CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
EXERCÍCIOS SOBRE CÁLCULO VETOTIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
01) Demonstre vetorialmente que o segmento que une os pontos médios dos lados não
paralelos de um trapézio é paralelo as bases e igual a sua semi-soma.
02) Demonstre vetorialmente que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um
trapézio é paralelo as bases e é igual à semi-diferença das referidas bases.
03) Provar vetorialmente que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.
04) Mostre, vetorialmente, que a área de um trapézio é o produto da altura pela semi-soma
das bases.
05) Demonstrar vetorialmente que os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer
são vértices de um paralelogramo.
06) Provar vetorialmente que a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é
igual à soma dos quadrados dos lados.
07) Mostre que as diagonais de um losango são perpendiculares entre si.
r
08) Três forças F , de mesmo módulo, podem equilibrar-se? Justifique vetorialmente e faça
uma representação.
R.: Sim, desde que o ângulo entre elas seja de 120o
r
r r r
r r r r r r
r
r
r
09) Determinar R = u ⋅ v + u ⋅ w + v ⋅ w , sabendo que u + v + w = 0 , | u | = 1 , | v | = 2 e | w | = 3 .
R.: R = −7
r r r r r
10) As forças f1 , f2 , f3 , f4 , f5 dispostas como mostra a figura abaixo, determinam um
r
hexágono regular. Determine o módulo da força resultante em função do módulo da f1 .
r
r
r
R.: | FR | = 6 | f1 |
r
f2
f1
r
f3
r
f5
r
Dados a = (3,1,−2)
r r
r r
A = (2a + b) ⋅ (2a − b) .
11)
e
r
f4
r
b = (0,2,1) ,
determine
o
valor
da
expressão
vetorial
R.: A=51
r
r
r
r
r
r
r
12) Decomponha o vetor v = (−1,2,−3) em dois vetores a e b tais que a // w e b ⊥ w , com
r 
r  1 1
r
3 5
w = (2,1,−1) .
R.: a = 1, ,−  e b =  − 2, ,− 
2
2
2 2



r
r
r
r
13) Dados os vetores v1 = (2,1,3) , v 2 = (−4,0,−6) , v 3 = (4,−1,2) , determine o vetor v
r
r
r r
r
ortogonal a v1 e v 2 e tal que v ⋅ v 3 = 8.
R.: v = (3,0,−2)
r
r
r
14) Sejam os vetores a = (1,−m,−3);b = (m + 3,4 − m,1) e c = (m,−2,7) . Determine m para que
r r
r r r
a ⋅ b = (a + b) ⋅ c.
R.: m=2
r
r
15) Os módulos dos vetores a e b são, respectivamente, 4 e 2. O ângulo entre eles é 60o.
 21 
r r
r r

Calcule o ângulo entre a + b e a − b .
R.: θ = arccos 
 7 


16) Demonstre vetorialmente a lei dos co-senos: a2 = b2 + c 2 + 2bc cos θ , onde θ é o ângulo
r
r
entre as direções dos vetores b e c .
r
r
r
r
17) São dados os vetores a e b ortogonais entre si, tendo como versores ao e b o ,
r
r
r
respectivamente. Determine v o , o versor do vetor v , sabendo-se que v tem projeções
r
r
r r r
r
r
2 r
algébricas iguais sobre a e b e ainda que {a, b, v} são LD.
R.: v o =
(ao + b o )
2
r r
18) Demonstre que | a × b |2 ≤ a2b 2 . Verificar quando ocorre a igualdade.
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→
19) Sejam AC e BD as diagonais de um paralelogramo ABCD. Sendo AC = (−1,5,0)
e
→
AC = (−3,3,2) , calcule a área do paralelogramo.
R.: 62 u.a.
r
r
20) Dado o vetor v = (3,0,−1) , determine o vetor w ortogonal ao eixo Ox, sabendo-se que
r r
r r
r
r
| vxw |= 6 14 e v ⋅ w = −4.
R.: w = (0,6,4) ou w = (0,−6,4)
21) Demonstre vetorialmente que a área do losango é igual ao semi-produto das diagonais.
r
r
r
r
r
r
r
r
22) Dados a = (2,1,−3) e b = (1,−2,1) , determine o vetor w tal que w ⊥ a , w ⊥ b e | w | = 5 .
r
5 3
R.: w = ±
(1,1,1)
3
23) São dados no espaço os pontos A(2,-1,0), B(1,-2,1) e C(1,0,2). Determine o ponto D, tal
→ 
→ →
 → → → →

que OD, OA× OB, OA x OC sejam LD, OD⋅ OB = −28 e o volume do tetraedro OABD seja igual a


14, onde O é a origem do sistema.
R.: D(0,0,-28) ou D(12,24,8)
24) Na figura abaixo tem-se que A(4,0,0), B(0,4,0) e C(0,6,4). Determine:
a) a área do triângulo BDE.
3
3 2
b) a altura do triângulo BDE relativa ao vértice E.
R.: a) A T =
; b) h =
10
10
C
E
A
D
B
25) Calcule a distância do ponto A(3,-1,2) à reta determinada pelos pontos B(1,1,3) e
65
C(5,3,−1) .
R.:
3
r
r
26) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a = (2,6,−1) e b = (0,−2,1) .
r
2 r 1 r 2 r
R.: v = ± i − j − k 
3
3 
3
27) Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1),
5 174
B(1,1,-3) e C(-1,-3,0).
R.:
58
28) Sejam A(–2,10,–15), B(–1,11,–14), C(–2,11,–13) e D(0,–10,15). Determine:
a) O volume do tetraedro ABCD.
b) A altura do tetraedro relativa ao vértice B.
c) A área da face ABD.
d) A altura relativa ao vértice D da face ABD.
6 1230
R.: a) VT = 12 ; b) hB =
; c) A T = 942 ; d) hD = 2 314
205
r
r
r
29) Determine o valor de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores a = 2 i − 3 j ,
r r
r r
r r
r
2
b = i + m j − k e c = 3 i − k , tenha volume .
R.: m=1 ou m=5
3
r
r
r
30) Sejam u = (1,1,−1) e v = (2,−1,2) . Determine um vetor w que satisfaça as seguintes
r r r
r r
r r
r
condições: w ⋅ (u + v) = 9 , u ⋅ w = 12 e w × v = (7,−14,−14) .
R.: w = (4,5,−3)
r
r
r
31) Considerando os vetores do exercício (30), mostre que a = projuvr + projuvr é combinação
r r
linear dos vetores {u, v} .
r
1r 1 r
R.: a = − u − v
3
9
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32) Na figura abaixo temos uma pirâmide regular reta de base quadrada. Se as arestas da
base têm tamanho x e as arestas laterais têm tamanho 2x, determine vetorialmente, através
do produto misto, o volume desta pirâmide em função de x.
R.: VP =
2x
14 3
x
6
x
r
r r r
r
r
33) a) Sejam a = (1,1,2) e b = (2,−1,1) . Determine um vetor u tal que {a, b, u} } sejam LD,
r
r r
r
u ⋅ a = 12 e a área do paralelogramo determinado por u e b seja 9 3 . b) Determine um vetor
r
v de módulo 4 que forme com o eixo Ox um ângulo de 60o, cuja soma das duas primeiras
coordenadas seja igual a 5.
r
r
r
r
R.: a) u = (−1,5,4) ou u = (17,−13,4) ; b) v = (2,3, 3 ) ou v = (2,3,− 3 )
34) Sejam A(2,0,2), B(4,2,0) e C(0,1,1). Se ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio
do lado AD , determine o ponto P = AC ∩ BM .
B
C
4 1 5
R.: P , , 
3 3 3
P
A
M
D
35) Sejam A(3,2,3), B(2,2,1) e C(1,1,4) vértices do triângulo ABC abaixo. Seja F o ponto
médio do lado BC .
a) Mostre que o triângulo ABC é retângulo.
b) Determine a área do quadrilátero ADFE.
B
D
A
F
E
C
30
R.: a) AB ⋅ AC = 0 ; b) A Q =
4
r
r
r
36) Dados os vetores u = (1,0,1) e v = (0,1,1) , determine um vetor w satisfazendo as
r
1
1
r =  ,0,  ; 2ª) A área do paralelogramo determinado pelos
seguintes condições: 1ª) projuw
2
2

r
r
vetores w e v seja igual a 3 u.a.; 3ª) O volume do paralelepípedo determinado pelos
r r r
vetores {w, u, v} seja igual a 2 u.v.
r
r
r
r
1 5 2
1 7 2
R.: w = (1,1,0) ou w = (− 1,1,2) ou w =  ,− ,  ou w =  , , 
3 3 3
3 3 3
r r r
r
r
r
37) Os vetores {w, u, v} são LD. Sabendo que | u | = 2 , | v | = 4 e w é unitário tal que
r
r r
r r
r
r r
π
θ = ang(v, w) = , determine | u × (v × w) | .
R.: | u × (v × w) |= 4
6
38) Sejam A(2,8,-7), B(2,8,-5) e D(5,2,-1) vértices do paralelogramo ABCD como abaixo.
Determine vetorialmente a área do retângulo EBFD.
B
F
C
R.: A P =
A
E
D
46 5
9
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39) Dois vértices de um triângulo são os pontos A(4,1,4) e B(5,6,1). Achar o vértice C sabendo
906
que ele está sobre o eixo Oy, e a área do triângulo ABC é
.
2
R.: C(0,4,0) ou C(0,6,0)
r
r r
r
r
40) Determine um vetor v paralelo ao vetor a = 3 i − j + 2 k que tenha o mesmo módulo do
 3 70 r
r
70 r
70 r 
R.: v = ±
i −
j+
k
 14
14
14 

r
r
41) Determine um vetor v de mesma direção e sentido do vetor a = (2,1,4) e módulo 3 .
r 2 7 r
7 r 4 7 r
R.: v =
i +
j+
k
7
7
7
42) Na figura abaixo é temos um paralelogramo de vértices A(4,2,0), B(2,0,2) e D(3,3,1).
Determine a área do triângulo ECD.
B
C
r r
r
vetor b = i + 2 j .
A
D
E
R.: A T =
2 2
u.a.
3
r
r r r
r r r
43)Sabendo que u + v + w = 0 , mostre que [u, v, w] = 0 .
r
r
r r
44) Determine os vetores u = (x, y, z) e v = (−3, a, b) tais que u + v = (−1,4,6)
r r
r
r
u × v = (2,−16,11) .
R.: u = (2,3,4) e v = (−3,1,2)
e
45) Determine o raio da esfera que tem volume igual ao volume do paralelepípedo
r
r
r
determinado pelos vetores u = (π, π, π) , v = (π, π,− π) e u = 2 π 2 ,6π 2 , π .[volume da esfera:
(
3
V = 4 πr 3 ].
)
R.: r = 2π
3
r
r
r
46) Determine um vetor v = (x, y,10) tal que v = 10 2 e seu versor seja v 0 = (x 0 , 2 2 , z 0 ) .
5
r
R.: v = (6,8,10)
47) Sejam A(2,1,2), B(3,-1,0), C(0,1,1) e D(0,-4,6) vértices do paralelepípedo reto, como a
figura abaixo. Sabendo que o ponto E é o centro da face superior do paralelepípedo, determine
o volume da pirâmide demarcada na figura.
R.: VP = 15 u.v.
E
D
C
A
B
48) Escreva as equações paramétricas da reta (r) que passa pela origem dos eixos
x = 2 − 3m
x = −3t


coordenados e é paralela à reta (s): y = 1
.
R.: (r) : y = 0
z = −1 + 2m
z = 2t


49) Escreva as equações simétricas da reta (r) do feixe de centro A(5,-3,2) e paralela ao eixo
z−2
Oz.
R.: (r) :
= t e x−5 = y +3 = 0
1
50) Determine os pontos de furo em relação aos planos coordenados da reta definida pelos
pontos P(-1,1,3) e Q(4,-2,1).
7
 13 7   2
 2 13 
R.: A
,− ,0 , B ,0,  e C 0, ,

2  3
3
 2
 5 5 
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51) Verificar a posição relativa entre as retas e determinar a interseção, quando houver.
4x + 8
a) (r) : X = (1,0,2) + t(3,−4,2) e (s) :
= 3 − y = 2z − 2
3
3y − 6 3z − 3
x−4 z−3
b) (r) : x − 1 =
=
e (s) :
=
e y = −2
−4
2
2
−3
x = 6 − 4m
x−8
z+5

c) (r) : y = 1 + 2m e (s) :
=y =
−2
2
z = m

R.: a) paralelas; b) perpendiculares e (r) ∩ (s) = P(4,−2,3) ; c) concorrentes e (r) ∩ (s) = Q(2,3,1)
52) Determine as equações simétricas e o comprimento da mediana AM do triângulo
ABC com A(-3,-1,4), B(2,4,5) e C(0,-2,1).
→
x +3 y +1 z − 4
R.:
=
=
e | AM |= 21
4
2
−1
53) Verifique se os pontos A(3,-2,1) e B(-1,2,0) pertencem à reta (r) determinada pelos
pontos C(2,1,-1) e D(4,-5,3).
R.: A ∈ (r) e B ∉ (r)
54)
Verificar se as
retas
x = −1 + 4t
y − 4 z −1

(r) : y = 3 − t
e (s) : x − 2 =
=
−2
3
z = 2 + 2t

determinar a interseção, se houver.
são
coplanares
e
R.: coplanares e (r) ∩ (s) = P(3,2,4)
55) Determine a equação vetorial da reta (r) que passa por P(1,-2,3) e intercepta a reta
r
x −2 y −1
(s) :
=
= z + 1 e cujo vetor diretor da reta (r) é ortogonal ao vetor w = (1,−3,1).
3
2
R.: (r): X=(1,-2,3)+t(17,9,10)
56) Determine o ponto O', simétrico da origem O dos eixos coordenados, em relação à reta
z
1 5 2
(s) : 2 − x = y + 1 = 2 − .
R.: O'  , , 
2
3 3 3
r
r
r
57) Decomponha o vetor v = (2,6,10) em dois vetores v1 //(r) e v 2 ⊥ (r) , sendo (r)
r
r
a reta X=(2,-1,5)+t(-1,4,2).
R.: v1 = (−2,8,4) e v 2 = (4,−2,6)
58) Determine os co-senos diretores da reta definida pelos pontos A(3,−3,2) e B(4,−1,0) .
1
2
2
; cos β = ; cos γ = −
3
3
3
59) Determine o ângulo da reta (r): X=(2,0,1)+t(-1,-2,-2) com a reta definida pelos pontos
 8 
A(4,0,-1) e B(-2,-3,1).
R.: θ = arccos 

 21 
R.: cos α =
60) Determine as equações simétricas da reta definida pelos pontos A(2,-1,4) e B = r1 ∩ r2
x = 3t
x −1 y −3 z −1
x −2 y +1 z − 4

com (r1):
=
=
e (r2): y = 1 + 2t .
R.: (r):
=
=
2
4
−2
−2
2
−2
z = 2 + t

r
r
r
r
r
r r
61) Um vetor diretor de uma reta (r) é o vetor v = (f, g, h) e tal que v // w e v × s = −4 j − 8k .
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Sendo w = 4 i − 4 j + 2k e s = 2 i − 6 j + 3k , determine o ângulo entre a reta (r) e o vetor s .
 19 
R.: θ = arccos 

 21 
y−3 z+2
=
e (s) : x = y + 1 = z − 4 .
2
−3
a) Qual a posição relativa entre elas? Determine a interseção, se houver.
b) Determine uma reta perpendicular a (r) e a (s).
62) Sejam as retas (r) : x − 2 =
R.: a) Retas perpendiculares e (r) ∩ (s) = (0,−1,4) ; b) X = (0,−1,4) + t(5,−4,−1)
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63) Dados os pontos médios M(2,1,3), N(5,3,-1) e P(3,-4,0) dos lados de um triângulo ABC,
determine as equações paramétricas do lado deste triângulo, cujo ponto médio é o ponto M.
x = 2 + 2t

R.: y = 1 + 7t
z = 3 − t

r
64) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores v1 = (f1 , g1 , h1 ) e
r
v 2 = (f2 , g2 ,2h1 ) são parcelas do vetor diretor da reta AB, na qual A(2,3,−1) e B(4,−3,5) ,
r
r
r r
r
r
 7 
sabendo-se que v1 ⋅ i = 1 e v 2 × k = −8 i − j .
R.: θ = arccos 

 27 
x−2
z−3
65) Escreva a equação do plano determinado pelas retas (r):
e (s):
=y =
3
2
x +1 y −2
z
=
= .
R.: (π): 7x-3y-9z+13=0
6
2
4
66) São dados a reta (r) : X = (−6,−6,−1) + t(2,2,1) e o plano (π) : 3x + y − z + 2 = 0 . Sendo P o
ponto de interseção de (r) com (π), determine:
a) A equação da reta (s) que contém o ponto P e é perpendicular ao plano (π).
b) A equação geral do plano (α) que contém o ponto P e é perpendicular a reta (r).
c) A interseção da reta (s) com o plano (α).
R.: a) (s): X = (0,0,2) + t(3,1,−1) ; b) (α) : 2x + 2y + z − 2 = 0 ; c) P(0,0,2)
x −3 y −5 z−9
x −2
y +1 z −7
=
=
e (s) :
=
=
. Determine:
2
3
4
2
−3
2
a) A posição relativa entre (r) e (s). Determine a interseção, se houver.
b) O ângulo entre (r) e (e).
67) Dadas às retas (r) :
 3 

R.: a) Reversa; b) θ = arccos

 493 
68) O plano (π) : 2x + 3y + 6z − 12 = 0
determina um triângulo no 1º octante quando
intercepta os eixos coordenados Ox, Oy e Oz nos pontos P, Q e R, respectivamente. Determine
7 10
a distância do ponto Q à reta suporte do lado PR do triângulo PQR.
R.: d =
5
69) Determine na forma simétrica a equação da reta que passa pelo ponto P(2,3,-1) e é
x−2
y −3 z +1
paralela aos planos (π1): 2x-3y+z-1=0 e (π2): x+2y+3z+8=0.
R.:
=
=
11
5
−7
70) Ache a equação geral do plano que passa pelo ponto M(3,0,-4) e é perpendicular aos
planos (π1): 2x-y-z=0 e (π2): x+3y-z+12=0.
R.: 4x+y+7z+16=0
71) Determine na forma simétrica a reta que passa pelo ponto P(3,-2,0) e é perpendicular ao
x−3 y+2
z
plano (π): 4x-8y+6z-7=0.
R.:
=
=
2
−4
3
72) Sejam os planos (π1 ) : x + y − 2z + 3 = 0 e (π 2 ) : 3x − y + z − 5 = 0 .
a) Qual é a posição relativa entre os planos dados? Determine a interseção, s houver.
b) Determine um plano (π 3 ) , paralelo ao plano (π1 ) , perpendicular ao plano (π 2 ) , de tal
forma que a distâncias entre (π1 ) e (π 3 ) seja igual a
6.
4y + 14
= z;
7
b) (π 3 ) : x + y − 2z − 3 = 0 ou (π 3 ) : x + y − 2z + 9 = 0
R.: a) Perpendiculares e (π1 ) ∩ (π 2 ) = 4x − 2 =
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73) O interseção do plano (π1 ) : x − y + 2z + 3 = 0 com o plano (π1 ) : 2x − y − z + 1 = 0 é a reta
(s). O mesmo plano (π1 ) ao ser interceptado pela reta (r): (r) :
x +1
z−2
= y −1 =
, determina
2
2
um ponto P.
a) Determine a distância do ponto P à reta (s).
b) Determine o ângulo entre (s) e (r).
R.: a) d =
 13 35 
210

; b) θ = arccos
 105 
7


74) Sejam os planos (π1 ) : 2x + y − z − 3 = 0 e (π 2 ) : x − 3y − 4z − 12 = 0 .
a) Qual é a posição relativa entre os planos dados? Determine a interseção, se houver.
b) Determine um plano (π 3 ) perpendicular aos planos dados e que contenha a origem.
x
z+3
; b) (π 3 ) : x − y + z = 0
=y =
−1
−1
x −1
75) Sejam o plano (π) : 3x + y + z − 3 = 0 e a reta (r) =
= y − 1 = z + 1.
3
a) Qual a posição relativa entre o plano (π) e a reta (r)? Determine a interseção, se houver.
b) Seja a reta (s) que contém o ponto P(−1,−13,−3) é paralela ao plano (π) e perpendicular a
R.: a) Concorrentes e (π1 ) ∩ (π 2 ) =
(r). Determine (r)∩(s).
R.: a) Reta perpendicular ao plano e (r) ∩ (π) = (1,1,−1) ; b) Q(−5,−1,−3)
x −1
z −1
=y =
e o plano (π) : 2x − y + 3z − 2 = 0 .
2
2
a) Qual a posição relativa entre (r) e (π)? Determine a interseção, se houver.
b) Existe uma reta (s) que contém o ponto Q(11,5,11) e é perpendicular ao plano (π). Qual a
posição relativa entre (r) e (s). Determine a interseção, se houver.
1 1 1
R.: a) Reta concorrente ao plano e (r) ∩ (π) =  ,− ,  ; b) Retas concorrentes e (r)∩(s)=Q
3 3 3
76) Dados a reta (r) =
77) Sejam A(2,0,0), B(0,2,0) e C(0,0,4) vértices de um triângulo ABC.
a) Determine o ortocentro deste triângulo, o qual é a interseção das alturas.
b) Seja (π) o plano que contém o triângulo ABC. Seja (r) a reta que é perpendicular ao plano
(π) e passa pelo ponto P(1,1,3). Determine a interseção de (r) com (π).
8 8 4
1 1 8
R.: a) O , ,  ; b) (r) I (π) =  , , 
9
9
9


3 3 3
y − 13
x−9
y+3 z+4
= z − 10 e (s) :
=
=
.
2
−2
2
3
a) Qual a posição relativa entre elas? Determine a interseção, se houver.
b) Determine uma reta perpendicular a (r) e a (s).
R.: a) Concorrentes e (r) ∩ (s) = (3,3,5) ; b) X = (3,3,5) + t(4,−5,6)
78) Sejam as retas (r) : x − 8 =
79) Sejam os planos (π1 ) : 3x + 2y − z + 7 = 0 e (π 2 ) : x − 2y − z − 5 = 0 .
a) Qual a posição relativa entre (π1) e (π2)? Determine a interseção, se houver.
b) Seja (r) a reta que contém o ponto P(1,–3,4) e é perpendicular ao plano (π2).
(s) que contém o ponto Q(–1,–1,2) e é perpendicular ao plano (π1). Determine
entre (r) e (s).
x+6
z + 11
R.: a) Perpendiculares e (π1 ) ∩ (π 2 ) : X =
=y =
; b)
−2
−4
Seja a reta
a distância
drs =
2 21
3
80) Sejam A(4,4,0), B(4,0,4) e C(0,0,4) vértices de um retângulo ABCD como na figura
abaixo.
a) Se M é ponto médio, determine o ponto E.
b) Seja (π) o plano que contém o retângulo ABCD. Seja (r) a reta que é perpendicular ao plano
(π) e passa pelo ponto P(1,1,7). Determine a interseção de (r) com (π).
M
B
8 4 8
C
R.: a) E , ,  ; b) (r) ∩ (π) = (1,−1,5)
3 3 3
E
A
D
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
81) Sejam os planos (π1 ) : x − 2y − 2z − 2 = 0 e (π 2 ) : 3x + y − 3z − 16 = 0 .
a) Qual a posição relativa entre (π1) e (π2)? Determine a interseção, se houver.
b) Sabendo que a reta (r) é perpendicular ao plano (π1) e passa pelo ponto P(0,-5,-5). Sendo
A = (r) ∩ (π1 ) e B = (r) ∩ (π 2 ) , determine a distância ente A e B.
R.: a) Planos concorrentes e (π1 ) ∩ (π 2 ) : X =
7x − 34 7y − 10
60
=
= z ; b) d AB =
u.c.
7
8
−3
82) Determine a equação geral do plano que passa pela reta (r):
x = −3 + 2t

paralelo à reta (s): y = −2 − t .
z = −4 + 4t

x −1 y
z −1
e é
=
=
2
2
1
R.: 3x-2y-2z-1=0
3x-4y+z-16=0 e (π2):
y + 7 z + 12
2x + 4y − 2z + 4 = 0 .
R.: x =
=
2
5
84) Determine a equação do plano que passa pelos pontos P(2,1,0) e Q(1,5,8) e é
83)
Dê
a
equação
da
reta
interseção
perpendicular ao plano (π): x+2y+2z+5=0.
dos
planos
(π1):
R.: 4x-5y+3z-3=0
85) Determine a equação do plano que passa pela reta (r)=π1∩π2, onde (π1): 3x+2y+5z+6=0
e (π2): x+4y+3z+4=0 e é paralelo à reta (s): X=(1,5,-1)+t(3,2,-3).
R.: 2x+3y+4z+5=0
x −1 y −2 z − 4
86) Mostre que a reta (r):
=
=
está contida no plano (π): 4x-2y+5z-20=0.
−1
3
2
87) A interseção das retas (r): X=(3,-1,2)+t(1,3,-2) e (s): X’=(1,-2,5)+t’(-3,-4,5) é um ponto
4 3
R.: d =
P. Determine a distância de P ao plano (π): x+y+z-2=0.
3
88) Determine a distância do ponto P, interseção dos planos (π1): 2x+4y-5z-15=0, (π2): x91
y+2z+3=0 e (π3): x+y+z-2=0 a reta (r): X=(0,1,-2)+t(3,2,-1).
R.: d =
7
89) Determine a equação da reta que é a interseção dos planos (π1): 2x-y+4z-1=0 e (π2):
−y − 9 2z + 4
3x+y-2z+5=0.
R.: x =
=
8
−5
90) Determine a equação do plano que contém o ponto P(2,-1,0) e a reta (r) = π1∩π2,
onde (π1): 2x-y-z+4=0 e (π2): x+2y-z+3=0.
R.: x+7y-2z+5=0
91) O pé da projeção ortogonal da origem dos eixos coordenados sobre um plano (π) é o
R.: 2x-3y-6z+49=0
ponto P(-2,3,6). Determine a equação geral do plano (π).
y
92) Dê a equação da reta (s) simétrica de (r): x − 3 =
− 1 = −z em relação ao plano (π):
2
x −1
z−2
2x+y-z+2=0.
R.:
= y+2 =
−7
2
93) Dê a equação do plano (π) simétrico do plano (π’): 2x-3y+z-12=0 em relação a reta (r):
x −3 y −1 z −2
=
=
.
R.: 2x-3y+z+2=0
2
3
5
94) Determine a equação do plano mediador do segmento de extremos P(3,-1,5) e Q(1,-5,-1).
R.: x+2y+3z-2=0
95) Determine a, b e c para que os planos (π1): 2ax-y+4z+2=0 e (π2): 4x+by+8z+c=0 sejam
coincidentes.
R.: a=1, b=-2 e c=4
96) Determine a equação do plano (π) que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular a reta
(r) interseção dos planos (π1): x-y-2z-2=0, (π2): 2x+3y+z+1=0.
R.: x-y+z=0
2
97) Determine a equação da elipse de excentricidade
, cujos focos são pontos da reta
2
y+6=0 e sendo B1(3,-1) um dos extremos do seu eixo menor.
R.:
(x − 3)2 (y + 6)2
+
=1
50
25
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
98) O eixo real de uma hipérbole é horizontal e suas assíntotas são as retas 2x+y-3=0 e 2xy+3=0. Ache a equação geral da hipérbole sabendo-se que o ponto P(4,6) pertence a ela.
x 2 (y − 3)2
−
=1
55
55
4
99) Os focos de uma hipérbole são os pontos F1(6,2) e F2(6,12), o comprimento do eixo
imaginário é 6. Determine a sua equação geral e a excentricidade.
R.:
(x − 6)2 (y − 7)2
+
= 1 e e=1,25
−9
16
100) Determine a equação da parábola de vértice (6,-2), cujo eixo é a reta y+2=0 e passa
pelo ponto (8,2).
R.: (y+2)2 = 8(x-6)
101) Determine k para que a reta 2x-y+k=0 seja tangente à parábola x2=5y.
R.: k = -5
102) Mostre que a equação 4x2-y2=E, onde E ∈ ℜ e E≠0, representa uma família de hipérboles
R.:
de excentricidade
5.
103) Uma circunferência de equação x 2 + y 2 − 8x − 16y + 76 = 0 é inscrita em uma elipse de
eixo vertical e de distância focal 4 3 . Determine a equação reduzida e polar da elipse.
R.:
(x − 4)2 (y − 8)2
+
=1 e ρ =
4
16
1−
1
3
2
cos θ
104) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x=2. Determine sua
equação geral, paramétrica e polar.
y = 3 + sec θ
2

R.: 4(x − 3) = (y − 3)2 , 
1 2 , ρ=
x
=
3
+
tg
θ
1
−
cos
θ

4
105) Uma hipérbole equilátera é aquela em que b = a. Daí, sua equação cartesiana
(reduzida) será: (x-m)2-(y-n)2=a2. Determine a equação reduzida, paramétrica e polar da
hipérbole equilátera de focos F1(-5,0) e F2(5,0).

5 2
tgθ
y =
5
2
R.: 2x2-2y2=25 , 
, ρ=
2 − 2 cos θ
x = 5 2 sec θ

2
106) Determine as coordenadas dos vértices, focos, centro e a equação reduzida da elipse de
x = 3 + 20 cos θ
.
equações paramétricas 
y = 2 + 16senθ
R.: A 1 (−17,2); A 2 (23,2); B1 (3,18); B 2 (3,−14); F1 (−9,2); F2 (15,2); C(3,2);
(x − 3)2 (y − 2)2
+
=1
400
256
107) Dada a hipérbole de equação geral − 16x 2 + 9y 2 + 160x + 108y − 112 = 0 , determine a
sua Equação Reduzida e as coordenadas polares dos pontos que a hipérbole intercepta o eixo
Ox.
R.:
(x − 5)2
−
9
4
+
(
)
(
(y + 6)2
= 1 e P 5 + 3 2, 0 o e Q 5 − 3 2, 0 o
4
)
108) Na figura abaixo temos uma circunferência de centro C(5,7) e raio r e uma parábola de
vértice V e parâmetro p. Se p=r+1, V=C e P é um ponto comum entre elas, determine a
equação geral de ambas as cônicas.
R.: x 2 + y 2 − 10x − 14y + 65 = 0 e y 2 − 14y − 8x + 89 = 0
P
V=C
6
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Luiz Francisco da Cruz – Departamento de Matemática – Unesp/Bauru
109) Determine o comprimento dos eixos e a distância focal da elipse de equação polar
32
ρ=
.
R.: 2a=20, 2b=16, 2c=12
5 − 3 cos θ
110) Na figura abaixo temos um circunferência de centro C e raio r = 2 2 e uma parábola de
vértice V. Sabendo que V=C e que a parábola intercepta o eixo Oy em y = 12 , determine os
pontos de interseção entre a circunferência e a parábola.
R.: P(2,6) e Q(6,6)
y
12
V
=
4
4
x
111) Na figura abaixo temos uma circunferência concêntrica com uma hipérbole de eixo focal
horizontal, centro no ponto C e focos F1 e F2. Sabendo que a equação geral da hipérbole é
5x 2 − 4y 2 − 40x + 24y + 24 = 0 , determine a ordenada (coordenada y) do ponto P, interseção
R.: y =
da circunferência com a hipérbole.
4
3
112) Simplificar a equação y=x3-6x2+12x-8 mudando a origem, por translação dos eixos
coordenados para o ponto O’(2,0).
R.: y1=x13
113) Fazendo uma rotação dos eixos coordenados de um ângulo de 45º, eliminar o termo xy
da equação 3x2+2xy+3y2-4=0.
R.: x12+y12=2
114) Mediante uma translação dos eixos coordenados, simplificar a equação
2x 2 + y 2 − 12x + 2y + 3 = 0 , fazendo desaparecer os termos do primeiro grau.
R.: translação para O’(3,-1); 2x12+y12-16=0
115) Simplificar a equação 3x -2xy+3y -16=0, fazendo desaparecer o termo xy, por meio de
uma rotação conveniente nos eixos coordenados.
R.: rotação de α=45º; x12+2y12-8=0
116) Mediante uma translação dos eixos coordenados que leve a origem para o ponto O’(-3,4),
2
2
seguida de uma rotação de um ângulo α dado por tgα=3, simplifique a equação x2-6xy7y2+30x+38y+97, reduzindo-a à forma mais simples.
R.: y12-4x12+64=0
117) Simplificar a equação 2x 2 + 3xy + y 2 − 5 = 0 , fazendo desaparecer o termo em xy, por
meio de uma rotação.
R.: Rotação de θ = 30 o e 5x 2 + y 2 − 10 = 0
118) Qual a translação que os eixos coordenados devem sofrer para que a equação da cônica
12x 2 − 20y 2 − 12x + 120y − 117 = 0 não apresente os termos de 1º grau?
( )
R.: O' 1
,3
2
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119) Dada a cônica de equação x 2 − 10xy + y 2 + x + y + 1 = 0 , reduzir a equação à sua forma
mais simples. Quem é a cônica dada?
R.: Hipérbole de eixo horizontal e − 32x 2 + 48y 2 + 9 = 0
120) Por intermédio de uma translação de eixos, reduzir cada uma das equações abaixo à
forma mais simples e especificar qual é a cônica.
a) y2-6y-4x+5=0
R.: a) y12=4x1 (parábola)
2
2
b) x +y +2x-4y-20=0
R.: b) x12+y12=25 (circunferencia)
2
2
c) 3x -4y +12x+8y-4=0
R.: c) 3x12-4y12=12 (hipérbole)
2
2
d) 2x +3y -4x+12y-20=0
R.: d) 2x12+3y12=34 (elipse)
121) Identificar a cônica e simplificar sua equação 9x2+24xy+16y2+90x-130y=0 mediante
uma rotação de eixos.
R.:
x12-2x1-6y1=0
(parábola)
122) Dado a equação x 2 + 3 3xy − 2y 2 + 1 = 0 , identificar e simplificar a cônica, escrevendo
x12
R.: hipérbole de equação
+
y12
=1
2
2
−
5
7
123) Determinar a equação da cônica que passa pelos pontos A(5,2), B(1,-2), C(-1,1), D(2,5)
e E(-1,-2).
R.: 49x2-55xy+36y2-110x-19y-231=0; elipse.
124) Determinar a equação da cônica que passa pelos pontos:
A(1,6), B(-3,-2), C(-5,0), D(3,4) e E(0,10).
R.: xy-2x+y-10 (hipérbole)
sua equação reduzida.