Números Complexos
1. (IME) Considere os números complexos Z1 = sen α + i cos α e Z2 = cos α – i sen α , onde α é um número real. Mostre
que, se Z = Z1Z2,
então –1 ≤ Re(Z) ≤ 1 e –1 ≤ Im(Z) ≤ 1, onde Re(Z) e Im(Z) indicam, respectivamente, as partes real e
imaginária de Z.
2. (IME) Seja z um número complexo de módulo unitário que satisfaz a condição
z2n ≠ –1, onde n é um número inteiro positivo.
zn
Demonstre que
é um número real
1 + z 2n
3. (IME) Dado Z =
1
− 7 + 24i
, calcule as partes real e imaginária de Z.
4. (IME) Faça o que se pede.
a) Calcule o argumento do seguinte número complexo i(1 + i);
b) Escreva sob forma trigonométrica o número complexo Z = 1 + i 3 .
5. (IME ) Prove que
Z1 + Z 2 = Z1 + Z 2 , onde Z1, Z2 ∈ C.
6. (IME) Determine a expressão da soma a seguir, onde n é um inteiro múltiplo de 4.
1 + 2i + 3i2 + ... + (n + 1)in
7. (IME) Sejam a1 = 1 – i, an = r+si e an+1 = (r – s) + (r + s)i (n > 1) termos de uma seqüência. Determine, em função de n, os
valores de r e s que tornam esta seqüência uma progressão aritmética, sabendo que r e s são números reais e i= − 1 .
8. (IME)
Determine as raízes de Z2 + 2iz + 2 – 4i = 0 e localize-as no plano complexo, sendo i =
−1 .
9. (IME) Dois números complexos z1 e z2, não nulos, são tais que
z1 + z 2 = z1 − z 2
Mostre que
z2
é imaginário puro.
z1
10. (IME)
Sabe-se que z1 z 2 =
z3
e ⎜z3 + z4 ⎜– ⎜z3 – z4 ⎜= 0, sendo z1, z2, z3 e z4 números complexos diferentes de zero.
z4
Prove que z1 e z2 são ortogonais.
Obs.: números complexos ortogonais são aqueles cujas representações gráficas são perpendiculares entre si e z é o número
complexo conjugado de z.
11. (IME) Sejam as somas S0 e S1 definidas por
S0 = C 0n +C 3n +C 6n +C 9n +...+C 3n[ n / 3]
3[( n −1) / 3]+1
S1 = C 1n +C 4n +C 7n +C 10
n +...+C n
Calcule os valores de S0 e S1 em função de n, sabendo que [r] representa o maior inteiro menor ou igual ao número r.
Sugestão: utilize o desenvolvimento em binômio de Newton de (1 + cis
2π n
) .
3
12. (IME) Sendo a, b e c números naturais em progressão aritmética e z um número complexo de módulo unitário,
determine um valor para cada um dos números a, b, c e z de forma que eles satisfaçam a igualdade:
1
1
1
+ +
= z9
z a zb zc
13. (IME) Dois números complexos são ortogonais se suas representações gráficas forem perpendiculares entre si. Prove que
dois números complexos Z1 e Z2 são ortogonais se e somente se:
Z1 Z 2 + Z 1Z2 = 0
Obs. Z indica o conjugado de um número complexo Z.
14. (IME) Determine os parâmetros α, β, γ e δ da transformação
;
complexa, W =
-1 para W = i : 1 ; 0, respectivamente, bem como. Z para W = –2 –i, onde i =
α Z+β
, que leva os pontos
γ Z+δ
Z = 0 : -i
−1 .
15. (IME) Sejam w0 = 1, . w1 = j . w2 = j2 as raízes cúbicas da unidade no plano complexo (considere w1 o número de
2π
módulo 1 e argumento
).
3
π
é dada por
Sabendo que se c ∈ C a rotação R em torno do ponto c e amplitude igual a
3
R(z) = –j2z – j c . ∀ z ∈ C – {c}
pede-se:
a) determinar as relações existentes entre a, b, c, j, j2, onde a, b ∈ C, de modo que o triângulo a, b, c, seja equilátero;
b ) determinar z para que o triângulo i, z, i z seja equilátero.
Dado: i =
−1 .
16. (IME) Considere os números complexos
z = x + y . i e w = y – x . i , cujos módulos são tais que
⏐z⏐= e
w .
3
x
, e ⏐w⏐= e
z .
1
y
,
onde e é base dos logaritmos neperianos. Obter a forma polar de z2.
17. (IME) Resolva a equação z5 = z , onde z é o conjugado de número complexo z.
18. (IME) Mostre que todas as raízes da equação (z + 1)5 + z5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo
imaginário.
19. (IME) Considere os seguintes conjuntos de números complexos:
A = {z ∈ C ⎢ z = 1, Im (z) > 0}
B = {z ∈ C ⎢ Re (z) = 1 , Im (z) > 0}
onde Re (z) e Im (z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente.
2z
pertence a B.
z +1
2z
para algum z ∈ A.
b) Mostre que cada ω ∈ B pode ser escrito da forma
z +1
a) Mostre que para cada z ∈ A, o número
20. (IME) Mostre que todas as raízes da equação (z + 1)5 + z5 = 0 pertencem a uma mesma reta paralela ao eixo
imaginário.
21. (IME) Sejam z1 e z2 complexos de raios vetores OP1 e OP2, respectivamente.Mostre que OP1 e OP2 são
perpendiculares se e somente se z1 z 2 é um imaginário puro.
Notação: z é o conjugado de z.
22. (IME) Quais as relações entre os coeficientes reais a, b, c, d da equação
x2 + 2(a + ib)x + c + id = 0,
de modo que ela seja satisfeita para um valor real x =k?
Obs: i2 = –1.
23. (IME) Seja
n
Sn = ∑ a n ,
1
onde os an são complexos. Os módulos dos an estão em progressão geométrica. Os argumentos dos an estão em progressão
aritmética. São dados:
a1 = 13;5( 3 + i)
a4 =
Calcule o
lim Sn.
n→∞
i 3 −1
2
Gabarito:
123- z = −
4
3
+
i
25 25
43π
+ 2 kπ , k ∈ Z
4
⎛ π
⎞
b) 2 cis ⎜ + 2kπ ⎟ , k ∈ Z
⎝ 3
⎠
567n
r= 2
n − 2n + 2
n−2
s= 2
n − 2n + 2
8z1 = 1 + i
a ) arg
( i (1 + i ) ) =
ou
z 2 = − 1 − 3i
91011-
⎛ nπ ⎞
2 n + 2 cos⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
S0 =
3
⎛ nπ ⎞
⎛ nπ ⎞
2 n + 3sen⎜ ⎟ − cos⎜ ⎟
3
⎝ ⎠
⎝ 3 ⎠
S1 =
3
12z = −1
a =1
b=2
c=3
1314α = β = δi = − γ i
1516- z 2 = e
17-
±4 +
π
i
3
⎛ kπ ⎞
z = 0 ou z = cis⎜ ⎟ , k = 0, 1, ... 5.
⎝ 3 ⎠
1819202122c = a 2 e d = 2ab
2313,5 3 + i
1
1−
3 +i
6
(
(
)
)