15/04/2014
AGRONEGÓCIO - TURMA 3º A
UNIDADE 4
Conteúdo: Geometria Analítica
(Retas paralelas e perpendiculares, Distância entre ponto e reta)
Duração: 10 40’
09/04/14
r // s ↔ tgα = mr = ms
Posições relativas as retas
No caso das retas r e s serem verticais,
evidentemente r // s, embora não existem os
coeficientes angulares.
r // s, não existe mr e ms
Posições relativas as retas
Exemplos
Ex2:
Determine a posição relativa entre as retas r
e s de equações r: y=x – 2 e s: 6x – 2y+5=0.
Na reta r, como a equação já está na forma
reduzida, temos mr=1
Na reta s, vamos reduzir a equação:
6x – 2y+5=0 → – 2y = – 6x – 5 → y = 3x + 5/2
Então ms=3.
Se mr ≠ ms, as retas não são paralelas.
Geometria Analítica: Paralelismo
André Luiz
Geometria Analítica: Paralelismo
Geometria Analítica: Paralelismo
Geometria Analítica: Paralelismo
Matemática –Geometria Analítica
Geometria Analítica: Paralelismo
MATEMÁTICA
Posições relativas as retas
Dizemos que duas retas são paralelas quando
não apresenta pontos em comuns. Em outras
palavras, ambas formam com o eixo das
abscissas ângulos iguais, ou seja, mr=ms,
sendo r: ax +by=c e s: kx+wy=z.
Posições relativas as retas
Exemplos
Ex1:
Determine a posição relativa entre as retas r
e s de equações r: y=3x – 2 e s: 6x – 2y+5=0.
Na reta r, como a equação já está na forma
reduzida, temos mr=3
Na reta s, vamos reduzir a equação:
6x – 2y+5=0 → – 2y = – 6x – 5 → y = 3x + 5/2
Então ms=3.
Se mr = ms, as retas são paralelas!
Posições relativas as retas
Se as retas no ex2 não são paralelas, elas
podem ser o quê?
 concorrentes
Qdo possuem coeficientes angulares
distintos e não inversos. No caso do ex2 as
retas são concorrentes!

Perpendicular
Qdo o produto entre os coeficientes
angulares é igual a – 1.
1
Posições relativas as retas
Duas retas são perpendicular entre si, se
somente se, o produto entre os coeficientes
angular for igual a – 1. Também pode-se
representar: mr: - 1/ ms ou ms=-1/mr.
Exemplos
Ex2: As retas r: 2x – 4y+5=0 e s: y= – 2x + 3
Observe os coef. angular de mr=1/2 e de
ms=-2.
Neste caso as retas são perpendiculares, pois
mr.ms=-1.
Exemplos
01-Seja a reta r: y – 2x = – 1 . Obter a equação
de uma reta s paralela à reta r que passa pelo
ponto P(1,4).
Geometria Analítica: Perpendicularidade
Geometria Analítica: Perpendicularidade
Posições relativas as retas
Voltando ao exemplo 1, observamos que as
retas r e s são paralelas, uma vez que mr = ms.
Porém podemos dizer, em alguns casos, que
as retas podem ser (paralelas) coincidentes.
Veja:
Observe a equação geral das retas r e s:
r: 3x – y +7=0 e s: 6x – 2y +14=0
Nota que os coeficientes da reta r e da reta s
possui uma proporcionalidade entre os
coeficientes. Então r e s são coincidentes!
No ex1, as retas são paralelas, porém não
são coincidentes.
Geometria Analítica: Posições relativas as retas
Geometria Analítica: Posições relativas as retas
Geometria Analítica: Perpendicularidade
Geometria Analítica: Paralelismo
15/04/2014
Posições relativas as retas
Duas retas são perpendicular entre si quando
o produto entre os seus coeficientes angular
for igual a – 1. Também pode-se representar:
mr: - 1/ ms ou ms=-1/mr.
Exemplos
Ex1: As retas r: y=3x e s: y=(1/3) x + 5.
Observe os coef. angular de mr=3 e de ms=1/3.
Neste caso as retas não paralelas ( mr≠ms) e
também não perpendiculares (pois mr.ms ≠ 1). As retas r e s são concorrentes!
Posições relativas as retas
OBS: O exemplo a seguir mostra duas retas
perpendiculares, porém não podemos afirmar
que o produto entre os coeficientes é igual a
–1
Ex: As retas r: x – 3 =0 e s: y + 2 =0 são
perpendiculares, pois r é vertical e s é
horizontal. No entanto, a relação mr.ms= - 1
não pode ser aplicada, pois não se define mr
Exemplos
02-Para que valores reais de K as retas
r:3x – 2y + 5 =0 e s: kx – y + 1=0 sejam:
a) paralelas?
b) perpendiculares?
c) concorrentes?
2
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
A distância de um ponto a uma reta é a
medida do segmento perpendicular que liga o
ponto à reta.
O ponto B é chamado de
projeção Ortogonal de A
sobre a reta r.
Em geral, indica a distância entre um ponto P e
uma reta r, utilizando a nomeclatura d(P,r)
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Podemos generalizar o procedimento
apresentado
para determinar a distância
entre o ponto P e a reta r, aplicando a
expressão:
4
3
2
1
P
1
2
3 4 5
Em que:
xp e yp são as coordenadas do ponto;
E os valores de a, b, c são os coeficientes
da equação da reta na sua forma normal
Geometria Analítica: Posições relativas as retas
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Exemplos
03- Os pontos M, N, P e Q são os vértices do
paralelogramo situado no primeiro quadrante.
Sendo M(3,5), N(1,2) e P(5,1) . Determine as
retas suportes dos lados desse paralelogramo,
e as coordenadas do ponto Q.
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Geometria Analítica: Posições relativas as retas
15/04/2014
Exemplos
04- Determinar a equação da reta s,
perpendicular a r: y= 3x + 1, traçada pelo
ponto P(4,0)
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA
Obtendo a analiticamente a distância entre o
ponto P(2,3) e a reta r: x + 2y – 2 =0.
4
3
2
1
P
1
2
3 4 5
Exemplos
Questão do trabalho (aplicado em 31/03)
No plano cartesiano, os vértices de um
triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4).
a) Obtenha a medida da altura do triângulo,
que passa por A.
b) Sabe-se que a reta que representa altura
que passa pelo ponto A é ortogonal ao
segmento . O ponto de interseção da altura
com o segmento é representado pelo ponto
H. Nessas condições determine a medida do
segmento BH e HC.
3
01- Os vértices de um triângulo são:
A(-4,1) ; B(-3,3) e C(3,-3). Determine
a distância entre o ponto A e a reta
que passa pelos pontos B e C.
03- A distância do ponto (2; m) à rera
x – y=0 é √8. Determine o valor de m.
Geometria Analítica: Ponto e Reta
LISTA DE EXERCÍCIOS
02-Determine a para que a distância do ponto
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Exemplos
Os vértices de um triângulo ABC são A(-2, -4),
B(1, -2) e C(2,5). Determine a medida da
altura relativa ao lado AB.
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Geometria Analítica: Ponto e Reta
Geometria Analítica: Ponto e Reta
15/04/2014
P(a,a-1) à reta de equação 3x + 4y –2 = 0 seja
igual a 3
a-( ) 3 e -9/7
b-( ) 2 e -3/5
c-( ) 5/6 e 3/5
d-( ) 1/3 e -2/5
04- Determinar a posição relativa as
seguintes retas:
I-
IIIII-
4
Geometria Analítica: Ponto e Reta
15/04/2014
05- Determinar y para que os pontos
A(3,5), B(-3,8) e C(4,y) sejam
colineares.
5