PROFESSORES COMO INVESTIGADORES DE SUA PRÓPRIA PRÁTICA:
UTILIZANDO A TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS PARA ANÁLISE DA
(RE)CONSTRUÇÃO DOS CONCEITOS DAS ESTRUTURAS ADITIVAS
E MULTIPLICATIVAS
Lucilene Lusia Adorno
[email protected]
Maria das Graças de Lima
Resumo:
Este trabalho analisou, por meio da pesquisa-ação, um grupo de professores que têm em comum o
trabalho com a disciplina de Matemática em Sala de Apoio e têm vontade de descobrir como se dá
o processo de construção dos conceitos matemáticos, pelos alunos, nas estruturas aditivas e
multiplicativas. Este grupo foi formado por trinta e cinco professores que fazem parte do Núcleo
Regional de Maringá. Nosso objetivo, nesse trabalho, foi discutir e desenvolver aportes teóricometodológicos que concebessem e tratassem do professor como investigador de sua própria prática,
buscando em seus espaços intersticiais as formas para ajudar seus alunos na (re)construção de
conceitos matemáticos. Durante a pesquisa, utilizamos como referencial teórico, para a construção
de conceitos matemáticos nas estruturas aditivas e multiplicativas, a Teoria dos Campos
Conceituais, de Gérard Vergnaud. Nossa proposta para esta pesquisa foi alcançar uma articulação
entre a formação docente e a prática pedagógica que pudesse gerar uma forma de arriscar novas
experiências didáticas construídas num processo coletivo e reflexivo.
Palavras-chave: Estruturas Aditivas e Multiplicativas; Investigação da Prática Docente; Conceitos
Matemáticos.
Abstract:
This work had analyze through action research of a group of teachers that has in common the work
with Maths into the Support Class and want to find out how the process of Maths’ concepts are
built, by the students, in addictives and multiplicatives structures. This group has been formed by
thirty five teachers that integrate the Regional Nucleum of Maringá. Our objective in this project
was discussing and developing methodologic theorical contributions that design and deal the
teacher as an inspector of its own practice, searching in their interstitial spaces the ways of helping
their students at the (re)construction of the mathematics’ concepts. During the research we used as
theorical referential for building the mathematics’ concepts at the additive and multiplicative
structures, the Theory of Conceptual Fields by Gérard Vergnaud. Our proposal for this research
was reaching an articulation between the teacher training and the pedagogical practice that could
generate a way of risking new didactic experiences built in a collective and reflexive process.
Key-Words: Additive and Multiplicative Structures; Investigation of the educational practice;
Maths’ Concepts.
INTRODUÇÃO
326
No processo de ensinar e aprender, a reflexão sobre a prática tem sido trabalhada
como um componente essencial na construção do conhecimento. Investigações na área da
Educação Matemática1 procuram determinar como essa reflexão sobre a prática contribui
para que os futuros professores percebam as sutilezas que existem quando se determina
como será elaborada uma aula a uma criança do Ensino Fundamental, como será o
processo avaliativo e, ainda, de que forma ligar a vida da criança aos saberes escolares.
Fiorentini (2003, p.127) nos fala sobre o que é a reflexão da prática:
[...] um caminho possível de rupturas, principalmente com o pensamento
simplificador, que busca indícios para compreender melhor o cotidiano
escolar e desenvolver ações pedagógicas que integrem mais o aluno e o
professor no processo de ensinar e aprender.
Fiorentini e Nacarato (2005) comentam que após a virada paradigmática, ocorrida
depois dos anos 1990, motivada pelos estudos internacionais sobre o pensamento do
educador, revelaram um professor escolar que também produz a partir de desafios sobre a
prática, o que acaba por transformá-lo em um professor reflexivo e investigador da sua
prática.
As necessidades de formação continuada passaram a buscar em aportes teóricos
produzidos pela Educação Matemática respostas para uma construção coletiva de
alternativas de solução dos problemas da prática docente nas escolas. E, como nos diz
Kuhn (2003, p. 105), “O significado das crises consiste exatamente no fato de que indicam
que é chegada a ocasião para renovar os instrumentos”.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1997) destacam o trabalho do professor
como mediador em busca da aprendizagem de seus alunos, que por sua vez somente será
possível à medida que esse professor proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o
aluno a criar, comparar, discutir, rever e perguntar, ampliando suas ideias.
Segundo Ferreira (2003), o professor passou a ser considerado um elemento
importante no processo de ensino-aprendizagem, pois articula sua prática a partir de seus
valores, crenças e saberes. Isto quer dizer que tudo o que o professor construiu durante sua
vida será repassado aos seus alunos, deliberadamente ou não.
Ball e Bass (2000 apud D’AMBROSIO, 2005, p.21) descrevem “a ação do
professor como o ato de “desempacotar” seu próprio conhecimento formal da Matemática
1
Grupo Prapem (Prática Pedagógica em Matemática), o GEPFPM (Grupo de Estudo e
Pesquisa sobre Formação de Professores que Ensinam Matemática) da FE/Unicamp.
327
para entender as construções dos alunos e, ao mesmo tempo, “desempacotar” o
conhecimento destes para analisá-lo a fundo”.
Como formadores de docentes, para que possamos “desempacotar” o
conhecimento desses professores e sua disposição em analisar o trabalho dos alunos, nas
soluções apresentadas por eles será necessário revisitarmos e reconstruirmos as
oportunidades de aprendizagem oferecidas, fugindo, desta forma, do simples acúmulo de
regras e procedimentos dentro da Matemática.
Guérios (2005) aponta um caminho que acreditamos ser válido para esse processo
de “desempacotar” o conhecimento, quando descreve a existência de um espaço ímpar na
formação docente, denominado de espaço intersticial, baseado em Larossa (1999, apud
GUERIOS, 2005, p. 141). A autora afirma que este espaço não é encontrado por acaso, não
está projetado em documentos oficiais e não pode ser receitado vertical e externamente.
Trata-se de um espaço construído pelo professor durante sua caminhada, cuja chave é a
autonomia no fazer docente.
“[...] e no fazer-se docente está na criatividade e no desenvolvimento do
pensamento estratégico, associados ao domínio profundo de conhecimentos
específicos não apenas na área em que exerce a docência, mas também do
campo pedagógico. É um espaço aberto que se amplia e se multiplica,
possibilitando dinamicidade nas ações, em que a imaginação e a criatividade
superam e transcendem os limites impostos pelas paredes da sala de aula, da
sala dos professores, das coordenações pedagógicas” (GUÉRIOS, 2005, p.141).
Transpor os limites impostos pelas paredes da sala de aula, muitas vezes, é buscar
alternativas para problemas à nossa volta, questões que nos incomodam ao longo dos anos
na carreira do magistério. Exemplo disto são os alunos recém chegados à 5ª série não
possuindo as estruturas cognitivas para possibilitar-lhes a compreensão dos conteúdos com
os quais irão se defrontar, em função do grau de abstração por eles exigido, especialmente
no que diz respeito à Matemática.
Pensando nestas possibilidades é que tomamos a decisão de realizar o projeto de
intervenção junto a professores de Matemática que trabalham com Sala de Apoio.
Trabalhamos durante os meses de setembro, outubro e novembro de 2008, durante trinta e
duas horas, divididas em oito encontros presenciais. Participaram dos encontros trinta e
cinco professores pertencentes ao Núcleo Regional de Maringá, dos municípios de:
Astorga, Dr. Camargo, Floresta, Marialva, Mandaguaçu, Maringá, Paiçandu, Santo Inácio
e Sarandi.
A hipótese levantada nesta pesquisa é que o professor precisa de um tempo para
compreender e aceitar como válido o estudo sobre o processo de aquisição do
328
conhecimento matemático pelo aluno. Em muitos momentos o professor poderá achar que
está no caminho errado, irá questionar, discutir e poderá retomar o caminho da pesquisa
novamente. E como nos dizem Fiorentini e Castro (2003, p.126), “os saberes experienciais
dos professores não se constituem isoladamente na prática”. Como afirmam os autores,
para que esses saberes experienciais venham à tona é necessário estabelecer um diálogo
entre a prática escolar do professor, o que ele sabe e o que estuda e aprende na interlocução
com a literatura educacional e com outros sujeitos da prática educativa.
DESENVOLVIMENTO: Como os alunos chegam até a Sala de Apoio?
Na primeira etapa de nossa intervenção, aplicamos aos professores um
questionário para sabermos como os alunos das quintas séries são encaminhados à Sala de
Apoio. Por tratar-se de um Projeto da Secretaria Estadual de Educação, SEED, portanto
oficial, pensamos existirem procedimentos, como registro de avaliações do aluno ou um
diagnóstico do professor que o está encaminhando. Uma forma de protocolo, com questões
que permitissem verificar as dificuldades dos alunos.
Ao responderem o questionário, os professores que atuam com as Salas de Apoio
apontaram algumas dificuldades encontradas para desenvolver o trabalho com o aluno,
principalmente em razão da forma de encaminhamento desses até essas salas.
A maioria dos alunos é encaminhada à Sala de Apoio depois de uma pequena
avaliação na qual constam algumas questões que envolvem as quatro operações e a
resolução de situações problemas.
Nos questionários aplicados aos entrevistados
encontramos respostas como: Entrevistado 2: “Não é feito nenhum tipo de avaliação”;
Entrevistado 18: “Não sei, pois não tive nenhum contato, até o momento, com o professor
regente, e a equipe pedagógica me colocou à disposição aquelas fichas diagnósticas dos
alunos”; Entrevistado 20: “Não sei ao certo, pois o professor regente que avalia e indica o
aluno”.
Concluímos que não há uma regularidade de encaminhamento dos alunos à Sala
de Apoio, apesar da ficha diagnóstica ser utilizada. Cada escola ou cada professor, apoiado
pela equipe pedagógica, decide a forma como a ficha será preenchida.
Segundo o depoimento dos participantes do grupo, depois que os alunos passam a
frequentar a Sala de Apoio, recebem o apoio dos professores dessas salas com atividades
que envolvem materiais manipulativos, jogos, trabalhos em grupos e muita interação.
329
Saberes dos professores: construídos e em construção
Nos encontros com os professores fizemos uma sondagem sobre os saberes que o
grupo possuía, relativos ao conteúdo de ensino, ao saber didático-pedagógico da matéria,
aos saberes da experiência e ao saber curricular. Para isto, nos baseamos num artigo de
Melo (2005) que investiga transformações vividas por três professores do Ensino
Fundamental, no município de Rio Branco (Acre), no período de 1993 a 1996, durante
processo de mudança curricular.
[...] quando falamos em saber da experiência e saber curricular, um está no
outro, porque o saber da experiência é um saber articulado, que tem a ver com o
conteúdo, com a pedagogia, com o ensino e com o currículo como um todo. O
saber curricular tem tanto o saber da experiência quanto o saber pedagógico. Já
o saber pedagógico da matéria inclui o saber relativo aos conteúdos do ensino,
os quais vêm sendo historicamente produzidos, sistematizados e socializados
sob diferentes epistemologias (MELO, 2005, p. 38).
Procuramos, naquele momento, discutir as questões relativas aos saberes dos
professores, retomando as questões das Diretrizes Curriculares de Matemática do Estado
do Paraná e, dentro delas, os saberes relativos ao conteúdo de ensino. Percebemos que o
saber da experiência fala muito alto entre o grupo e, muitas vezes, faz com que o saber
empírico prevaleça, o que leva o saber historicamente produzido a não ser tão
aprofundado.
Notamos no grupo uma grande preocupação com as atividades a serem aplicadas
aos alunos da Sala de Apoio.
Os professores buscam inovações quanto à forma de
desenvolvimento de trabalhos com seus alunos. Durante todos os encontros os professores
deixaram claro que necessitam de suporte pedagógico no qual sejam oferecidas oficinas
práticas para o trabalho efetivo em sala de aula.
Este aspecto faz com que pensemos no professor vindo de uma cultura
tradicional, que adota a forma de conhecimento artesanal do tipo “saber como fazer”.
Como nos fala Pereira (1998), num conhecimento organizado pelo ensaio e erro, que acaba
sendo “transmitido por um conjunto de normas de conduta de sentido comum passadas
por professores “experimentados”” (p.174).
Aplicamos ao grupo uma atividade retirada da Revista Zetetiké2. Originalmente
esta situação problema faz parte de: Ofício de Professor: Programa de Aprendizagem para
2
Revista Zetetiké – Cempem – FE – Unicamp – v.12 – n.21 – jan/jun, 2004.
330
Professores dos Anos Iniciais da Educação Básica, Fundação Victor Civita, Abril Cultural.
Apresentação e Caderno de Atividades, p. 19. O caso de ensino foi publicado com
algumas alterações no comando do problema e nas questões propostas, mantendo, porém,
as estratégias dos alunos.
Luíza propôs o seguinte problema a sua classe:
“Uma pista circular tem 1600 m de comprimento. Quantas voltas completas
dará nesta pista uma pessoa que quer caminhar 7.200 m?”
Dentre as soluções corretas apresentadas, Luiza discutiu com a classe a
estratégia de três crianças.
Estratégia de João
Estratégia da Alice
Estratégia de Marcelo
1.600
1600
7.200
+ 1.600
1.600
6.400
3.200
X 4
+ 800
6.400
+
1.600
-6.400
7.200
4
4.800
+ 1.600
0800
6.400
Resposta: A pessoa dará
+
1.600
Resposta: A pessoa dará 4
4,5 voltas.
8.000
voltas completas.
Resposta: A pessoa dará 4
voltas completas.
a) Analise cada uma das estratégias apresentadas, explicitando as idéias matemáticas
que foram utilizadas.
b) Coloque-se no lugar de Luiza. Como você discutiria com a classe a resposta de
Marcelo que, as considerar a meia volta, é diferente da de seus colegas?
c) Justifique, do ponto de vista da metodologia de ensino da Matemática, o fato de a
professora ter considerado corretas as três estratégias.
Ao responderem as questões, parte dos professores preocupou-se em encontrar
nas respostas dos alunos justificativas para os “possíveis erros”.
Não perceberam a
“divisão” na resposta de Alice e Marcelo.
Percebemos isto nas respostas da questão “a”: Entrevistado 14: “O primeiro
apresentou uma idéia mais coerente, pois já tem noção da operação adequada; o segundo
não tem noção de divisão; o terceiro fugiu totalmente da interpretação do problema, pois
nos dados do problema não aparecia o número quatro”.
Entrevistado 21: “João apresentou uma estratégia típica de um aluno que já tem
conhecimento do uso da divisão; Alice compreende e realiza o problema, porém ainda não
331
compreende o processo da divisão; Marcelo compreende e realiza o problema, acredito
que através de tentativas, porém não compreende a pergunta”.
Como nos fala Nacarato et al (2004, p. 30), no artigo original do qual retiramos
esta atividade:
Neste estudo, chamou-nos a atenção o fato de ser muito forte, no discurso dos
professores – mesmo sendo eles de cidades e instituições distintas -, a presença
da tradição pedagógica de uma única forma de resolução de um problema. Isto
reforça a crença na existência dessas filosofias pessoais, bem como o
pressuposto aqui defendido da necessidade de que, em processos de formação –
quer inicial, quer continuada-, essas filosofias sejam explicitadas e trabalhadas.
Encontramos no grupo muitos professores que têm uma evidente caminhada na
área pedagógica, cuja experiência não deixa para traz o conhecimento epistemológico.
Entrevistado 25: A estratégia de Alice é a mais simples de todas, pode ser que ela
ainda não esteja preparada para o trabalho com o cálculo de divisão ou multiplicação;
João já passou desta fase, aparentemente ele percebe a relação parte-todo; Marcelo, ao
utilizar a multiplicação explicita seu provável entendimento que multiplicação é a adição
de grupos iguais e vai além, no momento em que considera metade da volta que foi
percorrida, mostrando, ou dando indícios da percepção parte-todo”.
Entrevistado 1: “Na primeira estratégia foi utilizada a divisão, na segunda a
adição e na terceira a multiplicação e adição. A resposta de Marcelo está completa, mas
Luiza perguntava as voltas completas. Este é um aluno com uma visão maior da situação.
De acordo com o que está proposto na situação-problema, as três estão corretas e pode
desencadear uma boa discussão com a turma. Marcelo foi o aluno que percebeu que o
resto significa andar mais, com esta visão”.
Sobre a questão “b”, tivemos algumas análises: Entrevistado 2: “A professora ao
colocar o problema perguntou quantas voltas completas seriam necessárias para se
percorrer 7200 m. O Marcelo foi mais adiante e entendeu que a sobra 800 m equivale à
nona volta e respondeu 4,5 voltas. Já João e Alice responderam conforme a pergunta e
desconsideraram os 800 m que não correspondem a uma volta completa”.
Percebemos, aqui, que o entrevistado se preocupou em analisar o aluno Marcelo, no
que ele fez a mais, dando ao referido aluno a conotação “foi mais adiante”. Muitos dos
professores do grupo tiveram esta visão, buscar na resposta de Marcelo a continuidade da
aula, pesquisando possibilidades. Contudo, tivemos respostas como essa: Entrevistado 7:
“Marcelo não tem noção de divisão”.
332
Se ele, o professor, compreendeu o raciocínio desenvolvido pelo aluno ao resolver
o problema, seria suficiente para corrigir o que fosse necessário.
Quando há a
compreensão sobre o raciocínio utilizado pelo aluno, compreende-se a lógica adotada para
resolver o problema. Via de regra, esses “erros” são explicáveis por meio das teorias
disponíveis tanto na Matemática, quanto na Pedagogia, ou ainda em áreas afins.
No entanto, os professores continuam se atendo apenas ao que está escrito e o que
ele avalia como errado ou meio errado. Não procura analisar a resposta do aluno; não tem
noção do conhecimento didático. É um professor que não recebeu formação para entender
o processo de aprendizagem de seu aluno. Por isso, é necessário que a formação
continuada seja ofertada regularmente aos professores, pois nesse processo existe a
oportunidade de que sejam revistos conceitos e discutidas possibilidades de ensinoaprendizagem.
Por outro lado, há professores que ao responderem a questão “c”, fizeram outra
leitura: Entrevistado 5: “ A professora considerou a maneira que cada um pensou, as
estratégias foram diferentes, mas o resultado foi o mesmo, pois a resolução do problema
depende muito do nível de conhecimento do aluno, a interpretação e leitura correta,
dependem muito deste nível de entendimento do aluno. Todos os alunos chegaram à
resposta correta que eram 4 voltas completas”.
Entrevistado 6: “Todos os três alunos apresentaram uma idéia matemática lógica,
pois o primeiro demonstrou através da divisão que entendeu o objetivo da situaçãoproblema proposta, assim como o segundo e o terceiro”.
Entrevistado 10: “ Cada professor deve avaliar conforme seu objetivo inicial. Se o
objetivo de Luiza, era investigar a interpretação, raciocínio e cálculo, os três alunos
trabalharam corretamente.”
Entrevistado 11: “Devemos dar oportunidade ao aluno de resolver atividades que
o levem além do conhecimento prévio, levando sempre em conta a interpretação de cada
um”.
Esta atividade favoreceu o trabalho proposto ao grupo, que foi o de estudar as
estruturas aditivas e multiplicativas dentro dos Campos Conceituais, proposto por Gerard
Vergnaud, permitindo maior autonomia conceitual ao professor que atua nas Salas de
Apoio.
O estudo das estruturas aditivas e multiplicativas
333
Um dos aspectos do ensino de Matemática que mais negativamente se sobressai
nas avaliações institucionais ou nas realizadas no interior da escola é o desempenho dos
estudantes na resolução de problemas. Em se tratando do ensino de Matemática na quinta
série, as situações-problema se referem quase que exclusivamente às quatro operações
fundamentais: adição, subtração, multiplicação e divisão; sendo que, estes últimos, são os
que apresentam maiores dificuldades para os alunos, em função dos diferentes significados
que as operações de multiplicação e divisão podem assumir e das diversas situaçõesproblema que podem ser resolvidas por elas.
Os alunos não compreendem o que fazem, não utilizam os conhecimentos que
possuem de uma forma sistemática e “produtiva”, não resolvem problemas para os quais
possuem os conhecimentos e estratégias necessárias. Tudo isto tem a ver com a já velha e
dual questão do fazer versus compreender. A medida que faz e não compreende, em
situação diferente, o aluno não sabe usar o conhecimento necessário para resolver aquele
problema.
A partir da 5ª série do Ensino Fundamental é esperado que os alunos já tenham
consolidado ou compreendam conceitos relativos a estruturas aditivas e multiplicativas em
situações-problema. Esse conceito de estruturas aditivas e multiplicativas vem sendo
explorado por diversos pesquisadores em Educação Matemática. Nesta pesquisa
consideraremos os trabalhos produzidos por Gerard Vérgnaud, na Teoria dos Campos
Conceituais, para fundamentar a compreensão que temos da questão.
Por outro lado, segundo levantamento realizado pelo grupo coordenado por
Fiorentini (2005), na Unicamp, o campo de pesquisa ligado à formação continuada do
professor, a partir da prática profissional, é um terreno pouco explorado. Poucos são os
estudos que têm tentado sistematizar as experiências de trabalhos colaborativos entre
professores, o que, se acontecesse com maior frequência, segundo Fiorentini (2005, p.197),
seria “uma resposta às mudanças sociais, políticas, culturais e tecnológicas, colocando em
xeque as formas tradicionais de educação de professores e de produção de
conhecimento”.
Examinar em aula, de forma conjunta, como diferentes alunos chegaram a dar
solução à tarefa pode contribuir para quebrar a imagem de que a maioria dos alunos
acredita que exista somente uma forma possível de resolver as tarefas matemáticas.
Uma fonte de informação muito útil é a análise dos erros cometidos pelos alunos.
334
Os erros informam a respeito das dificuldades que um aluno apresenta tanto para adotar
procedimentos de tipo técnico ou estratégico, como do tipo de teorias ou crenças com as
quais ele tem que lidar em um determinado momento.
Para Vergnaud (1998, apud MAGINA et al, 2001), um dos principais desafios de
ensinar matemática é promover na sala de aula uma melhor relação entre os conceitos
matemáticos e a resolução de problemas, de modo a serem interessantes e compreensíveis
para os alunos. Para Borasi (apud Cury 2007), existe a possibilidade de que os erros
cometidos venham a ser discutidos e possam ser fonte de novas aprendizagens.
Neste sentido, a tarefa do professor seria, então, a de provocar o aluno para que
ele explicite o método de produção de suas respostas aos problemas dados, observando
como pode resolvê-los com a ajuda de conhecimentos prévios; como os compreende e
como constrói novos conhecimentos a partir deles. Para que o professor cumpra esse papel,
faz-se necessário que saiba como se dá o processo de aquisição do conhecimento
matemático por parte do aluno. Segundo Guérios (2005, p.143):
Reconhecer que a prática pedagógica é complexa e que a própria complexidade
inclui sua dinamicidade é aceitar a idéia de que os perigos que ocorrem nos
lugares não tutelados são os que fogem a controle da cadeia de ações e
expectativas predeterminadas, fato que transforma saberes constituído em
provisórios. Para possibilitar a emergência do imprevisível, é preciso
improvisar. A que chamamos de improviso? O que possibilita ao professor
improvisar e potencializá-lo didaticamente? Somente a clareza de princípios
pedagógicos associados ao profundo conhecimento do que ministre permite o
improviso responsável, pois exige grau de deliberação.
Realizar uma pesquisa com alunos da 5ª série e os professores que os
acompanham poderá apontar algumas formas de intervenções didáticas. Segundo Pais
(2002, p. 114), “a teoria dos campos conceituais está em sintonia com o problema do
significado do saber escolar, visando à realização dos valores educacionais da
matemática”. O autor afirma que um dos aspectos dessa teoria é valorizar o trabalho com
uma diversidade de situações, em que aparecem os invariantes conceituais, fazendo com
que o saber escolar tenha mais significado para o aluno. Surge daí, com mais clareza, que o
problema de formação de conceitos deva ser analisado por meio da noção de situações
didáticas, fazendo uma integração dos aspectos teórico e prático da didática da matemática,
com vistas a ampliar a compreensão conceitual do professor.
Segundo Cury (2007), é necessário que elaboremos questões que desestabilizem
as certezas, pois assim o aluno questionará suas próprias respostas. O aluno de 5ª série
muitas vezes não gosta de fazer conjecturas. É necessário, portanto, que tenhamos um
335
pouco de paciência no processo de “ir e vir” com as questões, fazendo-o refletir, utilizando
os conceitos que já possui e ampliando sua rede de esquemas. Segundo Vergnaud (1995,
apud FRANCHI, 2002, p. 166):
O conceito de esquema é particularmente bem adaptado para designar e analisar
classes de situação para as quais o sujeito dispõe em seu repertório, a um
momento dado de seu desenvolvimento e sob certas circunstâncias, de
competências necessárias ao tratamento relativamente imediato da situação.
Mas ele é igualmente válido para a descoberta e invenção em situação de
resolução de problemas. Muitos esquemas são evocados sucessivamente e
mesmo simultaneamente em uma situação nova para o sujeito.
Ainda segundo Vergnaud (2003), devemos levar em consideração como a
intervenção do professor poderá atingir os aspectos que constituem o esquema, ou seja,
objetivos e antecipações, regras de ação, inferências e invariantes operatórios.
Pensando nas oportunidades oferecidas aos alunos e na (re)construção de
conceitos, realizada pelos professores na forma de organização de uma Situação Didática,
Vergnaud (1990 apud FRANCHI, 2002, p.163) diz que:
[...] um projeto coletivo de pesquisa em sala de aula supõe ao mesmo tempo a
consideração das funções epistemológicas de um conceito, a consideração da
significação social dos domínios de experiência aos quais esse conceito se
refere, das ressonâncias do jogo do contrato didático e da transposição. A tese
subjacente aos campos conceituais, entretanto, é que a realização de um bom
evento didático (mise-em-scène didactique) apóia-se necessariamente sobre o
conhecimento da dificuldade relativa das tarefas cognitivas, dos obstáculos
habitualmente encontrados, do repertório de procedimentos disponíveis e das
representações possíveis.
Neste momento é importante a presença do professor como mediador, que
Vygotski propõe, quando fala da zona de desenvolvimento proximal, como um espaço
relacional entre o professor e o aluno e dos alunos entre si.
Vergnaud utilizou algumas ideias de Piaget e Vygotski como referência em seus
estudos sobre os Campos Conceituais. Como o próprio Vergnaud (2003, p.25) menciona,
embora as metodologias adotadas por Piaget e Vygotski fossem diferentes, “encontramos a
idéia de que a conceitualização implica em um retorno reflexivo sobre a própria atividade,
enfatiza a relação entre as propriedades do objeto e as propriedades da ação”.
Ainda segundo Vergnaud (2003), é necessário que entendamos o processo
cognitivo como aquele que desenvolve formas inteligentes de organização de uma
atividade, durante uma experiência de determinada pessoa. Um indivíduo não se destaca
somente por suas habilidades científicas e técnicas, mas também pelas qualidades que
desenvolve no relacionamento com as outras pessoas.
336
Os alunos, quando se defrontam com uma nova situação matemática, buscam em
experiências anteriores os conhecimentos que já possuem e tentam fazer uma adaptação
para a situação atual. Este conhecimento pode ser explícito (expresso de forma simbólica)
ou implícito, nas escolhas que faz no momento sobre quais operações utilizar para
determinada situação problema, sem, contudo, conseguir expressar as razões dessa
adequação (VERGNAUD, 1998, apud MAGINA et al, 2001).
Segundo Esteban (2007), quando fazemos uma reflexão sobre o conhecimento,
durante a ação, somos conduzidos à indagação sobre nossa atuação. Ficam assim criadas
condições favoráveis à transformação daquela situação, sendo iluminados aspectos não
observados anteriormente e dando a possibilidade de fatos serem vistos, sob novas
perspectivas, de acordo com os dilemas e oposições presentes na prática real.
Para que se formalize um conceito é necessário que haja a generalidade e a
abstração dele, mas isto somente é possível num movimento evolutivo. Essa é uma
estratégia que pode ser chamada de estado de devir, “no sentido de que, no plano subjetivo,
sempre é possível descortinar novos horizontes na compreensão de um conceito”(PAIS,
2002, p.58).
Para que essa abstração seja alcançada, faz-se necessário que o professor
provoque seus alunos para que eles explicitem o método de produção de suas respostas aos
problemas dados, observando como podem resolvê-los com a ajuda de conhecimentos
prévios; como os compreendem e como constroem novos conhecimentos a partir deles.
Para que o professor cumpra esse papel, torna-se imprescindível que ele saiba como se dá o
processo de aquisição do conhecimento matemático por parte do aluno.
Foi justamente esta a conduta que tomamos em relação ao grupo. Utilizamo-nos
de algumas situações-problema3, retiradas da Dissertação de Mestrado de Marta Santana
Comério, intitulada Interação social e solução de problemas aritméticos nas séries iniciais
do Ensino Fundamental, Unicamp, 2007, e pedimos aos professores que as aplicassem aos
seus alunos em suas Salas de Apoio.
PRÉ-TESTE
NOME:___________________________________________________________________
DATA:___________________________________________________________________
3
Recomendamos aos professores, naquela ocasião, que deixassem seus alunos
resolverem as questões sozinhos, sem nenhum tipo de ajuda ou interferência, neste primeiro
momento.
337
1. Na classe da professora Regina há 28 alunos. Sei que 17 são meninas. Quantos são os
meninos?
( ) 11
( ) 17
( ) 45
( ) 20
2. Quantos bolos um padeiro pode fazer com 48 ovos, se cada bolo leva 3 ovos na receita?
( ) 28
( ) 45
( ) 16
( ) 51
3. Fernando tinha 16 bolinhas de gude. Ele jogou com seu amigo Tiago. Ele agora tem 9
bolinhas de gude. O que aconteceu?
( ) Ele ganhou 9 bolinhas.
( ) Ele perdeu 7 bolinhas.
( ) Ele não ganhou nem perdeu bolinhas.
( ) Ele ganhou 7 bolinhas.
4. A professora tem 60 bombons para repartir com uma turma de 15 alunos e quer que cada
aluno receba a mesma quantidade de bombons. Quantos bombons ela deve dar a cada aluno?
( ) 15
( ) 45
()4
( ) 10
5. Tenho 4 bandejas de iogurte. Há 6 potinhos de iogurte em cada bandeja. Quantos iogurtes
eu tenho?
( ) 24
( ) 10
( ) 20
( ) 32
6. Janaína comprou 32 laranjas. Dessas 32 laranjas, 12 estavam estragadas. Quantas laranjas
estavam boas?
( ) 20
( ) 22
( ) 40
( ) 44
7. Patrícia tem 5 bombons. Ana tem 4 vezes mais bombons que Patrícia. Quantos bombons têm
Ana?
()9
( ) 28
( ) 20
( ) 10
8. Marcelo tem 24 balas. Ele tem 8 a mais que Talita. Quanta bala Talita tem?
( ) 32
338
()8
( ) 16
( ) 30
9. Paulo tinha R$ 18,00. Ganhou R$ 7,00 de seu pai e depois gastou R$ 5,00. Quanto ele tem
agora?
( ) R$ 25,00
( ) R$ 20,00
( ) R$ 30,00
( ) R$ 15,00
10. Laura adora brincar de bonecas. Sua mãe é costureira e resolveu fazer várias roupinhas
novas para suas bonecas. Ela fez 3 blusinhas, cada uma de um modelo. Para combinar com as
blusas, fez também 2 saias, uma florida e uma lisa. Veja abaixo as novas roupinhas das
bonecas. Quantos conjuntos diferentes Laura pode formar com as peças de roupas novas que
sua mãe fez?
( ) 12
()6
( ) 10
()5
11. Hemengarda é uma girafa. Ela adora colocar laços. Diz que eles valorizam o seu pescoço.
Hemengarda tem 40 laços vermelhos, 56 de bolinhas coloridas, 4 amarelos, 8 de estampados
diversos, 28 floridos e 30 cachecóis. Quantos laços Hemengarda têm?
( ) 128
( ) 96
( ) 136
( ) 166
12. As férias
As crianças correram ao encontro do carteiro.
- Carta da vovó Dinha!
- Que bom! Iremos passar as férias na fazenda.
Ao chegarem à fazenda, Mônica e Sérgio viram que estavam fazendo os preparativos para a
festa junina. Este ano ia ser muito bom. Gaspardina ia se casar com Mane Juvêncio, o maior
fogueteiro da cidade.
Sérgio e Mônica foram ajudar seus amigos que estavam com dificuldade na organização da
festa.
Mônica foi ver como andava a preparação da canjica. Dona Dedé estava precisando de
ajuda! Ela tinha 96 potinhos de canjica e queria colocar 8 potinhos em cada bandeja. Mônica
ajudou Dona Dedé colocando os potinhos nas bandejas. Quantas bandejas ela precisou?
( ) 88
( ) 104
( ) 12
()8
Agora tudo estava pronto para a festa. Ia ter fogos, fogueira e muita comida. As 18h00min
horas haverá o casamento da Gaspardina e do Juvêncio. A alegria ia ser grande! E você
também gosta de festa junina?
No encontro seguinte, pedimos que os professores se dividissem em pequenos
grupos e realizassem a análise das questões respondidas pelos alunos. Entregamos a eles
339
uma tabela sobre as características observadas nos protocolos dos participantes, que
consiste em uma escala de 5 pontos, elaborada por Charles (como citado em Lima, 2001a,
p. 51-52 apud MELLO, 2008, p. 136).
Os grupos de professores demonstraram muito interesse na análise das respostas
dos alunos e pudemos, com este trabalho, encontrar muitos pontos em comum entre as
diversas Salas de Apoio.
Os professores perceberam o quanto é importante resolver e pensar sobre os
problemas sugeridos aos alunos. Discutir sua resolução é sempre um exercício de
compreensão do raciocínio utilizado pelo aluno, propiciando sempre a oportunidade de
discutir outras formas de solução.
Considerações Finais
340
Nossa proposta de pesquisa esteve voltada a professores de Matemática que
trabalham com a Sala de Apoio e que tiveram um interesse inicial em compreender como o
processo de aquisição do conhecimento matemático acontece. Nossa intenção era
contribuir com o desenvolvimento das atividades desse professor. E, como nos diz
Guérrios (2005, p.145):
O processo de formação de professor acontece em um movimento evolutivo
contínuo no qual suas ações e reflexões configuram seu próprio fazer. Ou seja,
manifestações de transformações se dão ao longo do processo contínuo, num
permanente ir e vir, em que não é possível identificar momentos pontuais de
(re)começo ou de ruptura.
O trabalho desenvolvido com este grupo mostrou o quanto é importante para o
professor se reunir em grupos de discussão para debater os problemas propostos.
Embora uma parte dos professores goste do “diálogo” com seus pares,
verificamos que este “diálogo” não é frequente justamente porque são poucos que podem
contribuir. São poucos os professores que ultrapassam a barreira das aulas convencionais,
circunscritas à exposição teórica ou especulativa de temas relacionados ao que chamam de
conhecimento Matemático. Ou seja, “gostam” de trocar experiências, mas as experiências
são raras. Não basta querer; o professor de Matemática que desejar dar significado à sua
experiência com ensino deverá estudar os métodos de ensino disponíveis na história do
conhecimento Matemático.
Ponte (2003, p. 23) aponta uma dimensão importante para o envolvimento com a
Matemática: a investigação. “Ao requerer a participação do aluno na formulação das
questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o seu envolvimento na
aprendizagem.”
Foi justamente esta investigação que tentamos salientar no trabalho com os
professores, pois uma vez estabelecido o diálogo professor-aluno, na busca dos “porquês”
das respostas, o caminho torna-se mais tranquilo em relação aos objetivos que pretendemos
atingir.
O professor de Matemática tem a responsabilidade de “ensinar conteúdos”
cobrados em avaliações estaduais e nacionais. Com essa preocupação, o professor acaba
por fazer seu trabalho voltado a cumprir metas, levando seus alunos muitas vezes a
estabelecerem conexões “prontas e acabadas” na Matemática.
Procuramos estabelecer entre os professores um diálogo com suas práticas, seus
pares e seus conhecimentos epistemológicos, propiciando, desta forma, que a prática da
sala de aula fosse pensada de várias maneiras.
341
Ao concluir este artigo esperamos contribuir com a continuidade das discussões,
alertando para a necessidade de se repensar os processos de encaminhamento de alunos
para as Salas de Apoio, no sentido de fundamentar melhor as necessidades dos alunos
encaminhados. Mais que superar os índices de reprovação, deve-se pensar formas de
trabalhar as estruturas aditivas e multiplicativas para essas crianças, além de se insistir com
o professor nas questões de análise de erros.
Esperamos contribuir, também, para uma efetiva reflexão e produção da
Educação Matemática, cuja preocupação maior deve ser, em razão de sua ausência, o
conhecimento didático da Matemática.
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