Portfolio de:
Transferência de calor em regime transiente – abordagem
macroscópica - método da capacitância global (itens 5.1 a 5.3 de
Incropera & De Witt, item 2.6.1 de Kreith)
Problema motivador:
John foi um exímio aluno holandês de fenômenos de
transporte, mas após se formar engenheiro encontrou a sua
verdadeira vocação: foi ser escritor de contos policiais
científicos! Veja uma de suas estórias:
“John realized that the man found in the storage room for deep frozen foods was
dead. Although he wore protective clothing his body was quite cold and had started
to freeze. The doctor informed John that one hour ago the temperature measured at
the arm had still been 8oC. John concluded, realizing that the storage temperature
was –30oC, that the man must have died approximately 3 1 2 hours ago and started
questioning his colleagues.” (Van Heuven et al., 1999, p. 150)
O que o problema acima tem de diferente dos até agora estudados?
Não se esqueça de verificar se os cálculos de John são razoáveis! – Beek et
al. apresentam o raciocínio usado por John...
problema geral:
considere um corpo inicialmente a uma temperatura uniforme, o
qual é inserido em um ambiente que está a uma temperatura
diferente ou sobre o qual incide calor. O que irá ocorrer?
figura extraída de Incropera & De Witt (p. 170, 5ª edição)
80
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
Portfolio de:
Vejamos no que consiste o método da capacitância global (ou capacidade
concentrada). Nas palavras de Incropera & De Witt, p. 170, 5ª edição): “um problema
de condução transiente simples mas comum é aquele para qual um sólido sofre uma
rápida alteração em sua temperatura. Considere um sólido metálico quente
que se encontra a uma temperatura inicial Ti e é resfriado ao ser imerso em um
líquido de menor temperatura (T∞). Se dissermos que o resfriamento foi inicialmente
em um tempo t=0, a temperatura do sólido irá diminuir para um tempo t>0, até que
alcance, por fim a temperatura do fluido. Essa redução de temperatura é devida à
transferência de calor por convecção na interface sólido-líquido. A essência desse
método é a consideração de que a temperatura do sólido é
espacialmente uniforme em qualquer instante durante a transferência
de calor. Essa consideração implica que gradientes de temperatura no
interior do sólido sejam desprezíveis.”
Ou seja, para a modelagem do processo transiente a seguinte hipótese é postulada:
hipótese simplificadora: corpo com temperatura homogênea, i.e., gradiente de
temperatura nulo no corpo (pela Lei de Fourrier esta hipótese se verificaria se k→∞, o que é
impossível – daí o método ser uma idealização, por este método não se estuda a transferência interior, a qual
é considerada instantânea)
Efetuando um BE sobre o corpo sólido:
dU
= ∑ q + E! g
dt
hipótese adicional:
ρVcV
ocorre apenas troca de calor por convecção com o meio externo e
não há geração de calor e também não há alteração da massa do
corpo.
ρVcV dT
dT
dT
1
= − hA (T − T∞ ) ⇒
= − (T − T∞ ) ⇒
= − (T − T∞ )
τ
dt
hA dt
dt
t=0 : T = Ti
∆ ρVc
V
sendo, τ =
e esta constante é chamada de constante de tempo.
hA
c.i.:
lembre-se que para sólidos e líquidos cV ≈ c p
Observação:
solução:
ln
t
−
T − T∞
t
= − ⇒ T − T∞ = (Ti − T∞ ) e τ
Ti − T∞
τ
definindo-se: θ = T − T∞
e
ou
t
−
θ
=e τ
θi
θi = Ti − T∞
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
81
Portfolio de:
Percebemos que a variação da temperatura se dá de uma forma exponencial com o
tempo, a qual pode ser vista na figura a seguir. Note ainda no gráfico a seguir, a
influência da constante de tempo na resposta. Qual o efeito de se aumentar o valor da
constante de tempo (o processo fica mais rápido ou mais lento, por quê?)?
figura extraída de Incropera & De Witt (p. 171, 5ª edição)
“Note que com o aumento da inércia térmica (definida pelo produto ρcpV(por quê este produto
define a inércia?)
) o tempo para o regime permanente aumenta, o que é bastante razoável. Da
mesma forma, se a taxa de aumento da energia sendo transferida da peça para o
ambiente aumentar (pelo aumento da área de troca térmica ou pelo aumento do
coeficiente de película) esse tempo diminuirá (checar pela expressão τ=ρVcp/hA). Assim
não é por acaso que para resfriar mais rapidamente costumamos agitar a sopa no prato
ou usar um prato mais raso com área maior”. (Braga, p. 56-57)
t
!"cálculo da taxa de calor transferida até um instante t :
q = ∫ qconv dt
0
t
q = h. A∫ (T − T∞ )dt
0
Substituindo a expressão do perfil de temperatura e integrando:
t
− 

q = ρVc p (Ti − T∞ ) 1 − e τ 


!"validade do método de capacidade concentrada (ou seja, estabeleceremos um
critério de como garantir a hipótese simplificadora do corpo com temperatura
homogênea)
“Para desenvolver um critério adequado, considere condução em regime
estacionário através de uma parede plana A(como mostra a figura a seguir). Uma superfície
(1) é mantida a uma temperatura Ts,1 e a outra superfície (2) encontra-se exposta a
um fluido T∞ < Ts,1, de forma que o valor da sua temperatura seja T∞ < Ts,2 < Ts,1.
Assim em regime estacionário, o balanço de energia da superfície fica:
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
82
Portfolio de:
figura extraída de Incropera & De Witt (p. 172, 5ª edição)
Rearranjando a equação acima:
(Ts ,1 − Ts ,2 )
(Ts ,2 − T∞ )
=
( L / kA) Rcond hL
=
=
≡ Bi (a razão exprime a relação entre a queda
(1/ hA) Rconv
k
de temperatura no corpo e a diferença de
temperatura entre a superfície e o meio
externo).
Pelo gráfico, percebemos que quanto menor o número de Biot (Bi) mais uniforme
fica o perfil de temperaturas. Um critério prático diz que o método da
capacitância global é uma boa aproximação quando:
validade: número de Biot <<0,1
- podemos desprezar a variação espacial
de temperatura, i.e. no interior do
corpo)
“Em situações de baixa intensidade de troca térmica por convecção (baixo h), para
pequenas dimensões (Lc=V/ATC) e altos valores de k, as diferenças de temperaturas
são desprezíveis, pois as trocas de calor são intensas em presença da
diferença externa de temperatura”. (Braga, p. 57)
O número de Biot pode ser generalizado como
Bi =
ULc
k
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
83
Portfolio de:
sendo, U o coeficiente de transferência de calor entre a superfície do corpo e o
meio que ocasiona a troca térmica e Lc é um comprimento característico definido
como:
Lc =
V
ATC
!"Análise geral da capacidade concentrada
“Embora a condução transiente em um sólido seja comumente iniciada pela
transferência de calor por convecção para ou a partir de um fluido em
contato, outros processos podem induzir condições térmicas transientes no
interior de um sólido. Por exemplo, se as temperaturas do sólido e da vizinhança
diferirem, a troca por radiação poderia causar uma energia térmica interna e, assim,
uma variação da temperatura no sólido. Variações de temperatura podem ser
induzidas aplicando um fluxo de calor na superfície e/ou iniciando a geração de
energia térmica no interior do sólido. O aquecimento da superfície pode ser
aplicado pela fixação de um filme ou de um aquecedor elétrico de placa à
superfície, enquanto a energia térmica pode ser gerada pela passagem de corrente
elétrica ao longo do sólido.” (Incropera; DeWitt, p. 174).
O que se deve fazer, após identificar os
Procedimento de resolução:
mecanismos de transferência de calor, consiste na aplicação do balanço de energia
pertinente e calcular o número de Biot (em termos do coeficiente global de troca
térmica) para checar a validade do modelo.
leitura recomendada:
Incropera & De Witt: itens 5.1 a 5.3 (4ª edição: p. 118 a 123, 5ª edição: p. 170-178)
Kreith:
item 2.6.1 (p. 99-105)
Braga:
balanço de energia/parâmetros concentrados p.50-57
condução transiente unidimensional – p.146-147
Exemplos recomendados para leitura:
Incropera & De Witt:
Kreith:
Braga:
exemplos 5.1 p. 173; 5.2 p. 175; 5.3 p.176 (5ª edição)
exemplo 2.10 p. 102
exercícios resolvidos n°2 p.63, n°3 p.64, n°4 p.65, n°5 p.67;
n°6 p.68; n°7 p.69; n°8 p.70; n°9 p.71; n°10 p.72
Exercícios básicos recomendados da lista: 5.5; 5.6; 5.14; 5.19 (Incropera & De Witt)
Exercício 01: Por quê quanto maior o valor da difusividade térmica de um material
mais rápida será a resposta deste material a mudanças nas condições
térmicas?
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
84
Portfolio de:
Exercício 02: Por quê o número de Biot do ar é menor do que o da água?
Exercício 03: Levando-se em consideração que a temperatura do sólido é
espacialmente uniforme em qualquer instante e que esse sólido esteja
submetido a um processo de troca térmica com um fluido, de tal forma
que o perfil de temperatura ao longo do tempo em um sólido seja:
−
t
T − T∞ = (Ti − T∞ ) e τ
Considerando, ainda, que a taxa de calor ao logo do tempo é representada
t
por: q = ∫ qconv dt
obtenha a equação resultante da taxa de calor:
0
t
− 

τ
q = ρVc p (Ti − T∞ ) 1 − e 


exercício 04: adaptado de W. Braga (p.52-54)
Considere um cilindro maciço que depois de receber um tratamento térmico dentro de
um forno, deverá ser trabalhado mecanicamente em um torno mecânico. Esquecendo
os problemas de lidar com uma peça quente, precisamos responder quanto tempo
deveremos deixar a peça esfriar, antes que possamos levá-la de novo para um
tratamento superficial. Sabe-se que a peça é de cobre e que suas dimensões são:
diâmetro externo de 75 mm e comprimento de 150 mm. A peça está inicialmente a
200°C e deve ser resfriada a 100°C através de duas possibilidades: (i) colocar em um
ambiente com ar a 28°C; (ii) imergir a peça em água a 28°C.
Dados: coeficientes de película da água e do ar iguais, respectivamente a 0,40
kW/m2.K e 0,020 kW/m2.K; para o cobre puro a 300K ρ=8933 kg/m3
cobre
T=300 K T=400 K T=600 K
401
393
379
k (W/m.K)
385
397
417
cp (J/kgK)
a) A partir do gráfico abaixo que relaciona a temperatura da peça em função do tempo
de resfriamento, indicar qual curva se refere ao resfriamento com ar e qual se refere
ao resfriamento com água. Justificar a escolha.
b) Demonstrar que a taxa de calor atinge o máximo valor com a expressão
q = ρVc p (Ti − T∞ ) . Indicar e calcular qual fluido (água ou ar) permite uma taxa
maior da retirada de calor da peça.
c) Partindo do balanço de energia, determine quanto tempo leva para resfriar a peça a
100°C quando em contato com ar e em contato com água. Compare com o gráfico.
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
85
Portfolio de:
exercício 05: adaptado do exercício 5.7 de Incropera & De Witt
Uma esfera sólida de aço (AISI 1010) com diâmetro de 300mm é revestida com uma
camada de um material dielétrico que possui espessura de 2mm e condutividade
térmica de 0.04 W/m.K. A esfera revestida encontra-se inicialmente a uma
temperatura uniforme de 500oC e é subitamente resfriada pela imersão em um grande
banho de óleo a 100oC e coeficiente de película de 3300 (SI). Estime o tempo
necessário para a temperatura da esfera revestida atingir 140oC.
Dica: despreze o efeito do armazenamento de energia no material dielétrico, uma vez
que a sua capacitância ( ρVcp ) é pequena quando comparada à esfera de aço.
Uma maneira sucinta de descrever esta hipótese é dizer que será desprezada a
dinâmica do material dielétrico. O quê a dica quer dizer?
UPM/EE/DEM/FT-II-5C/Profa. Dra. Míriam Tvrzská de Gouvêa/2004-2S
UPM/EE/DEM&DEE/FT-II-4E/F/Profa. Dra. Esleide Lopes Casella/2004-2S
86