Vol. 3, No. 1,
Janeiro-Março de 2013
ARTIGO ORIGINAL
OS PONTOS DE BROCARD
Paulo
Sérgio C. Lino1 e Kleber Kilhian2
1
Mestre em matemática pura pela UFSCar e professor contratado do Departamento de Matemática,
UNEMAT.- Universidade do Estado de Mato Grosso, Campus Barra do Bugres - MT.
2
Técnico em eletrônica e licenciado em matemática pela UNIMESP.
Resumo
Neste trabalho apresentamos uma classe de pontos notáveis em um triângulo ABC,
conhecidos por Pontos de Brocard. As provas dos teoremas foram feitas através da
Trigonometria, sendo que estes resultados podem ser constatados através da Geometria
Dinâmica.
Palavras-chaves: pontos notáveis, construções geométricas, geometria dinâmica.
1. Introdução
A geometria dinâmica é um termo utilizado para nomear (indicar) um método
dinâmico e interativo para o ensino e aprendizagem de geometria e suas propriedades
usando ambientes computacionais destinados a esse fim [1]. Atualmente, com
desenvolvimento e popularização dos softwares, a geometria dinâmica proporciona uma
forma diferenciada e é um recurso didático valioso no ensino da geometria plana. Tais
softwares vêm ganhando destaque também como um forte aliado na investigação em
Geometria [2]. Entende-se por softwares de Geometria Dinâmica aqueles capazes de
construir e manipular objetos geométricos na tela do computador [3].
O estudo dos triângulos e de suas propriedades é importante para o
desenvolvimento da geometria plana. As três cevianas básicas de um triângulo são: a
altura, a mediana e a bissetriz. As três medianas de um triângulo interceptam em um
único ponto chamado baricentro, o mesmo ocorre com a interseção das alturas e das
bissetrizes. Existem muitos outros pontos notáveis em triângulo, tais como os pontos de
Fermat [4], os pontos de Nagel, ponto de Lemoine, etc.
Pierre René Jean Baptiste Henri Brocard nasceu a 12 de maio de 1845 em
Vignot, França e morreu em 16 de janeiro de 1922 em Bar-le-Duc, França. Brocard
passou a maior parte de sua vida estudando meteorologia como um oficial da marinha

[email protected]
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francesa, mas suas contribuições notáveis são na matemática. Suas descobertas mais
conhecidas talvez tenham sido os pontos de Brocard, o triângulo de Brocard e o círculo
de Brocard. Neste artigo, vamos nos limitar aos pontos de Brocard, sua construção
através do software RÉGUA E COMPASSO e algumas propriedades obtidas usando
trigonometria elementar.
2. Definições
Os Pontos de Brocard são pontos especiais dentro de um triângulo e podem ser
definidos como:
Definição 1: Em um triângulo de vértices 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , (rotulados no sentido anti-horário)
denotado por (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , existe um ponto único Ω tal que os ângulos ∠Ω𝐴1 𝐴2 =
∠ΩA2 𝐴3 = ∠Ω𝐴3 𝐴1 são iguais. O ponto Ω é chamado de 1º Ponto de Brocard.
Definição 2: Num mesmo triângulo de vértices 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , (rotulados no sentido antihorário) denotado por (𝑇)′ = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , existe um ponto único Ω′ tal que os ângulos
∠Ω𝐴1 𝐴3 = ∠ΩA3 𝐴2 = ∠Ω𝐴3 𝐴1 são iguais. O ponto Ω′ é chamado de 2º Ponto de
Brocard.
Figura 1. Triângulo com os pontos e os ângulos de Brocard.
Note que 𝜔 = ∠Ω𝐴1 𝐴2 = ∠ΩA2 𝐴3 = ∠Ω𝐴3 𝐴1 e 𝜔′ = ∠Ω′𝐴1 𝐴3 = ∠Ω′A3 𝐴2 =
∠Ω′𝐴2 𝐴1 são iguais. Este ângulo em comum é chamado de Ângulo de Brocard.
Os dois Pontos de Brocard estão intimamente relacionados entre si. Na verdade, a única
diferença entre Ω e Ω′ é que o segundo ponto de Brocard é obtido de (𝑇) por uma
mudança de orientação. Os Pontos de Brocard são conjugados isogonais um do outro.
3. Construção Geométrica
Uma construção elegante do 1º Ponto de Brocard pode ser descrita como: Num
triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 com lados opostos 𝑎1 , 𝑎2 e 𝑎3 descreva uma circunferência
que passe pelos pontos 𝐴1 e 𝐴2 que seja tangente ao lado 𝑎1 . Da mesma forma, descreva
uma circunferência que passe por 𝐴2 e 𝐴3 que seja tangente ao lado 𝑎2 . Descreva uma
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terceira circunferência que passe por 𝐴3 e 𝐴1 que seja tangente ao lado 𝑎3 . A
intersecção dessas três circunferências gera o 1º Ponto de Brocard denotado por Ω.
Sua construção geométrica com régua e compasso por ser feita como se segue:
1) Construa um triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 qualquer.
2) Descreva uma circunferência 𝐶1 de centro 𝑂1 que passe pelos pontos 𝐴1 e 𝐴2 e que
seja tangente ao lado 𝑎1 em 𝐴2 . Para isso, trace um segmento ortogonal ao lado 𝑎1 por
𝐴2 . Em seguida, trace a mediatriz do lado 𝑎3 . A intersecção desses dois segmentos é o
centro 𝑂1 da circunferência 𝐶1 de raio 𝑂1 𝐴1 = 𝑂1 𝐴2 .
Figura 2. Segundo passo da construção do primeiro ponto de Brocard.
3) Analogamente, construímos a circunferência 𝐶2 de centro 𝑂2 que passa pelos pontos
𝐴2 e 𝐴3 , tangente ao lado 𝑎2 em 𝐴3 . Trace um segmento ortogonal ao lado 𝑎2 por 𝐴3 e
trace a mediatriz do lado 𝑎1 , determinando o centro 𝑂2 da circunferência 𝐶2 .
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Figura 3.Terceiro passo da construção do primeiro ponto de Brocard.
4) Da mesma forma construímos a circunferência 𝐶3 de centro 𝑂3 que passa pelos
pontos 𝐴1 e 𝐴3 , tangente ao lado 𝑎3 por 𝐴1 . Trace um segmento ortogonal ao lado 𝑎3
por 𝐴1 e trace a mediatriz do lado 𝑎2 , determinando o centro 𝑂3 da circunferência 𝐶3 .
Figura 4. Etapa final da construção do primeiro ponto de Brocard.
5) O ponto triplo dado pela intersecção das três circunferências é o 1º Ponto de Brocard,
designado por Ω. Unindo o ponto Ω a cada um dos vértices do triângulo, determinamos
o ângulo 𝜔, tal que:
𝜔 = ∠Ω𝐴1 𝐴2 = ∠ΩA2 𝐴3 = ∠Ω𝐴3 𝐴1
Para a construção do 2º ponto de Brocard, basta seguir o mesmo procedimento descrito
acima tomando a orientação inversa. Unindo o ponto Ω′ a cada vértice do triângulo,
determinamos o ângulo 𝜔′, tal que:
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𝜔′ = ∠Ω′𝐴1 𝐴3 = ∠Ω′A3 𝐴2 = ∠Ω′𝐴2 𝐴1
Figura 5.Triângulo A1A2A3 com os ângulos e os pontos de Brocard.
4. Propriedades Importantes
Nesta seção, veremos algumas propriedades interessantes sobre os pontos e os ângulos
de Brocard. Outras propriedades e a relação com as matrizes circulantes e o fólium de
Descartes podem ser vistas em [5].
Teorema 1: Em um triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , existe um único ponto denotado por 𝛺, tal
que ∠𝛺𝐴1 𝐴2 = ∠𝛺𝐴2 𝐴3 = ∠𝛺𝐴3 𝐴1 .
Demonstração: A existência deste ponto foi apresentada acima. Para a unicidade,
suponha que exista um ponto Ω no triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 tal que:
∠Ω𝐴1 𝐴2 = ∠ΩA2 𝐴3 = ∠Ω𝐴3 𝐴1 .
Assim, o segmento 𝐴2 𝐴3 é tangente em 𝐴2 ao círculo 𝐶1 que passa pelos pontos
𝐴1 , Ω e 𝐴2 . Isto pode ser provado observando que o triângulo 𝑂1 Ω𝐴2 é isósceles:
Pelas propriedades existentes num triângulo isósceles, segue que:
𝜔=
𝜃 (180° − 2𝛽)
=
= 90° − 𝛽 ⟹
2
2
𝛽 + 𝜔 = 90°
Demonstrando assim que o segmento 𝐴2 𝐴3 é tangente ao círculo 𝐶1 em 𝐴2 . Isto
significa que Ω é um ponto comum aos três círculos, sendo que os lados do triângulo
(𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 são tangentes a cada círculo conforme a figura 6 abaixo.
Reciprocamente, é possível provar que os três círculos 𝐶1 , 𝐶2 e 𝐶3 onde 𝐶1 é tangente a
𝐴2 𝐴3 e passa por 𝐴1 , 𝐶2 é tangente a 𝐴1 𝐴3 e passa por 𝐴2 e 𝐶3 é tangente a 𝐴1 𝐴2 e
passa pelo ponto 𝐴3 são concorrentes em um ponto que está necessariamente no interior
do triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 . Desta forma, Ω é único.
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Figura 6. Construção auxiliar para provar a unicidade do ponto Ω de Brocard.
Teorema 2: Em um triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , de ângulos internos 𝛼1 , 𝛼2 𝑒 𝛼3 e lados
opostos 𝑎1 , 𝑎2 𝑒 𝑎3 , respectivamente, contendo o ponto 𝛺, existe o ângulo 𝜔 tal que
𝜔 = ∠𝛺𝐴1 𝐴2 = ∠𝛺𝐴2 𝐴3 = ∠𝛺𝐴3 𝐴1 , de modo que vale a relação:
𝑐𝑜𝑡(𝜔) = 𝑐𝑜𝑡(𝛼1 ) + 𝑐𝑜𝑡(𝛼2 ) + 𝑐𝑜𝑡(𝛼3 )
Demonstração: Considere o triângulo na Fig. 7 abaixo. Aplicando a lei dos senos no
triângulo 𝐴1 𝐴3 Ω, obtemos:
𝐴3 Ω
𝑎2
=
sen(α1 − ω) sen(180° − 𝛼1 )
𝐴3 Ω
𝑎2
=
sen(α1 − ω) sen(𝛼1 )
(1)
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Figura 7. Figura auxiliar para o teorema 2.
Note que pelo teorema do ângulo externo 𝛼1 = 𝜔 + (𝛼1 − 𝜔). Analogamente,
aplicando a lei dos senos no triângulo 𝐴2 𝐴3 Ω, obtemos:
𝐴3 Ω
𝑎1
𝑎1
=
=
sen(ω) sen(α1 + α2 ) sen(180° − 𝛼1 − 𝛼2 )
𝐴3 Ω
𝑎1
=
sen(ω) sen(α3 )
(2)
E aplicando a lei dos senos no triângulo 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , obtemos:
𝑎1
𝑎2
(3)
=
sen(α1 ) sen(α2 )
De (1) e (2) temos:
𝑎2 ⋅ sen(α1 − ω) 𝑎1 ⋅ sen(ω)
=
sen(α1 )
sen(α3 )
𝑎2
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
=
𝑎1 sen(α1 − ω) ⋅ sen(α3 )
(4)
Mas de (3), temos que:
𝑎2 sen(α2 )
=
𝑎1 sen(α1 )
de modo que:
sen(α2 )
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
=
sen(α1 ) sen(α1 − ω) ⋅ sen(α3 )
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sen(α1 − ω) ⋅ sen(α2 ) ⋅ sen(α3 )
= sen(α1 ) (5)
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
Mas, 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 180°. Assim,
sen(α1 ) = sen(180° − α2 − α3 ) ⟹
sen(α1 ) = sen(α2 + α3 ) (6)
Substituindo (6) em (5), obtemos:
sen(α1 − ω) ⋅ sen(α2 ) ⋅ sen(α3 )
= sen(α2 + α3 ) (7)
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
Mas,
sen(α1 − ω) = sen(α1 ) ⋅ cos(𝜔) − sen(ω) ⋅ cos(𝛼1 )
consequentemente,
sen(α1 − ω)
= cot(𝜔) − cot(𝛼1 ) (8)
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
Substituindo (8) em (7), segue que:
(cot(𝜔) − cot(𝛼1 )) ⋅ sen(α2 ) ⋅ sen(α3 ) = sen(α2 + α3 )
(cot(𝜔) − cot(𝛼1 )) ⋅ sen(α2 ) ⋅ sen(α3 ) = sen(α2 ) ⋅ cos(𝛼3 ) + sen(α3 ) ⋅ cos(𝛼2 )
cot(𝜔) − cot(𝛼1 ) =
sen(α2 ) ⋅ cos(𝛼3 ) + sen(α3 ) ⋅ cos(𝛼2 )
⟹
sen(α2 ) ⋅ sen(α3 )
cot(𝜔) − cot(𝛼1 ) = cot(𝛼3 ) + cot(𝛼2 )
cot(𝜔) = cot(𝛼1 ) + cot(𝛼2 ) + cot(𝛼3 ) (9)
Corolário 1: Se 𝛼1 = 𝛼2 = 𝛼3 = 60°, então 𝜔 = 30°.
Demonstração:
cot(𝜔) = 3 cot(60°)
cot(𝜔) =
3
3
=
tan(60°) √3
tan(𝜔) =
√3
3
𝜔 = 30°
Corolário 2: Segue do teorema anterior que
cot 2 (𝜔) = cot 2 (𝛼1 ) + cot 2 (𝛼2 ) + cot 2 (𝛼3 ) + 2
Demonstração: Elevando ao quadrado ambos os lados da expressão (9), obtemos:
cot 2 (𝜔) = [cot(𝛼1 ) + cot(𝛼2 ) + cot(𝛼3 )]2
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cot 2 (𝜔) = cot 2 (𝛼1 ) + cot 2 (𝛼2 ) + cot 2 (𝛼3 ) +
+2 cot(𝛼1 ) cot(𝛼2 ) + 2 cot(𝛼1 ) cot(𝛼3 ) + +2 cot(𝛼2 ) cot(𝛼3 ) (10)
Mas,
cot(𝛼1 ) cot(𝛼2 ) + cot(𝛼1 ) cot(𝛼3 ) + cot(𝛼2 ) cot(𝛼3 ) =
= cot(𝛼1 ) cot(𝛼2 ) + cot(𝛼3 ) [cot(𝛼1 ) + cot(𝛼2 )] =
=
=
cos(𝛼1 ) cos(𝛼2 ) cos(180° − 𝛼1 − 𝛼2 )
+
⋅ [cot(𝛼1 ) + cot(𝛼2 )] =
sen(α1 )sen(α2 ) sen(180° − α1 − α2 )
cos(𝛼1 ) cos(𝛼2 ) cos(𝛼1 + 𝛼2 ) cos(𝛼1 ) sen(α1 ) + cos(𝛼2 ) sen(α2 )
−
⋅[
]=
sen(α1 )sen(α2 ) sen(α1 + α2 )
sen(α1 )sen(α2 )
=
=
cos(𝛼1 ) cos(𝛼2 )
cos(𝛼1 + 𝛼2 )
−
=
sen(α1 )sen(α2 ) sen(α1 )sen(α2 )
cos(𝛼1 ) cos(𝛼2 ) − [cos(𝛼1 ) cos(𝛼2 ) − sen(α1 )sen(α2 )]
sen(α1 )sen(α2 )
==
=1
sen(α1 )sen(α2 )
sen(α1 )sen(α2 )
Assim, da expressão (10) segue que:
cot 2 (𝜔) = cot 2 (𝛼1 ) + cot 2 (𝛼2 ) + cot 2 (𝛼3 ) + 2
(11)
Corolário 3: Do teorema anterior, segue que
1
1
1
1
(12)
=
+
+
sen2 (ω) sen2 (α1 ) sen2 (α2 ) sen2 (α3 )
Demonstração: Da expressão (11) de outro modo, usando a relação trigonométrica
fundamental:
cos2 (𝜃) + sen2 (θ) = 1
De fato,
cos 2 (𝜔)
cos2 (𝛼1 ) cos 2 (𝛼2 ) cos 2 (𝛼3 )
=
+
+
+2⟹
sen2 (ω) sen2 (α1 ) sen2 (α2 ) sen2 (α3 )
1 − sen2 (ω) 1 − sen2 (α1 ) 1 − sen2 (α2 ) 1 − sen2 (α3 )
=
+
+
+2⟹
sen2 (ω)
sen2 (α1 )
sen2 (α2 )
sen2 (α3 )
1
1
1
1
−
1
=
−
1
+
−
1
+
−1+2⟹
sen2 (ω)
sen2 (α1 )
sen2 (α2 )
sen2 (α3 )
1
1
1
1
=
+
+
sen2 (ω) sen2 (α1 ) sen2 (α2 ) sen2 (α3 )
Teorema 3: Em um triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , de ângulos internos 𝛼1 , 𝛼2 𝑒 𝛼3 e lados
opostos 𝑎1 , 𝑎2 𝑒 𝑎3 , respectivamente, contendo o ponto 𝛺, existe o ângulo 𝜔 tal que
𝜔 = ∠𝛺𝐴1 𝐴2 = ∠𝛺𝐴2 𝐴3 = ∠𝛺𝐴3 𝐴1 , de modo que vale a relação:
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𝑐𝑜𝑡(𝜔) =
𝛼12 + 𝛼22 + 𝛼32
4∆
onde Δ é a área do triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 .
Demonstração: Note que:
1
∆= 𝑎2 𝑎3 sen(𝛼1 ) (13)
2
Figura 8. Figura auxiliar para o teorema 3.
Pela lei dos cossenos, temos que:
𝑎12 = 𝑎22 + 𝑎32 − 2𝑎2 𝑎3 cos(𝛼1 ) ⟹ 𝑎2 𝑎3 cos(𝛼1 ) = 𝑎22 + 𝑎32 − 𝑎12 (14)
De (13) e (14), segue que:
4 cot(𝛼1 ) =
2𝑎2 𝑎3 cos(𝛼1 ) 𝑎22 + 𝑎32 − 𝑎12
=
1
Δ
)
2 𝑎2 𝑎3 sen(𝛼1
−𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
(15)
cot(𝛼1 ) =
4Δ
Por simetria temos:
cot(𝛼2 ) =
𝑎12 − 𝑎22 + 𝑎32
(16)
4Δ
e
cot(𝛼3 ) =
𝑎12 + 𝑎22 − 𝑎32
4Δ
(17)
Substituindo (15), (16) e (17) em (9), segue que:
(−𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32 ) + (𝑎12 − 𝑎22 + 𝑎32 ) + (𝑎12 + 𝑎22 − 𝑎32 )
cot(𝜔) =
4Δ
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cot(𝜔) =
𝑎12 + 𝑎22 + 𝑎32
4Δ
(18)
Teorema 4: Em um triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , de ângulos internos 𝛼1 , 𝛼2 𝑒 𝛼3 e lados
opostos 𝑎1 , 𝑎2 𝑒 𝑎3 , respectivamente, contendo o ponto 𝛺, existe o ângulo 𝜔 tal que:
0≤𝜔≤
𝜋
6
Demonstração: Da expressão (8), sabemos que:
sen(α1 − ω)
= cot(𝜔) − cot(𝛼1 )
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
Trocando 𝜔 por – 𝜔, obtemos:
sen(α1 + ω)
cos(−𝜔)
=
− cot(𝛼1 )
sen(α1 ) ⋅ sen(−ω) sen(−𝜔)
−
sen(α1 + ω)
cos(𝜔)
=−
− cot(𝛼1 )
sen(α1 ) ⋅ sen(ω)
sen(𝜔)
sen(α1 + ω)
= sen(𝛼1 ) cot(𝜔) + cos(𝛼1 )
sen(ω)
sen(α1 + ω)
= sen(𝛼1 )[cot(𝛼1 ) + cot(𝛼2 ) + cot(𝛼3 )] + cos(𝛼1 )
sen(ω)
sen(α1 + ω)
cos(𝛼2 )
cos(𝛼3 )
= cos(𝛼1 ) + sen(𝛼1 )
+ sen(𝛼1 )
+ cos(𝛼1 )
sen(ω)
sen(𝛼2 )
sen(𝛼3 )
sen(α1 + ω) sen(α2 ) cos(𝛼1 ) + sen(𝛼1 ) cos(𝛼2 )
=
+
sen(ω)
sen(α2 )
+
sen(𝛼1 ) cos(𝛼3 ) + sen(𝛼3 ) cos(𝛼1 )
sen(𝛼3 )
sen(α1 + ω) sen(𝛼1 + 𝛼2 ) sen(𝛼1 + 𝛼3 )
=
+
sen(ω)
sen(𝛼2 )
sen(𝛼3 )
Mas, 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 𝜋, de modo que:
(19)
sen(𝛼1 + 𝛼2 ) = sen(𝜋 − 𝛼2 ) = sen(𝛼3 )
e
sen(𝛼1 + 𝛼3 ) = sen(𝜋 − 𝛼2 ) = sen(𝛼2 )
Assim:
sen(α1 + ω) sen(𝛼3 ) sen(𝛼2 )
=
+
sen(ω)
sen(𝛼2 ) sen(𝛼3 )
Pela lei dos senos no triângulo (𝑇) = 𝐴1 𝐴2 𝐴3 , sabemos que:
sen(𝛼2 ) sen(𝛼3 )
sen(𝛼2 ) 𝑎2
=
⟹
=
a2
𝑎3
sen(𝛼3 ) 𝑎3
donde segue que
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𝑎3 𝑎 2
sen(𝛼1 + 𝜔) 𝑎3 𝑎2
𝑎 + 𝑎3
=
+
=2∙ 2
sen(𝜔)
𝑎2 𝑎3
2
⟹
sen(𝛼1 + 𝜔)
𝑎3 𝑎2
≥√ ∙
=2
sen(𝜔)
𝑎2 𝑎3
pela desigualdade aritmética-geométrica. Isto mostra que:
sen(𝛼1 + 𝜔)
≥2
sen(𝜔)
e a igualdade é válida se e somente se 𝑎2 = 𝑎3. Consequentemente:
1
𝜋
2sen(𝜔) ≤ sen(𝛼1 + 𝜔) ≤ 1 ⟹ 0 < sen(𝜔) ≤ ⟹ 0 < 𝜔 ≤
2
6
e 𝜔 = 𝜋/6 se e somente se (𝑇) for um triângulo equilátero.
5. Referências Bibliográficas:
[1] Geometria Dinâmica. Disponível em: http://www.geometriadinamica.com.br/.
Acessado em 20/02/2013.
[2] ZULATTO, R. B. A. (2002). Professores de Matemática que Utilizam Softwares de
Geometria Dinâmica: suas características e perspectivas. Dissertação. Universidade
Estadual Paulista – UNESP.
[3] GOMES DA SILVA, G.H & GODOI PENTEADO, MIRIAM. (2009). O trabalho
com geometria dinâmica em uma perspectiva investigativa. Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia – PPGECT, Universidade Tecnológica
Federal do Paraná - UTFPR.
[4] Wolfram Mathworld. Disponível em: http://mathworld.wolfram.com/FermatPoints
Acessado em 20/02/2013.
[5] Stroeker, R. J. Brocard Points, Circulants Matrices, and Descarte’s Folium.
Mathematics Magazine, Vol. 61, No 3, 172-178.
Vol. 3, No. 1, Janeiro – Março 2013, Página 51