Lógica Matemática
UNIDADE II
Professora: M. Sc. Juciara do Nascimento César
1
1 - Álgebra das Proposições
1.1 Propriedade da Conjunção
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições
também simples cujo valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F
(Falsidade).
a - Idempotente : p  p <=> p
b - Comutativa: p  q <=> q  p
c - Associativa: (p  q)  r <=> p  (q  r)
d - Identidade: p  t <=> p e p  c <=> c
p
V
F
t
V
V
c
F
F
pt
V
F
pc pt  p
F
V
F
V
pc  c
V
V
2
t-elemento neutro e c-elemento absorvente
Álgebra das Proposições
1.2 Propriedade da Disjunção
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer e sejam t e c proposições
também simples valores lógicos respectivos são V (Verdade) e F
(Falsidade).
a - Idempotente : p V p <=> p
b - Comutativa: p V q <=> q V p
c - Associativa: (p V q) V r <=> p V (q V r)
d - Identidade: p V t <=> t e p V c <=> p
p
V
F
t
V
V
c
F
F
pVt pVc pVtt pVcp
V
V
V
V
V
F
V
V
3
t-elemento absorvente e c-elemento neutro
Álgebra das Proposições
1.3 Propriedade da Conjunção e da Disjunção
Sejam p, q e r proposições simples quaisquer
a - Distributivas:
(i) p  (q V r) <=> (p  q) V (p  r)
(ii) p V (q  r) <=> (p V q)  (p V r)
b - Absorção:
(i) p  (q V q) <=> p
(ii) p V (q  q) <=> p
c - Regras de DE MORGAN:
(i) ~ (p  q) <=> ~ p V ~ q
(ii) ~ (p V q) <=> ~ p  ~ q
4
Álgebra das Proposições
Regras de DE MORGAN ensinam:
(i)~ (p  q) <=> ~ p V ~ q
Negar que duas dadas proposições são ao mesmo tempo
verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos é falsa
Ex: segundo (i), a negação da proposição:
É inteligente e estuda
Não é inteligente ou não estuda
5
Álgebra das Proposições
Regras de DE MORGAN ensinam:
(ii) ~ (p V q) <=> ~ p  ~ q
Negar que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira
equivale a afirmar que ambas são falsas.
Ex: segundo (ii), a negação da proposição:
É médico ou professor
Não é médico e não é professor
6
Álgebra das Proposições
1.4 Negação da Condicional
~ (p  q) <=> p  ~ q
p
q
pq
~ (p  q)
~q
p~q
V
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
F
Nota: a condicional não goza das propriedades idempotente,
comutativa e associativa
7
Álgebra das Proposições
1.5 Negação da Bicondicional
~ (p  q) <=> ( p  ~ q ) V (~ p  q)
p
q
~ (p  q)
~q
p~q
~p
~pq
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
F
V
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
Nota: a bicondicional p  q não goza da propriedades idempotente,
mas goza das propriedades comutativa e associativa
8
2 - Argumentos. Regras de Inferência
Def. Chama-se argumento toda a afirmação de que uma dada
seqüência finita P1, P2, , Pn (n1) de proposição tem como
conseqüência ou acarreta uma proposição final Q.
P1, P2, , Pn premissas
Q  conclusão
Indica por:
P1, P2, , Pn
Q
e se lê uma das seguintes maneiras:
a) “P1, P2,, Pn acarretam Q”
b) “Q decorre de P1, P2,, Pn ”
c) “Q se deduz de P1, P2,, Pn ”
d) “Q se infere de P1, P2,, Pn ”
9
2.1 Validade de um argumento
Def. Um argumento P1, P2, PN
Q diz-se válido se e somente se
a conclusão Q é verdadeira todas as vezes que as premissas P1, P2,
PN são verdadeiras.
Em um argumento válido: a verdade das premissas é incompatível com
a falsidade da conclusão.
Um argumento não-válido diz-se um sofisma
2.2 Critério de validade de um argumento
Teorema: Um argumento P1, P2, PN
Q é válido se e somente se a
condicional
P1P2 PN Q
É tautológica
10
2.3 Condicional associada a um argumento
Def. Dado um argumento P1, P2, PN
corresponde a condicional
Q a este argumento
P1P2 PN Q
denominada condicional associado ao argumento dado cujo antecedente
é a conjunção das premissas e cujo conseqüente é a conclusão.
Considere o seguinte argumento e verifique se é válido
SE TRABALHO, NÃO POSSO ESTUDAR
TRABALHO OU PASSO EM FÍSICA
TRABALHEI
LOGO, PASSEI EM FÍSICA
11
Passo 1: Escrevendo o argumento em sua forma simbólica.
Sejam
p: Trabalho,
q: Posso estudar
r: Passo em Física
as proposições que compõe esse argumento.
Assim:
p~q, p v r, p
r
Passo 2: Verificar a validade do argumento acima.
12
p q r
~ q p ~ q p v r (p ~ q) (p v r)  p
(p ~ q) (p v r)  p  r
V V V
F
F
V
F
V
V V F
F
F
V
F
V
V F V
V
V
V
V
V
V F F
V
V
V
F
V
F V V
F
V
V
V
F
F V F
F
V
F
F
V
F F V
V
V
V
F
V
F F F
V
V
F
F
V
A condicional associada ao argumento dado não é tautológica, assim o
argumento é não válido
13
Exercício: Mostre o argumento pq, r ~q
r ~ p é válido
Obs: Para mostrar que um argumento é não válido basta encontrar
um argumento da mesma forma, no entanto, as premissas são
verdadeiras e a conclusão é falsa.
Exemplo
Desafio: Será que o argumento pq
p  q v r é válido?
14
p
q
r
p q
qvr
p q v r
(p  q)  (p  (q v r))
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
A condicional associada a esse argumento é tautológica e portanto
esse argumento é válido.
15
3 - Regras de Inferência
Def. Chamam-se regras de inferência os passos utilizados na dedução
ou demonstração de um argumento.
Sendo habitual escrevê-los na forma padronizada abaixo indicada
colocando as premissas sobre um traço horizontal e, em seguida, a
conclusão sob o mesmo traço.
Notação: pq
p
q
premissas
argumento
conclusão
Regra Modus Ponens
16
Definição: Os passos usados na dedução ou demonstração da
validade de um argumento são chamados regra de inferências.
1 Regra da Adição (AD) – Dada uma proposição p, dela se pode
deduzir a sua disjunção com qualquer outra proposição.
p
~p
( p  q)
pvq
~p v q
( p  q) v r
2 Regra da Simplificação (SIMP) – Da conjunção p  q de duas
proposições se pode deduzir uma das proposições, p ou q.
( p v q)  r
p~q
xA  xB
pvq
~q
xA
17
3 Regra da conjunção (CONJ) – Permite deduzir de duas proposições
dadas p e q a sua conjunção p  q ou q  p
pvq
xA
~r
xB
(p v q)  ~ r
xAxB
4 Regra da Absorção (ABS) – Dada uma condicional pq como
premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o
mesmo antecedente p e cujo conseqüente é a conjunção das duas
proposições que integram a premissa p  q.
xA  xAB
xAxA  xAB
18
5 Regra Modus Ponens (MP) – A partir de pq e p como premissas
se pode deduzir q.
p  q r
xABxA
pq
xAB
r
xA
Aplicação: Verifique a validade do argumento
p  q, p  r
q
p q
(2) p  r
(1)
p q
(4) p
(5) q
(3)
Simplificação 2
Modus Ponens 3,4
19
6 Regra Modus Tollens (MT) – A partir das premissas pq e ~ q
deduzir ~p
qrs
x0x=y
~s
xy
~(q  r)
x=0
7 Regra do Silogismo Disjuntivo (SD) – Dada a disjunção p v q de
duas proposições e a negação ~p (ou ~q) se pode deduzir a outra
proposição q ( ou p).
(p  q) v r
~p v ~q
x=0 v x= 1
~r
~~p
x 1
(p  q)
~q
x=0
20
8 Regra do Silogismo Hipotético (SH) - Dadas duas condicionais
pq e qr, tais que o conseqüente da primeira coincide com o
antecedente da segunda se pode deduzir uma terceira condicional p r
cujo antecedente é o antecedente da condicional pq e o conseqüente
é o conseqüente de q  r
~p~q
(p  q)  r
~q~r
r  (q  s)
~p~r
(p  q)  (q  s)
x =0  x = 0
x = 0  x + 1 =1
x =0  x + 1 =1
21
9 Regra do Dilema Construtivo (DC) – As premissas são duas
condicionais e a disjunção dos seus antecedentes e a conclusão é a
disjunção dos conseqüentes das condicionais
pq r
st
(p  q ) v s
rvt
10 Regra do Dilema Destrutivo (DD) – As premissas são duas
condicionais e a disjunção da negação dos seus conseqüentes, e a
conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas
condicionais
~q  r
x + y = 7 x = 2
p~s
~r v ~~s
~~q v ~p
y – x = 2 x = 3
x2 v x 3
x+y7 v y–x2
22
4 - Validade Mediante Regras de Inferência
O método das tabelas – verdade permite demonstrar, verificar
ou testar a validade de qualquer argumento.
Um método mais eficiente para demonstrar, verificar ou testar a
validade de um dado argumento P1, P2, , PN
Q consiste em
deduzir a conclusão Q a partir das premissas P1, P2, , PN mediante o
uso de certar regras de inferência.
Exemplos:
23
1- Verificar que é válido o argumento: p q, p  r |--q
pq
(2) p  r
(3) p
(4) q
(1)
2 - SIMP
1,3 - MP
2- Verificar que é válido o argumento: p  q, p v r  s|--p  s
(1)
pq
(2)
pvrs
p
(4) p v r
(5) s
(6) p  s
(3)
1 - SIMP
3 – AD
2,4 - MP
3,5 - CONJ
24
3 - Verificar que é válido o argumento: p  (q r), p q, p|--r
p  (q r)
(2) p q
(3) p
(4) q  r
(5) q
(6) r
(1)
1,3 – MP
2,3 - MP
4,5 - MP
4 - Verificar que é válido o argumento: p  q, p  q  r, ~(p  r) |-- ~p
(1)
pq
(2) p
qr
 r)
(4) p  p  q
(5) p  r
(6) p  p  r
(7) ~ p
(3) ~(p
1 - ABS
2,4 – SH
5 - ABS
3,6 - MT
25
5 - Verificar que é válido o argumento:
p v q r, r v q  (p (s  t )), p  s |-- s  t
(1)
pvqr
(2) r
(3) p
v q  (p  (s  t ))
s
p
(5) p v q
(6) r
(7) r v q
(8) p (s  t )
(9) s  t
(4)
3 - SIMP
4 – AD
1,5 - MP
6 – AD
2,7 - MP
4,8 - AD
26
6 - Verificar que é válido o argumento:
p  ~q, ~p  (r  ~ q), (~ s v ~r) ~ ~q, ~s |-- ~r
(1)
p~q
(2) ~
p (r  ~ q)
(3) (~
s v ~r)~ ~q
(4) ~
s
(5) ~s v ~r
(6) ~~ q
(7) ~ p
(8) r  ~ q
(9) ~ r
4 - AD
3,5 – MP
1,6 - MT
2,7 – MP
6,8 - MT
27
Aplicação: Verifique a validade do argumento
p q r, r  s, t~ u, t, ~s v u
~(pq)
p  q r
(2) r  s
(3) t ~ u
(1)
(4)
t
~s v u
(6) ~u
(7) ~s
(8) ~r
(9) ~(p  q )
(5)
3,4 -MP
5,6 - SD
2,7 - MT
1,8 - MT
28
5 - Validade Mediante Regras de Inferência e Equivalência
1- Regra de substituição:
Uma proposição qualquer P ou apenas uma parte de P
pode ser substituída por uma proposição equivalente, e a
proposição Q que assim se obtém é equivalente á P.
2- Equivalências Notáveis
I. Idempotente (ID):
(i) p <=> p  p ;
(ii) p <=> p v p
II. Comutativa (COM):
(i) p  q <=> q  p ;
(ii) p v q <=> q v p
III. Associação (ASSOC):
(i) p  (q  r) <=> (p  q)  r ;
(ii) p v (q v r ) <=> (p v q) v p
29
IV. Distribuição (DIST) :
(i) p  (q v r) <=> (p  q) v (p  r );
(ii) p v (q  r) <=> (p v q)  (p v r)
V. Dupla Negação (DN):
p <=> ~ ~ p
VI. De Morgan (DM):
(i) ~ (p  q) <=> ~ p v ~ q
(ii) ~ (p v q) <=> ~ p  ~ q
VII. Condicional (COND):
p  q <=> ~ p v q
VIII. Bicondicional (BICOND):
(i) p  q <=> (p  q)  (q p)
(ii) p  q <=> (p  q) v (~p  ~q)
IX. Contrapositiva (CP):
p  q <=> ~q  ~ p
30
X. Exportação - Importação (EI):
p  q  r <=> p  (q  r)
Exemplos
1- Demonstrar que é válido o argumento: p~q, q
p~q
(2) q
(3) ~ ~ q  ~ p
(4) q  ~p
(5) ~p
~p
(1)
1-CP
3-DN
2,4 -MP
2 - Demonstrar que é válido o argumento: pq, r ~q
pq
(2) r  ~ q
(3) ~ ~ q  ~ r
(4) q  ~ r
(5) p  ~ r
p ~ r
(1)
2-CP
3-DN
1,4 -SH
31
3 - Demonstrar que é válido o argumento: p v(qr), p v q s
pvs
p v (q  r)
(2) p v q  s
(3) (p v q)  (p v r) 1-DIST
(4) p v q
3-SIMP
(5) s
2,4 –MP
(6) p v s
5 –AD
(1)
4 - Demonstrar a validade do argumento:
(p v ~q) v r, ~p v ( q  ~ p)
(p v ~ q) v r
(2) ~p v (q  ~p)
(3) (~ p v q)  (~ p v ~p) 2-DIST
(4) ( ~p v q)  ~p
3-ID
(5) ~ p
4–SIMP
(6) p v ( ~q v r)
1 -ASSOC
(7) ~q v r
5,6 -SD
(8) q  r
7 - COND
(1)
q r
32
6 – Demonstração Condicional e Demonstração Indireta
6.1 – Demonstração Condicional
Seja o argumento
P1, P2,, PN |--A B (1)
cuja conclusão é a condicional A B
Definição: O argumento
P1, P2,, PN |--A B (1)
É válido somente quando o argumento
P1, P2,, PN , A B (1)
É válido
33
Obs: Para mostrar a validade de um argumento, cuja conclusão tem
forma condicional AB, basta introduzir A como uma premissa
adicional e, com esse novo argumento deduzir B.
Exemplo: Demonstre a validade do seguinte argumento
p v (q r), ~r |-- q p
De conformidade com a Regra DC para demonstração de um
argumento cuja conclusão tem forma condicional, cumpre deduzir “p” a
partir das premissas p v (q r), ~r e q, isto é, demonstrar a validade do
argumento:
p v (q r), ~r, q |-- p
34
p v (q r), ~r, q |-- p
p v (q  r)
(2) ~ r
(3) q
(4) p v (~q v r)
(5) (p v ~ q) v r
(6) p v ~ q
(7) ~ ~q
(8) p
(1)
1-COND
4-ASSOC
2,5–SD
3– DN
6,7– SD
35
Exemplo: Demonstre a validade do seguinte argumento
(y = 4 x > y)  x > z
x > y v z > y y < 4  y3
y=2z>y
y=2vy=4y<4 v y>3
De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento
(y = 4 x > y)  x > z
x > y v z > y y < 4  y3
y=2z>y
y=2vy=4
y<4 v y>3
36
De conformidade com a Regra DC para demonstração de um argumento
(1) (y
= 4 x > y)  x > z
(2)
x > y v z > y y < 4  y3
(3)
y=2z>y
(4)
y=2vy=4
(5) y
= 4 x > y
1 - SIMP
(6) x
>yvz>y
3,4,5 - DC
(7) y
< 4  y3
2,6 - MP
(8) y
<4
7 - SIMP
(9) y
<4 v y>3
8 - AD
37