Bruno Vasques Maletta
Modelos baseados em Simulação de Monte
Carlo: Soluções para o cálculo do Value-at-Risk
Dissertação de Mestrado
Orientador: Eduardo Saliby, Ph. D.
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto COPPEAD de Administração
Abril de 2005
Maletta, Bruno Vasques
Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo: soluções para o
cálculo do Value-a t-Risk / Bruno Vasques Maletta. Rio de Janeiro,
2005.
x, 63 f.
Dissertação (Mestrado em Administração) – Uni versidade Federal do
Rio de Janeiro, Instituto COPPEAD de Administração, 2005.
Orientador: Eduardo Saliby
1. Simulação de Monte Carlo. 2. Value-at-Risk. 3. Técnicas de
Redução de Variância. 4. Finanças – Teses.
I. Saliby, Eduardo. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto
COPPEAD de Administração. III. Título.
AGRADECIMENTOS
À minha família, pelo apoio e incentivo que sempre me deram. Em especial, à minha
mãe, Regina, e minha namorada, Karine, que tiveram a paciência necessária nesta
longa trajetória do mestrado.
Ao meu orientador, Eduardo Saliby, que foi mais que um professor e orientador, mas
se tornou um amigo.
A todos os amigos que fiz no COPPEAD.
RESUMO
MALETTA, Bruno Vasques Maletta. Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo:
soluções para o cálculo do Value-at-Risk. Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação
(Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.
O Value-at-Risk (VaR) é um dos conceitos mais aceitos no gerenciamento de
risco. Sua popularidade se dá, principalmente, pela simplicidade do conceito, sendo
capaz de resumir posições de risco em um único valor. Existem diversas metodologias
para o cálculo do Var, porém as abordagens mais tradicionais possuem algumas
falhas já conhecidas. A metodologia paramétrica necessita supor uma distribuição de
probabilidade para o fator de risco. Em geral, a distribuição Normal é utilizada, apesar
de vários estudos empíricos mostrarem que as séries financeiras possuem assimetria
ou excesso de curtose. Na metodologia histórica, deve-se supor que o comportamento
passado do fator de risco irá se repetir no futuro. Outra forma de cálculo, a simulação
de Monte Carlo com a Amostragem Aleatória Simples, necessita de intenso uso de
recursos computacionais. As conseqüências destes problemas são a subestimação ou
superestimação do risco estimado ou lentidão e complexidade nos cálculos.
O objetivo deste trabalho é apresentar e avaliar novas formas de cálculo do
VaR atra vés da simulação de Monte Carlo e do uso de técnicas de amostragem mais
eficientes nos componentes aleatórios da simulação, de forma a eliminar ou minimizar
os problemas apresentados nas metodologias mais tradicionais. Uma das
metodologias apresentadas usa a mistura de três distribuições para modelar, de forma
mais realista, as extremidades da distribuição dos fatores de risco. A outra
metodologia apresentada incorpora as técnicas de Amostragem por Importância e
Amostragem Descritiva à simulação de Monte Carlo.
Os testes foram realizados usando as ações da Petrobrás, Embratel e Telemar
para o período de Janeiro de 2002 a Março de 2004, totalizando 557 dias de
negociação. A qualidade das metodologias foi mensurada pelo teste de proporção de
falhas, CVaR, desvio-padrão dos resultados e percentual de erros de sub -aditividade.
Os resultados indicam que as novas formas de cálculo são menos perigosas no
gerenciamento de risco que as metodologias tradicionais, principalmente para
elevados níveis de confiança.
ABSTRACT
MALETTA, Bruno Vasques Maletta. Modelos baseados em Simulação de Monte Carlo:
soluções para o cálculo do Value-at-Risk. Orientador: Eduardo Saliby. Dissertação
(Mestrado em Administração). Instituto COPPEAD de Administração, Universidade Federal do
Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2005.
The Value-at-Risk (VaR) is the most popular concept about risk management.
However, the traditional methodologies to calculate it present some known problems
(the choose of the statistical distribution for the risk factors, the time series used,
intense use of computational resources and others). This work intend to present ways,
using Monte Carlo Simulation and variance reductions techniques, to solve or minimize
those problems.
One of the new methodologies intend to mix three statistical distributions to
model, in a realistic way, the extremities of the risk factors. The other new methodology
introduce the variance reduction techniques in the traditional Monte Carlo Simulation.
The tests was realized in the Bra zilian Market, using Petrobrás, Embratel and
Telemar shares in the period if January/2002 and March/2004. The quality of the
models was measured by the Kupiec's test, CVaR, standard deviation and sub-aditivity
failure. The results show that the methodologies presented are better than the
traditional, principally on elevated confidence levels.
LISTA DE SIGLAS E ABREVIAÇÕES
SMC
Simulação de Monte Carlo
AAS
Amostra Aleatória Simples
AD
Amostragem Descritiva
VaR
Value-a t-Risk
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
TABELA 1 -
ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO PETR4 NO
PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004……………………………..…40
TABELA 2 -
ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO EBTP4 NO
PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004……………………………..…42
TABELA 3 -
ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO TNLP4 NO
PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004……………………………..…44
TABELA 4 - INTERVALO
DE CONFIANÇA PARA A PORCENTAGEM DE FALHAS NO CÁLCULO DO
VaR PROPOSTO POR KUPIEC PARA UMA AMOSTRA DE 557 OBSERVAÇÕES……………....46
TABELA 5 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE
COMPRA DE AÇÕES PETR4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO
DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS…….46
TABELA 6 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE
VENDA DE AÇÕES PETR4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE
2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLO GIAS DISCUTIDAS……...….46
TABELA 7 -
3
DESVIO PADRÃO (X10 ) DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO DAS
AÇÕES PETR4 NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA
OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA……………………………………………..……...……...….47
TABELA 8 - PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE
COMPRA DE AÇÕES EBTP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO
DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS…….48
TABELA 9 - PROPORÇÃO
DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO DE
VENDA DE AÇÕES EBTP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE
2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS DISCUTIDAS……...….48
DESVIO PADRÃO (X103) DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO
DAS AÇÕES EBTP4 NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004
PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA…………………………………………..………..….48
TABELA 10 -
TABELA 11 -
PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO
DE COMPRA DE AÇÕES TNLP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE
MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS
DISCUTIDAS………………………………………………………………………………………………..49
TABELA 12 -
PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO
DE VENDA DE AÇÕES TNLP4 NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO
DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIAÇA E METODOLOGIAS
DISCUTIDAS……...………………………………………………………………………………………...50
DESVIO PADRÃO (X103) DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO
DAS AÇÕ ES TNLP4 NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004
PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA…………………………………………..………..….50
TABELA 13 -
TABELA 14 -
PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO
DE COMPRA DA CARTEIRA NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE
2004
PARA
OS
DIVERSOS
NÍVEIS
DE
CONFIAÇA
E
METODOLOGIAS
DISCUTIDAS………………………………………………………………………………………………..52
TABELA 15 -
DESVIO PADRÃO DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A
POSIÇÃO DE COMPRA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE
MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……………………………...52
TABELA 16 -
PERCENTUAL DE ERROS DE SUB -ADITIVIDADE NO CÁLCULO DO VaR DIÁRIO
PARA A POSIÇÃO DE COMPRA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002
ATÉ 31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……......……...53
TABELA 17 -
PROPORÇÃO DE FALHAS PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A POSIÇÃO
DE VENDA DA CARTEIRA NO PERÍODODE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE MARÇO DE
2004
PARA
OS
DIVERSOS
NÍVEIS
DE
CONFIAÇA
E
METODOLOGIAS
DISCUTIDAS………………………………………………………………………………………………..54
TABELA 18 -
DESVIO PADRÃO DAS SIMULAÇÕES PARA O CÁLCULO DO VaR DIÁRIO PARA A
POSIÇÃO DE VENDA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ 31 DE
MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……………………………...54
TABELA 19 -
PERCENTUAL DE ERROS DE SUB -ADITIVIDADE NO CÁLCULO DO VaR DIÁRIO
PARA A POSIÇÃO DE VENDA DA CARTEIRA NO PERÍODO DE 02 DE JANEIRO DE 2002 ATÉ
31 DE MARÇO DE 2004 PARA OS DIVERSOS NÍVEIS DE CONFIANÇA.....……..............……...54
FIGURA 1 -
COMPARAÇÃO DA AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES COM A AMOSTRAGEM
POR IMPORTÂNCIA NA GERAÇÃO DE VALORES DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL............……...14
FIGURA 2 - ILUSTRAÇÃO DO CONCEITO DE
VALUE- AT-RISK................…...............................…...16
FIGURA 3 - EFEITO DE RS NA DISTRIBUIÇÃO DO FATOR DE RISCO DO MODELO............……...28
FIGURA 4 -
EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE FECHAMENTO DA AÇÃO PETR4 NO PERÍODO DE 02
DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............…...................................................…...39
FIGURA 5 -
HISTOGRAMA DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO PETR4 NO PERÍODO DE 02 DE
JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................40
FIGUR A 6 -
QQ-PLOT DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO PETR4 NO PERÍODO DE 02 DE
JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................40
FIGURA 7 -
EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE FECHAMENTO DA AÇÃO EBTP4 NO PERÍODO DE 02
DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............…...................................................…...41
FIGURA 8 -
HISTOGRAMA DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO EBTP4 NO PERÍODO DE 02 DE
JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............ ................................................42
FIGURA 9 -
QQ-PLOT DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO EBTP4 NO PERÍODO DE 02 DE
JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................42
FIGURA 10 -
EVOLUÇÃO DOS PREÇOS DE FECHAMENTO DA AÇÃO TNLP4 NO PERÍODO DE 02
DE JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............…...................................................…...43
FIGURA 11 -
HISTOGRAMA DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO TNLP4 NO PERÍODO DE 02 DE
JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................44
FIGURA 12 -
QQ- PLOT DA SÉRIE DE RETORNOS DA AÇÃO TNLP4 NO PERÍODO DE 02 DE
JANEIRO DE 2002 A 31 DE MARÇO DE 2004............……............................................................44
ÍNDICE
Capítulo 1 - O Problema
1.1 Introdução
1.2 Questões a serem respondidas
1.3 Objetivo
1.4 Relevância do estudo
1.5 Delimitação
Capítulo 2 - Referencial Teórico
2
2
5
5
6
6
8
2.1 Simulação de Monte Carlo
8
2.1.1 Variáveis Antitéticas
10
2.1.2 Variável de Controle
10
2.1.3 Hipercubo Latino
11
2.1.4 Amostragem Descritiva
12
2.1.5 Amostragem por Importância
14
2.2 Administração de risco
15
2.3 Metodologias de cálculo do Value-a t-Risk (VaR)
17
2.3.1 VaR Histórico
17
2.3.2 VaR Paramétrico
19
2.3.3 VaR por Simulação de Monte Carlo com incorporação da Amostragem Descrita
e Amostragem por Importância
22
2.3.4 Modelo de Mistura de Distribuições
26
2.4 Geração de variáveis aleatórias correlacionadas
29
2.5 Teste de proporção de falhas
31
Capítulo 3 - Metodologia
3.1 Tipo de pesquisa
3.2 Experimento realizado
3.3 Coleta de dados
3.4 Parâmetros estimados
3.5 Tratamento dos dados
3.6 Limita ções dos métodos
3.6.1 Limitações Metodológicas
3.6.2 Limitações de Hardware e Software
Capítulo 4 - Resultados
4.1 Análise exploratória dos dados
4.2 VaR individual
4.3 VaR para carteiras
33
33
34
34
35
37
37
37
37
39
39
45
51
Capítulo 5 - Conclusões
56
Capítulo 6 - Referências
59
1. O Problema
1.1 Introdução
O risco de mercado tornou-se, ao longo dos últimos anos, uma das maiores
preocupações para os participantes do mercado financeiro. Agências reguladoras,
bancos comerciais e de investimentos, grandes corporações e investidores estão cada
vez mais voltando suas atenções ao nível de risco ao qual sua instituição ou carteira de
investimentos estão submetidos. Segundo Jorion (1997), o principal motivo para o
crescimento da administração de risco é a imprevisibilidade das variáveis financeiras.
Hoje, um dos conceitos mais aceitos para o gerenciamento de riscos é o Valuea t-Risk , ou VaR. Jorion (1997) o define como "um método de mensuração de risco de
mercado que utiliza técnicas estatísticas, buscando medir a pior perda esperada de
carteira, fundo ou instituição ao longo de determinado intervalo de tempo, sob
condições normais de mercado e dentro de determinado nível de confiança". Sabe-se
que uma das grandes vantagens do VaR, e possível razão para sua popularidade, é a
simplicidade do conceito. A maneira intuitiva de resumir, em um único número,
posições de risco de carteiras complexas e difíceis de serem interpretadas também
contribui para sua aceitação.
Existem diversas metodologias para o cálculo do VaR e cada uma possui
vantagens e desvantagens em relação às demais. As principais delas são a paramétrica,
histórica e a simulação de Monte Carlo. Todas serão melhor discutidas na seção 2.3.
A metodologia paramétrica utiliza métodos estatísticos padronizados para calcular
as variações no valor do portfólio. Para isso, baseia -se fortemente em premissas sobre a
distribuição de probabilidade dos fatores de risco, em geral, a distribuição Normal.
Porém, vários estudos empíricos 1 mostraram que séries de dados financeiros apresentam
assimetria e/ou excesso de curtose. Este fenômeno, conhecido como "caudas gordas",
1
Por exemplo: Li (1999) e Zangari (1996)
deixa as extremidades da série com maior probabilidade que as extremidades da
distribuição Normal teórica, subestimando a exposição ao risco.
A metodologia histórica aplica variações observadas em um determinado período
histórico nas posições do portfólio atual, levando em consideração o horizonte de tempo
escolhido. Assim, deve-se supor que o comportamento passado dos ativos que
compõem o portfólio irá se repetir no futuro.
O método de Monte Carlo consiste na simulação do valor futuro dos ativos que
compõem a carteira através de um modelo. Esta metodologia é indicada quando as
abordagens histórica e paramétrica não são apropriadas, principalmente devido ao alto
custo computacional de implementação e processamento. Mesmo assim, vem sendo
cada vez mais utilizada, não somente no gerenciamento de risco, mas em diversas áreas
financeiras (destacam-se os estudos na precificação de derivativos). Sua crescente
popularidade se dá, principalmente, pela liberdade na modelagem do problema
(passando de "soluções exatas de problemas aproximados" para "soluções aproximadas
de problemas exatos"), avaliação de perguntas do tipo "e se?" (permitindo a avaliação
de mudanças de cenários ou conseqüências de decisões) e avaliação de problemas em
que o conhecimento das variáveis envolvidas é parcial.
Além da necessidade de recursos computacionais, por se tratar de estimação de
valores futuros, em alguns casos, a baixa precisão dos resultados e a falta de
generalidade (solução pontual) reforçou a idéia de que a simulação deva ser utilizada
apenas como um "último recurso". A imprecisão é conseqüência do processo de
amostragem na seleção dos valores aleatórios de entrada dos modelos, necessários para
a simulação de qualquer fenômeno. Em princípio, esta seleção era realizada de forma
totalmente aleatória (Amostragem Aleatória Simples).
Objetivando um maior controle do processo de amostragem, foram
desenvolvidas algumas técnicas denominadas de "técnicas de redução de variância":
Variáveis Antitéticas, Amostragem por Importância, Amostragem Estratificada,
Variável de Controle, Common Random Numb ers e outras. Ainda assim, nestas
técnicas, o controle amostral é parcial, uma vez que ainda persistem valores aleatórios
em seus algoritmos.
Em 1979, McKay, Beckman e Conover sugeriram uma nova técnica de redução
de variância baseada no forte controle do processo de amostragem, o Hipercubo Latino.
A base da técnica é a estratificação da distribuição amostral em estratos de igual
probabilidade de ocorrência e o sorteio aleatório de um valor em cada um deles.
Contemporaneamente e independentemente dos estudos do Hipercubo Latino, uma
abordagem alternativa para a simulação de Monte Carlo foi desenvolvida por Saliby
(1980), a Amostragem Descritiva. Nesta abordagem, rompe-se completamente a seleção
aleatória da amostra, baseando-se em uma seleção determinística de valores (pontos
centrais dos mesmos estratos utilizados no Hipercubo Latino) e uma posterior
permutação destes.
Diferentemente das primeiras técnicas de redução de variância, o Hipercubo
Latino e a Amostragem Descritiva apresentam resultados signific ativamente superiores
à Amostragem Aleatória Simples em diversos estudos (MARINS, SANTOS e SALIBY,
2003; ARAÚJO, 2001). Apesar da proximidade das técnicas, Moreira (2001) e Saliby
(1997) mostraram que a Amostragem Descritiva é um melhoramento do Hipercubo
Latino tanto na eficiência estatística quanto na eficiência computacional.
Recentemente, muitos trabalhos foram apresentados tentando resolver, ou
minimizar, o efeito dos problemas no cálculo do VaR nas diversas metodologias. Li
(1999) propôs uma metodologia semiparamétrica baseada nas quatro primeiras
estatísticas de ordem, Dowd (2001) também usou as estatísticas de ordem em suas
estimativas, Zangari (1996) apresentou um modelo de mistura de duas variáveis
gaussianas com estimação via estatística Bayesia na e Glasserman et al (1999) introduziu
técnicas de redução de variância na simulação de Monte Carlo. Entretanto, a grande
complexidade destas metodologias vai de encontro à simplicidade do conceito de VaR
e, em geral, inviabilizam sua utilização.
Entre os poucos trabalhos que apresentaram novas formas de calcular o VaR
com simplicidade, destaca-se a metodologia de Gibson (2001) com a incorporação de
eventos raros (ou saltos) na trajetória dos ativos. Ele propõe uma modelagem da
distribuição dos retornos de ativos financeiros como a mistura de três distribuições de
probabilidade. Apesar da aparente complexidade, a estimação dos parâmetros utiliza os
dados históricos e não cálculos estatísticos avançados.
Outro possível caminho com baixa complexidade é a incorporação da
Amostragem Descritiva na forma clássica de cálculo do VaR por simulação de Monte
Carlo. Esta técnica de amostragem foi muito pouco explorada até hoje e apresentou em
diversos estudos (não somente em finanças) um aumento na precisão dos resultados e
redução dos esforços computacionais. Também, esta ainda pode apresentar ganhos
adicionais quando combinada com outras técnicas de redução de variância, como a
Amostragem por Importância.
1.2 Questões a serem respondidas
O uso da metodologia proposta por Gibson (2001) e da Amostragem Descritiva
combinada com a Amostragem por Importância apresentam realmente melhorias no
cálculo do VaR? Caso positivo, será que os resultados apresentados são
significativamente superiores aos resultados das metodologias mais tradicionais, sendo
válido uma mudança nos procedimentos de cálculo nas instituições financeiras? Existem
alguns ativos que melhor se encaixam nas duas novas formas de cálculo? E qual delas é
a melhor?
1.3 Objetivo
O objetivo deste trabalho é apresentar o modelo sugerido por Gibson (2001),
adaptando-o para uma carteira de ações brasileiras e para o uso da simulação de Monte
Carlo. Também, será incorporado à metodologia básica de simulação de Monte Carlo a
combinação das técnicas de Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância.
Os dois modelos apresentam simples implementação para o cálculo do VaR e visam
eliminar os problemas clássicos já apresentados utilizando o mercado brasileiro de
ações.
Estas duas formas de cálculo serão com paradas com as formas tradicionais para
diferentes carteiras de ativos e diferentes níveis de confiança. A verificação dos
resultados será realizada através da proporção de falhas, do intervalo de confiança para
esta proporção (conforme sugerido por Kupiec em 1995) e da distância média entre as
falhas e o VaR calculado (também conhecida por CVaR). A variabilidade dos resultados
também será levada em consideração, assim como a quantidade de erros de subaditividade.
1.4 Relevância do estudo
O VaR é uma medida de risco amplamente utilizada por instituições financeiras,
investidores institucionais, seguradoras (que assumem posições de risco em vários
mercados), órgãos reguladores (que definem a exigência de capital para garantir as
operações das empresas em função dos riscos assumidos) e empresas não financeiras
(conhecimento do risco para operações de hedge). Assim, formas de cálculo mais
precisas, rápidas e de fácil entendimento são importantes no gerenciamento das posições
de risco de cada empresa, possibilitando oportunidades de investimento ou operações de
proteção mais eficientes.
Do ponto de vista teórico, destaca-se a comparação de dois métodos que utilizam
a simulação de Monte Carlo com processos de amostragem diferentes. A seleção de
valores determinística utilizada na técnica de Amostragem Descritiva ainda é bastante
questionada por quebrar o paradigma de que o comportamento natural dos
acontecimentos deva ser reproduzido por valores aleatórios.
1.5 Delimitação
Como o cálculo do VaR não possui uma resposta correta, ou seja, uma fórmula
analítica fechada, a precisão dos métodos será avaliada pela variabilidade de suas
respostas e, principalmente, pela proporção de falhas. Estas duas medidas são
diretamente afetadas pelo tamanho da amostra de dias utilizados nos experimentos.
Alguns autores (por exemplo: Blanco e Ihle em 1998) utilizam outros critérios de
avaliação, como a magnitude das falhas.
Os resultados apresentados para as carteiras utilizadas indicam, mas não provam,
superioridade de uma metodologia frente às demais. A utilização de outras carteiras ou
ativos de outra natureza pode apresentar resultados diferentes.
Os portfólios desenvolvidos para a comparação dos métodos serão criados
especificamente para o trabalho, não pertencendo a nenhuma carteira de instituição
financeira ou afim.
2. Referencial Teórico
2.1 Simulação de Monte Carlo
Segundo Saliby (1989), a simulação é uma técnica de pesquisa operacional, que
corresponde a realização de experimentos numéricos com modelos lógico-matemáticos.
Estes experimentos envolvem grandes volumes de cálculos repetitivos, fazendo uso
intensivo de recursos computacionais.
A origem do método de Simulação de Monte Carlo se deu durante a Segunda
Guerra Mundial, ao longo das pesquisas no Labora tório de Los Alamos, que resultaram
na construção da primeira bomba atômica. O método foi proposto por Von Neumann e
Ulam para solução de problemas matemáticos cujo tratamento analítico não se mostrava
viável. Primeiramente, voltava -se à avaliação de integrais múltiplas para o estudo da
difusão de nêutrons. Posteriormente, verificou-se que ele poderia ser aplicado em outros
problemas matemáticos mais complexos de natureza determinística. O nome Monte
Carlo, famoso cassino de Mônaco fundado em 1862, foi adotado por razões de sigilo
das pesquisas e pelo fato da presença da aleatoriedade lembrar os jogos de azar.
No final da década de 40, os computadores ainda começavam a se tornar
realidade e essa era a grande limitação do método. A restrição de recursos
computacionais acarretava baixa precisão nos resultados da simulação. Na década de
50, com o desenvolvimento de computadores, programas e linguagens de simulação, a
atenção dos pesquisadores voltou-se para a obtenção de resultados mais precisos, mas
com o cuidado de não aumentar o tempo de processamento necessário.
O esforço destes pesquisadores deu origem às primeiras técnicas de redução de
variância:
Variáveis
Antitéticas,
Amostragem
por
Importância,
Amostragem
Estratificada, Variável de Controle, Common Random Numbers e outras. O objetivo era
um controle parcial do processo de amostragem dos valores aleatórios. Até então, a
geração da amostra era totalmente aleatória, chamada de abordagem tradicional ou
Amostragem Aleatória Simples.
Apesar dos baixos ganhos de precisão, o principal motivo pelo qual as técnicas
de redução de variância não foram muito utilizadas foi a concepção de que a
amostragem deveria imitar o comportamento aleatório da realidade. Ou seja, o controle
do processo de amostragem significava, nesta concepção, a introdução de um viés nos
resultados.
No final da década de 70 e início dos anos 80, McKay, Beckman e Conover
(1979) e Saliby (1980) desenvolveram o que pode ser caracterizado como uma segunda
geração das técnicas de redução de variância. As técnicas de Hipercubo Latino e
Amostragem Descritiva, diferentemente das primeiras, apresentaram em vários estudos
resultados muito superiores à Amostragem Aleatória Simples (MARINS, SANTOS e
SALIBY, 2003; ARAÚJO, 2001; OWEN, 1992). É importante mencionar, também, que
as barreiras impostas pela limitação de recursos computacionais aos poucos estavam
sendo ultrapassadas.
A idéia do Hipercubo Latino, apesar de impor um controle maior no processo de
amostragem que as primeiras técnicas de redução de variância, ainda manteve vivo o
paradigma de que a amostra deve possuir um componente aleatório em seus valores.
Nesta técnica de amostragem, é proposta a estratificação da distribuição acumulada de
probabilidade das variáveis de entrada do modelo de simulação em n partes de igual
probabilidade e, em seguida, a escolha aleatória de um elemento dentro de cada estrato e
a permutação destes valores. Assim, fica garantido que todos os estratos serão
representados na amostra (MCKAY, BECKMAN e CONOVER, 1979).
O paradigma da amostra aleatória só foi totalmente abandonado pela
Amostragem Descritiva proposta por Saliby (1980). Esta técnica utiliza os mesmos
estratos do Hipercubo Latino, mas seleciona-se o valor central de cada estrato. A
permutação na ordem dos valores centrais garante a aleatoriedade da amostra.
As seções seguintes detalham as principais técnicas de redução de variância,
dando maior ênfase à Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância.
2.1.1 Variáveis Antitéticas
Esta técnica propõe a redução de variância através da introdução de uma
correlação negativa entre as estimativas. Seja X1 e X2 variáveis aleatórias definidas
como função da variável u e -u, respectivamente. Ou seja, X1 = f(u) e X2 = f(-u).
Observa-se que X1 e X2 possuem a mesma distribuição, sendo porém negativamente
correlacionadas. Desta forma, pode-se definir a variância da média aritmética entre os
pares de X1 e X2 como:
_
Var ( X ) =
Var ( X 1 ) + Var ( X 2 ) + 2Cov( X 1 , X 2 ) Var ( X )
=
× (1 + ρ)
4
2
(2.1)
Onde:
Var(X) = Var(X1 ) = Var(X2)
ρ : coeficiente de correlação entre X1 e X2
Observa-se que a variância da média aritmética entre as duas variáveis é menor
do que a variância das variáveis aleatórias originais devido à correlação negativa
introduzida.
2.1.2 Variável de Controle
A metodologia usual para o emprego desta técnica é a substituiçã o de um
problema que não dispõe de solução analítica por um problema similar mais
simplificado, que dispõe deste tipo de solução. A solução do problema simplificado é
usada para aumentar a precisão da simulação do problema mais complexo.
Utiliza -se o erro de simulação, diferença entre o valor analítico e o valor
estimado por simulação para o problema mais simples, como controle na simulação do
problema mais complexo. Pode ser mostrado que o coeficiente do erro de simulação que
minimiza a variância da var iável ajustada é o coeficiente angular da regressão entre o
valor estimado por simulação do problema sem solução analítica e o valor estimado por
simulação do problema com solução analítica (BRATLEY, FOX e SCHRAGE, 1987).
Var ( X − kY ) = Var ( x) + k 2Var (Y ) − 2Cov( X , Y )
(2.2)
Onde:
X: valor estimado por simulação do problema sem solução analítica
Y: variável de controle (diferença entre o valor analítico e o valor estimado por
simulação do problema com solução analítica)
K: coeficiente angular da regressão entre o valor estimado por simulação do problema
sem solução analítica e o valor estimado por simulação do problema com solução
analítica
Um exemplo da aplicação desta técnica é a precificação de contratos de Opções
do tipo Asiáticas com média aritmética. Neste caso, apresentado por Marins, Santos e
Saliby (2003), utiliza -se a solução analítica das opções asiáticas com média geométrica
como controle.
PAVC = PA + β (C-PG)
(2.3)
Onde:
PAVC: prêmio aritmético estimado por Variável de Controle
PA: prêmio aritmético estimado por simulação
PG: prêmio geométrico estimado por simulação
C: prêmio obtido pelo modelo de Black e Scholes para o caso geométrico
β: coeficiente angular da regressão entre PA e PG
2.1.3 Hipercubo Latino
Consiste na estratificação da distribuição acumulada de probabilidade das
variáveis de entrada da simulação em n partes de igual probabilidade. Em seguida,
escolhe-se aleatoriamente um valor dentro de cada estrato. A amostra hipercúbica é
composta por estes valores permutados aleatoriamente. A fórmula usada para a geração
dos valores hipercúbicos, a serem depois permutados, é:
 i − Randi 
xhi = F −1 



n
(2.4)
Onde:
i = 1, ..., n
xhi: valor que compõem a amostra hipercúbica
n: tamanho da amostra
F -1: inversa da função de distribuição acumulada
Randi : número aleatório entre 0 e 1
2.1.4 Amostragem Descritiva
Contemporaneamente e independentemente dos estudos que geraram o
Hipercubo Latino, Saliby (1980) questionou a idéia de que a simulação deva ser uma
simples imitação da realidade. Segundo o autor, a amostragem aleatória introduz uma
variabilidade desnecessária nos problemas de simulação.
A Amostragem Descritiva se baseia na idéia de uma seleção totalmente
determinística e intencional dos valores de entrada do modelo de simulação. Como no
Hipercubo Latino, a Amostragem Descritiva propõe a estratificação da distribuição
acumulada de probabilidade das variáveis de entrada do modelo de simulação em n
partes de igual probabilidade. Porém, no lugar de uma seleção aleatória, seleciona-se o
ponto médio dentro de cada estrato. A permutação aleatória dos pontos médios dos
estratos garante a aleatoriedade da amostra.
É importante ressaltar que os valores amostrais serão sempre os mesmos dado
um determinado número n de simulações. Ou seja, a amostra não varia mais entre
diferentes corridas. Este fato significa o fortalecimento do controle no processo de
amostragem, enfatizando ainda mais a ruptura com o paradigma vigente.
Tanto na amostragem tradicional (Amostra Aleatória Simples) quanto nas
demais técnicas de redução de variância (incluindo o Hipercubo Latino) existem duas
fontes de variabilidade: a variabilidade da seleção dos valores e a variabilidade da
seqüência dos valores. Por possuir a seleção determinística, a Amostragem Descritiva só
possui a variabilidade da seqüência, devido a permutação aleatória dos pontos médios.
Segundo Moreira (2001), o ponto de maior dificuldade quando este método é
sugerido é convencer que, ao contrário da crença comum, não há necessidade de haver
seleção aleatória nas amostras de experimentos de simulação de Monte Carlo.
Saliby (1990) argumenta que nos experimentos de simulação as amostras são
obtidas, por hipótese, de distribuições de probabilidade já conhecidas. Neste caso, o
propósito da amostragem é simular certo comportamento aleatório (já realizado pela
permutação aleatória dos pontos médios na Amostragem Descritiva) e não realizar
inferências sobre a população analisada. Outro bom argumento é a facilidade de
implementação: pequeno incremento no tempo de programação e redução no tempo de
processamento. A única exigência antes da implementação é conhecer o tamanho da
amostra desejada (determinar o número n de estratos).
A fórmula proposta para a geração do conjunto único de valores descritivos, que
serão posteriormente permutados é:
 i − 0,5
xdi = F −1 

 n 
Onde:
i = 1, ..., n
xdi: valor que compõem a amostra descritiva
n: tamanho da amostra
F -1: inversa da função de distribuição acumulada
F -1 (R), R ∈ (0,1)
(2.5)
2.1.5 Amostragem por Importância
A Amostragem por Importância é uma das técnicas da primeira geração das
chamadas técnicas de redução de variância. Sua idéia principal é de concentrar a
distribuição de probabilidade na área de maior interesse em determinado problema, e
assim, aumentar a convergência do método. Pensando novamente no VaR, a área de
maior interesse são os extremos da distribuição, onde estão localizadas as possíveis
perdas. A Figura 1 mostra o deslocamento do centro de uma distribuição Normal em
duas unidades. Observa-se que no método de Monte Carlo básico (utilizando a
Amostragem Aleatória Simples) poucos valores foram gerados nas extremidades,
enquanto que na metodologia da Amostragem por Importância a maior parte dos
resultados encontra-se na área de interesse da distribuição.
Figura 1 – Comparação da Amostragem Aleatória Simples com a Amostragem
por Importância na geração de valores da distribuição Normal
Monte Carlo
Básico
Amostragem por
Importância
Logicamente, o deslocamento da curva Normal introduz um viés na amostragem
que, felizmente, pode ser corrigido pela razão de Verossimilhança. Neste caso, pode-se
calcular a Verossimilhança pela razão das funções de probabilidade entre o valor
deslocado e o valor originalmente selecionado. Por exemplo, supondo um deslocamento
de 2 unidades para a esquerda na curva Normal padrão e aleatoriamente o valor 0,32 foi
selecionado, a razão de Verossimilhança será F (-2,32) / F(0,32), onde F( ) representa a
função de densidade da Normal padrão.
Os cálculos usando a Amostragem por Importância devem ser ponderados pela
razão de Verossimilhança. No caso do VaR, por exemplo, para o nível de confiança de
(1-a)% seleciona -se a perda que possuir a razão de Verossimilhança acumulada mais
próxima da estatística a x N, onde N é o tamanho da amostra.
Existem diversas outras formas de se implementar a Amostragem por
Importância. Para isso, consultar Boyle (1997) e Charnes (2000).
2.2 Administração de Risco
Segundo Jorion (1997), risco pode ser definido como a volatilidade de resultados
inesperados, normalmente relacionada ao valor de ativos ou passivos. As empresas
podem estar expostas a três tipos de risco: operacional, estratégico e financeiro. O
primeiro deles está relacionado ao setor da economia em que a empresa opera,
inovações tecnológicas, desenho de produtos, marketing, etc. O risco estratégico resulta
de mudanças fundamentais no cenário econômico e político (por exemplo, a
expropriação ou nacionalização de territórios). O risco financeiro está ligado a possíveis
perdas nos mercados devido a oscilações de variáveis financeiras (por exemplo, a taxa
de juros ou câmbio). Este último pode ser classificado em:
- Riscos de mercado: surgem de mudanças nos preços de ativos ou passivos financeiros.
- Riscos de crédito: surgem do não cumprimento de obrigações contratuais
- Riscos de liquidez: surge quando uma transação não pode ser conduzida pelos preços
de mercado, devido a uma atividade insuficiente de mercado. Também, pode referir -se à
impossibilidade de cumprir obrigações relativas ao fluxo de caixa.
- Riscos operacionais: referem-se às perdas potenciais resultantes de sistemas
inadequados, má administração, controles defeituosos ou falha humana na execução das
operações da empresa.
- Riscos legais: surge quando uma contraparte não possui autoridade legal ou regulatória
para se envolver em uma transação.
Este trabalho concentra-se no risco financeiro, mais especificadamente no risco
de mercado. O principal motivo para o surgimento da administração de risco é a
volatilidade das variáveis financeiras. A imprevisibilidade fez com que diversos
instrumentos fossem criados para a gestão de risco desde a década de 70, chamados de
derivativos. Entre eles estão o futuro de moedas (1972), opções de ações (1973), swaps
de moedas (1981), opções sobre swap (1985) e opções credit default (1994). Esses
derivativos proporcionam um mecanismo através do qual as instituições financeiras
podem hedgear-se com eficácia. Do outro lado dos hedges estão os especuladores,
buscando lucro em suas transações.
Uma medida de mensuração e controle dos riscos de mercado bastante utilizada
é o Value-a t-Risk (VaR), definida como o valor máximo que pode ser perdido, com um
certo nível de confiança, em um dado horizonte de tempo. A Figura 2 ilustra bem o
conceito de VaR.
Figura 2 - Ilustração do conceito de Value-at-Risk
α
Vt
VaR
V
Valor do Portfolio
Inicialmente, esta medida foi utilizada pelos principais bancos e instituições
financeiras do mundo, mas seu conceito foi difundido devido, principalmente, a sua
simplicidade: um único valor resumindo a exposição de carteiras, muitas vezes
complexas, bem como a probabilidade de uma oscilação adversa. Além disso, ele mede
o risco na mesma unidade constante nos relatórios de resultados, facilitando o
entendimento de acionistas e administradores em geral. Dos diversos propósitos do
VaR, pode-se citar o fornecimento de informações gerenciais (informar sobre riscos
incorridos em transações e operações de investimentos ou os riscos financeiros de
empresas, contribuindo para estabilidade do sistema financeiro), alocação de recursos
(estabelecer de limites para traders e onde alocar recursos limitados de capital) e
avaliação de performance (ajustar o desempenho de traders ao risco incorrido).
Todavia, é importante perceber que o VaR é um procedimento necessário, mas
não suficiente para o controle de riscos. Esta medida representa uma estimativa técnica
para o risco de mercado, tendo o mesmo valor de outras estimativas em outras áreas
científicas. O VaR deve ser complementado por limites e controles, além de uma função
independente e centralizada de administração de risco.
2.3 Metodologias de cálculo do Value-at-Risk (VaR)
As três metodologias mais utilizadas para cálculo do VaR são: histórica,
paramétrica e por simulação de Monte Carlo. Cada uma delas têm suas vantagens e
desvantagens e seus usos são indicados em função dos ativos que compõem o portfólio
analisado. As duas primeiras metodologias serão apresentadas nas seções seguintes e o
cálculo usando a simulação de Monte Carlo será descrito na seção 2.3.3.
2.3.1 VaR Histórico
O VaR histórico aplica as variações dos fatores de risco (fatores que afetam o
valor de um determinado ativo do portfólio, por exemplo o preço de uma ação, a taxa de
juros, o câmbio, etc.) ocorridas no passado nas posições de risco atuais levando em
cons ideração o horizonte de tempo escolhido.
Define-se um período histórico e a unidade do holding period (diário, mensal,
etc.) da qual deseja -se medir o VaR e calcula -se, para cada unidade de tempo, o retorno
do portfólio atual, atualizando o valor de cada ativo. Dado um determinado nível de
confiança (1-α)%, o VaR será o percentil α% da amostra de retornos históricos. Por
exemplo, o VaR de uma posição "comprada" em um determinado portfólio, por esta
metodologia, com nível confiança de 95% será o percentil 5% da amostra de retornos.
Para uma posição de venda, o VaR será o percentil 95%.
As principais vantagens desta metodologia são a simplicidade e o não
embasamento em premissas (como a distribuição de probabilidade dos retornos dos
ativos), pois os dados são retirados diretamente do mercado financeiro. Além disso,
consegue capturar o efeito de uma possível assimetria dos dados. Do lado das
desvantagens, por se tratar de dados passados, é necessário acreditar que o futuro se
comportará da mesma maneira que o período histórico analisado. Além disso, esta
metodologia não permite a realização de análises de sensibilidade.
A metodologia do VaR histórico sofre de um grave problema: a sub-aditividade.
2.3.1.1 Propriedade da Sub-aditividade
Em 1999, Artzner et al. demonstraram que, em geral, as medidas de risco
deveriam satisfazer algumas condições para serem consideradas coerentes. Caso
contrário, seus resultados seriam paradoxais e não representariam corretamente o risco
incorrido. Uma das condição aprese ntada pelo autor é a propriedade de sub-aditividade:
sendo duas variáveis aleatórias X e Y e a função ?(), ?(X + Y) ≤ ?(x) + ?(Y).
No caso do VaR, isto significa que o risco de um portfólio deve ser menor que a
soma dos riscos individuais dos ativos que o compõe. Este conceito é bastante difundido
(a diversificação diminui os riscos) e utilizado em diversas teorias de investimento e
alocação de recursos, como o Capital Asset Pricing Model (CAPM). Porém, no artigo
de Artzner et al. (1999) e vários outros - Acerbi, Nordio e Sirtori (2001), por exemplo -
foi demonstrado que o VaR histórico falha neste critério, ou seja, pode apresentar
portfólios com risco maior que a soma do risco de seus ativos.
As outras propriedades apresentadas por Artzner et al. (1999) para uma medida
de risco coerente são satisfeitas pelo VaR histórico: monotonicidade, homogeneidade e
invariância de translação. Devido a esta e outras críticas, diversas variações do VaR já
foram apresentadas na literatura, como o Expected Shortfall.
2.3.2 VaR Paramétrico
A metodologia do VaR paramétrico utiliza métodos estatísticos padronizados
para calcular as variações do portfólio atual. Para isso, baseia -se em fortes premissas: o
retorno dos ativos ou fatores de risco seguem uma distribuição estatística (geralmente
utiliza-se a distribuição Normal), a variação dos ativos é linearmente proporcional à
variação do portfólio, os retornos dos ativos são homocedásticos durante o horizonte de
tempo e não há autocorrelação nas séries de retornos.
Esta metodologia utiliza uma fórmula analítica para o cálculo do VaR:
VaR = M × FS × σ ×
HP
(2.6)
Onde:
M: montante (em unidade monetárias) aplicado na posição
FS: Fator de segurança retirado da distribuição teórica assumida (em geral, a
distribuição Normal padrão) referente ao nível de confiança desejado
σ: volatilidade
HP: horizonte de tempo considerado (Holding Period)
A estimativa da volatilidade utilizada na expressão analítica é, geralmente,
retirada dos dados históricos. Uma forma simples é considerar a volatilidade como
sendo o desvio -padrão dos retornos do portfólio. Porém, desta forma, todas as
observações possuirão o mesmo peso, independentemente se ocorreram na véspera do
cálculo ou no início do período analisado. Uma forma de capturar a dinâmica da
volatilidade, dando ma ior peso para as observações mais recentes, é o alisamento
exponencial (conhecido por EWMA). A previsão para a volatilidade em um instante
qualquer é a média ponderada da previsão do instante anterior, usando um peso ?, e o
quadrado do último retorno, com peso 1- ?.
σ t = λσ t −1 + (1 − λ ) rt2−1
(2.7)
O fator ? é chamado de fator de decaimento e deve ser menor que 1. O modelo
EWMA é considerado como recursivo, pois baseia-se na previsão anterior. Por ter
apenas um único parâmetro, este modelo é bastante robusto quanto a erros de
estimativ a. O ? pode ser determinado mediante maximização da função de
Verossimilhança, mas operacionalmente seria inviável calcular este fator todos os dias
para todos os ativos de um grande portfólio. Na prática, o RiskMetrics utiliza o fator
0,94 para todas as séries diárias. O modelo EWMA pode ser considerado um caso
especial do processo GARCH, que não será discutido neste trabalho, mas também pode
ser utilizado para estimar a volatilidade dos fatores de risco com pesos diferentes para as
observações 2.
A principal vantagem do VaR paramétrico é a facilidade de implementação e a
rapidez do cálculo, visto que o VaR é uma simples multiplicação. Porém, as premissas
utilizadas nem sempre são constatadas na prática, principalmente a normalidade dos
retornos dos ativos (LI, 1999). Sabe-se que os retornos extremos acontecem com mais
freqüência do que os previstos pela distribuição normal. Isso faz com que as estimativas
de perda fiquem bastante imprecisas. Também, não é a metodologia indicada para
portfólios que contenha m ativos não lineares, como os derivativos (a variação de preço
dos derivativos não é proporcional à variação do preço do ativo-objeto).
Nesta metodologia, o VaR para as posições "comprada" e vendida" são iguais
caso a distribuição assumida para a série de retornos seja simétrica, como é a
distribuição Normal. Para o VaR de um portfólio, utiliza-se:
VaR ( X + Y ) = VaR ( X ) 2 + VaR (Y ) 2 + 2 × VaR( X ) × VaR(Y ) × ρ ( X ,Y )
2
Vide Jorion (1997).
(2.8)
Onde:
?(X,Y): correlação entre o retorno dos ativos X e Y
2.3.2.1 Método Delta -Normal
O método Delta-Normal também pode ser considerado como uma forma de
mensuração do VaR por solução analítica, pois possui uma fórmula fechada. Sua virtude
é a simplicidade. Baseia -se na propriedade de que um portfólio de ativos normalmente
distribuídos também é normalmente distribuído e que o valor do portfólio é uma
combinação linear do valor dos ativos individuais. A perda potencial para o valor V do
portfólio é calculada como:
∆V = β0 × ∆S
(2.9)
Onde:
β 0 : sensibilidade da carteira às mudanças de preço, avaliada a partir do preço atual, que
depende dos preços atuais de cada ativo (S0). A suposição de normalidade permite o
cálculo do β do portfólio como a média dos β individuais.
∆S: mudança potencial nos preços
Um benefício essencial deste método está no fato de requerer o cálculo do valor
do portfólio apenas uma vez, a partir da posição atual e dos preços atuais de cada ativo.
Logo, o método Delta-Normal adapta-se bem aos portfólios formados por muitos ativos
ou fatores de risco. Entretanto, se este possuir opções (ou outro ativo não linear) a
abordagem de delta pode apresentar vários problemas: o delta pode mudar muito
depressa ou ser diferente para movimentos ascendentes e descendentes e a pior perda
pode não corresponder às realizações extremas do preço dos ativos-objetos.
Uma aproximação para este método, tentando adicionar ao modelo riscos
diferentes do risco de delta, é a utilização da expansão de Taylor e das "gregas" 3. Assim,
o VaR de um derivativo pode ser mensurado pela equação:
VaRd = ∆ × VaRa −
1
× Γ × VaRa 2
2
(2.10)
Onde:
∆ e Γ são as derivadas de primeira e segunda ordem do preço do derivativo em relação
ao preço do ativo-objeto oriundas da expansão de Taylor.
VaR a: VaR do ativo-objeto de origem do derivativo
Este método é indicado para derivativos de um único ativo-objeto, mas torna-se
ineficiente para a mensuração dos riscos de um portfólio em que os ativos são
correlacionados (devido a não linearidade dos derivativos, não se pode utilizar a matriz
de correlação tradicional).
2.3.3 VaR por Simulação de Monte Carlo com incorporação da Amostragem
Descritiva e Amostragem por Importância
O cálculo de VaR por simulação de Monte Carlo não se prende às premissas da
metodologia do VaR paramétrico nem à suposição de que o comportamento futuro irá
repetir o comportamento passado, principais desvantagens das outras metodologias.
Porém, por se tratar de um método que necessita intensivamente de recursos
computacionais e repetições de procedimentos, seus cálculos podem ser lentos e com
implementação difícil e cara. Outro ponto importante, é que os fatores de risco devem
ser modelados por modelos estocásticos, o que exige profissionais qualificados e a
escolha do modelo mais apropriado para cada situação.
"Apesar de tudo, os métodos por simulação de Monte Carlo são considerados os
mais robustos e os mais poderosos para o cálculo do Value-a t-Risk , pois contempla m
uma grande variedade de riscos financeiros. Todas as variáveis dos modelos podem ser
tratadas como probabilísticas caso isso venha a ser de interesse." (SALIBY e ARAÚJO,
2001)
3
Vide Hull (2003)
O cálculo básico do VaR por simulação de Monte Carlo envolve os seguintes
passos:
1. Escolher um processo estocástico para simular os preços futuros de cada ativo ou
fator de risco do portfólio;
2. Estimar as volatilidade e correlações entre os ativos e/ou fatores de risco que
compõem os modelos estocásticos;
3. Gerar uma pseudo-seqüência Ε 1, ..., Ε N , a partir da qual serão realizadas as
simulações;
4. Simular os preços futuros dos ativos ou fatores de risco do portfólio através do
processo estocástico já selecionado e com a pseudo-seqüência gerada, levando-se
em consideração as correlações dos ativos para o horizonte de tempo de interesse;
5. Caso o portfólio tenha derivativos, utilizar um modelo de precificação para avaliar
seus preços em função dos valores encontrados na simulação (passo anterior);
6. Repetir os passos 2 a 5 tantas vezes quanto necessário, até se obter uma amostra
suficientemente grande para que se possa gerar a distribuição de probabilidade do
valor do portfólio. Ao nível de confiança desejado (1-α)%, o VaR é o valor do
percentil α% (para posição "comprada") ou percentil (1-α )% (para posição
"vendida") da série de retornos do portfólio gerada pela simulação.
Diz-se que uma variável segue um processo estocástico quando seu valor é
incerto e variável dependendo de um parâmetro, em geral do tempo. O modelo
estocástico de maior utilização no mercado financeiro para representar o retorno de um
ativo-objeto é o movimento geométrico browniano - processo inicialmente utilizado na
física para descrever o movimento de uma partícula sujeita a choques de outras
moléculas. Este modelo pode ser representado pela equação diferencial estocástica a
seguir:
dSt
= µdt + σdz t
St
(2.11)
Onde:
St : preço do ativo-objeto no instante t;
dSt / St : taxa de retorno do ativo-objeto
µ: esperança da taxa de retorno do ativo-objeto
dt: intervalo de tempo
σ: volatilidade da taxa de retorno do ativo-objeto
dzt: variável aleatória com distribuição Normal (0;dt)
O movimento geométrico browniano é composto por dois termos: o primeiro
(µdt) é determinístico e representa a tendência seguida pelos retornos; o segundo (σdzt)
é aleatório com distribuição Normal (0; σ2 dt) e representa a volatilidade em torno da
tendência. O termo dzt segue um Processo de Wiener, e pode ser substituído por:
dzt = εt dt
(2.12)
Onde:
ε t: variável aleatória Normal padrão
dzt é independente para dois intervalos de tempo distintos
Para encontrar o valor se St em (2.7) é necessário resolver a equação através de
integrais. Contudo, a integração desta equação diferencial estocástica é muito complexa
e não segue as regras básicas de cálculo clássico. Uma alternativa é a aplicação da
Integral de Itô, que apresenta uma maneira de somar incrementos aleatórios durante o
tempo 4. A solução encontrada adotando-se a hipótese de neutralidade de risco (retorno
do ativo sendo igual à taxa de juros livre de risco) é:
St = St − 1e( Rf −σ
2
/ 2) dt +σ dt εt
(2.13)
Onde:
Rf: taxa livre de risco
É importante mencionar que a equação (2.13) baseia -se na hipótese de eficiência
dos mercados, pois o preço atual reflete toda a informação passada. Além disso,
assume-se que os mercados respondem imediatamente ao surgimento de novas
informações.
No passo 2, a volatilidade pode ser calcula pelo desvio-padrão de retornos
anteriores ou utilizando-se o modelo EWMA ou GARCH, como discutido na seção
2.3.2. No passo 3, os valores aleatórios são chamados de "pseudo-aleatórios" porque são
gerados a partir de uma função pré-estabelecida e podem ser replicados. Os geradores
de valores aleatórios de qualquer software geram valores desta natureza, pois
necessitam de algoritmos determinísticos. Na prática, não existem números aleatórios
no ambiente computacional, uma vez que o computador é essencialmente
determinístico.
As técnicas de redução de variância são utilizadas no passo 3 (geração da
seqüência pseudo-aleatória) e no processo estocástico utilizado para melhorar a precisão
das estimativas resultantes da simulação. A incorporação da Amostragem Descritiva e
da Amostragem por Importância (já detalhados em seções anteriores) modificam a
expressão 2.13 para:
St = St − 1e( Rf −σ
2
/ 2 )dt +σ dt (εt' − C )
(2.14)
Onde:
ε't: variável aleatória Normal padrão gerada pela Amostragem Descritiva
C: valor do deslocamento proposto na Amostragem por Importância
Com a incorporação destas técnicas o VaR não será mais um determinado
percentil como descrito no passo 6, mas sim a perda que tiver sua razão de
Verossimilhança acumulada mais aproxima da estatística a x N ou (1- a) x N para uma
posição de venda. Pode -se também usar a interpolação para determinar o VaR ao invés
da perda mais próxima.
O VaR de um portfólio é determinado pela equação (2.8), igualmente ao VaR
paramétrico.
4
Uma demonstração completa encontra-se em Hull (2003)
2.3.4 Modelo de Mistura de Distribuições
Gibson (2001) apresenta o modelo de mistura de distribuições para a
incorporação de eventos raros ou inesperados no cálculo do VaR. Segundo o autor,
pouquíssimos modelos capturam o risco dos acontecimentos eventuais, que podem ser,
por exemplo, a notícia de um default ou um atentado terrorista. Na prática, o motivo
pelo qual se obtém um retorno excessivamente baixo ou alto não é relevante,
importando-se apenas suas propriedades estatísticas.
Inicialmente, pode-se considerar que um fator de risco deva ser dividido em dois
componentes. O primeiro, chamado de ordinário, segue a distribuição dos dados sem a
interferência de saltos para cima ou para baixo. O outro componente é a representação
dos choques causados pelos saltos. Então, um fator de risco pode ser modelado da
seguinte forma:
r = r o + rS
(2.15)
Onde:
ro : segue a distribuição ordinária dos dados
rS : componente influenciado pelos saltos, segue uma distribuição trinomial definida
como:
0, com probabilidade 1-p-q
rS =
-D, com probabilidade p
(2.16)
U, com probabilidade q
Assim, a distribuição de r é equivalente à mistura de três distribuições:
r = (1-p-q) r o + p rD + q rU
(2.17)
Onde:
rD e rU possuem a mesma distribuição ordinária de ro com médias defasadas em -D e U,
respectivamente.
É importante mencionar que r o e rS devem ser independentes. Este modelo
captura a assimetria quando D é diferente de U ou p é diferente de q.
Assumindo que a distribuição ordinal é Fr o(x;µ,?), onde µ é a média e ? os
demais parâmetros necessários (por exemplo, o desvio-padrão no caso da distribuição
Normal), pode -se escrever:
Fr(x) = (1-p-q) Fro(x;µ;?) + p Fro(x; µ-D;?) + q Fro (x; µ+U;?)
(2.18)
Na prática, para o calculo do VaR, é necessário a resolução desta equação
numericamente sendo Fr a distribuição que melhor se aproxime dos dados. Assumindo
normalidade, tem-se para um nível de 95% de confiança:
− ( u− µ )2
1
0,95 = (1 − p − q )∫
e
− ∞ σ 2π
x
2σ2
− (u− µ −D )2
1
du + p ∫
e
−∞ σ 2π
x
2σ 2
− ( u− µ +U )2
1
du + q ∫
e
− ∞ σ 2π
x
2σ 2
du
(2.19)
O valor de x (limite superior das integrais) é o novo fator de segurança para o
cálc ulo do VaR pela metodologia paramétrica. Uma alternativa para a resolução da
equação (2.19), utilizada neste trabalho, é o uso da simulação de Monte Carlo
diretamente aplicada à equação (2.15), tratando-se de um problema bidimensional: uma
variável aleatória é sorteada para o valor de r o segundo a distribuição ordinária e outra
variável aleatória para a distribuição trinomial de rS.
O efeito da incorporação de rS com distribuição trinomial no modelo é a melhor
representação das caudas da distribuição, fazendo com que a mistura das três
distribuições, vista na equação (2.16), fique mais próxima da distribuição real dos
retornos financeiros. Este efeito pode ser visualizado na Figura 3.
Figura 3 - Efeito de rS na distribuição do fator de risco do modelo
Distribuição dos dados ordinários
Distribuição dos saltos para baixo
Distribuição dos saltos para cima
A estimação dos parâmetros envolve a estimação de D, U, p e q da equação
(2.16) e dos demais parâmetros necessários para o uso da distribuição ordinária. Ao
contrário de outros modelos de mistura de distribuições que utilizam cálculos
estatísticos avançados, a estimação dos parâmetros neste modelo é bastante simples e
intuitiva, baseando-se nos dados históricos. Como a metodologia inicialmente foi
apresentada para a incorporação do efeito de eventos raros na distribuição de
probabilidade dos fatores de risco, é necessário uma grande quantidade de dados para a
estimação dos parâmetros. No Brasil, isso pode ser um problema, pois, apesar da
facilidade de se obter séries de dados financeiros, mudanças de regimes e cenários
econômicos podem tornar períodos de tempo incomparáveis. Uma sugestão é o
agrupamento de ativos com características semelhantes.
Primeiramente, deve-se dividir o conjunto de dados em três grupos: saltos para
cima, saltos para baixo e retornos sem saltos. Esta divisão pode seguir qualquer critério
coerente. Uma sugestão, seguida neste trabalho, é o corte a partir de um número
arbitrário de desvios-padrão. Considera-se como salto um valor acima ou abaixo do
valor determinado. Vale ressaltar que a qualidade do modelo dependerá muito desta
escolha.
As probabilidades p e q são estimadas como a porcentagem de retornos nos
grupos de saltos para baixo e para cima, respectivamente. Os valores de D e U são
estimados como a média dos retornos destes dois grupos.
Novamente, para o VaR de um portfólio utiliza -se a equação (2.8).
2.4 Geração de Variáveis Aleatórias Correlacionadas
Na prática, os portfólios são compostos por mais de uma fonte de risco ou ativo
financeiro. Quando se utiliza a simulação para descrever o comportamento destes
fatores de risco, deve -se levar em consideração a correlação entre eles. A fatoração de
Cholesky é o método mais conhecido para a incorporação da correlação na geração de
seqüências aleatórias.
Genericamente, para três variáveis, considere que a estrutura de correlação possa
ser representada pela multiplicação das matrizes TT', onde T é triangular inferior.
 1

 ρ12
 ρ13
ρ12
1
ρ23
ρ13  a 11 0
 
ρ23  = a12 a 22
1  a13 a 23
0  a11 a12
 
0  x  0 a 22
a33   0
0

a13   a112
a11a12
a 11a13
 

2 2
a23  = a11a12
a12 a22
a13a12 + a23a 22 
2
a33  a11a13 a13 a12 + a 23 a22 a132 + a23
+ a 332 
E assim tem -se:
a11 = 1
a 23 =
a12 = ρ12
a13 = ρ13
a 22 = (1 − ρ122 )1 / 2
ρ23 − ρ12 ρ13
(1 − ρ122 ) 1/ 2
2

 ρ23 − ρ12 ρ13  
2
a 33 = 1 − ρ13 − 
 
 (1 − ρ122 )1/ 2  

1/ 2
Pela fatoração de Cholesky, os valores aleatórios modificados (com a
incorporação das correlações) são obtidos pela multiplicação entre a matriz T (com
valores encontrados acima) e os valores aleatórios originais.


ε1'   1
 ' 
ε2  = ρ12
ε3'  
ρ
 13

0
(1 − ρ122 )1 / 2
ρ23 − ρ12 ρ13
(1 − ρ122 )1 / 2


 ε1 
0
  
0
 x ε2 
2 1/ 2  

ρ −ρ ρ  
ε3 
1 − ρ132 −  23 212 1/132   
 (1 − ρ12 )   


(2.20)
É importante perceber que a fatoração de Cholesky modifica os valores
aleatórios sorteados para gerar a correlação esperada. Assim, as técnicas de amostragem
estratificadas (como é o caso da Amostragem Estratificada, do Hipercubo Latino e da
Amostragem Descritiva) têm suas características destruídas.
Iman e Conover (1982) propuseram um método para induzir a correlação ordinal
entre as variáveis aleatórias no qual estas são mantidas, permitindo o uso de qualquer
processo de estratificação e amostragem de variáveis aleatórias. Além disso, pode ser
aplicada a qualquer distribuição, enquanto que a fatoração de Cholesky deve ser
utilizada apenas em casos de Normalidade. Araújo (2001) descreve o método da
seguinte forma:
Supondo uma matriz U com dimensões n x k, onde as colunas representam
variáveis
aleatórias
distribuídas
livremente,
seguindo
qualquer
esquema
de
estratificação. O objetivo é fazer com que a matriz de correlação de rank de U seja
próxima da matriz de correlação desejada (C). Define-se, também, a matriz R de
mesmas dimensões de U, onde os valores de cada coluna são uma permutação aleatória
de ? -1(i/(n+1)) para i=1,...,n e ? -1 representando a inversa da distribuição Normal
padrão acumulada. Observa -se que a matriz de correlação de R é próxima a matriz
identidade, uma vez que as colunas são independentes.
Em seguida, decompõem-se C em PP', como na fatoração de Cholesky (P é uma
matriz triangular inferior). Calcula -se R* = RP' com matriz de correlação ordinal
próxima a matriz de correlação C. Finalmente, ordena -se as colunas de U de forma que
o valor em cada coluna tenha a mesma ordem de R*. Assim, U apresentará a mesma
correlação ordinal que R*, que por sua vez é próxima a C.
Em resumo, o algoritmo apresentado ordena os valores estratificados (sem
alterá-los) de forma que sua matriz de correlação ordinal seja próxima da matriz de
correlação desejada.
Outros métodos de geração de variáveis aleatórias correlacionadas são o
Singular Value Decomposition (J.P.Morgan, 1996) e o algoritmo de Gram-Schmidt
(Owen, 1994).
2.5 Teste de Proporção de Falhas
Proposto por Kupiec (1995), o intervalo para a proporção de falhas no cálculo do
VaR é baseado na distribuição Qui-Quadrado com 1 grau de liberdade. Define -se como
falha no cálculo do VaR o dia em que o retorno observado foi menor (maior) que o VaR
calculado para um posição comprada (vendida) no ativo-objeto em questão. Com um
nível de confiança de (1-a)%, espera -se a ocorrência de a % de falhas. O teste de
proporção de falhas permite a comparação entre as diversas metodologias de cálculo do
VaR, sendo a metodologia que mais se aproximar de a % de falhas a mais adequada
para os dados utilizados. Vale ressaltar que uma elevada porcentagem de falhas
representa a exposição a um nível de risco maior do que se espera, enquanto que uma
baixa porcentagem de falhas representa a sub-utilização dos recursos devido ao controle
excessivo aos traders.
Este teste para a proporção de falhas baseia -se somente na freqüência de erros,
ou seja, mede se a quantidade de erros é coerente com a quantidade esperada. Porém,
alguns autores (como Blanco e Ihle, 1998; Lopez, 1998) defendem que além da
freqüência deve ser medido a magnitude dos erros. Ou seja, a diferença entre a máxima
perda esperada (VaR) e o valor verdadeiramente observado. A média destas diferenças é
conhecida como CVaR.
Neste trabalho, a magnitude dos erros será observada quando houver empate na
proporção de falhas. Sendo assim, um critério de desempate para escolha da
metodologia de cálculo do VaR mais precisa.
As medidas acima referidas são válidas para a comparação das metodologias de
cálculo para um mesmo nível de confiança. Ou seja, dado um certo nível de confiança,
pode-se decidir qual delas é a melhor. Porém, neste trabalho, analisa-se o
comportamento das metodologias paras diversos níveis de confiança, sendo necessário a
construção de um índice de desempenho geral. Este índice é calculado como o
somatório das diferenças absolutas entre os percentuais de falha observado e esperado
normalizadas para os diversos níveis de confiança. Supondo que uma determinada
metodologia obtenha os valores 5,20%, 2,75% e 0,80% como proporções de falha para
os níveis de confiança de 5%, 2,5% e 1%, tem-se que o índice de desempenho geral é:
5,20 − 5 2 ,75 − 2 ,5 0,80 − 1
+
+
= 0,34
5
2 ,5
1
Este índice permitirá a comparação geral (para todos os níveis de confiança) das
metodologias em análise. É fácil perceber que quanto menor o índice, melhor é o
resultado.
3. Metodologia
Nesta seção, serão apresentadas as classificações deste trabalho em categorias
quanto aos fins e meios empregados, serão discutidos o universo e amostra de dados
utilizados para a formação dos portfólios de ativos financeiros e suas formas de coleta e
tratamento. Também, são apresentados as principais limitações dos métodos e
ferramentas utilizadas.
3.1 Tipo de Pesquisa
O estudo a ser realizado consistirá na implementação de dois modelos para o
cálculo do VaR: modelo de Mistura de Distribuições e o modelo de simulação de Monte
Carlo com a combinação das técnicas de Amostragem Descritiva e Amostragem por
Importância. Ambos possuem fácil entendimento e baixa complexidade na estimação de
seus parâmetros e forma de cálculo. A comparação entre eles e as formas tradicionais de
cálculo do VaR será realizada pelo teste de proporção de falhas, pela variabilidade dos
resultados medido pelo desvio-padrão e pela porcentagem de erros de sub-aditividade.
Este trabalho pode ser classificado em relação a dois aspectos: quanto aos fins e
quanto aos meios empregados. No primeiro aspecto, este trabalho trata -se de uma
pesquisa exploratória, visto que o experimento é relacionado à descobertas recentes e
será aplicada em uma situação ainda não apresentada na literatura.
Quanto aos meios empregados, pode-se classificar este trabalho em duas
categorias. É uma pesquisa de laboratório, pois será realizada através de uso intensivo
de computador e suas ferramentas (programas de simulação, planilhas de dados,
internet, etc.). Também é uma pesquisa experimental, uma vez que permitirá analisar o
fenômeno da superioridade de um método ao outro.
3.2 Experimento Realizado
O experimento a ser realizado, neste trabalho, será o cálculo do VaR diário para
as posições de compra e de venda de uma carteira composta igualmente pelas três ações
de maior participação no IBOVESPA (quadrimestre de maio a agosto de 2004): TNLP4
(Telemar), PETR4 (Petrobrás) e EBPT4 (Embratel). Juntas, estas três ações,
representam aproximadamente 27% do índice. Também será realizado uma análise
descritiva das três ações separadamente.
O período selecionado foi de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004,
totalizando uma amostra de 557 dias de negociação. O período não foi maior, pois as
metodologias para o cálculo do VaR propostas, principalmente o Modelo de Mistura de
Distribuição, precisam de um período de dados anterior para estimação dos parâmetros
necessários no cálculo.
As metodologias utilizadas no cálculo do VaR serão as metodologias
apresentadas na seção do "Referencial Teórico": histórica, paramétrica, Modelo de
Mistura de Distribuições (utilizando Amostragem Aleatória Simples e Amostragem
Descritiva) e por Simulação de Monte Carlo (utilizando a Amostragem Aleatória
Simples, a Amostragem Descritiva e a combinação da Amostragem Descritiva com a
Amostragem por Importância). Serão utilizados diferentes níveis de confiança: 95%,
97,5%, 99% e 99,5%. Os resultados serão comparados pelo teste de proporção de falhas,
magnitude dos erros, variabilidade (para os modelos baseados em simulação),
quantidade de erros de sub-aditividade e índice de desempenho geral conforme definido
na seção 2.5.
3.3 Coleta de Dados
Para o cálculo dos parâmetros de entrada dos modelos utilizados serão
necessários os dados históricos das três ações citadas, taxa livre de risco e de um
gerador de números aleatórios. Os dados históricos foram coletados no banco de dados
do site Yahoo Finance como valores de fechamento diários já ajustados para operações
de split, merge, pagamento de dividendos e etc. O valor de taxa livre de risco foi
consid erada constante em 16% ao ano durante todo o período de análise. Na geração
dos valores aleatórios será utilizado o gerador do software Matlab.
3.4 Parâmetros Estimados
Os modelos propostos e os modelos tradicionais de cálculo do VaR baseiam-se
na estimação de alguns parâmetros. Esta seção tem como objetivo esclarecer a forma de
estimação e os dados utilizados.
O modelo de Mistura de Distribuições utiliza dados históricos para a estimação
de seus parâmetros. Como foi criado para a incorporação de eventos raros, existe a
necessidade de utilizar grande quantidade de dados. Para um melhor ajuste do modelo
às mudanças no cenário econômico, as estimativas dos parâmetros p, q, D e U serão
calculadas anualmente. Por exemplo, para 2002 serão utilizados os dados de 01 de
junho de 1994 (ou 21 de setembro de 1998 para EBTP4 e TNLP4) até 31 de dezembro
de 2001 e estas estimativas serão válidas para todos os cálculos do VaR durante o ano
de 2002. Para 2003 e 2004, incorporam-se os anos de 2002 e 2003 sem retirar nenhum
dos dados iniciais.
Neste modelo, também, é necessário determinar o valor do corte que divide os
retornos em saltos para cima, baixo ou sem saltos. Como foi mencionado na seção 2.3.4,
uma boa medida de corte é determinar uma quantidade de desvios-padrão da média.
Evitando simplesmente uma determinação arbitrária e buscando um melhor ajuste do
modelo aos dados, será utilizado o corte que otimiza (em relação ao teste de proporção
de falhas) a amostra do ano anterior ao cálculo. Ou seja, calcula-se o VaR para todos os
dias de negócio de 2001, com as estimativas de p, q, D e U conforme mencionadas
acima, com valores de corte variando de 1,5 até 5 desvios-padrão (de 0,5 em 0,5
unidades). Nos cálculos do ano 2002 será utilizado o critério de corte que me lhor se
ajustou em 2001. Da mesma forma ocorrerá nos anos subseqüentes. Dessa forma,
utiliza-se os dados passados para calibrar o modelo anualmente, possibilitando um
ajuste à mudanças e maior precisão no modelo.
Exemplo para o ano 2002: utilizando os critérios de corte nos retornos de 1,5, 2,
2,5, ..., 5 desvios-padrão (ou seja, 8 critérios), calcula -se as estimativas de p, q, D e U
com os dados de 01 de junho de 1994 até 31 de dezembro de 2001. Usando o teste de
proporção de falhas para o VaR de todos os dias de negociação de 2001 (o ano anterior
ao ano que estamos interessados) escolhe-se o critério a ser utilizado em 2002. Os
parâmetros estimados escolhidos serão utilizados para todos os dias de 2002. Após este
período, calcula -se novamente as estimativas de p, q, D e U incorporando os dados reais
de 2002 ao período de teste e encontra-se o melhor critério de corte que deveria ter sido
usado em 2002. Este critério será utilizado em 2003.
Para o modelo de simulação com a técnica de Amostragem por Importância,
necessita -se estimar o valor do deslocamento da curva Normal para a esquerda (no caso
de posições de compra) ou para a direita (no caso de posições de venda). Da mesma
forma que o Modelo de Mistura de Distribuições, utiliza -se o ano anterior ao ano de
interesse como período de backtest. Ou seja, otimiza-se em relação ao teste de
proporção de falhas o modelo com os dados do ano anterior ao ano de interesse. Para o
valor do deslocamento, permite -se a variação na primeira casa decimal.
Quanto aos modelos tradicionais: para a metodologia histórica utiliza-se uma
janela móvel de 50 dias de negócio para o cálculo do percentil e para a metodologia
paramétrica faz-se uso da distribuição Normal. Para as metodologias que utilizam a
simulação de Monte Carlo (incluindo o Modelo de Mistura de Distribuições) realizamse 10 corridas de 1.000 simulações cada.Vale lembrar que quando utilizada a técnica de
Amostragem Descritiva, os valores de entrada do modelo de simulação são sempre os
mesmos. Assim, quando calcula-se o VaR apenas para um ativo, tem-se um problema
unidimensional e todas as corridas possuem o mesmo resultado. Porém, para um
portfólio, as corridas possuem diferentes resultados dado a permutação dos mesmos
valores de entrada entre os ativos que o compõe.
Em todos os casos, a volatilidade será estimada pelo desvio-padrão dos retornos
diários numa janela móvel de 50 dias de negociação. A geração dos valores aleatórios
nas simulações leva em consideração a correlação entre as três ações fazendo uso da
fatoração de Cholesky e do algoritmo de Iman e Conover para o caso da Amostragem
Descritiva, conforme seção 2.4.
3.5 Tratamento dos Dados
As sub-rotinas para simulação das trajetórias dos ativos, geração dos valores
pseudo-aleatórios e o cálculo do VaR serão desenvolvidas em linguagem de
programação no software Matlab versão 6.5. Os algoritmos desenvolvidos nesta
ferramenta possuem processamento bastante rápido, são de fácil manipulação e
compreendem todas as funções estatísticas e matemáticas necessárias já pré-definidas.
3.6 Limitações dos Métodos
Este trabalho apresenta algumas limitações relativas às metodologias e
ferramentas computacionais utilizadas. A seção está dividida nestas duas partes.
3.6.1 Limitações Metodológicas
A metodologia exploratória apresenta a limitação da ausência de generalização
dos resultados obtidos. Normalmente, os experimentos são casos específicos ou que
despertam o interesse do pesquisador. As conclusões obtidas neste trabalho só podem
ser aplicadas, com segurança, nos dados aqui analisados.
3.6.2 Limitações de Hardware e Software
A simulação é uma técnica que necessita de intenso uso do ferramental
computacional, tanto hardware (importante no processamento) como software
(importante na programação das sub-rotinas).
No início do uso das técnicas de simulação de Monte Carlo, década de 40, a
pequena disponibilidade de recursos computacionais era a principal limitação do
método. Porém, cada vez mais este fator deixa de ser um limitante para a utilização da
simulação.
A precisão de um processo de simulação é dependente da quantidade de
simulações executadas, ou seja, do número de repetições do experimento ou cálculo.
Assim, o hardware utilizado pode representar uma limitação, uma vez que quanto mais
repetições maior será o consumo deste recurso.
Quanto às limitações do software, pode-se citar a falta de conhecimento e acesso
de muitos estudantes e pesquisadores ao software Matlab, que impossibilita uma maior
penetração do trabalho (se comparado com o Exc el, por exemplo). No entanto, o Matlab
não possui muitas das limitações dos demais programas, como limitações "físicas" de
dados, buggs de funções e outras.
4. Resultados
4.1 Análise Exploratória dos Dados
Antes de iniciar os cálculos do VaR, é importante fazer uma análise descritiva
das séries de dados utilizadas no experimento. Vale lembrar que o período de cálculo do
VaR é de janeiro de 2002 até o dia 31 de março de 2004. A Figura 4 apresenta a
evolução do preço da ação PETR4. Houve um aumento de 82,4% entre o primeiro e o
último dia da amostra.
Figura 4 - Evolução dos preços de fechamento da ação PETR4 no período de 02 de
janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
90,00
80,00
70,00
R$
60,00
50,00
40,00
30,00
Mar-30-04
Mar-09-04
Feb-13-04
Jan-23-04
Jan-02-04
Dec-08-03
Oct-27-03
Nov-17-03
Oct-06-03
Sep-15-03
Aug-25-03
Jul-14-03
Aug-04-03
Jun-20-03
May-29-03
Apr-14-03
May-08-03
Mar-24-03
Feb-27-03
Feb-06-03
Jan-14-03
Dec-18-02
Nov-27-02
Oct-15-02
Nov-05-02
Sep-24-02
Sep-03-02
Jul-23-02
Aug-13-02
Jul-01-02
Jun-10-02
Apr-25-02
May-17-02
Apr-04-02
Mar-11-02
Feb-18-02
Jan-23-02
Jan-02-02
20,00
Jan/02 a Mar/04
Os valores de assimetria e curtose, mostrados na Tabela 1, indicam que a
amostra possui uma ponta assimétrica que se estende em direção dos valores mais
negativos e excesso de curtose comparado à distribuição Normal. Estas características
são facilmente visualizadas no histograma, Figura 5, e no QQ Plot, Figura 6.
Tabela 1 - Estatísticas descritivas da série de retornos da ação PETR4 no período
de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
PETR4
Observações
Média
557
0,11%
Desvio
Padrão
2,16%
Mínimo
Máximo
Assimetria
-9,82%
8,43%
-0,191
Excesso de
Curtose
1,686
Figura 5 - Histograma da série de retornos da ação PETR4 no período de 02 de
janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
100
80
60
40
20
0
5
,07
3
,06
0
,05
8
,03
5
,02
3
,01
0
,00
12
-,0
25
-,0
37
-,0
50
-,0
62
-,0
75
-,0
87
-,0
00
-,1
PETR4
Figura 6 - QQ Plot dos retornos da ação PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 a
Normal31Q-Q
de março
Plotdeof2004
PETR4
,08
,06
,04
Expected Normal Value
,02
0,00
-,02
-,04
-,06
-,08
-,2
-,1
Observed Value
0,0
,1
As características observadas nos dados de retorno da ação PETR4 são
compatíveis com as características já mencionadas para o problema das "caudas
gordas". Observa-se, na Figura 5, que a curva da distribuição Normal subestima a
proporção de valores nas caudas, principalmente no lado esquerdo. Pela Figura 6,
observa-se que os pontos das extremidades são os mais distantes da reta que caracteriza
a distribuição Normal. Apesar destes desvios, a amostra pode ser considerada
Normalmente distribuída pelo teste de Kolmogorov-Smirnov com 95% de confiança
(p-valor de 34,2%).
Quanto à ação EBTP4, observa -se na Figura 7 dois períodos bastante distintos:
primeiramente uma forte queda no preço e depois a recuperação. A diferença entre o
primeiro e último dia da amostra é de -10,6%.
Figura 7 - Evolução dos preços de fechamento da ação EBTP4 no período de 02 de
janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
12,00
10,00
R$
8,00
6,00
4,00
2,00
Mar-30-04
Mar-09-04
Feb-13-04
Jan-23-04
Jan-02-04
Dec-08-03
Oct-27-03
Nov-17-03
Oct-06-03
Sep-15-03
Aug-25-03
Jul-14-03
Aug-04-03
Jun-20-03
May-29-03
Apr-14-03
May-08-03
Mar-24-03
Feb-27-03
Feb-06-03
Jan-14-03
Dec-18-02
Nov-27-02
Oct-15-02
Nov-05-02
Sep-24-02
Sep-03-02
Jul-23-02
Aug-13-02
Jul-01-02
Jun-10-02
Apr-25-02
May-17-02
Apr-04-02
Mar-11-02
Feb-18-02
Jan-23-02
Jan-02-02
0,00
Jan/02 a Mar/04
Observa-se na Tabela 2, que os retornos desta ação possuem uma amplitude
muito maior que os retornos da ação PETR4, estando dentro do intervalo de -29,3% e
20,9%. A assimetria e excesso de curtose também são mais acentuados.
Tabela 2 - Estatísticas descritivas da série de retornos da ação EBTP4 no período
de 02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
Ebtp4
Observações
Média
557
-0,02%
Desvio
Padrão
4,93%
Mínimo
Máximo
Assimetria
-29,26%
20,85%
-0,665
Excesso de
Curtose
4,751
Figura 8 - H istograma da série de retornos da ação EBTP4 no período de 02 de
janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
140
120
100
80
60
40
20
0
-,300
-,200
-,250
-,100
-,150
,000
-,050
,100
,050
,200
,150
EBTP4
Figura 9 - QQ Plot dos retornos da ação EBTP4 no período de 02 de janeiro de
Normal2002
Q-Q
a 31
Plot
de março
of EBTP4
de 2004
,2
Expected Normal Value
,1
0,0
-,1
-,2
-,3
-,2
Observed Value
-,1
-,0
,1
,2
,3
Através do Histograma, Figura 8, e do QQ Plot, Figura 9, percebe-se que
existem alguns retornos, principalmente negativos, bastante diferentes dos valores
esperados pela distribuição Normal. Diferentemente do teste realizado com a ação da
Petrobrás, não se pode considerar esta série Normalmente distribuída pelo teste de
Kolmogorov-Smirnov com 95% de confiança (p-valor de 01,4%).
A ação TNLP 4 apresentou um crescimento entre o primeiro e último dia da
amostra de 48,3%, conforme Figura 10. Este aumento não foi maior devido a uma
queda nos preços a partir do final de janeiro de 2004, quando a série atinge seu máximo
de R$ 50,19.
Figura 10 - Evolução dos preços de fechamento da ação TNLP4 no período de 02 de
janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
55,00
50,00
45,00
40,00
35,00
30,00
25,00
20,00
15,00
Mar-17-04
Feb-26-04
Jan-15-04
Feb-04-04
Dec-22-03
Dec-02-03
Oct-23-03
Nov-12-03
Oct-03-03
Sep-15-03
Aug-26-03
Jul-17-03
Aug-06-03
Jun-26-03
Jun-05-03
Apr-25-03
May-16-03
Apr-03-03
Mar-14-03
Jan-30-03
Feb-20-03
Jan-09-03
Dec-16-02
Nov-26-02
Oct-16-02
Nov-05-02
Sep-26-02
Sep-06-02
Jul-30-02
Aug-19-02
Jul-10-02
Jun-19-02
May-29-02
Apr-18-02
May-09-02
Mar-28-02
Mar-06-02
Jan-22-02
Feb-14-02
Jan-02-02
10,00
A Tabela 3 indica que esta é a série que possui valores de assimetria e excesso
de curtose mais próximos de zero, ou seja, dos valores teóricos da distribuição Normal.
Tabela 3 - Estatísticas descritivas da série de retornos da ação TNLP4 no período de
02 de janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
TNLP4
Observações
Média
557
0,02%
Desvio
Padrão
2,45%
Mínimo
Máximo
Assimetria
-8,28%
8,90%
-0,070
Excesso de
Curtose
0,630
Figura 11 - H istograma da série de retornos da ação TNLP4 no período de 02 de
janeiro de 2002 a 31 de março de 2004
70
60
50
40
30
20
10
0
1
,08
9
,06
6
,05
4
,04
1
,03
9
,01
6
,00
06
-,0
19
-,0
31
-,0
44
-,0
56
-,0
69
-,0
81
-,0
Figura 12 - QQ PlotTNLP4
dos retornos da ação TNLP4 no período de 02 de janeiro de
Normal
Q-Q
of TNLP4
2002
a 31Plot
de março
de 2004
,08
,06
,04
Expected Normal Value
,02
0,00
-,02
-,04
-,06
-,08
-,1
Observed Value
0,0
,1
Observa-se que das três séries, a ação TNLP4 é a mais próxima da distribuição
Normal, apresentando os pontos do Histograma (Figura 11) e QQ Plot (Figura 12) mais
próximos dos valores teóricos esperados. No teste de Kolmogorov-Smirnov, seu p-valor
é o mais alto (59,8%), confirmando a análise gráfica.
Comparando-se as três séries de preços, tem-se que suas trajetórias seguem os
mesmos movimentos: uma queda (mais acentuada na EBTP4) seguida de crescimento
com maior volatilidade. As séries de retornos apresentaram médias próximas de zero,
sendo a maior delas da ação PETR4 com o valor de 0,11%. Quanto ao desvio-padrão,
pode-se afirmar que a ação EBTP4 apresentou o maior valor (4,93%), assim como na
amplitude. É importante perceber que as três séries de retornos apresentaram assimetria
negativa e excesso de curtose positivo, indicando, principalmente, a presença de valores
negativos extremos. Sua principal conseqüência seria a subestimação do risco incorrido
se calculado sob a suposição de Normalidade.
4.2 VaR Individual
Nesta seção, apresenta-se o resultado do cálculo do VaR para os 557 dias de
negócio já mencionados para os três ativos selecionados utilizando as diversas
metodologias apresentadas: histórica, paramétrica (supondo distribuição Normal),
modelo de Mistura de Distribuições e simulação de Monte Carlo com a utilização das
técnicas de redução de variância. Estes resultados serão analisados em conjunto com as
estatísticas descritivas apresentadas na seção anterior.
As próximas tabelas mostram a proporção de falhas para os níveis de confiança
de 95%, 97,5%, 99% e 99,5% e o desvio -padrão das simulações utilizando a
Amostragem Aleatória Simples e o modelo de Mistura de Distribuições (para o caso
unidimensional, o desvio-padrão das simulações utilizando a técnica de Amostragem
Descritiva é zero). Para os três ativos, foram calculados os valores do VaR para as
posições de compra e venda (lados esquerdo e direito da distribuição). Os valores
realçados representam os mais próximos do percentual de falhas esperado em cada nível
de confiança (os melhores). Quando ocorrer empate, será destacada a metodologia que
apresentar menor CVaR. Os valores marcados com o asterisco estão fora do intervalo
proposto por Kupiec (os piores). A última linha de cada tabela, denominada "Índice",
mostra os valores do índice de desempenho geral conforme definido na seção 2.5.
Tabela 4 - Intervalo de confiança para a porcentagem de falhas no cálculo do VaR
proposto por K upiec para uma amostra de 557 observações
Nível de
Limite
Confiança Inferior Superior
95% 3,30%
6,91%
97,5% 1,32%
3,90%
99% 0,30%
1,93%
99,5% 0,05%
1,19%
Tabela 5 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra de
ações PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança e metodologias discutidas
5,206
3,411
1,975 *
1,975 *
4,488
2,693
1,616
1,616 *
4,668
2,693
1,616
1,616 *
4,488
2,693
1,616
1,616 *
4,488
2,693
0,898
0,718
Mistura de
Distribuições
(AAS)
4,488
2,513
1,077
0,359
4,331
3,027
2,991
3,027
0,718
0,467
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação
(Normal)
(AAS)
Simulação
(AD)
Simulação
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
4,488
2,513
0,718
0,180
1,031
Tabela 6 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda de
ações PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança e metodologias discutidas
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
5,566
3,232
1,975 *
1,975 *
4,331
Mistura de
Paramétrica Simulação Simulação Simulação
Distribuições
(Normal)
(AAS)
(AD)
(AD+AI)
(AAS)
6,643
6,463
6,463
6,104
5,386
3,770
3,411
3,232
2,154
1,616
1,257
1,257
1,257
0,898
0,718
0,898
0,898
0,898
0,180
0,359
1,889
1,709
1,637
1,102
0,995
Mistura de
Distribuições
(AD)
5,386
1,616
0,898
0,359
0,815
Tabela 7 - Desvio-padrão (x 103) das simulações para o cálculo do VaR diário das ações
PETR4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os diversos
níveis de confiança
Posição de Compra
Nível de Simulação
Confiança
(AAS)
95%
97,5%
99%
99,5%
1,355
1,725
2,392
3,050
Posição de Venda
Mistura de
Mistura de
Distribuições Distribuições
(AAS)
(AD)
1,505
0,530
2,692
1,771
16,151
15,893
34,919
34,068
Nível de Simulação
Confiança
(AAS)
95%
97,5%
99%
99,5%
1,362
1,705
2,360
3,053
Mistura de
Mistura de
Distribuições Distribuições
(AAS)
(AD)
1,595
0,695
3,454
2,711
9,595
9,212
11,597
10,534
Pode-se observar na Tabela 5 que o Modelo de Mistura de Distribuições usando
a Amostragem Aleatória Simples apresentou, para os três maiores níveis de confiança, a
proporção de falhas mais próxima do valor esperado e o menor CVaR quando
comparado à mesma metodologia com a Amostragem Descritiva. Para o nível de
confiança de 95%, a metodologia histórica obteve o melhor valor. Observa-se, também,
que esta mesma metodologia apresentou valores fora do intervalo proposto por Kupiec
para os dois níveis de confiança mais altos. No nível de 99,5% de confiança, todas as
metodologias, exceto as três propostas, ficaram fora do intervalo de Kupiec. Estas
mesmas três metodologias, também, apresentaram o índice de desempenho geral bem
abaixo das demais. Já na Tabela 6, os melhores resultados foram divididos entre o
Modelo de Mistura de Distribuições com os dois processos de amostragem e a
simulação de Monte Carlo com a combinação das técnicas de Amostragem Descritiva e
Amostragem por Importância. Novamente, a metodologia histórica obteve suas
proporções de falhas fora do intervalo de Kupiec para os dois níve is mais altos de
confiança.
Observando a Tabela 7, percebe-se que o desvio-padrão do Modelo de Mistura
de Distribuições é mais elevado que a medida da simulação de Monte Carlo básica,
chegando a ser mais de 10 vezes maior. Entre os dois modelos de Mistura de
Distribuições, observa-se que o uso da Amostragem Descritiva reduz o desvio-padrão
de forma significativa apenas nos níveis de confiança de 95% e 97,5%. Observa-se,
também, que o desvio-padrão aumenta conforme aumenta o nível de confiança. Fazendo
uma comparação entre as posições de compra e venda, observa -se que para a
metodologia clássica de simulação não existem diferenças significativas. Porém, para o
outro modelo, existem grandes diferenças nos dois níveis mais elevados de confiança
(posição de compra apresenta valores muito superiores a posição de compra)..
Tabela 8 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra de
ações EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança e metodologias discutidas
5,745
3,052
1,795
1,795 *
5,925
3,770
1,975 *
1,795 *
5,925
3,770
1,975 *
1,616 *
5,925
3,770
1,975 *
1,795 *
3,914
2,873
1,436
0,898
Mistura de
Distribuições
(AAS)
4,668
2,693
1,616
0,718
3,755
4,258
3,900
4,258
1,598
1,196
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação Simulação Simulação
(Normal)
(AAS)
(AD)
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
4,488
2,693
1,616
0,718
1,232
Tabela 9 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda de
ações EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança e metodologias discutidas
5,925
3,052
1,616
1,616 *
3,411
2,513
1,077
0,718
3,411
2,513
1,077
0,718
3,411
2,513
1,077
0,718
5,745
2,873
1,077
0,359
Mistura de
Distribuições
(AAS)
3,411
1,975
0,898
0,359
3,254
0,837
0,837
0,837
0,657
0,912
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação Simulação Simulação
(Normal)
(AAS)
(AD)
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
3,411
1,975
0,898
0,359
0,912
Tabela 10 - Desvio -padrão (x 103) das simulações para o cálculo do VaR diário das
ações EBTP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança
Posição de Compra
Posição de Venda
Mistura de
Mistura de
Nível de Simulação
Distribuições Distribuições
Confiança
(AAS)
(AAS)
(AD)
95%
2,974
3,387
1,354
97,5%
3,788
6,070
4,435
99%
5,262
9,381
8,059
99,5%
6,695
14,697
13,697
Mistura de
Mistura de
Nível de Simulação
Distribuições Distribuições
Confiança
(AAS)
(AAS)
(AD)
95%
3,063
3,224
1,105
97,5%
3,854
4,812
2,323
99%
5,316
7,062
4,006
99,5%
6,851
19,000
18,388
Na Tabela 8, observa -se novamente a superioridade do Modelo de Mistura de
Distribuições usando a Amostragem Aleatória Simples com o melhor resultado em três
das quatro situações. Apenas para o nível de 99%, este modelo foi superado pela
simulação de Monte Carlo com a combinação das duas técnicas de amostragem. Nos
dois níveis de confiança mais elevados, várias das metodologias apresentaram suas
proporções de falhas fora do intervalo de Kupiec. As três metodologias propostas
apresentaram valores para o índice de desempenho bem melhores que as metodologias
tradicionais. Para a posição de venda (Tabela 9) os resultados foram bastante
homogêneos entre as metodologias, fazendo com que as proporções de falhas mais
próximas do esperado ficassem espalhadas pela tabela (empate em 97,5% de confiança
entre 3 metodologias e empate entre 4 metodologias para 99% de confiança). Mesmo
com os empates, a metodologia de simulação com as técnicas AD+AI apresentou três
dos quatro melhores resultados (levando em consideração o critério de desempate:
CVaR) e o menor índice de desempenho. Apenas a metodologia histórica apresentou
um valor fora do intervalo de confiança.
O comportamento do desvio -padrão (Tabela 10) foi próximo ao observado na
Tabela 7 com os dados da ação PETR4, crescimento do menor para o maior nível de
confiança e redução pouco significativa nos níveis de confiança mais elevados pelo uso
do Amostragem Descritiva. Porém, em 99,5% de confiança, a posição de venda
apresenta valores de desvio-padrão mais elevados que a posição de compra.
Tabela 11 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra de
ações TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança e metodologias discutidas
6,284
3,770
2,513 *
2,513 *
4,668
3,950 *
2,334 *
0,898
4,668
3,950 *
2,334 *
0,898
4,847
3,950 *
2,513 *
0,898
4,488
3,232
0,718
0,359
Mistura de
Distribuições
(AAS)
5,565
2,873
1,257
0,359
6,304
2,776
2,776
2,919
0,959
0,801
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação Simulação Simulação
(Normal)
(AAS)
(AD)
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
5,386
2,873
1,975 *
0,359
1,483
Tabela 12 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda de
ações TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança e metodologias discutidas
5,745
2,873
1,257
1,257 *
6,104
3,591
1,077
0,718
5,925
3,591
1,077
0,718
5,925
3,411
1,077
0,718
6,104
2,513
0,898
0,359
Mistura de
Distribuições
(AAS)
5,206
2,693
0,539
0,180
2,069
1,171
1,135
1,063
0,610
1,221
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação Simulação
(Normal)
(AAS)
(AD)
Simulação
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
5,206
2,334
0,539
0,180
1,210
Tabela 13 - Desvio -padrão (x 103) das simulações para o cálculo do VaR diário das
ações TNLP4 no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança
Posição de Venda
Posição de Compra
Nível de Simulação
Confiança
(AAS)
95%
97,5%
99%
99,5%
1,595
2,035
2,818
3,604
Mistura de
Mistura de
Distribuições Distribuições
(AAS)
(AD)
1,701
0,470
5,775
4,803
7,736
6,641
5,706
5,491
Mistura de
Mistura de
Nível de Simulação
Distribuições Distribuições
Confiança
(AAS)
(AAS)
(AD)
95%
1,642
1,719
0,571
97,5%
2,057
2,572
1,307
99%
2,840
4,384
3,388
99,5%
3,666
5,808
5,211
Através das Tabelas 11 e 12, confirma-se o que já havia sido constatado nos
resultados dos outros dois ativos. Na posição de compra, existe uma clara superioridade
do Modelo de Mistura de Distribuições utilizando a Amostragem Aleatória Simples. Na
posição contrária, existe a superioridade do modelo de simulação com as técnicas de
Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância. Na Tabela 11, o modelo de
Mistura de Distribuições com Amostragem Descritiva apresentou um valor fora do
intervalo de Kupiec, mas índice de desempenho geral baixo. Novamente, vários valores
ficaram fora do intervalo de Kupiec no cálculo do VaR para a posição de compra para
as metodologias mais tradicionais e a metodologia histórica não obteve nenhum dos
melhores resultados. O desvio-padrão foi menor do que nos outros dois casos.
Trançando um paralelo entre as estatísticas descritivas e gráficos de histograma e
QQ-Plot com os resultados encontrados nas tabelas acima para o teste de proporção de
falhas, pode-se afirmar que para os dados que se encontraram mais afastados da
distribuição Normal, a melhor metodologia de cálculo foi o Modelo de Mistura de
Distribuições com a Amostragem Aleatória Simple s. Da seção 4.1, pode-se constatar
que os dados do lado esquerdo da distribuição das três séries de retornos, ou seja, lado
dos retornos negativos, são mais dispersos e menos se aderem à distribuição Normal do
que os retornos positivos. É fácil perceber isso pelos QQ-Plots (Figuras 6, 9 e 12), os
dados na parte inferior possuem maior distância da reta Normal teórica. As
conseqüências da não Normalidade são estimativas ruins do VaR pelas metodologias
paramétrica e por simulação de Monte Carlo (uma vez que utilizam o pressuposto de
Normalidade na simulação da trajetória do ativo), comprovadas nas diversas proporções
de falhas fora do intervalo de Kupiec.
Para o lado dos retornos positivos, que melhor se aderem à distribuição Normal,
a simulação de Monte Carlo com as técnicas AD+AI mostrou-se o melhor modelo para
o cálculo do VaR. Apesar de, também, pressupor Normalidade na trajetória dos ativos, a
simulação utilizando a Amostragem por Importância se comportou de forma diferente
das demais metodologias de simulação, com melhores resultados (nenhuma de suas
proporções de falha ficou fora do intervalo de Kupiec tanto na posição de compra como
de venda). Isso nos faz pensar que esta técnica de amostragem pode minimizar o
problema da não Normalidade dos dados quando concentra os valores selecionados na
parte de interesse da distribuição.
O uso da Amostragem Descritiva no modelo de Misturas de Distribuição, fez,
em geral, com que as proporções de falhas se afastassem dos valores esperados,
apresentando até um valor fora do intervalo de Kupiec (posição de compra de TNLP4
com 99% de confiança). A redução esperada no desvio -padrão foi pouco significativa,
não justificando o uso desta técnica nestas situações.
4.3 VaR para carteiras
Nesta seção, utilizando os três ativos anteriormente analisados (PETR4, EBTP4
e TNLP4), apresenta-se o resultado do teste de proporção de falhas do VaR da carteira
formada igualmente por eles para o período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de
2004. As metodologias utilizadas e os níveis de confiança são os mesmos da seção
anterior no cálculo do VaR individual de cada ativo.
Na análise do VaR de carteiras, pode-se observar, ainda, a existência do erro de
sub-aditividade. Quanto ao desvio-padrão, são apresentados os valores para as
metodologias de simulação básica e com Amostragem Descritiva, visto que o problema
não é mais unidimensional. A coluna de redução percentual representa a porcentagem
do desvio-padrão da AD em relação ao desvio-padrão da AAS. Os valores do desviopadrão do modelo de Mistura de Distribuições não são apresentados, pois o VaR passa a
ser determinado pela multiplicação dos valores já encontrados individualmente,
conforme a fórmula (2.8).
Vale lembrar, que nas tabelas abaixo os valores realçados representam os mais
próximos do percentual de falhas esperado em cada nível de confiança (os melhores).
Em caso de empate, utiliza-se o critério do menor CVaR. Os valores marcados com o
asterisco estão fora do intervalo proposto por Kupiec (os piores).
Tabela 14 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de compra da
carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os diversos
níveis de confiança e metodologias discutidas
7,002 *
3,591
1,795
1,795 *
6,104
4,488 *
2,154 *
1,436 *
6,822
4,847 *
3,052 *
1,975 *
6,643
4,488 *
2,873 *
2,154 *
5,386
3,411
0,718
0,359
Mistura de
Distribuições
(AAS)
5,925
2,693
0,539
0,180
4,222
4,042
6,305
6,305
1,005
1,364
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação Simulação
(Normal)
(AAS)
(AD)
Simulação
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
5,745
3,052
0,539
0,180
1,472
Tabela 15 - Desvio-padrão das simulações para o cálculo do VaR diário da posição de
compra da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para
os diversos níveis de confiança
Nível de Simulação
Confiança
(AAS)
95%
97,5%
99%
99,5%
0,463
0,577
0,789
1,002
Simulação
(AD)
Redução
0,298
0,389
0,556
0,749
-35,6%
-32,6%
-29,6%
-25,3%
Tabela 16 - Percentual de erros de sub-aditividade no cálculo do VaR diário da posição
de compra da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004
para os diversos níveis de confiança
Nível de
Confiança
95%
97,5%
99%
99,5%
Histórica
15,440
2,334
0,000
0,000
Observa-se, na Tabela 14, que os melhores resultados se encontram na
metodologia de simulação com AD+AI (para 95%, 99% e 99,5% de confiança) e no
Modelo de Mistura de Distribuições (para 97,5% de confiança). Nas demais
metodologias, vários valores se encontram fora do intervalo de Kupiec. Este resultado já
era esperado, devido aos resultados individuais apresentados na seção 4.2.
Quanto ao desvio -padrão (Tabela 15), percebe-se o efeito da redução de
variância da Amostragem Descritiva em relação à Amostragem Aleatória Simples. O
desvio -padrão do primeiro é inferior ao desvio -padrão do segundo nos quatro casos,
sendo maior a redução quanto menor é o nível de confiança (de 37,2% no nível de 95%
de confiança para 25,8% com confiança de 99,5%).
Apenas a metodologia histórica apresentou erros de sub-aditividade (Tabela 16),
chegando a aproximadamente 15,4% das 557 observações no nível de 95% de
confiança. A não existência deste tipo de problema nas demais metodologias ocorre
devido à incorporação dos efeitos da correlação nos cálculos: fatoração de Cholesky na
simulação com AAS, algoritmo de Iman e Conover na simulação com AD e com
AD+AI e aplicação da fórm ula (2.4) no Modelo de Mistura de Distribuições e VaR
paramétrico.
Tabela 17 - Proporção de falhas para o cálculo do VaR diário da posição de venda da
carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os diversos
níveis de confiança e metodologias discutidas
4,668
2,693
1,257
1,257
5,027
1,975
0,539
0,180
4,488
1,436
0,180 *
0,180
4,668
1,436
0,180 *
0,180
5,745
1,795
0,359
0,180
Mistura de
Distribuições
(AAS)
3,950
1,436
0,180 *
0,000 *
1,914
1,318
1,989
1,953
1,713
2,456
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
Índice
Paramétrica Simulação Simulação
(Normal)
(AAS)
(AD)
Simulação
(AD+AI)
Mistura de
Distribuições
(AD)
3,950
1,436
0,180 *
0,000 *
2,456
Tabela 18 - Desvio-padrão das simulações para o cálculo do VaR diário da posição de
venda da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para os
diversos níveis de confiança
Nível de Simulação
Confiança
(AAS)
95%
97,5%
99%
99,5%
Simulação
(AD)
Redução
0,325
0,441
0,647
0,872
-35,8%
-33,2%
-29,7%
-27,7%
0,507
0,660
0,920
1,207
Tabela 19 - Percentual de erros de sub-aditividade no cálculo do VaR diário da posição
de venda da carteira no período de 02 de janeiro de 2002 até 31 de março de 2004 para
os diversos níveis de confiança
Nível de
Confiança
Histórica
95%
97,5%
99%
99,5%
1,436
0,000
0,000
0,000
Na posição de venda, observa-se na Tabela 17 o resultado inverso ao observado
na Tabela 14 para a posição de compra. As metodologias propostas não possuem os
melhores resultados em nenhum dos quatro níveis de confiança e possuem valores fora
dos limites propostos por Kupiec. Nesta situação, as melhores metodologias são a
histórica,
paramétrica
e
simulação
com
Amostragem
Descritiva
analisando
separadamente cada nível de confiança. Levando em consideração o índice de
desempenho, a melhor metodologia é a paramétrica seguida pela simulação com
combinação da Amostragem Descritiva com Amostragem por Importância.
Na Tabela 18, o efeito de redução da variância da AD sobre a AAS continua
presente do menor para o maior nível de confiança. O percentual de redução é bastante
semelhante ao apresentado na Tabela 15 para a posição de compra. Entretanto, o
percentual de erros de sub-aditividade na metodologia histórica (Tabela 19) é muito
inferior, apresentando este tipo de erros apenas no nível de 95% de confiança.
Observando a proporção de falhas do VaR desta carteira, tem-se que o problema
da subestimação do risco é ainda mais grave que no VaR individual. Espera-se que
quanto mais ativos na carteira, maior será a subestimação, uma vez que o erro das
estimativas é acumulado. As metodologias clássicas se mostraram bastante ineficientes
e perigosas no gerenciamento dos riscos. As metodologias propostas apesar de não
apresentarem os melhores valores em todas as situações, ficaram poucas vezes fora do
intervalo de Kupiec. A metodologia de Mistura de Distribuições (com as duas formas de
amostragem) apenas infringiu o limite inferior, se mostrando conservadora. A simulação
com as técnicas de Amostragem por Importância e Amostragem Descritiva não ficou
fora do intervalo nenhuma vez.
5. Conclusões
Através dos resultados apresentados, pode -se concluir, primeiramente, que os
modelos propostos nesse trabalho, a simulação de Monte Carlo com a combinação das
técnicas de Amostragem Descritiva e Amostragem por Importância e o Modelo de
Mistura de Distribuições (com a Amostragem Aleatória Simples e Amostragem
Descritiva), são capazes de realizar os cálculos para o VaR de ativos individuais ou
portfólios. A estimação e implementação dos modelos foi bastante simples, não
representando limitação aos métodos.
Percebeu-se que os modelos apresenta ram os melhores resultados no teste de
proporção de falhas. No cálculo do VaR individual, o Modelo de Mistura de
Distribuições obteve os melhores resultados quando os ativos não possuíam as
características de Normalidade. Como a motivação deste trabalho foi a constatação em
diversos estudos que grande parte dos fatores de risco financeiro não seguem a
distribuição Normal ou outra distribuição bem definida e conhecida, estes resultados são
de grande valia. Nos casos em que os dados se aproximavam da distribuição Normal, a
simulação com as técnicas de AD+AI obteve os melhores resultados.
Com os testes individuais, também, fica bastante claro que as metodologias
clássicas de cálculo do VaR subestimam o risco incorrido em níveis de confiança mais
elevados. O pior desempenho ocorreu na metodologia histórica.
Quando se formam carteiras, observou-se que o desempenho das diversas
metodologias está relacionado com o resultado individual dos ativos. Quando os fatores
de risco estão mais distantes da distribuição Normal, como é o caso da posição de
compra, o risco é subestimado pelas metodologias clássicas e apenas as metodologias
propostas apresentaram bons resultados. Mesmo nos casos em que a Normalidade é
mais admissível, as metodologias propostas só ficaram for a do intervalo de Kupiec nos
níveis de 99% e 99,5% de confiança. Mesmo assim, ficaram abaixo do limite inferior,
apresentando uma posição mais conservadora e não de subestimação do risco.
Do ponto de vista da evolução dos métodos de amostragem na simula ção de
Monte Carlo, tem-se resultados bastante expressivos. Da simulação básica para a
simulação com a técnica de Amostragem Descritiva, observou-se a redução da
variabilidade dos resultados e do tempo de processamento, apesar de não apresentar
melhorias nos resultados dos testes de proporção de falhas. Com a incorporação da
Amostragem por Importância à Amostragem Descritiva, além do ganho de precisão e
tempo em relação à Amostragem Aleatória Simples, observou-se melhoria dos
resultados dos testes, mostrando que a concentração dos valores selecionados na área de
interesse não representa apenas um avanço teórico. Já para o Modelo de Mistura de
Distribuições, o uso da Amostragem Descritiva o afastou do resultado esperado com
baixo ganho no desvio-padrão. Sendo, então, uma alternativa ruim.
Quando a simulação é utilizada, o tempo de processamento é um importante
ponto a ser discutido. No Modelo de Mistura de Distribuições, o tempo de
processamento foi pouco superior ao tempo da metodologia clássica envolvendo a
simulação de Monte Carlo. A técnica de Amostragem Descritiva, com o uso da amostra
determinística, permite o cálculo do VaR com apenas uma corrida para ativos
individuais (problema unidimensional). No caso das carteiras, o tempo foi compatível
com a Amostragem Aleatória Simples. A incorporação da Amostragem por
Importância, o VaR das carteiras foi calculado pela multiplicação dos valores
individuais e de suas correlações (fórmula 2.8), sendo então a multiplicação de
problemas unidimensionais e necessitando apenas do desenvolvimento de uma corrida
de simulação. Vale destacar que com o rápido avanço tecnológico, as limitações
provenientes dos recursos computacionais são cada vez menos relevantes.
Em resumo, os principais problemas no cálculo do VaR eram a subestimação do
risco pelas metodologias que necessitavam da suposição de Normalidade e a intensa
utilização de recursos computacionais nos modelos de simulação. O primeiro problema
foi contornado pelas metodologias propostas (vide resultados do teste de proporção de
falhas). O segundo problema foi minimizado pela incorporação das técnicas de redução
de variância na modelagem básica de simulação de Monte Carlo. A escolha da
metodologia de cálculo do VaR mais adequada dependerá das características dos ativos
que compõem o portfólio, sendo possível ou não a suposição de Normalidade.
Como sugestão para trabalhos posteriores, tem-se a pesquisa de algoritmos mais
refinados para a calibragem dos modelos propostos. Uma forma de otimização do
deslocamento 'C' na Amostragem por Importância (fórmula 2.14) e no número de
desvios-padrão que determinam os saltos no Modelo de Mistura de Distribuições
(influenciando nos parâmetros da fórmula 2.16) que incorporem mais rapidamente as
informações passadas podem trazer maior agilidade aos modelos e melhores resultados.
Neste trabalho, os modelos foram estimados anualmente, mas algoritmos de ajustes
diário são possíveis.
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