Questão 1
Questão 3
Se um automóvel custa hoje R$45 000,00 e a
cada ano sofre uma desvalorização de 4%, o
seu valor, em reais, daqui a dez anos, pode
ser estimado em:
O número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois anos, será de:
a) 45 ⋅ 10 3 ⋅ (1,04)10
b) 45 ⋅ 10 3 ⋅ (1,04) −10
c) 45 ⋅ 10 3 ⋅ (0,96) −10
d) 45 ⋅ 10 3 ⋅ (0,96)10
e) 45 ⋅ 10 −7
a) 10 3, 5
b) 102, 5
d) 101, 5
e) 100,25
c) 102
alternativa A
O número de funcionários que estarão empregados na CNM após 2 anos é:
alternativa D
Considerando C = 45 000 reais e a taxa de desvalorização 0,04, o valor do automóvel, em reais,
daqui a dez anos, será:
N(2) = 10 000 ⋅ (0,01) (0,5)
2
1
= 104 ⋅ (10 −2 ) 4 =
= 10 3,5
M = 45 000(1 − 0,04)10 = 45 000(0,96)10 =
= 45 ⋅ 10 3 ⋅ (0,96)10
Questão 4
O texto abaixo se refere às questões 2, 3 e 4.
Depois de quanto tempo a CNM empregará
1 000 funcionários?
a) 6 meses
b) 1 ano
c) 3 anos
d) 1 ano e 6 meses
e) 2 anos e 6 meses
A curva de Gompertz é o gráfico de uma funt
ção expressa por N = C ⋅ AK , em que A, C e
K são constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o
crescimento do número de empregados de
muitos tipos de organizações.
Suponha que, com base em dados obtidos em
empresas de mesmo porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de
Motores (CNM), depois de um estudo estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t
0,5 t
alternativa B
A CNM empregará 1 000 funcionários após um
t
tempo t, em anos, tal que 10 000 ⋅ (0,01) 0,5 =
t
= 1 000 ⇔ (10 −2 ) 0,5 = 10 −1 ⇔ −2 ⋅ 0,5 t = −1 ⇔
anos, a empresa terá N(t) = 10 000 ⋅ (0,01)
funcionários (t ≥ 0).
⇔ 0,5 t = 0,5 ⇔ t = 1.
Questão 2
Questão 5
Segundo esse estudo, o número inicial de funcionários empregados pela CNM foi de:
a) 10 000
b) 200
c) 10
d) 500
e) 100
A equação de uma hipérbole eqüilátera cujas
assíntotas são paralelas aos eixos x e y pode
ser expressa na forma: (x − h) (y − k) = C, em
que (h, k) é o centro da hipérbole, e as retas
x = h e y = k são as assíntotas.
As assíntotas vertical e horizontal da hipérbole de equação xy + x − 3y − 2 = 0 são, respectivamente:
alternativa E
O número inicial de funcionários é:
N(0) = 10 000 ⋅ (0,01) 0,5
0
= 10 000 ⋅ 0,01 = 100
matemática 2
alternativa A
a) x = −1 e y = 3
b) x = −3 e y = −1
c) x = 3 e y = −1
d) x = −3 e y = 1
e) x = 3 e y = 1
alternativa C
xy + x − 3y − 2 = 0 ⇔ (x − 3)(y + 1) = −1
Logo tal hipérbole tem centro (3; −1) e suas assíntotas são x = 3 e y = −1.
Questão 6
Uma empresa acredita que, diminuindo 8% o
preço de determinado produto, as vendas aumentarão cerca de 14% . Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade
vendida seja expressa por uma função linear.
Nesse caso, uma redução de 14% no preço do
produto acarretará um aumento na quantidade vendida de:
a) 18,4%
b) 20%
c) 26,5%
d) 24,5%
e) 8%
alternativa D
Supondo que o preço do produto e suas vendas estejam relacionados por uma função afim, a redução
de preço e o aumento de vendas são diretamente
proporcionais, de modo que uma redução de 14%
no preço do produto acarretará um aumento na
14 ⋅ 14%
quantidade vendida de
= 24,5% .
8
Considere o paralelepípedo
ABCDEFGH. Então:
reto-retângulo
• AB e BC são perpendiculares a BF e concorrem em B;
• AB e BC são perpendiculares a BF e perpendiculares entre si;
• AB e EF são perpendiculares a BF e paralelas;
• AB e GF são perpendiculares a BF e ortogonais.
Finalmente, considerando um prisma ABCDEFGH
cuja base é um paralelogramo, AB e GF são perpendiculares a BF e são reversas não ortogonais.
O texto abaixo se refere às questões 8 e 9.
Um ponto pode ser descrito pelas suas coordenadas retangulares (x, y) ou pelas coordenadas polares (r, θ), sendo r a distância entre
o ponto e a origem e θ a medida, em radianos,
do arco que o eixo x descreve no sentido
anti-horário, até encontrar OP. Em geral,
0 ≤ θ < 2π.
Questão 7
Duas retas distintas que são perpendiculares
a uma terceira podem ser:
I. concorrentes entre si.
II. perpendiculares entre si.
III. paralelas.
IV. reversas e não ortogonais.
V. ortogonais.
Associando V ou F a cada afirmação, conforme seja verdadeira ou falsa, tem-se:
a) V, V, V, V, V
b) V, F, V, F, V
c) F, V, F, F, F
d) V, V, V, V, F
e) F, F, F, V, F
As relações utilizadas para que se passe de
um sistema de coordenadas a outro são as seguintes:
r=
x2 + y2 ; sen θ =
y
x
y
; cos θ =
; tg θ =
r
r
x
matemática 3
alternativa B
Questão 8
Para x ∈ [0; 2π], temos sen 2 x − sen( −x) = 0 ⇔
As coordenadas polares do ponto P (1, 1) são:
π⎞
π⎞
⎛
⎛
c) ⎜ 2 , ⎟
b) ⎜ 2 , ⎟
a) ( 2 , π )
⎝
⎝
2⎠
4⎠
3π ⎞
⎛
d) ⎜ 2 ,
⎟
⎝
4 ⎠
3π ⎞
⎛
e) ⎜ 2 ,
⎟
⎝
2 ⎠
alternativa C
1
= 1.
1
π
π⎞
⎛
Logo, como 0 ≤ θ < 2 π, θ =
e P = ⎜ 2 ; ⎟.
⎝
4⎠
4
Temos que r = 12 + 12 = 2 , tg θ =
Questão 9
A equação, em coordenadas polares, da curva
cuja equação em coordenadas retangulares é
x2 + y2 = x + y, é:
a) r = cos θ + sen θ
b) r2 = cos θ + sen θ
c) r = cos2 θ + sen θ
d) r = 2 cos θ
e) r = 2 sen θ
alternativa A
Em
coordenadas
x
polares,
r =
y
x2 + y 2 ,
e sen θ =
.
x2 + y 2
x2 + y 2
Assim, supondo x ≠ 0 ou y ≠ 0:
cos θ =
x2 + y 2 = x + y ⇔ x2 + y 2 =
y
x
=
+
⇔
x2 + y 2
x2 + y 2
⇔ r = cos θ + sen θ.
Tomando r = 0 e θ = 0, observamos que tal relação também inclui o ponto (0; 0).
Questão 10
A
soma
das
raízes
da
equação
sen2 x − sen( − x) = 0, no intervalo [0,2 π] é:
a)
7π
2
b)
9π
2
c)
5π
2
d) 3π
e)
3π
2
⇔ sen 2 x + sen x = 0 ⇔ sen x = 0 ou
3π
ou
sen x = −1 ⇔ x = 0 ou x = π ou x =
2
x = 2 π.
Logo a soma das raízes da equação dada é
3π
9π
0 +π +
+ 2π =
.
2
2
O texto abaixo se refere às questões 11 e 12.
Há aproximadamente nove mil anos, um viajante que chegasse a uma região quase sem
árvores e com pouquíssima vegetação, situada entre os rios Tigre e Eufrates, no coração
do Oriente Médio, veria pequenos grupos de
seres humanos habitando pequenas cabanas
construídas com barro, nos terrenos úmidos
junto aos pântanos, criando vacas e porcos.
Algum tempo depois, por volta do ano
3 000 a.C., essa mesma região, já denominada Mesopotâmia, estava totalmente modificada, e um forasteiro que por lá passasse ficaria deslumbrado com um cenário totalmente
diverso: às margens dos rios haviam sido erguidos templos, palácios, oficinas de artesanato em grandes cidades protegidas por enormes e inexpugnáveis muralhas, habitadas
por multidões que percorriam diariamente as
suas ruas.
Para acompanhar tal desenvolvimento e efetuar os cálculos que o comércio exigia, os escribas da Mesopotâmia criaram um sistema
de numeração posicional. Porém, em vez de
escolherem o sistema decimal, comum às antigas e modernas civilizações, usaram uma
notação em que a base 60 era a fundamental. Muito se especulou em busca de uma explicação do porquê dessa escolha. Alguns
chegaram a procurar justificativas na astronomia, outros tentaram explicar o fato pela
combinação natural de dois sistemas de numeração mais antigos, um de base 6 e outro
de base 10.
No entanto, atualmente, a hipótese mais
aceita é que o sistema sexagesimal tenha
sido escolhido pelos sábios da Mesopotâmia
pelo fato de o número 60 ter muitos divisores,
o que facilita os cálculos, principalmente as
divisões.
matemática 4
Questão 11
Desse modo, o maior valor que pode assumir
a área do triângulo AMN é:
O texto sugere que o número 60 foi escolhido
como base do sistema de numeração da Mesopotâmia:
a) devido a considerações astronômicas.
b) porque 60 pode ser decomposto como um
produto dos fatores 6 e 10.
c) porque 60 é divisor de 360.
d) porque uma grandeza de 60 unidades pode
ser facilmente dividida em metades, terços,
quartos, quintos, sextos etc.
e) porque as medidas de tempo usam a base
60: 1 hora tem 60 minutos; 1 minuto tem 60
segundos.
a)
alternativa D
O texto afirma que a hipótese mais aceita atualmente é a de que o número 60 foi escolhido como
base do sistema de numeração da Mesopotâmia
por ter muitos divisores. Os números 2, 3, 4, 5 e 6
são alguns deles.
Questão 12
De acordo com a argumentação apresentada
no texto, escolha, entre os números abaixo,
aquele que seria a melhor base para um sistema de numeração antigo:
a) 2
b) 5
c) 10
d) 19
e) 36
alternativa E
Tem-se que: 2 = 21 , 1 + 1 = 2 divisores positivos;
5 = 51 , 1 + 1 = 2 divisores positivos; 10 = 21 ⋅ 51 ,
(1 + 1)(1 + 1) = 4 divisores positivos; 19 = 191 ,
divisores positivos; 36 = 2 2 ⋅ 3 2 ,
1 +1 = 2
(2 + 1)(2 + 1) = 9 divisores positivos.
Logo, supondo que o fator decisivo na escolha de
uma base de numeração seja o número de divisores, 36 seria a melhor base.
Questão 13
A área do quadrado ABCD é 4 cm2 . Sobre os
lados AB e AD do quadrado são tomados dois
pontos: M e N, tais que AM + AN = AB.
1
cm2
4
d) 4 cm2
b) 2 cm2
e)
c)
1
cm2
2
1
cm2
8
alternativa C
Como a área do quadrado é 4 cm 2 , seus lados
medem 4 = 2 cm. Sendo x, em cm, a medida de
AM, AN = AB − AM = 2 − x . Assim, a área do
AM ⋅ AN
x ⋅ (2 − x)
triângulo AMN é dada por
=
,
2
2
0 +2
cujo valor máximo ocorre para x =
=1 e é
2
1(2 − 1)
1
igual a
=
cm 2 .
2
2
Questão 14
Associe cada equação ao gráfico que forma:
I.
x −1
y −1
+
= 0 a. uma parábola
2
2
II. x2 − 1 = 0
2
b. uma elipse
III. x − 1 = y
c. uma hipérbole
IV. x2 + 2y2 = 2
d. uma reta
V. x2 − y2 = −1
e. duas retas paralelas
As associações corretas são:
a) I – d; II – e; III – c; IV – a; V – d
b) I – d; II – e; III – a; IV – b; V – c
c) I – b; II – e; III – d; IV – b; V – c
d) I – d; II – a; III – c; IV – e; V – c
e) I – e; II – d; III – b; IV – c; V – a
matemática 5
alternativa B
y −1
x −1
+
= 0 ⇔ x + y − 2 = 0 é a equa2
2
ção de uma reta.
I.
II. x 2 − 1 = 0 ⇔ x = 1 ou x = −1, que representam duas retas paralelas.
d) a probabilidade de saírem as faces 3 e 4 é
1
.
18
e) a probabilidade de saírem duas faces maio35
.
res que 5 é
36
III. x 2 − 1 = y é a equação de uma parábola.
2
+ 2y
2
alternativa B
x2
=2 ⇔
+ y 2 = 1 é a equação
2
Questão 15
Supondo que as probabilidades de obtermos cada
uma das faces podem ser dadas pela freqüência
de cada face dividida pelo total de lançamentos,
temos:
150
1
300
1
P(1) =
=
, P(2) =
= ,
1 800
12
1 800
6
450
1
300
1
P(3) =
= , P(4) =
= ,
1 800
4
1 800
6
350
7
250
5
e P(6) =
P(5) =
=
=
.
1 800
36
1 800
36
Se lançarmos esse dado duas vezes:
Os resultados de 1 800 lançamentos de um
dado estão descritos na tabela abaixo:
a probabilidade de sair pelo menos uma face 3
2
1⎞
7
⎛
é1 − ⎜1 − ⎟ =
;
⎝
4⎠
16
IV. x
de uma elipse.
V. x 2 − y 2 = −1 ⇔ y 2 − x 2 = 1 é a equação de
uma hipérbole.
Assim, a única associação correta é a da alternativa B.
nº da face
1
•
2
3
4
5
6
freqüência 150 300 450 300 350 250
Se lançarmos esse mesmo dado duas vezes,
podemos afirmar que:
a) a probabilidade de sair pelo menos uma
1
face 3 é .
6
b) a probabilidade de sair pelo menos uma
11
.
face 4 é
36
1
c) a probabilidade de saírem duas faces 2 é .
3
•
a probabilidade de sair pelo menos uma face 4
2
1⎞
11
⎛
é1 − ⎜1 − ⎟ =
;
⎝
6⎠
36
•
a probabilidade de saírem duas faces 2 é
2
1
⎛1 ⎞
;
⎜ ⎟ =
⎝6 ⎠
36
•
a probabilidade de saírem as faces 3 e 4 é
1 1
1
⋅
=
;
4 6
12
2 ⋅
•
a probabilidade de saírem duas faces maiores
2
25
⎛ 5 ⎞
que 5 é ⎜
.
⎟ =
⎝ 36 ⎠
1 296
Logo a única alternativa correta é a B.