Raciocínio Lógico
Sumário
Aula 1 - Conceitos básicos de raciocínio lógico: proposições;
Aula 2 - Valores lógicos das proposições;
Aula 3 - Sentenças abertas;
Aula 4 - Número de linhas da tabela verdade;
Aula 5 - conectivos;
Aula 6 - Proposições simples e proposições compostas.
Aula 7 - Tautologia.
Aula 8 - Operação com conjuntos
Aula 9 - Cálculos com porcentagens.
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Proposição
É um termo usado em lógica para descrever o conteúdo de asserções.
Uma asserção é um conteúdo que pode ser tomado como verdadeiro ou falso.
Asserções são abstrações de sentenças não lingüísticas que a constituem. A
natureza das proposições é altamente controversa entre filósofos, muitos dos
quais são céticos sobre a existência de proposições. Muitos lógicos preferem
evitar o uso do termo proposição em favor de usar sentença.
Diferentes sentenças podem expressar a mesma proposição quando têm o
mesmo significado. Por exemplo, "A neve é branca" e "Snow is white" são
sentenças diferentes, mas ambas dizem a mesma coisa, a saber, que a neve é
branca. Logo, expressam a mesma proposição. Outro exemplo de sentença
que expressa a mesma proposição que as anteriores é "A precipitação de
pequenos cristais de água congelada é branca", pois "precipitação de
pequenos cristais de água congelada" é a definição de "neve".
Na lógica aristotélica uma proposição é um tipo particular de sentença, a saber,
aquela que afirma ou nega um predicado de um sujeito.
Proposições são usualmente consideradas como o conteúdo de crenças e
outros pensamentos representativos. Elas também podem ser o objeto de
outras atitudes, como desejo, preferência, intenção, como em "Desejo um carro
novo" e "Espero que chova", por exemplo.
Também não é raro contrastar com a noção de proposição como conteúdo
mental a noção de proposições russellianas. De facto, boa parte da discussão
em torno da natureza da proposição travada no século XX e
contemporaneamente, oscila e, por vezes, tenta conciliar ambas noções
Segundo Quine, toda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma
proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um dos dois
valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:
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1. Frases que não são proposições
o
Pare!
o
Quer uma xícara de café?
o
Eu não estou bem certo se esta cor me agrada
2. Frases que são proposições
o
A lua é o único satélite do planeta terra (V)
o
A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)
o
O numero 712 é ímpar (F)
o
Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
Composição de Proposições
É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este
processo é conhecido por Composição de Proposições. Suponha que
tenhamos duas proposições,
1. A = "Maria tem 23 anos"
2. B = "Maria é menor"
Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de
menor idade caso tenha menos que 18 anos, o que faz com que a
proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns
exemplos:
1. "Maria não tem 23 anos" (nãoA)
2. "Maria não é menor"(não(B))
3. "Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)
Aula 2 - Valores lógicos de uma proposição
Seguindo adiante no estudo da “linguagem proposicional” em matemática,
temos que ter em mente que só existem dois valores lógicos para
uma proposição: A verdade e a falsidade.
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Se a proposição for verdadeira seu valor lógico é a verdade e se a proposição
for falsa seu valor lógico será a falsidade.
Perceba que em lógica matemática não se diz que a proposição é
“mentirosa”. O correto e o mais elegante é dizer que a proposição é falsa. É
mais ou menos como nos debates políticos, onde nenhum dos debatedores
dizem que o outro está mentindo, mas sim dizem que seu oponente “falta com
a verdade” em seus argumentos. É claro que nos debates os políticos fazem
isso menos por elegância e mais por medo de serem punidos por chamar o
oponente de mentiroso...
Voltando ao que interessa, os símbolos utilizados para os valores lógicos da
proposição são:
V se a proposição for verdadeira.
F se a proposição for falsa.
Relembrando os dois princípios básicos que regem a lógica matemática:
I – Não pode existir uma proposição falsa e verdadeira ao mesmo tempo
(princípio da não contradição).
II – Toda proposição é verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro caso.
(princípio do terceiro excluído).
Entendemos então que uma proposição só pode ter um dos valores lógicos: V
ou F.
Vejamos algumas proposições como exemplo:
1.
A aceleração da gravidade na Terra é 9,80665 m/s²
2.
A França é um país europeu.
3.
O rio Nilo cruza o território Brasileiro
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4.
O Flamengo foi campeão mundial em 1981
Nos exemplos acima, verificamos que as proposições 1,2 e 4 são verdadeiras
(V) e apenas a proposição 3 é falsa (F).
Se você não gostou do exemplo dado, nós entendemos, afinal, esse valor para
a aceleração da gravidade é apenas aproximado...
Esse negócio de Falso e Verdadeiro pode parecer coisa boba, mas é muito
importante seguir num ritmo de passo-a-passo para que nada fique perdido no
caminho. A experiência nos mostra que uma das grandes desgraças no ensino
de matemática são as pequenas coisas que passam batidas pelo estudante e
que no final acabam impedindo que ele avance no aprendizado.
Proposição Simples e Composta
Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou
composta (também denominada molecular). As proposições simples
apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases
formadas por apenas uma oração.
As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.
Exemplos: (1) p: eu sou estudioso; (2) q: Maria é bonita: (3) r: 3 + 4 > 12.
Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições
simples.
Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma
proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q,
r,...).
Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as
proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.
Exemplos:
(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições
simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.
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(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p:
Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.
(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x =
2 e q: x2 + 1 = 5.
(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a
> b e q: b < a.
Tabela-Verdade
O conjunto de proposições e seus valores lógicos podem ser dispostos numa
tabela, que chamamos de Tabela-Verdade.
Exemplo:
Sejam p e q as proposições. Então temos a tabela:
pq
VV
VF
FV
FF
Observe que o número de linhas da tabela depende do número de
proposições, e pode-se obter fazendo 2n ( onde n é a quantidade de
proposições)
Conectivos
São
as
partículas
que
servem
para
agrupar
as
sentenças.
As sentenças simples não usam conectivos. As compostas são formadas por
duas ou mais proposições ligadas a essas partículas (e, ou, se...então, se e
somente se)
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Exemplo:
Se o quadrilátero tem lados paralelos 2 a 2, então, é um paralelogramo
O valor lógico de uma proposição é totalmente determinado pelos valores
lógicos das proposições simples que a constituem e pela operação dos
conectivos, que podem ser:
Conectivo de conjunção("e" - representado por ^)
Se:
p: Maria tem um gato
q: José tem um cachorro
A proposição composta p^q será:
Maria tem um gato e José tem um cachorro
Então, p^q somente é verdadeira se ambas as proposições são verdadeiras.
Se ambas, ou uma delas é falsa, a proposição será falsa.
Assim, pode-se expressar a tabela verdade de conjunção como:
p q p^q
V V
V
V F
F
F V
F
F F
F
Exemplo:
p: O Brasil está na Europa
q: A Argentina está na América do Sul
Como:
v(p) = F e v(q) = V
Então:
v(p^q) = F
Conectivo de disjunção ( "ou" - representado por v)
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Neste caso, devemos antes analisar o conectivo "ou". Ele pode ser "inclusivo"
(considera os dois casos) ou "exclusivo" (considera apenas um dos casos)
Exemplo:
p: Paulo é professor ou administrador
q: Maria é jovem ou idosa
No primeiro caso, o "ou" é inclusivo pois, pelo menos uma das proposições é
verdadeira, podendo ser ambas. Mas no caso da segunda, o "ou" é exclusivo,
pois
somente
uma
das
proposições
poderá
ser
verdadeira.
Assim, pode-se expressar a tabela-verdade da disjunção "inclusiva" como:
p q pvp
VV
V
VF
V
FV
V
FF
F
Exemplo:
p: Paris é a capital do Brasil
q: 9 - 6 = 3
Como
v(p) = F e v(q) = V
Então:
v(p v q) = V
Da mesma forma, pode-se expressar a tabela-verdade da disjunção "exclusiva"
como:
p q pvp
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VV
F
VF
V
FV
V
FF
F
Nota: Em nada se falando ao contrário, consideramos sempre o "ou"como
"inclusivo".
Conectivo Condicional( "se... então" - representado por -> )
Numa proposição condicional que se encontra entre o "se"e o "então" é
chamado de antecedente ( ou implicante) e o que segue ao "então" é chamado
de consequente ( ou implicado).
Uma proposição condicional afirma que o seu antecedente implica o seu
consequente. Não afirma ser o antecedente verdadeiro, mas se o for, o
consequente também será. Também não afirma que o consequente é
verdadeiro, mas somente que é verdadeiro se o antecedente o for.
Qualquer proposição p^ ~q é verdadeira, ou seja, quando o antecedente é
verdadeiro e o consequente é falso. Para a proposição ser verdadeira p^ ~q
deve ser falsa, ou ainda ~p^ ~q deve ser verdadeira. Assim, pode-se expressar
a tabela-verdade da condicional como:
p q ~q p^ ~q ~(p^~q) p -> q
VVF F
V
V
VFV V
F
F
FVF F
V
V
FFV F
V
V
Nota-se que p->q abrevia apenas ~(p^~q). Também não se deve esperar uma
"conexão real" entre o antecedente e o consequente. Tudo que se afirma é que
a implicação material só será falsa quando o antecedente for verdadeiro e o
consequente falso, conforme tabela resumo a seguir:
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p q p->q
VV
V
VF
F
FV
V
FF
V
Exemplo:
p: log 100 = 3
q: Cabral descobriu o Brasil
log 100 = 3 -> Cabral descobriu o Brasil
Como:
v(p) = F e v(q) = V Então: v(p->q) = V
Conectivo Bicondicional( "se, e somente se... então" - representado por <->)
Se juntarmos as sentenças p->q e q->p, veremos que (p->q) ^(q->p) equivale a
<-->q.
Em resumo, a bicondicionalidade ocorre quando ambas as sentenças são
verdadeiras ou falsas e a falsidade ocorre quando as sentenças tiverem valores
lógicos diferentes, conforme tabela abaixo:
p q p<-->q
VV
V
VF
F
FV
F
FF
V
Exemplo:
p: o quadrado tem lados de tamanhos diferentes
q: 14 é um número ímpar
O quadrado tem lados diferentes <--> 14 é um número ímpar
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Como:
v(p) = F e v(q) = F Então v(p<-->q) = V
Conectivo de negação( representado por ~ )
Dada uma proposição: "A água é mais leve que o ar" sua negação acontece se
dizemos:
É falso que a água é mais leve que o ar
ou ainda
A água não é mais leve que o ar
Pode-se resumir tal fato com a tabela abaixo:
p ~p
VF
FV
Para procedermos com os raciocínios lógicos citados vale lembrarmos algumas
propriedades, tais como:
p^q <--> q^p
p v q <--> q v p
p^(q^r) <--> (p^q)^r
p v (q v r) <--> (p v q) v r
p^(q v r) <--> (p^q) v (p^r)
p v (q^r) <--> (p v q) ^(p v r)
~(p^r) <-->~p v ~r
~(p v r) <--> ~p ^~r
~(~p) <--> p
TAUTOLOGIA
Dizemos ter uma tautologia quando numa proposição composta sempre temos
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apenas o valor lógico V
Exemplo: p v ~ p
CONTRADIÇÃO
Dizemos ter uma contradição quando numa proposição composta sempre
temos apenas o valor lógico F
Exemplo: p ^ ~ p
CONTINGÊNCIA
Dizemos ter uma contingência quando numa proposição composta temos os
valores lógicos V e F
Exemplo: p -> ~p
Proposição recíproca
Obtemos quando invertemos as sentenças: Exemplo: Se x = 4 -> x < 5 ou x = 5
a recíproca será: x=5 ou x < 5 -> x=4
Proposição inversa
Obtemos quando negamos as sentenças: Exemplo: Se x > b -> a > 2 a inversa
será: x = b ou x < b -> a=2 ou a < 2
Proposição contrapositiva
Obtemos quando invertemos as negativas das sentenças: Exemplo: Se a > b ->
c < d a contrapositiva será: c=d ou c > d -> a=b ou a < b
Exercícios Resolvidos
1. Qual a negação de:
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Resp.
2. Qual o valor lógico de: "É falso que 3+4 = 7 e 2 + 2 = 5
Temos que:
v(3+4=7) = V e v(2+2=5) = F
Então:
v(3+4=7 ^ 2+2=5) = F
logo:
Resp = [~(3+4=7 ^ 2+2=5)] = V
3. Determine o valor lógico da sentença : "Se 4+4=9, então eu sou rei da
Espanha"
Se:
p : 4+4 = 9
q : eu sou rei da Espanha
Então
v(p) = F e v(q) = F
logo
Resp = v(p->q) = V
4. Sejam as proposições:
p: os agricultores se mobilizam
q : a reforma agrária continua sem solução
Simbolize a sentença : "Se os agricultores não se mobilizam, então a reforma
agrária continua sem solução"
Temos que:
~p : os agricultores não se mobilizam
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Logo
Resp ~p ->q
5. Sejam as proposições:
p : sen (pi - x) = cos x
q : pi < 3
Qual o valor lógico de: (p->q) v (~p->~p)"
Temos que
v(p) = F e v(q) = F
logo: v(p->) = V
Da mesma forma
v(~p) = V e v(~q) = V
logo : v(~p -> ~q) = V
Então
Resp Verdadeiro
6. Sabendo-se que os valores lógicos das proposições "p", "q" e "r" são,
respectivamente, V,F e V, determine o valor lógico da proposição:
[ (p<-->q) -> p ] v (p ->r)
Temos que:
v(p) = V, v(q) = F e v(r) = V
Então
v(p<-->q) = F
v[(p<-->q) -> p] = F
v(p -> r) = V
Logo
v[(p<-->q) ->p] v (p->r) = V
Então
Resp: Verdadeiro
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Sentença Aberta
Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
II. (x + y) / 5 é um número inteiro.
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em
2000.
É verdade que APENAS
a) I e II são sentenças abertas.
B) I e III são sentenças abertas
c) II e III são sentenças abertas
d) I é uma senteça aberta
e) II é uma senteça aberta
Para a resolução, apenas é necessário saber o que são sentenças abertas. E o
que é isso?
Define-se como sentença aberta aquela sentença simples cujo resultado (falso
ou verdadeiro) é desconhecido, por conter um elemento indefinido ou por
conter variáveis.
Na primeira frase está dito que "ele foi o melhor jogador do mundo em 2005".
Mas quem é ele? Quem acompanha o futebol pode até saber que o Ronaldinho
Gaúcho foi eleito o melhor jogador naquele ano pela FIFA. Mas isso não está
expresso na frase. Isto é, dependendo de quem se esteja falando a frase
poderá ser verdadeira ou falsa. Por isso, essa é uma sentença aberta.
Já a segunda frase contém variáveis, o que a tornará verdadeira ou falsa a
depender dos valores que forem atribuídos a "x" e "y". Essa também é uma
sentença aberta.
A última frase, ao contrário, não é uma sentença aberta, pois não há
elementos desconhecidos ou variáveis. "João da Silva foi ...".
Resposta: A
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Operação com Conjuntos
Conheça as principais operações com conjuntos e saiba como aplicá-las e
resolver os exercícios. Nesta aula você vai estudar, União de conjuntos,
Interseção de conjuntos, Diferença de conjuntos, Complementar de conjuntos,
Elementos do conjunto, Partição de conjuntos e muito mais.
União de Conjuntos(c )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A c B = { x; x 0 A ou x 0
B}.
Exemplo: {0,1,3} c { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto
união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.
Propriedades imediatas:
a) A c A = A
b) A c φ = A
c) A c B = B c A (a união de conjuntos é uma operação comutativa)
d) A c U = U , onde U é o conjunto universo.
Interseção de Conjuntos (1 )
Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A 1 B = {x; x 0 A e x
0 B}.
Exemplo: {0,2,4,5} 1 { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto
interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.
Propriedades imediatas:
a) A 1 A = A
b) A 1 i = i
c) A 1 B = B 1 A ( a interseção é uma operação comutativa)
d) A 1 U = A onde U é o conjunto universo.
São importantes também as seguintes propriedades das operações com
conjuntos:
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P1. A 1 ( B c C ) = (A 1 B) c ( A 1 C) (propriedade distributiva)
P2. A c ( B 1 C ) = (A c B ) 1 ( A c C) (propriedade distributiva)
P3. A 1 (A c B) = A (lei da absorção)
P4. A c (A 1 B) = A (lei da absorção)
Obs: Se A 1 B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são Disjuntos.
Diferença A - B = {x ; x 0 A e x ó B}.
Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao
primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo.
Exemplos:
{0,5,7} - {0,7,3} = {5}.
{1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.
Propriedades imediatas:
a) A - φ = A
b) φ - A = φ
c) A - A =
d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).
Complementar de um conjunto
Quando se estuda Operações com Conjuntosrecisa-se entender a
complementar de um conjnto. Trata-se de um caso particular da diferença entre
dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de
que B d A , a diferença A - B chama-se, neste
Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou
seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B’ .Observe que o conjunto B’ é formado
por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja:
B’ = {x; x ó B}. É óbvio, então, que:
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a) B 1 B’ = φ
b) B 1 B’ = U
c) φ’ = U
d) U’ = φ_
Partição de um conjunto
Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se
por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado
simbolicamente por
P(A)), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições:
1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.
2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio.
3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.
Exemplo: Seja A = {2, 3, 5}
Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto
vazio - Ø.
Assim, o conjunto das partes de A será:
P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø }
Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A):
X = { {2}, {3,5} }
Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois:
a) nenhum dos elementos de X é Ø .
b) {2} 1 {3, 5}ó = Ø
c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A
Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do
conjunto A.
Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros
exemplos de partições do conjunto A.
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Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, …}, {1, 3, 5, 7, …} } é uma
partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, …} {1, 3, 5, 7,
…} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, …} U {1, 3, 5, 7, …} = N .
Número de elementos da união de dois conjuntos
Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o
número de elementos de B seja n(B).
Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com
cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A 1
B por n(A 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(A c B) , podemos
escrever a seguinte fórmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)
Cálculos com Porcentagem
As frações (ou razões) que possuem denominadores (o número de baixo da
fração) iguais a 100, são conhecidas por razões centesimais e podem ser
representadas pelo símbolo "%".
O símbolo "%" é lido como "por cento". "5%" lê-se "5 por cento". "25%" lê-se
"25 por cento".
O símbolo "%" significa centésimos, assim "5%" é uma outra forma de se
escrever 0,05,
ou
por exemplo.
Aulas de Porcentagem
Veja as seguintes razões:
Podemos representá-las na sua forma decimal por:
E também na sua forma de porcentagens por:
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Como calcular um valor percentual de um número?
Agora que temos uma visão geral do que é porcentagem, como calcular quanto
é 25% de 200?
Multiplique 25 por 200 e divida por 100:
Se você achar mais fácil, você pode simplesmente multiplicar 25% na sua
forma decimal, que é 0,25 por 200:
Assim temos:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
4% de 32 = 0,04 . 32 = 1,28
15% de 180 = 0,15 . 180 = 27
18% de 150 = 0,18 . 150 = 27
35% de 126 = 0,35 . 126 = 44,1
100% de 715 = 1,00 . 715 = 715
115% de 60 = 1,15 . 60 = 69
200% de 48 = 2,00 . 48 = 96
Repare que no quinto item, 100% de 715 corresponde ao próprio 715, isto
ocorre porque 100% representa o todo, ocorre porque 100% é a razão de 100
para 100 (100 : 100) que é igual a 1. Por isto 100% de um número x é o próprio
número x, já que o estaremos multiplicando por 1, para sabermos o valor da
porcentagem.
Analisando os itens de 1 a 4, podemos também perceber que quando o
percentual é menor 100%, o número resultante será menor que o número
original. Nos itens 6 e 7 percebemos que o resultado é maior que o número
original. Isto ocorre porque o percentual é maior que 100%.
Exercícios I
01. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca,
traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições:
a) ~q
b) p ^ q
c) p v q
d) p " q
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e) p " (~q)
02. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala
italiano traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições:
a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano.
b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.
c) Se Ricardo fala italiano então Roberto fala inglês.
d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano.
03. (UFB) Se p é uma proposição verdadeira, então:
a) p ^ q é verdadeira, qualquer que seja q;
b) p v q é verdadeira, qualquer que seja q;
c) p ^ q é verdadeira só se q for falsa;
d) p =>q é falsa, qualquer que seja q
e) n.d.a.
04. (MACK) Duas grandezas x e y são tais que "se x = 3 então y = 7". Pode-se
concluir que:
a) se x 3 antão y 7
b) se y = 7 então x = 3
c) se y 7 então x 3
d) se x = 5 então y = 5
e) se x = 7 então y = 3
05. (ABC) Assinale a proposição composta logicamente verdadeira:
a) (2 = 3) => (2 . 3 = 5)
b) (2 = 2) => (2 . 3 = 5)
c) (2 = 3) e (2 . 3 = 5)
d) (2 = 3) ou (2 . 3 = 5)
e) (2 = 3) e (~ ( 2= 2))
06. (UGF) A negação de x > -2 é:
a) x > 2
b) x #-2
c) x < -2
d) x < 2
e) x #2
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07. (ABC) A negação de todos os gatos são pardos é:
a) nenhum gato é pardo;
b) existe gato pardo;
c) existe gato não pardo;
d) existe um e um só gato pardo;
e) nenhum gato não é pardo.
08. (ABC) Se A negação de o gato mia e o rato chia é:
a) o gato não mia e o rato não chia;
b) o gato mia ou o rato chia;
c) o gato não mia ou o rato não chia;
d) o gato e o rato não chiam nem miam;
e) o gato chia e o rato mia.
09. Duas grandezas A e B são tais que "se A = 2 então B = 5". Pode-se
concluir que:
a) se A 2 antão B 5
b) se A = 5 então B = 2
c) se B 5 então A 2
d) se A = 2 então B = 2
e) se A = 5 então B 2
10. (VUNESP) Um jantar reúne 13 pessoas de uma mesma família. Das
afirmações a seguir, referentes às pessoas reunidas, a única necessariamente
verdadeira é:
a) pelo menos uma delas tem altura superior a 1,90m;
b) pelo menos duas delas são do sexo feminino;
c) pelo menos duas delas fazem aniversário no mesmo mês;
d) pelo menos uma delas nasceu num dia par;
e) pelo menos uma delas nasceu em janeiro ou fevereiro.
Gabarito I:
01. a) Paulo não é paulista.
b) Paulo é paulista e Ronaldo é carioca.
c) Paulo é paulista ou Ronaldo é carioca.
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d) Se Paulo é paulista então Ronaldo é carioca.
e) Se Paulo é paulista então Ronaldo não é carioca.
02. a) p ^ q
b) (~p) v p
c) q " p
d) (~p) ^ (~q)
03. B
04. C
05. A
06. C
07. C
08. C
09. C
10. C
Exercícios II
Use a descrição abaixo para resolver os exercícios 11 e 12.
Chapeuzinho Vermelho ao entrar na floresta, perdeu a noção dos dias da
semana.
A Raposa e o Lobo Mau eram duas estranhas criaturas que
freqüentavam a floresta. A Raposa mentia às segundas, terças e quartasfeiras, e falava a verdade nos outros dias da semana. O Lobo Mau mentia às
quintas, sextas e sábados, mas falava a verdade nos outros dias da semana.
11. Numa ocasião Chapeuzinho Vermelho encontrou a Raposa sozinha. Ela
fez as seguintes afirmações:
- Eu menti ontem
- Eu mentirei daqui a 3 dias.
Qual era o dia da semana ?
12. Em que dias da semana é possível a Raposa fazer cada uma das seguintes
afirmações:
A) Eu menti ontem e eu mentirei amanhã
B) Eu menti ontem ou eu mentirei amanhã
C) Se menti ontem, então mentirei de novo amanhã
D) Menti ontem se e somente mentirei amanhã.
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13. (FGV) Na residência assaltada, Sherlock encontrou os seguintes vestígios
deixados pelos assaltantes, que julgou serem dois, pelas marcas de
sapatos deixadas no carpete:
- Um toco de cigarro
- Cinzas de charuto
- Um pedaço de goma de mascar
- Um fio de cabelo moreno
As suspeitas recaíram sobre cinco antigos empregados, dos quais se sabia
o seguinte:
- Indivíduo M:
só fuma cigarro com filtro, cabelo moreno, não mastiga
goma.
- Indivíduo N:
só fuma cigarro sem filtro e charuto, cabelo louro, não
mastiga goma.
- Indivíduo O:
não fuma, é ruivo, mastiga goma.
- Indivíduo P:
só fuma charuto, cabelo moreno, não mastiga goma.
- Indivíduo Q:
só fuma cigarro com filtro, careca, mastiga goma.
Sherlock concluirá que o par de meliantes é:
(a)MeQ
(b)NeP
(c) MeO
(d)PeQ
(e)MeP
14. Roberto, Sérgio, Carlos, Joselias e Auro estão trabalhando em um projeto,
onde cada um exerce uma função diferente: um é Economista, um é
estatístico, um é administrador, um é advogado, um é contador.
- Roberto, Carlos e o estatístico não são Paulistas.
- No fim de semana, o contador joga futebol com Auro.
- Roberto, Carlos e Joselias vivem criticando o advogado.
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- O Administrador gosta de trabalhar com Carlos, Joselias e Sérgio, mas
não gosta de trabalhar com o contador.
Pode-se afirmar que Sérgio é o:
( a ) Economista
( b ) Estatístico
( c ) Administrador
( d ) Advogado
( e ) Contador
15. Assinale a opção correta:
5?5?5?5
(a)+=–
(b)++=
(c) =++
(d)x=
(e)–x=
16. Que número fica diretamente acima de 119 na seguinte disposição de
números?
1
10
17 18
2
3
4
5
6
7
8
9
11
12
13
14
15
16
–
–
–
–
–
–
( a ) 98
( b ) 99
( c ) 100
( d ) 101
( e ) 102
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17. Qual é a metade do dobro do dobro da metade de 2 ?
(a)1
(b)2
(c) 3
(d)4
(e)8
18. Se:
Filho é igual a A
Pai é igual a B
Mãe é igual a C
Avô é igual a D
Tio é igual a E
Qual é o A do B da C do A ?
(a)A
(b)B
(c) C
(d)D
(e)E
19. Dois amigos, A e B, conversaram sobre seus filhos. A dizia a B que tinha 3
filhas, quando B perguntou a idade das mesmas. Sabendo A que B gostava
de problemas de aritmética, respondeu da seguinte forma: O produto das
idades das minhas filhas é 36. A soma de suas idades é o número daquela
casa ali em frente”.
Depois de algum tempo B retrucou: “Mas isto não é suficiente para que eu
possa resolver o problema”. A pensou um pouco e respondeu: “Tem razão.
Esqueci-me de dizer que a mais velha toca piano”.
Com base nesses dados, B resolveu o problema. Pergunta-se: qual a idade
das filhas de A?
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20. No dia do resultado do concurso de Bolsa de Estudo do Curso Pré-Fiscal,
os cinco primeiros classificados foram entrevistados (Joãozinho, Pedro,
Débora, Maria e Sônia). Então resolveram, cada um, fazer uma declaração
verdadeira e outra falsa, a seguir:
21.
Joãozinho:
A Maria ficou em segundo lugar. Eu em quarto lugar.
Pedro:
Fiquei em terceiro lugar. A Sônia em quinto lugar.
Débora:
A Maria foi a primeira e eu o segundo.
Maria:
O Pedro foi o primeiro. Eu fiquei em quinto lugar.
Sônia:
Eu fui o segundo lugar, a Maria foi a terceira.
Então, podemos afirmar que a classificação do 1º ao 5º lugar foi:
( a ) Pedro, Maria, Débora, Joãozinho e Sônia;
( b ) Maria, Débora, Pedro, Joãozinho e Sônia;
( c ) Pedro, Débora, Maria, Joãozinho e Sônia;
( d ) Pedro, Débora, Maria, Sônia e Joãozinho;
( e ) Maria, Débora, Pedro, Sônia e Joãozinho;
22. (AFTN/96) Três amigas, Tânia, Janete e Angélica, estão sentadas lado a
lado em um teatro. Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a
verdade; e Angélica nunca fala a verdade. A que está sentada à esquerda
diz: “Tânia é quem está sentada no meio”. A que está sentada no meio diz:
“Eu sou Janete”. Finalmente, a que está sentada à direita diz: “Angélica é
quem está sentada no meio”. A que está sentada à esquerda, a que está
sentada no meio e a que está sentada à direita são, respectivamente:
( a ) Janete, Tânia e Angélica
( b ) Janete, Angélica e Tânia
( c ) Angélica , Janete e Tânia
( d ) Angélica , Tânia e Janete
( e ) Tânia, Angélica e Janete
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23. (TRT) Certo dia, em sua fazenda, Ana percebeu que o único relógio da casa
– um enorme relógio de carrilhão – havia parado. Deu-lhe corda e, achando
que era aproximadamente 10h, colocou os ponteiros marcando 10h. Foi
então até a fazenda vizinha descobrir a hora certa. Lá chegou às 11h20min
e de lá partiu às 11h30min. Chegando em sua fazenda verificou que o
relógio marcava 10h30min. Se Ana foi e voltou com a mesma velocidade,
qual a hora do seu retorno a sua casa?
( a ) 11h40min
( b ) 11h50min
( c ) 12h
( d ) 12h10min
( e ) 12h15min
Gabarito II
11. Segunda-feira
12.
a) Segunda ou quarta-feira
b) Quinta ou domingo
c) Quarta, sexta, sábado ou domingo
d) Segunda, quarta, sexta ou sábado.
13. letra D
14. letra D
15. letra D
16. letra B - Basta observar que o último número de cada linha é sempre um
quadrado perfeito, logo a linha que possui o número 119 termina com o número
121, o anterior 120 possui 100 acima, logo o número 119 possui o número 99
acima.
17. letra B
18. letra E – Qual é o filho do pai da mãe do filho ? É o tio
19. Idades: 2, 9, 2
20. letra C
21. letra B
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22. letra A
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