TÓPICO
FUNÇÕES POLINOMIAIS
51
4
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Gil da Costa Marques
4.1 Potenciação
4.2 Funções Polinomiais de grau n
4.3 Função Polinomial do Segundo Grau ou Função Quadrática
4.4 Análise da Forma Geral dos Gráficos da Função Quadrática
4.5 Gráficos das funções polinomiais
4.6 Raízes das funções polinomiais
4.7 Raízes da Função Quadrática
4.8 Máximos e Mínimos da Função Quadrática
Licenciatura em Ciências · USP/ Univesp
funções polinomiais
4
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
53
4.1 Potenciação
Antes de abordar as funções polinomiais, devemos introduzir uma operação com números
reais denominada potenciação. Assim, definimos a potência n do número a, representada por an
(com n ∈ N*), como o resultado do produto sucessivo do número a n vezes, ou seja,
a n ≡ a⋅
a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
a
4.1
n vezes
Assim, definimos a3 como:
a3 = a ⋅ a ⋅ a
4.2
ou seja, o produto sucessivo de a três vezes. O resultado da potenciação de um número real é
um outro número real. Por exemplo,
33 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 9 = 27
( −3)
3
=( −3) ⋅ ( −3) ⋅ ( −3) =−3 ⋅ 9 =−27
4.3
A potenciação de um número, caracterizada pela potência n, é uma operação bastante simples sempre que a potência envolva números inteiros positivos.
4.2 Funções Polinomiais de grau n
A operação potenciação permite-nos definir uma ampla classe de funções, denominadas
genericamente funções polinomiais. Por exemplo, a função cúbica, ou função polinomial de
terceiro grau é definida de forma análoga à potenciação uma vez que a função da forma:
f ( x ) = x3
4.4
associa ao valor x da variável independente, um valor para a variável dependente o qual é
determinado da própria variável independente:
f ( x) =
( x ⋅ x ⋅ x)
4.5
funções polinomiais
4
54
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Um exemplo simples de função cúbica é aquela que expressa o volume de uma esfera como
função do seu raio. Nesse caso a dependência do volume em relação ao raio R, se escreve:
V=
4π 3
R
3
4.6
Analogamente, podemos definir uma função envolvendo uma potência arbitrária, n, da variável dependente (considerando-se, até esse ponto, apenas números inteiros e positivos). Ela será
representada por:
f n ( x=
x
⋅ x
⋅⋅⋅x
) xn ≡ 
n vezes
4.7
Um polinômio de grau n é definido como uma soma ou combinações lineares de funções
da forma 4.7, isto é, ele é definido pela expressão geral:
n
P=
( x ) an f n ( x ) + an−1 f n−1 ( x ) + ... + a1 f 1 ( x ) + a0
4.8
P n ( x=
) an x n + an−1 x n−1 + ... + a1 x + a0
4.9
Ou, analogamente
Ou seja, um polinômio de grau n pode ser definido como uma soma de polinômios de graus variando
de um até n,
n
P n ( x ) = ∑ ai x i
4.10
i =1
Da definição acima, temos que a função afim é, por
definição, um polinômio de primeiro grau, ou seja,
P1 ( =
x ) a1 x + a0
4.11
Figura 4.1: Gráfico de uma função polinomial do primeiro
grau, ou função afim. / Fonte: Cepa
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
55
Por exemplo, a velocidade escalar de uma partícula de massa m sujeita a uma força constante
F atuando ao longo de uma curva é dada, como função do tempo t decorrido, por:
F
V
=
( t )   t + V0
m
4.12
Nesse caso, a variável independente, x, é o tempo, acima designado por t, enquanto os
parâmetros a1 e a0 são, respectivamente, a aceleração da partícula (a1 = F/m) e a sua velocidade
inicial (V (t = 0) = V0 ).
Um polinômio é considerado par se:
P n (=
x ) Pn ( − x )
4.13
em cujo caso, n deve ser necessariamente um número par e todos os coeficientes das potências
ímpares devem ser nulas. Por exemplo, o polinômio:
P4 ( x ) =
x 4 − 13x 2 + 36
4.14
Pn ( x ) =
−Pn ( − x )
4.15
é um polinômio par.
Um polinômio é dito ímpar, se:
A condição necessária e suficiente para que isso aconteça é a de que n deve ser, necessariamente, um número ímpar, bem como todos os coeficientes das potências pares devem ser nulos.
Assim, o polinômio
P5 ( x ) =
x 5 − 13x 3 + 36 x
4.16
é um polinômio ímpar.
funções polinomiais
4
56
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
4.3 Função Polinomial do Segundo Grau ou
Função Quadrática
A função polinomial do segundo grau contém, além dos termos lineares já analisados, um
termo quadrático na variável x. Assim, a forma mais geral do polinômio do segundo grau é:
y ( x ) = ax 2 + bx + c
4.17
Na expressão acima, empregamos a forma convencional de apresentar as funções quadráticas, ou seja, em termos de parâmetros designados pelas letras a, b e c. As constantes a, b e c são
denominadas, respectivamente, coeficiente quadrático, coeficiente linear e coeficiente constante
ou termo livre. O coeficiente quadrático é o único que não pode ser nulo, pois, nesse caso, a
equação seria do primeiro grau.
O gráfico de um polinômio do segundo grau é uma parábola.
O movimento dos projéteis na superfície terrestre provê mais de um
exemplo de grandezas que dependem
quadraticamente, umas das outras. Por
exemplo, a coordenada y associada à
posição de um projétil depende da coordenada x da seguinte forma:
2
 x 
g x 
y ( x) ≡ − 
 + vy 0 
 + y0
2  v0 x 
 v0 x 
4.18
onde g é a aceleração da gravidade, y0
é o valor da coordenada y quando do
início do movimento, isto é, quando
x = 0, e a velocidade inicial do projétil
tem componentes (v0x , v0y ).
Figura 4.2: A trajetória de um projétil é descrita por uma função quadrática. /
Fonte: Cepa
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
57
A seguir, escreveremos a expressão 4.17 de uma forma inteiramente equivalente, e muito útil, como
se verá. Admitindo-se o parâmetro a não nulo (a ≠ 0), podemos escrever as seguintes igualdades:

b
c
b
c b2
b2 

y= ax 2 + bx + c= a  x 2 + x + = a  x 2 + x + + 2 − 2 
a
a
a
a 4a
4a 




∆






2
2
2
2

 2 b
b
c b 
b  b − 4ac 
= a  x + x + 2 + − 2=

 a  x +  −
a
a
a 4a 
4
2a 
4a 2 

 
2
b 





 x+ 
 2a 


4.19
Donde inferimos que
2
b 
∆

y ( x )= ax 2 + bx + c= a  x +  −
2a  2a

4.20
onde o termo ∆ é dado por
∆= b 2 − 4ac
4.21
Embora seja pouco usual, vamos usar, e muitas vezes, essa última forma da função quadrática.
Em particular, se recorrermos a um artifício definido como translação de eixos (mudanças de
eixos na direção vertical e horizontal) ela se torna útil para escrever a equação da parábola de
uma forma mais simples. De fato, se redefinirmos as variáveis de acordo com as expressões:
b
2a
 b 2 − 4ac 
y′= y − 

 2a 
x′= x +
4.22
então, o polinômio do segundo grau pode ser escrito, nessas novas variáveis, como:
y′ ( x′ ) = ax′2
4.23
funções polinomiais
4
58
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Observe que efetuar translações ao longo
dos eixos x e y corresponde a realizar uma
mudança do sistema de coordenadas.
As transformações 4.22 podem ser pensadas como translações dos eixos na direção horizontal e na direção vertical. Assim, mediante
uma nova escolha de eixos, escolha essa defiFigura 4.3: Por meio da translação de eixos, podemos simplificar a forma da
função quadrática. / Fonte: Cepa
nida por 4.22, podemos reduzir a expressão
4.17 ou 4.20 a uma forma bastante simples. Utilizaremos, indistintamente, qualquer uma das
expressões 4.17, 4.20 ou 4.23.
De acordo com a expressão 4.17, podemos constatar que a função polinomial sob a forma
4.23 é uma função par. Isso nos leva a uma simetria da parábola. De fato, ela é simétrica em
relação à reta dada por:
x= −
b
2a
4.24
4.4 Análise da Forma Geral dos Gráficos da
Função Quadrática
Podemos classificar as parábolas a partir de suas duas características. A primeira delas é a
concavidade. A segunda diz respeito ao fato dela interceptar, ou não, o eixo x.
Uma função quadrática pode exibir dois tipos de concavidade. A concavidade é considerada
positiva se a curva “está virada para cima”. Se ocorrer o oposto, a concavidade da curva é
negativa. Nesse caso dizemos, numa linguagem coloquial, que ela está “virada para baixo”.
Levando-se em conta ainda a forma 4.23,
podemos verificar que a concavidade é determinada pelo sinal do parâmetro a da função. A
concavidade será negativa se o parâmetro a o
for. E será positiva se o mesmo valer para a. Isso
pode ser facilmente constatado analisando-se
as figuras em cada caso (Figura 4.4).
Figura 4.4: A concavidade da função depende do sinal do parâmetro a. /
Fonte: Cepa
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Assim, o parâmetro a determina também o
quão “aberta” ou “fechada” será a parábola.
Quanto maior o valor desse parâmetro tanto
mais aberta será a parábola (vide figura 4.5).
A parábola pode interceptar, ou não, o eixo x.
Para determinar sob que circunstâncias a curva
interceptará o eixo x, basta analisar em que circunstâncias teremos um valor de y igual a zero
para um dado valor de x. A tais valores, quando
existem, damos o nome de raízes do polinômio.
Os pontos nos quais a parábola cruza o eixo x
têm coordenadas ( y = 0, xr), onde xr é uma das
raízes do polinômio de segundo grau, isto é:
59
Figura 4.5: Comportamento da parábola quando
variamos o parâmetro a. / Fonte: Cepa
axr 2 + bxr + c =
0
Assim, o gráfico de um polinômio do segundo grau pode
interceptar duas vezes o eixo x (se ele possuir duas raízes),
interceptar apenas uma vez (no caso de ter apenas uma
raiz), ou nunca interceptá-lo (se não houver raízes reais).
De acordo com análise que faremos na seção 4.6, tais casos
podem ser decididos por meio da relação entre os parâmetros a, b e c. O resultado é o seguinte:
Se
∆ > 0 → b 2 > 4ac
4.25
Figura 4.6: Por forma geral para diferentes sinais ou
valores de Δ. / Fonte: Cepa
2
∆= 0 → b=
4ac
4.26
∆ < 0 → b 2 < 4ac
Assim, a função quadrática
y ( x ) = x 2 − 3x + 2
4.27
intercepta o eixo x duas vezes e, nesse caso, b2 = 9 > 4ac = 4·1·2 = 8
funções polinomiais
4
60
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
ao passo que a função
y ( x ) = x2 − 2x + 1
4.28
intercepta o eixo x apenas uma vez, pois b2 = 4 = 4ac = 4·1·1 = 4. E a função
y ( x=
) x2 + 1
4.29
jamais tocará o eixo x.
Exercício Resolvido: Problema 1
Esboce o gráfico da função
y = f ( x ) = x2 − 6x + 5
4.30
→ Resolução:
Primeiramente, lembramos que
Um modo de resolver o problema proposto seria atribuir alguns valores a x e calcular os correspondentes valores de y, constituindo assim uma tabela e, a partir da tabela, construir o gráfico. Há
um modo mais produtivo, porém, que é procurar os pontos mais importantes: corte com os eixos e
o vértice. Lembramos que, nesse caso, temos: a = 1, b = −6, c = 5.
a. Corte com o eixo y:
Para encontrar o valor de y, basta tomar x = 0 na equação 4.30.
Obtemos:
( 0)
y (0)=
2
− 6 ( 0 ) + 5= 5
4.31
Portanto, o gráfico corta o eixo 0y no ponto de coordenadas (0,5)
b. Concavidade:
Tendo em vista que a = 1 > 0, a concavidade é para cima
c. Cortes com o eixo 0x:
Devemos verificar se existem pontos na curva tais que y = 0, ou seja, pontos x para os quais:
xi 2 − 6 xi + 5 =
0
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
4.32
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
61
O valor de ∆ é positivo.
∆ = b 2 − 4ac = ( −6 ) − 4 (1)( 5 ) = 36 − 20 = 16
2
4.33
Portanto, nesse caso ele intercepta o eixo x duas vezes.
4.5 Gráficos das funções polinomiais
Gráficos típicos das funções polinomiais são apresentados nas figuras abaixo. O polinômio da
figura 4.7C é um polinômio par. Os demais não têm uma paridade bem definida.
A)
C)
B)
D)
Figura 4.7: Alguns gráficos de
funções polinomiais / Fonte: Cepa
funções polinomiais
4
62
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Pode-se ver, pelos gráficos, que as funções polinomiais não são limitadas, isto é, elas podem
crescer indefinidamente, decrescer indefinidamente, ou ambos.
A curva associada ao gráfico pode cortar o eixo x um certo de número de vezes. Esse número é igual
ou menor do que n. Aos valores de x para os quais isso ocorre damos o nome de raízes do polinômio.
Os polinômios, em geral, exibem pontos de máximos ou mínimos locais. Por exemplo, o
gráfico da figura 4.7D exibe dois máximos locais e um mínimo local.
4.6 Raízes das funções polinomiais
A determinação das raízes de um polinômio de grau n se faz mediante a solução de uma
equação algébrica. De fato, designando por xi a i-ésima raiz de um polinômio, por definição xi,
deve satisfazer à equação algébrica:
P n ( xi ) = 0
4.34
an xi n + an −1 xi n −1 + ... + a1 xi + a0 =
0
4.35
ou seja,
Podemos ter até n soluções reais para tal equação. Não haver solução, em se tratando de números
reais, é, também, uma possibilidade. O estudo das raízes de um polinômio tem desafiado os matemáticos.Assim, desde o século XVI, sabe-se a solução para as seguintes equações cúbicas e quárticas:
xi 3 + mxi − n =
0
xi 4 + pxi 2 + qxi + r =
0
4.36
Nos casos mais gerais o problema é complexo. O caso mais simples entre todos é aquele em
que o polinômio é favorável de tal forma a escrevê-lo sob a forma de produtos de polinômios
de primeiro grau:
P n=
( x ) a n ( x − x1 )( x − x2 ) ⋅⋅⋅⋅( x − xn )
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
4.37
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
63
Por exemplo, o polinômio dado por 4.14 pode ser escrito como
P 4 ( x ) = x 4 − 13x 2 + 36 = ( x − 2 )( x + 2 )( x − 3)( x + 3)
4.38
Figura 4.8 Gráfico do polinômio P 4
indicando suas raízes. / Fonte: Cepa
Ele tem, portanto, quatro raízes. Elas são representadas pelo conjunto
{−3, −2,2,3}
4.39
Figura 4.9 Gráfico do polinômio P 5
indicando suas raízes. / Fonte: Cepa
O polinômio ímpar, dado por 4.16, pode ser escrito como
P 5 ( x ) =x 5 − 13x 3 + 36 x =x ( x − 2 )( x + 2 )( x − 3)( x + 3)
4.40
Ele tem, portanto, cinco raízes, constituindo o conjunto de números reais:
{−3, −2, 0,2,3}
4.41
4.7 Raízes da Função Quadrática
Analisaremos, a seguir, o problema das raízes de uma equação do segundo grau. Ele tem uma
solução bastante simples, que se aplica a qualquer função polinomial de segundo grau.
A equação que nos permite determinar as raízes da função quadrática, de acordo com a
notação da seção precedente, é dada por:
axi 2 + bxi + c =
0
De 4.20 vemos que ela pode ser escrita como:
2
b 2 ( b − 4ac )
a ( xi + ) −
=
0
2a
4a
4.42
4.43
funções polinomiais
4
64
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
E, portanto, tais valores, se existirem, devem satisfazer à identidade:
b 2
( xi + =
)
2a
(b
2
− 4ac )
4a
2
≡
∆
4a 2
4.44
Ora, como se pode observar, para que existam valores xi que satisfaçam à relação acima, é
necessário que o lado direito de 4.44 seja positivo. Isso, por outro lado, fica assegurado se:
∆≥0
4.45
Tendo em vista a expressão 4.43, temos obtemos a seguinte expressão para as raízes:
2

b 
∆ 
a  xi +  − 2  =
0
2a  4a 

4.46
Uma vez que o coeficiente a é não nulo, a equação acima nos leva à seguinte expressão para as raízes:
2
b 
∆

 xi +  =
2a 
4a 2

4.47
Donde inferimos que para haver raízes reais devemos ter ∆ ≥ 0. Se ∆ > 0 as raízes são dadas
pela expressão:
xi +
b
∆
=
±
2a
2a
4.48
Da expressão acima, concluímos que, dependendo do valor de ∆, podemos ter até três possibilidades:
∆ > 0 ⇔ duas raízes reais diferentes

∆ = 0 ⇔ duas raízes reais iguais (uma única raiz)
∆ < 0 ⇔ não há raizes reais

TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
4.49
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
65
Assim, para ∆ > 0 encontramos duas raízes dadas pelos valores:
b
∆
−b − b 2 − 4ac
x1 =
− −
=
2a
4a 2
2a
b
∆
−b + b 2 − 4ac
x2 =
− +
=
2a
4a 2
2a
4.50
Se, no entanto, ∆ = 0, as duas raízes se reduzem a uma só.
x1 = x2 = −
b
2a
4.51
De 4.50 podemos concluir que a soma das raízes (S ) e o seu produto (P) são dados, respectivamente, por:
−b
a
c
P = x1 ⋅ x2 =
a
S = x1 + x2 =
4.52
Finalmente, é fácil verificar que, em termos das raízes dadas por 4.50, ou 4.51, um polinômio do segundo grau pode ser escrito como:
b
c

ax 2 + bx + c= a  x 2 + x + = a ( x − x1 )( x − x2 )
a
a

4.53
Por exemplo, as raízes da função 4.21, são determinadas pela equação:
xi 2 − 3xi + 2 =
0
4.54
cujas soluções, de acordo com 4.50, são:
3− 9−8
= 1
2
3+ 9−8
=
x2 = 2
2
=
x1
4.55
funções polinomiais
4
66
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
enquanto que a equação
xi 2 − 2 xi + 1 =
0
Figura 4.10: Gráficos
de funções quadrática
exibindo duas, uma e
nenhuma raiz. /
Fonte: Cepa
4.56
comporta apenas uma solução, já que nesse caso ∆ = 0.
Tal raiz, de acordo com a expressão 4.51, é dada por:
x1= x2=
2
= 1
2
4.57
A função 4.29 não exibe soluções para as raízes.
Não tem, portanto, raízes.
Exercício Resolvido: Problema 2
Determine as raízes do polinômio dado por 4.30.
→ Resolução:
Lembrando que o valor de ∆ é dado pela expressão 4.49, obtemos
=
∆
b 2 − 4ac
=
36 − 4.1.5
=
16
= 4
4.58
e utilizando os valores dados por 4.58, em 4.50, obtemos as duas raízes a partir da expressão:
=
xi
−b ± ∆ − ( −6 ) ± 4 6 ± 4
=
=
2a
2 (1)
2
ou seja,
6−4
= 1
2
6+4
=
x2 = 5
2
=
x1
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
4.59
67
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
4.8 Máximos e Mínimos da Função Quadrática
Finalmente, lembramos que uma parábola exibe um ponto no qual a variável y atinge um
valor máximo, (ou um valor mínimo). Qualquer que seja o caso (máximo ou mínimo), esse
valor de y será representado genericamente por ym.
O valor da variável independente, x, para o qual ocorre o valor máximo (ou mínimo), da
função polinomial do segundo grau será designado por xm. Como a cada par de valores das
variáveis corresponde um ponto no plano (x, y), esse ponto mui especial da parábola é aquele
para o qual as variáveis são dadas por:
( xm , ym )
4.60
Esse ponto tem o nome de vértice da parábola.
Existe uma forma sistemática de determinar os pontos de máximos e mínimos de um
polinômio do segundo grau. Para isso reescrevemos a equação do segundo grau utilizando a
forma 4.20, ou seja, escrevemos:
2

b 
∆ 
y = a  x +  − 2 
2a  4a 

4.61
Da expressão acima, resulta que os máximos ou mínimos da função quadrática ocorrerão
para os valores de x para os quais o primeiro termo entre parênteses do lado direito se anula,
isto é, para valores xm tais que:
xm +
b
=
0
2a
4.62
ou seja, para xm = −
b
2a
4.63
funções polinomiais
4
68
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
Outro modo de determinar a abscissa do vértice é lembrar que, havendo raízes reais, o
vértice se situa num ponto cuja abscissa é a média das coordenadas associadas às raízes:
xm =
x1 + x2
b
= −
2
2a
4.64
ao passo que o valor de ym, o valor do máximo, ou mínimo, será determinado substituindo-se em
4.61 o valor dado por 4.64, ou seja,
2

b 
∆ 
∆ 
∆

ym ≡ y ( xm ) =
a  xm +  − 2  =
a  02 − 2  =
−
2a  4a 
4a 
4a


4.65
Obtemos, assim, explicitamente:
ym =−
b2
∆
+c−
4a
4a
4.66
Assim, os pontos de máximo, ou mínimo, têm coordenadas dadas por:
 b

b2
x
y
,
,
=−
−
+ c
( m m) 
 2a 4a

4.67
Os pontos de mínimo, os vértices,
das funções quadráticas 4.27, 4.28 e
4.29, são dados, respectivamente, por:
3 1
 , 
2 4
Figura 4.11: Vértices das funções quadráticas/ Fonte: Cepa
(1,0 )
( 0,1)
4.68
No caso da função:
y = x2 − 6x + 5
4.69
a abscissa do vértice (xv ) é dada por:
=
xv
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
−b − ( −6 )
=
= 3
2a
2 (1)
4.70
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
69
Enquanto de 4.66 temos que a coordenada ordenada do vértice ponto será dada por:
ym =
−∆ −16
=
= −4
4a 4 (1)
4.71
Exercício Resolvido: Problema 3
A figura 4.12 apresenta o gráfico de uma função quadrática. Escreva a equação que define a função. Determine as coordenadas do vértice
→ Resolução:
Lembrando a forma geral da função quadrática y = ax2 + bx + c, o problema
que se coloca é o de determinar os coeficientes a, b, e c.
Da figura 4.12 inferimos que as raízes são x1 = −1 e x2 = 3.
Figura 4.12: Gráfico de uma função
quadrática / Fonte: Cepa
Considerando agora a forma fatorada de uma função polinomial do segundo
grau, escrevemos:
y = a ( x − x1 )( x − x2 ) = a ( x + 1)( x − 3) = a ( x 2 − 2 x − 3)
4.72
Resta-nos, portanto, determinar o valor do parâmetro a. Para isso, observemos que o gráfico corta o
eixo 0y no ponto (0,2), isto é, para x = 0, temos y = 2:
y ( 0 ) =2 =a ( 02 − 20 − 3)
4.73
Donde inferimos que
2⇒a =
−3a =
−
2
3
4.74
Substituindo esse valor de a em (II) obtemos:
2
y=
− ( x 2 − 2 x − 3)
3
4.75
funções polinomiais
4
70
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
ou de modo equivalente:
2
4
y=
− x2 + x + 2
3
3
4.76
Para determinar a posição do vértice, em termos das coordenadas denominadas abscissa e ordenada,
lembramos primeiramente que a abscissa do vértice é essencialmente a média das abscissas das raízes.
Assim, nesse caso obtemos:
x=
m
x1 + x2 −1 + 3 −b
=
= =
2
2
2a
−4
= 1
 2
2 − 
 3
4.77
Da expressão 4.66, que dá o valor da ordenada associada ao vértice obtemos:
−∆
y= =
m 4a
64
9= 8
 2 3
4 − 
 3
−
4.78
Portanto, o vértice é o ponto (1, 8 3). Observe que, neste caso, a concavidade da parábola é para baixo
e a função admite um valor máximo que é 8 3.
Exercício Resolvido: Problema 4
Uma pessoa que construir um galinheiro, de forma
retangular, usando um muro reto já construído, como
um dos lados do galinheiro. Dado que essa pessoa tem
material para construir 60 metros de cerca de uma altura
fixa, determine os valores de x e z de modo que a área
do galinheiro seja a maior possível (possa abrigar o maior
número possível de galinhas).
Figura 4.13 / Fonte: Cepa
TERRA E UNIVERSO Fundamentos da Matemática I
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp
71
→ Resolução:
Tendo em vista que o galinheiro é retangular, a sua área, denominada y, é dada pelo produto dos lados:
y = xz
4.79
O lado z deve ser escrito de forma que leve em conta a limitação imposta pela disponibilidade do
material à disposição. Assim, escrevemos para a soma dos três lados:
x+z+x =
60
4.80
Donde concluímos que, com o material existente, a relação entre os lados é dada por:
=
z 60 − 2 x
4.81
Portanto, escrevendo a área da construção em função do comprimento do lado x,obtemos
y=
x ( 60 − 2 x ) =
−2 x 2 + 60 x
4.82
Como a < 0, a concavidade da parábola [que é o gráfico de função y = f (x)] é para baixo e a função
admite um valor máximo para o valor da abscissa dado por:
=
x x=
m
−b
−60
=
= 15
2a 2 ( −2 )
4.83
Assim, para esse valor de x , o valor do outro lado será,
em metros, dado por:
z = 60 − 2 x = 60 − 2 (15 ) = 30
4.84
Portanto, para que o galinheiro tenha a área máxima,
devemos ter:
x = 15 metros
y = 30 metros
4.85
Figura 4.14 / Fonte: Cepa
funções polinomiais
4