REPRESENTAÇÕES PLANAS DE OBJETOS TRIDIMENSIONAIS
Naira Girotto – Email: [email protected]
Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS
Porto Alegre – Rio Grande do Sul
Márcia Rodrigues Notare – Email: [email protected]
Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS - IM/PPGEMAT
Porto Alegre – Rio Grande do Sul
Marcus Vinicius de Azevedo Basso – Email: [email protected]
Universidade Federal do Rio Grande do Sul – UFRGS - IM/PPGEMAT
Porto Alegre – Rio Grande do Sul
Resumo: Este artigo desenvolve uma proposta didática de pesquisa-ação com alunos de 7º
ano do ensino fundamental de uma escola pública do município de Porto Alegre - RS,
tratando da aprendizagem na representação em perspectiva de uma figura tridimensional no
plano, oportunizando ao aluno a construção bidimensional, utilizando para isso o uso de
eixos e papel isométrico, aliados à teoria e a vídeo. Foram utilizados na construção das
representações, conceitos geométricos de retas paralelas e concorrentes e estudo de ângulos.
Os resultados obtidos durante o processo de construção e diante de questionamentos indicam
que houve contribuição aos alunos na compreensão da representação dos sólidos.
Palavras-chaves: Sólido, Representação geométrica, Eixo isométrico.
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INTRODUÇÃO
A escolha por explorar este tema está ligada à dificuldade de representar em perspectiva
uma figura tridimensional no plano. Este fato pode interferir na capacidade de compreensão
das representações de objetos tridimensionais, como por exemplo, representações presentes
em livros e esboços feitos no quadro, destacando a capacidade do aluno em simular suas
representações por meio de desenho.
O objetivo é proporcionar ao educando, o estudo de técnicas para representar relações
espaciais de objetos sólidos numa superfície plana, assim como identificar as características
dos sólidos, reconhecer retas paralelas e concorrentes em uma representação em perspectiva,
apoiados em vídeo e slides organizados pela professora, gerando assim iniciativas de análise e
entendimento das construções.
Apresenta-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais a necessidade de trabalho de
conceitos geométricos na aprendizagem de matemática, desta forma busca-se interligar
conteúdos de maneira que motive e encoraje o educando a analisar, buscar alternativas para
suas produções, identificar a matemática existente no trabalho desenvolvido, amparado pela
base teórica do Modelo de Van Hiele de pensamento geométrico.
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GEOMETRIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
A importância e a necessidade de disponibilizar e organizar aulas que contemplem o
ensino da geometria está presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997)
para o ensino fundamental. Os conceitos geométricos são parte importante do currículo de
matemática porque, por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que
lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive
(p.41).
Para Becker (2009), ao agir sobre um objeto, o sujeito está ativamente reproduzindo e
prolongando suas transformações, decompondo e recompondo o objeto. Desta forma,
possibilita um desenvolvimento importante para o entendimento do educando, que se torna
ativo em sua produção, tendo que tomar decisões sobre a melhor forma de construir e analisar
com coerência seus resultados.
Notare e Basso (2012, p.3), comentam sobre a ação significativa que impulsiona a
aprendizagem,
Pode-se dizer que o sujeito só aprende porque age. A ação é a força propulsora do
desenvolvimento humano, ou seja, é por meio das ações que o sujeito prática, que
ele se desenvolve. Entretanto, não é qualquer ação que leva a avanços no
conhecimento; é preciso uma ação significativa, que tenha sentido para o sujeito,
que o faça pensar sobre o que fez e sobre o próprio pensamento.
Entende-se que o estudo da geometria proporciona grandes possibilidades de ações,
permitindo um olhar diferenciado, mobilizando conhecimentos de várias áreas da matemática.
Os PCNs abordam o uso de vídeos como um dos recursos tecnológicos de comunicação
que podem ser usados durante as aulas de matemática,
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A atual tecnologia de produção de vídeos educativos permite que conceitos, figuras,
relações, gráficos sejam apresentados de forma atrativa e dinâmica. Nos vídeos, o
ritmo e a cor são fatores estéticos importantes para captar o interesse do observador.
Além disso, esse tipo de recurso possibilita uma observação mais completa e
detalhada na medida em que permite parar a imagem, voltar, antecipar. (p. 46)
O pensamento e o trabalho geométrico beneficiam-se em muitos aspectos, ao se utilizar
recursos tecnológicos, neste caso, o uso de vídeos como um meio de orientar, informar e
apresentar outras possibilidades de visualização de forma dinâmica e interligada.
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MODELO VAN HIELE
O modelo Van Hiele de pensamento geométrico pode ser usado para guiar a formação do
professor e avaliar o estágio de entendimento dos educandos. Linquist (1994) aborda este
modelo, destacando os cinco níveis do pensamento geométrico, sendo eles visualização,
análise, dedução informal, dedução formal e rigor.
Ao visualizar, o aluno consegue identificar figuras, reproduzi-las, mas não reconhece
seus ângulos e o paralelismo dos lados. Através de observações e experimentações, analisa as
características das figuras, as propriedades de cada figura passam a ser conceituadas, sem
encontrar relações entre essas propriedades. Ao deduzir informalmente, o educando
estabelece inter-relações de propriedades da figura, posteriormente compreende o significado
da dedução formal, constrói demonstrações e não apenas as memoriza, e por fim, passa a
estudar geometrias não euclidianas e comparar sistemas diferentes.
De acordo com modelo Van Hiele, não é possível pular etapas dos níveis, a sequência
deve ser mantida, o que foi trabalhado deve ser compreendido para o aluno passar para o
próximo nível. O que pode ocorrer é avançar mais rapidamente de um nível para outro e este
avanço depende mais do conteúdo trabalhado e do método utilizado, do que da idade do
aluno. Cada etapa possui seus próprios símbolos linguísticos. A combinação do nível do aluno
e métodos precisa ser adequada para que haja aprendizagem.
Os Van Hiele propuseram cinco fases sequenciais para organizar o aprendizado.
Interrogação: após questionamentos, o professor identifica os conhecimentos prévios dos
alunos e o aluno toma conhecimento do rumo do estudo. Orientação dirigida: o aluno explora
o material organizado pelo professor, pequenas tarefas que irão provocar respostas
específicas. Explicação: baseados nas experiências vividas, os alunos expressam e trocam
suas visões, o professor orienta os alunos quanto à utilização de uma linguagem precisa e
adequada. Orientação livre: o aluno consegue realizar atividades com vários passos,
orientando-se a si mesmo. Integração: Ocorre a revisão do que foi trabalhado, formando assim
uma visão geral da nova rede de objetos e relações.
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EXPERIÊNCIA DIDÁTICA E ANÁLISE DOS DADOS
Esta experiência didática constitui em uma pesquisa-ação, em que as atividades foram
desenvolvidas em uma escola da rede pública do município de Porto Alegre. Foram utilizados
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três períodos, com uma duração de quarenta e cinco minutos cada, sendo o grupo composto
por quinze alunos do sétimo ano do ensino fundamental.
O material utilizado consiste em vídeos, recurso multimídia e tarefas divididas em
atividades. Através da visualização, estudo da teoria e manipulação de materiais concretos, os
estudantes poderão representar sólidos geométricos em superfícies planas, atendendo às
características da representação na perspectiva isométrica, usando o eixo isométrico e o papel
isométrico.
A realização das tarefas foi acompanhada pelo professor em dois aspectos. No primeiro,
com respaldo matemático e didático necessário para a construção de conceitos. No segundo,
com coleta de dados através de observações, questionário, registros utilizados na análise desta
proposta.
Inicialmente, foi apresentado aos alunos o vídeo “Leitura e interpretação de desenho
técnico mecânico”1, que apresenta a possibilidade de análise da perspectiva, que é uma forma
de representar no plano um objeto de três dimensões, passando a ideia de profundidade e
relevo, assim como identificação de retas, semirretas e ângulos, sendo a construção realizada
através do eixo isométrico.
4.1
PERSPECTIVA ISOMÉTRICA
Na exploração do artigo “Perspectiva Série Mundo da Matemática” (Guia do Professor,
s/d), apresenta-se a seguinte explicação, Iso quer dizer mesma; métrica quer dizer medida. A
perspectiva isométrica mantém as mesmas proporções do comprimento, da largura e da altura
do objeto representado.
Para construir-se uma perspectiva isométrica de um objeto, basta desenhar a base do
desenho, chamada de eixos isométricos, que consistem em três semirretas com o mesmo
ponto de origem, formando entre si ângulos de 120º. Cada uma das semirretas é um eixo
isométrico e este eixo pode ser representado em várias posições. A Figura 1 ilustra essa ideia.
Figura 1 – Eixos isométricos, elaborados pelos autores.
1
Vídeo do Programa Novo Telecurso, tele aula de número 3, “Leitura e interpretação de desenho técnico
mecânico”. Telecurso é um sistema educacional de educação à distância brasileiro mantido pela Fundação
Roberto Marinho e pelo sistema FIESP.
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Linhas isométricas são retas paralelas aos eixos isométricos. O vídeo apresenta a
explicação destas linhas, e destaca a importância da compreensão para a construção da
representação de um objeto espacial na malha isométrica. A atividade descrita a seguir foi
entregue aos educandos para resolução e análise.
Análise as retas n, p, r e t na figura abaixo, são elas paralelas ou não são paralelas aos
eixos x, y e z. No caso de serem paralelas, identifique o paralelismo entre a reta e o eixo
correspondente:
Figura 2 – Atividade, elaborado pelos autores baseada no vídeo.
Ao receberem a atividade, os alunos estavam preocupados em encontrar um resultado
numérico, alguns educandos mediram o comprimento da reta, o fato de estarem resolvendo
uma atividade matemática sem a presença de cálculos surpreendeu os alunos. A compreensão
ocorreu em uma análise conjunta com a turma, pois a reta n foi identificada como reta
paralela ao eixo x pela maior parte dos alunos, enquanto que para as retas p e t apresentaram
dúvidas, sendo que as retas são paralelas aos eixos y e x respectivamente, para compreensão
solicitou-se que prolongassem as retas p e t.
Com a sequência do vídeo, partiu-se para a explicação da representação de um sólido na
perspectiva isométrica.
Figura 3 – Perspectiva isométrica do prisma de base retangular, elaborado pelos autores.
Posteriormente um prisma de base retangular foi entregue aos alunos, e solicitado que
representassem no eixo isométrico o sólido proposto, semelhante ao que é apresentado na
Figura 3.
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Alguns alunos demoram a iniciar o traçado, estavam analisando e outros partiram para
traços impulsivos na tentativa rápida de conseguir a representação, mas após terminar,
solicitavam ajuda para identificar o que não estavam fazendo correto, percebiam que a figura
não era condizente com o sólido, mas não conseguiam identificar o problema. Neste
momento, observa-se a importância da análise e entendimento do conteúdo para o traçado.
Figura 4 – Representação feita por aluno, 1ª Etapa
Sabe-se que ao fazer um desenho, se utiliza de técnica e treino para sua perfeição, e em
um primeiro momento, os desenhos poderiam não ficar totalmente coerentes, mas as
propriedades da construção seriam identificadas, sendo estas, a construção de retas paralelas
ao eixo isométrico. Após a apresentação do vídeo e algumas explorações, os alunos estavam
confiantes que seriam capazes de reproduzir o sólido no plano. Como mostra a Figura 4,
iniciaram sem dificuldades a marcação do comprimento, da largura e da altura do sólido no
eixo isométrico, mas o traçado das retas paralelas aos eixos apresentaram problemas, o não
reconhecimento desta propriedade é característico do nível de visualização do pensamento
geométrico do modelo de Van Hiele.
Detectadas as dificuldades, na aula seguinte, partiu-se para a análise do sólido entregue.
Com o sólido em mãos, analisamos de forma coletiva, quantas faces o compunha, estas faces
eram formadas por quais figuras geométricas, medimos o comprimento, a largura e a altura do
sólido, e retomamos os eixos isométricos, questionamentos sobre o que estes eixos e as retas
paralelas a eles representam na reprodução do sólido em uma face plana. Após essas
discussões os alunos foram encorajados a construir uma nova representação.
Em seus registros e tentativas, podemos observar que estavam mais atentos aos detalhes
do sólido e do desenho, estavam mais dispostos a descobrir o que deveriam corrigir em seus
esboços para um resultado satisfatório, notou-se uma postura de empenho e concentração.
Solicitavam menos o auxílio da professora, quando iam mostrar o desenho, perguntavam se
estava correto e apontavam o que acreditavam não estar adequado, identificando a falha e
mostrando disposição para corrigi-la. Esta postura proporciona uma oportunidade de reflexão
sobre o assunto trabalhado e, consequentemente, observa-se empenho no exercício proposto.
A ajuda mútua entre os colegas também é um destaque, pois mesmo se tratando de uma
construção individual, alunos que compreenderam a construção com maior facilidade,
estavam dispostos a auxiliar seus colegas.
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As imagens na figura 5 mostram as construções realizadas na segunda etapa. Podemos
observar no primeiro registro da esquerda para a direita, em que o aluno não se preocupou em
utilizar a régua para um desenho mais preciso, mas é possível identificar o paralelismo de
algumas retas em relação ao eixo. A segunda representação apresenta um cuidado com a
utilização da régua, assim como acertos em relação a retas paralelas aos eixos, seu registro
aproximou-se satisfatoriamente do sólido solicitado. O terceiro desenho chamou atenção, pois
o aluno tinha em mãos um prisma de base retangular, no momento em que foi questionado
sobre o sólido desenhado, o mesmo disse “achava que era para reduzir o sólido”, o sólido não
foi reduzido, mas modificado, podemos observar que ao desenhar um cubo, a representação
apresenta retas paralelas ao eixo isométrico.
Figura 5 - Representações feitas pelos alunos 2ª Etapa
O vídeo não aborda outras possibilidades de construção das representações na perspectiva
isométrica, mas é possível representarmos através do papel isométrico, material este que
auxilia e facilita a reprodução. Foi disponibilizado aos alunos o referido papel, com a
finalidade de apresentar outra maneira de construção de sólidos na superfície plana.
Em Carvalho (2009), destacam-se algumas regras para utilização do papel isométrico,
sendo elas: i) Os pontos devem ser ligados por segmentos de retas. ii) Só é permitido unir
pontos vizinhos. iii) Não são permitidos segmentos horizontais. iv) Entre os segmentos não
verticais devem formar ângulos de 60º ou 120º. v) Representar somente arestas visíveis. Estas
orientações foram discutidas e entregues aos alunos.
Na terceira aula, partimos para as construções no papel isométrico, onde prismas de base
retangular e cubos foram entregues aos alunos. No primeiro momento, houve uma adaptação
com o papel para que compreendessem o traçado neste material. Conforme avançavam, foram
disponibilizados sólidos diferenciados para que os alunos pudessem manusear e representar
no plano.
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Figura 6 – Representação do cubo feita por aluno
Na figura 6, representação do cubo feita por um dos alunos, podemos observar que o
comprimento, altura e largura estão corretos, mas na face superior ocorreram problemas
quanto ao paralelismo das retas.
Alguns educandos tiveram dificuldades em representar os sólidos, não avançaram em
sólidos mais elaborados, após tentativas de construções solicitavam ajuda docente para iniciar
o traçado, ao passo que outros alunos, começaram a buscar novos sólidos e até mesmo criar
combinando sólidos existentes.
Figura 7 – Representações feitas por um aluno
Na figura 7, após o desenho do cubo, o aluno partiu para a representação de um sólido
mais complexo e a representação dos sólidos disponibilizados ocorreu de forma correta.
Nas produções realizadas, foi possível perceber que nem todos os alunos estavam
preocupados quanto ao local da folha em que seria feito o desenho, faltou cuidado ao otimizar
os espaços da folha e em alguns casos, uma parte do sólido foi construído fora da demarcação
isométrica.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
No início das atividades, quando os alunos foram questionados em relação às dimensões
do sólido, citaram comprimento, altura e largura respondendo rapidamente, mas na prática ao
representar o respectivo sólido no plano, dúvidas surgiam, com o sólido em mãos,
manuseavam o objeto e, conforme a posição em que o apoiavam na mesa, mudavam-se as
medidas do comprimento, largura e altura. No modelo de Van Hiele, a fase 1, que
compreende interrogação/informação, é o momento em que o professor fica a par do
conhecimento inicial dos alunos, e os alunos compreendem o rumo de seus estudos. Estes
questionamentos foram importantes, pois ao manusear o objeto percebiam que este não era
estático, sendo possível seu registro no plano em várias perspectivas.
No primeiro registro, dentre os resultados observados, constatou-se que ocorreram
dificuldades relacionadas à construção das retas paralelas aos eixos isométricos. Desta forma,
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os estudos foram retomados, foi abordada uma análise coletiva dos tópicos estudados e uma
nova construção foi realizada, resultando em representações do sólido de forma mais coerente
e correta.
Do total de quinze alunos da turma, onze encontram-se no estágio de análise do
pensamento geométrico, pois observam as características dos sólidos e as reproduzem, e
quatro destes alunos não conseguiram avançar em sólidos mais elaborados durante as
construções com o auxílio do papel isométrico, estando estes no nível de visualização do
pensamento geométrico do modelo de Van Hiele. Para Lindquist (1994), as figuras
geométricas, por exemplo, são reconhecidas por sua forma como um todo, isto é, por sua
aparência física, não por suas partes ou propriedades. Nesta etapa de visualização, em que
estes alunos se encontram, identificam as faces dos sólidos e suas dimensões, mas
apresentavam dificuldades em representá-los.
De uma forma geral, os educandos demonstraram interesse em compreender o trabalho
proposto e empenho em completar a tarefa da melhor forma possível, buscando alternativas
de corrigir imperfeições e superar suas limitações, é um trabalho que se apresenta de forma
lúdica, mas que exige concentração e empenho em sua produção.
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Matemática. Brasília, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de
Educação Fundamental, 1997.
BRASIL, Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Terceiro e quarto ciclo do ensino
fundamental. Matemática. Brasília, Ministério da Educação e do Desporto, Secretaria de
Educação Fundamental, 1998.
BECKER, Marcelo. Uma alternativa para o ensino de geometria: visualização geométrica e
representações de sólidos no plano. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) Programa de Pós-Graduação em Ensino de Matemática, UFRGS, Porto Alegre, 2009.
Disponível em: <http://hdl.handle.net/10183/17161>
CARVALHO, Dione Luchesi; MENDES, Iran de Abreu; BRITO, Arlete de Jesus. História da
matemática em atividades didáticas. Editora Livraria da Física, 2009.
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Educação do Paraná. Disponível em: <http://ambiente.educacao.ba.gov.br/conteudosdigitais/conteudo/exibir/id/2156> Acesso em: 06 jun 2014.
LINDQUIST, Mary Montgomery; SHULTE, Alberto P. Aprendendo e Ensinando Geometria.
Capítulo 1. O modelo de Van Hiele de desenvolvimento do pensamento geométrico. São
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https://www.youtube.com/watch?v=xJhRcFErdZI>. Acesso em: 03 jun 2014.
REPRESENTATION PLAN OF THE OBJECTS THREE DIMENSIONAL
Abstract: This article develops a didactic proposal of action research with students from the
seventh grade of elementary education in a school in Porto Alegre / RS, treating of the
learning process in perspective representation of a three dimensional figure in the plan,
providing opportunities for the student the construction of two dimensional, using that for the
use of axes and isometric paper, combined with the theory and the video. Were used in the
construction of representations, geometric concepts as parallel and concurrent lines as well
as the study of angles. The results obtained during the construction process and results before
questions indicate that there was a contribution to the students in understanding of the
representation of the solids.
Keywords: Solids, Representation geometric, Axes isometric