Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Prof. João Dirceu N. Carvalho
Agosto/2002
Critério de avaliação:
1)
Ao longo do ano serão atribuídas quatro notas bimestrais:
•
•
•
•
MB1 - Média bimestral 01
MB2 - Média bimestral 02
MB3 - Média bimestral 03
MB4 – Média bimestral. 04
•
Média das Notas Bimestral: MNB = ¼ (MB1 + MB2 + MB3 + MB4)
- Prova 01
- (0,8 x Prova 02) + (0,2 x Projeto 01)
- Prova 03
- (0,8 x Prova 04) + (0,2 x Projeto 02)
Obs. Os projetos deverão ser entregues completos para a avaliação. A primeira parte refere-se
a lajes e a segunda a vigas.
2)
As Provas serão com consulta exclusivamente às apostilas de notas de aula. Não será
permitido consulta a qualquer outro tipo de material.
Prova 1
Prova 2
Projeto 1
Data
__/__
__/__
__/__
Nota
Prova 3
Prova 4
Projeto 2
Data
__/__
__/__
__/__
Nota
3) O conteúdo da matéria é simples, porém:
• os tópicos abordados sempre dependem dos anteriores (são seqüenciais), motivo pelo qual
não se deve perder as aulas ou começar um novo assunto com dúvidas do anterior.
• Para agravar, há um elevado número de detalhes de dispositivos de norma, de
detalhamento etc. Se a matéria não for “levada em dia”, no final, complica.
• O projeto será iniciado no meio do primeiro semestre, portanto com tempo mais do que
suficiente para a sua execução. Em princípio são trabalhos individuais, admitindo-se
equipes de no máximo 2 acadêmicos, porém, uma vez formada a equipe para o projeto, no
caso de desistência de um dos componentes, o outro deverá termina-lo individualmente.
Bem vindos ao curso de Estruturas em Concreto I e um bom aproveitamento.
Maringá, Agosto de 2002
Prof. João Dirceu Nogueira Carvalho
A
Sumário
Revisada em agosto/2002
1 Bibliografias e Normas Recomendadas........................................................................1
1.1 Livros Recomendados...........................................................................................1
1.2 ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas............................................1
2 Normas – o que são, para que servem. .........................................................................4
2.1 O que é normalização............................................................................................4
2.2 Normas..................................................................................................................4
2.2.1 Associações internacionais............................................................................4
2.2.2 Associações nacionais ...................................................................................5
2.3 Normas para setores específicos ...........................................................................5
2.4 Normas internas ou normas de empresa ...............................................................6
2.5 Normalização no Brasil ........................................................................................6
2.5.1 Atual modelo de normalização......................................................................7
2.5.2 Alguns comitês da ABNT: ............................................................................7
2.6 Tipos de Normas elaboradas pela ABNT .............................................................8
2.6.1 Procedimento.................................................................................................8
2.6.2 Especificação.................................................................................................8
2.6.3 Padronização .................................................................................................8
2.6.4 Simbologia ....................................................................................................8
2.6.5 Terminologia .................................................................................................8
2.6.6 Classificação..................................................................................................9
2.6.7 Método de ensaio ..........................................................................................9
2.7 Utilização de normas de outros países..................................................................9
2.8 Atuais objetivos da normalização .........................................................................9
2.8.1 Simplificação...............................................................................................10
2.8.2 Comunicação...............................................................................................10
2.8.3 Economia global..........................................................................................11
2.8.4 Segurança ....................................................................................................11
2.8.5 Interesse do consumidor..............................................................................12
B
2.9 A ABNT..............................................................................................................12
3 Sistema Internacional de Unidades ............................................................................13
3.1 Histórico .............................................................................................................13
3.2 Unidades Derivadas ............................................................................................13
3.2.1 Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base ...................14
3.2.2 Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais.................................14
3.2.3 Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais .............14
3.3 Unidades Suplementares.....................................................................................14
3.4 Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI...........................................14
3.5 Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional.........................................15
4 Notação.......................................................................................................................16
NBR 6118 – item 2.3 Notações.....................................................................................16
5 Solicitações.................................................................................................................21
5.1 Definições da NBR 6118....................................................................................21
6 Estruturas de Concreto Armado .................................................................................29
6.1 Introdução ...........................................................................................................29
6.1.1 Estruturas de Concreto Armado..................................................................29
6.1.2 O Projeto Estrutural ....................................................................................32
6.1.3 O Anteprojeto..............................................................................................32
6.1.4 O Projeto .....................................................................................................33
6.1.5 A Apresentação do Projeto - NBR 7191 e NBR 5984................................34
7 LAJES ........................................................................................................................41
7.1 Introdução ...........................................................................................................41
7.2 Classificação .......................................................................................................41
7.3 Lajes Armadas em Duas Direções......................................................................42
7.3.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas.............................................42
7.3.2 Determinação dos Momentos Fletores........................................................45
7.3.2.1 Processo de Marcus ....................................................................................... 45
7.3.3 Determinação das Reações de Apoio..........................................................49
7.4 Lajes Armadas em Uma Direção........................................................................55
7.4.1 Determinação dos esforços .........................................................................56
7.5 A altura e a altura útil .........................................................................................58
7.6 Proteção da Armadura ........................................................................................60
7.7 Altura Útil e Espessuras Mínimas ......................................................................64
C
7.8 Carga de paredes. Cargas não uniformemente distribuídas................................69
7.8.1 Lajes Armadas em uma direção ..................................................................69
7.8.2 Lajes Armadas em duas direções ................................................................73
7.9 Vão teórico de lajes - (NBR-6118-item 3.3.2.3.) ...............................................73
7.10 Extensão e qualidade dos apoios. .....................................................................73
7.11 Abertura em lajes - NBR 6118 - item 6.2.1. .....................................................73
7.12 Canalizações embutidas ....................................................................................74
7.13 Apoios sobre alvenaria - NBR-6118 - item 6.1.1.2. .........................................74
8 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. ............................................75
8.1 Dispositivos auxiliares de cálculo.......................................................................75
8.2 Determinação dos esforços. ................................................................................76
8.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados) ..........................82
8.2.2 Compensação dos momentos fletores .........................................................83
8.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................84
8.3.1 Distribuição das armaduras de flexão .........................................................85
8.3.1.1 Armaduras Positivas....................................................................................... 85
8.3.1.2 Armaduras negativas. ..................................................................................... 85
8.3.1.3 Observações complementares: ....................................................................... 86
8.3.1.4 diâmetro das barras - NBR 6118 - 6.3.1.1 Lajes ............................................ 88
8.3.1.5 Espaçamento das barras - NBR 6118 - 6.3.2..................................................88
9 Detalhes de Formas e armação de lajes......................................................................89
10 Um pouco sobre a patologia das lajes ......................................................................91
11 Anexo 1 - Tabela de ferros .......................................................................................93
12 Anexo 2 - Tabela de Ferros - Armaduras usuais em edifícios .................................94
13 Anexo 3 - Momentos de Engastamento Perfeito......................................................96
Estruturas em Concreto I
1 Bibliografias e Normas Recomendadas
1.1 Livros Recomendados
Nilo de Andrade Amaral
Pericles Brasiliense Fusco
Fritz Leonhardt - E. Monnig
Jimenez P. Montoya - Meseguer
Walter Pfeil
Adolpho Polillo
Aderson Moreira da Rocha
Lauro Modesto dos Santos
Marcelo da Cunha Moraes
José Carlos Sussekind
Construções de Concreto - Volumes 1 e 2
Fundamentos do Projeto Estrutural
Fundamentos da Técnica de Armar
Estr. de Concreto - Solicitações Normais
Construções de Concreto - Vol. 1 a 6
Hormigon Armado - Vol. 1 e 2
Concreto Armado - Dimensionamento
Dimensionamento de Concreto Armado
Curso de Concreto Armado
Calculo de Concreto Armado
Concreto Armado
Curso de Concreto - Volumes 1 e 2
1.2 ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas
NBR 6118
NBR 6119
NBR 6120
NBR 7191
NBR 7480
NBR 7481
NBR 7808
NBR 5984
Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado
Calculo e Execução de Lajes Mistas
Cargas Para o Calculo de Estruturas de Edifícios
Execução de Desenhos para Obras de Concreto Armado
Barras e Fios de Aço Destinadas a Armaduras de Concreto
Armado
Tela de Aço Soldado Para Armadura de Concreto
Símbolos Gráficos para Projetos de Estrutura
Norma Geral de Desenho Técnico
1
2
DEC - CTC - UEM
Outras normas da ABNT – Estruturas e concreto
NBRBarra para Concreto Armado - Verificação de Emenda Metálicas.
NBR-05627 Exigências Particulares das Obras de Concreto Armado e Protendido
em Relação à Resistência ao Fogo.
NBR-05628 Componente Construtivo Estrutural-Determinação da Resistência ao
Fogo.
NBR-05672 Diretrizes para o Controle Tecnológico de Materiais Destinados a
Estruturas de Concreto.
NBR-05673 Diretrizes para o Controle Tecnológico de Processos executivos em
Estruturas de Concreto.
NBR-05738 Moldagem e Cura de Corpos-de-prova de Concreto Cilíndricos ou
Prismáticos.
NBR-05739 Ensaio de Compressão de Corpos-de-prova Cilíndricos de Concreto.
NBR-05750 Amostragem de Concreto Fresco Produzido por Betoneiras
Estacionárias.
NBR-07187 Projeto e Execução de Pontes de Concreto Armado e Protendido.
NBR-07188 Carga Móvel em Ponte Rodoviária e Passarela de Pedestres. NB-06
NBR-07189 Cargas Móveis para Projeto Estrutural de Obras Ferroviárias.
NBR-07197 Projeto de Estruturas de Concreto Protendido.
NBR-07212 Execução de Concreto Dosado em Central.
NBR-07223 Concreto - Determinação da Consistência pelo Abatimento do Tronco
de Cone.
NBR-07421 Ponte Viaduto Ferroviário – Fundação - Execução.
NBR-07482 Fios de Aço para Concreto Protendido.
NBR-07483 Cordoalhas de Aço para Concreto Protendido.
NBR-07680 Extração, Preparo, Ensaio e Análise de Testemunhos de Estruturas de
Concreto.
NBR-08045 Concreto - Determinação da Resistência Acelerada à Compressão Método da Água em Ebulição.
NBR-08196 Emprego de Escalas em Desenho Técnico.
NBR-08224 Concreto Endurecido - Determinação da Fluência.
NBR-08522 Concreto - Determinação do Módulo de Deformação Estática e
Diagrama Tensão-deformação.
NBR-08681 Ações e Segurança nas Estruturas.
NBR-08802 Concreto Endurecido - Determinação da Velocidade de Propagação de
Onda Ultra-sónica.
NBR-08953 Concreto para Fins Estruturais - Classificação por Grupos de
Resistência.
NBR-09062 Projeto e Execução de Estruturas de Concreto Pré-Moldado.
NBR-09204 Concreto Endurecido -Determinação da Resistividade Elétrica
Volumétrica.
NBR-09452 Vistorias de Pontes e Viadutos de Concreto.
NBR-09605 Concreto – Reconstituição do Traço de Concreto Fresco.
NBR-09606 Concreto - Determinação da Consistência pelo Espalhamento do
Tronco de Cone.
NBR-09607 Prova de Carga em Estrutura de Concreto Armado e Protendido.
Estruturas em Concreto I
3
NBR-09782 Ações em Estruturas Portuárias, Marítimas ou Fluviais.
NBR-09832 Concreto e Argamassa - Determinação dos Tempos de Pega por Meio
da Resistência a Penetração.
NBR-09833 Concreto Fresco - Determinação da Massa Especifica e do Teor de Ar
pelo Método Gravimétrico.
NBR-10342 Concreto Fresco - Perda de Abatimento.
NBR-10786 Concreto Endurecido -Determinação do Coeficiente de Permeabilidade
à Água.
NBR-10787 Concreto Endurecido- Determinação da Penetração de Água sob
Pressão.
NBR-10788 Execução da Injeção em Concreto Protendido com Aderência
Posterior.
NBR-10789 Execução da Protensão em Concreto Pretendido com Aderência
Posterior.
NBR-10839 Execução de Obras de Arte Especiais em Concreto Armado e Concreto
Pretendido.
NBR-12142 Concreto - Determinação da Resistência à Tração ma Flexão em
Corpos-de-prova Prismáticos - Método de Ensaio.
NBR-12654 Controle Tecnológico de Materiais Componentes do Concreto.
NBR-12655 Preparo, Controle e Recebimento de Concreto - Procedimento.
4
DEC - CTC - UEM
2 Normas – o que são, para que servem.1
Por volta de 1839, o inglês Joseph Whitworth realizou um importante estudo, com o
propósito de padronizar os perfis das roscas de fixação.
Com a introdução da padronização, todos os elementos que compõem uma rosca: o
passo, os raios, a altura e os ângulos do filete passaram a seguir os padrões
estabelecidos por Whitworth.
A padronização proposta por Whitworth logo se tornou conhecida na Inglaterra, sendo
adotada, também, por indústrias de outros países. Desde então, cada país procurou
estabelecer seu próprio padrão de rosca em função de suas unidades de medidas.
2.1 O que é normalização
Normalização são critérios estabelecidos entre as partes interessadas -técnicos,
engenheiros, fabricantes, consumidores e instituições - para padronizar produtos,
simplificar processos produtivos e garantir um produto confiável, que atenda a suas
necessidades.
2.2 Normas
Do processo de normalização, surgem as normas que são documentos que contêm
informações técnicas para uso de fabricantes e consumidores. São elaboradas a partir
da experiência acumulada na indústria e no uso e a partir dos conhecimentos
tecnológicos alcançados.
A partir de 1900, surgem várias associações destinadas à elaboração de normas,
reunindo produtores, consumidores e organismos neutros (instituições de pesquisa,
universidades etc.), reunindo técnicos, engenheiros e fabricantes.
Em 1901, surge na Inglaterra a primeira associação de normalização com o nome de
Comissão de Normas de Engenharia, conhecida, hoje, como BSI - British Standards
Institution (Instituto Britânico de Normalização).
2.2.1 Associações internacionais
As associações internacionais dedicam-se à elaboração de normas que são
consideradas válidas para diversos países do mundo.
Qual a importância dessas normas?
Normas internacionais permitem que diferentes países utilizem a mesma terminologia,
a mesma simbologia, os mesmos padrões e procedimentos para produzir, avaliar e
garantir a qualidade dos produtos.
1
© 1998 A Escola do Futuro da Universidade de São Paulo - A Biblioteca Virtual do
Estudante Brasileiro - http://www.bibvirt.futuro.usp.br
Estruturas em Concreto I
5
Por isso, a adoção das normas internacionais, além de exigir melhor qualificação dos
produtos, aperfeiçoa o sistema de “troca”, em vários mercados mundiais. Uma destas
normas é a ISO.
ISO - International Organization for Standardization.
(Organização Internacional de Normalização) - Fundada em 1946.
A ISO reúne atualmente representantes de mais de cem países, entre eles o Brasil. As
normas da ISO atingem vários setores produtivos, como por exemplo:
mecânica
transporte
construção civil
disjuntores termomagnéticos
agricultura
química
qualidade e meio ambiente
2.2.2 Associações nacionais
As normas elaboradas pelas associações nacionais contam com a colaboração de
técnicos e engenheiros que representam fabricantes, distribuidores, institutos de
pesquisa, entidades profissionais e órgãos do governo. Veja alguns exemplos de
associações nacionais de normalização.
Brasil
Estados Unidos
Alemanha
Japão
Inglaterra
França
Suíça
ABNT
ANSI
Associação Brasileira de Normas Técnicas
American National Standards Institute
(Instituto Nacional Americano de Normalização)
DIN
Deutsches Institut für Normung
(Instituto Alemão para Normalização)
JIS
Japan Industry Standards
(Normas Industriais Japonesas)
BSI
British Standards Institution
(Instituto Britânico de Normalização)
AFNOR Association Française de Normalization
(Associação Francesa de Normalização)
SNV
Schweizerische Normen Vereinigung
(Associação Suíça de Normalização)
2.3 Normas para setores específicos
Além das associações nacionais, existem também associações de normalização que
atuam em áreas específicas do setor produtivo. Algumas das associações mais
importantes são:
DEC - CTC - UEM
6
ASME
ASM
AISI
ASTM
SAE
VSM
American Society of Mechanical Engineers
(Sociedade Americana dos Engenheiros Mecânicos)
American Society for Metals
(Sociedade Americana para Metais)
American Iron and Steel Institute
(Instituto Americano para Aço e Ferro)
American Society for Testing Materials
(Sociedade Americana para Testes de Materiais)
Society of Automotive Engineers
(Sociedade dos Engenheiros de Automóveis)
Societé Suisse des Constructeurs des Machines
(Sociedade Suíça dos Construtores de Máquinas)
2.4 Normas internas ou normas de empresa
Algumas normas são elaboradas pelas próprias empresas. Têm por objetivo orientar a
elaboração de projetos e de seus componentes; a realização dos processos de
fabricação, a organização dos sistemas de compra e venda e outras operações de
interesse da empresa.
Embora de uso interno, as normas de empresa algumas vezes são utilizadas de maneira
mais ampla. As Normas da Petrobrás, por exemplo, além do uso específico pela
empresa, também são seguidas por suas fornecedoras.
2.5 Normalização no Brasil
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas
A ABNT foi fundada em 1940, por iniciativa particular de um grupo de técnicos e
engenheiros, sendo a primeira entidade a disseminar normas técnicas no Brasil. Em
1962, reconhecida como entidade de utilidade pública, pela Lei Federal nº 4050.
Em 1973, foi criado o Sistema Nacional de Metrologia e Qualidade Industrial SINMETRO, pela Lei Federal nº 5966. Os grandes objetivos do SINMETRO são a
defesa do consumidor, a conquista e a manutenção do mercado externo e a
racionalização da produção industrial, com a compatibilidade de todos os interesses.
Fazem parte do SINMETRO o Conselho Nacional de Metrologia, Normalização e
Qualidade Industrial - CONMETRO e o Instituto Nacional de Metrologia,
Normalização e Qualidade Industrial - INMETRO.
Até há bem pouco tempo, as normas elaboradas, aprovadas e registradas na ABNT
recebiam o seguinte registro:2
2
Essas mesmas normas, ao serem registradas no INMETRO, recebiam a sigla NBR. Por
exemplo: a norma Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado era registrada na
ABNT como NB-1, e no INMETRO como NBR 6118.
Estruturas em Concreto I
CB para Normas de Classificação
EB para Normas de Especificação
MB para Normas de Método de Ensaio
7
NB para Normas de Procedimento
PB para Normas de Padronização
SB para Normas de Simbologia
2.5.1 Atual modelo de normalização
O atual modelo de normalização foi implantado a partir de 1992, com o intuito de
descentralizar e agilizar a elaboração de normas técnicas. Nesse ano foram criados o
Comitê Nacional de Normalização - CNN e o Organismo de Normalização Setorial ONS.
Criado a partir de acordo firmado entre a ABNT e o CONMETRO, e com a
colaboração de várias entidades voltadas para a disseminação de normas técnicas, o
CNN busca estruturar todo o sistema de normalização.
O CNN define a ABNT como Foro Nacional de Normalização, entidade privada, sem
fins lucrativos, à qual compete coordenar , orientar e supervisionar o processo de
elaboração de normas brasileiras, bem como elaborar, editar e registrar as referidas
normas (NBR).
Cada ONS tem como objetivo agilizar a produção de normas específicas de seus
setores. Para que os ONS passem a elaborar normas de âmbito nacional, devem ser
credenciados e supervisionados pela própria ABNT.
O atual modelo define, por meio de diretrizes e instruções das associações
internacionais de normalização (ISO e IEC), que as normas brasileiras devem ser
feitas, de preferência, utilizando-se a forma e o conteúdo das normas internacionais,
acrescentando-lhes, quando preciso, as particularidades do mercado nacional.
Com isso, será muito comum que as normas brasileiras sejam registradas como NBR
ISO, com numeração seqüêncial da ISO. Por exemplo, NBR ISO 8402.
A ABNT, no atual modelo, manteve sua estrutura interna em relação aos Comitês
Brasileiros - CB e aos tipos de normas elaboradas (classificação, especificação,
método de ensaio, padronização, procedimento, simbologia e terminologia).
2.5.2 Alguns comitês da ABNT:
CB 02
CB 03
CB 04
CB 06
CB 16
CB 18
CB 19
CB 24
CB 25
CONSTRUÇÃO CIVIL
ELETRICIDADE
MÁQUINAS E EQUIPAMENTOS MECÂNICOS
EQUIPAMENTO E MATERIAL FERROVIÁRIO
TRANSPORTE E TRÁFEGO
CIMENTO, CONCRETO E AGREGADOS
REFRATÁRIOS
SEGURANÇA CONTRA INCÊNDIO
QUALIDADE
DEC - CTC - UEM
8
2.6 Tipos de Normas elaboradas pela ABNT
As Normas elaboradas pela ABNT classificam-se em sete tipos:
•
•
•
•
Procedimento
Especificação
Padronização
Terminologia
•
•
•
Simbologia
Classificação
Método de ensaio
2.6.1 Procedimento
As normas de procedimento orientam a maneira correta de:
empregar materiais e produtos
executar cálculos e projetos
instalar máquinas e equipamentos
realizar o controle dos produtos.
2.6.2 Especificação
As normas relativas à especificação fixam padrões mínimos de qualidade para os
produtos.
2.6.3 Padronização
As normas de padronização fixam formas, dimensões e tipos de produtos, como
porcas, parafusos, rebites, pinos e engrenagens, que são utilizados com muita
freqüência na construção de máquinas, equipamentos e dispositivos mecânicos.
Com a padronização, evita-se a fabricação de produtos com variedades desnecessárias
tanto de formas quanto de dimensões.
2.6.4 Simbologia
As normas de simbologia estabelecem convenções gráficas para conceitos, grandezas,
sistemas, ou parte de sistemas etc., com a finalidade de representar esquemas de
montagem, circuitos, componentes de circuitos, fluxogramas etc.
A Norma NBR 6646, por exemplo, estabelece os símbolos que devem ser aplicados na
identificação dos perfis do aço.
2.6.5 Terminologia
As normas sobre terminologia definem, com precisão, os termos técnicos aplicados a
Estruturas em Concreto I
9
materiais, máquinas, peças e outros artigos.
A Norma NBR 6176, por exemplo, define os termos empregados para identificação
das partes das brocas helicoidais.
2.6.6 Classificação
As normas de classificação têm por finalidade ordenar, distribuir ou sub- dividir
conceitos ou objetos, bem como critérios a serem adotados.
A Norma NBR 8643, por exemplo, classifica os produtos siderúrgicos de aço.
2.6.7 Método de ensaio
As normas relacionadas a métodos de ensaios determinam a maneira de se verificar a
qualidade das matérias-primas e dos produtos manufaturados.
A verificação é feita por meio de ensaios. A norma descreve como eles devem ser
realizados para a obtenção de resultados confiáveis.
Portanto, pode-se concluir que:
os produtos fabricados são submetidos a ensaios para verificar se as suas propriedades
estão de acordo com as especificações desejadas;
as máquinas que realizam os ensaios também são testadas para se obter dados corretos
durante os testes;
as normas orientam a fabricação dos produtos e os ensaios a que são submetidos para
garantir as condições de obtenção de qualidade e eficiência.
2.7 Utilização de normas de outros países
Freqüentemente, indústrias brasileiras e multinacionais adotam as normas norteamericanas ASTM (para teste de materiais), SAE (para automóveis) e AISI (para aço e
ferro) para especificação, classificação e ensaios de materiais.
Quanto à fabricação de máquinas e componentes mecânicos, são bastante difundidas
no Brasil as Normas DIN, da Alemanha.
A ABNT, além de elaborar normas, adota algumas internacionais. Exemplo disso são
as normas da série ISO 9000.
As normas da série ISO 9000 são muito importantes, pois estabelecem diretrizes e
procedimentos para que as empresas possam garantir a qualidade total de seus
produtos e serviços, obtendo, assim, condições de competir no exigente mercado
internacional.
2.8 Atuais objetivos da normalização
Pode-se dizer que a primeira fase da normalização, por volta de 1900 até os anos 80,
concentrou seus esforços na criação de normas que visavam à especificação e à
definição de produtos industriais, agrícolas e outros.
Nessa fase, as normas incluíam itens como formas e tamanhos de barras de aço, perfis
DEC - CTC - UEM
10
e dimensões de parafusos, porcas, mancais e inúmeras outras peças.
Portanto, nesse período, a maior atenção da normalização voltava-se para a
padronização de peças utilizadas na construção de máquinas e equipamentos.
Hoje, as normas, além dos produtos em si, abrangem um universo bem maior de
temas. Esses temas, chamados de teóricos, tratam de questões relativas a
terminologias, glossários de termos técnicos, símbolos, regulamentos de segurança,
entre outros.
O aparecimento de normas específicas para temas dessa natureza é que caracteriza a
segunda fase da normalização.
Tanto no campo industrial quanto na relação entre fabricantes e consumidores, a
Normalização deve cumprir, hoje, objetivos relacionados a:
• simplificação;
• comunicação;
• economia global;
• segurança, saúde e proteção da vida;
• proteção do consumidor e dos interesses da sociedade.
2.8.1 Simplificação
Um dos mais importantes objetivos da normalização refere-se à simplificação, ou seja,
à limitação e redução da fabricação de variedades desnecessárias de um produto.
A fabricação de parafusos e porcas constitui um exemplo clássico do emprego de
normas para simplificação dos processos de produção. As normas permitem que os
fabricantes de parafusos e porcas produzam um grande lote de peças suficientemente
iguais, em tamanho, forma e desempenho. Além disso, a padronização possibilita que
as peças sejam substituídas com maior facilidade e com a mesma eficiência. Essa
característica é denominada intercambiabilidade.
A Norma NBR 6215 é um exemplo de simplificação dos produtos pelo uso de uma
Norma. Ela fixa a terminologia a ser aplicada aos produtos siderúrgicos.
Por seu intermédio, fabricantes e consumidores utilizam uma linguagem comum para
uma série de termos técnicos, evitando confusões nos pedidos, nas especificações e
nos estoques.
2.8.2 Comunicação
A comunicação é fundamental em qualquer atividade do ser humano.
Também nos meios produtivos, a comunicação clara e objetiva é indispensável para
evitar transtornos. Uma das funções das normas é facilitar o processo de comunicação
entre fabricantes, fornecedores e consumidores.
Veja o exemplo: na fabricação de um motor para automóvel, o fabricante do motor
utiliza produtos fornecidos por outras indústrias. O bloco do motor, geralmente, é
encomendado a uma empresa especializada em fundição. Essa encomenda, por sua
Estruturas em Concreto I
11
vez, se baseia num conjunto de normas, tais como:
• dimensões e tolerâncias;
• composição química do material empregado na fabricação do bloco;
• métodos de ensaio para avaliação do produto.
O comércio internacional é outro exemplo do emprego de normas como meio de
comunicação, principalmente nas negociações realizadas entre países de diferentes
idiomas. Por meio de normas, é possível estabelecer uma linguagem comum, usando
símbolos e códigos reconhecidos no mundo inteiro.
Os símbolos recomendados pela Norma ISO são reconhecidos e utilizados
mundialmente, permitindo uma comunicação universal entre fabricantes e
consumidores na aplicação em desenhos técnicos.
Outro exemplo é o da aplicação da simbologia de letras e gráficos recomendados
internacionalmente pela IEC, na área da eletricidade.
Você já viu uma placa de identificação utilizada em motores elétricos? Em qualquer
país, os códigos IEC para motores elétricos possuem o mesmo significado, facilitando
a comunicação entre usuários.
2.8.3 Economia global
Dificilmente um fabricante conseguirá exportar seu produto, se não basear seu sistema
produtivo em normas técnicas internacionais.
Se, numa fase inicial, a implantação de normas exige investimentos por parte do
fabricante, certamente o retorno lhe será garantido, pois racionalizam os
procedimentos de produção e garantem produtos com melhor nível de qualidade.
Um produto com melhor qualidade deixa o cliente satisfeito e, conseqüentemente,
proporciona maior confiabilidade do produto.
2.8.4 Segurança
Diversas normas tem por objetivo proteger a saúde e a vida humana. São as chamadas
normas de segurança.
Tais normas estão à frente de projetos de novos produtos, com o objetivo de dar
segurança aos usuários. Exemplos disso são:
• cinto de segurança para usuários de veículos automotores;
• veículos automotores que não são acionados se o usuário não estiver usando o
cinto corretamente;
• capacete de segurança;
• extintores de incêndio;
• chuveiros elétricos com carcaça isolante;
• fios elétricos envolvidos por camada isolante (anti-chama).
DEC - CTC - UEM
12
Os símbolos apresentados pela Norma NBR 7532 permitem ao usuário
escolher corretamente a classe de extintor para cada tipo de material em
chamas.
Além das Normas de segurança específicas para determinados produtos, existe uma
série de normas que determinam os regulamentos contra incêndios, que devem ser
seguidos na construção de edifícios.
2.8.5 Interesse do consumidor
No relacionamento fabricante-consumidor, o consumidor é a parte que mais se
beneficia dos produtos normalizados.
Quanto maior o número de normas implantadas para se fabricar um produto qualquer,
maior a qualidade do produto e, portanto, maior a confiança do consumidor.
O comércio internacional tem voltado sua atenção para o cliente. É cada vez maior, em
todo o mundo, o número de associações de proteção ao consumidor, que passou a ter
um papel decisivo na competição industrial.
Antes de comprar determinados produtos, os consumidores de vários países têm por
hábito verificar se o produto foi aprovado por alguma associação de normalização.
Essa identificação é possível, pois muitos produtos possuem na embalagem a marca ou
logotipo que identifica se o produto foi fabricado dentro dos padrões definidos por
normas.
No Brasil, essa marca é cedida pelo INMETRO e é conhecida por marca de
certificação de conformidade. O INMETRO, por meio de laboratórios credenciados,
supervisiona o controle de qualidade dos produtos, antes que cheguem ao mercado
consumidor.
2.9 A ABNT
A ABNT é aberta à toda a população. Seus endereços são:
São Paulo - rua Marquês de Itu, 88 - 4 o andar
Rio de Janeiro - av. Treze de Maio, 13 - 28 o andar
Estruturas em Concreto I
13
3 Sistema Internacional de Unidades3
3.1 Histórico
Em 1948 a 9° Conferência Geral de pesos e Medidas (CGM) iniciou estudos para o
estabelecimento de um "Sistema pratico de Medidas a ser adotado por todos os países
signatários da Convenção do Metro"
A 10° CGPM (1954) adotou como unidades de base deste "Sistema Pratico de
Unidades" as unidades das seis grandezas seguintes:
comprimento
massa
tempo
intensidade de corrente elétrica
temperatura termodinâmica
intensidade luminosa
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
candela
m
kg
s
A
K
cd
A 11° CGPM (1960) adotou o nome "Sistema Internacional de Unidades" com
abreviação internacional "SI" e estabeleceu regras para os prefixos, para as unidades
derivadas e as unidades suplementares.
A 14° CGPM (1969) introduziu a "Unidade de Quantidade de Matéria como a sétima
unidade de base do Sistema Internacional de Unidades.
quantidade de matéria
mol
mol
3.2 Unidades Derivadas
As unidades derivadas são constituídas, a partir das unidades de base, por expressões
algébricas. Muitas dentre essas unidades derivadas receberam nome especial e
símbolo particular, que podem ser utilizados por sua vez, para expressar outras
unidades derivadas. A seguir são apresentadas algumas das Unidades Derivadas mais
comuns na engenharia civil.
3
SI - Sistema Internacional de Unidades, Ministério da Indústria e do Comercio, Instituto
Nacional de Pesos e Medidas - 1971, Tradução autorizada pelo Bureau Internacional de
Pesos e Medidas da publicação "Le Systeme International d'Unites"
DEC - CTC - UEM
14
3.2.1 Unidades Derivadas expressas a partir das Unidades de Base
superfície
volume
velocidade
aceleração
massa específica
metro quadrado
metro cúbico
metro por segundo
metro por segundo ao quadrado
quilograma por metro cúbico
m2
m3
m/s
m/s2
kg/m3
3.2.2 Unidades Derivadas possuidoras de nomes especiais
força
pressão
newton
pascal
N
Pa
m kg s-2
m-1 kg s-2
3.2.3 Unidades Derivadas expressas com emprego de nomes especiais
momento de uma força
tensão superficial
metro newton
newton / metro
N.m
N/m
m2 kg s-2
kg s-2
3.3 Unidades Suplementares
As unidades suplementares são aquelas que, a critério do usuário, podem ser
consideradas como unidades de base ou derivadas. Esta categoria comporta apenas
duas unidades: a de ângulo plano e a de ângulo sólido.
angulo plano
radiano
rad
3.4 Múltiplos e submúltiplos decimais das unidades SI
1012
109
106
103
102
101
tera
giga
mega
quilo
hecto
deca
T
G
M
k
h
da
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
deci
centi
mili
micro
nano
pico
d
c
m
µ
n
p
Estruturas em Concreto I
15
3.5 Unidades não pertencentes ao Sistema Internacional
minuto
hora
dia
grau
minuto
segundo
litro
tonelada
(em uso com o Sistema Internacional)
min 1 min
= 60 s
h
1h
= 60 min
= 3600 s
d
1d
= 24 h
= 86400 s
= ( π/180 ) rad
1°
°
'
1'
= (1/60)°
= ( π/10800) rad
"
1"
= (1/60)'
= ( π/648000 ) rad
3
= 10-3 m3
= 1 dm
A
1A
t
1t
= 103 kg
No Brasil o sistema de unidades MKS (metro, kilograma-força, segundo) foi
reconhecido como sistema oficial até que, devido a acordos internacionais, adotou-se o
Sistema Internacional de Unidades SI. O sistema MKS poderá continuar a ser
empregado, porem, transitoriamente.
A diferença principal entre estes sistemas, se dá nas grandezas que empregam a
unidade de medida Força. Enquanto no sistema MKS denomina-se quilograma-força
(kgf) ou quiloponde (kp) a força que produz, na massa de um quilograma, a
aceleração da gravidade (g = 9,8 m/s ), no sistema SI denomina-se Newton (N) a força
que produz, na massa de um quilograma, a aceleração de 1,0 m/s. Desta forma:
1 kgf (kp)
1N
= 9,8 N
= 0,102 kgf (kp)
1 Pa
= 1 N/m2
1 MPa
= 1 N/mm2
2
1 Kgf/cm (bar) = 0,102 MPa
= 0,1 KN/cm2
= 10,2 N/mm2
= 10,2 kgf/cm2 = 1 MN/m2
=
Obs.: usualmente se trabalha com a aceleração da gravidade g = 10,0 m/s
DEC - CTC - UEM
16
4 Notação
A notação a ser utilizada será baseada no item 2.3 da NBR 6118, transcrito a seguir.
NBR 6118 – item 2.3 Notações
As notações adotadas nesta Norma e a usar no que se referir a estruturas de concreto
armado são as aqui indicadas.
Obs. Pode-se usar plica (’) nos símbolos geométricos referentes à região comprimida.
2.3.1 Letras romanas maiúsculas
A
Ac
A'c
Aci
Ah
A0
As
A's
Asw
At
C
E
Ec
ES
F
G
GC
I
M
Md
Meng
Mr
Mu
N
Q
R
Rc
Rt
Rcc
área
área da seção transversal geométrica da peça
área da parte comprimida de Ac
área da seção transversal do núcleo de uma peça cintada encerrado pela
superfície que contém o eixo da barra de cintamento (eixo das barras
externas no caso de cintamento em malha)
área da seção homogeneizada
área da parte carregada de um bloco de apoio
área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada
área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida
área da seção transversal das barras da armadura de cisalhamento
área da seção fictícia da armadura de cintamento (volume da armadura de
cintamento por comprimento da peça)
momento de inércia à torção
módulo de deformação longitudinal
módulo de deformação longitudinal do concreto
módulo de deformação longitudinal do aço
ações
carga permanente
módulo de deformação transversal do concreto
momento de inércia
momento fletor
momento fletor de cálculo
momento fletor num engastamento de viga suposto perfeito
momento fletor de fissuração
momento fletor último (máximo momento fletor que a seção pode resistir)
força normal
carga acidental
reação de apoio, resultante de tensões
resultante das tensões de compressão na seção transversal
resultante das tensões de tração na seção transversal
resultante das tensões de compressão no concreto
Estruturas em Concreto I
Rct
Rsc
Rst
S
T
V
W
17
resultante das tensões de tração no concreto
resultante das tensões de compressão na armadura longitudinal
resultante das tensões de tração na armadura longitudinal
solicitação; momento estático
momento de torção
força cortante
carga do vento
2.3.2 Letras romanas minúsculas
a
b·
bf
bw
c
d
d’
dl
e
f
fc
fcd
fcj
fcjfck
ft
ftd
ftj
ftj
ftk
fv
fyc
fycd
fyck
fyd
fyk
g·
h
hf
i
distância; flecha
largura
largura da mesa das vigas de seção T
largura das vigas de seção retangular ou da nervura das vigas de seção T
cobrimento da armadura (entre as superfícies do concreto e das barras)
diâmetro, distância do ponto de aplicação da resultante das tensões de tração
na armadura longitudinal ao ponto de maior encurtamento de uma seção
transversal de peça fletida, medida normalmente à linha neutra (altura útil)
distancia do ponto de aplicação da resultante das tensões de compressão na
armadura longitudinal ao ponto de maior encurtamento de uma seção
transversal de peça fletida, medida normalmente à linha neutra
diâmetro do núcleo de uma peça cintada, medido no eixo da barra de
cintamento
excentricidade de uma força normal
resistência
resistência à compressão do concreto
resistência de cálculo do concreto à compressão
resistência média do concreto à compressão, prevista para a idade de j dias
resistência média à compressão dos corpos de prova na idade de j dias
(efetiva)
resistência característica do concreto à compressão
resistência à tração do concreto
resistência de cálculo do concreto à tração
resistência média do concreto à tração. prevista para a idade de j dias
resistência média à tração dos corpos de prova na idade de j dias (efetivo)
resistência característica do concreto à tração
resistência de escoamento do aço à tração
resistência de escoamento do aço à compressão
resistência de cálculo do aço à compressão
resistência característica do aço à compressão (valor característico de fyc)
resistência de cálculo do aço à tração
resistência característica do aço à tração (valor característico de fy)
carga permanente uniformemente distribuída
altura total da seção transversal; espessura
espessura da mesa das vigas de seção T
raio de giração
DEC - CTC - UEM
18
j
l
lb
le
l0
m
n
q
r
s
t
u
v
w
x
y
z
número de dias
comprimento; vão teórico
comprimento de ancoragem
comprimento de flambagem
vão livre
momento fletor por unidade de largura
forço normal por unidade de largura; número de objetos
carga acidental uniformemente distribuída
raio; índice de rigidez = I/l
espaçamento; passo do cintamento; desvio padrão
momento de torção por unidade de largura
perímetro
força cortante por unidade de largura
carga de vento distribuída; abertura de fissura
distância da L.N. ao ponto de maior encurtamento, na seção transversal de
uma peça fletida
altura do diagrama retangular de tensões de compressão do concreto, na
seção transversal de uma peça fletida
distância entre Rc e Rt
2.3.3 Letra grega maiúscula
φ
diâmetro da barra de armadura
2.3.4 Letras gregas minúsculas
α
α
β
γ
γm
γc
γs
γf
δ
ε
εc
εcc
εcs
εs
εy
η
ηb
θ
k
ângulo; coeficiente
razão entre Es e Ec
ângulo; coeficiente; razão
peso específico; deformação angular; coeficiente
coeficiente de minoração da resistência dos materiais
coeficiente de mineração da resistência do concreto
coeficiente de minoração da resistência do Aço
coeficiente de segurança
coeficiente de variação
deformação específica
deformação específica do concreto à compressão
deformação lenta específica do concreto
deformação específica do concreto por retração
deformação específica do aço
deformação específica de escoamento do aço
razão; coeficiente
Coef. de conformação superficial das barras da armadura (ηb=1 para barras
lisas)
rotação
coeficiente
Estruturas em Concreto I
λ
µ
ν
ρ
σ
σc
σs
σI
σII
τ
τw
τwd
τwu
τt
τtd
τtu
ϕ
χ
ψ
ω
índice de esbeltez = λe/i
coeficiente de atrito; momento fletor relativo adimensional
coeficiente de Poisson; força normal relativa adimensional
taxa geométrica da armadura
tensão normal
tensão normal de compressão no concreto
tensão normal de tração na armadura
valor absoluto da maior tensão principal de tração (nulo quando não houver
tração)
valor abs. da maior tensão principal de compressão (nulo quando não houver
compressão)
tensão tangencial
tensão convencional de cisalhamento (de referência) na alma da peça = V/bwd
tensão τw de cálculo
valor último de τw
tensão de cisalhamento na torção
tensão τt, de cálculo
valor último de τt
coeficiente de deformação lenta
razão entre ações; fração
coeficiente
taxa mecânica da armadura = fyd/fcd
2.3.5 Índices gerais
b
c
d
e
f
i
i
k
m
r
s
t
u
v
w
y
19
aderência; barra dobrada
concreto; compressão
de cálculo
efetivo; existente ' estribo
ação; mesa da viga de seção T
inicial; núcleo
número de dias
característico
material, médio
fissuração
aço; barra da armadura
tração; torção; transversal
último
cisalhamento
vento; alma das vigas
escoamento
DEC - CTC - UEM
20
2.3.6 Índice das ações e solicitações
a
cc
cs
ep
ex
g
im
Ap
q
te
w
ε
recalque de apoio
deformação lenta do concreto
retração do concreto
pressão de terra
explosão
carga permanente
impacto
pressão de líquido
carga acidental
temperatura
vento
deformações próprias e impostas
2.3.7. índices formados de abreviações
adm
cal
cri
eng
est
exc
exp
ext
inf
int
lat
lim
max
min
sup
tot
var
vig
admissível
calculado
crítico
engastamento
estimado
excepcional
experimental
externo
inferior
interno
lateral
limite
máximo
mínimo
superior
total
variável
viga
Estruturas em Concreto I
21
5 Solicitações
O item 3 da NBR 6118 (NB 1) aborda os esforços solicitantes e a NB 6120 (NB 5) CARGAS PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES NOV/1980 apresenta as cargas a serem utilizadas. A seguir se faz a transcrição dos itens referentes
a este tópico, de ambas a normas, e ao longo do curso, à medida que os assuntos forem
sendo abordados, em lajes, vigas e pilares, serão exemplificados.
5.1 Definições da NBR 6118
4
3 ESFORÇOS SOLICITANTES
3.1 Disposições gerais
3.1.1 Ações a considerar. - No cálculo dos esforços solicitantes deverá ser
considerada a influência das cargas permanentes e acidentais e de todas as ações que
possam produzir esforços importantes. Estas ações serão consideradas de acordo com
as normas e com as condições peculiares a cada obra, aplicando-se à variação de
temperatura, à retração e à deformação lenta o disposto nos itens 3.1.1.4. 3.1.1.5 e
3.1.1.6.
3.1.1.1 Carga permanente. - A carga permanente é constituída pelo peso próprio da
estrutura e por todas as sobrecargas fixas. Na avaliação do peso próprio, admite se o
peso específico de 25 kN/m3 para o concreto armado.
3.1.1.2 Carga acidental. - A carga acidental é constituída pelas cargas fixadas nas
respectivas normas, dispostas na posição mais desfavorável para o elemento estudado,
ressalvado o caso da alínea b) do item 3.2.2.3B. Havendo cargas móveis importantes,
devem ser aplicados os dispositivos da NB 2, no que couber, respeitadas as demais
prescrições da NB 1.
3.1.1.3 Ação do vento. - Será exigida a consideração da ação do vento nas estruturas
em que esta ação possa produzir efeitos estáticos ou dinâmicos importantes e
obrigatoriamente no caso de estruturas com nós deslocáveis, nas quais a altura seja
maior que 4 vezes a largura menor. ou em que, numa dada direção, o número de filas
de pilares seja inferior a 4.
Deverá ser levada em conta a possível influencia desfavorável de construções
próximas à estrutura em exame, que por suas dimensões e forma possam tornar essa
influência considerável.
3.1.1.4 Variação de temperatura. - Supõe-se, para o cálculo, que as variações de
temperatura sejam uniformes na estrutura, salvo quando a desigualdade dessas
variações. entre partes diferentes da estrutura, seja muito acentuada. O coeficiente de
dilatação térmica do concreto armado é considerado igual a 10-5 por grau centígrado,
salvo quando determinado especificamente para o concreto a ser usado.
A variação de temperatura da estrutura, causada pela variação de temperatura da
4
Obs.: A numeração dos itens é a da Norma.
DEC - CTC - UEM
22
atmosfera, depende do local da obra e deverá ser considerada entre, ±10oC e ±15oC em
torno da média. Para peças maciças ou ocas com os espaços vazios inteiramente
fechados, cuja menor dimensão seja maior que 70 cm, admitir-se-á que essa oscilação
seja reduzida respectivamente para ±5oC e ±10oC, para as peças cuja menor dimensão
esteja entre 50 cm a 70 cm será feita interpolação linear entre aqueles valores e estes.
Em peças permanentemente envolvidas por terra ou água e em edifícios que não
tenham em planta, dimensão não interrompida por junta de dilatação maior que 30 m,
será dispensado o cálculo da influência de variação de temperatura
3.1.1.5 Retração - A deformação específica de retração do concreto será considerada
como prescrito na NB-116; para as peças de concreto armado. nos casos correntes, a
deformação específica poderá ser considerada igual a 15 x 10-5, salvo nos arcos e
abóbadas, com menos de 0,5% e 0,1% de armadura, onde esse valor será aumentado
respectivamente para 20 x 10-5 e para 25 x 10-5.
3.1.1.6 Deformação lenta - Quando for necessário levar em conta a deformação lenta
do concreto na determinação dos esforços solicitantes, poderá ela ser considerada
como estipulado na NB-116. Para o cálculo do deslocamento transversal permite-se a
simplificação do item 4.2.3.1B. A consideração da deformação lenta será obrigatória
nos arcos e abóbadas com coeficiente de segurança à flambagem menor que 5.
3.1.1.7 Choques, vibrações e esforços repetidos - Quando a estrutura, pelas suas
condições de uso, for sujeita a choques ou vibrações, deverá sua influência ser levada
em conta na determinação dos esforços solicitantes.
No caso de vibrações, deverá ser verificada a possibilidade de ressonância, com
relação à estrutura ou parte dela. Havendo possibilidade de fadiga deverá esta ser
considerada no cálculo das peças.
3.1.1.8 Influência do processo de construção - Deverão ser considerados os esforços
provenientes do processo de construção previsto no programa de execução, incluindose entre esses esforços os surgidos durante o transporte e a montagem de peças prémoldadas e equivalentes, bem como os que possam aparecer durante a retirada do
escoamento
3.1.1.9 Deslocamento de apoio - Em estruturas sensíveis a deslocamento de apoio
deverá ser levado em consideração o respectivo efeito no cálculo dos esforços
solicitantes.
NBR 6120 - NOV/1980 (NB-5)
CARGAS PARA O CÁLCULO DE ESTRUTURAS DE EDIFICAÇÕES
1 OBJETIVO
1.1 Esta Norma fixa as condições exigíveis para determinação dos valores das cargas
que devem ser consideradas no projeto de estrutura de edificações, qualquer que seja
sua classe e destino, salvo os casos previstos em normas especiais.
Estruturas em Concreto I
23
1.2 Para os efeitos desta Norma, as cargas são classificadas nas seguintes categorias:
a) carga permanente
(g);
b) carga acidental
(q).
2 CONDIÇÕES ESPECÍFICAS
2.1 Carga permanente
2.1.1 Este tipo de carga é constituído pelo peso próprio da estrutura e pelo peso de
todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes.
2.1.2 Quando forem previstas paredes divisórias, cuja posição não esteja definida no
projeto, o cálculo de pisos com suficiente capacidade de distribuição transversal da
carga, quando não for feito por processo exato, pode ser feito admitindo, alem dos
demais carregamentos, uma carga uniformemente distribuída por metro quadrado de
piso não menor que um terço do peso por metro linear de parede pronta, observado o
valor mínimo de 1 kN/m2
Na falta de determinação experimental, deve ser utilizada a Tabela 1 para adotar os
pesos específicos aparentes dos materiais de construção mais freqüentes.
2.2 Carga acidental
É toda aquela que pode atuar sobre a estrutura de edificações em função do seu uso
(pessoas, móveis, materiais diversos, veículos etc.).
2.2.1 Condições peculiares
2.2.1.1 Nos compartimentos destinados a carregamentos especiais, como os devidos a
arquivos, depósitos de materiais, máquinas leves, caixas-fortes etc., não é necessária
uma verificação mais exata destes carregamentos, desde que se considere um
acréscimo de 3 kN/m no valor da carga acidental.
2.2.1.2 As cargas verticais que se consideram atuando nos pisos de edificações, além
das que se aplicam em caráter especial referem-se a carregamentos devidos a pessoas,
móveis, utensílios e veículos, e são supostas uniformemente distribuídas, com os
valores mínimos indicados na Tabela 2.
2.2.1.3 No caso de armazenagem em depósitos e na falta de valores experimentais, o
peso dos materiais armazenados pode ser obtido através dos pesos específicos
aparentes que constam na Tabela 3
2.2.1.4 Todo elemento isolado de coberturas (ripas, terças e barras de banzo superior
de treliças) deve ser projetada para receber, na posição mais a desfavorável una carga
vertical de 1 kN, além da carga permanente.
2.2.1.5 Ao longo dos parapeitos e balcões devem ser consideradas aplicadas uma carga
horizontal de 0,8 kN/m na altura do corrimão e uma carga vertical mínima de 2 kN/m.
2.2.1.6 0 valor do coeficiente ϕ de majoração das cargas acidentais a serem
consideradas no projeto de garagens e estacionamentos para veículos deve ser
DEC - CTC - UEM
24
determinado do seguinte modo: sendo k o vão de uma viga ou o vão menor de uma
laje; sendo A0 = 3 m para o caso das lajes e A0 = 5 m para o caso das vigas, teremos:
a) ϕ = 1,00
b)
ϕ=
l0
≤ 1,43
l
quando A ≥ A0
quando A ≤ A0
Nota: O valor de ϕ não precisa ser considerado no cálculo dos paredes e pilares.
2.2.1.7 Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser
calculados para suportarem uma carga concentrada de 2,5 kN, aplicada na posição
mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de
cargas das vigas que suportam os degraus, as quais devem ser calculadas para carga
indicada na Tabela 2.
2.2.1.8 No cálculo dos pilares e das fundações de edifícios para escritórios, residências
e casas comerciais não destinados a depósitos, as cargas acidentais podem ser
reduzidas de acordo com os valores indicados na Tabela 4.
Estruturas em Concreto I
25
TABELA 1 - Peso específico dos materiais de construção
Materiais
1 Rochas
Peso específico aparente - KN/m3
Arenito
26,0
Basalto e Gneiss
30,0
Granito, Mármore e calcário
28,0
2 Blocos artificiais
Blocos de argamassa
Cimento amianto
Lajotas cerâmicas
Tijolos furados
Tijolos maciços
Tijolos silico-calcareos
22,0
20,0
18,0
13,0
18,0
20,0
3 Revest. e concretos
Argamassa de cal, cimento e areia
Argamassa de cimento e areia
Argamassa de gesso
Concreto simples
Concreto armado
19,0
21,0
12,5
24,0
25,0
4 Madeiras
Pinho, cedro
Louro, imbuía, pau óleo
Guajuvirá, guatambu, grápia
Angico, cabriuva, ipê róseo
5,0
6,5
8,0
10,0
5 Metais
Aço
Alumínio e ligas
Bronze
Chumbo
Cobre
Ferro fundido
Estanho
Latão
Zinco
78,5
28,0
85,0
114,0
89,0
72,5
74,0
85,0
72,0
6 Materiais diversos
Alcatrão
Asfalto
Borracha
Papel
Plástico em folhas
Vidro plano
12,0
13,0
17,0
15,0
21,0
26,0
DEC - CTC - UEM
26
TABELA 2 - Valores mínimos das cargas verticais
Carga (KN/m25)
Local
1 Arquibancadas
2 Balcões
3 Bancos
4 Bibliotecas
5 Casas de máquinas
6 Cinemas
7 Clubes
8 Corredores
9 Cozinhas não
residenciais
10 Depósitos
4,0
Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as
previstas em 2.2.1.5
Escritórios e banheiros
Salas de diretoria e de gerência
Sala de leitura
Sala para depósito de livros
Sala com estantes de livros, a ser determinado em cada
caso ou 2,5 KN/m por metro de altura observado, porém,
o valor mínimo de
(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada em
cada caso, porém com o valor mínimo de
Platéia com assentos fixos
Estúdio e platéia com assentos moveis
Banheiro
Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos
Sala de assembléia com assentos móveis
Salão de danças e salão de esportes
Sala de bilhar e banheiro
Com acesso ao publico
Sem acesso ao público
A ser determ. em cada caso, porém com o mínimo de
--2,0
1,5
2,5
4,0
6,0
7.5
3,0
4,0
2,0
3,0
4,0
5,0
2,0
3,0
2,0
3,0
A ser determinada em cada caso e na falta de valores
experimentais conforme o indicado em 2.2.l.3
11
Edifícios Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro
1,5
residenciais
Despensa, área de serviço e lavanderia
2,0
12 Escadas
Com acesso ao público
3,0
Sem acesso ao público
2,5
13 Escolas
Anfiteatro com assentos fixos Corredor e sala de aula
3,0
Outras salas
2,0
14 Escritórios
Salas de uso geral e banheiro
2,0
15 Forros
Sem acesso a pessoas
0,5
l6 Galerias de arte
A ser determinada em cada caso, porém com mínimo de 3,0
17 Galerias de lojas
A ser determinada em cada caso, porém com mínimo de 3,0
18 Garagens e
Veículos de passageiros ou semelhantes com carga
estacionamento
máxima de 25 kN. Valores de g indicados em 2.2.1.6
3,0
19 Ginásios de
5,0
5
multiplica-se por 100 para obter kg/m2
Estruturas em Concreto I
esportes
20 Hospitais
21 Laboratórios
22 Lavanderias
23 Lojas
24 Restaurantes
25 Teatros
26 Terraços
27 Vestíbulo
27
Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de
cirurgia, sala de raio X e banheiro
Corredor
Incluindo equipamentos, determinada em cada caso,
porém com o mínimo de
Incluindo equipamentos
Palco
Demais dependências: cargas iguais às especificações
para cinemas
Sem acesso ao publico
Com acesso ao público
Inacessível a pessoas
Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser
fornecidas pelo órgão competente do Ministério da
Aeronáutica
Sem acesso ao público
Com acesso ao público
2,0
3,0
3,0
3,0
4,0
3,0
5,0
2,0
3,0
0,5
--1,5
3,0
TABELA 3 - Características dos materiais de armazenagem
Material
1 Mat. de construção
2 Combustíveis
Peso específico Angulo
de
aparente
atrito interno
(KN/M3)
Areia com umidade natural
l7
30°
Argila arenosa
18
25°
Cal em pó
10
25°
Cal em pedra
10
45°
Caliça
13
-Cimento
14
25°
Clinker de cimento
15
30°
Pedra britada
18
40°
Seixo
l9
30°
Carvão mineral (pó)
Carvão vegetal
Carvão em pedra
Lenha
7,0
4,0
8,5
5,0
25°
45°
30°
45°
DEC - CTC - UEM
28
3 Produtos agrícolas
Açúcar
Arroz com casca
aveia
Batatas
Café
Centeio
Cevada
Farinha
Feijão
Feno prensado
Frutas
Fumo
Milho
soja
Trigo
7,5
5,5
5,0
7.5
3,5
7,0
7,0
5,0
7,5
1,7
3,5
3.5
7,5
7,0
7,8
35°
36°
30°
30°
-35°
25°
45°
31°
--35°
27°
29°
27°
TABELA 4 – Redução das Cargas Acidentais
N de pisos que atuam
sobre o elemento
1, 2 e 3
4
5
6 ou mais
Redução percentual das
cargas acidentais (%)
0
20
40
60
Nota: Para efeito de aplicação destes valores, o forro deve ser considerado como piso.
Estruturas em Concreto I
29
6 Estruturas de Concreto Armado
6.1 Introdução
6.1.1 Estruturas de Concreto Armado
Existem vários métodos, processos e técnicas para o cálculo de estruturas. O
desenvolvimento tecnológico na informática, com a conseqüente redução do custo
tanto a nível de hardware como de software, possibilitou aos engenheiros o acesso a
este imprescindível instrumento de trabalho. A informatização dos escritórios de
cálculo proporcionou a utilização das mais sofisticadas técnicas de cálculo.
Atualmente o método da análise matricial de estruturas, e o de elementos finitos, são
utilizados de forma rotineira em aplicativos para o cálculo estrutural. Podemos, com
estas técnicas de cálculo, considerar um edifício como um elemento engastado ou
apoiado no solo e a outra extremidade livre, e calcula-lo de forma global, contínua.
Outro procedimento para o cálculo de estruturas consiste na sua discretização em seus
elementos primários, ou seja, as lajes, as vigas, os pilares e todos os demais elementos
complementares da estrutura. Este processo, com o auxílio de microcomputadores de
pequeno porte, e até mesmo simples máquinas de calcular programáveis, e de
programas para cálculo estrutural de baixo custo, inclusive vários de domínio público,
extremamente simples, a ponto de ser normal os calculistas elaborarem seus próprios
aplicativos, proporciona um cálculo relativamente rápido e bastante preciso.
É através deste processo de cálculo, discretizando a estrutura em seus elementos
básicos, que os conceitos teóricos e práticos do cálculo e do detalhamento da
armadura, são ministrados nas disciplinas de concreto dos cursos de Engenharia Civil.
Através da figura 5-1 exemplificamos o procedimento de cálculo.
• A Figura 5-1-a mostra a estrutura de um edifício com o pavimento da
cobertura, 3 pavimentos tipos, o térreo e as fundações.
• A figura 5-1-b representa, de forma simplificada, um pavimento com seus
elementos estruturais. Os pilares P1 a P8, as lajes L01 a L05 e as vigas V101
a V108.
• A figura 5-1-c mostra a distribuição de cargas das lajes para as vigas. Cada
uma das vigas ou tramos de vigas que contornam e suportam a laje, recebem
desta a carga que está sob a sua área de influência. O tramo da Viga V101 que
apoia a laje L01 tem como área de influência o trapézio de área S1, ou seja,
toda carga atuante nesta região da laje, será descarregada neste tramo da viga
V101.
30
DEC - CTC - UEM
• A figura 5-1-d mostra a distribuição de cargas das vigas para os pilares. A
reação da viga V101 no pilar P1 será igual ao esforço cortante Va, no pilar
P2, será a soma do esforço cortante Vb mais Vc., etc. Deve-se observar que a
viga V103 está apoiada nas vigas V105 e V106, ou seja cada uma destas vigas
estará solicitada por uma carga concentrada que, juntamente com as demais
cargas atuantes nestas vigas, serão descarregadas nos pilares P1 e P5 (viga
V105) e P2 e P6 (viga V106).
• A figura 5-1-e mostra o carregamento dos pilar P5, pavimento por pavimento,
da cobertura ao térreo. De cima para baixo, a cada pavimento, o pilar P5
recebe o carregamento proveniente das reações de apoio das vigas V105 e
V102, para finalmente descarregar a somatória destas carga no solo, através
das fundações.
• Finalmente a figura 5-1-f mostra um elemento de fundação (neste caso, um
bloco sobre duas estacas), que tem por função receber as cargas dos pilares e
transmiti-las ao solo, através das estacas.
O procedimento de cálculo para as lajes, vigas, pilares, enfim, os elementos estruturais
em geral, pode ser descrito de forma sucinta, como segue:
- Determinação das cargas atuantes;
- Determinação dos esforços solicitantes;
- Dimensionamento - concreto armado;
- Determinação das reações de apoio
Estruturas em Concreto I
P5
L02
V106
V105
L01
V102
L04
V101 P3
P4
L03
V103
L05
P6 V104 P7
V108
P2
V107
P1
31
P8
Figuras 5.1 (a) e 5.1 (b)
P1 Va
V101
Ve
S1
S2
Vb P2 Vc
Vf
S3
S4
Vg
S1
S2
S4
S3
Vh
Vi
Vj
P5 Vk
Vl P6 Vm Vn
Figuras 5.1 (c) e 5.1 (d)
P5
P5
Estacas
(1)
(2)
Figuras 5.1 (e) e 5.1 (f)
Figura 6-1
Esquema de distribuição de cargas em uma estrutura
Vd
DEC - CTC - UEM
32
6.1.2 O Projeto Estrutural
O projeto estrutural é composto por um conjunto de dados e informações tendo por
finalidade a definição dos procedimentos mínimos a serem seguidos para a perfeita
execução da estrutura. Para isto está implícito, sua adequação ao projeto arquitetônico
e a todos os projetos complementares da obra (os projetos elétrico, hidráulico, de
prevenção de incêndio, de instalação de gás, de telefonia, etc.).
O projeto estrutural deverá obedecer rigorosamente as Normas Técnicas da ABNT.
No caso específico de uma edificação, tomando como exemplo a figura 5-1, deve
trazer todas as informações relativas à infra-estrutura (fundações) e à superestrutura,
ou seja:
• planta de locação de estacas;
• planta de forma da fundação;
• armação e detalhamento dos elementos de fundação
• planta de forma do pavimento tipo;
• armação e detalhamento dos elementos do pavimento tipo:
• armação e detalhamento das lajes;
• armação e detalhamento das vigas
• planta de forma da cobertura;
• armação e detalhamento dos elementos da cobertura:
• armação e detalhamento das lajes;
• armação e detalhamento das vigas
• armação e detalhamento dos pilares:
• planta de forma dos elementos complementares do edifício;
• armação e detalhamento dos elementos complementares:
• escadas; caixas d’água; marquises; muros de arrimo; etc.
6.1.3 O Anteprojeto
O projeto estrutural envolve muitos cálculos, muitas pranchas de desenho de
estruturas, com todas as informações e detalhes para a execução da obra. Antes do
desenvolvimento de todo este extenso trabalho, o calculista deve tomar determinadas
decisões quanto ao material a ser utilizado, o tipo de estrutura a ser adotado, e como
esta estrutura será compatibilizada com o projeto arquitetônico. Isto é o que chamamos
de concepção, e podemos considera-la em 3 níveis:
Estruturas em Concreto I
33
Concepção quanto ao material a ser utilizado:
A finalidade da obra, sua posição geográfica etc. permitem uma substancial redução de
custos, ao se escolher o material de construção a ser utilizado. A primeira concepção
será, portanto, a escolha do material, ou seja, a alvenaria portante, a alvenaria armada,
a madeira, o aço, o concreto armado ou protendido, etc.
Ao se fazer esta opção, a finalidade da obra pode requerer estanqueidade, no caso de
reservatórios, proteção contra o meio agressivo em que a obra se insere etc. e, neste
sentido a escolha adequada do material pode reduzir a nível de revestimentos especiais
e sistemas de proteção.
A situação geográfica pode induzir à utilização de materiais abundantes na região,
reduzindo custos a nível de fretes, mão de obra especializada etc. É o caso da
utilização da madeira no interior da Amazônia, do pré-moldado no eixo Rio-São Paulo
etc.
Concepção quanto ao esquema estrutural:
estrutura em pórtico, pavimentos em grelhas, etc.
Concepção quanto à compatibilidade arquitetura/estrutura:
definido, como em nosso caso, o uso do concreto armado, e a discretização da
estrutura em lajes, vigas e pilares, é nesta etapa da concepção da estrutura, que se
define a forma e dimensões das lajes, a forma, a posição e a locação dos pilares e das
vigas, ou seja, é a definição, o lançamento da estrutura no projeto arquitetônico.
O anteprojeto consiste em, através de cálculos rápidos - apenas uma análise das seções
mais solicitadas - e um detalhamento sumário, a elaboração de um prédimensionamento que permita a quantificação de cada uma das concepções propostas,
e a comparação entre elas para que se possa escolher a melhor alternativa estrutural
para a obra.
É nesta fase do anteprojeto que se inicia e se deve resolver as interferências e os
conflitos com os projetos de instalações (gás, telefonia, ar condicionado, hidráulica,
elétrica, etc.)
6.1.4 O Projeto
Definida, a nível de anteprojeto, a estrutura, inicia-se o projeto, ou seja, o cálculo
completo, com o detalhamento dos elementos estruturais, a elaboração dos memoriais
de cálculo e as demais informações acordadas em contrato.
DEC - CTC - UEM
34
6.1.5 A Apresentação do Projeto - NBR 7191 e NBR 5984
EXECUÇÃO DE DESENHOS
PARA OBRAS DE CONCRETO SIMPLES OU ARMADO
NBR 7191 / FEV/19826
Esta Norma fixa as condições especiais que devem ser observadas na execução de
desenhos técnicos para obras de concreto simples ou armado. As condições gerais o os
significados nesta Norma, são os fixados pela NBR 5984.
Na aplicação desta Norma é necessário consultar:
NBR 5984
NBR 6118
NBR 7187
Norma geral de desenho técnico - Procedimento
Projeto e execução de obras de concreto armado - Procedimento
Cálculo e execução de pontes de concreto armado - Procedimento
3 CONDIÇÕES GERAIS
3.1 Tipos de desenhos
Os desenhos técnicos para obras de concreto simples ou armado podem ser dos tipos
seguintes:
a) desenhos de conjunto;
b) desenhos para execução de formas;
c) desenhos para execução de escoramentos;
d) desenhos de detalhe.
3.1.1 Desenhos de conjunto
Os desenhos de conjunto podem constar de plantas, elevações, cortes, vistas e
perspectivas, devendo-se ser feitos na escala que seja mais conveniente à sua clareza.
3.1.2 Desenhos para execução de formas
Os desenhos para execução de formas devem conter plantas, cortes e elevações de
6
Obs.: A numeração dos itens é a da Norma.
Estruturas em Concreto I
35
todas as peças da estrutura, necessários ao perfeito conhecimento de sua forma e de
suas dimensões. Devem ter feitos na escala 1:50 ou, quando não houver prejuízo da
clareza do desenho, na escala de 1:100.
planta é projeção do teto (ou estrado de ponte) em um plano que lhe é paralelo.
situado na parte inferior. As arestas visíveis serão as que ficam voltadas para o plano
de projeção.
Admite-se exceção, quando à convenção de visibilidade da alínea anterior, nos
desenhos de escadas, de sapatas e blocos de fundação, bem como, em casos especiais
para os quais se devera fazer a devida indicação.
corte é a projeção, em plano vertical, colocado imediatamente antes da parte a
representar, indicando-se as seções em hachurado.
elevação é a projeção em plano vertical, colocado imediatamente antes do conjunto a
representar, tem corta de qualquer peça.
3.1.2.1 Designação das peças
A designação das peças será feita, mediante os seguintes símbolos, seguidos do
respectivo número de ordem:
a)
b)
c)
d)
lajes
vigas
pilares
tirantes
L
V
P
T
e)
f)
g)
h)
diagonais
sapatas
blocos
paredes
D
S
B
PAR
Toda peça, elemento ou detalhe da estrutura deve ficar perfeitamente definido nos
desenhos de formas, por suas dimensões e por sua locação e posição em relação a
eixos, divisas, testadas ou linhas de referência relevantes.
3.1.2.2 Lajes
3.1.2.2.1 A numeração das lajes será feita, tanto quanto possível a começar do canto
esquerdo superior do desenho, prosseguindo para a direita, sempre em linhas
sucessivas de modo a facilitar a localização de cada laje.
3.1.2.2.2 Os rebaixos ou superelevações da face superior das lajes em relação à face
superior da laje de referência serão indicados pelo valor em cm, precedido do sinal ou +, o conjunto inscrito em pequeno círculo.
3.1.2.2.3 Além dessa indicação, poderá ser adotada convenção que permita visualizar
com facilidade as diferenças de níveis. Assim as lajes ou partes de lajes rebaixadas
poderão ser hachuradas num sentido e as elevadas em sentido oposto.
3.1.2.2.4 As espessuras das lajes serão obrigatoriamente indicadas, em cada laje ou em
nota a parte.
36
DEC - CTC - UEM
3.1.2.3. Vigas
3.1.2.3.1 A numeração das vigas será feita para as dispostas horizontalmente no
desenho, partindo-se do canto superior e prosseguindo-se por alinhamentos sucessivos,
até atingir o canto inferior direito; para as vigas dispostas verticalmente partindo-se do
canto inferior esquerdo, para cima, por fileiras sucessivas, até atingir o canto superior
direito.
Convenciona-se considerar como dispostas horizontalmente no desenho, as vigas cuja
inclinação com a horizontal variar de 0 a 45º, inclusive.
3.1.2.3.2 Cada vão das vigas continuas será designado pelo número comum à viga
seguido de uma letra maiúscula. Dentro do mesmo vão, quando necessário, indicar-seá a variação de seção por meio de índices:
cabe ao projetista certa liberdade na caracterização dos elementos dentro do mesmo
alinhamento, quando se tornar necessária maior clareza do desenho;
será tolerada a inversão do sentido indicado para a numeração, quando isso concorrer
para maior clareza do desenho, como no caso de existirem eixos de simetria.
3.1.2.3.3 Junto da designação de cada viga, deverão ser indicadas por dimensões: b x
d ou b0 x d0.
3.1.2.3.4 É facultada a representação da seção da viga, na própria planta, desde que
não fique prejudicada a clareza do desenho.
3.1.2.3.5 Quando houver mísulas, usar-se-á a seguinte convenção gráfica para
representa-la em planta: traça-se uma diagonal do retângulo representativo da mísula e
hachura-se um dos triângulos resultantes, assinalando-se a variação numérica das
dimensões.
3.1.2.4 Pilares e tirantes
3.1.2.4.1 A numeração dos pilares e tirantes será feita, tanto quanto possível, partindo
do canto superior esquerdo do desenho para a direita, em linhas sucessivas. As
dimensões poderão ser simplesmente inscritas ao lado de cada pilar indicando-se
todavia em planta, quando necessário para evitar confusão, pelo menos uma das
dimensões. Nos desenhos de tetos-tipo será tolerada a anexação de quadros indicando
a variação de dimensões dos pilares nos diferentes tetos, sem modificações da planta
comum, desde que se esclareçam convenientemente as variações de seções.
3.1.2.5 Aberturas
As aberturas necessárias à passagem de tubulações principais de instalações elétricas,
hidráulicas, condicionamento de ar ou outras, deverão ser convenientemente definidas
nas plantas, cortes e elevações, com indicação de sua orientação e dimensões.
Estruturas em Concreto I
37
3.1.3 Desenhos para execução de armaduras
Os desenhos para execução de armaduras devem conter todos os dados necessários à
boa execução da armadura na escala 1:50, de detalhes de seção, em escala maior:
• cada tipo diferente de barra (barras de diâmetro diferente ou diferentemente
dobradas) será desenhado fora da representação da peça, com cotas
necessárias a seu dobramento correto e indicação de seu número 3.1.3.2,
quantidade e diâmetro (φ);
• no caso de séries de estribos do mesmo diâmetro, que mantenham a mesma
forma. mas cujas dimensões variem, pode-se considera-los como de um só
tipo, bastando desenhar um deles e indicar em tabela ao lado os dados
diferentes aos demais (dimensão variável, comprimento desenvolvido e
quantidade de cada um);
• dispensa-se a representação individual de cada estribo ou cinta no desenho da
peça, quando o seu espaçamento for constante, bastando indica-lo com a letra
c seguida do valor do espaçamento em cm. A mesma dispensa é permitida
para as armaduras da laje, nos termos de 3.1.3.8.
• a numeração das peças obedecerá à feita nos desenhos para execução de
formas;
• quando forem utilizadas barras corridas, admite-se a respectiva representação
sem cota, mas com a notação
corrido. Na lista será considerado o
comprimento total, aumentado das emendas eventuais.
3.1.3.1 Representação das barras
A representação das barras da armadura faz-se (salvo em casos especiais ou detalhes
onde haja necessidade de se mostrar a espessura da barra) pelo seu eixo, com linha,
cheia, de acordo com a conveniência do desenho.
3.1.3.2 Numeração
Cada tipo diferente de barra da armadura será designado por um número cuja
indicação se fará na representação isolada da barra e eventualmente na da peça:
• será usado o símbolo φ para o diâmetro das barras de armadura;
• quando houver feixes de barras, será adotada a notação .... n x m onde n é o
número de feixes e m a quantidade de barras de cada feixe.
3.1.3.3 Tabela da armadura
Haverá uma tabela em que se reunirão os dados referentes a cada tipo de barra, a
saber: tipo, diâmetro, quantidade, comprimento de cada barra e comprimento total:
• se a tabela não constar da mesma prancha do desenho da armadura, deve-se
representar em desenho esquemático, cada um dos tipos de barra;
• os estribos do mesmo tipo, no caso do 3.1.3.b, constarão da tabela de
DEC - CTC - UEM
38
armadura, ocupando uma só linha com todas as indicações, exceto a do
comprimento parcial;
• é facultativa a indicação do peso da armadura;
as tabelas serão elaboradas obedecendo as disposições seguintes:
N
φ
1
2
12,5
5,0
Tabela de Ferros – CA 50-A
Quantidade
Comprimento
Unitário
Total
12
485
5820
126
138
17388
Obs.
Obs:
Esta tabela pode ser denominada como a “Tabela do Armador”. É através dela que o
armador cortará as barras (φ, quantidade, comprimento unitário) e com o número do
ferro, verificará na planta os detalhes e dimensões da barra para a sua execução.
Nesta fase o armador executará todas as barras 01, e as reunirá em um feixe, que será
etiquetado. O mesmo será feito para todas as barras constantes da tabela (todas as
barras 02, 03 etc).
Feitos os feixes de todas as barras, o armador começará a montagem da armadura das
vigas. Na planta de armação ele verá que uma determinada viga tem 2 ferros N12, 2
N13 , 1 N14 e 19 N15. Dos respectivos feixes destas barras ele o número de ferros (2,
2, 1 e 19) e procederá a montagem da armadura.
Uma outra tabela que é colocada na planta de armação, é a “Tabela de Resumo do
Aço”. É um resumo da tabela anterior.
Esta tabela apresenta os comprimentos e pesos totais de aço correspondentes a cada
bitola.
Resumo do Aço CA 50-A
φ
5,0
6,3
8,0
10,0
12,5
16,0
Peso
Kg/m
0,16
0,25
0,40
0,63
1,00
1,6
Comprimento Total
(cm)
61563
15888
13654
22095
15235
2265
Peso
Σ
98,50
39,72
54,62
139,2
152,35
36,24
520,63
Estruturas em Concreto I
39
Esta tabela pode ser denominada como a “Tabela do Comprador”. É através dela que a
empresa, após acrescentar uma taxa correspondente às perdas, efetuará a compra do
aço.
Na planta de armação deve ser colocada uma tabela de resumo do aço para cada aço
utilizado (CA 50-A, CA 50-B, CA 60 etc.)
3.1.3.4 Representação de emendas
Para as emendas de barras usar-se-ão as seguintes:
superposição: indica-se simplesmente contando o comprimento da cobertura;
luvas: indica-se com o símbolo dotando a respectiva situação:
solda: Indica-se com o símbolo cotando a respectiva situação:
3.1.3.5 Ganchos e raios de curvatura
Os detalhes dos ganchos e ralos de curvatura não precisam figurar no desenho, desde
que obedeçam às prescrições mínimas da NBR 6118. Caso a Norma a adotar seja a
NBR 7187, deve haver pelo menos uma indicação, em cada prancha, das medidas a
adotar.
3.1.3.6 Barras dobradas
Nas barras dobradas a 45°, é dispensável qualquer indicação de ângulo. Para ângulos
diferentes a inclinação deve ser dada na forma 1:n. em uma ou mais barras com o
mesmo dobramento. Nesse caso deve-se fazer no desenho um pequeno esquema de
marcação, facilmente reproduzível pelo armador na bancada.
3.1.3.7 Armadura das lajes
Nas lajes é facultada a representação das barras dentro ou fora do desenho de cada laje,
ou ainda a aplicação simultânea de ambos os dispositivos, conforme formais
conveniente à clareza do desenho;
a distribuição da armadura será feita sempre em faixa normal à posição ocupada pelas
barras obedecendo, portanto, à marcação que o armador tenha no taipal;
quando a armadura superior for independente da Inferior, aconselha-se a execução de
desenhos separados para cada uma delas.
40
DEC - CTC - UEM
3.1.3.8 Armaduras de vigas
A representação da armadura de vigas será feita longitudinalmente e deverá conter o
traçado auxiliar dos pontos mais conveniente da forma, de sorte a se indicar a perfeita
posição das barras:
quando houver várias camadas, a representação longitudinal será feita reproduzindo
esquematicamente a posição relativa dessas camadas;
sempre que necessário, será feita a representação adicional de seções transversais;
em cada prancha de armadura de vigas será anexado pequeno quadro, contendo índice
por ordem numérica das vigas nela representadas.
3.1.3.9 Armadura de pilares
A representação da armadura de pilares será feita por seções transversais com
indicação minuciosa da posição das barras e de seus diâmetros:
ao lado de cada seção será feita a representação do respectivo estribo com as
convenções de 3.1.3, alíneas b) e c);
é obrigatória a representação esquemática dos diferentes tipos de armaduras
longitudinais dos pilares constantes da prancha 3.1.3.1;
sempre que necessário (especialmente no caso de pilares inclinados ou pilares de
pórticos), far-se-á a representação longitudinal, obedecendo-se então às indicações
gerais dadas para vigas.
3.1.3.10 Armadura de sapatas
3.1.3.10.1 Serão obedecidas as indicações anteriores aplicáveis às sapatas.
3.1.3.10.2 Deverá ser indicada minuciosamente a distribuição das barras por posição
com o respectivo espaçamento, conservada a convenção adotada para lajes e vigas.
3.1.3.10.3 Quando forem utilizados anéis variáveis, bastará dar a indicação dos limites
da variação dos diâmetros, bem como as dos comprimentos totais das barras.
3.1.4 Desenhos para execução de escoramentos
Os desenhos para execução de escoramentos obedecerão às normas relativas a
desenhos para estruturas de madeira. Quando se tratar de serviços de pequena
responsabilidade, os desenhos para escoramentos poderio ter simplesmente
esquemáticos.
3.1.5 Desenhos de detalhe
Cabe ao projetista, nos desenhos de detalhe, a liberdade de escolha do melhor modo de
representação, aplicando em tudo que possível, as prescrições anteriores.
Estruturas em Concreto I
41
7 LAJES
7.1 Introdução
Será considerado, neste curso, lajes retangulares, submetidas a cargas uniformemente
distribuídas e/ou cargas de paredes, suportadas por vigas em todo o seu contorno.
Posteriormente, em “Estruturas em Concreto 2”, serão estudadas lajes com outras
formas (circular, triangular, em “L”, etc.), com uma ou duas bordas não vinculadas
(caso das lajes de cobertura de garagens, das lajes de muros de arrimo etc.).
As lajes poderão ter suas bordas simplesmente apoiadas, engastadas, ou livres, e
será adotada a convenção abaixo, para representar cada uma destas vinculações.
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
lado simplesmente apoiado
lado perfeitamente engastado
==============
lado perfeitamente engastado
-------------
borda livre, ou sem apoio
7.2 Classificação
De acordo com a relação entre os vãos, uma laje pode ser classificada como:
• Laje Armada em Uma Direção
Quando a relação entre os lados for maior que 2.
• Laje Armada em Duas Direções (Armada em Cruz).
Quando a relação entre os lados for menor ou igual a 2.
Vamos entender melhor esta classificação e porque o 2 como divisor.
Como o cálculo das lajes tem por base a teoria das Grelhas, para melhor entender sua
classificação, vamos analisar primeiro como se realiza a transferência de cargas para
os apoios, em uma grelha. A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente
apoiadas, sendo uma de vãos A1=A2 e a outra com A3=2A2, ambas submetidas a uma
carga concentrada “P” aplicada no cruzamento das vigas (“nó”, cruzamento da
“longarina” com a “transversina”).
DEC - CTC - UEM
42
P
P
A3 = 2A2
A2
A1
Figura 7-1
A3
Grelhas submetidas à ação de uma carga concentrada.
Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 1/4 da carga “P” enquanto na
grelha da direita o cálculo nos fornece 1/18 P para as reações do lado maior e 8/18 P
para as reações do lado menor. Enquanto em uma a transferência da carga para os
apoios se dá na razão de 50% em cada direção, na outra aproximadamente 11% se
transfere na direção do vão maior e 89% na direção do vão menor.
À medida que a relação entre os vãos aumenta (A3>>A1) maior será a transferência de
carga para os apoios do vão menor, ou seja, para uma relação de vãos entre 1 e 2 temse uma transferência bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2
tende-se para uma transferência unidirecional das cargas
A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidimensionais (as
lajes e placas em geral) enquanto a transferência unidirecional das cargas é típica
dos elementos unidimensionais (as vigas).
Ante o exposto vamos convencionar:
r > 2 → Laje armada em uma direção
r ≤ 2 → Lajes armada em duas direções (em Cruz)
Sendo "r", a relação entre os vãos.
7.3 Lajes Armadas em Duas Direções
7.3.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas
O cálculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma série de faixas de
1,0 m de largura, independentes entre si. A carga e suposta uniformemente distribuída.
Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte
desta carga "p" atua em uma direção e, a outra parte, na outra direção.
p = px + p y
Equação 1
Estruturas em Concreto I
43
A determinação dos quinhões (px e py ) é feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a
partir da hipótese de que a laje é composta por vigas fictícias, independentes entre si,
de 1,0 m de largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus
quatro lados, conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas,
em cada direção:
5 pxlx4
384 EI
Equação 2
4
5 p yl y
fy =
384 EI
Equação 3
fx =
y
py
x
Ay f y
px
como se trata de uma grelha
Ax
fx = f y
fx
px l x4 = p y l y4
Figura 7-2
Equação 4
Equação 5
Vigas fictícias em uma laje armada em cruz.
e com a equação [1] obtém-se os quinhões de carga:
px =
l y4
lx4 + l y4
p
py =
l x4
lx4 + l y4
p
Equação 6
No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o cálculo dos quinhões de carga recai
no caso das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio intermediário funcione
como engastamento perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio
simples.
Mas é preciso ter cuidado com esta explicação acima. Ela é muito boa para em uma
planta de forma determinar de imediato o tipo de laje mas, é preciso entender que a
laje não está engastada na viga. Um painel de laje normalmente é engastado em outro
painel de laje, ou seja, a continuidade, o engastamento, se dá entre lajes. Nada impede
o engastamento de uma laje em uma viga, alias, esta é uma situação característica das
lajes de marquize, mas neste caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ação de momento
torçor e precisa ser dimensionada e armada para esta solicitação.
O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contínua, a
continuidade, o engastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participação dos
DEC - CTC - UEM
44
apoios que agora seriam os pilares. Também neste caso nada impede que se engaste a
viga nos pilares mas se assim o fizéssemos, teríamos um pórtico.
Alterando-se a vinculação de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se
um total de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz
Laje "Tipo 1" - com todas as bordas simplesmente apoiadas,
1
Laje "Tipo 2" - com uma borda engastada,
2
Laje "Tipo 3" - com duas bordas, adjacentes, engastadas,
3
Laje "Tipo 4" - com duas bordas, opostas, engastadas,
4
Laje "Tipo 5" - com três bordas engastadas,
5
Laje "Tipo 6" - com todas as bordas engastadas.
6
Para as Lajes do “tipo 2” ao “tipo 6", os quinhões de carga são determinados de
maneira análoga, observando-se, que as "vigas fictícias" poderão ser, em cada direção,
simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e engastadas na outra, ou biengastadas.
Em cada caso deve-se usar as flechas correspondentes à vinculação da viga fictícia. A
seguir são apresentadas as equações das flechas para vigas submetidas a cargas
uniformemente distribuídas, considerando os três tipos de vinculações citados acima.
5 pA 4
f =
384 EI
Equação 7
2 pA 4
f =
384 EI
Equação 8
1 pA 4
f =
384 EI
Equação 9
A
Figura 7-3 Flechas em vigas de um tramo, submetidas a carga
uniformemente distribuídas
Estruturas em Concreto I
45
7.3.2 Determinação dos Momentos Fletores
O cálculo das placas por processos exatos é extremamente complexo, uma vez que
envolve a solução de uma equação diferencial de quarta ordem. A matemática nos
fornece métodos como as Diferenças Finitas, os Elementos Finitos, etc. que levam a
resultados quase que exatos, porém, mesmo estes métodos, além de complexos, de
solução demorada, demandam conhecimentos não dominados pela grande maioria dos
profissionais da área de engenharia.
Os processos de cálculo simplificados, surgiram em função da necessidade de se ter
um cálculo rápido, com um nível de precisão coerente com a atividade da engenharia,
e acessível aos profissionais.
Calculadas segundo a teoria das placas, os métodos de cálculo são divididos em dois
grupos:
Método Clássico - Teoria da Elasticidade - supondo os materiais trabalhando em
regime elástico linear, homogêneos, isótropos.
Método da Ruptura - Teoria da Plasticidade - supondo os materiais trabalhando em
regime rígido-plástico - Teoria das charneiras plásticas
7.3.2.1 Processo de Marcus
O processo de Marcus é um processo de cálculo simplificado, oriundo do Método
Clássico, assimilando a laje uma grelha formada por faixas independentes entre si.
Marcus introduziu coeficientes de correção αx e αy nas expressões dos momentos
fletores positivos, de tal forma que seus resultados se aproximassem dos obtidos
através da Teoria da Elasticidade.
Pelo Processo de Marcus é convencionado que os lados da laje serão denominados "Ax"
e "Ay", sendo:
Ax está na direção mais vinculada.
caso ambas as direções sejam igualmente vinculadas:
Ax estará na direção com o menor vão.
DEC - CTC - UEM
46
e a relação entre os lados será definida como:
Ay
λ=
Equação 10
Ax
Os momentos fletores positivos em uma laje, são determinados supondo-se uma faixa
da laje, de 1,0 m de largura carregada pelo quinhão de carga atuante na direção da
mesma. O efeito da grelha é introduzido no cálculo destas vigas fictícias através dos
coeficientes αx e αy, propostos por Marcus.
px A 2x
αx
Mx =
ix
My =
p y A 2y
iy
αy
Equação 11
ix e iy podem valer 8, 14,22 ou 24, conforme o tipo de vinculação, apoio-apoio,
engaste-apoio ou engaste-engaste.
da equação [6], fazendo-se:
px =
A 4y
A 4x + A 4y
tem-se:
p
e
px = k x p
p k x A 2x
Mx =
αx
ix
A 4x
py = 4
p
A x + A 4y
py = k y p
My =
p k y A 2y
iy
k y = 1 − kx
αy
∴
Equação 12
rearranjando-se estas formulas, de forma que o numerador tenha sempre a expressão
p A2x , independente de a direção ser a “x” ou a “y”, obtém-se:
Mx =
p A 2x
⎛ ix ⎞
⎜
⎟
⎝ kx α x ⎠
⇒
Mx =
p A 2x
mx
Equação 13
Estruturas em Concreto I
p k x A 2x
p A 2x
p A 2x
Xx = −
⇒−
⇒ Xx = −
jx
nx
⎛ jx ⎞
⎜ ⎟
⎝ kx ⎠
My =
p A 2y
⎛ iy
⎜⎜
⎝ ky α y
⎞
⎟⎟
⎠
=
p A 2y
⎛ iy
⎜⎜
⎝ ky α y
⎞ ⎛ A 2x ⎞
⎟⎟ ⎜ 2 ⎟
⎠ ⎝ Ax ⎠
=
p k y A 2y A 2x
p A 2x
Xy = −
=
−
jy
A 2x
⎛ jy ⎞
⎜⎜
2 ⎟
⎟
⎝ ky λ ⎠
p A 2x
⎛
⎞
iy
⎜⎜
2 ⎟
⎟
⎝ ky α y λ ⎠
⇒
→
47
p A 2x
Xx = −
nx
Equação 14
p A 2x
My =
my
Equação 15
pA 2x
Xy = −
ny
Equação 16
onde: jx e jy assumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculação, engaste-apoio
ou engaste-engaste.
Os coeficientes de Marcus (αx e αy) são dados pelas expressões abaixo:
20 k x
αx =1−
3 ix λ 2
Obs.:
αy =1−
20 k y λ
2
Equação 17
3 iy
Apenas os momentos fletores positivos são corrigidos pelos coeficientes
αx e αy. Os momentos fletores negativos NÃO!!!
Em resumo:
p A 2x
Mx =
mx
p A 2x
My =
my
p A 2x
Xx = −
nx
sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em função de λ.
p A 2x
Xy = −
ny
DEC - CTC - UEM
48
TABELA DE MARCUS
Tipo 1
λ
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
mx
27
26
25
24
24
23
22
21
21
20
19
19
18
18
17
17
17
16
16
16
15
Tipo 2
my
mx
my
nx
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
29
29
29
29
29
30
30
141
126
113
102
93
85
79
73
68
63
59
56
52
50
47
45
43
41
39
37
36
34
33
32
31
30
29
28
27
27
26
25
25
24
24
23
23
22
22
22
21
21
21
21
20
20
45
43
42
40
39
38
37
37
36
35
35
35
35
34
34
34
34
34
35
35
35
35
36
36
36
37
37
38
38
39
39
40
41
41
42
43
43
44
45
46
47
47
48
49
50
51
59
52
46
41
36
33
30
27
25
23
21
20
19
18
17
16
15
14
14
13
13
12
12
12
11
11
11
11
11
10
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
Tipo 3
mx
37
36
34
33
32
31
30
29
28
28
27
26
26
25
25
24
24
23
23
22
22
my
37
37
37
37
37
38
38
38
38
39
39
39
40
40
40
41
41
42
42
43
43
nx
16
15
15
14
14
13
13
13
12
12
12
12
11
11
11
11
11
10
10
10
10
Tipo 4
Tipo 5
ny
mx
my
nx
mx
16
16
16
16
16
16
16
17
17
17
17
17
18
18
18
18
19
19
19
19
20
137
124
112
103
96
88
82
76
71
67
64
60
58
55
53
50
49
47
45
44
42
41
40
39
38
37
37
36
35
35
34
34
33
33
32
32
32
31
31
31
30
30
30
30
29
29
50
48
47
46
45
45
44
44
44
44
44
44
45
45
46
46
47
48
48
49
50
51
52
53
55
56
57
58
60
61
63
64
66
67
69
71
72
74
76
78
80
82
84
86
88
90
50
45
40
36
33
31
28
26
25
23
22
21
20
19
18
18
17
17
16
16
16
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
146
216
192
171
153
139
126
115
106
98
91
84
79
74
70
66
63
60
57
55
53
51
49
47
46
44
43
42
41
40
39
38
37
37
36
35
35
34
34
33
33
32
32
32
31
31
my
nx
Tipo 6
ny
mx
my
nx
ny
71 108 36
68 94 34
65 83 32
62 73 31
59 65 29
57 58 28
56 53 27
54 48 26
53 44 25
52 40 25
51 37 24
50 34 24
49 32 23
49 30 23
49 28 23
48 27 23
48 25 23
48 24 23
48 23 23
48 22 23
49 21 23
49 20 23
49 20 23
50 19 23
50 19 24
51 18 24
51 18 24
52 17 25
52 17 25
53 16 26
54 16 26
55 16 26
56 16 27
57 15 27
58 15 28
59 15 29
60 15 29
61 15 30
62 14 30
63 14 31
64 14 32
65 14 32
67 14 33
68 14 34
69 14 35
70 14 35
56
54
52
50
48
47
45
44
43
42
41
40
39
38
38
37
36
36
35
35
34
56
56
56
56
56
57
57
57
58
58
59
59
60
61
62
62
63
64
65
66
67
24
23
22
22
21
20
20
19
19
18
18
17
17
17
16
16
16
16
16
15
15
24
24
24
24
24
24
25
25
25
25
26
26
26
27
27
27
28
28
29
29
30
Estruturas em Concreto I
49
TABELA DE MARCUS - continuação
Tipo 1
Tipo 2
Tipo 3
Tipo 4
Tipo 5
Tipo 6
λ
mx
my
mx
my
nx
mx
my
nx
ny
mx
my
nx
mx
my
nx
ny
mx
my
nx
ny
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
2,0
15
15
15
14
14
14
14
13
13
13
13
13
13
12
12
12
12
12
12
12
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
11
30
30
30
31
31
31
32
32
32
33
33
33
34
34
34
35
35
36
36
37
37
38
38
39
39
40
40
41
41
42
42
20
20
20
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
17
16
51
52
53
54
55
56
57
58
60
61
62
63
64
66
67
68
69
71
72
73
75
76
77
79
80
82
83
85
86
88
89
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
8
22
22
21
21
21
21
20
20
20
20
19
19
19
19
19
19
18
18
18
18
18
18
18
18
18
17
17
17
17
17
17
43
44
45
45
46
46
47
48
48
49
50
51
51
52
53
54
55
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
10
10
10
10
10
10
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
9
20
20
20
21
21
22
22
22
23
23
24
24
24
25
25
26
26
27
27
28
28
29
29
30
31
31
32
32
33
33
34
29
29
29
29
28
28
28
28
28
28
28
28
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
26
26
26
26
26
26
26
26
90
92
94
96
98
101
103
105
108
110
113
115
118
120
123
125
128
131
134
136
139
142
145
148
151
154
157
160
163
166
168
13
13
13
13
13
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
31
31
30
30
30
30
29
29
29
29
29
29
28
28
28
28
28
28
28
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
27
70
72
73
75
76
78
79
81
82
84
86
87
89
91
93
94
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
12
12
12
12
12
12
12
35
36
37
38
39
40
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
57
58
59
60
61
62
64
65
66
34
34
33
33
32
32
32
31
31
31
31
30
30
30
30
29
29
29
29
29
29
28
28
28
28
28
28
28
27
27
27
67
68
69
70
71
72
73
74
76
77
78
79
81
82
84
85
86
88
89
91
92
94
96
97
99
100
102
104
106
107
109
15
15
15
15
15
14
14
14
14
14
14
14
14
14
14
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
13
30
30
31
31
32
32
33
34
34
35
35
36
37
37
38
39
40
40
41
42
43
43
44
45
46
47
47
48
49
50
51
7.3.3 Determinação das Reações de Apoio
Lajes armadas em Cruz
A NBR 6118, item 3.3.2.9, permite o cálculo das reações de apoio de lajes
retangulares com cargas uniformemente distribuídas, considerando-se para cada apoio
carga correspondente aos triângulos e trapézios obtidos , traçando-se a partir dos
vértices, na planta da laje, retas inclinadas de:
DEC - CTC - UEM
50
45°
entre dois apoios do mesmo tipo
60°
a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado
90°
a partir do apoio quando a borda vizinha for livre
45°
60°
90°
Uma laje do tipo “2” tem as áreas de influência dos apoios conforme apresentado na
figura abaixo, onde S1 é a área de influência da Viga 101, S2 é a área de influência da
Viga 102, e S3 e S4 das vigas 103 e 104 respectivamente.
V101
S1
60°
V103
S3
S4
S2
60°
45°
Ay
V104
45°
V102
Ax
a expressão de cada uma das áreas e determinada a seguir:
Área S1 = S2
Ax
S1 =
0,5Ay
0,866 Ay
a 0,5 Ay
S1
A x + ( A x − 1,366A x ) A y
2
2
( 2A A
=
x y
)
− 1,366A 2y 1
2
4
Estruturas em Concreto I
51
como a carga por metro quadrado de laje é “p”, a carga por metro linear a ser
descarregada na Viga 101 será a carga total aplicada na área “S1” distribuída no vão
da Viga 101.
p1 =
pS1
Ax
p1 = Vy =
p1 =
pA y
2
pA y
2
(1 − 0,683λ ) = Vy
Ky
Equação 18
K y = (1 − 0,683λ )
onde
Equação 19
Área S3
h
S3 =
60°
Ay
p3 =
A y 0,866A y
2
p Ax
( 0,866λ ) = Vx/
2
p Ax /
Kx
2
Equação 20
K x/ = ( 0,866λ )
Equação 21
p3 = Vx/ =
onde
p3 =
2
=
1
S3 = A 2y 0,866
2
60°
p S3
Ay
A yh
DEC - CTC - UEM
52
Área S4
h
Ay
S4 =
45°
45°
p4 =
p4 = Vx =
sendo:
Ay h
2
pS4
Ay
= Ay
Ay 1
2 2
→
pA x
Kx
2
K x = ( 0,5λ )
S 4 = A 2y
p4 =
1
4
pA x
( 0,5λ )
2
Equação 22
Equação 23
onde:
p →
é a carga (por metro quadrado) que solicita a laje,
p1 →
é a carga (por metro linear) que solicita a viga V101, devido à laje
p3 →
é a carga (por metro linear) que solicita a viga V103, devido à laje
p4 →
é a carga (por metro linear) que solicita a viga V104, devido à laje
Ky →
é o coeficiente de carga na direção “y”
Kx →
é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado apoiado.
Kx/ →
é o coeficiente de carga na direção “x”, para o lado engastado.
A seguir são tabelados os coeficientes k x , k y , k x' e k y' em função de λ, para os
diferentes tipos de lajes.
Estruturas em Concreto I
53
CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO
NBR 6118 - item 3.3.2.9
λ
Tipo de Laje
kx
k’x
ky
Kx
Ky Ky
Kx
Ax
λ≥1,00
2A
Ky
Kx K’x
Ky
Ay
λ≤0,73
2B
Ky
Kx K’x
Ky
Ay
λ≥0,73
K’x
Ky K’y
Kx
Ax λ≥1,00 0,730 − 0,365 1,270 − 0,635
Ky
K’x K’x
Ky
Ay
λ≤0,58
Ky
K’x K’x
Ky
Ay
λ≥0,58
K’x
Ky K’y
K’x
Ax
λ≥0,79
5B
K’x
Ky K’y
K’x
Ax
λ≤0,79
6
K’x
K’y K’y
K’x
Ax
λ≥1,00
1
3
4A
4B
5A
Vx = k x
1,000 −
0,500
0,500
λ
λ
0,500λ
0,730 −
0,267
λ
0,865λ
1,270 −
λ
p Ax
2
Vy = k y
k’y
1,000 − 0682λ
0,463
0,365
λ
λ
λ
0,865λ
λ
λ
1,000 −
0,290
0,290
λ
λ
1,000 −
0,395
0,290
0,500
λ
λ
λ
1,000 −
2
0,635
1,000 − 0865λ
0,635λ
p Ay
0,365
0,730 − 0463λ 1,270 − 0807λ
0,500
0,500
λ
λ
Vx' = k x'
p Ax
2
Vy' = k y'
p Ay
2
DEC - CTC - UEM
54
REAÇÕES DE APOIO
λ
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,60
0,62
0,64
0,66
0,68
0,70
0,72
0,74
0,76
0,78
0,80
0,82
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
Tipo 1
ky
kx
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,55
0,56
0,57
0,58
0,58
0,59
0,60
0,60
0,61
0.62
0,62
0,63
0,63
0,64
0,64
0,50
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,45
0,44
0,43
0,42
0,42
0,41
0,40
0,40
0,39
0,38
0,38
0,37
0,37
0,36
0,36
kx
Tipo 2
k’x
ky
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,40
0,41
0,42
0,43
0,43
0,44
0,45
0,45
0,46
0,46
0,47
0,47
0,48
0,48
0,49
0,49
0,50
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,52
0,52
0,52
0,53
0,53
0,53
0,54
0,54
0,43
0,45
0,47
0,48
0,50
0,52
0,54
0,55
0,57
0,59
0,61
0,62
0,64
0,66
0,68
0,69
0,71
0,72
0,73
0,74
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,86
0,87
0,88
0,88
0,89
0,90
0,90
0,91
0,91
0,92
0,92
0,93
0,93
0,94
0,66
0,65
0,63
0,62
0,60
0,59
0,58
0,56
0,55
0,54
0,52
0,51
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,43
0,42
0,41
0,41
0,40
0,39
0,38
0,37
0,37
0,36
0,35
0,34
0,34
0,33
0,33
0,32
0,31
0,31
0,30
0,30
0,29
0,29
0,29
0,28
0,28
0,27
0,27
0,26
0,26
kx
0,36
0,37
0,38
0,39
0,39
0,40
0,40
0,41
0,42
0,42
0,43
0,43
0,44
0,44
0,44
0,45
0,45
0,46
0,46
0,47
0,47
Tipo 3
k’x
ky
0,63
0,65,
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,77
0,78
0,79
0,80
0,80
0,81
0,82
0,37
0,36
0,35
0,34
0,34
0,33
0,33
0,32
0,31
0,31
0,30
0,30
0,29
0,29
0,29
0,28
0,28
0,27
0,27
0,26
0,26
k’y
0,64
0,63
0,62
0,61
0,59
0,58
0,57
0,56
0,55
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
0,50
0,49
0,48
0,47
0,47
0,46
0,45
Tipo 4
k’x
ky
k’x
0,43
0,45
0,47
0,48
0,50
0,52
0,53
0,55
0,56
0,57
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,65
0,66
0,67
0,68
0,68
0,69
0,70
0,70
0,71
0,72
0,72
0,73
0,73
0,74
0,74
0,75
0,75
0,75
0,76
0,76
0,77
0,77
0,77
0,78
0,78
0,78
0,79
0,79
0,79
0,32
0,33
0,34
0,36
0,37
0,38
0,39
0,41
0,42
0,43
0,44
0,46
0,47
0,48
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,60
0,61
0,62
0,63
0,63
0,64
0,65
0,65
0,66
0,67
0,67
0,68
0,68
0,69
0,69
0,70
0,70
0,71
0,71
0,71
0,72
0,57
0,55
0,53
0,52
0,50
0,48
0,47
0,45
0,44
0,43
0,41
0,40
0,39
0,68
0,37
0,36
0,35
0,35
0,34
0,33
0,32
0,32
0,31
0,30
0,30
0,29
0,28
0,28
0,27
0,27
0,26
0,26
0,25
0,25
0,25
0,24
0,24
0,23
0,23
0,23
0,22
0,22
0,22
0,21
0,21
0,21
Tipo 5
ky k’y
0,50
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,44
0,43
0,42
0,42
0,41
0,40
0,39
0,38
0,37
0,36
0,35
0,35
0,34
0,33
0,32
0,32
0,31
0,30
0,30
0,29
0,28
0,28
0,27
0,27
0,26
0,26
0,25
0,25
0,25
0,24
0,24
0,23
0,23
0,23
0,22
0,22
0,22
0,21
0,21
0,21
0,87
0,85
0,83
0,82
0,80
0,79
0,77
0,75
0,74
0,72
0,71
0,69
0,67
0,66
0,64
0,63
0,61
0,60
0,58
0,57
0,60
0,54
0,53
0,52
0,51
0,50
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,45
0,44
0,43
0,42
0,42
0,41
0,40
0,40
0,39
0,38
0,38
0,37
0,37
0,36
0,36
Tipo 6
k’x k’y
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,55
0,56
0,57
0,58
0,58
0,59
0,60
0,60
0,61
0,62
0,62
0,63
0,63
0,64
0,64
0,50
0,49
0,48
0,47
0,46
0,45
0,45
0,44
0,43
0,42
0,42
0,41
0,40
0,40
0,39
0,38
0,38
0,37
0,37
0,36
0,36
Estruturas em Concreto I
55
REAÇÕES DE APOIO - CONTINUAÇÃO
Tipo 1
kx ky
λ
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
2,00
0,65
0,65
0,66
0,66
0,67
0,67
0,68
0,68
0,68
0,69
0,69
0,70
0,70
0,70
0,71
0,71
0,71
0,72
0,72
0,72
0,73
0,73
0,73
0,73
0,74
0,74
0,74
0,74
0,75
0,75
0,35
0,35
0,34
0,34
0,33
0,33
0,32
0,32
0,32
0,31
0,31
0,30
0,30
0,30
0,29
0,29
0,29
0,28
0,28
0,28
0,27
0,27
0,27
0,27
0,26
0,26
0,26
0,26
0,25
0,25
Vx = k x
Tipo 2
kx k’x ky
0,54
0,54
0,55
0,55
0,55
0,55
0,56
0,56
0,56
0,56
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,57
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,58
0,59
0,59
0,59
0,59
0,59
0,59
0,60
0,60
p Ax
2
0,94
0,95
0,95
0,96
0,96
0,97
0,97
0,97
0,98
0,98
0,98
0,99
0,99
0,99
1,00
1,00
1,00
1,01
1,01
1,01
1,02
1,02
1,02
1,02
1,03
1,03
1,,03
1,03
1,04
1,04
0,26
0,25
0,25
0,25
0,24
0,24
0,24
0,23
0,23
0,23
0,23
0,22
0,22
0,22
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,20
0,20
0,20
0,20
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,18
0,18
kx
0,47
0,48
0,48
0,48
0,49
0,49
0,49
0,50
0,50
0,50
0,50
0,51
0,51
0,51
0,52
0,52
0,52
0,52
0,52
0,53
0,53
0,53
0,53
0,54
0,54
0,54
0,54
0,54
0,55
0,55
Vy = k y
Tipo 3
k’x ky
0,82
0,83
0,84
0,84
0,85
0,85
0,86
0,86
0,87
0,87
0,88
0,88
0,89
0,89
0,90
0,90
0,91
0,91
0,91
0,92
0,92
0,92
0,93
0,93
0,94
0,94
0,94
0,95
0,95
0,95
p Ay
2
0,26
0,25
0,25
0,25
0,24
0,24
0,24
0,23
0,23
0,23
0,23
0,22
0,22
0,22
0,21
0,21
0,21
0,21
0,21
0,20
0,20
0,20
0,20
0,19
0,19
0,19
0,19
0,19
0,18
0,18
k’y
Tipo 4
k’x ky
Tipo 5
Tipo 6
k’x ky k’y k’x k’y
0,45
0,44
0,43
0,43
0,42
0,42
0,.41
0,41
0,40
0,40
0,39
0,39
0,38
0,38
0,37
0,37
0,36
0,36
0,36
0,35
0,35
0,35
0,34
0,34
0,33
0,33
0,33
0,32
0,32
0,32
0,80
0,80
0,80
0,80
0,81
0,81
0,81
0,81
0,82
0,82
0,82
0,82
0,83
0,83
0,83
0,83
0,83
0,84
0,84
0,84
0,84
0,84
0,84
0,85
0,85
0,85
0,85
0,85
0,85
0,85
0,72
0,73
0,73
0,73
0,74
0,74
0,74
0,75
0,75
0,75
0,76
0,76
0,76
0,76
0,77
0,77
0,77
0,78
0,78
0,78
0,78
0,79
0,79
0,79
0,79
0,79
0,80
0,80
0,80
0,80
Vx' = k x'
0,20
0,20
0,20
0,20
0,19
0,19
0,19
0,19
0,18
0,18
0,18
0,18
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
p Ax
2
0,20
0,20
0,20
0,20
0,19
0,19
0,19
0,19
0,18
0,18
0,18
0,18
0,17
0,17
0,17
0,17
0,17
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,16
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,15
0,35
0,35
0,34
0,34
0,33
0,33
0,32
0,32
0,32
0,31
0,31
0,30
0,30
0,30
0,29
0,29
0,29
0,28
0,28
0,28
0,27
0,27
0,27
0,26
0,26
0,26
0,26
0,26
0,25
0,25
Vy' = k y'
0,65
0,65
0,66
0,66
0,67
0,67
0,68
0,68
0,68
0,69
0,69
0,70
0,70
0,70
0,71
0,71
0,71
0,72
0,72
0,72
0,73
0,73
0,73
0,73
0,74
0,74
0,74
0,74
0,75
0,75
0,35
0,35
0,34
0,34
0,33
0,33
0,32
0,32
0,32
0,31
0,31
0,30
0,30
0,30
0,29
0,29
0,29
0,28
0,28
0,28
0,27
0,27
0,27
0,27
0,26
0,26
0,26
0,26
0,25
0,25
p Ay
2
7.4 Lajes Armadas em Uma Direção
Conforme visto anteriormente, para uma relação entre os lados maior ou igual a 2 a
transferência de cargas na direção do lado maior torna-se desprezível. Estas lajes serão
calculadas apenas na direção do menor lado, ou seja, em apenas uma direção
É importante observar que na realidade estas lajes também são armadas nas duas
direções. Será desprezado o cálculo da solicitação na direção do lado maior mas não o
efeito da solicitação.
DEC - CTC - UEM
56
A NBR 6118, no item 6.3.1.1 recomenda que “... Nas lajes armadas numa só direção e
nas lajes nervuradas, a armadura de distribuição por metro de largura da laje deve ter
seção transversal de área igual ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com
um mínimo de 0,9 cm2, e ser composta de pelo menos três barras.”
Armadura principal (a ser calculada)
Armadura de distribuição
(estipulada por Norma)
Figura 7-4
Disposição das armaduras nas lajes armadas em uma direção
7.4.1 Determinação dos esforços
Os esforços nas lajes armadas em uma direção serão determinados através do cálculo
de uma viga fictícia de 1,0 m de largura. Esta viga fictícia, de acordo com as
vinculações da laje, poderá ser bi-apoiada, apoiada-engastada, ou bi-engastada.
A determinação dos esforços nessas vigas é bastante simples.
A primeira delas, a bi-apoiada, é uma estrutura isostática e como já foi visto em
“Mecânica dos Sólidos”, não há necessidade de maiores comentários.
As outras duas, a engastada-apoiada e a bi-engastada, são hiperestáticas, e como o
assunto ainda não foi abordado em “Mecânica das Estruturas”, vamos rapidamente
abordar a determinação dos seus esforços, com a ajuda da “Tabela dos Momentos de
Engastamento Perfeito”.
Estas vigas de apenas um tramo, é o se chama de “estrutura elementar” e já foram
calculadas, submetidas aos mais diversos carregamentos, sempre aplicados
individualmente. Por exemplo: carga concentrada, carga uniformemente distribuída,
carga uniformemente distribuída parcialmente, carga momento, carga triangular,
trapezoidal etc.
Estes cálculos foram feitos literalmente, ou seja, como resultado tem-se uma equação.
Estas equações estão dispostas em forma de tabelas, denominadas Tabelas de
Momentos de Engastamento Perfeito.
Dependendo do momento ser no apoio esquerdo ou direito da viga, as equações
poderão vir com o sinal positivo ou negativo. Isto se deve ao fato de estas tabelas
serem utilizadas para estruturas de barras em geral, vigas contínuas, pórticos etc., e
seguirem uma convenção denominada “Convenção de Grinter”.
Estruturas em Concreto I
57
Este assunto será visto em detalhes em “Mecânica das Estruturas”. No momento, como
estamos trabalhando com vigas, os momentos fletores nos apoios serão sempre
negativos.
Mf
p
A
A
p
B
A
A
B
A tabela dos Momentos de Engastamento Perfeito nos fornece a incógnita
hiperestática “Mf”, ou seja a viga à direita pode ser facilmente calculada como uma
viga isostática (o fato de não haver cargas horizontais torna nula a incógnita horizontal
do apoio do segundo gênero à esquerda).
Neste exemplo:
PA 2
Mf =m =
8
/
pA
2
pA
8
pA
2
pA
8
5
pA
8
Σ Fy = 0
Σ Mf(A) = 0 e Σ MF(B) = 0
3
pA
8
Reações nos apoios A e B
O momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será
nulo.
p
x
px =
3
pA
8
→
3
x= A
8
2
3
pA
8
Mf max +
Mf max +
⎛3 ⎞
p⎜ A⎟
3
3
9
9
8
= pA A − ⎝ ⎠ =
pA 2 −
pA 2
8
8
2
64
128
9
pA 2
2
=
pA =
128
14, 22
Se esta viga estivesse submetida a uma cominação de cargas, como o exemplo abaixo;
DEC - CTC - UEM
58
p2
p2
p1
A
A
P
Mf
P
B
p1
A
A
B
n
O Princípio da Superposição do Efeitos nos permite fazer: Mf = ∑ MEPi . Ou seja, a
i =1
somatória dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que
carregam a viga.
Para cargas uniformemente distribuídas.
A
M max =
1
x= A
2
B
pA
8
2
do apoio A
RA = RB =
1
pA
2
A
B
pA
8
pA 2
=
14,22
MA = −
M max +
2
5
x = A do apoio A
8
5
3
RA = pA
RA = pA
8
8
A
B
MA = MB =
M max +
1
x= A
2
pA
12
2
pA 2
=
24
do apoio A
RA = RB =
1
pA
2
7.5 A altura e a altura útil
É importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. A altura é a
espessura total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a
altura útil e a distância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do
elemento.
A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga
com armadura disposta em duas camadas) a diferença entre estas duas “alturas”, ou
seja:
h = d + ycg
Equação 24
onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada.
Estruturas em Concreto I
Lajes
59
Vigas
d
d
h
ycg
• • • • • •
Figura 7-5
h
ycg
Centro de massa da armadura em lajes e vigas.
Para melhor entendimento desta variável “ycg”, a figura abaixo detalha a seção da viga
acima.
ycg = cg + φt + c
cg
φt
c
Figura 7-6
cg
φt
c
centro de massa das barras
diâmetro do estribo
cobrimento da armadura
Detalhamento do centro de massa da armadura em vigas.
O centro de massa das barras é determinado conforme os conceitos ministrados em
“Mecânica dos Sólidos”. O diâmetro do estribo será visto mais adiante no tópico
“Cisalhamento”, sendo normalmente usado, para as vigas, ferros de 5,0 ou 6,3 mm.
Vamos exemplificar o cálculo do centro de massa da armadura.
Para a seção da figura anterior, suponhamos que a primeira camada seja composta por
2 φ 12,5 mm (nas extremidades) e 1 φ 10,0 mm (no centro); e a segunda camada por 2
φ 10,0 mm.
A distância entre as bordas das armaduras da primeira e da segunda camada,
denomina-se espaçamento vertical “ev” (na horizontal o mesmo espaçamento é
denominado espaçamento horizontal “eh”), e como será visto adiante, para este
exemplo ev = 2,0 cm.
Como eixo de referência, para o cálculo do centro de massa, será adotado a borda
inferior da primeira camada.
Conforme mostrado na figura abaixo, as barras alinhadas na horizontal formam uma
seção única Asi, sendo a distância do seu centro de massa ao eixo de referência yi,
desta forma:
DEC - CTC - UEM
60
Asi
As1
As2
As3
barras
2 φ 12,5 mm
1 φ 10,0 mm
2 φ 10,0 mm
seção
2,5 cm2
0,8 cm2
1,6 cm2
yi
0,625 cm
0,5 cm
3,75 cm
As3
As TOTAL
cg
eixo de referência
As2
As1
y2
y1
y3
AsTOTAL * cg = ( As1 * y1 ) + ( As 2 * y2 ) + ( As 3 * y3 )
cg =
( As1 * y1 ) + ( As 2 * y2 ) + ( As3 * y3 ) = ( 2,5 * 0,625) + ( 0,8 * 0,5) + (1,6 * 3,75)
cg =
7,9625
= 1,625 cm
4,9
AsTOTAL
2,5 + 0,8 + 1,6
Obs. O “cg” depende apenas da armadura, enquanto o “ycg” ( ycg = cg + φt + c )
depende também do cobrimento “c” e do diâmetro do estribo “φt”, que são variáveis.
7.6 Proteção da Armadura
A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de corrosão dos aços,
que ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida útil da estrutura. Esta
proteção normalmente é feita através de uma camada de concreto com uma espessura
mínima em função do revestimento (ou não) do elemento e das condições ambientais
(meio agressivo, meio não agressivo, no interior de edifícios, ao ar livre, em contato
com o solo etc.).
A NBR 6118 no item 6.3.3 prescreve as condições mínimas para a proteção adequada
das armaduras em estruturas de concreto armado.
6.3.3 Proteção
6.3.3.1 Cobrimento
Qualquer barra da armadura, inclusive de distribuição, de montagem e estribos, deve
ter cobrimento de concreto pelo menos igual ao seu diâmetro, mas não menor que:
Estruturas em Concreto I
em lajes no interior de edifícios
61
0,5 cm
em paredes no interior de edifícios
1,0 cm
para concreto revestido
em lajes e paredes ao ar livre
1,5 cm
com
argamassa
de
espessura mínima de 1 cm em vigas, pilares e arcos no interior de 1,5 cm
edifícios
em vigas, pilares o arcos ao ar livre
2,0 cm
no Interior de edifícios
ao ar livre
para concreto em contato com o solo
para concreto em meio fortemente agressivo
para concreto aparente
2,0 cm
2,5 cm
3,0 cm
4,0 cm
• Se o solo não for rochoso, sob a estrutura deverá ser interposta uma camada
de concreto simples, não considerada no cálculo, com o consumo mínimo de
250 kg de cimento por metro cúbico e espessura de pelo menos 5 cm
• Para cobrimento maior que 6 cm deve-se colocar uma armadura de pele
complementar, em rede, cujo cobrimento não deve ser inferior aos limites
especificados neste item.
• No caso de estruturas que devam ser resistentes ao fogo. o cobrimento deverá
atender às exigências da NB-503, além das especificadas neste item.
No exemplo anterior, do cálculo do centro de massa da armadura, determinamos o
valor do cg = 1,625 cm. Para a determinação do ycg devemos acrescentar o diâmetro do
estribo mais o cobrimento.
Considerando uma viga, revestida, interna, com estribos de 5,0 mm:
ycg = cg + φt + c = 1,625 + 0,5 + 1,5 = 3,625 cm
6.3.3.2 Medidas especiais
Além do cobrimento mínimo, deverão ser tomadas medidas especiais para aumento da
proteção da armadura se o concreto for sujeito a abrasão, a altas temperaturas, a
correntes elétricas ou a agentes fortemente agressivos, tais como ambiente marinho e
agentes químicos.
O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a
concretagem e vibração do concreto, as barras permaneçam em suas posições,
conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto, é feito através do uso
de distanciadores, que podem ser feitos na obra ou industrializados
Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma
pequena placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao
DEC - CTC - UEM
62
cobrimento de concreto, com traço superior ao do elemento a ser concretado, com um
pedaço de arame recozido, trançado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura
abaixo.
Figura 7-7
Distanciadores de armadura executados na obra
Os distanciadores industrializados, normalmente são de plástico, de alta resistência,
apresentando forma e dimensões variadas. Como exemplo, na figura a seguir são
apresentados alguns dos distanciadores. No Brasil existem vários fabricantes destes
distanciadores, podendo ser citados a COPLAS®, JERUELPLAST® e a
HOMERPLAST ®.
Estruturas em Concreto I
63
Modelo A Distanciador circular com entrada radial, indicada para ferragem
vertical na construção de paredes, colunas e pré-moldados de
concreto.
Permite recobrimento de 15 mm e ferros de bitola de 5mm a 16 mm.
Modelo F Distanciador circular com entrada lateral, indicado para ferragem
vertical..
Permite recobrimentos de 15, 20 e 30 mm e ferros de bitola de 5mm a
10 mm.
Modelo B/P Distanciador tipo torre para ferragem pesada e de
grande diâmetro, usado em lajes..
Permite recobrimentos de 15 a 50 mm e ferros de
qualquer bitola.
Modelo E Distanciador universal para uso tanto na horizontal como na vertical.
Especialmente indicado para pré-moldados.
Permite recobrimento de 10 a 50 mm e ferros de bitola até 10 mm.
Modelo G Distanciador universal para uso tanto na horizontal como na vertical.
Permite recobrimento de 20 mm e ferros de bitola até 12,5 mm.
Aparelho aplicador dos distanciadores
modelo G.
O carregador, situado no topo do
aparelho, comporta até 35 distanciadores.
Figura 7-8
Exemplos de alguns dos distanciadores HOMERPLAST ®
DEC - CTC - UEM
64
Espaçadores industrializados para lajes e vigas.
Caranguejo
Espaçador feito na obra (para lajes e vigas).
7.7 Altura Útil e Espessuras Mínimas
A altura útil “d” das lajes é tratada pela NBR 6120 - item 4.2.3.1-C
• as flechas medidas a partir do plano que contém os apoios, quando atuarem
todas as ações, não ultrapassarão 1/300 do vão teórico, exceto no caso de
balanços para os quais não ultrapassarão 1/150 do seu comprimento teórico.
• o deslocamento causado pelas cargas acidentais não será superior a 1/500 do
vão teórico e 1/250 do comprimento teórico dos balanços
Em vigas de seção retangular ou T e lajes maciças retangulares de edifícios serão
consideradas atendidas as condições a e b e dispensar-se-á o cálculo das flechas
quando a altura útil d não for inferior ao valor
A
ψ 2ψ 3
devendo-se tomar para ψ2 e ψ3
os valores tabelados abaixo (nas lajes armadas em cruz, A é o menor vão); em qualquer
caso deverão ser respeitados os limites do item 6.1.1.1.
d ≥
A
ψ2 ψ3
A espessura h das lajes é tratada pela NBR 6120 no item 6.1.1.1.
Equação 25
Estruturas em Concreto I
65
A espessura das lajes não deve ser menor que:
a) 5 cm em lajes de cobertura não em balanços;
b) 7 cm em lajes de piso e lajes em balanço;
c) 12 cm em lajes destinadas a passagem de veículos;
VALORES DE ψ3
Aço
Resist. de cálculo
2
σsd (kgf/cm )
CA 25
CA 32
CA 40
CA 50
CA 60
2150
2800
3500
4350
5200
ψ3
Vigas e lajes
nervuradas
25
22
20
17
15
Lajes maciças
35
33
30
25
20
VALORES DE ψ2 - VIGAS E LAJES ARMADAS EM UMA DIREÇÃO
ψ2 = 1,0
ψ2 = 1,2
ψ2 = 1,7
ψ2 = 0,5
DEC - CTC - UEM
66
VALORES DE ψ2 - LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
Ax
Ay
2,2
1,7
2,0
1,4
2,0
1,7
1,8
1,4
1,9
1,7
1,7
1,7
1,7
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,0
1,0
1,9
1,2
1,7
1,1
1,5
1,1
1,1
1,0
1,7
0,5
1,4
0,5
1,1
0,5
0,7
0,5
1,7
0,5 *
1,3
0,5 *
1,0
0,5 *
0,6 *
0,5 *
1,7
1,7
0,6
0,5
0,5 *
0,3 *
Obs:.
A convenção aplicada para as vinculações é a do item 6.1 da NBR 6118.
Ax é o vão maior e Ay o menor (** cuidado)
valor superior – ψ2 para Ax / Ay = 1
valor inferior – ψ2 para Ax / Ay = 2
Pode-se obter ψ2 para Ax / Ay > 2 exceto nos casos assinalados com asterístico.
Para 1 < Ax / Ay < 2, interpolar linearmente
A seguir são apresentadas duas tabelas de ψ2 para lajes armadas em duas direções. Na
primeira a tabela acima com tem os seus valores interpolados para ∆=lx/ly = {1,2, 1,4,
1,6, e 1,8} e na segunda tabela adaptou-se esta recomendação da Norma para a
convenção de Marcus, ou seja, o mesmo λ usado para as tabelas de Marcus, é utilizado
para a determinação do coeficiente ψ2.
Estruturas em Concreto I
67
VALORES DE ψ2
LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
A1
∆
A2
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
∆=
l2
l1
1,5
1,4
1,3
1,3
1,2
1,1
1,7
1,6
1,5
1,3
1,2
1,1
1,9
1,8
1,6
1,5
1,3
1,2
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,0
1,1
1,1
1,1
1,0
1,0
1,0
1,7
1,6
1,6
1,5
1,5
1,4
1,8
1,7
1,6
1,6
1,5
1,4
2,0
1,9
1,8
1,6
1,5
1,4
1,4
1,4
1,4
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,3
1,9
1,9
1,8
1,8
1,7
1,7
2,0
1,9
1,9
1,8
1,8
1,7
2,2
2,1
2,0
1,9
1,8
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,7
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
1,4
1,2
1,1
0,9
0,8
0,6
1,7
1,5
1,3
1,1
0,9
0,7
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,6
0,6
0,6
0,5
0,5
0,5
onde: l2 é sempre o maior vão
1,0
0,9
0,8
0,8
0,7
0,6
1,3
1,2
1,1
0,9
0,8
0,7
1,7
1,5
1,3
1,2
1,0
0,8
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,7
0,7
0,6
0,6
0,5
0,5
DEC - CTC - UEM
68
VALORES DE ψ2 - LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES
(Convenção de Marcus)
λ
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
T1
T2
1,10
1,12
1,15
1,17
1,19
1,21
1,23
1,25
1,27
1,28
1,30
1,32
1,33
1,35
1,36
1,38
1,39
1,40
1,42
1,43
1,44
1,45
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,63
1,64
1,65
1,65
1,66
1,67
1,68
1,68
1,69
1,69
T3
T4
T5
1,20
1,23
1,25
1,28
1,30
1,33
1,35
1,37
1,39
1,41
1,43
1,45
1,47
1,49
1,51
1,52
1,54
1,56
1,57
1,58
1,60
1,61
1,63
1,64
1,65
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,86
1,87
1,88
1,89
1,89
1,40
1,42
1,45
1,47
1,49
1,51
1,53
1,55
1,57
1,58
1,60
1,62
1,63
1,65
1,66
1,68
1,69
1,70
1,72
1,73
1,74
1,75
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,93
1,94
1,95
1,95
1,96
1,97
1,98
1,98
1,99
1,99
T6
λ
T1
T2
T3
T4
T5 T6
1,00
1,02
1,04
1,06
1,08
1,10
1,12
1,14
1,16
1,18
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,50
1,52
1,54
1,56
1,58
1,60
1,62
1,64
1,66
1,68
1,70
1,72
1,74
1,76
1,78
1,80
1,82
1,84
1,86
1,88
1,90
1,92
1,94
1,96
1,98
2,00
1,50
1,49
1,48
1,48
1,47
1,46
1,45
1,44
1,44
1,43
1,42
1,41
1,40
1,40
1,39
1,38
1,37
1,36
1,36
1,35
1,34
1,33
1,32
1,32
1,31
1,30
1,29
1,28
1,28
1,27
1,26
1,25
1,24
1,24
1,23
1,22
1,21
1,20
1,20
1,19
1,18
1,17
1,16
1,16
1,15
1,14
1,13
1,12
1,12
1,11
1,10
1,70
1,69
1,69
1,68
1,68
1,67
1,66
1,66
1,65
1,65
1,64
1,63
1,63
1,62
1,62
1,61
1,60
1,60
1,59
1,59
1,58
1,57
1,57
1,56
1,56
1,55
1,54
1,54
1,53
1,53
1,52
1,51
1,51
1,50
1,50
1,49
1,48
1,48
1,47
1,47
1,46
1,45
1,45
1,44
1,44
1,43
1,42
1,42
1,41
1,41
1,40
1,80
1,79
1,78
1,78
1,77
1,76
1,75
1,74
1,74
1,73
1,72
1,71
1,70
1,70
1,69
1,68
1,67
1,66
1,66
1,65
1,64
1,63
1,62
1,62
1,61
1,60
1,59
1,58
1,58
1,57
1,56
1,55
1,54
1,54
1,53
1,52
1,51
1,50
1,50
1,49
1,48
1,47
1,46
1,46
1,45
1,44
1,43
1,42
1,42
1,41
1,40
1,90
1,90
1,89
1,89
1,88
1,88
1,88
1,87
1,87
1,86
1,86
1,86
1,85
1,85
1,84
1,84
1,84
1,83
1,83
1,82
1,82
1,82
1,81
1,81
1,80
1,80
1,80
1,79
1,79
1,78
1,78
1,78
1,77
1,77
1,76
1,76
1,76
1,75
1,75
1,74
1,74
1,74
1,73
1,73
1,72
1,72
1,72
1,71
1,71
1,70
1,70
2,00
1,99
1,99
1,98
1,98
1,97
1,96
1,96
1,95
1,95
1,94
1,93
1,93
1,92
1,92
1,91
1,90
1,90
1,89
1,89
1,88
1,87
1,87
1,86
1,86
1,85
1,84
1,84
1,83
1,83
1,82
1,81
1,81
1,80
1,80
1,79
1,78
1,78
1,77
1,77
1,76
1,75
1,75
1,74
1,74
1,73
1,72
1,72
1,71
1,71
1,70
2,20
2,19
2,18
2,17
2,16
2,15
2,14
2,13
2,12
2,11
2,10
2,09
2,08
2,07
2,06
2,05
2,04
2,03
2,02
2,01
2,00
1,99
1,98
1,97
1,96
1,95
1,94
1,93
1,92
1,91
1,90
1,89
1,88
1,87
1,86
1,85
1,84
1,83
1,82
1,81
1,80
1,79
1,78
1,77
1,76
1,75
1,74
1,73
1,72
1,71
1,70
Estruturas em Concreto I
69
7.8 Carga de paredes. Cargas não uniformemente distribuídas.
NBR-6118 - item 3.3.2.4, 3.3.2.5
As cargas concentradas ou parcialmente distribuídas são supostas distribuindo-se a 45°
até o plano médio da laje.
a
a
45° 45°
h
h/2
45°
b = a + h/2
45°
b=a+h
Figura 7-9 Distribuição de cargas concentradas ou lineares no plano de uma laje.
7.8.1 Lajes Armadas em uma direção
Nas Lajes armadas em uma direção permite-se o cálculo simplificado como uma viga
de largura bw igual a largura b determinadada conforme a figura acima (b=a+h), nos
casos em que b for maior que o vão teórico A. Se b for menor que o vão teórico A ou
que o comprimento teórico (balanço), usa-se bw igual a:
b+
2a1 ( l − a1 ) ⎛ b ⎞
⎜1 −
l
l⎠
⎝
para momentos fletores negativos:
b+
a1 ( 2l − a1 ) ⎛ b ⎞
⎜1 − ⎟
l
⎝ l⎠
para forças cortantes:
⎛ b⎞
b + a1 ⎜1 − ⎟
l⎠
⎝
⎛ b⎞
b + 1,5a1 ⎜1 − ⎟
l⎠
⎝
⎛ b⎞
b + 0,5a1 ⎜1 − ⎟
l⎠
⎝
para momentos fletores positivos:
para momentos fletores em lajes em balanços:
para forças cortantes em lajes em balanço:
onde a1 é a distancia do centro da carga ao apoio para cujo lado está a seção que se
estuda. Para lajes de edifícios armadas em uma direção a1 pode ser considerado como
A/2.
DEC - CTC - UEM
70
Borda livre
Borda livre
b=a+h
A seção considerada acha-se
a1
neste intervalo
A
bw
Para edificações pode-se simplificar as expressões de bw fornecidas anteriormente,
considerando-se que bw << A e a1 = A/2.
Para exemplificar a simplificação feita, tomemos a equação “a”.
b+
2a1 ( A − a1 ) ⎛ b ⎞
⎜1 − ⎟
A
⎝ A⎠
e como
a1=A/2
como
b<<A
como b<<A Î
A⎛
A⎞
2 ⎜A − ⎟
2⎝
2⎠
b+
A
bw = b +
Î
⎛ b⎞
⎜1 − ⎟ = 1
⎝ A⎠
⎛A⎞
A ⎜ ⎟
2
b+ ⎝ ⎠ Î
A
b+
A2
2A
A2
= 0,5 A
2A
fazendo-se o mesmo para as demais equações, obtem-se:
•
•
•
momentos fletores positivos e cortantes
momentos fletores negativos (inclusive balanços)
esforços cortantes, em balanço
bw = 0,50 A
bw = 0,75 A
bw = 0,25 A
Estruturas em Concreto I
71
Nas lajes armadas em uma direção tem-se, portanto, o carregamento de paredes,
solicitando uma região da laje correspondente à sua área de influência (da parede). O
carregamento de paredes em lajes armadas em 1 direção se dá através de cargas
distribuídas (paredes orientadas segundo a direção da viga fictícia) ou concentradas
(paredes orientadas normalmente à direção da viga fictícia). Na figura abaixo, a parede
1 provoca na laje (viga fictícia) uma carga uniformemente distribuída enquanto a
parede 2 provoca uma carga concentrada (Observe que os 2 traços cheios horizontais,
de comprimento A/4 é a influência, à esquerda e à direita da parede p2).
Parede I
Parede II
ÍA
ÍA
ÍA
P
A
ÍB
l
2
a
b
l
4
c
l
4
d
p0
ÍB
p1
(1)
p0
(2)
ÍB
P
p0
(3)
e
Figura 7-10 Cargas de paredes em lajes.
Onde:
p0
peso próprio, revestimento, carga acidental etc.
p1
carga uniformemente distribuída da parede I
P
carga concentrada da parede II
A laje da figura acima tem 5 regiões com carregamentos diferentes (regiões “a”, “b”,
“c”, “d”, e “e”) sendo que, as regiões “a”, “c” e “e” são solicitadas pela carga
uniformemente distribuída “p1”, a região “b” é solicitada pelas cargas uniformemente
distribuídas “p1” e “p2” e a região “d” é solicitada pela carga uniformemente
distribuída “p1” e pela carga concentrada “P”. Estas regiões serão denominadas de
“faixas” e serão representadas pelas suas respectivas vigas fictícias. Desta forma
sempre que houver alteração na viga fictícia (mudanças no carregamento ou na
vinculação) tem-se uma nova faixa.
É importante se fazer a distinção de “área de influência de uma parede” e “faixa de
uma laje”. Na figura abaixo as áreas de influência das paredes 1 e 2 estão se
superpondo, ou seja, houve uma mudança d carregamento, portanto, uma nova faixa.
Neste exemplo, ao contrário do anterior, as faixas são diferentes das áreas de
influência.
DEC - CTC - UEM
72
A/2
A/4
a) f)
b)
Parede I
Parede III
c)
Parede II
A/4
a
d)
e)
A/2
b c d
e
f
Figura 7-11 Esquema de carregamento das vigas fictícias nas lajes armadas em uma
direção
Vamos considerar que p1 será a carga uniformemente distribuida proveniente do peso
próprio, do revestimento e da carga acidental, ou seja, p1 será constante para todas as
faixas da laje. Supondo que a parede tenha expessura bp, altura h, e peso específico γp,
a carga uniformemente distribuída p2 que atuará na laje, por metro quadrado é
determinada como se segue:
peso da parede por metro linear
P1 = bp h γ p
desta forma p2 será dado por:
p2 =
Equação 26
P1 2 bp h γ p
=
A
A
2
Equação 27
e como a viga fictícia tem 1,0 m de largura, a carga p2 que carrega a laje por metro
quadrado, carregará a viga por metro linear.
Viga fictícia com
1,0 m de largura.
p2
1,0 m
A
A/4
A/4
Carga da faixa de parede atuando na
laje
Figura 7-12 Cargas de paredes em lajes armadas em uma direção.
Estruturas em Concreto I
73
7.8.2 Lajes Armadas em duas direções
Nas Lajes armadas em duas direções permite-se o cálculo simplificado distribuindo-se
o peso total da parede pela área da laje (efeitos de grelha).
7.9 Vão teórico de lajes - (NBR-6118-item 3.3.2.3.)
O vão teórico é a distancia entre os centros de apoio, não sendo maiores que:
• Laje isolada - Vão livre mais espessura da laje no meio do vão
• Laje contínua - vão externo - Vão livre mais semi-largura do apoio interno,
mais semi-espessura da laje no meio do vão.
Obs:. Para as lajes é usual se tomar a distância de centro a centro dos apoios (vigas)
uma vez que a diferença, normalmente é pequena (a exceção seria o caso das vigas de
maior largura, as vigas de transição por exemplo.)
7.10 Extensão e qualidade dos apoios.
Se em lado qualquer da laje houver predominância de uma vinculação sobre outra
qualquer, esta vinculação prevalece e será a única considerada. A predominância de
uma vinculação sobre outra se dá quando esta ocorre em mais de 2/3 do comprimento
do lado.
Não havendo a predominância de uma vinculação sobre outra, deve-se calcular a laje
supondo cada uma das vinculações isoladamente e interpolar os resultados obtidos (ou
tomar os mais críticos).
A figura abaixo exemplifica o enunciado, ou seja, a laje L1 deve ser calculada como
“tipo 1”, como “tipo 2”, e terá como esforços solicitantes os maiores entre os
calculados.
L1
L2
Figura 7-13 Predominância de uma vinculação sobre a outra
7.11 Abertura em lajes - NBR 6118 - item 6.2.1.
Quando forem previstas aberturas em qualquer peça de concreto armado, deve-se
verificar o seu efeito na resistência e na deformação de modo que não sejam
ultrapassados os limites exigidos nesta Norma.
A verificação de que trata este item será dispensada nos seguintes casos:
DEC - CTC - UEM
74
• aberturas em vigas que as atravessem na direção de sua espessura, havendo
apenas uma em cada meio tramo, situadas a uma distância da face do apoio
maior que 2 h e em zona de tração, com dimensão transversal não superior a
12 cm nem a h/2, não interceptando qualquer barra da armadura e respeitando
as exigências de cobrimento da armadura;
• aberturas normais ao plano médio das lajes armadas numa só direção, se na
direção perpendicular à armadura principal a maior dimensão da abertura não
ultrapassar 1/10 da largura útil (item 3.3.2.5) e nem 1/10 do vão, não havendo
entre 2 aberturas consecutivas distância inferior a 1/2 do vão e entre uma
abertura e a borda livre da laje distância Inferior a 1/4 do vão;
• aberturas normais ao plano médio das lajes armadas em cruz, se a dimensão
da abertura em cada direção da armadura não ultrapassar 1/10 do menor vão e
não houver entre duas aberturas distância inferior a 1/2 do vão e entre urna
abertura e a borda livre da laje distância inferior a 1/4 do vão;
• aberturas paralelas ao plano médio das lajes, se a sua maior dimensão
transversal for inferior a 1/3 da espessura da laje e o espaçamento entre duas
aberturas consecutivas de centro a centro for superior a 4 vezes aquela maior
dimensão.
7.12 Canalizações embutidas
Salvo quando as canalizações embutidas atravessam peças da estrutura de fora a fora,
na direção da espessura, não são elas permitidas nos seguintes casos:
• canalizações sem isolamento adequado ou verificação especial quando
destinadas a passagem de fluídos com temperatura que se afaste de mais de
15°C da temperatura ambiente;
• canalizações destinadas a suportar pressões internas que ultrapassam 3
kgf/cm2.
• Não serão permitidas canalizações embutidas longitudinalmente nos pilares,
quer no concreto, quer em espaços vazios internos à peça que não tenham
aberturas de drenagem.
7.13 Apoios sobre alvenaria - NBR-6118 - item 6.1.1.2.
Os apoios sobre alvenaria não devem ser menores que a espessura da laje no meio do
vão, nem menor que 7,0 cm.
Estruturas em Concreto I
75
8 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura.
8.1 Dispositivos auxiliares de cálculo
O projeto de uma estrutura, compreendendo a memória de cálculo, os desenhos de
forma, de armação, assim como todas as anotações sobre considerações feitas no
projeto, devem ser guardadas para sempre. Vinte, trinta anos após a execução de uma
obra, esta pode ser objeto de uma reforma que implique em alterações no projeto
estrutural. Diante disto, tem-se a necessidade de se ter memórias de cálculo de fácil
entendimento, com todas as informações envolvidas na elaboração do projeto e da
forma mais concisa possível.
A seguir propõe-se como exemplo, rotinas de cálculo através de tabelas, que permitem
a sistematização do cálculo e uma melhor visualização das informações. Esta
sistematização é importante para o uso de planulhas eletrônicas. O modelo abaixo
pode ser extendido até a determinação dos momentos fletores e esforços cortantes
Laje Tipo ly
1
2
3-a
3-b
lx
λ
ψ2 ψ3
d
h
pp rev alv out. S.T. Acd TT
2 4,25 3,15 1,35
3
--3,0
--3,0
obs.:
Laje
pp
rev
alv
out
S.T.
acd
TT
3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direção
peso próprio da laje pôr metro quadrado.
peso próprio do revestimento
peso próprio da alvenaria, quando houver carga de paredes
outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga
proveniente de base de máquinas, etc.
subtotal - ou soma das cargas permanentes
sobrecarga ou carga acidental
carga total por metro quadrado atuante na laje
Este tipo de tabela pode ser adaptado às conveniências do calculista e ampliado para a
determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio). O uso
de planilhas de cáculo facilita bastante este trabalho.
DEC - CTC - UEM
76
8.2 Determinação dos esforços.
A partir da planta de forma, as lajes são destacadas uma a uma, conservando as suas
vinculações originais. O cálculo é então realizado como se as lajes fossem todas
isoladas.
A seguir é exemplificado o procedimento de cálculo, a partir do esboço de planta de
forma apresentado. Os traços mais escuros representam o nível do pavimento. Neste
esquema apresentado, as lajes L1, L2 e L4 estão niveladas e a laje L3 está rebaixada.
Os pilares P5, P6, ..., P12 e as vigas V102, V103, ..., V109 serão desenhados de forma
análoga aos pilares P1 a P4 e à viga V101 respectivamente, observando que a
numeração dos pilares é da esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas é
da esquerda para a direita, de cima para baixo (para as horizontais) e de baixo para
cima, da esquerda para a direita (para as verticais).
P1(12x30)
P2(12x30)
a
L1
H=8cm
V101(12x35)
c
b
L5
H=8cm
Figura 8-1
P3(12x40)
L2
H=9,5cm
L6
H=8,0cm
f
e
L3
H=8cm
g
P4(12x25)
d
L4
H=8,0cm
L7
H=9,5cm
Esboço da planta de forma do pavimento de uma edificação.
Deve-se observar que:
• a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx
e ly estão colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a
laje 7 que deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3.
• a laje 3 está rebaixada, conforme a representação na planta de forma, sendo
portanto uma laje Tipo 1.
A partir da planta de forma é feita a discretização das lajes, destacando-se uma a uma,
para a obtenção das lajes isoladas e suas vinculações:
A figura a seguir ilustra este processo
Estruturas em Concreto I
.
Ay
Ax
Ay
L1
Ax
L2
Ax
L5
Ax
Figura 8-2
Ax
L3
L4
Ay
Ay
Ax
Ay
Ay
77
L6
Ax
L7
Ay
Destaque das lajes constituintes da planta de forma.
(A laje 02 deverá ser calculada como “tipo 3” e como “tipo 5”)
Após a determinação dos esforços em cada uma das lajes (momentos fletores e reações
de apoio), calculados como se fossem isoladas, torna-se necessário o reagrupamento
destas lajes, conforme a situação original, pois, é necessário que se considere o efeito
de cada uma das lajes sobre as que a cercam. É o que chamamos de compensação dos
momentos fletores.
Acabamos de ver uma situação de laje “rebaixada”. A laje 03 está abaixo do nível do
pavimento. As demais lajes do exemplo são consideradas “normais”. Em relação às
vigas, estas poderâo ser:
Vigas normais;
Vigas invertidas;
Vigas intermediárias.
Os desenhos e esquemas das formas a seguir ilustram o exposto acima e detalham
melhor o processo de execução.
78
DEC - CTC - UEM
Viga “Normal”. A laje está sôbre a viga.
Estruturas em Concreto I
79
Viga “Invertida”. A laje está sob a viga.
A situação típica de lajes rebaixadas, são as lajes de banheiro (também as áreas de
serviço e cozinhas) onde se tem a tubulação de esgoto da bacia sanitária de 4” fazendo
uma curva de 90o, e ralos sifonados. Esta solução atualmente está em desuso, com a
utilisação dos forros falsos.
Os rebaixos de banheiros devem ser de no mínimo 25 cm.
80
DEC - CTC - UEM
Viga “Intermediária”. A laje está a meia altura da viga.
A situação típica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 3 a 4 cm, são as
lajes de terraço. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de água no
outro ambiente.
Estruturas em Concreto I
Viga “Normal”. Forma para laje laje em balanço (beiral)
81
DEC - CTC - UEM
82
“Estrado” de uma laje visto por baixo.
8.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados)
A representação esquemática dos momentos fletores nas lajes é feita conforme a figura
abaixo – “Planta dos Momentos Fletores não Compensados”. A partir destes
momentos fletores é feita a compensação.
My
Mx
Mx
My
Xx
Xx
Xx Xy
Xy
Xy
My
My
Mx
Xx Xx
Mx
Xy
Xy
Mx
Mx
My
Mx
Xx
Xx
My
My
Figura 8-3 Momentos fletores não compensados.
Estruturas em Concreto I
83
8.2.2 Compensação dos momentos fletores
A compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, é um processo
bastante simplificado, rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos
reais, desde que se observe algumas restrições:
• a carga permanente deve ser maior que a acidental,
• carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total,
• as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si
Ao contrario das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos momentos ao longo
dos tramos, nas lajes esta propagação não será considerada. A compensação será feita
uma a uma, independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6 e
L7, a compensação das lajes L5 e L6 poderá alterar o momento fletor Mx (o momento
na direção horizontal), mas ao se fazer a compensação das lajes L6 e L7, devem ser
tomados todos os valores originais, como se a compensação L5 e L6 não tivesse sido
realizada.
Através da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensação. Tomando como
exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o “nó” a ser compensado e os esforços
envolvidos na compensação. Pela laje L1 tem-se o momento positivo Mx1 e o
negativo Xx1 e pela laje L2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo
respectivamente. Em tracejado está o diagrama de momentos compensado com os
esforços Mx1*, X* e Mx2*
Xx1
X*
Xx2
∆
Mx2
Mx1*
Mx1
Mx2*
δ2
δ1
∆ = Xx1 - X*
δ1 = ∆ / 2
Figura 8-4 Compensação dos momentos fletores
O processo de compensação, bastante simplificado, será:
⎧⎪ 1 ( X x1 + X x 2 )
X*≥ ⎨ 2
⎪⎩0,8 X x1
∆ = X x1 − X *
δ = 0,5 ∆ Equação 28
DEC - CTC - UEM
84
Com estas correções altera-se os valores dos momentos positivos, que também serão
corrigidos, somando-se δ=∆/2 ao momento positivo correspondente ao lado de Mx1,
uma vez que o diagrama de momento fletor da laje L1 “desceu”, reduzindo o
momento negativo e aumentando o momento positivo. Ao contrario. o diagrama de
momento fletor da laje L2 “subiu”, aumentando o momento fletor negativo e
reduzindo o momento fletor positivo, sendo que neste caso, a redução pode ser
desprezada, a favor a segurança.
(Observar que Xx1 é o maior momento fletor e somente a laje que o contém terá seu
momento fletor positivo majorado )
My
Mx
My
My
Mx
X12
Mx
Mx
My
X47
X27
X26
X15
Mx
Mx
X56
My
Figura 8-5
My*
Mx
X67
My
Momentos fletores compensados
Como já foi dito anteriormente, estas compensações serão feitas caso a caso, (nó a nó),
como se cada uma delas estivesse sendo feita pela primeira vez. Desta forma quando
for feita a compensação das lajes L2 e L7, serão utilizados os momentos Mx2, Xx2,
Xx7 e Mx7, independente de o momento Mx2 ter sido alterado ou não na
compensação das lajes L1 e L2. Com isto pode acontecer de a laje L2 apresentar dois
momentos Mx2*, neste caso toma-se o maior.
8.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura
A partir dos momentos fletores compensados, as lajes serão dimensionadas à flexão,
como vigas fictícias de 1,0 metro de largura e altura h. Alguns cuidados a serem
tomados na escolha das bitolas, além daqueles prescritos em norma, são utilizar apenas
uma bitola para a armação dos momentos fletores positivos e apenas uma bitola para a
armação dos momentos fletores negativos, que pode ser a mesma utilizada para os
positivos ou não.
Desta forma, esforços diferentes implicarão na utilização da mesma bitola com
espaçamentos diferentes. Isto é importante para a fiscalização, antes da concretagem,
pois bitolas de 5,0 mm podem induzir a erros quando utilizadas com a de 6,3 mm.
Estruturas em Concreto I
85
8.3.1 Distribuição das armaduras de flexão
8.3.1.1 Armaduras Positivas
As armaduras positivas devem ser distribuídas de modo a cobrir a superfície de
momentos fletores, o que é impraticável pois as tabelas geralmente só fornecem
valores correspondentes ás faixas centrais. Em virtude deste problema existem
processos simplificados que, para os casos correntes, resultam bastantes eficientes para
efetuar esta distribuição.
A prática, tem consagrado uma simplificação, onde os comprimentos das barras (que
já inclui os comprimentos de ancoragem), aparecem em função do vão em será
disposta a armadura.
c = 0,85 A
0,85 Ay
0,80 Ax
Ay
c = 0,80 A
c = 0,75 A
Ax
Figura 8-6
Disposição da armadura positiva e comprimento das barras em lajes.
É importante observar que, com tais esquemas de distribuição das armaduras, a zona
central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com ½ As, indicando que o
critério é satisfatório.
8.3.1.2 Armaduras negativas.
A NBR 6118 no item 3.3.2.7 estabelece que “quando não se determinar o diagrama
exato dos momentos negativos, em lajes retangulares de edifícios com carga
distribuída e q ≤ g, as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estenderse de acordo com o diagrama triangular de momentos (considerado já deslocado ) de
base igual ao valor adiante indicado:
a) Em Lajes atuando em duas direções ortogonais:
• Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livremente
apoiada ou engastada, 0,25 do menor vão.
• Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vãos menores
das lajes contínuas.
DEC - CTC - UEM
86
b) Em lajes atuando em uma só direção.
Em uma borda engastada, 0,25 do vão.
A prática, tem consagrado como simplificação, o detalhamento da armadura
apresentado abaixo, onde o comprimento reto da barra é 3/4 do intervalo (0,5 A2),
intercalando-se as armaduras, à esquerda e à direita.
1/8 A2
A1>A2>A3
0,5 A2
A1
A3
A2
A3
A1
Figura 8-7
A2
Disposição da armadura negativa e comprimento das barras em lajes.
Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona central fica armada com As,
enquanto as zonas laterais com As/2, indicando que o critério é satisfatório.
8.3.1.3 Observações complementares:
Mesmo no caso de bordas admitidas simplesmente apoiadas é conveniente dispor
algumas armaduras negativas com o fito de limitar a fissuração.
A NBR 6118 no item 3.3.2.8 estabelece que “quando nos cantos de lajes retangulares
livremente apoiadas nas quatro bordas, a armadura para resistir aos momentos
volventes não for calculada, deverão ser dispostas duas armaduras, uma superior
paralela à bissetriz e outra inferior, a ela perpendicular, cada uma delas com área da
seção transversal não inferior à metade da máxima no centro da laje. Essas armaduras
deverão estender-se até a distância, medida a partir da face dos apoios, igual a um
quinto do vão menor”.
Recomenda-se, como forma de atender o prescrito na norma e ao mesmo tempo evitar
o aparecimento de fissuras nas bordas das lajes simplesmente apoiadas, o
detalhamento da armadura positiva, conforme proposto a seguir:
Estruturas em Concreto I
N1
ferro N1
ferro N2
ferro N5
ferro N3
ferro N4
Figura 8-8
87
N1
N2
N4
N3
N5
Detalhe A
15 a 20% do vão
Gancho:
h-2,0 cm
Detalhamento da armadura de lajes - bordas apoiadas e engastadas.
Observações:
• O esquema proposto no detalhe A, deve ser usado nas bordas das lajes
simplesmente apoiadas
• Em uma planta de armação, sempre que um ferro for idêntico a outro (mesma
geometria, comprimentos etc.) eles terão o mesmo numero. É por este motivo
que os ferros verticais de ambas as lajes recebem a denominação “N1”.
• Cada um dos ferros horizontais está recebendo um número diferente, uma vez
que, ou diferem quanto a geometria ou quanto aos seus comprimentos.
• Os ferros são sempre apresentados esquematicamente aos pares, para indicar
como se procede o intercalamento.
• Observe que se todas as barras fossem espaçadas a 15 cm, para N1 no
desenho seria colocado Q1N1c/15 , Q2N2c/30, Q3N3c/30, etc., ou seja, está
sendo indicado que o par de barras N1 forma um conjunto, enquanto os outros
conjuntos são formados pela barras N2 / N3 e N4 / N5.
Importante:
Quando se tratar de lajes contínuas com diferentes condições de apoio no lado comum,
(lajes com rigidezez muito diferentes) a armadura negativa que vem da laje
considerada deve prolongar-se na laje vizinha, pelo menos até o ponto onde se possa
prever que o momento fletor negativo, na direção considerada, mude o sinal.
DEC - CTC - UEM
88
8.3.1.4 diâmetro das barras - NBR 6118 - 6.3.1.1 Lajes
• O diâmetro das barras não deve ultrapassar 1/10 da espessura da laje.
• Nas lajes armadas numa só direção e nas lajes nervuradas, a armadura de
distribuição por metro de largura da laje deve ter seção transversal de área
igual ou superior a 1/5 da área da armadura principal, com um mínimo de 0,9
cm2 e ser composta de pelo menos três barras.
8.3.1.5 Espaçamento das barras - NBR 6118 - 6.3.2
6.3.2.1 Lajes
• Na região dos maiores momentos nos vãos das lajes, o espaçamento das
barras da armadura principal não deve ser maior que 20 cm. Nas lajes
armadas numa única direção esse espaçamento não deve, também, ser maior
que 2 h.
• Os estribos nas lajes nervuradas, sempre que necessários, não devem ter
espaçamento maior que 20 cm.
• O espaçamento das barras de distribuição não deve ser maior que 33 cm.
• Nas lajes deverá ser feita amarração das barras, de modo que em cada uma
destas o afastamento entre duas amarrações não exceda 35 cm.
Estruturas em Concreto I
9 Detalhes de Formas e armação de lajes.
89
DEC - CTC - UEM
90
certo
errado
certo
errado
h
≥ 2h
Desta forma
econômico
é
mais
≥ 2h
Mas também pode ser
feito assim
Estruturas em Concreto I
91
10 Um pouco sobre a patologia das lajes
A armação incorreta de uma laje, seja por disposição incorreta da armadura (mal
posicionamento), insuficiencia de armadura, carregamentos não previstos no cálculo
pode leva-la ao colapso, à rúina.
As lajes, para atender o disposto em norma quanto às flechas, têm suas alturas
determinadas em função do estado limite de utilisação, sendo muito maiores que as
necessárias para atender o estado limite último (de rúina). Em outras palavras, isto
significa muito comcreto com pouco aço, ou seja, as lajes normalmente são calculadas
no domínio 2 ou no início do domínio 3.
Do exposto tem-se que os problemas decorrentes de seu dimensionamento,
normalmente são precedidos de fissuras. A seguir apresentamos alguns exemplos e
suas prováveis causas.
Laje vista por baixo.
Esmagamento
provocado
por espessura da laje
insuficiente nos apoios.
Laje vista por baixo.
Insuficiência de armadura de
canto.
Laje vista por cima.
Fissura de flexão na face
superior. Insuficiência de
armadura negativa.
Laje vista por cima.
Insuficiência de armadura de
canto.
92
DEC - CTC - UEM
Laje vista por baixo.
Fissura
provocada
por
flexão. Insuficiência de
armadura positiva.
Laje vista por cima
Esmagamento
provocado
por espessura insuficiente no
meio do vão
Laje vista por baixo ou por
cima.
Fissura por cisalhamento
nos apoios.
Fissuras
de
retração
hidráulica e concentração
térmica devido a problemas
de cura, excesso de água de
amassamento, excesso de
calor durante a concretagem
Estruturas em Concreto I
93
11 Anexo 1 - Tabela de ferros
φ peso
mm kg/m 1
Tabela de ferros
Área em função do número de barras
2 3
4 5 6
7 8 9
10
5,0 0,16 0,20 0,40 0,60
3
6
0,80
8
1,00
11
1,20
13
1,40
16
1,60
18
1,80
21
2,00
23
6,3 0,25 0,32 0,64 0,95
3
6
1,26
9
1,58
11
1,89
14
2,21
16
2,52
19
2,84
22
3,15
24
8,0 0,40 0,50 1,00 1,50
4
6
2,00
9
2,50
12
3,00
15
3,50
18
4,00
20
4,50
23
5,00
26
10,0 0,63 0,80 1,60 2,40
4
7
3,20
10
4,00
13
4,80
16
5,60
19
6,40
22
7,20
25
8,00
28
12,5 1,00 1,25 2,50 3,75
5
8
5,00
11
6,25
14
7,50
18
8,75 10,00 11,25 12,50
21
24
27
31
16,0 1,60 2,00 4,00 6,00
5
9
8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00
12
16
20
23
27
30
34
Lajes
espaço As (cm2)
cm 5,0 6,3 8.0
20,0 2,50 3,15 3,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50
6
10
14
18
22
26
30
34
38
22,2 3,05 3,88 7,76 11,64 15,52 19,40 23,28 27,16 31,04 34,92 38,80
7
11
16
20
24
29
33
38
42
25,0 4,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00 45,00 50,00
8
13
18
23
28
33
38
43
48
32,0 6,30 8,00 16,00 24,00 32,00 40,00 48,00 56,00 64,00 72,00 80,00
10
16
22
29
35
42
48
54
61
40,0 10,00 12,50 25,0 37,50 50,00 62,5 75,00 87,50 100,0 112,5 125,0
12
20
28
36
44
52
60
68
76
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
11,0
11,5
12,0
12,5
13,0
13,5
14,0
14,5
15,0
15,5
16,0
16,5
17,0
17,5
18,0
18,5
19,0
19,5
20,0
25.0
3,64
3.33
3.08
2.86
2.67
2.50
2.35
2.22
2.11
2.00
1.90
1.82
1.74
1.67
1.60
1.54
1.48
1.43
1.38
1.33
1.29
1.25
1.21
1.18
1.14
1.11
1.08
1.05
1.03
1.00
0.98
0.78
As bitolas para fios são: 3,2, 4,0, 5,0 6,3, 8,0 10,0 12,5 mm
As bitolas para barras são: 5,0, 6,3, 8,0, 10,0, 12,5, 16,0, 20,0
22,2, 25,0, 32,0 e 40,0 mm
A barra de 22,2 mm não é especificada pela norma 7480/85
Norma
NBR 7480/85
b0
bw
Na tabela tem-se:
As – número superior
b0 – número inferior
bw = b0 + 2 c + 2 φt
sendo: φt = diâmetro do estribo e
c = cobrimento
5,60
5.14
4.75
4.42
4.13
3.87
3.65
3.45
3.27
3.11
2.96
2.83
2.71
2.60
2.49
2.40
2.31
2.23
2.15
2.08
2.02
1.95
1.89
1.84
1.79
1.74
1.69
1.65
1.60
1.56
1.53
1.23
8,62
7.94
7.35
6.85
6.41
6.02
5.68
5.38
5.10
4.85
4.63
4.42
4.24
4.07
3.91
3.76
3.62
3.50
3.38
3.27
3.16
3.07
2.98
2.89
2.81
2.73
2.66
2.59
2.53
2.46
2.40
1.94
DEC - CTC - UEM
94
12 Anexo 2 - Tabela de Ferros - Armaduras usuais em edifícios
Camada inferior
φ
Camada superior - duas barras no diâmetro indicado
Valores de As
b0
As
6,3
2φ6,3
3,26
3φ6,3
5,89
2φ8,0
3,60
2φ8,0 +1φ6,3
6,30
0,63
0,32
0,95
0,32
1,00
0,40
6,86
3φ8,0
6,40
4φ8,0
9,20
1,26
1,63
1,58
1,37
1,63
1,45
1,95
1,27
2,13
1,20
2,63
1,05
2φ10,0
4,00
2φ10,0 +1φ8,0
6,80
2φ10,0 +2φ8,0
9,60
3φ10,0
7,00
4φ10,0
10,00
2φ12,5
4,50
2φ12,5 +1φ10,0
7,50
2φ12,5 +2φ10,0
10,50
3φ12,5
7,75
4φ12,5
11,00
2φ16,0
5,20
2φ16,0 +1φ12,5
8,45
2φ16,0 + 2φ12,5
11,70
3φ16,0
8,80
4φ16,0
12,40
1,50
0,40
2,00
0,40
1,60
0,50
2,10
0,48
2,60
0,46
2,40
0,50
3,20
0,50
2,50
0,63
3,30
0,60
4,10
0,58
3,75
0,63
5,00
0,63
4,00
0,80
5,25
0,76
6,50
0,74
6,00
0,80
8,00
0,80
8,0
2,00
1,80
2,32
1,60
2,50
1,52
3,00
1,34
2,60
1,62
3,10
1,42
3,60
1,28
3,40
1,36
4,20
1,19
10,0
3,20
2,00
3,70
1,79
4,20
1,62
4,00
1,70
4,80
1,50
4,10
1,85
4,90
1,63
5,70
1,47
5,35
1,56
6,60
1,39
12,5
16,0
5,00
2,25
5,80
2,01
6,60
1,83
6,25
1,93
7,50
1,71
6,50
2,12
7,75
1,88
9,00
1,71
8,50
1,81
10,50
1,615
8,00
2,60
9,25
2,34
10,50
2,13
10,00
2,24
12,00
2,00
20,0
22,2
Seção de ferros em cm2 - centro de massa da armadura em cm
25,0
Estruturas em Concreto I
Camada inferior
φ
b0
As
2φ20,0
6,00
2φ20,0 +1φ16,0
9,60
2φ20,0 +2φ16,0
13,20
3φ20,0
10,00
4φ20,0
14,00
2φ22,2
6,66
2φ22,2 +1φ20,0
10,88
2φ22,2 +2φ20,0
14,88
3φ22,2
11,10
4φ22,2
15,54
2φ25,0
7,5
6,30
1,00
8,30
0,95
10,30
0,93
9,45
1,00
12,60
1,00
7,76
1,11
10,91
1,08
14,06
1,06
11,64
1,11
15,52
1,11
10,00
1,25
13,88
1,21
17,76
1,19
15,00
1,25
20,00
1,25
2φ25,0 +1φ22,2
12,22
2φ25,0 +2φ22,2
16,66
3φ25,0
12,50
4φ25,0
17,50
95
Camada superior - duas barras no diâmetro indicado
Valores de As e cg da armadura
6,3 8,0
10,0 12,5 16,0 20,0 22,2 25,0
10,30
2,48
12,30
2,21
14,30
2,01
13,45
2,13
16,60
1,92
12,60
3,00
14,60
2,70
16,60
2,47
15,75
2,60
18,90
2,34
14,06
3,05
17,21
2,68
20,36
2,42
17,94
2,63
21,82
2,36
Na tabela tem-se:
As número superior - seção de aço
cg número inferior - centro de massa da armadura em
relação à borda da primeira camada
Ycg
ycg = cg + c + φt
bw = b0 + 2c + 2φt
cg
b0
bw
c = cobrimento
e
φt = diâmetro do estribo
15,52
3,33
18,67
2,94
21,82
2,88
19,40
2,89
23,28
2,59
17,76
3,38
21,64
2,97
25,52
2,69
22,76
2,91
27,76
2,61
20,00
3,75
23,88
3,32
27,76
3,58
25,00
3,25
30,00
2,92
DEC - CTC - UEM
96
13 Anexo 3 - Momentos de Engastamento Perfeito
Pab 2
m1 = + 2
A
P
a
b
s/2 s/2
a
Pa 2b
m2 = − 2
A
ps
ps
⎡12a 2b + s 2 ( A − 3a ) ⎤
⎡12ab 2 + s 2 ( A − 3b ) ⎤ m2 = −
2 ⎣
2
⎦
⎦
12A
12A ⎣
p
m1 = +
p
ps 2
ps 3
2
⎡ 2A ( 3A − 4 s ) + 3s ⎤ m2 = −
m1 = +
( 4A − 3s )
⎦
12A 2 ⎣
12A 2
p
pA 2
m1 = +
12
b
s
s
P
a
s/2
b
s/2
a
p
pA 2
m2 = −
12
m/ =
Pab ( A + b )
2
A2
m/ =
Pbs
⎡ 4a ( b + A ) − s 2 ⎤
2 ⎣
⎦
8A
b
s
p
A
(
Ps 2
m = 2 2A 2 − s 2
8A
/
s
p
Ps 2
2
m = 2 ( 2A − s )
8A
/
p
PA 2
m =
8
/
)