PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática - Departamento de Matemática
Cálculo I - 2006
EXTREMOS DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS
Já temos o conceito de valores extremos de uma função. O problema agora é encontrar os extremos
de funções de duas variáveis.
Aqui, a noção de Ponto Crítico (onde podem se localizar os pontos de extremo) é a mesma que já
possuíamos. São pontos ( a , b ) tal que f x ( a, b) = 0 e f y ( a, b) = 0 (plano tangente horizontal) ou pontos
onde a função não é diferenciável.
Mínimos e Pontos de Mínimo
Máximos e Pontos de Máximo
Mínimos / Máximos Não Isolados
z = x2
Pontos de Inflexão (Pontos de Sela)
z = x2 − y2
Represente graficamente as funções que seguem e aponte seus máximos e mínimos. Diga também o
que acontece com as derivadas parciais, se exitirem, nesses pontos:
f ( x, y ) =
x2 + y2
g ( x, y) = 9 − x 2 − y 2
h( x, y) = y 2 − x 2
p ( x, y ) = 3
Caso não possuirmos meios de estudar a representação gráfica das funções, mesmo porque esse
procedimento pode conduzir a erros, deveremos adotar postura algébrica.
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Teorema:
Seja uma função f onde z = f ( x, y ) cujas derivadas parciais de primeira e segunda ordem são
contínuas
numa
vizinhança
⎡ f xx (a, b)
H ( a, b) = det ⎢
⎣ f yx (a, b)
do
ponto
( a, b) .
Consideremos
também
o
valor,
f xy (a, b) ⎤
= f ( a, b) f yy ( a, b) - f xy ( a, b) f yx ( a, b) .
f yy (a, b)⎥⎦ xx
Se H ( a , b ) > 0 e f xx ( a, b) > 0 então ( a , b ) é um ponto de mínimo relativo da f .
Se H ( a , b ) > 0 e f xx (a, b) < 0 então ( a , b ) é um ponto de máximo relativo da f .
Se H ( a , b) < 0 então ( a , b ) é um ponto de sela do gráfico da f . (Observe a representação de
h( x, y ) , acima)
Se H ( a, b) = 0 então nada se pode afirmar.
EXERCÍCIOS
1) Encontrar os máximos e mínimos relativos das funções que seguem:
a) f(x,y) = xy –x2 – y2 – 2x – 2y + 4
b) f(x,y) =
8x 3
+ 2 xy − 3x 2 + y 2 + 1
3
c) f(x,y) = x2 – 2x4 – y2
d) f(x,y) = e
− x2 − y2
e) f(x,y) = 3x4 + 8x3 - 18x2 + 6y2 + 12y – 4
f) f(x,y) = 15xy2 - 4x3 + 15y3 +48x - 6
2) Achar os três números positivos cuja soma é 24 e o produto é o maior possível.
3) Dividir um arame de comprimento 9 cm em 3 pedaços de modo que o produto dos comprimentos seja
máximo.
4) Calcular as dimensões de uma caixa retangular com parte superior aberta com V = 4 m3 e menor área de
superfície possível.
5) Determinar o máximo e o mínimo (caso existam) da f dada por f(x,y) =x.y, sob a restrição x + y = 6.
Respostas
1) a) (-2,2) é ponto de máximo
b) (2,-1) é ponto de sela; (2,1) é ponto de mínimo
c) (0,0) e (-1/2,0) são pontos de sela e (1/2,0) é ponto de máximo
d) (0,0) é ponto de máximo
e) (0,-1) é ponto de sela , (1,-1) e (-3,-1) são pontos de mínimo
f) (2,0) é ponto de sela, (-2,0) e (-3,2) são pontos de mínimo e (3,-2) é ponto de máximo
2) 8, 8 e 8
3) 3 cm, 3 cm e 3 cm
4) 2 cm, 2 cm e 1 cm
5) máx f = 9 e não existe o min f
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