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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
Exame Nacional de 2011 (1.ª Fase)
1.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos
P, R, S e T, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida desenhou-se a projeção horizontal da reta b (b1), passando pela
projeção horizontal do ponto P (P 1 ) e com a
direção dada no enunciado (r1 faz, com o eixo
X, um ângulo de 45º de abertura para a direita).
É pedido o traço da reta b no β2/4, ou seja, o ponto
da reta que tem as suas projeções coincidentes.
Sobre a reta b sabe-se, ainda, que é paralela ao
plano δ, que está definido pelos pontos R, S e T.
Para a reta b ser paralela ao plano δ, tem de ser
paralela a uma reta do plano δ (tem de verificar
o Critério de paralelismo entre retas e planos
em relação ao plano δ). Nesse sentido, há que
determinar as projeções de uma reta do plano δ
cuja projeção horizontal seja paralela à projeção
horizontal da reta b – a reta a. Por uma questão
de economia de traçados, optou-se por fazer a
projeção horizontal da reta a coincidente com a
projeção horizontal da reta b, mas poderia ter
sido de outra forma, o que implicaria, apenas,
que haveria mais traçado no exercício. É necessário, então, definir a reta a , pertencente ao
plano δ. Para definir uma reta são necessários
dois pontos ou um ponto e uma direção. Os
dados do plano são insuficientes para definir a
reta a, pelo que é necessário o recurso a uma
reta auxiliar do plano δ, reta essa que, também
ela, tem de estar definida por dois pontos ou
um ponto e uma direção. Recorreu-se à reta f,
como reta auxiliar do plano. A reta f está definida por dois pontos – os pontos R e S (dois dos
pontos que definem o plano δ). A reta a e a reta f
são complanares (pertencem, ambas, ao plano δ),
pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. A reta a e a reta f não são paralelas, pois as suas projeções horizontais não são
paralelas, pelo que são concorrentes, pelo que têm um ponto de concorrência – o ponto A. Determinaram-se as projeções do
ponto A, sobre as projeções homónimas da reta f. Já temos um ponto para definir a reta a. Falta-nos outro ponto ou uma direção.
Os dados do plano δ são ainda insuficientes para definir a reta a, pelo que é necessário o recurso a outra reta auxiliar do plano δ,
reta essa que, também ela, tem de estar definida por dois pontos ou um ponto e uma direção. Recorreu-se à reta h, como reta auxiliar do plano. A reta h está definida por dois pontos – os pontos S e T (dois dos pontos que definem o plano δ). A reta a e a reta h
são complanares (pertencem, ambas, ao plano δ), pelo que ou são paralelas ou são concorrentes. A reta a e a reta h não são paralelas, pois as suas projeções horizontais não são paralelas, pelo que são concorrentes, pelo que têm um ponto de concorrência – o
ponto B. Determinaram-se as projeções do ponto B, sobre as projeções homónimas da reta h. Já temos o ponto que nos faltava
para definir a reta a. A reta a está, assim, definida por dois pontos – os pontos A e B. Isto permitiu-nos desenhar a projeção frontal
da reta a – a2. Tendo em conta o que acima se expôs, a reta b, para ser paralela ao plano δ (o que é pedido no enunciado), tem de
ser paralela a uma reta do plano – a reta a, neste caso. Isto permitiu-nos desenhar a projeção frontal da reta b (b2), passando pela
projeção frontal do ponto P (P2) e paralela à projeção frontal da reta a (a2). A partir das projeções da reta b, determinou-se o ponto I,
o traço da reta b no β2/4 – o ponto I é o ponto pedido no enunciado. Salienta-se que uma outra forma para determinar a reta a
poderia ter sido através da determinação dos traços do plano δ e, em seguida, determinar as projeções de uma reta a, qualquer,
pertencente ao plano (que, nesse caso, já estaria definido pelos seus traços) e cuja projeção horizontal fosse paralela à projeção
horizontal da reta b. Essa resolução, igualmente possível, teria, como grande diferença em relação à resolução apresentada, o facto
de apresentar bastante mais traçado. Tenha em conta que, em termos de expressividade, os dados do exercício (fornecidos no
enunciado) são a traço médio (nomeadamente a reta b, uma vez que os restantes dados são pontos e os pontos representam-se
sempre a traço leve), as construções auxiliares necessárias à resolução do exercício são a traço leve e o pedido, uma vez que é um
ponto, é também a traço leve.
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
2.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos C, F e H, bem como as retas a e p, pelas respetivas projeções, em função dos
dados. O ponto F, porque é o traço frontal da reta a, tem afastamento nulo, ou seja, a sua projeção horizontal situa-se no eixo X.
O ponto H, porque é o traço horizontal da reta p, tem cota nula (a sua projeção frontal situa-se no eixo X) e tem a mesma abcissa do
ponto C, pois a reta p é uma reta de perfil. A reta a está definida pelos pontos C e F, o que nos permitiu desenhar imediatamente
as suas projeções. Sendo a reta p uma reta de perfil, as suas projeções desenham-se de forma imediata. É pedida a amplitude do
ângulo formado entre as retas a e p. O ângulo entre duas retas está necessariamente contido no plano definido pelas duas retas,
ou seja, o ângulo formado entre as retas a e p está necessariamente contido no plano definido pelas retas a e p. Tendo em conta
que o plano definido pelas duas retas não é paralelo a nenhum dos planos de projeção (trata-se de um plano oblíquo), o ângulo
formado entre as duas retas não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção, pelo que é necessário o
recurso a um Processo Geométrico Auxiliar. Assim sendo, optou-se por rebater o plano definido pelas retas a e p para o Plano Horizontal de Projeção. Nesse sentido, em primeiro lugar há que determinar a charneira do rebatimento (reta e), que é a reta de interseção entre o plano a rebater (o plano definido pelas retas a e p) e o plano para o qual se processa o rebatimento (o Plano Horizontal
de Projeção), ou seja, é o lugar geométrico dos pontos do espaço que pertencem aos dois planos (é a reta que pertence simultaneamente aos dois planos). Para definir uma reta (reta e) são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O ponto H (traço
horizontal da reta p) é, já, um ponto que pertence aos dois planos – o ponto H pertence ao Plano Horizontal de Projeção, pois tem
cota nula, e pertence ao plano definido pelas duas retas, porque pertence a uma reta do plano (a reta p). Já temos um ponto para
definir a reta e. Falta-nos outro ponto ou uma direção. Determinou-se o ponto H’, o traço horizontal da reta a. O ponto H’ (traço
horizontal da reta a) pertence aos dois planos – o ponto H’ pertence ao Plano Horizontal de Projeção, pois tem cota nula, e pertence
ao plano definido pelas duas retas, porque pertence a uma reta do plano (a reta a). Já temos o ponto que nos faltava para definir
a reta e. A reta e está, assim, definida por dois pontos – o ponto H e o ponto H’. Os pontos H e H’, porque são pontos da charneira, rodam sobre si próprios, pelo que se tem imediatamente H1 Hr e H’1 H’r. Já temos um ponto de cada reta para definir as
retas em rebatimento. No entanto, falta-nos um outro ponto de cada reta, pois, para definir uma reta, são necessários dois pontos
ou um ponto e uma direção (o que é válido seja em projeções seja em rebatimento). É necessário, então, rebater o ponto C.
O ponto C rebateu-se para o Plano Horizontal de Projeção pelo triângulo do rebatimento, em função da sua distância ao Plano
Horizontal de Projeção (a cota do ponto C). Por C1 conduziram-se uma paralela e uma perpendicular à charneira do rebatimento.
Sobre a paralela à charneira do rebatimento mediu-se a cota do ponto C e construiu-se o triângulo do rebatimento, em verdadeira
grandeza (pelo rebatimento do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto C). O comprimento da
hipotenusa do triângulo é o raio do arco do rebatimento do ponto C. Com o compasso, fazendo centro na charneira e raio igual à
hipotenusa do triângulo, transportou-se essa medida até à perpendicular à charneira que passa por C1, obtendo Cr. A reta p, em
rebatimento (a reta pr), fica definida por Hr e por Cr. A reta a, em rebatimento (a reta ar), fica definida por H’r e por Cr. O ângulo
entre as retas ar e pr é qualquer dos dois menores ângulos entre elas formado – assinalou-se um qualquer dos dois ângulos com βº
de amplitude. Essa amplitude é a amplitude do ângulo pedido (o ângulo entre as retas a e p). Tenha em conta que, em termos de
expressividade, os dados do exercício (fornecidos no enunciado) são a traço médio, as construções auxiliares necessárias à resolução do exercício são a traço leve e o pedido (a verdadeira grandeza do ângulo) é a traço forte.
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
3.
Em primeiro lugar representaram-se os pontos A e O’, pelas respetivas projeções, em função dos dados. Em seguida desenharam-se os traços do plano α (o plano que contém a base [ABC] do prisma), também de acordo com os dados. Tendo em conta que o
ponto A é um ponto com cota nula e pertence ao plano α, é possível, de forma imediata, conduzir o traço horizontal do plano α
(hα) pela projeção horizontal do ponto A (A1). Por outro lado, sabendo que as bases do prisma estão contidas em planos ortogonais
ao β1/3, que são planos cujos traços são simétricos em relação ao eixo X, é possível, imediatamente, desenhar o traço frontal do
plano α (fα). A base [ABC] do prisma está contida num plano (o plano α) que não é paralelo a nenhum dos planos de projeção, pelo
que é necessário o recurso a um Processo Geométrico Auxiliar. No entanto, a partir apenas do ponto A não é possível a construção
do triângulo [ABC], por falta de dados. É necessário determinar um outro vértice do triângulo ou o centro da circunferência em que
o mesmo se inscreve. Em função dos dados do exercício fornecidos no enunciado, é possível, apenas, determinar o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois é-nos dado o centro da base superior do prisma e trata-se de um prisma regular. Nesse
sentido, o eixo do prisma é ortogonal aos planos das bases (bem como as arestas laterais do prisma). Por outro lado, o centro da
base [ABC] é necessariamente o ponto de interseção da reta suporte do eixo do prisma com o plano α. Assim, pelo ponto O’ conduziu-se uma reta p, ortogonal ao plano α. A reta p, para ser ortogonal ao plano α, tem de ser ortogonal a duas retas concorrentes
do plano α, retas essas que podem ser os traços do plano (os traços do plano são duas retas do plano que são concorrentes num
ponto do eixo X). Assim, a projeção frontal da reta p (p2) é perpendicular ao traço frontal do plano (fα), que é uma reta frontal do
plano com afastamento nulo – a perpendicularidade entre a reta p e fα é direta em projeção frontal. Por outro lado, a projeção horizontal da reta p (p1) é perpendicular ao traço horizontal do plano (hα), que é uma reta horizontal do plano com cota nula – a perpendicularidade entre a reta p e hα é direta em projeção horizontal. A reta p é a reta suporte do eixo do prisma. Há, agora, que
determinar o ponto de interseção da reta p com o plano α, que será o centro da base inferior do prisma (o centro da circunferência
circunscrita ao triângulo [ABC]). Tendo em conta que nem a reta p nem o plano α são projetantes, é necessário o recurso ao método geral da interseção entre retas e planos, que se executa em três etapas. 1. Conduz-se, pela reta, um plano auxiliar que a contenha. Conduziu-se, pela reta p, o plano γ, que é um plano vertical (projetante horizontal). 2. Determina-se a reta de interseção entre
os dois planos – reta i. A reta i está definida por dois pontos – os seus traços nos planos de projeção. O traço frontal da reta i
(ponto F’) é o ponto de concorrência dos traços frontais dos planos α e γ. O traço horizontal da reta i (ponto H’) é o ponto de concorrência dos traços horizontais dos planos α e γ. 3. O ponto de interseção da reta i com a reta dada é o ponto de interseção da
reta dada com o plano dado. O ponto de interseção da reta i com a reta p (a reta dada) é o ponto O, que é o ponto de interseção
(Continua na página seguinte)
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
(Continuação da página anterior)
da reta p com o plano α e é, assim, o centro do triângulo [ABC]. Em seguida, há que determinar as projeções do triângulo [ABC] o
que, como acima se referiu, obriga ao recurso a um Processo Geométrico Auxiliar, pois o plano α não é paralelo a nenhum dos planos de projeção e, assim, o triângulo não se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeção. Optou-se pelo
rebatimento do plano α para o Plano Frontal de Projeção. A charneira do rebatimento foi o traço frontal do plano, que se identificou como tal (reta e). Para rebater o traço horizontal do plano recorreu-se ao rebatimento de um ponto de hα – o ponto A (que tem
cota nula e pertence ao traço horizontal do plano). Por A2 conduziu-se uma perpendicular à charneira, que corresponde ao traço
frontal do plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto A. Em seguida, com o compasso, fazendo centro no ponto de concorrência dos traços do planos e raio até A1, desenhou-se um arco de transporte até à perpendicular à charneira, obtendo Ar (o ponto A rebatido). O traço horizontal do plano, em rebatimento (hαr), passa por Ar e pelo ponto de concorrência
dos traços do plano (que é um ponto fixo, pois situa-se na charneira). Para rebater o ponto O (o centro do triângulo [ABC]) há que
rebater uma reta do plano α à qual o ponto O pertença. O ponto O pertence à reta i, que é uma reta do plano α,pelo que rebatendo a reta i, é possível rebater o ponto O. Para definir a reta i em rebatimento, são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. O traço frontal da reta i (ponto F) é um ponto da charneira, pelo que é fixo (roda sobre si próprio). Assim sendo, tem-se,
imediatamente, F2 Fr. Já temos um ponto para definir a reta ir. Falta-nos outro ponto ou uma direção. O ponto H (traço horizontal
da reta i) é um ponto do traço horizontal do plano α pelo que, em rebatimento, tem de se situar sobre hαr. Assim, conduziu-se, por
H2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto
H) e determinou-se Hr no ponto em que a perpendicular à charneira interseta hαr. Já temos o ponto que nos faltava para definir ir –
a reta i rebatida (ir) está definida por Fr e por Hr. Tendo em conta que o ponto O é um ponto da reta i, Or tem de se situar sobre ir –
nesse sentido, conduziu-se, por O2, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o
arco do rebatimento do ponto O) e determinou-se Or no ponto em que a perpendicular à charneira interseta ir. Já é possível construir o triângulo [ABC] em verdadeira grandeza, em rebatimento.Com centro em Or e raio até Ar, desenhou-se, em rebatimento, a
circunferência circunscrita ao triângulo e efetuaram-se as construções necessárias à determinação de Br e Cr (os outros dois vértices
do triângulo, em rebatimento). Para inverter o rebatimento e determinar as projeções dos pontos B e C, recorreu-se a retas do
plano que contenham aqueles pontos. Existem diversas hipóteses, nomeadamente passar, por cada ponto, uma reta frontal (de
frente) ou horizontal (de nível), mas optou-se por uma situação um pouco mais simples, em termos de traçado. A reta r é a reta
suporte do lado [AC] do triângulo. Nesse sentido, rr passa por Ar e por Cr. O ponto A é, imediatamente, o traço horizontal da reta r.
Determinou-se, em rebatimento, o traço frontal da reta r – F’r. F’r é o ponto de concorrência de rr com fαr. Para definir a reta r em
projeções são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção – esses pontos podem ser os seus traços (F’ e A). As projeções
do ponto A já são conhecidas, pois são dadas no enunciado. As projeções do ponto F’ ( traço frontal da reta r) determinaram-se
imediatamente, pois o ponto F’ é um ponto da charneira (é fixo). Nesse sentido tem-se imediatamente F’r F’2 e F’1 situa-se no
eixo X. A partir das projeções de F’ e A desenharam-se as projeções da reta r (a reta r está definida por dois pontos). O ponto C é
um ponto da reta r. Por Cr conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do ponto C) e determinou-se C2 sobre r2 – C1 situa-se sobre r1. Para inverter o rebatimento do ponto B,
recorreu-se a uma reta frontal (de frente) do plano α que contem o ponto B – a reta f. A reta f, em rebatimento (fr), passa por Br e é
paralela a fαr, pois retas frontais de um plano são paralelas entre si e paralelas ao traço frontal do plano (no espaço, em projeções e
em rebatimento). Para definir a reta f em projeções, são necessários dois pontos ou um ponto e uma direção. Já temos a direção da
reta f, pois é paralela ao traço frontal do plano. Falta-nos um ponto. Esse ponto deve ser o seu traço horizontal, H’. Assim, em rebatimento, determinou-se o traço horizontal da reta f (H’r), que é o ponto de concorrência de fr com hαr. Para inverter o rebatimento
de H’ conduziu-se, por H’r, uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do
seu rebatimento) e determinou-se H’2 no eixo X – H’1 situa-se sobre hα. Pelas projeções de H’ conduziram-se as projeções homónimas da reta f, sabendo que se rata de uma reta frontal do plano α e, por isso, é paralela a fα. O ponto B é um ponto da reta f. Por Br
conduziu-se uma perpendicular à charneira (que corresponde ao plano ortogonal à charneira que contém o arco do rebatimento do
ponto B) e determinou-se B2 sobre f2 – B1 situa-se sobre f1. A partir das projeções dos pontos A, B e C (os vértices da base inferior
do prisma) há, agora, que determinar as projeções dos vértices da base superior – os pontos A’, B’ e C’. Como atrás se referiu, e
porque se trata de um prisma regular, as arestas laterais do sólido estão necessariamente contidas em retas ortogonais aos planos
das bases. Assim, conduziu-se, pelo ponto A, uma reta ortogonal ao plano α – a reta a (note que a reta a é necessariamente paralela à reta p). A reta a é a reta suporte da aresta [AA’]. Há que ter em conta que as arestas laterais não são paralelas a nenhum dos
planos de projeção, pelo que apresentam deformação em ambas as projeções. No entanto, essa deformação é igual à deformação
que o eixo do prisma sofre em cada uma das suas projeções. Assim, o comprimento da aresta [AA’], em cada uma das suas projeções, é igual ao comprimento do segmento [OO’] (o eixo do prisma), o mesmo acontecendo com as outras arestas laterais. Nesse
sentido, com o compasso, fez-se centro em O2 (a projeção frontal do ponto O) e raio até O’2 (a projeção frontal do ponto O’), transportando-se, em seguida, essa medida para a projeção frontal da reta a (a2), a partir de A2 (a projeção frontal do ponto A). Este procedimento permitiu-nos determinar a projeção frontal do ponto A’ (A’2), sobre a projeção frontal da reta a (a2). Em seguida, também
com o compasso, fez-se centro em O1 (a projeção horizontal do ponto O) e raio até O’1 (a projeção horizontal do ponto O’), transportando-se, em seguida, essa medida para a projeção horizontal da reta a (a1), a partir de A1 (a projeção horizontal do ponto A).
Este procedimento permitiu-nos determinar a projeção horizontal do ponto A’ (A’1), sobre a projeção horizontal da reta a (a1).Note
que as duas projeções do ponto A têm de estar necessariamente sobre a mesma linha de chamada. O procedimento atrás descrito
para a determinação das projeções do ponto A’ repetiu-se para a determinação das projeções dos pontos B’ e C’. A reta b é a reta
ortogonal ao plano α que passa pelo ponto B – é a reta suporte da aresta lateral [BB’]. A reta c é a reta ortogonal ao plano α que
passa pelo ponto C – é a reta suporte da aresta lateral [CC’]. A partir das projeções de todos os vértices do prisma, desenharam-se
os seus contornos aparentes. O contorno aparente frontal é [A2B2C2C’2A’2]. O contorno aparente horizontal é [A1C1B1B’1A’1]. O vértice B’ é o único vértice que não integra o contorno aparente frontal do sólido. Tendo em conta que se trata do vértice de maior
afastamento do sólido, o vértice B’ é visível em projeção frontal, bem como todas as arestas que nele convergem – as arestas [A’B’],
[B’C’] e [BB’]. Em projeção frontal existe uma única aresta que é invisível – a aresta [AC], cujos extremos são os dois vértices de
menor afastamento do sólido. O vértice C’ é o único vértice que não integra o contorno aparente horizontal do sólido. Tendo em
conta que se trata do vértice de maior cota do sólido, o vértice C’ é visível em projeção horizontal, bem como todas as arestas que
nele convergem – as arestas [A’C’], [B’C’] e [CC’]. Em projeção horizontal existe uma única aresta que é invisível – a aresta [AB],
cujos extremos são os dois vértices de menor cota do sólido. Tenha em conta que, em termos de expressividade, os dados do exercício (fornecidos no enunciado) são a traço médio (nomeadamente os traços do plano α), as construções auxiliares necessárias à
resolução do exercício são a traço leve e o pedido (as projeções do prisma) é a traço forte.
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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO
4.
Em primeiro lugar representaram-se as
perspetivas dos três eixos, de acordo
com os ângulos dados. Em função dos
dados, depreende-se que o plano axonométrico é o plano XZ, pelo que estes
dois eixos são perpendiculares entre si.
A perspetiva do eixo Y faz, com estes dois
eixos, os ângulos dados (ângulos de
135º). Em seguida, representaram-se, no
eixo X, as abcissas dos pontos R e S e,
sabendo que têm cota nula (a base da
pirâmide está contida no plano coordenado XY), determinaram-se, igualmente
as perspetivas das suas projeções frontais. Os dados do exercício permitem-nos
inferir que o quadrado da base (o quadrado [RSTU]) tem dois lados paralelos
ao eixo X e outros dois lados paralelos ao
eixo Y. Este raciocínio permitiu-nos,
assim, determinar as perspetivas das projeções frontais dos outros dois vértices
da base, pelo que se tem imediatamente
R0 R2 U2 e S0 S2 T2. Os dados
permitem-nos deduzir, ainda, que o quadrado tem 7 cm de lado (a diferença das
abcissas dos pontos R e S). Assim, e uma
vez que os dois pontos têm 4 cm de afastamento, os outros dois vértices da base terão necessariamente 11 cm de afastamento (4 + 7 = 11). Este raciocínio simples permite-nos resolver o exercício da forma mais simples possível. De facto, para a determinação das perspetivas dos vértices da pirâmide
basta, afinal, determinar as perspetivas dos afastamentos, já com a respetiva deformação inerente à inclinação das retas projetantes. Para tal rebateu-se o plano projetante do eixo Y para o plano axonométrico (o plano XZ) – o eixo Yr é o eixo Y rebatido pelo
rebatimento do seu plano projetante e é perpendicular à perspetiva do eixo Y. O ponto M é o ponto do eixo Y com 4 cm de afastamento e o ponto N é o ponto do eixo Y que tem 11 cm de afastamento. Estes dois pontos foram determinados previamente em
rebatimento, sobre o eixo Yr – Mr e Nr são aqueles dois pontos no eixo Y rebatido. Por Mr conduziu-se uma reta projetante, em
rebatimento (rr), fazendo, com a perspetiva do eixo Y, um ângulo de 60º (a inclinação das projetantes, dada no enunciado), o que
nos permitiu determinar a perspetiva do ponto M, sobre a perspetiva do eixo Y. O procedimento repetiu-se para o ponto N, sendo
a reta s a reta projetante que nos permitiu determinar a perspetiva do ponto N. Para determinar a perspetiva do ponto R conduziu-se, pela sua projeção frontal (R2), uma reta paralela à perspetiva do eixo Y e, pela perspetiva do ponto M (o ponto do eixo Y que
tem 4 cm de afastamento) conduziu-se uma reta paralela ao eixo X – o ponto de concorrência das duas retas é a perspetiva do
ponto R, que está coincidente com a perspetiva da sua projeção horizontal (pois é um ponto com cota nula), pelo que se tem R R1.
Para determinar a perspetiva do ponto S conduziu-se, pela sua projeção frontal (S2), uma reta paralela à perspetiva do eixo Y e, pela
perspetiva do ponto M (o ponto do eixo Y que tem 4 cm de afastamento) conduziu-se uma reta paralela ao eixo X – o ponto de
concorrência das duas retas é a perspetiva do ponto S, que está coincidente com a perspetiva da sua projeção horizontal (pois é
um ponto com cota nula), pelo que se tem S S1. Pela perspetiva do ponto N (o ponto do eixo Y que tem 11 cm de afastamento)
conduziu-se uma reta paralela ao eixo X – o ponto de concorrência desta reta com a paralela à perspetiva do eixo Y que passa por
T2 é a perspetiva do ponto T (que está coincidente com a perspetiva da sua projeção horizontal, pelo que se tem T T1) e o ponto
de concorrência daquela reta com a paralela à perspetiva do eixo Y que passa por U2 é a perspetiva do ponto U (que está coincidente com a perspetiva da sua projeção horizontal, pelo que se tem U U1). É dado no enunciado que a face lateral [RSV], da pirâmide, é um triângulo isósceles e que V tem 8 cm de cota, pelo que o ponto V tem de estar equidistante dos vértices R e S. Por
outro lado, é dito ainda que aquela face é paralela ao plano coordenado XZ, o que significa que está contida num plano frontal
(que é um plano projetante horizontal). Assim, representou-se o plano frontal pelos seus traços (traço horizontal e traço lateral – hϕ
e pϕ) e a projeção horizontal do ponto V tem de estar sobre hϕ. A perspetiva da projeção horizontal do ponto V (V1) é, assim, o
ponto médio do segmento [R1S1].Por V1 conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Y e, no ponto em que esta interseta o eixo
X, desenhou-se a linha de chamada do ponto V, sobre a qual se representou V2 (a projeção frontal do ponto V), com 8 cm de cota.
Por V2 conduziu-se uma paralela à perspetiva do eixo Y (que corresponde à perspetiva da reta projetante frontal do ponto V) e por
V1 conduziu-se uma paralela ao eixo Z (que corresponde à perspetiva da reta projetante horizontal do ponto V) – o ponto de concorrência das duas retas é, precisamente, a perspetiva do ponto V. É dado no enunciado que o ponto V é o centro da base de
maior afastamento de um cilindro, cuja base de menor afastamento está no plano coordenado XZ. Isso significa que o centro da
base de menor afastamento é o ponto Q que é, afinal, a projeção frontal do ponto V. Representou-se o ponto Q pelas suas projeções e desenharam-se as perspetivas das duas circunferências que são as bases do cilindro. Tendo em conta que ambas as circunferências estão contidas em planos frontais (a base de maior afastamento está contida no plano ϕ e a base de menor afastamento
está contida no plano coordenado XZ), nenhuma delas apresenta qualquer deformação, pelo que o respetivo desenho, com o
recurso ao compasso, se processa diretamente, a partir dos seus centros e do raio (dado no enunciado). Para determinar as geratrizes do contorno aparente do sólido foi necessário determinar os as retas tangentes a uma circunferência que são paralelas a uma
reta dada – a perspetiva do eixo do cilindro (o segmento de reta [QV]). Nesse sentido conduziu-se, pela perspetiva do ponto V, um
diâmetro perpendicular ao segmento [QV], o que nos permitiu determinar os dois pontos da base de maior afastamento que são
extremos das geratrizes do contorno aparente do cilindro. De forma semelhante conduziu-se, pela perspetiva do ponto Q, um diâmetro perpendicular ao segmento [QV], o que nos permitiu determinar os dois pontos da base de menor afastamento que são
extremos das geratrizes do contorno aparente do cilindro. A partir dos procedimentos expostos, desenhou-se a perspetiva do sólido composto pelos dois sólidos, omitindo, como pede expressamente o enunciado, a representação das linhas e arestas invisíveis.
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