Matemática 5
Módulo 4
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES
1.
Resposta correta: D
2.
O trapézio tem as bases CD e AB paralelas, por isso os
e D
são suplementares (colaterais internos).
ângulos A
PARA SALA
Calculando cada ângulo:
I.
α=
84°
= 42°
2
β + 75° = 180°
β = 105°
I.
II.
= BCD
II. A
2
75° =
BCD
2
BCD = 150°
III. BCD = BC + CD
150° = BC + 60°
BC = 90°
= B , então:
= ABC , como D
IV. D
2
105° =
• 20° + 116° + β = 180°
β = 44°
ABC
2
ABC = 210°
• α=β
α = 44°
V. ABC = AB + BC
210° = AB + 90°
AB = 120°
III.
Resposta correta: B
3.
Pelo teorema do bico os segmentos que partem dos
pontos B, C, P e Q são congruentes:
β + 40°
2
β + 40° = 140°
β = 100°
• 70° =
β − 40°
2
100° − 40°
α=
2
α = 30°
• α=
A soma dos valores de α é 30° + 44° + 42° = 116°
PRÉ-VESTIBULAR
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MATEMÁTICA 5
1
O segmento BC é dado por x + y, portanto x + y = 5,
sendo 2p o perímetro do triângulo, então:
2p = 8 – (x + k) + 9 – (z + k) + k + z
2p = 8 – x – k + 9 – z – k + k + z
2p = 17 – (x + y)
2p = 17 – 5
2p = 12
Sendo AO = BO = r, o triângulo ABO é isósceles,
= BÂO = α:
sendo ABO
6.
Resposta correta: A
4.
Do triângulo ABO.
α + α + 80º = 180º
2α = 100º
α = 50º
I.
3α = 60°
α = 20°
II. Observe que α + 90º + x representa um ângulo raso.
α + x + 90 = 180º
50º + x + 90º = 180º
x = 40º
Resposta correta: B
5.
Observe a figura:
Resposta correta: D
COMENTÁRIOS – ATIVIDADES PROPOSTAS
1. A tangente forma com o raio um ângulo de 90°, então
OT ⊥ PT
I.
= MN
MPN
2
20° =
MN
2
MN = 40°
= MN + PQ
II. MRN
2
60° =
40o + PQ
2
I.
40° + PQ = 120°
PQ = 80°
Do triângulo OPT
α + 90° + 25° = 180°
α = 65°
II. Do triângulo OTU
θ + θ + α = 180°
2θ + 65° = 180°
2θ = 115°
θ = 57,5°
θ = 57° + 0,5°
θ = 57° + 0,5 . 60’
θ = 57° + 30’
θ = 57°30’
= PQ
III. QMP
2
80o
2
α = 40o
α=
Resposta correta: B
2
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MATEMÁTICA 5
Resposta correta: D
2.
Observe a figura:
I.
4.
= BE
BCE
2
20° =
Observe que os triângulos ABO e BOC são isósceles,
pois possuem dois lados iguais, cada um:
é ângulo externo do triângulo QBC:
OBA
β=θ+θ
β = 2θ
I.
BE
2
II. DÔA é ângulo externo do triângulo OAB:
α=β+θ
α = 2θ + θ
α =3θ
BE = 40°
= BE + CD
II. CFD
2
Resposta correta: B
40° + CD
50° =
2
CD + 40° = 100°
CD = 60°
5.
Vamos separar a questão em dois casos:
ângulo interior e excêntrico
CD − BE
2
60° − 40°
x=
2
x = 10°
III. CÂD =
Resposta correta: B
3.
x+y
= 80o
2
x + y = 160o (I)
Pelo teorema do bico os segmentos AP e PC são congruentes, do mesmo modo que os segmentos que partem de Q e R, ou seja, QA = QB e RB = RC :
ângulo externo
x−y
= 30o
2
x − y = 60o (II)
Das equações (I) e (II)
R|x + y = 160
S|x − y = 60
T
o
O perímetro do triângulo PQR é:
2p = 8 – x + 8 – y + x + y
2p = 16
o
⇒ x = 110o e y = 50o
Resposta correta: x = 110º e y = 50º
Resposta correta: C
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3
6.
Sendo x e y as medidas dos arcos RP e PQ , respectivamente, teremos:
sen45º =
r +R
2R
2 r +R
=
2
2R
2
2R
=
2 R +r
2R
= 2
R +r
y
2
O segmento RQ é diâmetro, então divide a circunferência ao meio, ou seja, x + y = 180º. Além disso, temos:
α=
Aplicando o teorema de Tales no triângulo
y−x
= 40o
2
y − x = 80o
Desta maneira, montamos o sistema:
R|x + y = 180
S|y − x = 80
T
x
2R
2R
, como
=
= 2
R R +r
R +r
o
o
⇒ y = 130o e x = 50o
x
= 2
R
y
Como α = , então
2
x=R 2
130o
2
α = 65o
α=
Resposta correta: A
Resposta correta: A
7.
8. Figura 1:
O triângulo ABC é retângulo e isósceles, isso só é possível se os ângulos agudos forem de 45º.
Daí, α = 35°
Do triângulo ABC, temos:
4
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Figura 2:
σ + 70° + 70° = 180°
Desta maneira:
x + y = 25
x = 9 e y = 16
ou
⇒
x ⋅ y = 144
x = 16 e y = 9
R|
S|
T
140°
σ = 40°
Resposta correta: D
9.
O ângulo BÔA é de 90o, que será dividido ao meio pelo
diâmetro da circunferência menor.
sen45o =
Resposta correta: C
11. Os triângulos OPC e OPD são congruentes, pois são
retângulos, possuem um cateto em comum (6) e hipotenusas iguais. Desta maneira PC = PD = x .
PC . PD = AP . PB
x . x = 4 . 16
x2 = 64
x=8
r
R −r
Resposta correta: 8
2
r
=
2
R −r
12. Pelo mesmo motivo da questão anterior EC = ED .
2r = R 2 − r 2
2r + r 2 = R 2
r (2 + 2 ) = R 2
r=
r=
r=
R 2 (2 − 2 )
2 + 2 (2 − 2 )
EC ⋅ ED = AE ⋅ EB como AE ⋅ EB = 3
x⋅x = 3
2R 2 − 2R
4−2
x2 = 3
2R ( 2 − 1)
2
x= 3
Então:
r = R ( 2 − 1)
Resposta correta: R
CD = 2x = 2 3
e
j
2 −1
Resposta correta: B
13. Fatos que ajudam:
10. A questão é representada pela figura:
AB = x + y = 25
PA ⋅ PB = PC ⋅ PD ⇒ x ⋅ y = 8 ⋅ 18
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5
- Toda mediana relativa à hipotenusa é igual à metade
da medida da hipotenusa.
- O encontro de duas medianas determina o baricentro.
x + 2x = 15
3x = 15
x=5
Como PO = x
PO = 5 cm
Resposta correta: 5cm
6
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