c
M a r i a de ~ á t i m aC o u t i n h o da S i l v a
T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO
DOS PROGRAMAS DE P~S-GRADUAÇÃO DE
ENGENHARIA
DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE J A N E I R O COMO
R E Q U I S I T O NECESSÁRIO
PARA A OBTENÇÃO DO
DE MESTRE EM CIÊNCIAS
GRAU
(M. S C . )
A p r o v a d a por:
[
Prof
. J O A ~L u i z
M a u r i t -y Saboia
Presidente
kL Y ~
Prof. N e l s o n M a c u l a n F i
-
R I O DE J A N E I R O , R J
BRASIL
DEZEMBRO DE 1 9 7 8
o
i
AGRADECIMENTOS
Ao P r o f e s s o r ~ o ã oLuiz Maurity S a b o i a , p e l a e x c e l e n t e
o r i e n t a ç ã o dada d u r a n t e o desenvolvimento d e s t e t r a b a l h o ;
Aos P r o f e s s o r e s Luiz Fernando L o u r e i r o Legey e Nelson
Maculan F i l h o p e l a p a r t i c i p a ç ã o n a banca de tese;
Maria d e Lourdes de Almeida e ao Eduardo ~ o n c e i ç ã o ;
p e l o s e x c e l e n t e s t r a b a l h o s d e d a t i l o g r a f i a e execução g r á f i c a ,
respectivamente;
A COMISSÃO
NACIONAL
DE ENERGIA NUCLEAR, nas
pessoas
dos d o u t o r e s J u l i o J a n s e n Laborne e Edgard Meyer, r e s p e c t i v a
-
mente, c h e f e do Departamento de Normas e ~ s p e c i f i c a ç õ e se chef e d a Divisão d e Normas de ~ a d i o p r o t e ç ã o , por m e cederem o hor á r i o de t r a b a l h o p a r a execução d a tese e p e l o a p o i o e estimu10s p r e s t a d o s ;
Ao CNPq p e l o a u x i l i o f i n a n c e i r o concedido;
A s demais p e s s o a s que d e alguma forma c o n t r i b u i r a m pg
r a a execução d e s t e t r a b a l h o .
Ao meu & i l h a ~ n d n eV i n i c i u b
A l e i de P a r e t o tem s i d o u t i l i z a d a p a r a d e s c r e v e r d i -
v e r s o s fenômenos sócio-econÔmicos t a i s como, a renda dos i n d i víduos, o c a p i t a l das f i r m a s , o tamanho das cidades etc.
E s t a l e i nos f o r n e c e uma medida da desigualdade
da
d i s t r i b u i ç ã o da v a r i á v e l considerada e n t r e o s elementos d a população
-
o c o e f i c i e n t e de P a r e t o .
-
I n i c i a l m e n t e apresentamos a l e i de P a r e t o e s u a c r í t i
ca.
Em seguida mostramos o u t r a s formas de se medir a desiguaA
dade da d i s t r i b u i ç ã o da renda ( í n d i c e s de G i n i , T h e i l e ~ a r i ân
tia dos Logaritmos).
Posteriormente 6 apresentado o modelo de Champernow
ne.
E s t e modelo u t i l i z a elementos
d a t e o r i a de c a d e i a s
-
de
Markov, e s u a d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n ã r i a s a t i s f a z a l e i de P a r 2
to.
Finalmente u t i l i z a m o s dados d a s d e c l a r a ç õ e s de impost o de renda de pessoas f í s i c a s no B r a s i l no p e r í o d o 1968
1975 p a r a v e r i f i c a r a v a l i d a d e ou não da l e i de P a r e t o .
a p l i c a ç ã o nos mostra que e l a só se a j u s t a
a
Esta
s a t i s f atoziarnente
aos dados das mais a l t a s f a i x a s de rendimentos.
Desta
forma,
p a r a e f e i t o s p r á t i c o s , o c o e f i c i e n t e de P a r e t o é de muito pouc a u t i l i d a d ~como medida d a d i s t r i b u i ç ã o de renda.
iii
ABSTRACT
P a r e t o ' s law has been f r e q u e n t l y used t o d e s c r i b e var i o u s social-economic phenomena, such a s , p e r s o n a l income, cap i t a l of f i r m s , s i z e of c i t i e s etc.
T h i s law p r o v i d e s u s a measure of t h e i n e q u a l i t y
t h e d i s t r i b u t i o n of t h e c o n s i d e r e d v a r i a b l e
-
in
t h e P a r e t o ' s co-
efficient.
W e f i r s t p r e s e n t P a r e t o ' s law and i t s c r i t i q u e . A f t e r
t h a t , we show o t h e r means t o measure t h e i n e q u a l i t y i n t h e i n come d i s t r i b u t i o n ( G i n i ' s i n d e x , T h e i l and Variance o£
rithms)
Loga-
.
A f t e r t h a t , w e develop Champernowne's model. T h i s mo-
d e 1 u t i l i z e s concepts from t h e t h e o r y of Markov c h a i n s ,
and
i t s s t a t i o n a r y d i s t r i b u t i o n s u g g e s t s t h e P a r e t o ' s law.
We f i n a l l y u t i l i z e d a t a from p e r s o n a l income t a x
re-
t u r n s i n B r a z i l f o r t h e p e r i o d 1968 t o 1975, t o v e r i f y t h e val i d i t y of P a r e t o ' s law.
T h i s a p p l i c a t i o n shows u s t h a t it on-
l y a d a p t s i t s e l f s a t i s f a c t o r i l y t o t h e h i g h e s t income
Thus, f o r a 1 1 p r a c t i c a l purposes, P a r e t o ' s c o e f f i c i e n t i s
l i t t l e v a l u e a s a measure of income d i s t r i b u t i o n .
data.
o£
CAP~TULO
I - ~ntrodução
-
C A P ~ T U L O I1
A L e i de P a r e t o e s u a c r í t i c a
11.1 - A L e i de P a r e t o
11.2
-
C A P ~ T U L O 111
-
crítica 2 l e i de P a r e t o
Outros f n d i c e s de c o n c e n t r a ç ã o
111.1
-
A Curva de Lorenz e o f n d i c e
de G i n i
-
111.2
111.3
-
CAP~TULO I V
~ a r i â n c i ados Logs
O f n d i c e de T h e i l
O Modelo de Champernowne
-
IV.l
O Modelo de Champernowne e a
L e i de P a r e t o
IV.2
-
~ r n ' t i c wa o Modelo de Champer
nowne
C A P ~ T U L OV
APÊNDICE
-
-
~ p l i c a ç ã oe ~ o n c l u s õ e s
Dados u t i l i z a d o s e ~ r á f i c o sda L e i d e
Pareto
Bibliografia
A preocupação p e l a maneira com que a r e n d a
6 d i s t r i b ui
da e n t r e o s componentes de uma s o c i e d a d e tem c r e s c i d o nos Ú l t i mos anos.
Esse tema vem i n t e r e s s a n d o a o s economistas desde
época dos f i s i o c r a t a s
mente dita.
-
a
a p r i m e i r a e s c o l a de economistas p r o p ri
No e n t a n t o , somente no f i n a l do s é c u l o
passado,
s u r g i u a p r i m e i r a t e n t a t i v a de medir a d i s t r i b u i ç ã o d e
a t r a v é s de V 1 L F R E D O PARETO [I
21 , que
renda
conduz uma i n v e s t i g a ç ã o e-
conométrica e d e s c o b r e uma c e r t a r e g u l a r i d a d e na
distribuição
d a renda em um bom numero de s o c i e d a d e s por e l e e s t u d a d a s .
Os
e s t u d o s d e P a r e t o nos fornecem a p r i m e i r a medida o b j e t i v a
de
d i s t r i b u i ç ã o d e renda d e que s e tem n o t i c i a .
*
Recentemente, no B r a s i l , o tema da r e p a r t i ç ã o d a renda
passou a t e r maior i n t e r e s s e a p a r t i r da d i v u l g a ç ã o dos
dados
do Censo de 1970, o s q u a i s , comparados com o s de 1960, mostra
ram que a renda s e t i n h a t o r n a d o a i n d a mais d e s i g u a l a o
d e s s a década ( v e j a T a b e l a s I . 1 e I. 2 )
-
longo
.
A r e n d a r e a l dos 50% d a população remunerada de rendas
mais b a i x a s a p r e s e n t o u um aumento de apenas 1%
d u r a n t e e s s a década, enquanto que a renda r e a l dos 5% d a população
de rendas mais a l t a s aumentou d e 7 2 % E3].
remunerada
O s a l á r i o mínimo r e a l diminuiu d u r a n t e o p e r i o d o men-
cionado.
Um í n d i c e do v a l o r do s a l & i o mínimo r e a l mêdio,
na
c i d a d e d e são P a u l o , t e n d o por base o t r i ê n i o 1959-61=100,caiu
p a r a 82 no t r i ê n i o 1962-64, p a r a 75 no t r i ê n i o 1965-67 e 71 no
t r i ê n i o 1968-70 [ 4 ] .
Dados d i v u l g a d o s p e l o I P E A [7]
mostram que o
salário
r e a l médio dos empregados na i n d ú s t r i a c a i u de um n í v e l 100 em
1963 p a r a 85 e m 1967, mantendo-se no n í v e l 90 em 1968 e 1969.
TABELA 1.1: ~ i s t r i b u i ç ã od a Renda no B r a s i l e m 1960
Percentagem d a população ( p e s s o a s de 1 0
anos ou mais) que r e c e b e renda e r e s p e c
t i v a percentagem d a renda t o t a l r e c e b i da ( e m ordem c r e s c e n t e de r e n d a )
I
~ o p u l a ç ã oremunerada
Percentagem
Percentagem
acumulada
5% s u p e r i o r e s
Fonte: H Ú F F M A N N R.
Percentagem
1
1%s u p e r i o r e s
e. J .
C.
Renda
11,72
DUARTE [ 5 ] .
Percentagem
acumulada
TABELA 1.2:
~ i s t r i b u i ç ã od a Renda no B r a s i l e m 1970
Percentagem d a população ( p e s s o a s d e 10
anos ou m a i s ) que r e c e b e r e n d a e r e s p e c
t i v a percentagem d a r e n d a t o t a l r e c e b i d a ( e m ordem c r e s c e n t e de r e n d a )
-
-
-
-
Renda
~ o ~ u l a ç ãremunerada
o
I
1
Percentagem
-
Percentagem
acumulada
Percentagem
5% s u p e r i o r e s
1%s u p e r i o r e s
Fonte: HOFFMAhlN R .
e J.C. VUARTE
1-1.
Percentagem
acumulada
5
Recentemente, L A N G O N I
r101
apresentou
-
uma t e o r i a ,
t r e a s v á r i a s t e o r i a s e x p l i c a t i v a s da r e p a r t i ç ã o da r e n d a
mada t e o r i a do " C a p i t a l Humano", na q u a l i n t r o d u z c i n c o
-
en
-
cha
-
varia-
v e i s independentes " e x p l i c a t i v a s " d a d e s i g u a l d a d e na d i s t r i b u i -
ção de renda:
educação, i d a d e , sexo, a t i v i d a d e e r e g i ã o .
O modelo d e Langoni c o n s i s t e e m r e a l i z a r
regressões
l o g - l i n e a r e s e m que a renda i n d i v i d u a l é função d a s c i n c o v a r i á
v e i s independente's.
O s resultados dessas regressões
mostram
que e m 1960 e s s a s c i n c o v a r i á v e i s "explicavam" 51% d a s d i f e r e n ç a s i n d i v i d u a i s de r e n d a , enquanto que e m 1970 passaram a
"ex-
p l i c a r " 59%. A c o n t r i b u i ç ã o c o n j u n t a d a s v a r i á v e i s s e x o , idade,
atividade
e r e g i ã o permaneceu a mesma d u r a n t e
e s s a década en
-
.
quanto a " v a r i á v e l " educação r e s p o n d i a p e l a quase
totalidade
d e s s e aumento d e poder e x p l i c a t i v o .
D e acordo com o t r a b a l h o de Langoni, e n t r e 1960
e
1970, a s p e s s o a s que possuiam e s c o l a r i d a d e d e n í v e l s u p e r i o r ti
nham renda 10 v e z e s s u p e r i o r a dos a n a l f a b e t o s .
A renda
dos p r i m e i r o s s u b i u 51% a o p a s s o que a dos Ultimos
no mesmo n l v e l .
A r e l a ç ã o e n t r e a renda r e a l dos
real
permaneceu
possuidores
d e e s c o l a r i d a d e s u p e r i o r e a dos que tinham apenas c u r s o primário
também aumentou n e s s e p e r í o d o , passando d e 1:5,3 e m
1960
p a r a 1 : 7 , 1 em 1970.
Ainda com b a s e nos dados do Censo ~ e m o g r á f i c od e
e 1970, R O D O L F O H O F F M A N N e J O Ã O C A R L O S D U A R T E [5J
1960
f i z e r a m um e s
tudo comparativo e obtiveram uma série d e r e s u l t a d o s .
E s s e s au
-
t o r e s mostram que a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a é s e n s i v e l m e n t e
mais
6
d e s i g u a l no s e t o r urbano que no s e t o r p r i m a r i o .
O v a l o r menor
p a r a o s í n d i c e s o b t i d o s no s e t o r p r i m á r i o pode s e r causado, em
grande p a r t e , p e l a não-inclusão d a s p e s s o a s que d e c l a r a r a m r e n
da nula.
O g r a u de c o n c e n t r a ç ã o da renda
é maior nas
regiões
Nordeste e L e s t e , mas d i f e r e pouco do g r a u de concentração
no
~ a l como
s
um todo.
O aumento no g r a u d e concentração da d i s t r i b u i ç ã o
da
renda f o i mais acentuado nas r e g i õ e s mais i n d u s t r i a l i z a d a s , de
modo q u e , em 1970, a s d i f e r e n ç a s e n t r e o s h d i c e s do
e do S u l
Nofdeste
apresentam-se menos acentuadas que no i n i c i o d e 1960.
O p e r f i l da d i s t r i b u i ç ã o da renda p e s s o a l no
a p r e s e n t a , em 1970, marcadas d e s c o n t i n u i d a d e s .
Brasil
Metade d a popu
-
l a ç ã o d a s p e s s o a s remuneradas r e c e b e 13,74% da renda
total.
Nos d e c i s de população s e g u i n t e s , o s incrementos na p a r t i c i p a ção p e r c e n t u a l na renda g e r a d a são pequenos ( v e r Tabela I.2),
mas quando se a t i n g e o d e c i l s u p e r i o r o c o r r e um s a l t o
brusco:
10% d a população a p r o p r i a - s e de quase metade d a renda t o t a l ,
(48,35%).
Comparando o s p e r f i s d a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a ,
1 9 6 0 e 1970 ( v e r Tabelas 1.1 e I . 2 ) ,
em
p a r e c e i n e g á v e l q u e , nes-
t e ú l t i m o ano, a c o n c e n t r a ç ã o da renda na cúpula d a d i s t r i b u i -
ção r e f o r ç o u - s e ,
ao p a s s o que o s d e c i s i n f e r i o r e s da população
t i v e r a m s u a p a r t i c i p a ç ã o p e r c e n t u a l na renda t o t a l r e d u z i d a . A
metade d a população remunerada, s i t u a d a no extremo i n f e r i o r da
7
d i s t r i b u i ç ã o , v i u c a i r s u a p a r t i c i p a ç ã o na renda
total
de
17,69% p a r a 13,74%.
Nos t r ê s d e c i s subsegÜentes, a s rendas médias s o f r e
ram acréscimos pouco s i g n i f i c a t i v o s .
-
0s aumentos s i g n i f i c a t i -
vos na renda média f i c a r a m r e s e r v a d o s p a r a o 90 e 100 d e c i s e ,
e s p e c i a l m e n t e , p a r a o s 5% da população d e t e n t o r e s de a l t a s r e n
das.
A conclusão a que chegaram Hoffmann e Duarte f o i
que
metade da população não f o i a t i n g i d a p e l o s b e n e f í c i o s do c r e s cimento econômico ( p e l o menos em termos monetários) e
outros
30% t i v e r a m a c e s s o apenas m a r g i n a l a e s s e s b e n e f í c i o s .
Um dos o b j e t i v o s p r i n c i p a i s d e s t e t r a b a l h o é o
teste
da v e r i f i c a ç ã o ou não d a Lei. de P a r e t o p a r a a d i s t r i b u i ç ã o
de
renda no B r a s i l .
A v a l i d a d e dos r e s u l t a d o s encontrados f i c a
limitada
da
p e l a e s c a s s e z de dados r e l a t i v o s ao g r a u de concentração
renda e d a r i q u e z a em nosso p a i s .
E s s e s dados foram r e t i r a d o s
do Anuário ~conÔmicoF i s c a l , do ~ i n i s t é r i oda Fazenda, que não
f o r n e c e informações s o b r e a d i s t r i b u i ç ã o de renda a b a i x o de uma c e r t a f a i x a s a l a r i a l .
E n t r e t a n t o , a p e s a r das l i m i t a ç Õ e s , o s
r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s mostram-se c o e r e n t e s com a d i s c u s s ã o
te
Ó r i c a f e i t a d u r a n t e este t r a b a l h o .
O ~ a p z t u l oI1 contém uma d e s c r i ç ã o da Lei de
e o í n d i c e de P a r e t o , s e g u i d o s de uma c r í t i c a .
Pareto
Procederemos, no c a p í t u l o 111, ao e s t u d o d e o u t r o s í n
d i c e s de c o n c e n t r a ~ ã o , conforme se segue, r e s p e c t i v a m e n t e :
curva de Lorenz e o í n d i c e de G i n i , o í n d i c e de T h e i l e a
a
Re-
dundância, e a ~ a r i â n c i ados Logs.
No ~ a p f t u l oI V , 6 a p r e s e n t a d o o modelo de Champernowne, o q u a l m o s t r a , u t i l i z a n d o c a d e i a s de Markov, como se
pode
s u g e r i r o aparecimento d a L e i d e P a r e t o .
Finalmente, apresentamos no ~ a p i t u l oV , uma a p l i c a ç ã o
da Lei de P a r e t o a dados b r a s i l e i r o s de d e c l a r a n t e s do imposto
de renda no ~ e r í o d o1968-1975, a q u a l mostra a s
dificuldades
d e u t i l i z a ç ã o d e s t a l e i a dados r e a i s d e rendimentos.
A L E I DE PARETO E
11.1
-
SUA
CRLTICA
A L e i de P a r e t o
A preocupação p e l a maneira com que a renda é d i s t r i b u 2
d a , , e n t r e o s componentes de uma s o c i e d a d e , é um tema que já vem
i n t e r e s s a n d o o s economistas d u r a n t e Longa d a t a .
No e n t a n t o , sg
mente no s é c u l o passado, é que um i n s t r u m e n t a l p a r a medir-se ojebivamente a d i s t r i b u i ç ã o d e renda d e n t r o d e uma s o c i e d a d e psa a existir.
de
A p r i m e i r a t e n t a t i v a de medir a d i s t r i b u i ç ã o
renda c o i n c i d e com o surgimento da econometria e marca
i n í c i o como ramo a u x i l i a r da economia.
o
V Z L F R E D Ú PARETÚ
seu
1/21
conduz a p r i m e i r a i n v e s t i g a ç ã o econométrica e descobre uma c e r t a r e g u l a r i d a d e na d i s t r i b u i ç ã o da renda em um bom número
s o c i e d a d e s por ele i n v e s t i g a d a s .
paço
, do
"I?eru
1471 a 1894.
de
E s s a s s o c i e d a d e s variam no es
-
2s comunidades e u r o p é i a s " e variam no tempo d e
A s i n v e s t i g a ç õ e s de P a r e t o , na determinação d a
g u l a r i d a d e na d i s t r i b u i ç ã o
rg
da r e n d a , nos f o r n e c e a p r i m e i r a m g
d i d a o b j e t i v a d e d i s t r i b u i ç ã o de renda d e que s e tem n o t í c i a .
No s i s t e m a d e duas coordenadas c a r t e s i a n a s , P a r e t o e s c a l o u a r e n d a por
f a m í l i a no e i x o h o r i z o n t a l ( x ) , enquanto que
no e i x o v e r t i c a l ( y ) - e s c a l o u o número d e f a m í l i a s que
tinham
renda i g u a l ou s u p e r i o r a x.
P a r e t o mostrou que, e m t o d o s
c a s o s por e l e e s t u d a d o s , a s c u r v a s r e p r e s e n t a t i v a s da d i s t r i
os
-
buição d a r e n d a tinham o mesmo formato, i s t o 6 , h i p é r b o l e s com
a equação
onde a r e p r e s e n t a a menor renda e A
-e a s ã o parâmetros p o s i t i vos.
A c u r v a pode s e r r e p r e s e n t a d a conforma a F i g u r a 11.1.
Quando x
+
a, y
+ a,
curva tem duas a s s i n t o t a s :
e quando x
+ a,
.x = a e y = O .
y
+
0, logo
a
Se deslocarmos o
e i x o y ao ponto a correspondente à menor r e n d a , e n t ã o a = O
e
a d i s t r i b u i ç ã o de P a r e t o toma a forma:
E s t a é a e x p r e s s ã o m a i s comum da d i s t r i b u i ç ã o d e P a r e
t o , devido a o f a t o que a maior p a r t e dos dados s o b r e a renda o
m i t e rendas b a i x a s .
r
Como veremos a d i a n t e , se tivéssemos i n f o-
mações s o b r e a população mais pobre, veríamos que a c u r v a cort a r i a o e i x o x = a em algum p o n t o , onde a d i s t r i b u i ç ã o de P a re
t o d e i x a r i a de t e r validade.
-
O p a r h e t r o a i n d i c a a convexidade d a h i p é r b o l e em re
lação
5
origem.
Se a t e n d e r ao i n f i n i t o , a h i p é r b o l e é absor-
v i d a p o r s u a a s s f n t o t a v e r t i c a l , o que i n d i c a que t o d o s o s com
FIGURA
1 1 . 1 : REPRESENTAÇÃO
PARETO
GRÁFICA
DA
LEI
DE
ponentes d e uma sociedade t ê m a q u e l a renda (a na F i g u r a 11.1).
Quando a t e n d e a z e r o , a d e s i g u a l d a d e na renda c r e s c e , e a cug
va t e n d e p a r a
uma r e t a h o r i z o n t a l .
Ao c a l c u l a r o parâmetro a , P a r e t o d e s c o b r i u que
v a r i a v a de 1 , 1 3 em Ausburg em 1536, a 1,89 na ~ Ú s s i aem
com uma media d e 1,51.
ele
1852,
Supondo, uma d i s t r i b u i ç ã o normal da v 2
r i a v e 1 a l f a , sabemos que 99% d a s observações
encontrar-se-ão
d e n t r o d e t r ê s d e s v i o s padrões d a média, ou s e j a , e n t r e 0,8447
e 2,5235.
P a r e t o c o n s i d e r a v a que a d i s t r i b u i ç ã o da r e n d a e
r i q u e z a nas s o c i e d a d e s humanas t e n d i a a s e a j u s t a r
lei
da
que
e l e e s t a b e l e c e u , independentemente da sua o r g a n i z a ç ã o economico-social.
Ele
v e r i f i c o u que a s u a "curva d e rendas" era s e
melhante p a r a d i f e r e n t e s p a í s e s e em d i v e r s o s perzodos ( I n g l a t e r r a , ~ r ú s s i ae ~ a x Ô n i ano s 6 c u l o X I X , Peru no s & u l o
na ~ a s í l i amedieval e t c . ) .
HUBERMAN [h]
, verifica-se
XVIII,
Com base em dados a p r e s e n t a d o s por
que a curva d e P a r e t o a j u s t a - s e bas-
t a n t e bem à d i s t r i b u i ç ã o dos e s c r a v o s e n t r e s e u s s e n h o r e s , nos
Estados Unidos, e m 1850.
O sistema s o c i a l ( c a p i t a l i s t a , f e u d a l , e s c r a v i s t a ) va
r i a , mas a l e i de d i s t r i b u i ç ã o , conforme afirmava P a r e t o , p e r manece v á l i d a .
L A N G E C93 nega que a l e i d e s c o b e r t a p o r P a r e t o
uma l e i n a t u r a l , v á l i d a em t o d o s o s s i s t e m a s s o c i a i s .
seja
Esse au
-
t o r c o n c l u i que a s rendas de um grupo s o c i a l homogêneo d i s t r i buem-se segundo uma curva normal s i m p l e s ou l o g a r í t m i c a .
Mos-
t r a a i n d a que a d i s t r i b u i ç ã o dos t r a b a l h a d o r e s e empregados na
~ o l Ô n i a ,segundo s e u s s a l á r i o s no mes de setembro de 1965,
j u s t a - s e 5 d i s t r i b u i ç ã o logarítmica-normal e não
ç ã o de P a r e t o .
a-
-
distribui
E s s a l e i é, p o r t a n t o , uma c a r a c t e r í s t i c a
de
s i s t e m a s s o c i a i s e m que a r i q u e z a acumulada p o s s i b i l i t a c o n t r o
l a r o t r a b a l h o c r i a d o r d e nova r i q u e z a , e não de q u a l q u e r
so-
ciedade humana.
Em r e l a ç ã o a c e r t a s i n t e r p r e t a ç õ e s d a l e i de P a r e t o é
i n t e r e s s a n t e lembrar o s s e g u i n t e s comentários f e i t o s p o r
TAW-
NEY r 1 4 1 , em 1 9 2 9 :
rela
"há l e i s c i e n t í f i c a s que estabelecem
ç õ e s i n v a r i á v e i s e n t r e fenômenos, e há l e i s que não s ã o
nem
j u r í d i c a s nem, no s e u s e n t i d o mais completo, c i e n t í f i c a s , embo
r a e l a s pertençam, sem dúvida,
5 mesma c a t e g o r i a d a s Ú l t i m a s .
T a i s l e i s não estabelecem r e l a ç õ e s i n v a r i á v e i s nem indicam uma
conduta, mas descrevem como, no g e r a l , sob determinadas condições h i ç t Õ r i c a s e l e g a i s , e quando condicionados por
certas
convenções e i d é i a s , grupos especificas de p e s s o a s tendem,
r e g r a , a s e comportar".
em
...
"É e v i d e n t e que, como o s economistas
t ê m frequentemen
-
t e nos lembrado, muitas l e i s econômicas s ã o do t e r c e i r o
não do p r i m e i r o nem do segundo.
E l a s indicam a maneira
tipo,
pela
q u a l , dadas c e r t a s condições h i s t ó r i c a s , c e r t a forma de o r g a n i
zação s o c i a l , e c e r t a s i n s t i t u i ç õ e s j u r í d i c a s , a produção t e n d e a s e r conduzida e a r i q u e z a d i s t r i b u i d a .
14
E l a s não s ã o menos i n s t r u t i v a s e Ú t e i s p o r c a u s a dass o , ao menos p a r a a q u e l e s que sabem i n t e r p r e t á - l a s .
Mas aque-
les que, embora bem sucedidos e r i c o s , não e s t ã o completamente
c o n s c i e n t e s d a s armadilhas p r e p a r a d a s aos i n c a u t o s , e que
se
d e l e i t a m quando ouvem f a l a r de uma l e i que dá s u p o r t e , como pa
r e c e a e l e s , a s s u a s p r ó p r i a s p r e f e r ê n c i a s i n s t i n t i v a s p o r suc e s s o e r i q u e z a , algumas vezes encontram, n a s l e i s econÔmicas,
uma f o n t e de confusão i n t e l e c t u a l , que 6 d e s e s p e r a d o r
para
q u a l q u e r pessoa e n f r e n t a r , e em p a r t i c u l a r , deve-se s u p o r , par a o s economistas.
Eles
lançam mão de fórmulas e l a b o r a d a s pa
-
r a demonstrar que o s i s t e m a s o c i a l p a r t i c u l a r que foram a c o s t u
mados a admirar é o produto de f o r ç a s i n c o n t r o l á v e i s com
g u a i s é p e r i g o s o a sociedade i n t e r f e r i r .
n a c é i a da moda no momento
b i l i d a d e s , jogando-as
as
E l e s se lançam ã pa-
p a r a s e l i v r a r de s u a s
r e s p o n sa
s o b r e algum autômato econômico.
Como um bêbado que argumenta com seu d c i o como
c u l p a p a r a b e b e r , e l e s apelam p a r a l e i s econÔmicas, a
des-
maioria
das q u a i s s ã o meramente uma d e s c r i ç ã o da maneira p e l a q u a l , em
um c e r t o ambiente e e m c e r t a s c i r c u n s t â n c i a s , o s homens tendem
a s e comportar, como uma prova de que é i m p o s s í v e l p a r a
m o d i f i c a r s e u comportamento."
,eles
11.2.
~ r z t i c a3 Lei de P a r e t o
A l e i c r i a d a por P a r e t o , s e a p l i c a d a
5 distribuição de
r e n d a s , só s e a j u s t a 2s r e n d a s d a s c l a s s e s mais p r i v i l e g i a d a s .
Trabalhando com dados de d i v e r s o s p a í s e s em d i f e r e n t e s
p e r í o d o s , P a r e t o chegou a uma curva de d i s t r i b u i ç ã o de
rendas
n
~ l é md e não t e r nada de n a t u r a l , s e -
que a c r e d i t a v a " n a t u r a l " .
-
do uma c a r a c t e r í s t i c a do s i s t e m a s o c i a l c o n s i d e r a d o , g o s t a r i a
mos de chamar a a t e n ç ã o p a r a a i n c o n v e n i ê n c i a d a u t i l i z a ç ã o
da
l e i de P a r e t o quando quisermos e s t u d a r a d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a s
d e uma determinada população.
Como vimos na s e ç ã o 11.1, a l e i de P a r e t o pode ser rep r e s e n t a d a p e l a equação (11.1) ou s i m p l i f i c a d a m e n t e p e l a equa
ção ( 1 1 . 2 )
.
O c o e f i c i e n t e de P a r e t o
( I .1 ou (112 )
.
Quando a
é o parâmetro a d a s
que a renda
eguaqões
tende para o i n f i n i t o o g r á f i c o da
F i g u r a 11.1 t e n d e p a r a s u a a s s i n t o t a v e r t i c a l o que
zero, o
-
m a i s igualmente d i s t r i b u í d a .
significa
Quando a t e n d e p a r a
da F i g u r a 11.1 tende p a r a s u a a s s i n t o t a horizon
-
t a l (Y = A) o que s i g n i f i c a que a d e s i g u a l d a d e na d i s t r i b u i ç ã o
de rendas é máxima.
P o r t a n t o , quanto maior f o r o v a l o r de
a,
melhor s e r á a d i s t r i b u i ç ã o d e r e n d a s .
A equação ( 1 1 . 2 )
pode ser l i n e a r i z a d a tomando-se o 10-
16
garitmo dos d o i s l a d o s d a equação.
l o g Y = Log A
-
Obtemos e n t ã o
a log x
(11.3)
que p e r m i t e a estimação do c o e f i c i e n t e de P a r e t o a p e l o
método
dos mínimos quadrados l i n e a r e s .
A i m p r e f e i ç ã o d a l e i d e P a r e t o pode s e r observada
equação ( 1 1 . 2 ) v i s t o que Y t e n d e p a r a i n f i n i t o
tende p a r a z e r o .
na
medida que
Na p r á t i c a , e x i s t e um número f i n i t o d e
x
pes-
s o a s de forma que a s i t u a ç ã o r e a l s e r i a melhor r e p r e s e n t a d a pel a Figura 1 1 . 2 ,
onde xl é a r e n d a abaixo da q u a l a l e i de Pare-
t o d e i x a de s e r v á l i d a , e Ymax
r e p r e s e n t a a população t o t a l .
Ao tomarmos o s l o g a r i t m o s d a s v a r i á v e i s x e Y, obtemos
a F i g u r a 1 1 . 3 , onde somente a p a r t e correspondente 5s r e n d a s a1
tas ( a p a r t i r d e xl) a p a r e c e e f e t i v a m e n t e l i n e a r i z a d a .
Na p r á t i c a , a renda xl t e n d e a s e r e l e v a d a , d e
forma
que o c o e f i c i e n t e d e P a r e t o s ó s e a p l i c a a r e n d a s a l t a s
(este
ponto s e r á v e r i f i c a d o empiricamente no c a p i t u l o V)
.
Finalmente, a a p l i c a ç ã o d a l e i de P a r e t o a
t a i s como d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a s , f i r m a por c a p i t a l ,
fen6menos
escravos
e n t r e s e u s s e n h o r e s , a r t i g o s p o r a u t o r e s , t r a b a l h a d o r e s por s i n
d i c a t o s e t c . não t ê m nada de e s p e c i a l , p o i s q u a l q u e r t i p o
de
d i s t r i b u i ç ã o c o n t i n u a p o s s u i a forma aproximada da F i g u r a
11.2
P o r t a n t o , nada m a i s a n t u r a l do que o f a t o
da
(linha cheia).
l e i d e P a r e t o se a p l i c a r 5 p a r t e s u p e r i o r d a s d i v e r s a s d i s t r i
buições.
O que não
-
deve ser esquecido é o f a t o de e x i s t i r um
FIGURA
11.2 : A
E
DISTRIBUIÇÃO
REAL
A
PARETO
CURVA
DE
---
DE
RENDAS
situação r e a l
porção i n f e r i o r da curva
de P a r e t o
FIGURA
11.3 :
I'
LINEARIZAÇÃO"
DA
CURVA
DE
PARETO
---
situação
real
porção i n f e r i o r da curva
de P a r e t o " l i n e a r i z a d a "
19
v a l o r minimo da v a r i á v e l considerada xl, a p a r t i r do qual
d i s t r i b u i ç ã o em questão s e aproxima da l e i de Pareto.
a
111.1. A Curva de Lorenz e o f n d i c e de Gini
Lorenz t e c e u uma c r i t i c a 5 abordagem de P a r e t o
a d i s t r i b u i ç ã o de renda.
Diz L O R E N Z
[I I] :
sobre
"O método (de Pare-
t o ) é e s p e c i a l m e n t e i n a p l i c á v e l a dados onde o i n t e r v a l o
a l t o é dado como a q u e l e s recebendo mais que uma dada
mais
quantia,
p o i s , imagine uma comunidade onde o i n d i v i d u o mais r i c o se t o s
na m u l t i - m i l i o n á r i o sem nenhuma mudança na r i q u e z a dos
outros
A curva de P a r e t o nada nos m o s t r a
componentes da sociedade.
-
r i a a c e r c a d e s t a modificação".
Num s i s t e m a de e i x o s c a r t e s i a n o s o r t o g o n a i s ,
Lorenz
propôs que s e l a n ç a s s e , no e i x o d a s a b c i s s a s , a s f r a ç õ e s acumg
l a d a s do número de p e s s o a s , a p a r t i r daquelas de menor
renda,
e , no e i x o d a s ordenadas, a s f r a ç õ e s acumuladas da r e n d a t o t a l
.
r e c e b i d a (Veja F i g u r a 111.1)
A curva r e s u l t a n t e representa
r i a a d i s t r i b u i ç ã o r e l a t i v a da renda.
-
Na o p i n i ã o de Lorenz,eg
t a r e p r e s e n t a ç ã o r e s o l v e r i a a l i m i t a ç ã o d a d i s t r i b u i ç ã o de Par e t o , embora só t i v e s s e um s i g n i f i c a d o v i s u a l , p o i s
nenhuma
medida q u a n t i t a t i v a f o i a s s o c i a d a a e l a .
Ficou p a r a G I M 1
[z]
s u g e r i r uma medida q u a n t i t a t i v a
FIGU'RA 1 1 1 . I : CURVA
DE
LORENZ
que, a s s o c i a d a
5 d i s t r i b u i ç ã o de Lorenz, nos d a r i a um
indice
de d e s i g u a l d a d e na d i s t r i b u i ç ã o .
Se a renda f o s s e i g u a l i t a r i a m e n t e d i s t r i b u í d a , a cada
f r a ç ã o acumulada do número d e pessoas (xif i = 2
r e s p o n d e r i a uma i g u a l f r a ç ã o
i = 1,2,.
relativa
.., n ) , o
) cor-
( Y 1~
acumulada da renda
que s e r i a r e p r e s e n t a d o p o r uma r e t a de
origem ( r e t a ÃC
45'
na F i g u r a I I I . l ) , chamada l i n h a de
p e r f e i t a i g u a l d a d e ou r e t a de
tremo t e r í a m o s
n
I
eqhdistribuição.
No o u t r o ex-
o c a s o da p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e ,
representado
p e l a p o l i g o n a l ABC, a l i n h a da p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e .
t r i b u i ç ã o q u a l q u e r s e r á simbolizada p o r uma curva
Uma d i s
localizada
e n t r e a s l i n h a s de p e r f e i t a i g u a l d a d e e de p e r f e i t a d e s i g u a l d a
de como a curva ADC no g r á f i c o .
O n x v e l de d e s i g u a l d a d e
da
d i s t r i b u i ç ã o pode s e r medido p e l a á r e a compreendida e n t r e a r e
t a de
: e q Ü i d i s t r i b u i ç ã o e a curva de Lorenz, chamada " á r e a d e
desigualdade".
O í n d i c e de Lorenz
(L) é d e f i n i d o como a r a z ã o
e n t r e a á r e a de d e s i g u a l d a d e e a á r e a do t r i â n g u l o formado pel a r e t a de e q h d i s t r i b u i ç ã o e a l i n h a de p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e .
No c a s o do g r á f i c o , temos:
L = á r e a ACD áreaACB
d'
A
Gini conseguiu um v a l o r aproximado da á r e a compreenda e n t r e a curva de Lorenz e o e i x o das a b c i s s a s , c a l c u l a n d o a
á r e a do poligono c u j o s v é r t i c e s s ã o a origem dos e i x o s , o pont o B e o s pontos ( X i ,
Yi)
,i
= 1 , 2 , . ..,n.
Esse p o l i g o n o
pode
ser decomposto em n t r a p é z i o s (ou em um t r i â n g u l o e n-1 t r a p é zios).
A s b a s e s do i-ésimo t r a p é x i o s ã o Yi
e
Yi-l,
e sua al-
tura é (xi
-
x~-~).
A área do i-ésimo trapézio é dada por
Um valor aproximado da área de desigualdade é dado por
uma vez que a área do
triângulo ABC
e
0,5.
O índice de
Gini
é dado por:
0,5
G =
-
n
Si
i=l
015
n
= 1 - 2
1
i=1 i'
Substituindo (111.1) em (111.3) temos
Observe que G é maior ou igual à zero e menor ou igual
2 unidade. Quanto maior seu valor pior será a distribuiqão da
renda.
No cálculo do Xndice de Gini não se incluem; na
área
de desigualdade, as áreas compreendidas entre a curva de Lorenz
e a poligonal cujos vértices são a origem dos eixos e os pontos
X , Y
.
Isso faz com que o índice de Gini seja sempre
subestimaqão da desigualdade real.
uma
Quando substituimos a curva
de Lorenz pela poligonal estamos admitindo que, dentro dos
es-
t r a t o s , a renda s e j a i g u a l i t a r i a m e n t e d i s t r i b u i d a .
DAVIS
C21
deduziu uma formulação b á s i c a que r e l a c i o n a
o c o e f i c i e n t e d e P a r e t o e o í n d i c e d e concentração de G i n i
a-
t r a v e s da r e l a ç ã o :
onde G é o í n d i c e de concentração de Gini e a é o c o e f i c i e n t e
de P a r e t o .
Observe que (111.5) s ó 6 v á l i d a p a r a a maior do que 1,
p o i s c a s o c o n t r á r i o o í n d i c e de G i n i s e r i a s u p e r i o r 5 unidade.
pode
Da d e f i n i ç ã o do í n d i c e de concentração de Gini
s e r v i s t o q u e , quanto maior f o r o s e u v a l o r , maior é a
de d e s i g u a l d a d e " , com a curva de Lorenz m a i s próxima do
das a b c i s s a s , o u s e j a próxima
It
-
area
eixo
l i n h a da p e r f e i t a d e s i g u a l d a d e .
Valores b a i x o s do h d i c e de concentração de G i n i i n d i
cam maior i g u a l d a d e na d i s t r i b u i ç ã o de r e n d a , e , no l i m i t e i n f e r i o r , quando o í n d i c e de concentração 6 n u l o , a curva d e Lorenz c o i n c i d e com a r e t a da p e r f e i t a i g u a l d a d e , i s t o é, a cada
f r a ç ã o acumulada do n h e r o de pessoas corresponde uma
f r a ç ã o acumulada d a r e n d a r e c e b i d a .
igual
25
111.2. ~ a r i â n c i ados Losaritmos
A v a r i â n c i a dos l o g a r i t m o s
( v a r i â n c i a dos l o g s ) , como
o p r ó p r i o nome s u g e r e , é a v a r i â n c i a d a v a r i á v e l renda l o g a r i t
mada, i . e .
onde
n 6 o número de i n d i v í d u o s da população
Zi
é a renda do i n d i v í d u o i
l o g Z é a média d a v a r i á v e l renda l o g a r i t m a d a , i . e .
log
z
=
-L I
--
i=l
log
zi.
No c a s o em que a s rendas s ã o f o r n e c i d a s por
faixas
podemos u t i l i z a r a f6rmula aproximada
n i=l
(log
zi
-
log
z ) ~
onde
f1. é a f r e q % n c i a de i n d i v í d u o s na f a i x a i
Zi
é a renda média da f a i x a i
l o g Z 6 a média da v a r i á v e l renda l o g a r i t m a d a , quando
todos o s indivzduos da f a i x a i s ã o c o n s i d e r a d o s recebendo
renda Z i ,
i.e.
a
I
log Z = 1 f i l o g Zi
n i=l
onde
m é o número de f a i x a s .
A n e c e s s i d a d e d e se l o g a r i t m a r a s rendas p a r a se
to-
m a r a v a r i â n c i a é p a r a se e v i t a r que aumentos p r o p o r c i o n a i s de
rendas a c a r r e t a s s e m aumentos na v a r i â n c i a .
Assim,
s e conside-
rássemos uma população composta por d o i s i n d i v í d u o s onde a r e n
d a do p r i m e i r o f o s s e um c r u z e i r o
e a do segundo f o s s e 9 c r u
-
z e i r o s t e r i a m o s a mesma v a r i â n c i a dos l o g s que se c o n s i d e r á s s e
mos as r e n d a s dos d o i s i n d i v í d u o s i g u a i s a 10 e 90
respectivamente.
Neste c a s o , p a r a a v a r i â n c i a
cruzeiros
dos l o g s o que
importa 6 a r e l a ç ã o e n t r e a s rendas e não a d i f e r e n ç a e n t r e
las.
e-
Se u t i l i z á s s e m o s a v a r i â n c i a s e m l o g a r i t m a r a s r e n d a s , t g
riamos no segundo c a s o uma v a r i â n c i a maior, quando na r e a l i d a d e
a d i s t r i b u i ç ã o de renda e n t r e o s d o i s i n d i v í d u o s n a s duas popul a ç õ e s 6 a mesma, i . e .
10% d a renda p a r a o i n d i v í d u o m a i s pobre
e 90% para o indivíduo
mais r i c o .
A v a r i â n c i a dos l o g s
é uma medida que t e n d e p a r a z e r o ,
2 medida em que a d i s t r i b u i ç ã o da renda t e n d e p a r a uma s i t u a ç ã o
i g u a l i t á r i a , e t e n d e p a r a v a l o r e s cada vez maiores quando a ren
-
da t e n d e a f l c a r c o n c e n t r a d a nas mãos d e um Único indivzduo. Por
t a n t o , quanto maior o s e u v a l o r p i o r a s i t u a ç ã o de d i s t r i b u i ç ã o
de r e n d a dos i n d i v i d u o s .
Uma das vantagens d a v a r i â n c i a dos l o g s é que e l a pod e s e r decomposta em duas p a r c e l a s onde uma mede a d e s i g u a l d a d e e n t r e o s d i v e r s o s grupos de r e n d a , e a o u t r a mede a
gualdade d e n t r o de cada grupo
desi-
051 .
A s s i m podemos e s c r e v e r
onde
x i é a p a r t i c i p a ç ã o r e l a t i v a dos i n d i v í d u o s do
grupo
i no t o t a l d a renda;
wi 6 a renda r e l a t i v a do grupo i ;
Vi
é a v a r i â n c i a dos l o g s d e n t r o do grupo i.
111.3. O f n d i c e de T h e i l
Antes de desenvolvermos o í n d i c e de T h e i l ,
torna-se
necessário apresentar os conceitos básicos da t e o r i a na
e s s e í n d i c e f o i baseado
-
qual
a t e o r i a da informação.
Suponha que um e v e n t o E i r á o c o r r e r com p r o b a b i l i d a d e
p, O
<
p
<
1.
Suponha a i n d a q u e , mais t a r d e , é r e c e b i d a
mensagem g a r a n t i n d o que E o c o r r e u .
Se p e s t i v e s s e próxima
1, não s e r i a s u r p r e s a s a b e r que o e v e n t o E o c o r r e u .
Ao
uma
de
con-
t r á r i o , s e p e s t i v e s s e próxima de z e r o , não s e r i a s u r p r e s a s a b e r que o e v e n t o E não o c o r r e u .
No p r i m e i r o c a s o
41.
1)
d i z - s e que a mensagem tem pouco conteúdo de informação, enquant o que no segundo c a s o ( p 2 0)
d i z - s e que a mensagem t e m gran-
d e conteúdo de informação.
P e l o que f o i d i t o acima, c o n c l u i - s e que o conteúdo
de
informação h ( p ) d a mensagem deve s e r uma função d e c r e s c e n t e
da
p r o b a b i l i d a d e de o c o r r ê n c i a p do e v e n t o E , função e s s a que pode
ser d e f i n i d a como o l o g a r í t m o do i n v e r s o de p , ou s e j a :
1
h(p) = log =
P
-
log p
(111.11)
A e s c o l h a d e s s a função pode ser e n t e n d i d a com
base
nos s e g u i n t e s axiomas :
19 axioma:
" A informação depende unicamente da p r o b a b i l i d a d e
P"
2 9 axioma:
" h ( p ) é uma função c o n t i n u a de p , O ,< p ,< 1 "
39 axioma:
"A s u r p r e s a
é i n f i n i t a quando s e é informado
que
alguma c o i s a que t i n h a p r o b a b i l i d a d e z e r o o c o r r e u ,
enquanto que a s u r p r e s a é n u l a quando o c o r r e
evento que tem p r o b a b i l i d a d e
unitária,
um
h(0) =
oU
e h ( 1 ) = 0"
4 0 axioma:
" h ( p ) é uma função monotonicamente d e c r e s c e n t e ,
59 axioma:
"há a d i t i v i d a d e no c a s o de e v e n t o s i n d e p e n d e n t e s ,
ganho de informação, segundo T h e i l , pode s e r d e f i n i do como segue:
onde :
p1 é a p r o b a b i l i d a d e do e v e n t o d e p o i s que a mensagem é
recebida ;
e
po é a p r o b a b i l i d a d e do e v e n t o a n t e s que a mensagem s j a recebida.
I i = 1,2,
Suponhamos que I E ~
...,n )
forme um
sistema
completo de e v e n t o s (exatamente um d e l e s o c o r r e r á ) com probabil i d a d e s a s s o c i a d a s {pi
I
i = lf2f...fn.
Devemos t e r
Se uma mensagem d e f i n i t i v a e c o n f i á v e l .nos
assegura
que Ei o c o r r e u , definimos conteúdo e s p e r a d o da informação por:
onde
-
p = (pll P 2 1 . . * f ~ , )
e
U t i l i z a n d o o método dos m u l t i p l i c a d o r e s ( A ) d e Lagrang e , p a r a obtermos o máximo d a função H(p) temos que maximizar a
função :
n
- i=l
1 pi
-
10g pi
h
Diferenciando e m r e l a ç ã o a pi,
-
1 - l o g pi =
A
(111.14)
i=l
e i g u a l a n d o a z e r o obtemos
i = 1,2,..
. ,n
e x p r e s s ã o que nos informa serem todos o s pi,
i = 1,2,...,n,
e-
quiprováveis, i s t o é
Assim,
Hmax
s u b s t i t u i n d o ( 1 1 1 . 1 6 ) em (111.13)
, obtemos
= log n
donde
A informação e s p e r a d a da d i s t r i b u i ç ã o
é frequentemente
chamada de e n t r o p i a .
T h e i l e s t a b e l e c e u s e u i n d i c e a p a r t i r de consideraçÕes
s o b r e a renda.
Consideremos um grupo a r b i t r á r i o de r e c e p t o r e s de rendimentos e vamos assumir que nenhum dos rendimentos é n e g a t i v o
(não há p e r d a s ) e que p e l o menos algum d e l e s é p o s i t i v o .
En-
t ã o , quando e x i s t e m ri i n d i v ~ d u o s ,e x i s t e m ri q u a n t i d a d e s não ne-
g a t i v a ã de rendimento i n d i v i d u a l que somam uma q u a n t i d a d e p o si
t i v a de rendimento t o t a l .
Equivalentemente, cada i n d i v i d u o g=
nha uma f r a ç ã o não n e g a t i v a yi,
i = 1,2,
...,n ,
do
rendimento
t o t a l , e a soma dos y ' s 6 1:
A t e o r i a d a informação nos f o r n e c e uma medida " n a t u
-
r a l " da d e s i g u a l d a d e d e rendimentos, e n t r e o s ri i n d i v í d u o s , ba
seada n e s t e s yi's.
Temos i g u a l d a d e completa quando t o d o s
i n d i v i d u o s ganham o s mesmos rendimentos.
Yi
- 1
nr
i = 1,2,..,n.
os
a
E s t a quantidade
e
Temos desigualdade completa quando
rendimento i n d i v i d u a l é i g u a l ao rendimento t o t a l , com
o s o u t r o s i n d i v í d u o s sem nada r e c e b e r .
um
todos
~ n t ã o ,yi = 1 p a r a a l -
+
= O p a r a cada j
i. O p r i m e i r o c a s o ( i g u a l d a d e com
Yj
p l e t a ) f o r n e c e o v a l o r máximo, l o g n , p a r a a e x p r e s s ã o H ( y ) a-
gum i ,
baixo:
e o segundo c a s o ( d e s i g u a l d a d e completa) corresponde ao
míni-
mo de H ( y ) , zero.
P a r a se t r a b a l h a r com uma medida " n a t u r a l " d a
desi-
gualdade de rendimentos, b a s t a s u b t r a i r H ( y ) de s e u v a l o r máx&
mo, ou s e j a
log n
-
n
H (y)
=
1
iil
yi l o g
Yi
1
n
é a medida d e s e j a d a .
Nesta r e l a ç ã o , K i n d i c a o número de sub-
conjuntos SI, S 2 , . . . ,
SK t a l que cada i n d i v l d u o p e r t e n ç a a exg
tamente um dos S k , k = 1 , 2 , . ..,K;
em Sk t a l que
1
nk é o número de i n d i v í d u o s
nk = n e Yk é d e f i n i d o p o r
k=l
Em ( I I I . 2 0 ) , a p r i m e i r a p a r c e l a t r a t a d a d e s i g u a l d a d e
e n t r e conjuntos.
A s probabilidades a n t e r i o r e s são a s
frações
nk/n dos v á r i o s c o n j u n t o s no número t o t a l de i n d i v í d u o s
ções da população)
.
(por-
A s probabilidades posteriores são
porções de rendimento Yk dos v ã r i o s c o n j u n t o s .
as
Quando o s ren-
dimentos p e r c a p i t a de t o d o s o s c o n j u n t o s K s ã o o s mesmos,
porções de rendimento e população s ã o p a r a l e l a m e n t e
k
'
-
rendimento de Sk
rendimento t o t a l
nk
-n
-
as
iguais:
nk x rendimento per c a p i t a l de Sk
n x rendimento p e r c a p i t a l t o t a l
-
s e t o d o s o s rendimentos p e r c a p i t a forem i g u a i s .
Nesse c a s o , a p r i m e i r a soma e m k e m (111.20) d e s a p a r g
ce.
N a segunda soma e m k , na equação ( 1 1 1 . 2 0 )
,
as p r o b a b i
lidades a n t e r i o r e s são todas i g u a i s a l/n e , portanto,
iguais
5 f r a ç ã o d a população que cada i n d i v i d u o r e p r e s e n t a no conjunt o de todos o s i n d i v í d u o s .
Nas e x p r e s s õ e s s e p a r a d a s i n t r a con
-
j u n t o , no membro à d i r e i t a , temos l/nk como a s
probabilidades
a n t e r i o r e s , a s q u a i s s ã o as f r a ç õ e s da população d e n t r o do c05
junto relevante.
Em ambos o s c a s o s , a s p r o b a b i l i d a d e s a n t e r i -
o r e s s ã o independentes de i.
pendem de i:
A s probabilidades posteriores d e
no membro 2 e s q u e r d a , e l a s s ã o d a forma yi,
s ã o f r a ç õ e s de renda não c o n d i c i o n a i s ;
que
no membro 5 d i r e i t a t e
mos yi/Yk1 que s ã o f r a ç õ e s d e renda c o n d i c i o n a i s .
Obtemos, e n
t ã o , c o n s i s t ê n c i a na agregação quando i n t e r p r e t a m o s a
medida
d a d e s i g u a l d a d e como a informação e s p e r a d a de uma mensagem que
t r a n s f o r m a f r a ç õ e s d a população e m f r a ç õ e s d e renda.
O MODELO DE CHAMPERNOWNE
IV.1.
O Modelo de Champernowne
CHAMPERNOWNE
[I]
e a Lei de P a r e t o
desenvolveu um modelo de d i s t r i b u i ç ã o
de renda onde a modelagem e s t o c á s t i c a é f e i t a mediante a u t i l i zação das c a d e i a s de Markov.
No p r o c e s s o d e s c r i t o por Champernowne, o s
sucessivos
e s t a d o s buscam r e t r a t a r a renda a n u a l de uma p e s s o a , m a s
esse
mesmo p r o c e s s o pode ser adaptado também p a r a o u t r o s e s t u d o s como, p o r exemplo, o c r e s c i m e n t o de f i r m a s .
No modelo de Champernowne, o s s u c e s s i v o s e s t a d o s
da
c a d e i a de Markov indicam o s n í v e i s de r e n d a , com a s l i n h a s
da
matriz indicando as d i f e r e n t e s c l a s s e s discriminadas pelos
ni-
v e i s a l t e r n a t i v o s de rendas no ano c o r r e n t e enquanto a s c o l u n a s
d a m a t r i z discriminam a s d i f e r e n t e s c l a s s e s p e l o s n í v e i s a l t e r n a t i v o s de renda no ano s e g u i n t e .
Cada elemento d a m a t r i z
nos
f o r n e c e r á a p r o b a b i l i d a d e de t r a n s i ç ã o d a c l a s s e de renda Rr no
ano c o r r e n t e p a r a a c l a s s e de rendas Rs no próximo ano.
Champernowne supõe que o s rendimentos s ã o d i v i d i d o s nu
ma i n f i n i d a d e enumerável de f a i x a s de r e n d i m e n t o s , as q u a i s t ê m
extensão p r o p o r c i o n a l m e n t e uniforme.
P o r e x e m p l o , p o d e m o s con-
siderar as f a i x a s de rendimentos a n u a i s s e r e m CR$ 1 . 0 0 0 ,O0
CR$ 2 . 0 0 0 , 0 0 ,
CR$ 8 . 0 0 0 , 0 0
CR$ 2 . 0 0 0 , 0 0
a CR$ 4 . 0 0 0 , 0 0 ,
a
CR$ 4 . 0 0 0 ,O0
etc.
O s estados das cadeias de M a r k o v
xas de r e n d i m e n t o .
são as d i v e r s a s
fai-
A s s i m , o e s t a d o O pode representar rendime2
t o s e n t r e CR$ 1 . 0 0 0 , 0 0 e CR$ 2.000,OO;
o estado 1 pode repre
s e n t a r r e n d i m e n t o s e n t r e CR$ 2 . 0 0 0 , 0 0 a CR$ 4 . 0 0 0 , 0 0 ;
2 pode representar r e n d i m e n t o s e n t r e CR$ 4 . 0 0 0 , 0 0
8.000,00
a
-
o estado
e
CR$.
..
etc.
D e n t r o das considerações do m o d e l o de C h a m p e r n o w n e ,
evolução da d i s t r i b u i ç ã o das rendas poderia ser r e s u m i d a
a
numa
descrição em termos dos s e g u i n t e s vetores e m a t r i z e s :
xr
(t)
nos fornecendo o n ú m e r o de pessoas c o m p o n e n t e s da clag
se de n l v e l de rendas Rr,
Pis(t)
r = 1,2,.
..
no ano t.
nos fornecendo a probabilidade de t r a n s i ç ã o dos ocupa2
t e s no ano t da classe de n i v e l de renda Rr para
a
classe Rs no ano t+l.
Com estas d e f i n i ç õ e s , a d i s t r i b u i ç ã o de
rendimentos
X r ( t ) nos s u c e s s i v o s períodos de tempo será gerada por:
(IV.1)
Podemos s u p o r , como é c o n v e n i e n t e , que a s c l a s s e s
de
rendas s ã o ordenadas de acordo com o tamanho, havendo uma £aixa de renda mínima Ro.
Podemos agora d e f i n i r um novo c o n j u n t o de p r o b a b i l i d g
des de t r a n s i ç ã o
e r e e s c r e v e r ( I V . 1) na s e g u i n t e forma
(IV. 2)
'ru (t), e n t ã o , r e p r e s e n t a a proporção dos ocupantes em Rr
se deslocaram u f a i x a s de rendimentos p a r a cima.
A vantagem p r i n c i p a l da equação I V . 2 ,
segundo
que
Cham-
pernowne, d e c o r r e do f a t o que, no mundo r e a l , o s deslocamentos
t ê m amplitude razoavelmente l i m i t a d a , de modo que cada P r , ( t ) ,
encarada como uma d i s t r i b u i ç ã o de f r e q ü ê n c i a e m u , e s t á a p r o x-i
madamente c e n t r a d a em t o r n o de u = 0 .
P a r a obtenção de modelos s i m p l e s , s e r i a i n t e r e s s a n t e
que se pudesse supor que P r u ( t ) , encarada como uma d i s t r i b u i
-
ção de f r e q ü ê n c i a em u , d i f e r i s s e muito pouco na s u a forma par a v a r i a ç õ e s numa grande amplitude d e v a l o r e s de r e t .
Quando se c o n s i d e r a a c o n t r a p a r t i d a p r á t i c a p a r a e s t a
37
suposição, nota-se que a s p e r s p e c t i v a s de deslocamentos ascend e n t e s e d e s c e n d e n t e s , e n t r e o s ocupantes de d i f e r e n t e s
clas-
ses de rendimento, d i f e r e m muito pouco, bem como t a i s perspec-
t i v a s s e mantêm aproximadamente c o n s t a n t e s de ano p a r a
ano.
as
T a i s h i p ó t e s e s não podem ser a p l i c a d a s a t o d a s
c l a s s e s de rendimento.
Por exemplo, do rendimento de um homem
r i c o pode s e r deduzido algum r i s c o ( a t r a v e s da morte ou má s o g
t e ) de s e r r e b a i x a d o a uma f a i x a menor no ano s e g u i n t e ,
mas
dos rendimentos na f a i x a mínima não pode, p o r d e f i n i ç ã o ,
ser
deduzida e s t a p o s s i b i l i d a d e .
Champernowne p r o c u r a c o n t o r n a r
Q
problema d a r e l a t i v a
c o n s t â n c i a d a d i s t r i b u i ç ã o de f r e q ü ê n c i a em u , p a r a uma grande
amplitude de v a l o r e s de r , d a s e g u i n t e forma:
"... a s
mudanças a b s o l u t a s na r e n d a s ã o de se e s p e r a r
muito mais a l t a s p a r a r e n d a s de E1.000.QOO do que par a r e n d a s de E100 de modo que a s mudanças devem
uma amplitude d e v a l o r a b s o l u t o maior p a r a a s
a l t a s do que p a r a a s b a i x a s , se nossa
p r e t e n d e t e r alguma p l a u s i b i l i d a d e .
de i n t e r v a l o s de c l a s s e
ter
rendas
simplificação
A escolha
6bvia
6 aquela indicada anteriormen
t e , onde cada c l a s s e t e m i g u a l e x t e n s ã o p r o p o r c i o n a l ,
p o i s e n t ã o , fenômenos u n i v e r s a i s t a i s como movimentos
nos p r e ç o s e t a x a s de j u r o , que s ã o p r o v á v e i s de
al-
t e r n a r , aproximadamente da mesma forma em termos prop o r c i o n a i s , p e r s p e c t i v a s d e renda p a r a c l a s s e s d i s t i n
t a s Rr e Rs,
i r ã o a f e t a r a s d i f e r e n t e s funções P r U ( t )
e Psu
( t ) aproximadamente da mesma forma".
relativa
Champernowne reconhece que a s u p o s i ç ã o de
c o n s t â n c i a das funçÕes, em s u c e s s i v o s p e r í o d o s d e tempo, 6 uma
h i p ó t e s e muito f o r t e e b a s t a n t e s i m p l i f i c a d o r a mas, mesmo
s i m , e l e se propõe a s u s t e n t á - l a , argumentando a
as-
necessidade
de um e s t u d o do e q u i l í b r i o e s t á t i c o gerado p o r um c o n j u n t o f i xo d e funções P i s ( t ) como sendo um p a s s o p r e l i m i n a r no
estu-
do do e q u i l x b r i o dinâmico, com P i s ( t ) mutáveis no tempo.
Champernowne busca e x p l i c i t a r , d e n t r o dos
t o s de s e u modelo, a s condições p a r a um e s t a d o de
estacionário.
ria.
fluxo:
pressuposequilíbrio
Consideremos uma população e s u a e s t r u t u r a e t á -
A população, n a t u r a l m e n t e , e s t á em e s t a d o de
continuo
a s p e s s o a s nascem e morrem de forma não d e t e r m i n í s t i c a .
No e n t a n t o , a longo p r a z o , a e s t r u t u r a e t a r i a t e n d e r á p a r a m a
d i s t r i b u i ç ã o e s t á v e l (supondo-se a i n e x i s t ê n c i a de
migrações)
determinada p e l a s p r o b a b i l i d a d e s de nascimento e de morte p a r a
a s d i f e r e n t e s idades.
Suponhamos agora a i n t e r v e n ç ã o de um f a t o r
externo
(por exemplo, uma epidemia) que a l t e r e a e s t r u t u r a e t ã r i a a n t g
Se a s p r o b a b i l i d a d e s de nascimento e morte p a r a as
di-
f e r e n t e s i d a d e s forem mantidas a s mesmas após t a l e v e n t o ,
a
rior.
longo p r a z o , a população t e n d e r á a o b s e r v a r uma e s t r u t u r a e t á r i a d e e q u i l í b r i o e s t á v e l que s e r i a a mesma observada a n t e r i o r
mente.
Segundo Champernowne, a a p l i c a ç ã o r e p e t i d a de uma
t r i z P i s ( t ), sob algumas condições g e r a i s , f a r á com que
ma
qual-
q u e r d i s t r i b u i ç ã o i n i c i a l de rendimentos s e aproxime e v e n t u a l mente
de uma h i c a d i s t r i b u i ç ã o de e q u i l i b r i o que 6 d e t e r m i na
da apenas p e l a m a t r i z de p r o b a b i l i d a d e s P ; S ( t ) .
A Tabela I V . l
mostra uma e s t i m a t i v a da m a t r i z de t r a z
s i ç ã o p a r a a I n g l a t e r r a e p a i s de Gales, a p r e s e n t a d a p o r Champernowne
.
E s t a t a b e l a mostra algum g r a u de r e g u l a r i d a d e nos da-
d o s , em cada d i a g o n a l , com uma t e n d ê n c i a p a r a o s menores rendd
mentos subirem mais f a i x a s do que o s a l t o s rendimentos.
E 89-E 111
E 112-E 1 4 1
E 142-E 1 7 7
E 177-E 2 2 1
E 222-E 2 8 1
E 282-E 3 5 4
E 355-E 4 4 5
E 446-E 5 6 2
E 563-E 7 0 7
E 708-E 8 9 2
E 893-E1119
£1120-E1409
Faixa d e
renda
(em l i b r a s )
Fonte:
E s t i m a t i v a s para as p r o b a b i l i d a d e s d e t r a n s i ç ã o para a I n g l a t e r r a e p a i s d e G a l e s ( 1 9 5 1 - 5 2 )
TABELA I V . 1
F e i t a s e s t a s consideraçÕes, podemos d i s c u t i r a e x i s t ê n
tia ou não d e uma d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n á r i a d e n t r o das h i p õ t e
-
s e s do modelo de Champernowne.
Champernovme f a z a s u p o s i ç ã o a d i c i o n a l de que a s t r a n s i ç õ e s sejam p o s s i v e i s somente d e n t r o de uma amplitude c o n t i d a
no i n t e r v a l o C-n,
11, ou
s e j a , t r a n s i ç õ e s p a r a f a i x a s de r e n d i -
mentos i n f e r i o r e s podem s e d a r a t é n f a i x a s p a r a b a i x o , d u r a n t e
um ano, e , n e s t e mesmo p e r í o d o de tempo a s t r a n s i ç õ e s p a r a
f ai
xas de rendimentos s u p e r i o r e s s ó podem o c o r r e r p a r a o e s t a d o imediatamente acima.
Teremos assim:
onde
A m a t r i z de p r o b a b i l i d a d e s de t r a n s i ç ã o do modelo
de
Champernowne pode s e r d e s c r i t a , p a r a n = 5 , como vemos na Tabe
l a 337.2:
TABELA IV. 2
M a t r i z de p r o b a b i l i d a d e s de t r a n s i q ã o do modelo
de Champernowne p a r a n = 5
Observando a m a t r i z de t r a n s i ç ã o do modelo de Champernowne, podemos a f i r m a r que e l a r e t r a t a um p r o c e s s o markoviano
onde t o d o s o s e s t a d o s s ã o comunicantes, i s t o 6 , p a r t i n d o d e
um
e s t a d o i n i c i a l q u a l q u e r podemos i r a q u a l q u e r o u t r o e s t a d o ,
e,
p a r t i n d o d e s t e e s t a d o , podemos v o l t a r ao e s t a d o que l h e deu o r &
gem.
P o r t a n t o , e x i s t e apenas uma c l a s s e , e t a l m a t r i z é
irredutxvel.
todo r.
~ l é md i s s o e l a é a p e r i ó d i c a p o i s P r o ( t ) =
dita
Po p a r a
-
P o r t a n t o , p a r a que e x i s t a uma d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n á
r i a é p r e c i s o apenas que a c a d e i a de Markov s e j a recorrente-positiva.
O s e g u i n t e teorema, c u j a prova e s t á a p r e s e n t a d a
ROSS
i1 31 , confirma
em
a s afirmações do p a r á g r a f o acima:
"Numa c a d e i a de Markov i r r e d u t í v e l , a p e r i ó d i c a e r e c or
rente-positiva,
temos que:
Neste c a s o , {rj , j = 0 , 1 t 2 1 . .
tacion&ia,
. I é uma d i s t . r i b u i ç ã o e s -
e não e x i s t e nenhuma o u t r a d i s t r i b u i ç ã o e s
t a c i o n á r i a , onde pYj s i g n i f i c a a p r o b a b i l i d a d e do proc e s s o s a i n d o do e s t a d o i e n t r a r no e s t a d o j, após
n
transições".
E x i s t i n d ~a d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n á r i a , a equaqão
1) se t r a n s f o r m a em:
(IV.
(IV.4)
Tomando Xs =
zS
e fazendo as substituições adequadas
em (IV.4) , encontramos :
e, dividindo ambos os membros por Z s-1
obtemos então a seguinte equação:
(IV.5)
ou, equivalentemente,
(IV.6)
onde
Champernowne introduz as seguintes condições de estabilidade que, como veremos adiante, são suficientes para garan
tir que a matriz seja recorrente-positiva:
r
i) g (O) = P1 > O
(IV.8 )
Para obtermos g(0) = P1, basta desenvolver o polinõ
mio g ( 2 ) .
Teremos então
Colocando Z em evidência, encontramos:
Substituindo Z = 0, obtemos
Para obtermos g ' (1) =
-
i
u=-n
Portanto,
u PU, observe-se que:
-
-
A p r i m e i r a condição de e s t a b i l i d a d e do modelo de Cham
pernowne g a r a n t e que o rendimento de uma pessoa possa aumentar,
enquanto que a segunda condição i m p l i c a e m que a amplitude esperada do s a l t o , nas t r a n s i ç õ e s e n t r e o s d i f e r e n t e s n í v e i s
de
rendimentos, s e j a n e g a t i v a , i s t o 6 , p a r a todos o s rendimentos,
e m q u a l q u e r uma das f a i x a s s a l a r i a i s , o numero médio de f a i x a s
d e s l o c a d a s d u r a n t e o próximo ano é n e g a t i v o .
P a r a confirmarmos e s t a afirmação observe-se que:
.. . + nP,,
g 1( L ) =
- (lP1 -
g ' (1) =
-
1PW1 -
( v a l o r médio do tamanho do s a l t o )
Como uma d a s condições do modelo de Champernowne
g' (1) > O ( h i p ó t e s e d e e s t a b i l i d a d e ) , o v a l o r médio do tama
4
e
-
nho do s a l t o será n e g a t i v o .
E s t a condição é n e c e s s á r i a p o i s , do c o n t r á r i o , o p r o
i
c e s s o s e r i a d i s s i p a t i v o , i s t o é, o s rendimentos aumentariam -
limitadamente.
Passaremos a g o r a ao e s t u d o d a s r a í z e s do polinÔmio.
Observamos que
lim
g(Z) =
+
Z++
v i s t o que o termo de maior g r a u do polinÔmio tem c o e f i c i e n t e
positivo.
Observamos a i n d a que:
Z = 1
é uma r a i z da equação g ( Z ) = 0 , p o i s tomando-se
temos
Z = LI
f
PU
-
1 = O , o que 6 uma i d e n t i d a d e
u=-n
Observamos a i n d a que p e l a l e i dos s i n a i s de D e s c a r t e s ,
n
n-1
o número de r a i z e s p o s i t i v a s d a equação f ( Z ) = aoZ + alZ
+
+...+
a n = O (ao # O ) é i g u a l ao número de mudanças de
I1
r
na s e g u e n c i a ao r al
..!an
OU
sinal
é menor por um número ímpar.
No c a s o de g ( Z ) temos duas mudanças de s i n a l p o i s
o c o e f i c i e n t e de
ZO
o c o e f i c i e n t e de Z '
o c o e f i c i e n t e de
o c o e f i c i e n t e de
z2
z3
o c o e f i c i e n t e de Z
o c o e f i c i e n t e de Z
i
s e r á i g u a l a Pl > O
serã igual a
Po - 1 < O
s e r á i g u a l a Pml > O
s e r á i g u a l a P-2 > O
s e r á i g u a l a P- (i-1)
> O
será i g u a l a P - ~> O
Com duas t r o c a s d e s i n a l podemos t e r e n t ã o duas r a i z e s
p o s i t i v a s , ou a i n d a , uma r a i z p o s i t i v a .
Graficamente, o comportamento de g(Z) pode ser d e s c r i t o conforme F i g u r a I V . l .
Tornam-se a g o r a c l a r o s o s motivos p a r a a
necessidade
formal das "condições d e e s t a b i l i d a d e " impostas p o r Champernown e , v i s t o que e l a s nos garantem a e x i s t ê n c i a d a segunda
b, t a l que O < b < 1.
raiz
A p r i m e i r a condição nos d i z que o g r á f i
co e s t a v a acima dos e i x o s das a b c i s s a s no ponto Z = O , e a
se-
gunda condição, g ' (1) > O e s t a b e l e c e que o g r & i c o c o r t e o e i x o
das a b c i s s a s no ponto 1 de b a i x o p a r a cima, de forma que a d e r-i
vada e m t a l ponto s e j a p o s i t i v a .
P o r t a n t o , a segunda r a i z de g ( Z ) = O e s t á c o n t i d a
intervalo (0,l)
, e,
Se Xs = bS
p o r t a n t o , XS = b S d e c r e s c e com
no
S.
6 o número da p e s s o a s na c l a s s e s , o ntímero
t o t a l de p e s s o a s em t o d a s a s c l a s s e s será dado e n t ã o p e l a
soma
de uma p r o g r e s s ã o geométrica i n f i n i t a de r a z ã o b , ou s e j a , o nÚ
mero t o t a l de p e s s o a s s e r á 1
I b '
Em termos p r o b a b i l ~ s t i c o si s t o q u e r d i z e r que se o p r g
c e s s o d e crescimento dos rendimentos e s t i v e s s e s u j e i t o
2 matriz
de t r a n s i ~ ã odo modelo de Champernowne, e n t ã o , após um tempo
f i c i e n t e m e n t e grande, terxamos a
c o n t r a r uma pessoa na c l a s s e
S.
p r o b a b i l i d a d e (1-b) bs de
ss
en-
50
Consideraremos agora que contamos com uma
de N pessoas.
população
A d i s t r i b u i ç ã o e s t a c i o n a r i a de e q u i l í b r i o
pode
s e r o b t i d a como s e segue:
Total
Classes
bS
Assim,
Suporemos agora que o s i n t e r v a l o s de c l a s s e p a r a
os
d i v e r s o s rendimentos sejam 2h e que o menor rendimento c o n s i d g
rado s e j a Ymin.
Assim,
ao e s t a d o O d a c a d e i a de Markov c o r r e s
pondem rendimentos no i n t e r v a l o Ymin a 'min 2h, ao e s t a d o 1 cog
h
respondem rendimentos no i n t e r v a l o Ymin2
a Ymin 22h, a o e s t a d o
2h a Ymin 23h,
2 correspondem rendimentos no i n t e r v a l o Ymin2
e
assim sucessivamente.
Na Tabela I V . 3 f o i considerado Ymin
= l e h = l
de
forma que ao e s t a d o O corresponde e n t ã o a f a i x a de rendimentos
e n t r e 1 e 2;
ao e s t a d o 1 corresponde a f a i x a de rendimentos
e n t r e 2 e 4 etc.
TABELA I V . 3
E s t a d o s e r e s p e c t i v a s f a i x a s de rendimentos do
modelo de Champernowne p a r a Ymin
estado
Xs
= 1
rendimentos
(em m i l c r u z e i r o s )
s e r á e n t ã o o número de p e s s o a s com rendimentos
no
i n t e r v a l o de c l a s s e s c u j o l i m i t e i n f e r i o r será dado por:
Tomando-se o l o g a r i t m o na b a s e 2 , encontramos
l o g Ys = s h
+
l o g Ymin
Temos a i n d a que o número de p e s s o a s com rendimento s u
das
p e r i o r a Ys s e r á dado p e l a soma das p e s s o a s componentes
c l a s s e s de n i v e i s d e rendimentos maiores ou i g u a i s a
S.
Tere-
mos assim uma p r o g r e s s ã o geométrica i n f i n i t a c u j o p r i m e i r o t er
mo s e r á ~ ( 1 - b ) be ~c u j a r a z ã o s e r á b.
Denotando por F(Ys)
número de p e s s o a s com n í v e l de rendimentos s u p e r i o r a Y s ,
o
t e re
Portanto
l o g F(Ys) = l o g N
+
s log b
Definimos, a s e g u i r , a e y d a s e g u i n t e forma:
~ e c a i m o s ,e n t ã o , n a s e g u i n t e equação que r e t r a t a
a
" l e i de Pareto" :
log F ( Y ~ )=
y
-
a l o g yS
(IV.9 )
D e s t a forma, o modelo d e Charnpernowne nos i n d i c a q u e ,
p a r a q u a l q u e r v a l o r d e Y,,
o l o g a r i t m o do número de
pessoas
com r e n d i m e n t o s i g u a i s ou s u p e r i o r e s a Ys 6 uma função l i n e a r
do l o g Ys.
Graficamente, e s t a equação 6 r e p r e s e n t a d a d a s e g u i n t e
forma :
d is
O c o e f i c i e n t e a d a l e i de P a r e t o d á uma i d é i a da
t r i b u i ç ã o d e renda.
Baixos v a l o r e s de a s i g n i f i c a m uma t e n d ê n
c i a 5 c e n t r a l i z a ç ã o , ou seja, apenas uma pequena p a r t e da popg
l a ç ã o percebe bons rendimentos enquanto a maior p a r t e d a popul a ç ã o é mal remunerada.
Valores de a mais e l e v a d o s s i g n i f i c a m
que a renda é d e s c e n t r a l i z a d a , i s t o 6 , não e x i s t e m grandes d es
n i v e i s na d i s t r i b u i ç ã o dos rendimentos.
justa"
.
I V . 2.
c r í t i c a s ao Modelo d e Champernowne
A sociedade
é
"mais
Um dos pontos c r í t i c o s do Modelo d e Champernowne é
a
h i p ó t e s e , b a s t a n t e s i m p l i f i c a d o r a , de c o n s i d e r a r apenas um nÚmero f i x o de rendimentos e não l e v a r e m c o n t a o problema c r i a do p o r m o r t e s , supondo que p a r a q u a l q u e r p e r c e p t o r de
renda,
que p o r algum motivo d e i x e d e e x i s t i r , p a s s a r ã a haver e x a t a
mente um h e r d e i r o .
Em s u a s p r ó p r i a s p a l a v r a s :
"Na
-
realidade
novos p e r c e p t o r e s de renda aparecem a cada ano e a n t i g o s d e i
xam de e x i s t i r , m a s uma s u p o s i ç ã o s i m p l i f i c a d o r a , Óbvia e
-
fe-
cunda s e r á a d e a d m i t i r que p a r a cada morte de um p e r c e p t o r de
renda c o r r e s p o n d e r á um h e r d e i r o p a r a s u a r e n d a no pr6ximo ano,
e vice-versa.
E s t a s u p o s i ç ã o i m p l i c a r ã em que o número de r e n
d a s s e j a uma c o n s t a n t e a t r a v é s do tempo e que a s rendas e x i s
-
t a m i n d i v i d u a l m e n t e embora s e u s r e c i p i e n t e s sejam t r a n s i t ó r i o s .
N ~ O
haveria
m u i t a d i f i c u l d a d e em se assumir mais ou menos
um
h e r d e i r o p a r a cada morte, mas, no g l o b a l , a p e r d a de s i m p l i c i dade i r i a provavelmente c o n t r a b a l a n ç a r a s vantagens
aos ganhos em v e r o s s i m i l h a n ç a " .
devidas
55
Champernowne desenvolveu também o u t r o s modelos em que
pequenas g e n e r a l i z a ç õ e s s ã o f e i t a s , tornando s e u s modelos mais
pr6ximos da r e a l i d a d e .
Em s u a s g e n e r a l i z a ç õ e s , a " l e i de P a r e
-
t o " continua a vigorar.
A s duas p r i n c i p a i s g e n e r a l i z a ç õ e s f e i
t a s p o r Champernowne são:
1) a p o s s i b i l i d a d e d e t r a n s i ç õ e s p a r a d i v e r s o s e s t a
-
dos s u p e r i o r e s e não apenas p a r a o e s t a d o imediatamente acima;
e
2 ) a l i m i t a ç ã o de p r o b a b i l i d a d e s de t r a n s i ç ã o indepeg
d e n t e s do rendimento apenas p a r a o s rendimentos mais a l t o s ,
c l a r o que, a p e s a r d a s g e n e r a l i z a ç 6 e s , o modelo
de
Champernowne a i n d a p a r e c e e s t a r b a s t a n t e d i s t a n t e d a r e a l i d a d e .
E n t r e t a n t o , s e u modelo consegue m o s t r a r que, a p a r t i r de
uma
renda mínima, a "Lei de P a r e t o " s e r i a adequada p a r a a d i s t r i
-
b u i ç ã o de rendimentos.
Diversos e s t u d o s e m p i r i c o s , i n c l u s i v e o nosso,
demonstrado e s t a l e i .
O grande problema, e n t r e t a n t o ,
têm
6 que es
t a renda minima, a p a r t i r d a q u a l a l e i de P a r e t o p a r e c e se aj u s t a r , é b a s t a n t e a l t a , como veremos no c a p í t u l o V.
Neste c a p i t u l o , u t i l i z a m o s dados r e f e r e n t e s à s
rendas
dos d e c l a r a n t e s do imposto de r e n d a no B r a s i l p a r a o e s t u d o emp i r i c o da Lei d e P a r e t o e d e s e u c o e f i c i e n t e .
O s dados u t i l i z a
dos foram r e t i r a d o s do ~ n u á r i oEconÕmico F i s c a l , e d i ç õ e s
1968 a 1975.
de
Esses dados contêm a s d i v e r s a s f a i x a s de rendimen
-
t o s e o número de pessoas d e c l a r a n t e s que pertencem a cada f a i xa ( v e j a Tabelas A . l a A.8 do ~ p ê n d i c e ) .
No t r a t a m e n t o dos dados de nossa amostra, u t i l i z a m o s o
programa de computador S t a t i s t i c a l Package f o r S o c i a l
(SPSS).
Science
I n i c i a l m e n t e , trabalhamos com a t o t a l i d a d e d a amostra
p a r a cada ano, t e s t a n d o um ajustamento l o g - l i n e a r e p l o t a n d o o s
gráficos respectivos.
t r a , eliminando a s
P o s t e r i o r m e n t e , fizemos " c o r t e s " na amos
f a i x a s i n f e r i o r e s , i s t o é, a s f a i x a s d e me
-
nor rendimento, com a f i n a l i d a d e d e , t r a b a l h a n d o com uma amos
t r a menor, conseguirmos uma melhor l i n e a r i z a ç ã o , t e s t a n t o o
a-
justamento da L e i de P a r e t o e t r a ç a n d o o s g r á f i c o s r e s p e c t i v o s .
Apresentamos, a s e g u i r , o s r e s u l t a d o s o b t i d o s , mostran
do p a r a cada ano, i n i c i a l m e n t e , a s i t u a ç ã o r e l a t i v a
5
amostra
t o t a l , e , p o r t e x i o r m e n t e , a s i t u a ç ã o r e l a t i v a ao r e s t a n t e d a po
pu%ação após o c o r t e f e i t o n a s f a i x a s i n f e r i o r e s .
É i n t e r e s s a n t e observarmos que, p a r a a segunda
t r a , onde s6 se t r a b a l h a com r e n d a s acima d e uma c e r t a
mínima, f o i conseguido um a j u s t e muito melhor.
concordância com o que f o i d i t o na c r f t i c a
2
mosrenda
Isto está
l e i de P a r e t o , ou
s e j a , e s t a l e i s ó tem v a l i d a d e a p a r t i r de urna c e r t a f a i x a
renda.
em
de
Nos g r á f i c o s onde foram u t i l i z a d o s t o d o s o s pontos ( l a .
amostra) i120 se conseguiu uma boa l i n e a r i z a ç ã o .
O s r e s u l t a d o s das r e g r e s s õ e s p a r a o s anos do p e r i o d o
1 9 6 8 a 1975 e s t ã o a p r e s e n t a d o s na Tabela V.l
(os g r á f i c o s
r es
p e c t i v o s s ã o a p r e s e n t a d o s nas F i g u r a s A . l a A.8 do ~ p ê n d i c e ) .
Resultado d a r e g r e s s ã o l i n e a r p a r a o p e r í o d o
1968-1975 considerando-se t o d a s a s f a i x a s de
rendimentos
-
g
"i
-
--
--
-
- --- -
---
Ano
log 6
1968
4.690
2.035
0.048
0.992
0.486
17
1969
5.331
2.137
0.066
0.989
0.420
14
R*
d
N
l o g 6 é o e s t i m a d o r de mínimos quadrados de l o g a
f%
é o e s t i m a d o r de mínimos quadrados de B
é o e s t i m a d o r p a r a o d e s v i o padrão de @
é
O
c o e f i c i e n t e d e determinação
d
é a e s t a t í s t i c a d e Durbin-Watson
N
é o número d e f a i x a s c o n s i d e r a d a s
P a r a v e r i f i c a r m o s a l i n e a r i z a ç ã o dos dados, u t i l i z a
-
mos o s r e s u l t a d o s o b t i d o s p e l a e s t a t í s t i c a de Durbin-Watson.
S e houver a n ã o - l i n e a r i z a ç ã o d i s c u t i d a no c a p í t u l o I1
teremos a s i t u a ç ã o a p r e s e n t a d a na F i g u r a V. 1 ( v e j a também F i g g
ra 1 1 . 3 ) :
log N
log R
Ao se a j u s t a r a r e t a de r e g r e s s ã o l i n e a r , teremos
a
s i t u a ç ã o a p r e s e n t a d a na F i g u r a V.2.
P a r a s e t e s t a r se o modelo 6 adequado, podemos u t i l i z a r o t e s t e d e Durbin-Watson a um n i v e l d e s i g n i f i c â n c i a
de,
digamos 1%,supondo a h i p ó t e s e n u l a de que não há auto-regress ã o , i s t o é, e x i s t e l i n e a r i z a ç ã o
onde p é o c o e f i c i e n t e de c o r r e l a ç ã o e n t r e r e s í d u o s v i z i n h o s .
A h i p ó t e s e a l t e r n a t i v a é a de que e x i s t e auto-regres-
s ã o p o s i t i v a , i s t o é, e x i s t e n ã o - l i n e a r i z a ç ã o do t i p o apresent a d o na F i g u r a V.2.
U t i l i z a n d o o t e s t e de Durbin-Watson p a r a auto-regress ã o p o s i t i v a , temos t r ê s p o s s i b i l i d a d e s :
i ) não e x i s t e l i n e a r i z a ç ã o , se d
dL
ii) e x i s t e l i n e a r i z a ç ã o , s e d > du
iii) o t e s t e é i n c o n c l u s i v o , s e dL Q d 5 du
O s v a l o r e s d e dL ( p a r a " l i m i t e s i n f e r i o r e s " ) e
dU
( p a r a " l i m i t e s s u p e r i o r e s " ) foram o b t i d o s da r e f e r ê n c i a
.
E s t e s v a l o r e s s ã o f o r n e c i d o s a p a r t i r de 15 observações.
Foi
f e i t a e n t ã o uma e x t r a p o l a ç ã o l i n e a r baseada nos dados f o r n e c i dos na t a b e l a d e Durbin-Watson, obtendo-se o s r e s u l t a d o s
da
FIGURA
v . 2 : AJUSTE
A
log N
CURVA
DA
R E T A DE
DE PARETO
REGRESSÃO
LINEAR
Tabela V.2:
TABELA V. 2
Valores de dLe dU e n t r e 8 e 1 4 observações ( a = 1%)
De acordo com os resultados da e s t a t í s t i c a de DurbinWatson ( d ) , da Tabela V.l,
obtemos os resultados para o s
t e s d e s c r i t o s na Tabela V.3.
tes-
TABELA V. 3
Resultados do t e s t e de h i p ó t e s e s u t i l i z a n do-se t o d o s o s dados
Ano
Resultado do teste
(d < dL) ( n ã o - l i n e a r i z a ç ã o )
idem
idem
idem
idem
idem
idem
idem
Como pode s e r observado, e m nenhum dos c a s o s a c e i t o u se a h i p ó t e s e de e x i s t ê n c i a de l i n e a r i z a ç ã o , quando s e c o n s i de
r a t o d a s as f a i x a s de rendimentos ( l a . a m o s t r a ) .
Isto
vem
confirmar o que f o i d i t o no c a p i t u l o 11, ou s e j a , d e que a l e i
e
de P a r e t o só é v á l i d a p a r a a s f a i x a s s u p e r i o r e s d e renda.
Vamos t r a b a l h a r , a g o r a , com a segunda amostra,
f o i f e i t o um " c o r t e " n a s f a i x a s d e menor rendimento.
onde
O número
de f a i x a s e l i m i n a d a s f o i , de c e r t a forma, a r b i t r á r i o , procuraz
do-se,
e n t r e t a n t o , acompanhá-las ao longo do p e r í o d o .
Os
s u l t a d o s d a s novas r e g r e s s õ e s e s t ã o a p r e s e n t a d o s na Tabela
4.
reV.
( O s g r á f i c o s r e s p e c t i v o s s ã o a p r e s e n t a d o s n a s F i g u r a s A.9
.
a A. 1 6 do ~ p ê n d i c e )
TABELA V. 4
Resultado da r e g r e s s ã o l i n e a r p a r a o p e r í o d o 1968-1975 c o n s i derando-se apenas a s f a i x a s de rendimentos
superiores
log 6
é o e s t i m a d o r de minimos quadrados de l o g a
i
é o e s t i m a d o r de mhimos quadrados d e @
é o estimador p a r a o d e s v i o padrão de
R
é o c o e f i c i e n t e de determinação
d
é a e s t a t í s t i c a d e Durbin-Watson
N
6 o número de f a i x a s c o n s i d e r a d a s
Utilizando-se
6
a e s t a t í s t i c a de Durbin-Watson, com a s
mesmas h i p ó t e s e s que foram c o n s i d e r a d a s p a r a a p r i m e i r a amos
t r a , chegamos a o s r e s u l t a d o s d e s c r i t o s na Tabela V.5.
-
TABELA V. 5
Resultado do teste de h i p ó t e s e s u t i l i z a n d o - s e apenas a s f a i x a s
superiores
Ano
I
Resultado do teste
t e s t e i n c o n c l u s i v o (dL < d
H.
H.
(d > dU)
-
linearização
(d > du)
-
linearização
t e s t e i n c o n c l u s i v o (dL
H.
H.
dU) -
dU)
d < dU)
(d > dU)
linearização
(d >
linearização
t e s t e i n c o n c l u s i v o (dL < d < d U )
t e s t e i n c o n c l u s i v o (àL < d < dU)
Comparando-se e s s e s r e s u l t a d o s com o s o b t i d o s na Tabg
l a V.3, quando se c o n s i d e r o u t o d a s a s f a i x a s de rendimento, vg
mos q u e , p a r a a n o s s a segunda amostra, o s r e s u l t a d o s
foram bem melhores.
obtidos
Para quatro casos f o i a c e i t a a l i n e a r i z a -
e para os outros quatro casos o t e s t e f o i inconclusivo.
A conclusão que podemos t i r a r de nossos r e s u l t a d o s em
p i r i c o s é que a l e i de P a r e t o d e s c r e v e aproximadamente o s
dos d e rendas apenas p a r a
a s mais a l t a s f a i x a s de renda.
daSe
levarmos e m c o n s i d e r a ç ã o que o s d e c l a r a n t e s de imposto de rend a no B r a s i l representam uma pequena p a r c e l a da população bras i l e i r a , e que mesmo assim é p r e c i s o e l i m i n a r d i v e r s a s
faixas
p a r a que a l e i d e P a r e t o se a p l i q u e , podemos c o n c l u i r que, pa-
ra efeitos práticos, o coeficiente de Pareto é de muito
utilidade para o estudo da distribuição de renda.
pouca
D-ILIZADOS
E GRÁFICOS
DA LEI DE PARETO
0s dados u t i l i z a d o s n e s t e t r a b a l h o correspondem
c l a r a ç õ e s do Imposto d e Renda no p e r l o d o 1968-1975, e
r e t i r a d o s de d i v e r s a s e d i ç õ e s do ~ n u á r i o
(1970-1975).
~conômico
5s d e
foram
Fiscal
P a r a o s anos b a s e de 1974 e 1975 foram u t i l i z a
d a s t a b u l a ç õ e s p r e l i m i n a r e s a i n d a não p u b l i c a d a s .
-
E s t e s dados
e s t ã o a p r e s e n t a d o s n a s Tabelas A . l a A.8.
O s g r á f i c o s r e f e r e n t e s à " l i n e a r i z a ç ã o " d o s dados
renda, antes e depois da eliminação das f a i x a s i n f e r i o r e s
r e n d a , s ã o a p r e s e n t a d o s nas F i g u r a s A. 1 a A. 16.
de
de
C l a s s e s de rendimentos. b r u t o s , n ú m e r o s de d e c l a r a n t e s
e r e n d i m e n t o b r u t o t o t a l dos d e c l a r a n t e s de Imposto
de R e n d a d u r a n t e o a n o de 1 9 6 9 , r e f e r e n t e s ao ano-ba-
se de 1 9 6 8
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s
b r u t o s (em c r u z e i r o s
do ano-base)
~Úmero
Rendimento bruto
(em c r u z e i r o s do
ano-base)
de
Declarantes
até 3 . 5 0 0
3.501 6.240
6.241 12.480
12.481 18.720
24.960
18.721 37.440
24.961 49.920
37.441 68.640
49.921 68.641 9 3.600
24.800
93.601 124.801162.240
205.920
162.241 205.921 255.840
3 1 2 .O00
255.841 312.001 374.400
I
374.401 449.280
I
449.281 898.560
898.561 - 1.797.120
1.397.121
3.594.240
acima de 3 . 5 9 4 . 2 4 0
-
1
TOTAL
1
4.402.800
1
28.943.931
I
69
TABELA A.2
C l a s s e s de rendimentos b r u t o s , n ú m e r o s de declarantes
e rendimento b r u t o t o t a l dos declarantes do Imposto
de R e n d a d u r a n t e o a n o de 1 9 7 0 , referentes ao ano-ba
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s
b r u t o s (em c r u z e i r o s
d o ano-base)
até 4.200
4.200 7.480
14.960
7.481 22.440
14..961 29.920
22.441 44.480
29.921 44.481 5 9 . 840
82.280
59.841 87.281112.200
112.201149.600
194.480
149.601 374.000
194.481 374.001 - l.O77.l2O
1.077.121 - 2.154.240
acima de 2 . 1 5 4 . 2 4 0
TOTAL
Declarantes
Rendimento bruto
( e m c r u z e i r o s do
ano-base)
C L a s s e s de rendimentos b r u t o s , n ú m e r o s de d e c l a r a n t e s e
r e n d i m e n t o , b r u t o t o t a l dos declarantes de Imposto de Ren
da d u r a n t e o ano de 1 9 7 1 , r e f e r e n t e s ao ano-base de 1 9 7 0
Ylasses de rendimentos
b r u t o s (em c r u z e i r o s
10 ano-base)
5.401 7.200
10.080
7.201 14.400
10.081 19.800
14.401 27.000
19. 801 36.000
27.001 L
36.001 54.000
72.00054.001 108.000
72.001 144.000
108.001 288.000
144.001 864.000
288.001 acima de 8 6 4 . 0 0 0
'
TOTAL
~úmera
de
Declarantes
Rendimento bruto
(em c r u z e i r o s do
ano-base)
TABELA A. 4
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s b r u t o s , n ú m e r o s de d e c l a r a n t e s e
rendimento b r u t o t o t a l dos declarantes de Imposto de R en
da d u r a n t e ' o ano de 1 9 7 2 , r e f e r e n t e s ao a n o - b a s e de 1 9 7 1
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s
b r u t o s (em cruzeiros
do ano-base)
ate
6.048
6.480
6.049 8.640
6.481 8.641 12.096
19.280
12.097 17.281 23.760
32.400
23.761 43.200
32.401
64.800
43.201 64. 801 86.400
129.600
86.401 172.800
129.601 345.600
172.80 1 345.601 - 1.036.800
acima de 1 . 0 3 6 . 8 0 0
-
TOTAL
~ 6 m e r o de
Declarantes
Rendimento bruto
(em c r u z e i r o s do
TABELA 24.5
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s b r u t o s , n ú m e r o s de d e c l a r a n t e s
e rendimento
b r u t o t o t a l dos declarantes de Imposto
de R e n d a , d u r a n t e o ano de 1 9 7 3 , referentes ao ano-ba
se de 1 9 7 2
C l a s s e s de rendimentos
b r u t o s (em c r u z e i r o s
d o ano-base)
7.600
7.601 8.200
10.900
8.201 10..901 15.290
21.700
15.201 21.701 29.700
40.300
29.701 53.400
40. 3 0 1 79.700
53.401 104.200
79.701 152.700
104.201 152.701198.700
198.701 397.400
397.401 - 1.192.300
a c i m a de 1 . 1 9 2 . 3 0 0
TOTAL
Declarantes
Rendimento bruto
( e m c r u z e i r o s do
ano-base)
TABELA A - 6
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s b r u t o s , números de d e c l a r a n t e s e r e n d i -
mento b r u t o t o t a l dos d e c l a r a n t e s de I m p o s t o de R e n d a , d u r a n t e
o a n o de 1 9 7 4 , referentes ao ano-base de 1 9 7 3 .
C l a s s e s de rendimentos
b r u t o s (em c r u z e i r o s
do ano-base)
a t é 10 .700
11.550
10.701 15.300
11.551 15.301 21.250
30.050
21.251 40.750
30 .05.1 54.600
40.751 71.250
54.601 71.251 103.000
103.001130.750
180.750
130.751 1 8 0 . 7 5 1 - . 222.550
457.000
222.551 457.001 - 1.371.100
acima de 1 . ' 3 7 1 . 1 0 0
TOTAL
~Úmero
de
Declarantes
Rendimento bruto
(em c r u z e i r o s do
ano-base)
TABELA A.7
C l a s s e s de r e n d i m e n t o s b r u t o s , n ú m e r o s d e d e c l a r a n t e s e
r e n d i m e n t o b r u t o t o t a l dos d e c l a r a n t e s do I m p o s t o de R e n
d a d u r a n t e o ano de 1 9 7 5 , r e f e r e n t e s ao a n o - b a s e
C l a s s e s d e rendimentos
b r u t o s (em c r u z e i r o s
d o ano-base)
ate
13.900
15.000
13.901 19.900
15.001 27.600
19.901 27.601 39.100
39.10 1 53.000
53,001 71.000
92.600
-71.001 92.601133.900
133.901 170.008
170.001235.000
289.300
235.001 289.301 594.100
594.101 - 1.782.500
acima d e 1 . 7 8 2 . 5 0 0
TOTAL
de 1 9 7 4 .
Rendimento bruto
(em c r u z e i r o s do
Declarantes
ano-base)
TABELA
A.8
C l a s s e s d e . r e n d i m e n t o s b r u t o s , n ú m e r o s de d e c l a r a n t e s e rendimen-
t o b r u t o t o t a l dos declarantes do Imposto de R e n d a d u r a n t e o ano
de 1 9 76 , referente ao ano-base de 1 9 7 5
C l a s s e s de rendimentos
b r u t o s (em c r u z e i r o s
do a n o - b a s e )
até
26.000
30.500
26.001 30.501 36.500
36.501 44:OOO
52.500
44.001 63.500
52.501 77.000
63.501 93.000
77:OOl 112.000
93.001 134.500
112.001 134.501 163.500
163.501 197.000
238.000
197.001 310.000
238.001 310.001500.000
500.001 772.500
772.501 - 2.317.500
acima de 2 . 3 1 7 . 5 0 0
TOTAL
Rendimento bruto
(em c r u z e i r o s do
Declarantes
ano-base)
D I S T R I B U I C A O D E R E V D A N0 B R A S I L N O AND 1 9 6 9
Ff L €
V A ~ O
RE ( C R E P T I O N D A 7 E = 86/23/77
1
S C A T T E R G R A M QF
T 3 a W N ) Yl
PAGE
BRASIL
2
1969
PAGE
FIGURA
A . 15 :
GRÁFICO
(
2:
DA
AMOSTRA )
LINEARIZAÇÃO"
DA
LEI
DE
PARETO
2
BRASIL
1974
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