ÁLGEBRA I-Curso de Matemática-2003/2004
8
53. Determine em S7 permutações x e y tais que x =
=
1
2
2 3
5 3
4 5
4 7
6
6
7
1
e
1
1
=
2 3
2 4
= y, onde
4 5
7 6
6
3
7
5
54. Escreva cada uma das seguintes permutações como produto de ciclos disjuntos e
indique a sua paridade:
(a)
1
3
2 3
5 6
4 5
4 2
6
1
(b)
1
1
2 3
6 4
4 5
5 3
6
2
(c)
1
2
(d)
1
2
(e)
1
3
(f)
1
4 5
(g)
1
4
(h)
1
2 3
(i)
2
4 5
(j)
3
6
(l)
1
4
2 3
2 5
1
1
1
3
1
3
2
4
2 S6
1
1
1
2
2 3
1
1
1
2
2 4
7 8
9 1
1
1
2 S6
1
1
6
2 S6
2 S5
2 S5
2 5
1
5
1
5
1
3
3
1
4
6
2 S5
2 S4
2 1
6
3
1
1
3 5
2
3 5
5
4
5
1
3 1
4 5
8 6
4
1
3
3
8
1
1
1
1
2 S6
9
7
2 S5
7
5 4
2
3 5
1
9
2 3
5 8
4 5
6 7
6
2
1
7 8
1 3
6
9
4
1
2 S8
2 S9
55. Considere o grupo (S5 ; ) :
(a) Quantos elementos aplicam 2 em 4?
(b) Quantos elementos aplicam 5 em 5?
(c) Determine as permutações inversas de si próprias.
(d) Que elementos comutam com
1
4 ?
(e) Quantos ciclos têm comprimento 3?
56. Para n 2 Nn f1g :
(a) Quantas transposições existem?
(b) Quantos elementos de Sn aplicam n em n?
(c) Quantos elementos de Sn mantêm dois elementos …xos?
57. Considere em S8 as seguintes permutações:
=
8 3 1 2 4 5
7 5 4
(a) Decomponha as permutações
cada uma.
2 3 5
e
e
=
1 2 3 4 5 6 7 8
1 2 8 5 3 6 4 7
em ciclos disjuntos e indique a paridade de
(b) Resolva em S8 a equação em x; x =
1
:
(c) Determine o conjunto A = fx 2 f1; : : : ; 8g :
(x) =
(x)g :
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58. Considere
3 17 13 11 19
=
1
(a) Exprima
9
1
5 15 19 2
5 2 17 19
2 S19 :
como produto de ciclos disjuntos.
1
(b) Resolva a equação em x;
6 2 11 19
=
x 1:
59. Diga, justi…cando, se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes a…rmações:
(a) Cada permutação pode ser decomposta de forma única como produto de transposições.
(b) Se ;
2 Sn são tais que
(c) Se ; 2 Sn ; n
distintas.
(d) Sn
= id então
2;são tais que
e
têm a mesma paridade.
1 2
=
então
e
têm paridades
Sn+1 ; 8n 2 N:
(e) O conjunto das transposições de Sn forma um subgrupo de Sn :
60. Seja
=
10 3 7 9
(a) Exprima
(b) Sendo
1
7 10 8 2 9
2 10 3
2 S11
como produto de ciclos disjuntos e determine a sua paridade.
=
7 10
2 5 3
1
2 S11 ; determine
(f2; 5; 9g) :
(c) Se possível, dê exemplo de um elemento do conjunto
f 2 S11 :
=
e (i) 6= i; 8i 2 f1; : : : ; 11gg :
61. Determine, justi…cando, quais dos seguintes conjuntos são subgrupos de S3 :
(a) S2 .
(b)
1 3 2
1 2 3
.
1 2 3
.
(c)
id;
1 2
(d)
id;
1 3 2
;
1 2 3
.
62. Determine, justi…cando, quais dos seguintes conjuntos são subgrupos de S5 :
(a)
id;
2 3
1 5
(b)
id;
2 3
;
1 5
(c)
id;
1 3
;
2 5
;
1 3
(d)
id;
2 3
;
3 4
;
2 3 4
(e)
id;
1 2 5 4
;
:
:
2 5
2 4 3
;
1 4 5 2
:
:
:
63. Determine em extensão os elementos do grupo A4 , indicando o inverso de cada um.
64. Determine todos os subgrupos de S4 que tenham dois elementos.
65. Seja
S11
=
10 9
7 10 8 2 9
(a) Indique a paridade de
1
2 10 3
e
=
7 10
2 5 3
2
:
(b) Determine o menor subgrupo de S11 que contenha :
(c) Se possível dê exemplo de um elemento do conjunto
1
f 2 S11 :
= e (2) 6= 2g
(d) Sendo H o subgrupo determinado em (b), determine os elementos do conjunto
f (x) 2 f1; 2; : : : ; 11g : 2 H \ A11 g :