Departamento de Matemática – Secção de Estatı́stica e Aplicações
Probabilidades e Estatı́stica
1o Exame/2o Teste
Duração: 3 horas/1 hora e 30 minutos
1o semestre 2005/2006
12/01/2006 – 9:00 horas
• Se pretende entregar o exame deve resolver todos os grupos.
• Se pretende entregar o 2o teste deve resolver apenas os grupos III e IV.
• Justifique convenientemente todas as respostas!
Grupo I
5 valores
1. Numa experiência de laboratório, um rato pode escolher entre virar à esquerda ou à direita
no fim de um labirinto, recebendo comida ou um choque eléctrico, respectivamente. Assuma
que no primeiro ensaio o rato tem igual probabilidade de virar para cada um dos dois lados
no fim do labirinto. Após receber comida num ensaio, a probabilidade de o rato virar para
a esquerda no ensaio seguinte é 0.6. Caso o rato tenha levado um choque no ensaio anterior,
a probabilidade de ele virar à esquerda é 0.8. Considere que, em cada ensaio, a escolha do
rato só depende da escolha feita no ensaio imediatamente anterior.
(a) Calcule a probabilidade de o rato virar à esquerda no terceiro ensaio.
(1.5)
(b) Se o rato virou à direita no terceiro ensaio, qual a probabilidade de ele ter virado à
direita no primeiro ensaio?
(1.0)
2. Um jovem “desnorteado” tenta entrar em casa numa madrugada de Sábado com um molho de
chaves no qual só uma abre a porta. A probabilidade de ele abrir a porta em cada tentativa é
0.1. Admita que ele leva 2 minutos para tentar abrir a porta com qualquer chave e que inicia
essa operação 7 minutos antes de o seu pai se colocar junto à porta à sua espera. Suponha
ainda que o jovem é apanhado pelo pai com probabilidade 0.4, se entrar em casa antes de o
seu pai se postar à sua espera.
(a) Encontre o valor esperado do número de tentativas de abertura da porta até à entrada
do jovem em casa.
(1.0)
(b) Qual a probabilidade de o jovem ser apanhado pelo pai naquela madrugada?
(1.5)
Grupo II
5 valores
1. Seja X a duração (em horas) de uma válvula produzida por um certo fabricante. Suponha
que X tem distribuição normal com média 60 e variância σ 2 .
(a) Se um comprador dessas válvulas requer que pelo menos 90% das válvulas tenham uma
duração que exceda 50 horas, qual é o maior valor de σ 2 para que esse comprador fique
satisfeito?
(1.0)
(b) Calcule a probabilidade de, em 5 válvulas escolhidas aleatoriamente desse fabricante,
pelo menos 4 tenham uma duração que exceda 50 horas. Considere que a variância de
X tem o mesmo valor da respectiva média.
(1.5)
2. Sejam X e Y as variáveis aleatórias que representam os atrasos em minutos com que um comboio parte de uma estação de origem e chega a uma outra estação de destino, respectivamente.
Considere que a função densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ) é
(
f(X,Y ) (x, y) =
1
20x ,
0,
0 < x < 10 e 0 < y < 2x
.
caso contrário
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(a) Calcule a probabilidade de o atraso à chegada ser inferior ao atraso na partida.
(1.0)
(b) Para um comboio que partiu com 5 minutos de atraso qual é a probabilidade de o atraso
à chegada ser inferior a 3 minutos?
(1.5)
Grupo III
5 valores
1. Considere a temperatura de destilação (em o C) de um tipo de óleo, X, como uma variável
aleatória com distribuição normal. Tendo em conta os seguintes valores obtidos de uma amostra aleatória de X, construa um intervalo de confiança a 99% para a temperatura esperada
de destilação do óleo.
8
X
8
X
xi = 1733
i=1
(2.0)
x2i = 376175
i=1
2. Um produtor de peças electrónicas resolveu inspeccionar 5 lotes de peças anotando, em cada
um, o número de peças inspeccionadas até encontrar a primeira peça defeituosa (X). Seja
p a probabilidade de uma peça ser defeituosa. Retirando peças com reposição em cada lote,
ele inspeccionou um total de 30 peças nos 5 lotes.
(a) Qual a estimativa de máxima verosimilhança da probabilidade de ocorrência de uma
peça defeituosa? E do valor esperado de X?
(2.0)
(b) Indique um estimador centrado do valor esperado de X. Avalie a eficiência desse estimador relativamente a um outro estimador T tal que
(1.0)
E[T ] =
1+p
p
e
V ar[T ] =
1 − p2
.
p2
Grupo IV
5 valores
1. No século XVIII, Buffon lançou uma moeda 4040 vezes, obtendo 2048 vezes uma face.
Baseando-se na frequência relativa dessa face, ele concluiu que a moeda seria equilibrada.
(a) Poder-se-á afirmar que há evidência a favor da conclusão de Buffon ao nı́vel de significância de 2%?
(2.0)
(b) Qual a probabilidade de o procedimento realizado em (a) conduzir à invalidação da
conclusão de Buffon, quando a probabilidade de sair essa face é p = 0.6?
(1.0)
2. A tabela seguinte sumaria o tempo de reparação, em minutos, de 100 instrumentos electrónicos de um determinado tipo, seleccionados ao acaso de entre os registos de uma oficina de
reparações.
(2.0)
Tempo
]0.0, 18.0]
]18.0, 20.5]
]20.5, +∞[
No de instrumentos
18
61
21
Tendo em conta esta amostra diga se é legı́timo considerar que o tempo de reparação desse
tipo de instrumento segue uma distribuição normal de valor médio 19 e variância 4.
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