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Equações Diferenciais e sua Aplicações na Fı́sica - 2013.1 - Lista de Probelmas 06
Equações Diferenciais e suas Aplicações na Fı́sica
Lista de Problemas 06
Prof. Marco Polo
Questão 01: Fator integrante
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
y ′ + 3y = t + e−2t
y ′ − 2y = t2 e2t
y ′ + y = 5 sin 2t
2
y ′ + 2ty = 2te−t
y ′ + y = te−t + 1
Resp: y = Ce−3t + t/3 − 1/9 + e−2t
Resp: y = Ce2t + t3 e2t /3
Resp: y = Ce−t + sin 2t − 2 cos 2t
2
2
Resp: y = t2 e−t + Ce−t
Resp: y = Ce−t + 1 + t2 e−t /2
Questão 02: Equações separáveis
Encontre a solução geral das equações diferenciais abaixo:
(a)
(b)
(c)
(d)
y ′ + y 2 sin x = 0
Resp: y = 1/(C − cos x)
p
′
2
y = (3x − 1)/(3 + 2y)
Resp: y = −3/2 ± (1/2) 9 + 4C + 4x(x2 − 1)
xy ′ = (1 − y 2 )1/2
Resp: y = sin ln x + C
′
2
2
y = cos x cos 2y
Resp: y = (1/2) arctan [x + C + (1/2) sin 2x]
Questão 03: Problema de valor inicial
Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(a)
(b)
(c)
(d)
y ′ − y = 2te2t ,
y(0) = 1
Resp: y = 3et + 2(t − 1)e2t
ty ′ + 2y = sin t,
y(π/2) = 1
Resp: y = t−2 [π 2 /4 − 1 − t cos t + sin t]
p
y ′ = (2 − ex )/(3 + 2y),
y(0) = 0
Resp: y = −3/2 + 2x − ex + 13/4
y ′ = 2y 2 + xy 2 ,
y(0) = 1
Resp: y = −1/ (x2 /2 + 2x − 1)
Campus Ji-Paraná
Departamento de Fı́sica – UNIR
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Questão 04: Aplicação na Termodinâmica
A transferência de calor de um corpo para o ambiente que o rodeia por radiação, segundo a lei
de Stefan-Boltzmann, é descrita pela equação diferencial
du
= −α(u4 − T 4 ),
dt
(1)
onde u(t) é a temperatura absoluta do corpo no instante t, T é a temperatura absoluta do
ambiente e α é uma constante que determina os parâmetros fı́sicos do corpo. No entanto, se
u é muito maior do que T , então as soluções da Eq. (1) podem ser bem aproximadas pelas
soluções da equação mais simples
du
= −αu4 .
dt
(2)
Suponha que um corpo com temperatura inicial de 2000 K está imerso em um meio à temperatura de 300 K e que α = 2 × 10−12 K−3 /s.
(a) Determine a temperatura do corpo em qualquer instante resolvendo a Eq. (2).
Resp: u(t) = 2000/ (1 + 0, 048t)1/3
(b) Encontre o instante τ no qual u(τ ) = 600, isto é, o dobro da temperatura ambiente. Até
esse instante, o erro na utilização da Eq. (2) para apriximar as soluções da Eq. (1) não
é maior do que 1%.
Resp: τ = 750, 77 s.
Questão 05: Aplicação na Mecânica
Uma bola de massa 0,15 kg é atirada para cima com velocidade inicial de 20 m/s do teto de
um edifı́cio com 30 m de altura. Despreze a resistência do ar.
(a) Encontre a altura máxima, acima do chão, atingida pela bola.
Resp: 50,408 m.
(b) Supondo que a bola não bate no prédio ao descer, encontre o instante em que ela atinge o
solo.
Resp: 5,248 s.
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