Resolução das atividades complementares
Matemática
M22 — Números Complexos
p. 54
1 Resolva as equações no campo dos números complexos.

2 5 22
2 5
b) 3x2 1 4x 1 8 5 0  22 1
i,
2
3
3
3
3

a) x2 1 2x 1 2 5 0 {21 1 i, 21 2 i}
Resolução:
a) x 2 1 2x 1 2 5 0
D 5 (2)2 2 4 ? 1 ? 2 ⇒ D 5 4 2 8 ⇒ D 5 24
• Cálculo das raízes
22  24
x 5
2?1
22  2i
x 5
⇒ x 5 21  i  S 5 {21 1 i, 21 2 i}
2
b) 3x 2 1 4x 1 8 5 0
D 5 (4)2 2 4 ? 3 ? 8 ⇒ D 5 16 2 96 ⇒ D 5 280
• Cálculo das raízes
24  280
24  4i 5
x 5
⇒ x 5
2? 3
6

22  2i 5
2 5 22
2 5 
x 5
 S 5  22 1
i,
2
i
3
3
3
3 
 3
2 (Esam-RN) Se (a 1 3i)(1 1 2i) 5 b 1 5i, então a 1 b é:
a) 25
b) 24
c) 1
d) 4
e) 5
Resolução:
(a 1 3i)(1 1 2i) 5 b 1 5i
a 1 2ai 1 3i 1 6i2 5 b 1 5i
(a 2 6) 1 (2a 1 3)i 5 b 1 5i
a 2 6 5 b (I)
Da igualdade, temos: 
2a 1 3 5 5 (II)
Resolvendo o sistema: a 5 1 e b 5 25
Então, a 1 b 5 1 1 (25) 5 24.
3 Qual é o conjugado do número complexo z 5
Resolução:
11i
4 1 4i
z 5 4 ?
5
5 2 1 2i
12i 11i
1 2 i2
z 5 2 2 2i
4 ?
2 2 2i
12i

i

4 (Unimep-SP) O número complexo 3 1 i tem a parte imaginária nula. O valor do número real m é:
m2i
c) 0
d) 1
a) 23
b) 3
e) 21
Resolução:
Multiplicando o numerador e o deno
ominador pelo conjugado do denominador, tem
mos:
3 1i
m1i
3m 1 3i 1 mi 2 1
(3m 2 1)
(3 1 m)i
?
5
5
1
m2i m1i
m2 1 1
m2 1 1
m2 1 1
Como a parte imaginária é nula, temos:
3 1m
5 0 ⇒ m 5 23
m2 1 1
5 (Unic-MT) Para que o número Z 5 (x 2 3i) ? (3 1 xi) seja real, devemos ter (x  IR) tal que:
a) x 5 0
c) x 5 9
e) nenhum x  IR satisfaz a condição.
d) x 5 3
b) x 5  1 3
Resolução:
z 5 (x 2 3i)(3 1 xi) ⇒ z 5 3x 1 x2i 2 9i 1 3x
z 5 6x 1 (x2 2 9)i
z é real ⇒ x2 2 9 5 0
x 5 3
6 (UFSM-RS) A soma dos números complexos 5 1 5i e 20 é:
11i
25 1 5i
2
b) 10 1 10i
a)
12i
c) 210 2 10i
e) 30 1 20i
d) 15 1 10i
Resolução:
5 1 5i
5(1 1 i)
20(1 1 i)
20 1 20i
1 20 5
1
55 1
5 15 1 10i
11i
12i
11i
(1 2 i)(1 1 i)
2
7 (UCS-RS) Multiplicando-se o número complexo z 5 2 1 2i pela unidade imaginária i, obtém-se um
número complexo cuja representação, no plano, corresponde a um ponto pertencente à reta de equação:
c) y 5 x
e) y 5 2x
a) y 5 2x
d) y 5 22x
b) y 5 22x 1 2
Resolução:
z 5 2 1 2i
z ? i 5 (2 1 2i)i ⇒ z ? i 5 2i 2 2
A representação de z corresponde a um ponto da
bissetriz dos quadrantes pares: y 5 2x.
y
�2
2
z
0
x
8 (UFPA) Numa PG de quatro termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 1 2 i e a soma dos termos
de ordem par é 2i, em que i é a unidade imaginária. Determine o número complexo a 1 bi que representa a
razão dessa progressão. 21 1 i
Resolução:
a1 5 x
a 3 5 xq2
a 2 5 xq
a 4 5 xq3
 x 1 xq2 5 1 2 i
 x(1 1 q2) 5 1 2 i (I)
⇒


3
2
 xq 1 xq 5 2i
 xq(1 1 q ) 5 2i (II)
Substituindo (I) em (II), temos:
1 5 1 2 i ⇒ q 5 2i ? 1 1 i 5 21 1 i
q
2i
12i 11i
9 (UCSal-BA) Se o número complexo z 5 a 1 bi é tal que z 2 5 (z)2, então é verdade que:
a) a 5 0 e b  0
b) a 5 0 ou b 5 0
c) a  0 e b 5 0
d) a  0 ou b  0
e) a  0 e b  0
Resolução:
(a 1 bi)2 5 (a 2 bi)2
a2 1 2abi 2 b2 5 a2 2 2abi 2 b2 ⇒ 2abi 5 22abi ⇒ 4abi 5 0
a 5 0 ou b 5 0
p. 55
z 1 z
i342 
 , em que z 5 a 1 bi é um número complexo.
z 2 z
 zz
Sendo det A 5 27, calcule o valor de a2 1 b2. 27
10 (UEM-PR) Seja a matriz A 5 
Resolução:
Seja z 5 a 1 bi e z 5 a 2 bi
Pelos dados do exercício, temos:
a 1 bi 1 a 2 bi
i342
det A 5 27 ⇒
5 27
(a 1 bi)(a 1 bi) a 1 bi 2 (a 2 bi)
2a
2
a 1 b
21
2
2bi
5 27
Desenvolvendo o determinante, temos:
2a ? 2bi 1 1(a 2 1 b2) 5 27
4abi 1 a 2 1 b2 5 27 1 0 ? i
a 2 1 b2 5 27
Da igualdade, temos: 
4ab 5 0
2
2
Portanto, a 1 b 5 27.
{
() }
11 (UFG) Seja C| o conjunto dos números complexos e A 5 z  C| | Re 1 5 1 . Represente,
geometricamente, no plano complexo, o conjunto A.
(Obs.: Re(z) é a parte real do número complexo z.)
z
4
Resolução:
z 5 a 1 bi; z  0
a 2 bi
1 5
1
1
5
?
5 2 a 2 2 2 bi 2
z
a 1 bi
a 1 bi
a 2 bi
a 1 b
a 1 b
a
5 1 ⇒ 4a 5 a 2 1 b2
2
2
4
a 1 b
a 2 2 4a 1 b2 5 0
(a 2 2)2 1 b2 5 4
b
Circunferência de centro
C(2, 0) e raio r 5 2
0
2
4
a
12 (UFBA) Sendo z 5 2 2 i, o inverso de z2 é:
5 1 4i
41
21i
b)
5
a)
c) 4 2
25
d) 3 1
25
3 i
25
4 i
25
e) 3 2 4 i
25
25
Resolução:
z522i
Cálculo de z2 ⇒ z2 5 (2 2 i)2 5 4 2 4i 2 1 5 3 2 4i
1 ? (3 1 4i)
3 1 4i
1
Cálculo de 12 ⇒ 12 5
5
5
5 3 1 4 i
3 2 4i
(3 2 4i)(3 1 4i)
25
25
25
z
z
( )
13 (UFJF-MG) Se z 5 2 1 4i e w 5 1 2 i são números complexos, então z
a) 8 2 6i
b) 21 1 3i
2
é igual a:
w
e) 28 2 6i
c) 1 1 9i
d) 28 1 6i
Resolução:
z 5 (2 1 4)(1 1 i) 5 2 1 2i 1 4i 2 4 5 22 1 6i
w
(1 2 i)(1 1 i)
2
2
z 5 21 1 3i
w
2
2
z 5 (21 1 3i)2 5 1 2 6i 2 9 5 2 8 2 6i ⇒ z 5 2 8 2 6i
w
w
( )
( )
 i 0 0
14 (Cefet-PR) Considere a matriz A 5  0 i 0  , na qual i é a unidade imaginária. É correto afirmar
 0 0 i 
que A9 é igual a:
c) i ? A
d) I3
a) A
b) 2A
e) 2I3
(I3:identidade de ordem 3)
Resolução:
0 
 i 0 0  i 0 0
 21 0






A 2 5  0 i 0   0 i 0  5  0 21 0 
 0 0 i   0 0 i 
 0
0 21 
0   21 0
0 
 21 0
1 0 0





A 5 A ? A 5  0 21 0   0 21 0  5  0 1 0  5 I3
 0
 0 0 1 
0 21   0
0 21 
4
2
2
A 8 5 A 4 ? A 4 5 I3 ? I3 5 I3
A 9 5 A 8 ? A 5 I3 ? A 5 A
3
i2 1 i17 2 i35
15 (Fafi-BH) A fração i 2
corresponde ao número complexo:
16
13
30
i
a) 1 1 i
b) 21 1 i
Resolução:
i3 5 2i
i2 5 21
i17 5 i16 ? i 5 i
i35 5 i32 ? i3 5 2i
2i
1i
c) 21 2 i
d) 1 2 i
e) 2 1 i
i16 5 i0 5 1
i13 5 i12 ? i 5 i
i30 5 i28 ? i2 5 21
i3 2 i2 1 i17 2 i35
2i 1 1 1 i 1 i
(1 1 i))i
5
5
5 21 1 i
16
13
30
12i21
2i ? i
i 2i 1i
15
16 (UERN) O número complexo  1 1 i  é igual a:
1 2 i
a) 0 (zero)
b) i
c) 1
d) 21
Resolução:
(1 1 i)(1 1 i)
z 5
5 2i 5 i
(1 2 i)(1 1 i)
2
e) 2i
z15 5 i15 5 i3 5 2 i
17 (Vunesp-SP) Considere o número complexo z 5 i, em que i é a unidade imaginária. O valor de
z 4 1 z 3 1 z 2 1 z 1 1 é:
z
a) 21
b) 0
c) 1
d) i
e) 2i
Resolução:
1(2i)
z 4 1 z 3 1 z 2 1 z 1 1 5 i4 1 i3 1 i2 1 i 1 1 5 1 2 i 2 1 1 i 1
5 2i 5 2 i
z
i
1(2i)
1
p. 62
2
18 (UERN) Se z 5 (1 1 i) , o argumento de z é:
12i
a) 2 3p
4
b) 2 p
4
c) p
4
d) p
2
e) 3p
4
Resolução:
(1 1 i)2
1 1 2i 2 1
z 5
5
5 2i
12i
12i
12i
11i
2i 2 2
Logo: z 5 2i ?
5
5 21 1 i
12i 11i
111
|z| 5  5
(21)2 1 (1)2 5
sen a 5 1 5 2
2
2
2 2
cos a 5 21 5
2
2
2


3p radd
 a 5
4


19 (UFSC) Dada a expressão 2Z 1 Z 5 2Zi 2 7, sendo Z um número complexo, determine | Z|2 . 5
Resolução:
2Z 1 Z 5 2Zi 2 7
Seja Z 5 a 1 bi
2(a 1 bi) 1 a 2 bi 5 2i(a 1 bi) 2 7
2a 1 2bi 1 a 2 bi 5 2ai 2 2b 2 7
3a 1 bi 2 2ai 1 2b 5 27 ⇒ 3a 1 2b 1 (b 2 2a)i 5 27
3a 1 2b 5 2 7
22a 1 b 5 0
7a
5 2 7 ⇒ a 5 21
b 5 22
2
Z 5 21 2 2i ⇒ | Z | 1
(
(21)2 1 (22)2 ) 5 5
2
20 (UFPB) O número complexo z 5 a 1 ib, em que a, b  Z⁄ , é tal que (a, b) pertence à reta
2x 2 y 1 1 5 0. Sabendo-se que | z | 5
2 , determine z. 21 2 i ou 1 1 7 i
5
5
Resolução:
Pelos dados, temos:
2 ? a 2 b 1 1 5 0 ⇒ b 5 2a 1 1
|z| 5
2 ⇒
2
2
a 1 b 5
(I)
2 ⇒ a 1 b2 5 2
2
(II)
Substituindo (I) em (II), vem:
a 2 1 (2a 1 1)2 5 2 ⇒ a 2 1 4a 2 1 4a 1 1 2 2 5 0
a 5 1  b 5 7
5
5
2
5a 1 4a 2 1 5 0
a 5 21  b 5 21
Portanto, z 5 1 1 7 i ou z 5 21 2 i.
5
5
21 (UFRGS) Os argumentos dos números complexos u e z são, respectivamente, p e p e uz 5 4.
12
Calcule a parte real e a parte imaginária de uz. Re(uz) 5 2 e Im(uz) 5 2 3
Resolução:
| uz | 5 4
4
)
(
uz 5 4 1 1 3 i 5 2 1 2 3 i
2
2
Logo, Re(uz) 5 2 e Im(uz) 5 2 3 .
arg (uz) 5 arg u 1 arg z 5 p 1 p 5 p
12
4
3
cos p 5 1 ; sen p 5 3
3
2
3
2
p. 63
22 (Unicamp-SP) Dado um número complexo z 5 x 1 iy, o seu conjugado é o número complexo
z 5 x 2 iy.
a) Resolva as equações: z ? z 5 4 e (z)2 5 z 2.
b) Ache os pontos de intersecção dos lugares geométricos que representam as soluções dessas equações.
(0, 2), (0, 22), (2, 0) e (22, 0)
Resolução:
a) Sendo z 5 x 1 yi, com x e y números reais, temos que:
(I) z ? z 5 4 ⇔ (x 1 yi) ? (x 2 yi) 5 4  x 2 1 y 2 5 4
(II) (z)2 5 z 2 ⇔ (x 2 yi)2 5 (x 1 yi)2  xy 5 0
Os conjuntos solução das equações (I) e (III) são, respectivamente, S I 5 (x, y)  IR2 | x 2 1 y 2 5 4
{
{
}
2
}
e S II 5 (x, y)  IR | x 5 0 ou y 5 0 .
 x 2 1 y 2 5 4 (I)
b) 
 xy 5 0 (II)
De (II), temos x 5 0 ou y 5 0.
Substituindo x 5 0 em (I), obtemos y 5  2.
Substituindo y 5 0 em (I), obtemos x 5  2.
Os pontos comuns aos lugares geométricos dados pellas equações (I) e (II) são: (0, 2), (0, 222), (2, 0)
e (2 2, 0).
23 (ITA-SP) Se z 5 1 1 i 3 , z ? w 5 1 e a  [0, 2p] é um argumento de z ? w, então a é igual a:
2p
3
5p
d)
3
a) p
3
c)
b) p
e)
3p
2
Resolução:
Se z 5 1 1 i 3 e z ? w 5 1, então:
12i 3
12i 3
1
w 5
?
⇒ w 5
5 1 2i 3
113
4
4
11i 3
12i 3
w 5 1 1 3 i
4
4
(
Portanto, z ? w 5 (1 1 i 3 ) ? 1 1 i 3
4
4
)
5 21 1
2
2p
Se a  [0; 2p] é um argumento de z ? w, então a 5
.
3
3 i.
2
Im(z)
3
2
� � 2π
3
�
1
2
Re(z)
24 Passe para a forma algébrica os complexos:
)
(
a) z 5 4 cos 2p 1 i sen 2p z 5 2 2 1 2 3i
3
3
Resolução:
(
(
b) z 5 2(cos 315° 1 i sen 315°) z 5
)
a) z 5 4 cos 2p 1 i sen 2p
3
3
1
3
z 542 1i
⇒ z 5 22 1 2 3i
2
2
)
(
2 2
2i
b) z 5 2 (cos 315° 1 i sen 315°)
z 52
( 22
2
)
2 i ⇒ z 5
2
2 2
2i
)
25 (UFAL) A imagem do número complexo z 5 3 cos 11p 1 i ? sen 11p é o ponto:
3 3

a) 
, 2 3
2
2

3 3
b)  3 , 2
2
2 
Resolução:
6
6
 3 3

c) 2
, 2 3
2
2
(
d) 2 3 , 1
2
2
e) (23 3 , 3)
)
)
(
z 5 3 ? cos 11p 1 i ? sen 11p
6
6

11p
p
3
cos 6 5 coss 6 5 2

sen 11p 5 2 sen p 5 2 1

6
6
2


3 3
z 5 3 ?  3 1 i ? 21  5
2 3i
 2
2 
2
2
Logo, a imagem de z é o ponto 3 3 , 2 3 .
2
2
( )
(
)
26 (FEI-SP) Dado o número complexo: z 5 1 1 3i.
b) Escreva o complexo z na forma trigonométrica.
a) Escreva na forma algébrica o complexo z21.
1 2 3 i
2 cos p 1 i sen p
4
4
3
3
(
Resolução:
a) z21 5
12
1
?
1 1 3i 1 2
3i
⇒ z21 5 1 2
4
3i
(1)2 1 ( 3 ) ⇒  5 2
cos  5 1 
2 
p
  5
3
3

sen  5

2
b)  5
3 i
4
2
)
(
Logo, z 5  (cos  1 i sen ) ⇒ z 5 2 cos p 1 i sen p .
3
3
)
27 (PUC-RS) Seja z um número complexo cujo afixo P está representado abaixo no plano de Argand-Gauss.
y
3
2
P
−
x
3
2
A forma trigonométrica do número z é:
a)
3 (cos 150° 1 i sen 150°)
c)
3 ( 2 cos 150° 1 i sen 150°)
b)
3 (cos 30° 1 i sen 30°)
d)
3 (cos 120° 1 i sen 120°)
Resolução:
z 523 1 3 i
 5
2
2

23
3
2
cos  5
52
2 
3
  5 150°
3

1
2

sen  5
5

2
3
z 5
( ) ( )
23
2
2
3
2
1
e)
3 ( 2 cos 60° 1 i sen 60°)
2
5
3
3 (cos 150° 1 i sen 150°)
(
)
(
)
28 (UCDB-MS) Dados os números complexos z1 5 3 cos p 1 i sen p e z 2 5 2 cos p 1 i sen p , o
6
produto z1 ? z2, na forma algébrica, é igual a:
c) 26i
a) 6 1 6i
d) 6i
b) 6 2 6i
Resolução:
z1 5 3 cos p 1 i sen p ; z 2 5 2 cos p 1 i sen p
6
6
3
3
z1 ? z 2 5 1 ? 2 [cos (1 1 2) 1 i sen (1 1 2)]
)
(
(
(
)
)
(
e) 26 2 6i
)
z1 ? z 2 5 3 ? 2 ? cos p 1 p 1 i sen p 1 p 

6
3
6
3 
z1 ? z 2 5 6 cos p 1 i sen p
2
2
z1 ? z 2 5 6(0 1 i) 5 6i ⇒ z1 ? z 2 5 6i
(
)
6
3
3
(
)
29 (UFSC) Dado o número complexo z 5 2 ? cos p 1 i sen p , determine o valor de z6 2 2z3. 80
Resolução:
(
3
3
)
z 5 2 cos p 1 i sen p
3
3
6
3
w 5 z 2 2z
w 5 26(cos 2p 1 i sen 2p) 2 2 ( 23(cos p 1 i sen p))
w 5 64 ? 1 2 2 ( 8 ? (21)) ⇒ w 5 64 1 16 ⇒ w 5 80
30 (UEMA) Considere z um número complexo satisfazendo a condição | z | 5 2. Se o argumento de z é
igual a 60°, então z9 é igual a:
a) 229i
b) 229
c) 29(1 1 i)
d) 29(1 2 i)
e) 29
Resolução:
Escrevendo z na forma trigonométrica:
z 5 2 (cos 60° 1 i sen 60°)
z9 5 29 [cos (9 ? 60°) 1 i sen (9 ? 60°)]
z9 5 512 (cos 540° 1 i sen 540°)
z9 5 512 (cos 180° 1 i sen 180°)
z9 5 512 (21 1 0i) 5 2512 5 229
31 (UFRGS) O valor de ( 3 1 i) é:
6
a) 64 2 64i
b) 264i
Resolução:
c) 64i
d) 264
e) 64
Seja: z 5 3 1 i
 5 3 11 5 2
3
2   5 p

6
sen  5 1 
2 
z 5 2 cos p 1 i sen p
6
6
p
z6 5 26 cos 6 ?
1 i sen 6 ? p
6
6
6
6
z 5 64(cos p 1 i sen p) ⇒ z 5 64(21 1 0) ⇒ z6 5 264
cos  5
(
(
)
)
10
Em questões como a 32 e a 33, a resposta é dada pela soma dos números que identificam as alternativas corretas.
32 (UFMS) Considerando números complexos, suas propriedades e representações, é correto afirmar
que:
(01) o número
(02)
1 1 i
1 2 i
13
2 4 não é inteiro.
3 2 2i
12i
32
5 1.
23 1 3i 3
23 2 3i 3
1
5 1 1 1 são
e
.
x 13
x
3
2
2
(08) se n é um número natural, então 4 é o menor valor não-nulo de n para que (1 1 i)n seja um número real.
(16) se z 5 2 (cos 135° 1 i sen 135°), então z2 5 22i. 2 1 4 1 8 1 16 5 30
(04) as raízes complexas da equação
Resolução:
(01) Falsa.
3 1 2i
11i
13
2 4 5 13
?
2 4 ?
5
3 2 2i
12i
3 2 2i
3 1 2i
12i 11i
5 3 1 2i 2 2(1 1 i) 5 3 1 2i 2 2 2 2i 5 1
Logo, o número é inteiro.
(02) Correta.
1 1 i
1 2 i
32
1 1 i 1 1 i
5
?
1 2 i 1 1 i
32
1 1 2i 2 1 
5
 11i 
32
( )
5 2i
2
32
(04) Correta.
23  3i 3
1
5 1 1 1 ⇒ x 2 1 3x 1 9 5 0 ⇒ x 5
x 13
x
3
2
(08) Correta.
(
)
n
(1 1 i)n 5 ( 2 ) cos n ? p 1 i sen n p
4
4
Para ser um número real, devemos ter:
sen np 5 0 ⇒ np 5 0 1 kp, k  Z
⁄
4
4
n p 5 4k p ⇒ n 5 4k, k  Z
⁄
Logo, o menor valor não-nulo de n, para ser um número real, é 4.
(16) Corretaa.
z 2 5 ( 2 ) (cos 2 ? 135° 1 i sen 2 ? 135°)
z 2 5 2(cos 270° 1 i sen 270°) ⇒ z 2 5 2(0 2 1i) 5 2 2i
2
São corretas as afirmativas 2, 4, 8 e 16, somando 30..
11
5 i32 5 i0 5 1
33 (UFSC) Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s):
(01) A parte imaginária de (z 1 z) é o dobro da parte imaginária de z.
(02) Se z é um número complexo, então z ? z21 5 1.
3p
(04) O número complexo z 5 3i tem módulo 3 e argumento
.
2
6
(08) Se z 5 2i, então z 5 264. 2 1 8 5 10
Resolução:
(01) Falsa.
Seja z 5 a 1 bi e z 5 a 2 bi, com a, b  IR.
(z 1 z) 5 a 1 bi 1 a 2 bi 5 2a
(02) Correta.
z ? z21 5 z ? 1 5 1
z
(04) Falsa.
z 5 3i
Im(z)
|z| � 3 e � � π rad
2
3
�
0
Re(z)
(08) Correta.
z6 5 (2i) 5 64i6 5 64i2 5 264
São corretas as afirmativas 2 e 8, somando 10.
34 (UFRJ) Determine o menor inteiro n > 1 para o qual ( 3 1 i) é um número real positivo. 12
n
Resolução:
Escrevendo o número complexo z 5 3 1 i na forma trigonométrica, temos:
z 5 2 cos p 1 i sen p
6
6
Portanto, zn 5 2n cos np 1 i sen np .
6
6
Para que zn seja um número real positivo, devemos ter: sen np 5 0 e cos np  0.
6
6
Portanto, n 5 12.
(
(
)
)
12
35 (UFU-MG) Calcule as raízes quartas do complexo z 5 2 8 2 8 3 i.
11
Resolução:
z 5 28 28 3 i
 5
(8)2 1 ( 8 3 )
2
 5
64 1 192 5 16


4p
  5
3
8 3
sen  5 2
52 3

16
2
cos  5 2 8 5 2 1
16
2
(
z 5 16 cos
4p
4p
1 i sen
3
3
)
4p
4p

1 2k p
1 2k p 


3
3
w k 5 16  cos
1 i sen

4
4
kp
kp 

w k 5 2 cos p 1
1 i sen p 1

3
2
3
2 
4
)
(
)
(
(
)
w 5 2 ( 1 1 3 i) 5 1 1
2
2
5p
5p
k 5 1 ⇒ w 5 2 (cos
1 i sen
6
6 )
k 5 0 ⇒ w 0 5 2 cos p 1 i sen p
3
3
0
3i
1
2 3

w1 5 2 
1 i ? 1 5 2 3 1 i
2
2
( 43p 1 i sen 43p )
w 5 2 (2 1 2 3 i) 5 21 2
2
2
11p
11p
k 5 3 ⇒ w 5 2 (cos
1 i sen
6
6 )
w 5 2 ( 3 2 1 i) 5 3 2 i
2
2
k 5 2 ⇒ w 2 5 2 cos
2
3i
3
3
As raízes são: 1 1
3 i, 2 3 1 i, 21 2
3 i e 3 2 i.
13
3 i, 2 3 1 i, 21 2
3 ie 3 2 i
36 (ITA-SP) Considere, no plano complexo, um polígono regular cujos vértices são as soluções da
equação z6 5 1. A área desse polígono, em unidades de área, é igual a:
a) 3 c) p
b) 5
d)
e) 2p
3 3
2
Resolução:
As soluções da equação z6 5 1 são as seis raízes sextas
do número 1. Já que uma dessas raízes é igual a 1, elas
pertencem a uma circunferência de raio 1, centro na origem
e dividem essa circunferência em 6 partes iguais, determinando
um hexágono regular.
Im(z)
1
0
1
1
Re(z)
12 ? 3
3 ? 3
A área desse polígono é dada por A 5 6 ?
5
.
4
2
37 (Fuvest-SP)
a) Determine todas as soluções, no campo complexo, da equação z 5 iz 2, em que i é a unidade imaginária,
isto é, i2 5 21 e z é o conjugado de z.
b) Represente essas soluções no plano complexo.
Resolução:
a) Sendo z 5 x 1 yi e z 5 iz 2, tem-se: (xx 1 yi) 5 i ? (x 1 yi)2 ⇔ (x 2 yi) 5 i(x 2 2 y 2 1 2xyi) ⇔
 x 5 2 2xy
⇔ x 2 yi 5 2 2xy 1 (x 2 2 y 2)i ⇔ 
2
2
2y 5 x 2 y
Então, temos:
x 5 0
(I)  2
 ( x 5 0 e y 5 0) ou ( x 5 0 e y 5 1)
2
y 2 y 5 x
y 5 2 1

2
(II) 
 x 5 2 3 e y 5 2 1 ou x 5 3 e y 5 2 1
2
2
2
2
2
2
 y 2 y 5 x
) (
(
)
As soluções da equação z 5 iz 2 são, portanto:
z1 5 0
z2 5 i
z3 5
3 2 1i
2
2
z4 5 2 3 2 1 i
2
2
Im(z)
z2 � i
b) Representadas estas soluções
no plano complexo, obtém-se:
3
2
� 3
2
z1 � 0
z4 � �
3 � 1i
2
2
14
�1
2
Re(z)
z3 �
3 � 1i
2
2
38 (MACK-SP) Se z 5 x 1 yi (i2 5 21) é tal que | z 1 i| 5 | z 1 2|, então os pontos de coordenadas
(x, y), x e y reais percorrem:
a) uma hipérbole
b) uma circunferência
Resolução:
Se z 5 x 1 yi, então:
c) uma elipse
d) uma reta
e) uma parábola
x 2 1 (y 1 1)2
|z 1 i | 5 | x 1 yi 1 i | 5 | x 1 (y 1 1)i| 5
|z 1 2 | 5 | x 1 yi 1 2 | 5 |(x 1 2) 1 yi | 5
Se | z 1 i | 5 | z 1 z |, então:
x 2 1 (y 1 1)2 5
(x 1 2)2 1 y 2
(x 1 2)2 1 y 2 ⇒
x 2 1 y 2 1 2y 1 1 5 x 2 1 4x 1 4 1 y 2 ⇒ 4x 2 2y 1 3 5 0
Os pontos percorrem uma reta.
39 (Fuvest-SP) Determine os números complexos z que satisfazem, simultaneamente,
z 2 i
| z | 5 2 e Im 
5 1.
1 1 i
2
2
Lembretes: i 5 21; se w 5 a 1 bi, com a e b reais, então | w | 5
a 2 1 b2 e Im(w) 5 b. 2i e 22
Resolução:
z 2 i
Temos: Im 
5 1 . Se z 5 a 1 bi, então:
1 1 i
2
a 1 bi 2 i 1 2 i
a 1 bi 2 i 2 ai 1 b 2 1
(a 1 b 2 1) 1 (2a 1 b 2 1)i
?
5
5
11i
12i
111
2
z 2 i
2a 1 b 2 1
Logo: Im 
5
5 1 ⇒ 2a 1 b 5 2
1 1 i
2
2
Sendo |z| 5 2, então a 2 1 b2 5 2 ou a 2 1 b2 5 4
(I)
(II)
2a 1 b 5 2 ⇒ b 5 2 1 a
De I e II:  2
2
2
2
2
2
a 1 b 5 4 ⇒ a 1 (2 1 a) 5 4 ⇒ a 1 4 1 4a 1 a 5 4 ⇒
⇒ 2a 2 1 4a 5 0 ⇒ a 5 0 ou a 5 2 2
Se a 5 0 ⇒ b 5 2.
Se a 5 22 ⇒ b 5 0.
Desse modo:
z 5 2i ou z 5 22.
15
40 (Unesp-SP) Considere os números z 5 2 2 i e w 5 23 2 i, sendo i a unidade imaginária.
a) Determine z ? w e w 2 z .
b) Represente z e w no plano complexo (Argand-Gauss) e determine b  IR, b > 0, de modo que os números
complexos z, w e t 5 bi sejam vértices de um triângulo, no plano complexo, cuja área é 20.
Resolução:
w 5 23 2 i
a) z 5 2 2 i
z ? w 5 (2 2 i)(23 2 i) 5 26 2 2i 1 3i 2 1 5 27 1 i
| w 2 z | 5 | 23 2 i 2 2 1 i | 5 |25 | 5 5
b) z(2, 21)
w(23, 21)
O triângulo tem base 5 e altura b 1 1. Como sua área é 20, então:
5 ? (b 1 1)
A 5
5 20 ⇒ 5b 1 5 5 40 ⇒ 5b 5 35 ⇒ b 5 7
2
b t
0
�4 �3 �2 �1
�1
w
�2
t(0, b)
1
2
z
41 (UNI-RIO-Ence-RJ) O número complexo z 5 a 1 bi, i2 5 21, com a e b inteiros, é tal que (a, b)
pertence à reta x 2 2y 1 1 5 0. Dado z ? z 5 2, determine z. 1 1 i
Resolução:
(a, b) pertence à reta x 2 2y 1 1 5 0, então a 2 2b 1 1 5 0 ⇒ a 5 2b 2 1
z ? z 5 2 ⇒ (a 1 bi)(a 2 bi) 5 2 ⇒ a 1 b 5 2
2
2
(I)
(II)
De I e II: (2b 2 1)2 1 b2 5 2 ⇒ 4b2 2 4b 1 1 1 b2 2 2 5 0 ⇒
⇒ 5b2 2 4b 2 1 5 0 ⇒ b 5 1 ou b 5 2 1 (não convém)
5
Se b 5 1 ⇒ a 5 2 ? 1 2 1 5 1 ⇒ z 5 1 1 i
42 (Fatec-SP) Se i é a unidade imaginária, a soma 2 1 4 ? i2 1 6 ? i4 1 ... 1 100 ? i98 é um número:
a) primo
b) divisível por 4
c) múltiplo de 6
d) negativo
e) quadrado perfeito
Resolução:
Soma: 2 1 4i2 1 6i4 1 ... 1 100i98 5 2 2 4 1 6 2 8 1 10 2 12 1 ... 1 98 2 100 5
(2 1 98) ? 25
(4 1 100) ? 25
5 (2 1 6 1 10 1 ... 1 98) 2 (4 1 8 1 122 1 ... 1 100) 5
2
5
2
2
100 ? 25
104 ? 25
5
2
5 1 250 2 1 300 5 2 50
2
2
16
43 (Fatec-SP) Na figura ao lado, tem-se o gráfico da função f, de IR*1 em
IR, definida por f(x) 5 logb x, com b  IR*1 e b  1.
O módulo do número complexo z 5 b2 2 bi é:
a)
3
f
2
c) 2 5
b) 2 3
y
e)
2 ?
6
4
0
1
3
x
d) 3 10
Resolução:
Pelo gráfico, f(3) 5 2, ou seja: log b 3 5 2 ⇒ b2 5 3 ⇒ b 5
Se z 5 b2 2 bi, então: z 5 3 2
3 (b  0).
32 1 (2 3 ) 5 12 5 2 3 .
2
3 i; daí, |z| 5
44 (MACK-SP) Considere os complexos u 5 4 1 i, v 5 2 1 3i e w 5 6 1 4i, cujos afixos, em relação a
um sistema de eixos perpendiculares, são, respectivamente, P, Q e R. Sendo O a origem do sistema, a área do
quadrilátero OPRQ é:
a) 8
c) 15
e) 10
b) 9
d) 12
Resolução:
Dados P , Q, R e O, temos:
y
R
4
Q
3
2
1
0
P
O
1
2
3
4
5
6
x
17
Sendo mOPP 5 mQR 5 1 e mOQ 5 mPR 5 3 ,
4
2
concluímos que OPRQ é um paralelogramo.
A área desse paralelograamo é o dobro da área do
OPQ. Desse modo:
0 0 1
1
A OPRQ 5 2 ? A OPQ 5 2 ?
? 4 1 1 5
2
2 3 1
5 2 ? 1 ? 10 5 10
2
()
n
45 (UFBA) Sendo an a parte real do número complexo i , para cada número natural n, determine
S 5 a0 1 a1 1 a2 1 ...
3
9
10
Resolução:
( ) , temos:
a 5(i)
3
a 5(i)
3
Sendo a n a parte real de i
3
()
5(i) 5 i
3
3
5 ( i ) 5 21
3
9
i
3
a0 5
0
51
3
5 2i
27
4
5 1
81
3
1
a1
n
4
2
a2
�
( )
Desse modo, S 5 1 1 21 1 1 1 ... :
9
81
S 5 1 1 1 1 1 1 ... 1 21 1 21 1 ... 5
81
729
9
243
21
21
21
1
1
1
9
9
5
1
5
1
5
1 9 5
1
1
81
2
1
81
2
1
80
80
12
12
81
81
81
81
81
81
(
( )
) (
)
9
5 81 1 21 ? 81 5 81 2 9 5 72 5 9
80
80
80
80
80
10
9
46 (MACK-SP) Dados os complexos z e w, tais que 2z 1 w 5 2 e z 1 w 5 1 1 2i , i2 5 21, o módulo
i
de w é igual a:
a) 5
c)
3
b) 2 2
d)
6
e) 3 3
Resolução:
2z 1 w 5 2
2z 1 w 5 2

1

1 1 2i 2i
2i 1 2 5 2 2 i ? ( 2 2) ⇒ 
?
5
22z 2 2w 5 2 4 1 2i

z 1 w 5
i
2i
1
2w 5 2 2 1 2i ⇒ w 5 2 2 2i
| w| 5
22 1 (22)2 5
4 14 5
8 5 2 2.
18
47 (UFSCar-SP) Sejam i a unidade imaginária e an o n-ésimo termo de uma PG com a2 5 2a1. Se a1 é um
número ímpar, então ia1 1 ia 2 1 ia 3 1 ... ia10 é igual a:
c) 9 1 i ou 9 2 i
a) 9i ou 29i
d) 8 1 i ou 8 2 i
b) 29 1 i ou 29 2 i
e) 7 1 i ou 7 2 i
Resolução:
Uma PG em que a 2 5 2a 1 é uma PG de razão 2. Desse modo, sendo a 1 ímpar, será da forma
2k 1 1 (k  Z),
⁄ a 2 será par e da forma 2 ? (2k 1 1), daí em diante todos os termos serão múltiplos de 4:
ia1 5 i2k 1 1 5 i2k ? i1 5 (i2 ) ? i 5 (21)k ? i
ia 2 5 i2(2k 1 1) 5 i4k 1 2 5 i4k ? i2 5 i0 ? i2 5 1 ? (21) 5 21
ia 3 5 ia 4 5 i a 5 5 i a 6 5 i a 7 5 i a 8 5 i a 9 5 i a10 5 1
A soma ia1 1 ia 2 1 ... 1 ia10 5 (21)k ? i 1 (21) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5
5 (21)k ? i 1 7 5 7 1 (21)k ? i, ou seja,, se k for par, a soma será 7 1 i; se k for ímpar, será 7 2 i.
k
48 (FGV-SP) O ponto P é o afixo de um número complexo z e pertence à circunferência de equação
x2 1 y2 5 9. Sabendo-se que o argumento de z é 60°, pode-se afirmar que:
a) z 5 3 1 1 i
c) z 5 1 1 3 i
e) 1 1
2
2
2
2
6
3 3
b) z 5 3 1
i
2
2
d)
3 i
6
3 3
1 3i
2
2
Resolução:
A circunferência x2 1 y2 5 9 tem centro C(0, 0) e raio 3. Como P pertence à circunferência, a
distância de P até C é o módulo de z e vale 3 (raio). Sendo 60° o argumento de z, então:
(
z 5 3 ? (cos 60° 1 i ? sen 60°) 5 3 ? 1 1 i ?
2
19
3
2
)
3 3
5 3 1
i
2
2
49 (Unicamp-SP) Um número complexo z 5 x 1 iy, z  0, pode ser escrito na forma trigonométrica:
y Essa forma de representar os
x 2 1 y 2 , cos  5 x e sen  5
.
|z|
|z|
números complexos não-nulos é muito conveniente, especialmente para o cálculo de potências inteiras de
números complexos, em virtude da fórmula de Moivre:
⁄ . Use essas informações para:
[| z | (cos  1 i sen u)]k 5 | z |k (cos k 1 i sen k), que é válida para todo k  Z
z 5 | z | (cos  1 i sen ), em que |z| 5
a) calcular
(
3 1 i) ; 4 096
b) sendo z 5
12
2 1 i 2 , calcular o valor de 1 1 z 1 z 2 1 z 3 1 ... 1 z15. 0
2
2
Resolução:
a) Sendo z 5
|z| 5
3 1 i, temos:
( 3 ) 1 12 5 3 1 1 5 4 5 2
2
3
2
sen  5 1
2
cos  5
 5 p
6
(
)
Assim sendo, z 5 2 cos p 1 i ? sen p . Pela fórmula de Moivre:
6
6
z12 5 212 ? cos 12p 1 i ? sen 12p 5 4 096 ? (cos 2p 1 i sen 2p) 5
6
6
5 4 096 ? (1 1 i ? 0) 5 4 096
(
)
b) 1 1 z 1 z 2 1 ... 1 z15 corresponde à soma dos termos de uma PG de 16 termos com 1o_ termo
1 e razão z.
 qn 2 1 
Para determinarmos essa soma, utilizamos Sn 5 a 1 ? 
; logo:
 q 2 1 
 z16 2 1 
z16 2 1
S16 5 1 ? 
5
 z 2 1 
z 21
2 1
2
Sendo z 5
Assim:
(
(
)
2 i, temos: z 5 1 ? cos p 1 i ? sen p .
2
4
4
)
z16 5 116 ? cos 16p 1 i ? sen 16p 5 1 (cos 4p 1 i ? sen 4p) 5 1 1 i ? 0 5 1
4
4
16
z 21
121
0
S16 5
5
5
50
z 21
z 21
z 21
20
2
2
50 (Fatec-SP) Sabe-se que, para todo n IN*, Sn 5 n 2 15n 1  n 2 23n  ? i é a expressão
2

2

da soma dos n primeiros termos de uma PA. Considerando que i é a unidade imaginária, a forma
trigonométrica do 10o termo dessa progressão é:
a) 2 ? cos 3p 1 i sen 3p
c) 2 2 ? cos 3p 1 i sen 3p
e) 2 2 ? cos 7p 1 i sen 7p
4
4
4
4
4
4
7
p
7
p
5
p
5
p
b) 2 ? cos
1 i sen
d) 2 2 ? cos
1 i sen
4
4
4
4
)
)
(
(
Resolução:
Como Sn 5
S1 5 a 1 5
)
)
(
(
(
)
(
n 2 2 15n
n 2 2 23n
1
i é a soma dos n termos de uma PA, podemos afirmar que:
2
2
(
)
12 2 15 ? 1
12 2 23 ? 1
1 2 15
1 2 23
1
i5
1
i 5 2 7 2 11i
2
2
2
2
(
)
22 2 15 ? 2
22 2 23 ? 2
4 2 30
4 2 46
1
i5
1
i 5 213 2 21i
2
2
2
2
a 2 5 213 2 21i 2 a 1 5 213 2 21i 2 (27 2 11i) 5 2 6 2 10i
S2 5 a1 1 a 2 5
A razão da PA é r 5 a 2 2 a 1 5 (26 2 10i) 2 (27 2 11i) 5 1 1 i
Assim, o 10o_ termo será: a 10 5 a 1 1 9r 5 (27 2 11i) 1 9 ? (1 1 i) 5
5 2 2 2i
 5
22 1 22 5
cos  5
sen  5
2
2 2
5
4 14 5
2
2
22
2 2
5
2
2 2
8 52 2
(
 5 7p ⇒ a 10 5 2 2 cos 7p 1 i ? sen 7p
4
4
4
21
)
)
51 (ITA-SP) Sendo z 5 1 1 i , calcule
2
60
∑z
n
5 z 1 z 2 1 z 3 1 ... 1 z60 .
4 1
2
n 51
Resolução:
11i
? 2 5
2
2
z 5 1 ? cos p 1 i ? sen p
4
4
z 2 5 12 ? cos 2p 1 i ? sen
4
Sendo z 5
)5
(
z3
z4
z5
z6
z7
z8
2 1
2
2i
2 1
2
5
2 1
2
2 i , temos:
2
2 i
2
2p 5 0 1 i ? 1 5 i
(
4 )
2 2
5 1 ? (cos 3p 1 i ? sen 3p ) 5
1 2 i
4
4
2
2
5 1 ? (cos 4p 1 i ? sen 4p ) 5 21 1 i ? 0 5 21
4
4
2 2
5 1 ? (cos 5p 1 i ? sen 5p ) 5
2 2 i
4
4
2
2
5 1 ? (cos 6p 1 i ? sen 6p ) 5 0 1 i ? (21) 5 2 i
4
4
5 1 ? (cos 7p 1 i ? sen 7p ) 5 2 2 2 i
4
4
2
2
8
p
8
p
5 1 ? (cos
1 i ? sen
511i?0 51
4
4 )
3
4
5
6
7
8
Sendo nula a soma dessas 8 potências e levando-se em conta que de 8 em 8 termos esses valores se
repetem, concluímos que a soma z1 1 z 2 1 z 3 1 ... 1 z 54 1 z 55 1 z 56 5 0, logo:
60
∑z
n
5 z 57 1 z 58 1 z 59 1 z60 5 z1 1 z 2 1 z 3 1 z 4 5
n 51
5
2 1
2
5
(21)2 1
2 i 1 i 1 2 2  1
 2 
2
(
2 i 1 ( 21) 5 21 1
2
2 1 1) 5 1 1 2 1 2 2 1 1 5
2
22
(
4 12 2
2 1 1) i 5
52 (IBMEC-SP) Considere a equação x2 2 2 cos ()x 1 1 5 0, com 0 <  < p.
a) Determine os valores de  para os quais essa equação admite raízes reais.
b) Resolvendo em C| a equação dada, determine, em função de , suas raízes e represente-as no plano de
Argand-Gauss.
Resolução:
a) A equação admitirá raízes reais quando D > 0:
x2 2 2 cos (u)x 1 1 5 0
D 5 (22 cos (u))2 2 4 ? 1 ? 1 5 4 cos2 u 2 4 5 4 (cos2 u 2 1) 5 24 (1 2 cos2 u) 5 24 sen2 u
 24 sen2 u > 0 ⇒ sen2 u < 0 ⇒ sen u 5 0 ⇒ u 5 0 ou u 5 p
b) Raízes em C| :
2(2 2 cos )  24 sen 2 
2 cos   i ? 2 sen 
5
5
2?1
2
2 (cos   i ? sen )
5
5 cos   i ? sen 
2
x 5
Im(z)
(cos �, sen �)
Re(z)
(cos �, �sen �)
Em função de u, os pontos descrevem uma circunferência de centro C(0, 0) e raio 1.
23
53 (FGV-SP)
a) Determine, no plano de Argand-Gauss, o lugar geométrico dos números complexos z representados pela
equação:
z ? z 2 w ? z 2 w ? z 1 25 5 0, sendo w 5 2 2 1 5i.
b) De todos os números complexos z de módulo 3, determine aqueles que satisfazem a igualdade
z 2 2i 5 3 ? i 2 2 .
Resolução:
a) Se z 5 x 1 yi e w 5 2 2 1 5i, temos:
z ? z 2 w ? z 2 w ? z 1 25 5 0
(x 1 yi)(x 2 yi) 2 (22 1 5i)(x 2 yi) 2 (22 2 5i)(x 1 yi) 1 25 5 0 ⇒
⇒ x 2 2 xyi 1 xyi 1 y 2 1 2x 2 2yi 2 5xi 2 5y 1 2x 1 2yi 1 5xi 2 5y 1 25 5 0 ⇒
⇒ x 2 1 y 2 1 4x 2 10y 1 25 5 0
O lugar geométrico é uma circunferência de ceentro (22, 5) e raio 2.
| z | 5 3
b) Temos: 
| z 2 2i | 5 3 ? | i 2 2 |
Se z 5 x 1 yi, então:
 x 2 1 y2 5 3 ⇒ x 2 1 y2 5 9
 2
2
2
2
 x 1 (y 2 2) 5 3 ? (2 2) 1 1 ⇒
2
x 2 1 y 2 2 4y 1 4 5 15 ⇒ �
x�
1�
y 2 2 4y 1 4 5 15
�
�
9 2 4y 1 4 5 15 ⇒ 24y 5 2 ⇒ y 5 21
2
( )
x 2 1 21
2
Logo, z 5
2
5 9 ⇒ x 2 5 9 2 1 ⇒ x 2 5 35 ⇒ x 5 
4
4
35 2 1 i ou z 5 2 35 2 1 i.
2
2
2
2
24
35
2