de polinômios interpoladores.
Objetivos:
 Em se tratando de pontos definidos por uma relação que possa expressar uma função
y  f  x  , espera-se a análise diante de um intervalo fechado, a princípio contínuo, para
obtenção de um polinômio P  x   y que seja idêntico à função nos dados da amostra
 xk , f  xk   , ou seja, P  xk   f  xk  . “Toda função contínua pode ser arbitrariamente
aproximada por um polinômio”. (WEIERSTRASS apud FRANCO, 2006, p. 287).
 Além do grau plausível do polinômio interpolador, pretende-se instigar o aluno a perceber a
variabilidade de possível erro diante de diferentes graus de polinômios interpoladores em
uma mesma amostra.
QUESTÃO:
Analise a relação e, em seguida, faça o que se pede.
0
1
2
3
x
32
47
65
92
y
4
132
a) A representação gráfica dos pares ordenados sugere uma tendência linear ou não linear?
Justifique.
b) Tome dois pares consecutivos  x, y  e obtenha um polinômio de grau 1 que os contenha.
Utilize sistemas lineares para tal, métodos diretos, montando-o em seu caderno e, em
seguida, efetue os respectivos cálculos no programa VCN (Visual Cálculo Numérico).
c) Tome dois pares não consecutivos  x, y  e obtenha um polinômio P  x  de grau 1 que os
contenha. Use sistemas lineares para tal e, em seguida, verifique se o(s) par(es)
intermediário(s) aos pares escolhidos a princípio geram identidade em P  x  . Houve
algum erro cometido? Monte o sistema no caderno e efetue os cálculos no VCN.
d) Tome agora três pares consecutivos  x, y  e obtenha um polinômio P  x  de grau 2 que os
contenha. Monte o sistema no caderno e efetue os cálculos no VCN.
e) Tome três pares não consecutivos  x, y  e obtenha um polinômio P  x  de grau 2 que os
contenha. Use sistemas lineares para tal e, em seguida, verifique se o(s) par(es)
intermediário(s) aos pares escolhidos a princípio geram identidade em P  x  . Houve
algum erro cometido? Monte o sistema no caderno e efetue os cálculos no VCN.
f) Represente graficamente, em um mesmo sistema, os polinômios interpoladores obtidos
explicitando os pares da amostra, principalmente as coincidências com os respectivos
polinômios.
g) Seria possível obter um polinômio P  x  que seja coincidente com todos os pontos da
amostra? Caso a resposta seja afirmativa, obtenha P  x  e analise seus possíveis graus.
17
Atividade Aplicada 3
Atividade:
Obtenção de polinômio interpolador, integração numérica e minimização de erros.
Proposta:
Otimizar valores a partir de dados discretos utilizando a interpolação como modelo auxiliar
para a aplicação de Cálculo Diferencial Integral e também de Métodos Numéricos.
Objetivo:

Aplicar um modelo de interpolação em uma amostra, utilizando-o como suporte para
obtenção de resultados almejados.
QUESTÃO:
A função f, representada graficamente abaixo (Gráfico 1), descreve uma curva polinomial de
grau 3 e evidencia três de seus pontos conhecidos A(0; 4), B(1; 2) e C(4; 5).
Gráfico 1
Sabendo-se que um polinômio de grau 3 tem a forma canônica p  x   ax 3  bx 2  cx  d , com
a  0 , faça o que se pede.
Dados:

4
4
0
0
 f  x  dx  
Pn  x  dx , tal que Pn  x  é o polinômio interpolador de grau n de f  x 
no intervalo x   0, 4  ;

A área de um trapézio é dada por A 
 base maior  base menor 
2
 alutra .
a) Determine p  x   f  x  .
b) Calcule a integral
4
 f  x  dx .
0
c) Calcule a medida da área delimitada pelo polígono cujos vértices são os pontos A, B, C,
D(4; 0) e E(0; 0) (Gráfico 2). Compare o resultado obtido com o resultado da integral do
item b.
18
Gráfico 2
d) Obtenha f  2  e calcule a medida da área delimitada pelo polígono cujos vértices são os
pontos A, B, C, P  2; f  2   , D e E (Gráfico 3). Compare o resultado obtido com o
resultado da integral do item b.
Gráfico 3
e) Obtenha f  3 e calcule a medida da área delimitada pelo polígono cujos vértices são os
pontos A, B, C, P , Q  3; f  3  , D e E (Gráfico 4). Compare o resultado obtido com o
resultado da integral do item b.
Gráfico 4
f) Se possível, obtenha mais valores desconhecidos da função f no intervalo 0  x  4 ,
aumentando assim o número de pontos conhecidos da função e, em seguida, obtenha a
área do polígono cujos vértices são formados pelos pontos conhecidos da função e os
pontos D e E. Compare sempre os resultados obtidos com a integral do item b.
19
Atividade Aplicada 4
Atividade:
Ajuste de função e interpolação polinomial.
Proposta:
Utilização do método de Lagrange para interpolação polinomial e ajuste de curvas como
aproximação de funções.
Objetivos:
 Verificar as inviabilidades de interpolação polinomiais diante de grandes variações
oscilatórias;
 Analisar e minimizar erros cometidos a partir da aproximação de funções.
QUESTÃO:
A velocidade de um móvel foi registrada em intervalos com variação de 5 minutos em um
período de 45 minutos.
t: tempo (min)
v: velocidade
(km/min)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
1,5
1,7
1,75
2,0
1,8
1,75
1,6
1,66
1,6
a) A representação gráfica dos pares ordenados sugere uma tendência linear ou não linear?
Justifique.
b) Analise os ajustes polinomiais de grau 1 à grau 9.
Numérico (VCN).
Use o software Visual Cálculo
c) Obtenha, por interpolação polinomial de Lagrange, uma estimativa da velocidade do
móvel aos 7 minutos, primeiro através de um polinômio de maior grau possível e,
segundo, através de um polinômio de grau dois que seja coincidente com três registros
próximos dos 7 minutos. Compare os resultados obtidos, confrontando-os graficamente e
numericamente.
d) Obtenha, por interpolação polinomial de Lagrange, uma estimativa da velocidade do
móvel aos 18 minutos, primeiro através de um polinômio de maior grau possível e,
segundo, através de um polinômio de grau dois que seja coincidente com os três registros
mais próximos dos 18 minutos. Compare os resultados obtidos, confrontando-os
graficamente e numericamente.
e) Repita o processo para uma estimativa de velocidade aos 43 minutos.
20
Atividade Aplicada 5
Atividade:
Ajuste de curvas e interpolação polinomial.
Proposta:
Aplicar conceitos de ajuste de curvas e interpolação de dados diante de processos numéricos
com visualização gráfica. Estimar o momento de tendência de um crescimento logístico a
partir de um ajuste linear.
Objetivos:

Confirmar o ajuste como tendência de comportamento e também com aproximação de
funções;

Interpretar o comportamento de polinômios ajustados de grau superior ao linear;

Analisar o comportamento do polinômio interpolador entre pontos consecutivos da
amostra;

Priorizar ajuste e/ou interpolação diante de valores discretos.
QUESTÃO:
O volume de bactérias, em unidade v de volume, existente em uma cultura após t horas está
apresentado na tabela abaixo, tabela esta obtida a partir de experiência em laboratório em um
período de nove horas.
T (horas)
v
(volume
bactérias)
de
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
32
47
65
92
132
148
158
166
172
175
a) Represente a amostra em um sistema cartesiano.
b) Aplique os ajustes polinomiais necessários para definir uma tendência de crescimento
populacional.
c) Diante da mesma amostra registrada e informada anteriormente durante as quatro
primeiras horas de experimento, a interpolação polinomial pode ser considerada como
método plausível para uma extrapolação ou até mesmo com tendência, mesmo
desconsiderando condições fenomenológicas?
d) Considerando que a população tenha atingido um volume que não assumirá grandes
oscilações a partir das 9 horas de experimento, estime o momento em que a população
tenderá a se estabilizar. Para isso utilize ajuste linear de pontos obtidos a partir de dados
extraídos de variação média entre pontos consecutivos:

 t
  tk  tk 1
, v  xk 1   v  xk   .
 , v   
 2
  2

t / 2
0,5
v
15
21
Atividade Aplicada 6
Atividade:
Ajuste de função segundo equação modelo de crescimento logístico.
Proposta:
Resgatar, da atividade anterior, resultados plausíveis obtidos a partir das interpolações
polinomiais e ajuste, aplicando-os de forma a obter os parâmetros necessários da curva
logística que melhor se adapte à respectiva amostra de dados.
Objetivos:

Confirmar o ajuste como tendência de comportamento e também com aproximação de
funções;

Interpretar o comportamento de uma amostra que sugere um crescimento populacional e
adaptá-la ao modelo de crescimento logístico de Verhulst.
QUESTÃO:
Volume V de bactérias
Na Atividade 5, item a, você percebeu que o gráfico que descrevia o aumento do volume V de
bactérias ao longo do tempo t, apresentava uma configuração que se aproximava do modelo:
Tempo t (horas)
Este exemplo mostra a forma geral como cresce uma população de seres vivos (pessoas,
animais, plantas), isto é, uma população cresce muito em seus estágios iniciais, mas com o
tempo tende a se estabilizar (a taxa de crescimento tende a zero), se aproxima de um valor
chamado valor suporte, pois os próprios recursos materiais (alimento, espaço, acessibilidade,
etc.) são limitados e impedem um crescimento ilimitado infinito. Neste contexto da Atividade
5, item d, você montou uma tabela especial, que lhe permitiu ver que ao longo das horas as
diferenças entre os volumes de bactérias tenderam a ser cada vez menores. Você, certamente,
concluiu que o volume de bactérias tenderá a se estabilizar quando a diferença V for zero.
Isto lhe permitiu usar ajuste linear e estimar o tempo t para um valor suporte da população.
Pede-se:
1. Qual a equação obtida com o ajuste linear na questão 5 item d e qual o valor encontrado
de t para a população suporte?
2. Agora substitua o valor encontrado de t no polinômio que você achou (julgou) mais viável
22
no item b da Atividade 5 e calcule o volume de bactérias. Ele será o volume suporte de
bactérias? Por que?
3. O matemático Verhulst3 (Matemático e doutor na teoria dos números da Universidade de
Gante em 1825, Bruxelas, Bélgica) estabeleceu uma equação como modelo deste tipo de
crescimento populacional:
P t  
k  P0
,
P0   k  P0  e  at
onde:
P (t) : população no momento t;
k : população suporte
P0 : população no início do experimento;
e : número de Euler;
a : taxa de crescimento intrínseca;
t : momento.
Use o 2º ponto da tabela (t =1, V = 47) e calcule o valor de a na equação acima. Reescreva
a equação e faça sua representação gráfica.
4. Use a equação do item 3 e o VCN para gerar uma tabela que possa ser comparada com a
tabela da Atividade 5.
5. Comente a tabela encontrada no item 4, comparativamente com a original.
3
Seu modelo de crescimento populacional, proposto em 1838, é baseado na avaliação de estatísticas disponíveis
e complementa a teoria do crescimento exponencial com termos representando os fatores de inibição do
crescimento. Após uma posterior elaboração foi publicada num trabalho de 1845. Desde os anos 1970 do século
XX a equação logística tem recebido grande atenção como exemplo importante da teoria do caos. Verhulst
publicou em 1838 a equação logística.
23
Atividade Complementar 1
Atividade:
Interpolação polinomial e cálculo de raízes
Proposta:
Utilização de um modelo de função aproximada, talvez neste caso um polinômio interpolador,
para obtenção do cálculo de raízes.
Objetivo:
 Mostrar necessária a obtenção de um modelo de função aproximada antecedendo o cálculo
aplicado exigido na situação problema.
QUESTÃO:
Certo experimento em laboratório, registrou a variação de temperatura em um período de 04
(quatro horas). De hora em hora, a partir do início da experiência, foram feitas leituras dessa
temperatura. Sabe-se que tal variação aconteceu segundo informação gráfica abaixo, cujo
comportamento se aproxima de uma curva polinomial de grau três, parcialmente representada
e ilustrada no gráfico abaixo.
Pede-se:
Use precisão de 10-2 para a obtenção do resultado e o número mínimo de casas decimais
após a vírgula para os cálculos.
a) Determinar o momento, hora, minutos e segundos, em que a temperatura atingiu, pela
primeira, vez 8 ºC (oito graus Celsius)?
b) Determinar o momento, hora, minutos e segundos, em que a temperatura se anula depois
do início do experimento?
24
Atividade Complementar 2
Atividade:
Ajuste polinomial de funções com análise dos resíduos.
Proposta:
Obtenção de modelos de ajuste polinomiais em uma amostra e análise de erros e resíduos
resultantes dos respectivos ajustes.
Objetivos:
 Iterações, a partir de software de aplicável, de diferentes graus de curvas polinomiais em
torno de uma amostra de pontos discretos;
 Construir o conceito visual dos erros e resíduos resultantes de ajustes diante dos pontos da
amostra, confrontando-os com resultados numéricos obtidos por ajustes.
 Análise acerca do melhor grau do polinômio ajustado.
QUESTÃO:
Considere a amostra entre duas grandezas, tais que y é função de x:
0,1
0,2
0,3
0,4
x
2,450
3,450
4,500
3,800
y
0,5
2,000
Utilize o software Visual Cálculo Numérico (VCN) para efetuar as atividades seguintes;
1. Trabalhe o software VCN com aproximação de quatro casas após a vírgula.
Abra o aplicativo → Utilitários → Precisão do Número em Casas Decimais → Aplica → Fecha
2. Faça cada um dos respectivos ajustes polinomiais, utilizando os cinco pontos da amostra;
Ajustes de curvas → Ajuste Polinomial
a) Faça o ajuste polinomial de grau 1, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>).
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra:
Para x  0,1
y  x
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Para x  0, 2
y  x
Soma
dos
resíduos
Para x  0,3
y  x
Para x  0, 4
y  x
Para x  0,5
y  x
25
b) Faça o ajuste polinomial de grau 2, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>).
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra:
Para x  0,1
y  x
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Para x  0, 2
y  x
Para x  0,3
y  x
Para x  0, 4
y  x
Para x  0,5
y  x
c) Faça o ajuste polinomial de grau 3, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>).
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra:
Para x  0,1
y  x
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Para x  0, 2
y  x
Para x  0,3
y  x
Para x  0, 4
y  x
Para x  0,5
y  x
26
d) Faça o ajuste polinomial de grau 4, em seguida plote seu gráfico (Comando: Gráfico >>).
Registre e faça a análise para cada valor de x da amostra:
Para x  0,1
y  x
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Valor
calculado
Erro
Resíduo
Soma
dos
resíduos
Para x  0, 2
y  x
Para x  0,3
y  x
Para x  0, 4
y  x
Para x  0,5
y  x
27
Atividade Complementar 3
Atividade:
Otimização de valores de uma amostra de dados discretos.
Proposta:
Utilização de um modelo de uma função polinomial, necessário à otimização de valores.
Objetivo:
 Permitir ao estudante perceber que, diante de uma amostra de dados discretos, torna-se
viável a obtenção de um modelo matemático que traduza, de forma mais fiel possível, o
comportamento dos dados no respectivo intervalo, tornando esse modelo instrumento para
estimativas confiáveis.
QUESTÃO: (STEWART, 2011, v.1, Adaptado)
Em 7 de maio de 1992, o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49. A tabela
a seguir fornece os dados da velocidade do ônibus entre o lançamento e a ejeção dos foguetes
auxiliares.
Tempo (s)
Velocidade (m/s)
0
0
Começo da manobra de inclinação
10
56,4
Fim da manobra de inclinação
15
97,2
Regulador de combustível a 89%
20
136,2
Regulador de combustível a 67%
32
226,2
Regulador de combustível a 104%
59
403,9
Pressão dinâmica máxima
62
440,4
125
1 265,2
Evento
Lançamento
Separação do foguete auxiliar
a) Use uma calculadora gráfica ou computador para encontrar o polinômio cúbico que
melhor modele a velocidade do ônibus para o intervalo de tempo t   0,125 . Faça então o
gráfico desse polinômio.
b) Estime a velocidade do ônibus aos 25 segundos e também a 1 minuto do lançamento.
c) Encontre um modelo para a aceleração do ônibus e use-o para estimar os valores, máximo
e mínimo, da aceleração durante aos primeiros 125 segundos.
28
REFERÊNCIAS
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software. São Paulo: Thomson, 2008.
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Harbra, 1987.
BASSANEZI, Rodney C. Ensino Aprendizagem com Modelagem Matemática. São Paulo:
Contexto Editora, 2011.
BURAK, Dionísoi. Modelagem Matemática e a Sala de Aula. In: I EPMEM -Encontro
Paranaense da Modelagem Na Educação Matemática., 2004, Londrina, PR. Anais do I
EPMEM, 2004.
BURDEN, Richard L.; FARIES, J. Douglas. Análise Numérica: Tradução da 8ª edição
norte-americana. 8. ed. São Paulo: Gengage Learning, 2008.
CAMPOS, Frederico Ferreira. Algorítmos Numéricos. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
CAMPOS, Rui J. A.. Cálculo Numérico Básico. São Paulo: Atlas, 1978.
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McGraw-Hill, 2008.
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<http://www.geogebra.im-uff.mat.br/>. Acesso em: 15 ago. 2013.
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GILAT, Amos; SUBRAMANIAN, Vish. Métodos Numéricos para Engenheiros e
Cientistas. São Paulo: Bookman, 2008.
GOMEZ, Claude. Engineering and scientific computing: with Scilab. Boston, Mass:
Birkhauser, 1999.
LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo. 8 ed. São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
NOVAES, Diva Valério; QUEIROZ Cileda de; COUTINHO, Silva. Estatística para
Educação: Profissional e Tecnológico. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2013.
PUGA, Leila Zardo; TÁRCIA, José Henrique Mendes; PAZ, Álvaro Puga. Cálculo
Numérico. São Paulo: LCTE Editora, 2009.
29
RUGGIERO, Márcia A. Gomes; LOPES, Vera Lúcia da Rocha.
Aspectos Computacionais. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1996.
Cálculo Numérico:
RURIAN, Reinaldo; LIMA, Antônio Carlos de; JÚNIOR, Annibal Hetem. Cálculo
Numérico. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
SPERANDIO, Décio; MENDES, João Teixeira; SILVA, Luiz Henry M.. Cálculo Numérico:
Características matemáticas e computacionais dos métodos numéricos. São Paulo: Pearson,
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STARK, Peter A.. Introdução aos Métodos Numéricos. Rio de Janeiro: Interciência, 1984.
STEWART, James. Cálculo: tradução da 6ª edição norte-americana. 6. ed. São Paulo:
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WIKIPÉDIA. A enciclopédia livre. Pierre François Verhulst. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre_Fran%C3%A7ois_Verhulst>. Acesso em: 20 jan. 2014.
30
ANEXO A – CD Aplicativo do Box CalcX (Scilab)