UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DO ARAGUAIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
Curso: Engenharia Civil
Disciplina: Estatística (64H)
Aula 12: Análise de Variância
No capitulo 8 foi testada, a partir da teoria da amostragem, a significância das diferenças entre
duas médias amostrais. Foi admitida que as duas populações das quais se extraíram as amostras
possuíam as mesmas variâncias. Em outras circunstancias é necessário testar a significância das
diferenças entre 3 ou mais medias amostrais, isto é, testar a hipótese nula de que as médias
amostrais são todas iguais.
Classificação de um critério ou experimentos de um fator:
Em um experimento de um fator, obtêm-se medidas ou observações para a grupos de amostras
independentes, em que o número de medidas em cada grupo é b. Então designamos por a
tratamentos, cada um com b repetições.
A disposição dos resultados pode ser feito em uma tabela de a linhas e b colunas. Xjk simboliza a
medida na linha de ordem j e na coluna de ordem k, com j indo até a e k indo até b.
−
Em cada linha pode-se retirar a média X j .
−
Xj =
1 b
∑ X jk j = 1,2,...a
b k =1
−
A média total, simbolizada por X :
−
X=
1 a b
∑∑ X jk
ab j =1 k =1
Evento 1
X11,X12,...X1b
X1 med
Evento 2
X21,X22,...X2b
X2 med
...
Evento a
Xa1,Xa2,...Xab
Xa med
Variação total, variação dentro dos tratamentos e variação entre tratamentos:
Defini-se a variação total, simbolizada por V, como a soma dos quadrados dos desvios de cada
−
observação em relação à média geral X .
Variação total
−


V = ∑  X jk − X 

j ,k 
2
Variação dentro dos tratamentos
2
−
−


Vw = ∑  X jk − X j  , pois é feito em relação as médias X j .

j ,k 
Variação entre os tratamentos
2
−
−


VB = b∑  X j − X  , pois é feito em relação as médias X .

j ,k 
Então V=Vw+VB
Modelo Matemático para a análise da variância:
Cada linha da tabela se refere a uma amostra de tamanho b, referente a uma determinada
população. Xjk diferirá da média populacional µ j, referente a um tratamento de ordem j por um
erro ao acaso ou erro aleatório, que simboliza-se por εjk.
Xjk= µ j+ εjk
Admite-se que esses erros apresentem média 0 e variância σ2. Sendo µ, a média da população
para todos os tratamentos e se αj=µ j-µ, então:
Xjk= µ+αj+ εjk
Onde:
∑α
j
=0
j
Conclui-se que Xjk podem ser consideradas variáveis aleatórias normalmente distribuídas com
média µ e variância σ2.
A hipótese nula de que todos os tratamentos possuem as mesmas médias é dada por H0:
αj=0 ou o equivalente µ j=µ.
Sendo verdadeira a hipótese H0, as amostras terão a mesma distribuição normal, ou seja, as
mesmas médias e variâncias. (Estatisticamente Idênticos).
Teste F para a hipótese nula de médias iguais:
Se a hipótese H0, não é verdadeira, ou seja, que as médias dos tratamentos não são iguais,
observamos, da equação:
∧2
E (S B ) = σ 2 +
b
α 2j
∑
a −1 j
com
∧2
SB =
VB
a −1
∧2
Que se pode esperar que S B seja maior que σ2, com o efeito acentuado quanto maior for a
discrepância entre as médias.
Já pelas equações:
∧2
 Vw 
Vw
2
de
modo
que
E
=
σ
S
W =

a(b − 1)
 a(b − 1) 
∧2
Podemos esperar que S W = σ2, independentemente se as medias sejam iguais ou não.
∧2
∧2
Então ou boa estatística para testar H0, é dada pela relação S B S W
Se essa relação foi muito grande, pode-se concluir que há diferença significante entre as médias
dos tratamentos e assim rejeitar H0.
∧2
∧2
Considerando que F = S B S W
E supondo a distribuição F com a-1 e a(b-1) graus de liberdade.
Variação
Graus de Liberdade
Entre os tratamentos
a −1
_
_ 


V B = b∑  X j − X 

j 


a(b − 1)
Vw = V − VB
ab − 1
V = V B + VW
_


= ∑  X jk − X 

j ,k 
2
∧2
SB =
2
Dentro do Tratamento
Total
Quadrado Médio
∧2
SW =
VB
a −1
Vw
a(b − 1)
F
∧2
∧2
F = S B SW
Com a − 1 e a(b − 1)
graus de liberdade