UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI
Coordenadoria do Curso de Engenharia Mecânica
Trabalho de Conclusão de Curso
ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL
UTILIZANDO VIBRÔMETRO LASER
DOPPLER
Autor: Pedro Henrique Mendes Souza
Orientador: Paulo C. M. Lamim Filho
São João del-Rei, 10 de julho de 2014
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI
Coordenadoria do Curso de Engenharia Mecânica
Trabalho de Conclusão de Curso
ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL
UTILIZANDO VIBRÔMETRO LASER
DOPPLER
Trabalho de Conclusão de Curso
submetido ao Departamento do Curso
de Engenharia Mecânica da Universidade
Federal de São
obtenção
do
João
título
del-Rei,
de
para
Engenheiro
Mecânico.
São João del-Rei, 10 de julho de 2014
2
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI
Coordenadoria do Curso de Engenharia Mecânica
Trabalho de Conclusão de Curso
ANÁLISE MODAL EXPERIMENTAL UTILIZANDO
VIBRÔMETRO LASER DOPPLER
Autor: Pedro Henrique Mendes Souza
Orientador: Paulo C. M. Lamim Filho
A Banca Examinadora composta pelos membros abaixo aprovou este Trabalho de
Conclusão de Curso :
São João del-Rei, 10 de julho de 2014
3
AGRADECIMENTOS
Gostaria de agradecer a todos que me incentivaram e contribuíram durante a minha
trabalhosa, porém prazerosa, caminhada rumo à graduação.
À minha mãe Rose e padrasto Niels pelo incentivo, conselhos e apoio incondicional.
Ao meu pai Magvon pelo apoio e importantíssimos conselhos.
Aos meus grandes amigos que preencheram esses anos com felizes e já nostálgicos
momentos. Um agradecimento especial à Carolina que me fez amadurecer como homem e
profissional.
Agradeço especialmente ao professor Paulo Lamim pela absoluta confiança e paciência
durante o desenvolvimento deste trabalho. Pelos conselhos e palavras de incentivo que
certamente nunca serão esquecidas.
Ao Prof. Robson Pederiva da UNICAMP pelo empréstimo da placa de alumínio,
imprescindível para a realização deste trabalho.
Ao Prof. Fabiano Bianchini Batista pelas discussões e acompanhamento dos trabalhos
experimentais.
Por fim, agradeço a UFSJ pela modernização dos laboratórios e aquisição de
equipamentos de ultima geração, proporcionando formidável infraestrutura para a realização
deste trabalho.
4
SUMÁRIO
AGRADECIMENTOS.......................................................................................
4
RESUMO...........................................................................................................
6
ABSTRACT.......................................................................................................
7
LISTA DE FIGURAS........................................................................................
8
LISTA DE TABELAS........................................................................................
10
LISTA DE SÍMBOLOS E SIGLAS....................................................................
11
1. INTRODUÇÃO..............................................................................................
12
1.1. Revisão da Literatura................................................................................................
13
1.2. Motivação..................................................................................................................
16
1.3. Objetivo Geral...........................................................................................................
17
1.4. Objetivos Específicos.................................................................................................
17
1.5. Organização do trabalho...........................................................................................
17
2. ANÁLISE DE SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE........................
18
2.1. Representações da FRF para um sistema SDoF.......................................................
22
2.2. Função de Coerência.................................................................................................
25
2.3. Método de Identificação dos Picos............................................................................
26
3. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS E INSTRUMENTAÇÃO.............
27
3.1. Estrutura Ensaiada...................................................................................................
28
3.2. Mecanismo de Excitação...........................................................................................
30
3.3. Vibrômetro Laser Doppler (VLD) ............................................................................
33
3.3.1. Controlador do Vibrômetro e Junction Box......................................................
34
3.4. Placa de Aquisição de Dados....................................................................................
35
3.5. Uso do VibSoft Data Acquisition Software...............................................................
36
3.5.1 Parâmetros para aquisição de dados...................................................................
37
3.5.2 Manipulação de arquivos....................................................................................
40
3.6. Uso do ME'scopeVES™............................................................................................
41
4. ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS....................................
42
5. CONCLUSÕES..............................................................................................
51
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................................................
52
ANEXO I...........................................................................................................
53
5
RESUMO
MENDES SOUZA, Pedro Henrique, Análise Modal Experimental utilizando Vibrômetro
Laser Doppler, São João del-Rei: Universidade Federal de São João del-Rei, 2014. 57 p.
Trabalho de Conclusão de Curso.
A análise modal experimental consiste em estabelecer a relação entre a resposta
vibratória e excitação como função da frequência de excitação. Podendo ser utilizada para
correlação de modelo de elementos finitos e resultados experimentais, modificação estrutural,
redução de modelos matemáticos, predição de resposta forçada, identificação de forças de
excitação, detecção de falhas estruturais, controle ativo de vibrações, dentre outros. O
objetivo geral deste trabalho é a realização de uma análise modal experimental numa placa
retangular de alumínio na condição livre-livre, utilizando Vibrômetro Laser Doppler para
medir a resposta vibratória e um martelo de impacto como mecanismo de excitação da
estrutura. Também é apresentada a bancada experimental, instrumentações utilizadas,
configurações e ajustes, além dos softwares necessários para análise dos resultados. A análise
modal experimental foi realizada sem a presença de ruído e também com a presença de ruído
externo, gerado por uma caixa acústica. Os resultados encontrados foram muito satisfatórios
e condizentes com os resultados encontrados por outros autores. A comparação dos resultados
com e sem ruído ainda sugere a necessidade de utilização de métodos para suavização de
sinais e utilização de instrumentação e técnicas apropriadas para a obtenção de resultados
confiáveis e de qualidade.
Palavras Chave
Análise Modal Experimental, Vibrômetro Laser Doppler, Vibrações, Instrumentação.
6
ABSTRACT
MENDES SOUZA, Pedro Henrique, Experimental Modal Analysis using Laser Doppler
Vibrometer, São João del-Rei: Universidade Federal de São João del-Rei, 2014. 57 p.
Undergraduate Final Project.
The experimental modal analysis consists in establishing the relationship between the
vibration response and excitation as a function of excitation frequency. It can be used for
correlation of finite element model and experimental results, structural modification,
reduction of mathematical models, forced response prediction, force identification, structural
damage detection, active vibration control, among others. The main goal of this work is to
perform an experimental modal analysis of a rectangular flat plate made of aluminum in free
boundary condition using a Laser Doppler Vibrometer to measure the vibration response and
an impact hammer as excitation mechanism of the structure. In addition, it is presented the
experimental set-up, instrumentation, settings, and software required to analyze the results.
The experimental modal analysis was performed without noise and also with the incidence of
external noise generated by a loudspeaker. The results achieved were very satisfactory and
consistent with the results obtained by other authors. The comparison of results with and
without noise demonstrates the necessity of applying a signal smoothing method and the use
of adequate instrumentation and techniques in order to achieve reliable and high-quality
results.
Keywords
Experimental Modal Analysis, Laser Doppler Vibrometer, Vibration, Instrumentation.
7
LISTA DE FIGURAS
Figura 1
Formas modais da placa para cada frequência natural..................................... 14
Figura 2
Sistema com um grau de liberdade sujeito a uma força f(t).............................. 18
Figura 3
Diagrama de Bode para Magnitude da FRF para SDoF................................... 21
Figura 4
Diagrama de Bode para Fase da FRF para SDoF............................................
Figura 5
Representação tridimensional da Receptância para SDoF................................ 24
Figura 6
Parte Real e Parte Imaginária da FRF Receptância de um sistema SDoF....... 24
Figura 7
Diagrama de Bode para um sistema com múltiplos graus de liberdade............ 25
Figura 8
Representação dos pontos da banda de intensidade média de um pico de uma
22
frequência de ressonância.................................................................................. 27
Figura 9
Representação esquemática do procedimento experimental adotado para
AME.................................................................................................................. 28
Figura 10
Placa retangular de alumínio (0,400 x 0,500 x 0,0095m) e malha de medição
com 99 pontos................................................................................................... 29
Figura 11
Montagem experimental utilizada para AME com Laser Doppler Vibrômetro. 30
Figura 12
Típica resposta em frequência de um impulso criado por um martelo de
impacto.............................................................................................................. 31
Figura 13
FRF, Coerência e Impulso quando a ponta não é capaz de excitar todas as
frequências......................................................................................................... 31
Figura 14
Montagem em pêndulo do martelo de impacto................................................. 32
Figura 15
Sensor Vibrômetro Laser Doppler, Modelo OFV-503 da Polytec GmbH.......... 33
Figura 16
Controlador OFV-5000 da Polytec GmbH, equipado com o decoder de
velocidade VD-06 e o decoder de deslocamento DD-500................................... 34
Figura 17
Representação esquemática das conexões na Junction Box VIB-E-400............. 35
Figura 18
Detalhe dos conectores BNC e SMB na placa NI PCI-4461.............................. 36
Figura 19
Tela principal do Vibsoft Data Acquisition Software........................................ 36
Figura 20
Fenômeno de aliasing........................................................................................ 37
Figura 21
Configuração de médias (à esquerda) e de janelamento (à direita)................... 38
Figura 22
Configuração de direções, IEPE e sensibilidade................................................ 39
Figura 23
Configuração de filtros...................................................................................... 39
Figura 24
Configuração de Frequência e Trigger............................................................... 40
8
Figura 25
Tela de exportação dos arquivos e formato salvos............................................ 40
Figura 26
Placa retangular e malha de medição modeladas no ME’scopeVES.................. 41
Figura 27
Janela de importação das FRFs (Data Block) no ME’scopeVES...................... 42
Figura 28
FRFs Acelerância (sem ruído) sobrepostas dos 99 pontos da placa e excitação
no ponto 79....................................................................................................... 42
Figura 29
FRF Acelerância (sem ruído) no ponto 99 da placa e excitação no ponto 79... 43
Figura 30
Coerência (sem ruído) do ponto 99 da placa e excitação no ponto 79..............
Figura 31
FRF Acelerância (com ruído) no ponto 99 da placa e excitação no ponto 79... 44
Figura 32
Coerência (com ruído) do ponto 99 da placa e excitação no ponto 79.............. 44
Figura 33
FRF Acelerância no ponto 22 da placa e excitação no ponto 40....................... 45
Figura 34
Coerência do ponto 22 da placa e excitação no ponto 40.................................. 45
Figura 35
FRF Mobilidade (sem ruído) e espectro do impacto no ponto 99 e excitação
43
no ponto 79....................................................................................................... 46
Figura 36
7º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 154 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 154 Hz, (c) Gevinski, ωn = 158,06 Hz............................
Figura 37
8º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 197 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 197 Hz, (c) Gevinski, ωn = 202,98 Hz............................
Figura 38
49
12º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 578 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 578 Hz, (c) Gevinski, ωn = 593,83 Hz............................
Figura 42
48
11º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 437 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 437 Hz, (c) Gevinski, ωn = 448,62 Hz............................
Figura 41
48
10º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 371 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 371 Hz, (c) Gevinski, ωn = 381,80 Hz............................
Figura 40
48
9º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 330 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 330 Hz, (c) Gevinski, ωn = 337,82 Hz............................
Figura 39
47
49
13º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 722 Hz,
(b) Com ruído, ωn =722 Hz, (c) Gevinski, ωn = 743,41 Hz.............................. 49
Figura 43
14º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 738 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 738 Hz, (c) Gevinski, ωn = 758,31 Hz............................
Figura 44
50
15º Modo Natural da Placa Retangular: (a) Sem ruído ωn = 891 Hz,
(b) Com ruído, ωn = 891 Hz, (c) Gevinski, ωn = 913,27 Hz............................
50
9
LISTA DE TABELAS
Tabela 1
Frequências naturais da placa:
sem ruído, com ruído e resultados de Gevinski ................................................
47
10
LISTA DE SÍMBOLOS E SIGLAS
A(ω) acelerância
c constante de amortecimento viscoso
f(t) força excitadora
h constante de amortecimento histerético
H(ω), α(ω)
receptância
H1(ω) estimador de FRF
H2(ω) estimador de FRF
k constante elástica da mola
m massa
Sff(ω) densidade espectral de potência da entrada
Sxx(ω) densidade espectral de potência da saída
Sxf(ω), Sfx(ω) densidade espectral de potência cruzada
t tempo
ωd frequência natural amortecida
ωn
frequência natural
Y(ω) mobilidade
γ2 função coerência
ξ fator de amortecimento
Siglas
AME Análise Modal Experimental
AMO Análise Modal Operacional
FRF Função Resposta em Frequência
ODS Operating Deflection Shape, Forma de Deflexão Operacional
VLD Vibrômetro Laser Doppler
11
1 INTRODUÇÃO
A análise modal, numérica e experimental, é uma importante ferramenta para
determinar, melhorar e otimizar características dinâmicas de estruturas. Sendo amplamente
utilizada nas engenharias mecânicas, aeronáuticas e automotivas, assim como em aplicações
civis, biomecânicas, espaciais, de instrumentos musicais e até mesmo em plantas nucleares.
Algumas aplicações envolvem o uso direto dos parâmetros modais provenientes das
medições, enquanto outras usam estes dados para análises posteriores. Podendo ser utilizada,
entre outros, para correlação de modelo de elementos finitos e resultados experimentais,
modificação estrutural, redução de modelos matemáticos, predição de resposta forçada,
identificação de forças de excitação, detecção de falhas estruturais e controle ativo de
vibrações.
Na engenharia automotiva já foram alcançadas sofisticadas aplicações como a
otimização estrutural para conforto veicular, previsão da vida em fadiga de veículos, e
suspensão com mecanismos de controle ativo de vibrações.
Nas indústrias aeronáuticas e aeroespaciais a análise modal experimental tem fornecido
indispensáveis maneiras de se verificar modelos matemáticos derivados de modelagem
computacional. (HE & FU, 2001).
Como exemplo de aplicações, Lu (2013) utilizou a análise modal experimental para
estudar o comportamento vibratório de violinos e verifica a possibilidade da utilização de
materiais compósitos na fabricação desses instrumentos.
Santos (2007) avalia a influência da presença de trincas no comportamento mecânico de
eixos para fins de Manutenção Preditiva.
Em um sentido amplo, pode-se dizer que a análise modal é um processo por meio do
qual se descreve uma estrutura em termos de suas características naturais, que são as
frequências naturais, os fatores de amortecimento e as formas modais (SOEIRO, 2001).
A análise modal é baseada no fato de a resposta de vibração de um sistema dinâmico
linear, poder ser expressa como a combinação linear de um conjunto de movimentos
harmônicos simples. Estes podem ser designados como modos de vibração naturais que
12
ocorrem nas respectivas frequências naturais, sendo que para cada frequência natural existe
um modo de vibração específico.
Os modos de vibração inerentes aos componentes estruturais ou sistemas mecânicos
podem provocar mau funcionamento parcial ou até mesmo mau funcionamento permanente,
podendo resultar em situações catastróficas (HE & FU, 2001).
A seguir, tem-se uma revisão da literatura a respeito da análise modal.
1.1 Revisão da Literatura
A Análise Modal experimental é um conjunto de técnicas experimentais e modelos
utilizados para a identificação de parâmetros modais em estruturas, máquinas e
equipamentos. A Análise Modal experimental segue uma rotina inversa da teórica, onde se
inicia pelo Modelo Resposta, passa-se pelo Modelo Modal e chega-se no Modelo Estrutural
(EWINS, 2000).
Quando os parâmetros modais são identificados conhecendo-se a força de excitação, as
técnicas empregadas são chamadas de Análise Modal Experimental (AME). A partir das
medições, determinam-se as propriedades modais através de métodos de identificação, e desta
forma, ajusta-se o modelo discreto em estudo. Esse modelo discreto é ajustado para
representar a estrutura real analisada, a qual é um modelo contínuo que apresenta um
número infinito de graus de liberdade e, portanto, um número infinito de modos de vibração
(GEVINSKI, 2014).
Sendo assim, é necessário estabelecer faixas de frequências de análise de acordo com os
modos de vibração de interesse. A estrutura deve ser discretizada, onde cada grau de
liberdade se refere a um ponto ou direção da excitação ou da resposta da estrutura. A
discretização deve ser feita de tal modo que o sistema possa ser observável, ou seja,
dependendo do comprimento de onda analisado, a discretização deve ser mais refinada ou
não, para que o número de informações medidas seja suficiente para gerar um modelo
adequado da estrutura (GEVINSKI, 2014).
13
Ao considerar, por exemplo, uma placa plana com as bordas livres, na qual sob uma de
suas extremidades uma força variável senoidal é aplicada. A amplitude de reposta vibratória
no domínio do tempo muda conforme a frequência de oscilação da força é alterada. Haverá
aumentos e também diminuições na amplitude de vibração em diferentes pontos da escala de
tempo. A resposta é ampliada quando a força tiver frequências de oscilação iguais às
frequências naturais da placa. É possível manusear os dados que estão no domínio do tempo e
transformá-los para o domínio da frequência, ou Função Resposta em Frequência (FRF),
utilizando a Transformada de Fourier.
Os picos na FRF ocorrem nas frequências naturais do sistema. Na Figura 1 têm-se os
padrões de deformação resultantes quando a frequência de excitação coincide com cada uma
das frequências naturais da estrutura. Estes padrões de deformação podem ser considerados
como as formas modais da estrutura.
Figura 1 - Formas modais da placa para cada frequência natural.
A determinação dos parâmetros modais utilizando somente os dados de resposta do
sistema, onde as excitações originam-se, por exemplo, da própria operação da máquina ou
equipamento, é chamada Análise Modal Operacional (AMO).
A análise da Forma de Deflexão Operacional ou em inglês Operating Deflection Shape
(ODS) analisa a forma como uma estrutura vibra em um determinado instante de tempo ou
frequência. Um modo operacional pode ser qualquer movimento forçado de dois ou mais
14
corpos da estrutura que ao serem especificados definem uma forma. A frequência de vibração
não coincide necessariamente com uma das frequências naturais do sistema. Em uma
frequência qualquer, o modo operacional será uma combinação linear dos modos próprios do
sistema, contendo a contribuição de todos os modos (GEVINSKI, 2014).
Vold, Schwarz e Richardson (2000) apresentam uma metodologia para o pósprocessamento de dados operacionais não estacionários como um pré-requisito para a exibição
de ODS em modelos estruturais em 3D.
Richardson (1997) discute as relações entre Análise Modal Experimental, Modos
Naturais e ODS.
Cruz (2006) elabora um algoritmo que visa efetuar a identificação de parâmetros
modais em ensaios de análise modal operacional baseados na técnica NExT, na presença de
componentes harmônicos na excitação operacional.
Batista (2009) apresenta um estudo direcionado à identificação de parâmetros elásticos
em placas finas e simétricas de materiais compósitos, além de propor um processo de
suavização dos modos na presença de ruído. As respostas dinâmicas em forma de velocidade
transversais à superfície da placa foram medidas utilizando um Vibrômetro Laser Doppler.
Zivanovic, Pavic e Reynolds (2006) descrevem a modelagem em elementos finitos e
análise modal experimental de uma passarela. Foram identificados os primeiros modos de
vibração nas direções vertical e horizontal utilizando-se acelerômetros e um shaker
eletrodinâmico de grande porte.
Lu (2013) utilizou a análise modal experimental para estudar o comportamento
vibratório de violinos e verifica a possibilidade da utilização de materiais compósitos na
fabricação desses instrumentos. Simulações numéricas e resultados experimentais foram
comparados para validar os resultados. Os resultados mostraram que o comportamento
vibratório dos violinos fabricados em materiais compósitos difere significantemente dos
convencionais feitos em madeira. O software ME’scopeVES foi utilizado para calcular as FRF
e determinar as formas modais, frequências naturais e amortecimento.
Santos (2007) estuda o comportamento dinâmico de eixos com um entalhe produzido
por eletroerosão, simulando uma trinca. Foi determinada a influência de trincas nas
frequências naturais e na forma da FRF de eixos para fins de manutenção preditiva.
15
Gevinski (2014) estima a deformação dinâmica em superfícies utilizando parâmetros
vibracionais e métodos de estimação. Em seu experimento foram utilizadas as FRFs medidas,
o método de análise modal híbrida, a matriz de transformação e o método de diferenças
finitas para a estimação do tensor de deformação. Também foram mostrados os modos de
deformação operacionais obtidos pela análise modal híbrida e o método de elementos finitos,
utilizado na derivação numérica. Para o procedimento experimental, foram utilizados
acelerômetros e um shaker eletrodinâmico como mecanismo de excitação.
1.2 Motivação
Dentre as diversas técnicas de análise estrutural, destaca-se a análise modal
experimental (AME) que consiste em estabelecer a relação entre a resposta vibratória e
excitação como função da frequência de excitação. Esta relação é conhecida como Função
Resposta em Frequência, ou FRF.
Combinações de excitações e respostas em diferentes posições levam a um conjunto de
FRFs, representadas por uma matriz FRF do sistema. Esta matriz é, geralmente, simétrica,
refletindo a reciprocidade estrutural do sistema.
A análise modal experimental pode ser dividida em três fases: preparação do teste,
medição das FRFs e identificação dos parâmetros modais.
A preparação do teste abrange a seleção do suporte da estrutura, tipos de forças de
excitação, dispositivos para medir forças e respostas, entre outros (HE & FU, 2001).
A nível de graduação, as três fases citadas acima podem ser desenvolvidas em
diferentes disciplinas do curso de engenharia mecânica, tais como instrumentação, vibrações e
controle, porém faz-se necessário a integração das mesmas para que se possa chegar a
resultados conclusivos no que diz respeito a análise modal experimental.
Diante da possibilidade de integração e consolidação dos conhecimentos teóricos
adquiridos em sala de aula através do uso de equipamentos e software de ultima geração,
vislumbra-se a oportunidade da realização de análise modal experimental. Permitindo ao
16
aluno colocar em prática e enriquecer seu processo de formação como graduando em
Engenharia Mecânica.
1.3 Objetivo Geral
O objetivo geral deste trabalho é explorar os diversos conceitos adquiridos em sala de
aula para realização de uma análise modal experimental numa placa retangular de alumínio
na condição livre-livre, utilizando Vibrômetro Laser Doppler para medir a resposta vibratória
e um martelo de impacto como forma de excitação da estrutura.
1.4 Objetivos Específicos
A seguir, tem-se a relação dos objetivos específicos a serem alcançados:
 Análise modal experimental sem a presença de ruído.
 Análise modal experimental com a presença de ruído.
 Comparação dos resultados com e sem a presença de ruído.
 Comparação dos resultados com os resultados encontrados por Gevinski (2014).
 Modelar placa utilizando o software ME'scopeVES™.
 Descrever bancada experimental, instrumentação e software utilizados para o
experimento.
1.5 Organização do trabalho
Este trabalho consiste de 5 (cinco) itens, a seguir faz-se uma breve descrição de cada
um desses:
No item 2 é abordada a fundamentação teórica básica para a realização da análise
modal experimental, interpretação e comparação dos resultados.
17
No item 3 é apresentado o procedimento experimental utilizado para a análise modal
experimental, bem como as configurações e ajustes da instrumentação e softwares necessários
para o experimento.
No item 4 são apresentados os resultados e realizadas comparações entre os diferentes
resultados encontrados.
Finalmente, no item 5 é apresentada a conclusão, propostas para trabalhos futuros e a
visão critica do autor sobre a importância do Trabalho de Conclusão de Curso.
2 ANÁLISE DE SISTEMA DE UM GRAU DE LIBERDADE
Considere o sistema mostrado na Figura 2, que consiste de uma massa m, conectada a
uma referência fixa por uma mola de rigidez k, e coeficiente de amortecimento viscoso c ou h
para amortecimento histerético. Para uma força f(t) atuando sobre a massa do sistema, o
movimento resultante da massa é restrito à direção x.
Figura 2 - Sistema com um grau de liberdade sujeito a uma força f(t).
A equação de movimento para este sistema é dada pela Equação 1:
̈( ) +
̇( ) +
( )= ( )
(1)
Para obter-se a Função de Transferência, que representa a resposta dinâmica do
sistema, as condições iniciais são consideradas iguais à zero. Portanto, ao aplicar a
Transformada de Laplace para estas condições obtém-se:
18
( )+
( )(
+
( )+
( )= ( )
+ )= ( )
(2)
A Função de Transferência, por definição, é a função que relaciona a resposta do
sistema a uma excitação a ele aplicada, Equação (3):
( ) =
( )
=
( )
1
+
(3)
+
O denominador da equação acima é denominado equação característica e permite a
determinação de duas raízes. Para um sistema sub-amortecido, as raízes são dadas por:
,
= ±
(4)
com,
=−
=
(5)
1−
(6)
onde ωn é a frequência natural, ωd é a frequência natural amortecida e é o fator de
amortecimento. A Função de Transferência pode ser reescrita e expandida em frações parciais
como:
( ) =
1
( − )( −
∗
)
=
( −
)
+
( −
∗
)
(7)
onde os conjugados complexos A e A* são definidos como sendo os resíduos da Função
de Transferência e diretamente relacionados à amplitude da Função Resposta Impulsiva.
Avaliando a Função de Transferência no domínio da frequência obtém-se:
19
∗
( )=
( )|
=
(
−
)
+
(
−
∗)
∗
=
( −
+
)+
( +
)+
(8)
Que representa a expansão em frações parciais da FRF de um sistema de um grau de
liberdade. Entretanto, as formas mais comuns de se apresentar a FRF são:
( )= ( )=
1
−
+
1/
=
1−
+ 2
=
1/
−
+ 2
(9)
Esta forma da FRF, onde a resposta é deslocamento, é também chamada de
Receptância. Visto que o valor da FRF em qualquer frequência é um número complexo,
podemos determinar o seu módulo (magnitude) e a sua fase como:
1/
| ( )| =
/
1−
(10)
+ 2
2
(11)
. ( ) = − tan
1−
Em frequências muito menores que a frequência natural, ω
<<
ωn, as Equações 10 e 11
são reduzidas para:
| ( )| =
1
. ( ) = 0°
(12)
(13)
O ganho em baixa frequência é uma constante igual a (1/k), inverso da rigidez, e a fase
assume o valor de 0°.
20
Em frequências muito maiores que a frequência natural, ω >> ωn, as Equações 10 e 11
são reduzidas para:
| ( )| =
1
(14)
. ( ) = −180°
(15)
Em altas frequências o ganho é dado por 1/ (m.ω2) e a fase é de -180°.
Na ressonância, ω = ωn, a magnitude e fase são reduzidas para:
| ( )| =
1
2
(16)
. ( ) = 90°
(17)
Portanto, o ganho na ressonância é igual ao ganho em baixa frequência dividido por 2 .
Figura 3 - Diagrama de Bode para Magnitude da FRF para SDoF.
(Figura extraída de RAO, S. S., Mechanical vibrations, 2010)
21
Figura 4 - Diagrama de Bode para Fase da FRF para SDoF.
(Figura extraída de RAO, S. S., Mechanical vibrations, 2010)
A magnitude e a fase da FRF para um sistema de um grau de liberdade são mostradas
nas Figuras 3 e 4. O primeiro gráfico relacionado à magnitude da FRF é traçado em função
da frequência em escala log-log. O segundo gráfico, relacionado à fase, também é traçado em
função da frequência, porém em escala linear-log. Estes dois gráficos são denominados
Diagramas de Bode. Nota-se que os picos das curvas da Figura 3 ocorrem próximos a
frequência natural. Além disso, a declividade das curvas em baixa frequência é nula,
significando que a FRF não muda com a frequência. Entretanto, a declividade das curvas em
alta frequência é alta.
22
2.1 Representações da FRF para um sistema SDoF
Depois de obtidas as expressões para a Receptância H(ω) ou α(ω) é necessário abordar
as distintas formas de se representar a FRF de um sistema com um grau de liberdade. A
Receptância descreve a relação entre a resposta em termos de deslocamento e a força de
excitação aplicada a um sistema, caracterizando assim as suas propriedades dinâmicas.
As propriedades dinâmicas de um sistema podem ser expressas em termos de qualquer
característica de resposta conveniente e não somente em termos do deslocamento. A FRF
correspondente também pode ser apresentada em termos da velocidade ou aceleração.
Substituindo a resposta deslocamento
( ) por velocidade ̇ ( ) e por aceleração ̈ ( ),
outros dois tipos de diferentes de FRFs podem ser definidas como:
: ( ) = â
̇( )
=
( )
: ( ) = ̈( )
=
( )
−
+
−
−
+
(18)
(19)
Os três tipos de FRFs, ( ), ( ) e ( ) são intercambiáveis. Analisando as Equações
18 e 19, percebe-se que as magnitudes se relacionam da seguinte forma:
| ( )| =
| ( )| =
| ( )|
(20)
A diferença de fase se mantém constante para qualquer frequência:
. ( )=
. ( ) + =
2
. ( )+
(21)
Como as FRFs são funções complexas da frequência, é impossível traçar um gráfico
que demonstre seu comportamento utilizando apenas um sistema bidimensional. Um gráfico
tridimensional da FRF Receptância de um sistema SDoF é mostrado na Figura 5.
23
Figura 5 - Representação tridimensional da Receptância para SDoF.
(Figura extraída de He Jimin and Fu Zhi-Fang, Modal analysis, 2001)
Trata-se de uma representação completa da FRF Receptância. Entretanto, não é uma
forma conveniente de se representar a FRF. Desta forma, podemos representar a FRF em
dois gráficos separados.
A projeção do gráfico tridimensional no plano real X frequência torna-se a parte real
da FRF e a projeção no plano imaginário X frequência torna-se a parte imaginária da FRF,
conforme mostra a Figura 6:
Figura 6 - Parte Real e Parte Imaginária da FRF Receptância de um sistema SDoF.
Nota-se que a parte real da Receptância cruza o eixo das frequências na ressonância
enquanto, na mesma região, a parte imaginária apresenta um mínimo.
24
Os gráficos mostrados nas Figuras 3 e 4 representam a magnitude e fase de uma FRF
para um grau de liberdade. Um sistema com múltiplos graus de liberdade apresentará vários
picos no seu gráfico de magnitude, correspondentes a cada uma das frequências naturais do
sistema, Figura 7. No gráfico de fase é esperado que, para cada ressonância, exista uma
mudança de fase de 180°. Entretanto, com a presença de amortecimento os ângulos de fase
não são mais exatamente 0° ou -180°. Além disso, em uma medição real o gráfico de fase é
muito sensível a ruídos (HE & FU, 2001). Nota-se também que existem alguns picos
invertidos, estes são denominados antirressonâncias e apresentam um comportamento
importante que é uma mudança de fase como aquelas associadas às ressonâncias.
Figura 7 - Diagrama de Bode para um sistema com múltiplos graus de liberdade.
2.2 Função de Coerência
A função coerência é uma medida da potência do sinal de resposta causado pela
entrada. Se a coerência é 1 (um), então toda a potência de saída é função somente da
entrada. H1 e H2 são estimadores para as FRFs do sistema, Equações 22 e 23.
( ) =
( )
( )
(22)
25
( ) =
Onde,
( )
( )
(23)
( )é a auto densidade espectral de potência da força de excitação,
auto densidade espectral de potência da resposta,
( ) e
( )é
( ) são as densidades
espectrais de potência cruzada entre a força de excitação e a resposta.
Esta função pode ser usada para verificar a qualidade da medição. Quanto mais
próximo de 1 (um)
estiver o valor de coerência melhor é a medição. O estimador H1 é
especialmente afetado por ruídos no sinal de entrada, enquanto H2 é mais afetado por ruídos
no sinal de saída. A coerência
( ) =
é dada pela Equação 24:
( )
( )
(24)
2.3 Método de Identificação dos Picos
Todos os métodos para
SDoF são baseados na suposição que na proximidade da
ressonância, a FRF é dominada pela contribuição daquele modo de vibração e a contribuição
de outros modos são desprezíveis. Um dos métodos mais utilizados na identificação dos
parâmetros modais para sistemas com um grau de liberdade (SDoF) é o Método de
Identificação dos Picos. As frequências são tomadas simplesmente da observação dos picos da
curva de magnitude da resposta. As razões de amortecimento são calculadas da agudeza dos
picos.
Este método é aplicado da seguinte forma:
 É necessário identificar os picos da FRF, desta forma são isolados os diversos modos.
Em cada modo deve ser localizada a frequência para a qual a magnitude da FRF é máxima,
sendo essa a frequência natural do modo.
 Para estimar o amortecimento, são determinados os pontos de média potência,
, com amplitude de
| ( )|
√
e
, como mostrado na Figura 8.
26
Figura 8 - Representação dos pontos da banda de intensidade média de um pico de uma
frequência de ressonância.
Desta forma, o fator de amortecimento pode ser estimado através da Equação 25:
=
−
2
(25)
3 PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS E INSTRUMENTAÇÃO
Neste item é feita a descrição dos procedimentos experimentais e instrumentação
utilizada para realização da análise modal experimental. Além disso, é apresentado a bancada
experimental, instrumentações utilizadas, configurações e os softwares necessários para
análise dos resultados.
Na Figura 9, tem-se uma visão geral do procedimento experimental adotado.
27
Figura 9 - Representação esquemática do procedimento experimental adotado para AME.
3.1 Estrutura Ensaiada
A análise modal experimental foi realizada em uma placa retangular de alumínio, uma
vez que diversas estruturas são constituídas por este componente. Além disso, o alumínio é
material muito utilizado em aplicações de engenharia. A placa de geometria retangular foi
adotada para evitar a presença de modos simétricos. A placa possui dimensões 0,400 x
0,500m (x,y) e espessura nominal de 9,5 mm ou comercial de 3/8’’. A placa foi discretizada
em uma malha de medição com 99 pontos igualmente espaçados. Na Figura 10 tem-se uma
ilustração da placa utilizada no experimento com a malha de medição.
28
Figura 10 - Placa retangular de alumínio (0,400 x 0,500 x 0,0095m) e malha de medição
com 99 pontos. (Figura extraída de Gevinski, 2014)
Para a realização dos ensaios é necessário definir como a estrutura será suportada.
Esta definição é fundamental, para evitar a presença de erros nos resultados experimentais
(EWINS, 2000). Na condição livre – livre, a placa está sujeita a tensões nulas nas regiões de
contorno.
Nos ensaios de corpo livre, a estrutura está na realidade suspensa por algum meio
como, por exemplo, pendurada em condições elásticas suficientemente suaves para se assumir
como verdadeira a condição livre-livre. Tal arranjo cria um ou mais modos de corpo rígido
devido à rigidez do material suportando a estrutura e da massa total da estrutura. Se as
frequências naturais desses modos de corpo rígido são distantes da primeira frequência
natural da placa, a FRF medida não será afetada por esta condição de contorno. (HE & FU,
2001).
Inicialmente foram fixadas 99 fitas refletivas em cada um dos pontos de medição
discretizados. A suspensão da placa ensaiada foi feita por fios de nylon presos a vigas de uma
bancada isolada de fontes de vibrações externas, Figura 11.
Com o objetivo de estudar a interferência de ruídos externos nos resultados das
medições, uma caixa acústica foi posicionada aproximadamente 20 cm na parte posterior da
placa. Após a execução do teste sem a presença de ruído, o teste foi repetido com a caixa
acústica emitindo ruídos em diferentes faixas de frequência.
29
Figura 11 - Montagem experimental utilizada para AME com Vibrômetro Laser Doppler.
3.2 Mecanismo de Excitação
O tipo de excitação que a estrutura necessita ser submetida está diretamente associado
à faixa de frequência de interesse, tamanho da estrutura e também a presença ou não de não
linearidades. Assim sendo, a excitação da estrutura pode ser feita através de impulso,
excitação impulsiva, onde é utilizado um martelo de impacto apropriado. A excitação
impulsiva é capaz de excitar uma faixa de frequência da estrutura, pois analiticamente, a
transformada de Fourier de um impulso unitário é um valor constante em todas as
frequências.
O martelo de impacto é constituído por ponta, transdutor de força e haste. As pontas
podem ser substituídas para alterar-se a rigidez. O martelo é simples, tem menor custo e a
preparação para o teste é menos trabalhosa do que um shaker. Por outro lado, ele pode não
ser capaz de transmitir energia suficiente para obter sinais de resposta na faixa de frequência
desejada. A magnitude do impacto é determinada pela massa do martelo e a velocidade de
impacto ao atingir a estrutura. A faixa de frequência excitada é controlada pela rigidez das
30
superfícies de contato e a rigidez da ponta do martelo. Uma ponta do martelo rígida ao
impactar numa superfície rígida irá excitar uma ampla faixa de frequência.
Figura 12 - Típica resposta em frequência de um impulso criado por um martelo de
impacto. (Figura extraída de RAO, S. S., Mechanical vibrations, 2010)
Figura 13 - FRF, Coerência e Impulso quando a ponta não é capaz de excitar todas as
frequências.
Uma típica resposta em frequência de um impulso criado ao utilizar um martelo de
impacto é mostrada na Figura 12. Existe uma faixa de frequência de excitação útil limitada
por uma frequência de corte (cutoff frequency - ωc ), que significa que a estrutura não recebeu
energia suficiente para excitar os modos além desta frequência. Os valores de ωc são
31
estimados como a frequência em que a amplitude da resposta em frequência do impulso é
reduzida entre 10 e 20 dB do seu valor máximo (RAO, 2010). Se a ponta selecionada não for
capaz de excitar todas as frequências, a coerência e FRF obtidas na medição são deterioradas,
conforme mostrado na Figura 13.
Outro aspecto do martelo de impacto é que pode ser difícil controlar a direção da força
aplicada. Com o objetivo de se uniformizar a direção e velocidade do impacto, foi construído
um pêndulo de impacto com o martelo fixo a ponta do pêndulo, Figura 14.
Figura 14 - Montagem em pêndulo do martelo de impacto.
O martelo de impacto utilizado foi fabricado pela Dytran Instruments modelo 5805A.
Este instrumento consiste em uma célula de carga com uma faixa de medição de 0 até 5000
LbF e sensibilidade de 1.08 mV/LbF.
Nesta análise, o martelo impacta contra a parte posterior da placa, referente à
coordenada -Z, ponto 79 da malha de medição mostrada na Figura 10. A escolha do ponto de
excitação é pelo fato de provocar uma melhor distribuição da força de excitação ao longo da
placa.
32
3.3 Vibrômetro Laser Doppler (VLD)
O Vibrômetro Laser Doppler tem seu funcionamento baseado no efeito Doppler. Esta
técnica permite medir a velocidade instantânea de uma superfície em movimento.
Diferentemente dos acelerômetros, o VLD tem como sua principal vantagem a ausência de
contato com a estrutura. Desta forma, não existe influência da massa dos transdutores nas
medições. Outra vantagem é que ele permite a medição em ambientes hostis, principalmente
superfícies quentes ou com altos campos eletromagnéticos.
As medidas são relativamente rápidas, fáceis e a resolução e precisão das medidas são
altas. As desvantagens envolvem o preço dos equipamentos a laser e a necessidade de se
manter uma linha de visão entre o vibrômetro e a superfície a ser medida.
O Vibrômetro Laser Doppler utilizado no experimento foi o OFV-503 da Polytec
GmbH. O laser é do tipo Hélio-Neônio, classe II. Esta classe de laser não causa danos à visão
em circunstâncias normais, mas podem produzir dano ocular se visualizados diretamente
durante tempo prolongado. Na Figura 15, tem-se a ilustração deste equipamento.
Figura 15 - Sensor Vibrômetro Laser Doppler, Modelo OFV-503 da Polytec GmbH.
O modelo de vibrômetro utilizado permite que o feixe de laser seja ajustado apenas
manualmente através do anel de ajuste de foco, localizado na parte frontal do sensor. O
sensor é equipado com as lentes OFV-LR para longas distâncias (entre 530 mm até 100 m).
A distância entre o anel de ajuste de foco e a superfície a ser medida deve ser ajustada para
garantir máxima visibilidade e consequente melhor qualidade do sinal obtido. A qualidade do
sinal é mostrada através de um display na parte posterior do sensor. As distâncias em
milímetros de máxima visibilidade podem ser calculadas através da Equação 26.
33
DistânciasdeMáximaVisibilidade = 234mm + (n ∙ I); n = 0,1,2, … ; I = 204 ± 1mm
(26)
Para auxiliar no alinhamento e posicionamento do feixe do laser, o vibrômetro foi
montado em um tripé com regulagem de altura e níveis de bolha, conforme mostrado na
Figura 11.
3.3.1 Controlador do Vibrômetro e Junction Box
O controlador do vibrômetro utilizado foi o OFV-5000 da Polytec GmbH, equipado
com o decoder de velocidade VD-06 e o decoder de deslocamento DD-500. O decoder VD-06
utiliza tecnologia de processamento de sinais digital (DSP) para aumentar sua precisão e
resolução. O VD-06 possui quatro ajustes de sensibilidade, para a sensibilidade de 50 mm/s/
V que permite picos de até 0,5 m/s, a maior resolução é de 0.06
–1
/
e frequência de
sinais até 350 kHz. Na Figura 16, tem-se uma ilustração do controlador OFV-5000.
Figura 16 - Controlador OFV-5000 da Polytec GmbH, equipado com o decoder de
velocidade VD-06 e o decoder de deslocamento DD-500.
A Junction Box é um equipamento da Polytec GmbH que permite a interface entre os
diferentes conectores BNC e a placa de aquisição de dados, Figura 17. O modelo utilizado
para o ensaio foi o VIB-E-400 que permite a entrada de sinais analógicos (conectores BNC
VELO e REF 1), I/O digitais (TRIG IN, AUX IN, AUX OUT, SYNC) e a saída analógica
34
SIGNAL1. Com o uso do software VibSoft as entradas analógicas VELO e REF1 podem
operar com a função IEPE (ICP®) para a conexão de sensores desse tipo. Neste caso, uma
corrente de 4mA é fornecida ao sensor.
Figura 17 - Representação esquemática das conexões na Junction Box VIB-E-400.
3.4 Placa de Aquisição de Dados
O conversor analógico digital utilizado no experimento foi a placa de aquisição NI PCI4461 da National Instruments. A placa possui duas entradas analógicas simultâneas de 24bits (taxa de amostragem máxima de 80 kHz) e duas saídas analógicas simultâneas de 24-bits
(taxa de amostragem de 204.8 kS/s) com range de entrada de ±316 mV até 42,4 V. Além
disso, ela possui filtro anti-aliasing até 92 kHz. É necessária a instalação do software NIDAQmx para a sua utilização.
Na Figura 18 tem-se o detalhe dos conectores BNC e SMB na placa. A extremidade
oposta dos cabos é conectada na parte traseira da Junction Box descrita no item anterior.
Toda a instalação e configuração da placa foram realizadas para o desenvolvimento do
trabalho.
35
Figura 18 - Detalhe dos conectores BNC e SMB na placa NI PCI-4461.
3.5 Uso do VibSoft Data Acquisition Software
Figura 19 - Tela principal do Vibsoft Data Acquisition Software.
Na Figura 19 tem-se a tela principal do Vibsoft Data Acquisition Software. O VibSoft80 da Polytec GmbH foi a ferramenta utilizada para o processamento dos sinais. O software
permite a configuração dos diversos parâmetros para aquisição de dados, como filtros, direção
da medição, entrada dos valores de sensibilidade do martelo e do vibrômetro, janelamento,
frequência de amostragem, número e tipo de médias, configurações do trigger, além de uma
36
função para melhoria da relação sinal-ruído chamada Signal Enhancement (SE). Após a
aquisição dos dados é possível a visualização dos gráficos no domínio do tempo e da
frequência, as FRFs Mobilidade, Acelerância e Receptância e também o gráfico de Coerência
para os estimadores H1 e H2. Os resultados podem ser exportados para diversos formatos,
como o formato de interesse para esse trabalho, o formato .UFF (Universal) usado pelo
software ME'scopeVES™.
3.5.1 Parâmetros para aquisição de dados
As configurações de aquisição de dados desempenham um papel fundamental para a
obtenção de resultados confiáveis. A seguir serão discutidos alguns dos parâmetros do
processamento e estimativa das FRFs no experimento.
 Aliasing e Leakage:
Figura 20 - Fenômeno de aliasing.
A geração de um sinal discreto no tempo através da amostragem de um sinal analógico
pode produzir um efeito denominado aliasing, Figura 20. O efeito faz com que um sinal
analógico de alta frequência seja mal interpretado como um sinal discreto de baixa frequência
devido uma baixa taxa de amostragem. Para prevenir ou reduzir o aliasing, pode-se aumentar
a taxa de amostragem ou introduzir um filtro anti-aliasing.
O leakage ou vazamento é um fenômeno que tende a espalhar energia contida numa
frequência em linhas de frequências adjacentes no espectro, distorcendo-o, e fazendo com que
a amplitude seja subestimada. O leakage ocorre na transformação dos dados no domínio do
tempo para o domínio da frequência usando a FFT (fast Fourier transform). O processo da
37
FFT requer que o sinal amostrado consista de uma representação completa do sinal original
no domínio do tempo ou contenha uma repetição periódica do sinal original medido. Caso
isso não ocorra, a repetição do registro temporal não é capaz de reconstruir exatamente o
sinal original, implicando em distorção em seu espectro.
Para atenuar o efeito de leakage, os sinais que não possuam número inteiro de ciclos
dentro do registro temporal, devem ser multiplicados por uma função matemática chamada
janela. A janela exponencial impõe um decaimento exponencial ao sinal dentro do período de
amostragem, não atenuando os sinais no início da janela. É altamente apropriada para sinais
transientes quando se deseja avaliar a ocorrência de impactos no início do sinal.
Outro ponto importante para a análise de sinais aleatórios de vibração é a necessidade
de se realizar um processo de média, que envolve a obtenção de várias amostras antes que um
resultado possa ser utilizado com confiança. As duas principais considerações necessárias para
determinar-se o numero de médias são a confiabilidade estatística e a remoção de ruídos
aleatórios dos sinais (EWINS, 2000).
Neste trabalho, foram utilizadas 3 (três) médias complexas e a janela exponencial com
parâmetro de decaimento exponencial 6, Figura 21.
Figura 21 - Configuração de médias (à esquerda) e de janelamento (à direita).
Na Figura 22 têm-se as configurações de direções, IEPE e sensibilidade. As direções de
excitação e resposta também devem ser especificadas no software. Foi adotada a direção
“+Z” para a resposta medida pelo vibrômetro e “-Z” para a excitação do martelo, uma vez
que o martelo impacta contra a parte posterior da placa, como mostra a Figura 14. Ao
marcar a caixa de IEPE para a Reference 1 uma corrente de 4mA é fornecida ao martelo de
impacto através da entrada REF1 da Junction Box. As sensibilidades são indicadas na coluna
38
Factor. A sensibilidade do martelo é conhecida através da folha de calibragem e a do
vibrômetro pode ser escolhida através do controlador OFV-5000.
Figura 22 - Configuração de direções, IEPE e sensibilidade.
Na Figura 23 tem-se a configuração de filtros para os sinais de resposta do vibrômetro e
sinal de excitação do martelo de impacto. O filtro passa-altas (High pass) permite a passagem
das frequências altas com facilidade e atenua a amplitude das frequências abaixo de uma
determinada frequência de corte. Com o objetivo de se atenuar o efeito do movimento de
pêndulo, em baixa frequência, na resposta da placa retangular foi utilizado um filtro passaaltas com frequência de corte igual a 4 Hz.
Figura 23 - Configuração de filtros.
A faixa de frequência de interesse é especificada, de 0 até 1 kHz, assim como o número
de linhas FFT. Desta forma, a frequência de amostragem, resolução e tempo de amostragem
são calculados automaticamente pelo Vibsoft, Figura 24.
As configurações de trigger também devem ser especificadas. A entrada analógica
Reference 1 (entrada REF1) foi escolhida e um valor de pré-trigger de 15% do tempo de
amostra ajustado, Figura 24.
39
Figura 24 - Configuração de Frequência e Trigger.
3.5.2 Manipulação de arquivos
Figura 25 - Tela de exportação dos arquivos e formato salvos.
Após a medição de cada ponto da malha de medição é preciso salvar o arquivo com os
resultados no formato .pvd. Para facilitar a importação no software ME’scopeVES, o arquivo
deve ser salvo com o nome no formato “(número do ponto da resposta)(direção da resposta)
(número do ponto da excitação)(direção da excitação).pvd”. Por exemplo, os resultados do
ponto 99 quando a placa é excitada na parte posterior do ponto 79 deve ser “99Z -79Z”. Os
resultados de interesse (FRF Acelerância, Mobilidade, Receptância, resposta no tempo,
Coerência, etc.) são então exportados para o formato .uff (Universal). Na Figura 25 tem-se a
tela de exportação dos arquivos e o formato dos arquivos salvos.
40
3.6 Uso do ME'scopeVES™
O ME’scopeVES é um software da Vibrant Techonology com uma família de pacotes
que auxiliam a observação, análise, e documentação de problemas relacionados a ruídos e
vibração em máquinas e estruturas. O ME’scopeVES pode ser usado para aquisição de dados
e processamento de sinais, análise ODS, AME, AMO, Análise Acústica e Vibro-Acústica,
dentre outros.
A placa retangular e sua malha de medição foram modeladas no software, como
mostrado na Figura 26.
Figura 26 - Placa retangular e malha de medição modeladas no ME’scopeVES.
Após a exportação dos arquivos .pvd para .uff, os resultados podem ser importados
para o ME’scopeVES atráves da função importar Data Block, mostrado na Figura 27. As
formas modais são animadas no programa avaliando uma equação de animação em cada um
dos pontos da malha. Tais equações são criadas através da atribuição das medições (M#s) no
Data Block (BLK) para os pontos do modelo da estrutura. Como os arquivos foram salvos no
formato citado no item acima, é possível utilizar a função “Use File Name as DOFs” (Usar
nome dos arquivos como DOFs).
41
Figura 27 - Janela de importação das FRFs (Data Block) no ME’scopeVES.
4 ANÁLISE E COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS
As Acelerâncias foram obtidas utilizando o estimador H1, Equação 22. A Figura 28
mostra os espectros de amplitude de Acelerância sobrepostos, sem a presença de ruído gerado
pela caixa acústica, para os 99 pontos da malha de medição.
Figura 28 - FRFs Acelerância (sem ruído) sobrepostas dos 99 pontos da placa e excitação
no ponto 79.
42
As Figuras 29 e 30 representam, respectivamente, a FRF Acelerância e a função de
coerência para o ponto 99 da placa e excitação pelo martelo de impacto no ponto 79, sem a
presença de ruído.
Figura 29 - FRF Acelerância (sem ruído) no ponto 99 da placa e excitação no ponto 79.
Figura 30 - Coerência (sem ruído) do ponto 99 da placa e excitação no ponto 79.
43
As Figuras 31 e 32 representam, respectivamente, a FRF Acelerância e a função de
coerência para o ponto 99 da placa e excitação pelo martelo de impacto no ponto 79, com a
presença de ruído gerado pela caixa acústica.
Figura 31 - FRF Acelerância (com ruído) no ponto 99 da placa e excitação no ponto 79.
Figura 32 - Coerência (com ruído) do ponto 99 da placa e excitação no ponto 79.
44
As Figuras 33 e 34 foram obtidas por Gevinski (2014) e representam a FRF Acelerância
e a função de coerência para o ponto 22 da placa e excitação utilizando shaker no ponto 40.
Figura 33 - FRF Acelerância no ponto 22 da placa e excitação no ponto 40.
(Figura extraída de Gevinski, 2014)
Figura 34 - Coerência do ponto 22 da placa e excitação no ponto 40.
(Figura extraída de Gevinski, 2014)
Nos resultados mostrados na Figura 30 (teste sem ruído) percebe-se que a função
coerência tem valores diferentes de 1 (um) nos valores referentes a ressonância e
antirressonância e também para valores de frequência acima de aproximadamente 800 Hz.
Além disso, a Figura 29 mostra valores da FRF relativamente mais ruidosos para frequências
acima de 800 Hz.
45
Na Figura 35, percebe-se que a placa não recebeu energia suficiente para excitar os
modos além da frequência de aproximadamente 800 Hz, como discutido na seção 3.2. A
amplitude da resposta em frequência do impulso é reduzida de -45 dB em 0 Hz para -65 dB
em aproximadamente 800Hz. Desta forma, a coerência e FRF obtidas na medição foram
deterioradas. Uma ponta do martelo mais rígida poderia ter sido utilizada para garantir que
os modos acima de 800 Hz fossem devidamente excitados.
Figura 35 - FRF Mobilidade (sem ruído) e espectro do impacto no ponto 99 e excitação
no ponto 79.
Os seis primeiros modos são referentes aos modos de corpo rígido. As frequências
naturais referentes aos nove primeiros modos elásticos, do 7º ao 15º, são mostradas na Tabela
1. Sendo o erro percentual, Equação 26, calculado em relação aos resultados obtidos por
Gevinski (2014).
% = (
)
(
−
(
í
í
)
∙ 100%
(26)
)
46
Tabela 1 - Frequências naturais: sem ruído, com ruído e resultados de Gevinski (2014).
Sem ruído
Com ruído
Gevinski
ωn [Hz]
ωn [Hz]
ωn [Hz]
Erro
[%]
7º Modo Natural
154
154
158,06
2,6%
8º Modo Natural
197
197
202,98
3,0%
9º Modo Natural
330
330
337,82
2,4%
10º Modo Natural
371
371
381,8
2,9%
11º Modo Natural
437
437
448,62
2,7%
12º Modo Natural
578
578
593,83
2,7%
13º Modo Natural
722
722
743,41
3,0%
14º Modo Natural
738
738
758,31
2,8%
15º Modo Natural
891
891
913,27
2,5%
Modos Naturais
As Figuras de 36 a 44 ilustram os nove modos elásticos obtidos. Os resultados com
ruído e sem ruído, obtidos através do software ME’scopeVES, são comparados aos resultados
obtidos por Gevinski (2014).
(a)
(b)
(c)
Figura 36 - 7º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 154 Hz, (b) Com ruído, ωn = 154 Hz, (c) Gevinski, ωn = 158,06 Hz.
47
(a)
(b)
(c)
Figura 37 - 8º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 197 Hz, (b) Com ruído, ωn = 197 Hz, (c) Gevinski, ωn = 202,98 Hz.
(a)
(b)
(c)
Figura 38 - 9º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 330 Hz, (b) Com ruído, ωn = 330 Hz, (c) Gevinski, ωn = 337,82 Hz.
(a)
(b)
(c)
Figura 39 - 10º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 371 Hz, (b) Com ruído, ωn = 371 Hz, (c) Gevinski, ωn = 381,80 Hz.
48
(a)
(b)
(c)
Figura 40 - 11º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 437 Hz, (b) Com ruído, ωn = 437 Hz, (c) Gevinski, ωn = 448,62 Hz.
(a)
(b)
(c)
Figura 41 - 12º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 578 Hz, (b) Com ruído, ωn = 578 Hz, (c) Gevinski, ωn = 593,83 Hz.
(a)
(b)
(c)
Figura 42 - 13º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn =722 Hz, (b) Com ruído, ωn =722 Hz, (c) Gevinski, ωn = 743,41 Hz.
49
(a)
(b)
(c)
Figura 43 - 14º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 738 Hz, (b) Com ruído, ωn = 738 Hz, (c) Gevinski, ωn = 758,31 Hz.
(a)
(b)
(c)
Figura 44 - 15º Modo Natural da Placa Retangular:
(a) Sem ruído ωn = 891 Hz, (b) Com ruído, ωn = 891 Hz, (c) Gevinski, ωn = 913,27 Hz.
Percebe-se que na presença de ruídos externos, produzidos pela caixa acústica, os
modos encontrados são visivelmente mais distorcidos e por vezes indistinguíveis, como os
modos mostrados nas Figuras 38(b) e 43(b). Para a obtenção de modos com menor nível de
ruído é necessário a utilização de aparelhos específicos, técnicas adequadas de medição das
respostas, calibração dos aparelhos, ambiente de ensaio adequado, dentre outros. Uma das
possíveis soluções para tal problema é a utilização de métodos de suavização dos sinais, como
o método utilizado por Batista (2009), a série de Fourier discreta regressiva (RFDS).
Os resultados encontrados através dos experimentos são extremamente satisfatórios e
condizentes com os resultados encontrados por Gevinski (2014), apresentando erros menores
que 3% para as frequências naturais.
Os modos naturais sem ruído são equivalentes aos modos encontrados por Gevinski
(2014) apresentando baixos níveis de ruído. O 15º modo natural, para a frequência natural
891 Hz, apresenta o maior nível de ruído devido ao mecanismo de excitação utilizado.
50
5 CONCLUSÕES
O trabalho alcançou o seu objetivo principal de explorar os diversos conceitos
adquiridos em sala de aula para realização de uma análise modal experimental utilizando
Vibrômetro Laser Doppler para medir a resposta vibratória e um martelo de impacto como
forma de excitação da estrutura.
A análise modal experimental foi realizada satisfatoriamente sem a presença de ruído e
também com a presença de ruído externo, gerado por uma caixa acústica.
A comparação dos resultados encontrados foram satisfatórios e condizentes com os
resultados encontrados por Gevinski (2014).
A comparação entre os resultados com e sem ruído ainda sugere a necessidade de
utilização de métodos para suavização de sinais e utilização de instrumentação e técnicas
apropriadas para a obtenção de resultados de qualidade.
Os procedimentos experimentais, bancada, instrumentação e software utilizados para
análise dos resultados e modelagem da placa foram descritos em detalhes, facilitando assim a
continuidade e aprofundamento deste trabalho. Sugere-se para trabalhos futuros que sejam
utilizadas ponteiras mais rígidas do martelo de impacto ou utilização do shaker como forma
de excitação e levantamento das propriedades físicas do corpo de prova.
Por fim, o Trabalho de Conclusão de Curso ofereceu ao discente uma enriquecedora
integração e consolidação dos conhecimentos teóricos, além de proporcionar oportunidade
única de trabalhar com equipamentos e softwares de ultima geração, como o Vibrômetro
Laser Doppler e o software ME’scopeVES. A realização da análise modal experimental
contribuiu ativamente para o processo de formação como graduando em Engenharia
Mecânica, despertando habilidades e conhecimentos cruciais para prosseguir nos estudos a
nível de pós-graduação.
51
6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BATISTA, FABIANO BIANCHINI; Identificação das matrizes de rigidez elástica em
placas finas de materiais compósitos. Campinas - SP, 2009.
CRUZ, SÉRGIO LUIZ MATOS DA; Estudo de técnicas de análise modal operacional
em sistemas sujeitos a excitações aleatórias com a presença de componente
harmônico. Belém - PA, 2006.
EWINS, D. J.; Modal
testing:
theory,
practice,
and
application. Baldock,
Hertfordshire: Research Studies Press, 2000.
GEVINSKI, JAKERSON RICARDO. Determinação da deformação dinâmica em
superfícies utilizando parâmetros vibracionais. Campinas - SP, 2014.
HE, JIMIN; FU, ZHI-FANG; Modal Analysis. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2001.
LU, YE; Comparison of Finite Element Method and Modal Analysis of Violin
Top Plate. Montreal, 2013.
RAO, S. S.; Mechanical vibrations (5th ed.). Upper Saddle River: Prentice Hall, 2011.
RICHARDSON, M. H.; Is it a Mode Shape, or an Operating Deflection Shape?
Sound and Vibration, 1997.
SANTOS, JOSUÉ TAVEIRO; Análise Modal Experimental de Eixos Trincados.
Brasília – DF, 2007.
SOEIRO, N. S. Análise modal experimental. Apostila de aula. Belém - PA, 2001.
VOLD, HAVARD; SCHWARZ, BRIAN; RICHARDSON, M. H.; Display Operating
Deflection Shapes from Nonstationary Data, Sound and Vibration, 2000.
ZIVANOVIC, STANA; PAVIC, ALEKSANDAR; REYNOLDS, PAUL; Modal testing and
FE model tuning of a lively footbridge structure, 2006.
52
ANEXO 1
Tutorial – Modelar e Animar uma Placa Plana no ME’scopeVES
Os passos necessários pra modelar e animar uma placa plana no ME’scopeVES são
descritos nesta seção. As seguintes etapas serão realizadas:
I. Criar o modelo da placa com todos os pontos da malha incluídos;
II. Importar as FRFs obtidas experimentalmente (M#s);
III. Criar equações de animações, associando as FRFs aos DOFs (pontos e direções);
IV. Animar as formas modais da placa, posicionando o cursor em um pico de ressonância.
I. Desenhando o modelo
Modelos de estruturas 3D são facilmente construídas no ME’scopeVES utilizando o
Drawing Assistant (Assistente de Desenho). Modelos complexos podem ser criados através de
geometrias mais simples, chamadas SubStructures (Subestruturas).
 Clicar em Project | New para abrir um novo arquivo de projeto.
 Clicar em File | New | Structure, nomear o arquivo e apertar OK.
 Para inserir a unidade de comprimento desejada, clicar em File | Options na janela
Structure. Na aba Units, escolher a unidade para Length.
Drawing Assistant:
O modelo da placa pode ser criado pela modificação de uma das subestruturas editáveis
da biblioteca SubStructure no Drawing Assistant:
 Clicar em Draw | Drawing Assistant, na janela Structure, para mostrar as abas do
Drawing Assistant.
 Na aba SubStructure, rolar a barra para encontrar o modelo editável da placa e duplo
clique neste modelo. Uma subestrutura de placa plana será adicionada a planilha de
subestruturas e também será mostrada na janela Structure.
53
Como exemplo, será descrita a modelagem de uma placa retangular com uma malha de
30 pontos espaçados 10 unidades de comprimento entre eles, com 5 pontos na direção global
X e 6 pontos na direção global Y, como mostrado na Figura A.1.
Figura A.1 - Placa Retangular com malha 30 pontos (6x5).
 Na aba Dimensions, inserir a largura da placa Width = 50, o número de pontos
nesta direção Points = 6.
 Na aba Dimensions, inserir a altura da placa Height = 40 e o número de pontos
nesta direção em Points = 5.
A placa pode ser rotacionada da sua posição vertical para a horizontal em dois
incrementos de 45º cada:
 Na aba Position, inserir 45 na caixa Degrees, marcar Global e pressionar a seta Y
para cima duas vezes.
54
Numeração dos Pontos:
As formas são animadas no ME’scope avaliando uma equação de animação em cada
um dos pontos da malha. As equações são criadas através da atribuição das FRFs medidas
(M#s), salvas em um Data Block (BLK), para os Pontos e Direções (DOFs) do modelo da
estrutura. Os pontos são numerados da seguinte forma:
 Clicar em Draw | Points | Number Points na janela Structure.
A caixa de diálogo Number Points permite controlar o processo de numeração:
 Inicia-se com o ponto na origem dos eixos Globais, Figura A.2. Clicar próximo a cada
ponto no modelo para numerá-lo. Após numerar todos os pontos, clicar em Close.
Figura A.2 - Placa Retangular 30 pontos numerados.
Cada Ponto no modelo de uma estrutura possui seu próprio eixo de medida. Este
especifica as direções em que as medidas foram feitas em cada ponto:
 Clicar em Draw | Animation Equations | Equation Editor.
As abas de eixos de medidas (Measurement Axes) e equações de animação
(Animation Equations) são mostradas acima da planilha dos pontos.
55
Posicionar o mouse próximo a um ponto para mostrar seus eixos de medida. Clicar em
Edit | Select Objects | Select All para mostrar todos os eixos de medida.
Neste exemplo, as coordenadas dos eixos são retangulares e as direções dos eixos de
medida coincidem com os eixos Globais (X, Y, Z), conforme mostrado na Figura A.3.
Figura A.3 – Eixos de medidas da placa retangular.
II. Importando Medições
Para mostrar as formas do modelo da placa, o conjunto de FRF obtidas
experimentalmente são importadas em um arquivo Data Block (BLK):
 Clicar em File| Import | Data Block na janela do ME’scopeVES.
 Escolher o formato Universal (.UFF, .UNV, .ASC) na lista mostrada na caixa de
diálogo.
 Selecionar o(s) arquivo(s) com as FRFs medidas e clicar em Open.
O Data Block será aberto mostrando as FRFs importadas, como mostrado na Figura
A.4.
56
Figura A.4 - Janela Data Block mostrando a magnitude de uma FRF.
III. Equações de Animação
Nesse passo, as equações para as animações de cada dos pontos e FRFs são criadas:
 Clicar em Draw | Animation Equations | Create Measured (Assign M#s) na
janela Structure.
 Na caixa de diálogo aberta, selecionar Match Structure and Source DOFs,
depois clicar em OK.
IV. Animando Formas da Placa
 Clicar em Windows | Arrange Windows | For Animation na janela do
MES’scopeVES.
 Clicar em Draw | Animate Shapes na janela Structure para iniciar a animação.
 Posicionar o cursor sobre os picos de ressonância na FRF para visualizar as formas
modais.
57