TURMA DE MILITARES
4º SIMULADO DISCURSIVO – MATEMÁTICA
DATA: 17/09/2015
QUESTÃO 01
OA = R , e seja C o ponto em que a
tangente em B ao arco AB encontra o prolongamento de OA . Considere a figura plana ABC,
limitada pelo arco AB e pelos segmentos retilíneos AC e BC , e suponha que essa figura gira em
torno de OC como eixo , de modo a gerar um sólido de revolução.
3
R.
Calcule o volume desse sólido em função de R, sabendo que BC é igual a
4
a) Seja AB um arco de círculo inferior a um quadrante e de raio
V=
OBS: Volume do segmento esférico de uma face.
1 3 1
π.h + π.h.r 2
6
2
b) Na figura AC , AE , BD e BC são tangentes à circunferência de centro O e o raio r .
Calcule a medida do diâmetro do círculo.
1
RESOLUÇÃO
a)
V(SÓLIDODEREVOLUÇÃO ) = V(CONE ) − V(SEGMENTOESFÉRICO )
No triângulo BCO retângulo
⇒
OC =
⇒
r=
3
R
5
⇒
No triângulo BPO retângulo
OP =
OC = (R )
2
⎛ 3R ⎞
+⎜ ⎟
⎝ 4 ⎠
2
5
R
4
⎛3 ⎞
OC .(r ) = ( R ).⎜ R ⎟
⎝4 ⎠
⇒
⇒
⇒
2
⇒
4
R
5
⇒
h= R−
(R )2 = (r )2 + (OP )
4
R
5
2
2
⇒
h=
1
R
5
3
⇒
PC = OC − OP
⇒
2
1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 9 ⎞ ⎡ 1 ⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎤
V(SÓLIDO ) = π .⎜ R ⎟ .⎜ R ⎟ − ⎢ π .⎜ r ⎟ + π .⎜ R ⎟ .⎜ R ⎟⎥
3 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎢⎣ 6 ⎝ 5 ⎠
2 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 5 ⎠⎥⎦
V(SÓLIDO ) =
π
60
R3
RESPOSTA.
b)
Fig. 01
Fig. 02
2
PC =
9
R
20
No triângulo ABD isósceles ,
⇒
Logo
2
2
2
AD = 10 2 − 3 m
No triângulo ADF
⇒
( )
AD = (10 ) + (10 ) − 2.(10 )(
. 10).Cos 30 0
⇒
( )
( )
DF = 5 12 − 6 3 m
p(ΔADF ) =
ou
⇒
p(ΔADF ) =
e
⎝
5⎡
4 2 − 3 + 2 12 − 6 3 +
4 ⎢⎣
AT = AW
,
⇒
2 p(ΔADF ) = 2. AT
⇒
AT =
⇒
AT =
)
)
⎥
⎦
KF = FW
e
p(ΔADF ) = AT
(
⎠
5⎡
4 2 − 3 + 2.⎛⎜ 12 − 6 3 ⎞⎟ +
⎢
⎝
⎠
4⎣
⇒
r = Tg 30 0 . AT
⇒
2r =
r
AT
⇒
r=
6+ 2
4
m
)
4−2 3
m
4
( )
AF
6 + 2 . 4 − 2 3⎤
DT = DK
⎝
Tg 30 0 =
3
2
=
4−2 3
20 2 − 3 + 10.⎛⎜ 12 − 6 3 ⎞⎟ + 5. 6 + 2
Na figura 02 :
( )
(
DF
)
4
p(ΔADF ) =
=
AD + DF + AF
2
(
⎠
2
2
(
20 2 − 3 + 10.⎛⎜ 12 − 6 3 ⎞⎟ + 5. 6 + 2
Sabemos que :
⇒
10 2 − 3
5. 6 + 2 . 4 − 2 3
m
2
AF =
e
2 p(ΔADF ) = AD + DF + AF
⇒
( ) ⇒
AD
DF
AF
=
=
0
0
Sen 45
Sen 60
Sen 75 0
(
)
6 + 2 . 4 − 2 3 ⎤m
⎥⎦
3 5⎡
. 4 2 − 3 + 2.⎛⎜ 12 − 6 3 ⎞⎟ +
⎝
⎠
3 4 ⎢⎣
5 3 ⎡
. 4 2 − 3 + 2.⎛⎜ 12 − 6 3 ⎞⎟ +
⎝
⎠
12 ⎢⎣
(
3
)
6 + 2 . 4 − 2 3 ⎤m
⎥
⎦
(
)
6 + 2 . 4 − 2 3 ⎤m
⎥⎦
QUESTÃO 02
Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz
⎡
⎢ n
⎢
⎢n + 5
⎢
⎢ −5
⎢
⎣
A=
1⎤
2⎥
log2 2
− log2
log3 3n
log3 243 ⎥
log5
⎥
⎥
1
125
− log5 25 ⎥
⎥
⎦
−1
é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A .
RESOLUÇÃO
Sabendo que det A = 9, vem
n
n+5
−5
− log2
log2 2
n
log3 3
1
log5
125
1
2
n
1
1
log3 243 = 9 ⇔ n + 5 n 5 = 9
−5 −3 −2
− log5 25
⇔ 2n2 − 19n − 39 = 0
13
⇔ n = 3 ou n =
.
2
Mas n é natural, logo n = 3.
Seja
A
−1
=
⎡a
⎢
b
⎢
⎢
⎣c
d g⎤
e h⎥ .
⎥
f
i ⎥⎦
Queremos calcular a + b + c.
Como A ⋅ A −1 = I, sendo I a matriz identidade, vem
⎡ 3
⎢
8
⎢
⎢
⎣ −5
1
3
−3
1⎤
⎡a
⎥ ⎢
5 ⋅ b
⎥ ⎢
−2⎦⎥ ⎣⎢c
d g⎤
e
f
h⎥
⎥
i ⎦⎥
=
⎡1
⎢
0
⎢
⎢
⎣0
0 0⎤
1 0⎥ ,
⎥
0 1⎦⎥
de onde se obtém o sistema
⎧3a + b + c = 1
⎧a = 1
⎪
⎪
∼
8a
+
3b
+
5c
=
0
⎨
⎨b = −1.3
⎪−5a − 3b − 2c = 0 ⎪c = −1
⎩
⎩
Portanto, a + b + c = −1.
QUESTÃO 03
A função L (x) = a ⋅ eb x fornece o nível de iluminação, em luxes, de um objeto situado a x metros de uma
lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da
lâmpada recebe 60 luxes, e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.
4
RESOLUÇÃO
a)
⎧⎪a.eb = 60 ........ (1 )
⎧⎪a.eb.(1 ) = 60
⎧⎪L (1 ) = 60
⇒
⇒
⎨
⎨ b.( 2)
⎨ 2b
= 30
⎪a.e
⎪
⎩⎪L ( 2 ) = 30
⎩
⎩a.e = 30 ........ ( 2 )
1
1
Fazendo ( 2 ) ÷ (1 ) , teremos: eb = → (1 ) : a ⋅ = 60
a = 120
2
2
⇒ b
Como e =
1
2
⇒
1
2
loge eb = loge
⇒ b = log 2 ⇒
b) L ( x ) = aeb x , onde a = 120 e eb =
−1
1
⎛ 1⎞
, ou seja, L ( x ) = 120 ⋅ ⎜ ⎟
2
⎝2⎠
Para L ( x ) = 15
⇒
⎛ 1⎞
⎟
⎝2⎠
x
120 ⋅ ⎜
⎛ 1⎞
⎜ ⎟
⎝2⎠
Respostas: a) a = 120 e b = – Ln x.
x
⇒
b = − loge 2
e
= 15
b = − Ln 2
x
⎛1⎞
⇒ ⎜ ⎟
⎝2⎠
x
=
15
120
⎛ 1⎞
⇒ ⎜ ⎟
⎝2⎠
x
=
1
8
3
⎛1⎞
⎟
⎝2⎠
=⎜
⇒
x =3m .
b) 3 m.
QUESTÃO 04
Considere as funções reais
ଶ e 8 ଶ .
a) Encontre os dois pontos de intersecção de seus gráficos. Faça um esboço da região limitada por
esses gráficos. Encontre a área de R.
b) Se girarmos a parte da região situada no primeiro quadrante em torno do eixo 0Y, um sólido S1 é
formado. Calcule o volume de S1.
c) Se girarmos a região em torno do eixo 0X, um sólido S2 é formado. Calcule o volume de S2.
d) Um sólido S3, que tem por base a região R, tem a propriedade seguinte: cada plano ortogonal ao eixo
OX, que intersecta , produz no sólido S3 uma secção que é um quadrado de lado h, sendo ⊂ .
Calcule o volume de S3.
RESOLUÇÃO
a) Para encontrar os pontos de intersecções, basta substituir uma equação na outra. Obtemos ଶ 8 ଶ
e, portanto, ଶ 4, ou seja, 2. Assim os dois pontos de interseção são ଵ 2, 4 e ଶ 2, 4.
(esboço ...). A área da região é dada por;
ଶ
ଶ
8 ଶ ଶ ିଶ
8 2 ଶ ିଶ
ଶ
ଷ
8 2 3 ିଶ
8
32 64
8
16 2 ∙ 16 2 ∙ 32 3
3
3
3
b) Para cada ∈ 0, 8, a secção que o plano ortogonal ao eixo OY determina no sólido #ଵ é um círculo de
raio , cuja área vale $ ଶ . Mas, se ∈ 0, 4 então ଶ e se ∈ 4, 8 então 8 ଶ . Assim, o
volume de #ଵ é dado por
଼
଼
% ଴
$ ଶ
଴
ସ
଼
ଶ ସ
ଶ ଼
$ & $8 $ & $ 8 2 ଴
2 ସ
$ ∙ 8 & $ 64 ଴
ସ
64
16
32 8$ & 32 24$ 16$
2
2
5
c) Para cada ∈ 2, 2, a secção que o plano ortogonal ao eixo OX determina no sólido #ଶ é um círculo de
raio , cuja área vale
$
ଶ
ଶ
ଵ ଶ $8 ଶ ଶ ଶ ଶ $64 16 ଶ .
Assim, o volume de #ଶ é dado por
ଶ
ଶ
% $64 16 ଶ $ 64 16
ିଶ
ିଶ
଼
ି଼
$ '(128 16 ∙ ଷ) (128 16 ଷ )* $ '(
ଶ
ଷ
3 ିଶ
ଶହ଺
ଶହ଺
ହଵଶ
) & ( ଷ )* ଷ $.
ଷ
d) De acordo com a descrição do sólido #ଷ , para cada ∈ 2, 2, o lado do quadrado é 8 ଶ ଶ 8 2 ଶ e, portanto, a área de é dada por
ଶ 8 2 ଶ ଶ 64 32 ଶ & 4 ସ
Assim, o volume de #ଷ é dado por
ଶ
ଶ
% 64 32 ଶ & 4 ସ 64 32
ିଶ
ିଶ
଼
ଷଶ
'(128 32 ∙ ଷ & 4 ∙ ହ ) (128 32 ∙
ି଼
ିଷଶ
& 4 ∙ ହ )*
ଷ
6
'(
ଶ
ଷ
ହ
&4 3
5 ିଶ
ଵ଴ଶସ
ଵ଴ଶସ
) & ( ଵହ )*
ଵହ
ଶ଴ସ଼
.
ଵହ