Coordenadas polares
Um método importante de representação de pontos num plano
consiste no uso de coordenadas polares. Para introduzir um
sistema de coordenadas polares no plano, partimos de um ponto
fixo O (chamado origem ou pólo) e uma semi-recta orientada
(chamada eixo polar) com extremidade O.
Neste sistema a cada ponto P do plano podemos associar as
coordenadas polares (r , θ) onde:
Métodos Matemáticos I
Coordenadas polares
2006/2007
r é a distância de O (Pólo ou origem) a P.
θ é o ângulo orientado, no sentido contrário ao dos ponteiros
do relógio, desde o eixo até à semi-recta ȮP.
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Relação entre coordenadas polares e coordenadas
cartesianas
Nota: r pode ser negativo. Neste caso, mede-se r unidades na
semi-recta com extremidade O e sentido oposto a ȮP
Como se sabe, quando consideramos o sistema de coordenadas
cartesianas,(x, y ), no plano, cada ponto tem representação única.
Usando o sistema de coordenadas polares isto não acontece.
P = (r , θ) = (−r , θ + π) = (r , θ + 2kπ),
Veremos, a seguir, qual a relação entre as coordenadas polares e as
coordenadas cartesianas. Deste modo, obteremos um processo
para passar de coordenadas polares a coordenadas cartesianas e
vice-versa.
para k ∈ Z
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Curvas em coordenadas polares
Uma curva pode ser representada em coordenadas cartesianas ou
em coordenadas polares, como veremos nesta secção. Embora uma
curva possa ser representada por estes dois sistemas de
coordenadas, um dos sistemas poderá ser mais adequado que o
outro em determinadas situações.
Sendo (x, y ) as coordenadas cartesianas e (r , θ) as coordenadas
polares de um mesmo ponto P, tem-se
x = r cos θ e y = r sin θ
y
r 2 = x 2 + y 2 e tan θ = , com x = 0
x
Ao conjunto de pontos (r , θ) do plano que verificam a equação
F (r , θ) = 0 chama-se curva em coordenadas polares.
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A tı́tulo ilustrativo mostramos alguns gráficos especiais com a
respectiva equação na forma polar.
Vejamos quais são as equações polares de algumas rectas e
circunferências.
Rectas verticais: r cos θ = a ou r = a sec θ
Rectas horizontais: r sin θ = a ou r = acosecθ
Rectas que passam pela origem: θ = θ0
Circunferência centrada na origem: r = a (raio=|a|)
Circunferência centrada no eixo Ox e tangente ao eixo Oy :
r = 2a cos θ
Circunferência centrada no eixo Oy e tangente ao eixo Ox:
r = 2a sin θ
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