INSTITUTO DE APLICAÇ ÃO FERNANDO RODRIGUES DA SILVEIRA
Disciplina: Matemática
Professor: Marcello Amadeo
Série: 9º ano / EF
Aluna(o): __________________________________________________
Turma: _____
LISTA 5 – EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
1)
2)
3)
Resolva as equações do 2º grau:
a) 𝑥 2 − 6𝑥 − 40 = 0
b) 𝑥 2 − 9𝑥 + 14 = 0
c) 𝑥 2 − 10𝑥 − 144 = 0
d) 𝑥 2 + 5𝑥 − 84 = 0
e)
f)
g)
h)
𝑥 2 − 32𝑥 + 240 = 0
𝑥 2 + 7𝑥 − 30 = 0
𝑥 2 − 11𝑥 + 30 = 0
𝑥 2 + 4𝑥 − 165 = 0
𝑥 2 − 8𝑥 + 48 = 0
j) 𝑥 2 + 17𝑥 + 42 = 0
k) 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0
i)
Calcule a soma das raízes de cada item do exercício anterior e compare o valor encontrado com os coeficientes
da equação. Você consegue estabelecer alguma relação?
Caso tenham solução, resolva as equações do 2º grau:
a) −48𝑥 2 + 88𝑥 − 35 = 0
e) −6𝑥 2 − 125𝑥 − 100
b) 45𝑥 2 − 23𝑥 − 152 = 0
f) 8𝑥 2 + 3𝑥 − 17 = 0
c) 9𝑥 2 − 7𝑥 + 20 = 0
g) 4𝑥 2 + 14 = 0
2
d) 4𝑥 + 7𝑥 − 57 = 0
h) −𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 0
i)
j)
k)
=0
−18𝑥 2 − 𝑥 + 10 = 0
16𝑥 2 + 12𝑥 + 6 = 0
−16𝑥 2 + 12𝑥 + 6 = 0
4)
Calcule a soma das raízes das equações com solução no exercício anterior e compare com os coeficientes da
equação. Assim como feito na questão 2, você consegue estabelecer alguma relação entre os coeficientes da
equação e a soma das raízes?
5)
a)
b)
Calcule as raízes das equações do 2º grau:
25𝑥 2 − 60𝑥 + 36 = 0
c) 256𝑥 2 + 128𝑥 + 16 =
2
36𝑥 − 204𝑥 + 289 = 0
d) 9𝑥 2 + 42𝑥 + 49 = 0
6)
Das equações resolvidas nos exercícios 1, 3 e 5, faça uma relação entre o discriminante Δ (delta) e a
quantidade de raízes que cada equação possui (duas raízes reais distintas, uma única raiz ou nenhuma raiz
real).
7)
Em cada equação dos exercícios 1, 3 e 5, caso ela possua solução, faça o que se pede:
a) Caso ela possua duas raízes distintas, calcule a soma das suas duas raízes e estabeleça uma relação entre
a soma das raízes com os coeficientes das equações.
b) Caso a equação possua somente uma solução, qual relação podemos estabelecer?
8)
a)
b)
Calcule as raízes das equações do 2º grau:
𝑥 2 + 98 = 21𝑥
c) 2𝑥 − 15 = 3𝑥 2 + 13
d) (𝑥 + 16)(𝑥 + 7) = (𝑥 + 9)(𝑥 + 12)
9𝑥 2 = 2𝑥 + 1
9)
Seja a equação do 2º grau 𝑥 2 + 6𝑥 + 𝑚 = 0, calcule o valor de 𝑚 para que a equação possua somente uma
única raiz real.
0
e)
e)
−400𝑥 2 + 120𝑥 − 9 = 0
(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) = 5
10) Considere a equação quadrática 3𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 5 = 0, calcule os valores possíveis de 𝑚 para que a equação
tenha somente uma raiz real.
11) Seja a equação do 2º grau 𝑚𝑥 2 + 10𝑥 + 5 = 0. Calcule os valores possíveis para
a) Somente uma raiz real;
b) Nenhuma raiz real;
c) Duas raízes reais distintas.
𝑚, tal que a equação tenha:
12) Qual é o valor de p que torna a equação 𝑥 2 − (𝑝 − 1)𝑥 + 𝑝 − 2 = 0 uma equação com raízes iguais, ou seja,
com uma única raiz?
13) Se a soma das raízes da equação 𝑥 2 + 𝑚𝑥 + 120 = 0 é 7, calcule o valor de 𝑚 e das raízes da equação.
14) Se a soma das raízes da equação 2𝑥 2 + 7𝑥 + 𝑚 = 0 é
7
− 2, calcule o valor de 𝑚 e das raízes da equação.
15) O retângulo abaixo possui 80 cm² de área. Calcule o comprimento dos lados, sabendo que um deles é 𝑥 + 10 e
o outro é 𝑥 − 6.
16) Um terreno retangular possui 162 m² de área e 54 m de perímetro. Calcule os comprimentos dos lados.
EXEMPLOS HISTÓRICOS
A presente seção é opcional para leitura. Ela deve ser vista como um suplemento cultural ao conteúdo, situando-o em
um contexto histórico particular em que esse assunto foi desenvolvido. Ela é um convite ao aluno interessado em
conhecer a matemática praticada por outras culturas e em outros períodos históricos, mas que não têm mais espaço
na matemática ocidental, que praticamos hoje em aula.
A Fórmula de Bhāskara (ou ou Bāskhara, ou Báskara, ou Bhāskara II, ou Bhāskarācārya, ou como você
preferir...) é associada no Brasil ao matemático hindu do século XII devido aos livros didáticos a partir da década de
60. Apesar de alguns historiadores da matemática defenderem que Bhaskara jamais teria sido o primeiro elaborar tal
fórmula e nem sequer teria utilizado-a em suas soluções, a homenagem tem um fundamento. Na matemática
praticada na cultura hindu (situada ao sul da Ásia, hoje pertencente à Índia, Paquistão, Nepal, Bangladesh e Sri
Lanka) era comum a divulgação de problemas recreativos que hoje associaríamos a equações algébricas em suas
resoluções. Observe os exemplos extraídos do texto de Bhaskara, Bija Ganita, que poderíamos resolver com
equações do 2º grau e divirta-se tentando resolvê-los:
Problema 1 O quadrado da oitava parte de um grupo de macacos estava pulando na floresta. Outros 12
estavam na colina, gritando. Quantos macacos pertenciam ao grupo todo?
Sugestão: se chamarmos de 𝒙 o número macacos de todo o grupo, então poderíamos resolver
esse problema a partir da equação
𝑥 2
( ) + 12 = 𝑥
8
Problema 2 O quadrado da quinta parte dos macacos deixando de fora três entraram em uma caverna; um
subiu uma árvore e ficou sentado lá. Diga-me quantos tinham neste grupo.
Sugestão: esse problema pode levar uma certa ambiguidade devido à sua tradução. Uma
possibilidade é associá-la a equação:
2
𝑥
( − 3) + 1 = 𝑥
5
Problema 3 De um enxame de abelhas, tome a metade, depois a raiz. Esse grupo extrai o pólen de um campo
de jasmins. Oito nonos do todo flutuam pelo céu. Uma abelha solitária escuta seu macho zumbir
sobre uma flor de lótus. Atraído pela fragrância, ele tinha se deixado aprisionar na noite anterior.
Quantas abelhas havia no enxame?
Sugestão: Vamos supor que a quantidade desconhecida 𝑥 possa ser substituída por uma outra 𝑦
tal que 𝑥 = 2𝑦 2 , isso porque queremos extrair a metade de 𝑥 e depois sua raiz (quadrada), assim
𝑥
sobraria 𝑦, ou seja, primeiro temos a quantidade de abelhas 𝑥, depois sua metade e depois sua
2
𝑥
𝑥
2
raiz (quadrada) √ = 𝑦, portanto √ = 𝑦 ⇒ 𝑥 = 2𝑦 esse número é que está polinizando. Enquanto
2
2
8
8
8
16
isso, 𝑥 flutuam sobre o céu, ou seja, 𝑥 = (2𝑦 2 ) = 𝑦 2 . Outros dois (uma abelha solitária e um
9
9
9
9
macho a zumbir) não fazem parte desses dois grupos. Portanto, o enxame todo seria a soma
16
desses três grupos: 𝑦, 𝑦 2 e 2. Enfim, como o grupo todo é 2𝑦 2 , se colocarmos em função de 𝑦,
9
recaímos sobre a seguinte equação do 2º grau:
𝑦+
16 2
𝑦 + 2 = 2𝑦 2
9
Não esqueça que o número de abelhas do enxame é 𝑥, não 𝑦.