ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 1
• As leis do electromagnetismo são invariantes em relação ao sistema de coordenadas utilizado.
Muitas vezes a solução de um problema específico requer a utilização de um sistema de
coordenadas apropriado à resolução do problema.
• Num sistema tridimensional um ponto pode ser localizado pela intersecção de três superfícies.
• Se assumirmos que as três superfícies são descritas por u1, u2 e u3 (os u’s podem não ser
comprimentos) e se estas superfícies forem perpendiculares entre si, temos um sistema de
coordenadas ortogonal.
• Algumas das superfícies representadas por ui podem ser superfícies curvas.
• Vamos considerar que au1, au2 e au3 são os vectores unitários das três direcções coordenadas.
Estes vectores são chamados de vectores de base.
aˆu1 × aˆu 2 = aˆu 3
aˆu 2 × aˆu 3 = aˆu1
aˆu 3 × aˆu 2 = aˆu 2
aˆu 1 .aˆu 2 = aˆu 2 aˆu 3 = aˆu 3 .aˆu1 = 0
aˆu 1 .aˆu1 = aˆu 2 aˆu 2 = aˆu 3 .aˆu 3 = 1
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 2
• Qualquer vector A pode ser descrito como a soma das suas componentes nas três direcções
ortogonais:
A = aˆu 1 Au 1 + aˆu 2 Au 2 + aˆu 3 Au 3
• Em cálculo vectorial frequentemente é necessário calcular integrais de linha, superfície e de
volume. Em qualquer um dos casos necessitamos de exprimir a variação diferencial do
comprimento na correspondente variação diferencial numa das coordenadas.
• No entanto, alguma das coordenadas poderão não ser um comprimento (u1, u2, e/ou u3) e é
necessário um factor que converta a variação diferencial dui numa variação de comprimento dli
dli = hi du i
• Onde hi é denominado de coeficiente métrico. Para uma direcção arbitrária temos:
d l = aˆu 1dl1 + aˆu 2 dl2 + aˆu 3 dl3
d l = aˆu 1 (h1d u1 ) + aˆu 2 (h2 d u 2 ) + aˆu 3 (h3 d u 3 )
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 3
• O volume diferencial dv formado pelas variações infinitesimais du1, du2 e du3 nas direcções au1,
au2 e au3 é dl1dl2dl3 ou
dv = h1 h2 h3 du 1 du 2 du 3
• Área diferencial ds1 normal (perpendicular) ao vector de base au1 é
au3
ds1 = h2 h3 du2 du3
au2
dl1
ds1
dl2
au1
ds2 = h1 h3 du1 du3
ds3 = h1 h2 du1 du2
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 4
o Coordenadas Cartesianas
(u1, u2, u3) = (x, y, z)
• Um ponto P( x1, y1, z1) em coordenadas cartesianas resulta da
intersecção de três planos definidos por x = x1, y = y1 e z =
z1.
• É um sistema que tem como vectores de base ax, ay e az
aˆ x × aˆ y = aˆ z
aˆ y × aˆ z = aˆ x
aˆ z × aˆ x = aˆ y
• Vector A em coordenadas cartesianas:
A = aˆ x Ax + aˆ y Ay + aˆ z Az
• Produto interno de dois vectores em coordenadas cartesianas:
A.B = AxBx + AyBy + AzBz A.B
= Ax Bx + Ay By + Az Bz
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 5
o Coordenadas Cartesianas
• Produto externo de dois vectores em coordenadas cartesianas:
A × B = aˆ x ( Ay Bz − Az By ) + aˆ y ( Az Bx − Ax Bz ) + aˆ z ( Ax By − Ay Bx )
aˆ x
aˆ y
aˆ z
A × B = Ax
Ay
Az
Bx
By
Bz
• Como x, y e z são comprimentos, todos os coeficientes métricos são unitários
h1 = h2 = h3 = 1
• Das expressões anteriores podemos concluir que:
ds x = dy dz
d l = aˆ x dx + aˆ y dy + aˆ z dz
ds y = dx dz
ds z = dx dy
dv = dx dy dz
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 6
o Coordenadas Cartesianas
• Na figura está representado um volume diferencial no ponto (x, y, z) que resulta das variações dx,
dy e dz. As superfícies dsx, dsy e dsz normais às direcções ax, ay e az estão também indicadas.
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 7
o Coordenadas Cilíndricas
(u1, u2, u3) = (r, φ, z)
• Em coordenadas cilíndricas um ponto P(r1, φ1, z1) resulta da
intersecção de:
o uma superfície cilíndrica de raio r1 com eixo em zz;
o um meio plano que contém o eixo zz e que faz um ângulo
φ1 com o plano xz;
o um plano paralelo a xy com z=z1.
aˆ r × aˆφ = aˆ z
aˆφ × aˆ z = aˆ r
aˆ z × aˆ r = aˆφ
• Vector A em coordenadas cilíndricas:
A = aˆ r Ar + aˆφ Aφ + aˆ z Az
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 8
o Coordenadas Cilíndricas
• Duas das três coordenadas são comprimentos (r e z) e portanto h1 = h2 = 1. No entanto, φ é um
ângulo que requer o coeficiente métrico h2 = r de modo a converter dl2 em dr2.
• Na figura está representado um elemento de volume no ponto (r, φ, z) que resulta das variações
infinitesimais dr, dφ
φ e dz.
• A expressão para o comprimento diferencial em
coordenadas cilíndricas é então:
d l = aˆ r dr + aˆφ rdφ + aˆ z dz
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 9
o Coordenadas Cilíndricas
• As expressões para as áreas diferenciais e para o volume diferencial são:
ds r = rdφ dz
dv = rdr dφ dz
ds φ = dr dz
ds z = rdr dφ
• Transformação de coordenadas cilíndricas em coordenadas cartesianas:
x = r cos φ
y = r sin φ
z=z
• Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas:
r = x2 + y2
y
y = tan − 1
x
z=z
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 10
o Coordenadas Esféricas
(u1, u2, u3) = (r, θ, φ)
• Em coordenadas esféricas um ponto P(r1, θ1, φ1) resulta da
intersecção de:
o uma superfície esférica com centro na origem e raio igual
a r1;
o um cone circular com o vértice na origem, eixo
coincidente com zz e que faz um ângulo θ1 com zz;
o um meio plano que contém o eixo zz e que faz um ângulo
φ1 com o plano xz.
aˆ r × aˆθ = aˆφ
aˆθ × aˆφ = aˆ r
aˆφ × aˆ r = aˆθ
• Vector A em coordenadas esféricas:
A = aˆ r Ar + aˆθ Aθ + aˆφ Aφ
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 11
o Coordenadas Esféricas
• Em coordenadas esféricas r (u1) é um comprimento, θ e φ (u2 e u3) são ângulos. São necessários os
coeficientes métricos h2 e h3 para converter dθ
θ e dφ
φ em comprimentos.
h2 = r
h3 = r sin θ
d l = aˆ r dr + aˆθ rdθ + aˆφ r sin φdφ â
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 12
o Coordenadas Esféricas
• As expressões para as áreas diferenciais e volume diferencial que resultam das variações
diferenciais dr, dθ
θ e dφ
φ são:
ds r = r 2 sin θdφ dφ
dsθ = r sin θdr dφ
dv = r 2 sin θdr dθdφ
dsφ = rdr dθ
• Transformação de coordenadas esféricas em coordenadas cartesianas:
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cosθ
• Transformação de coordenadas cartesianas em coordenadas esféricas:
r = x2 + y2 + z2
x2 + y2
−1
θ = tan
z
y
φ = tan −1
x
ELECTROMAGNETISMO
Ä
Sistemas de coordenadas ortogonais - 13
Coordenadas
cartesianas
(x, y, z)
Coordenadas
cilíndricas
(r, φ, z)
Coordenadas
esféricas
(r, θ, φ)
aˆu 1
âx
âr
âr
aˆu 2
âx
âθ
âφ
aˆu 3
âx
â z
âθ
h1
1
1
1
h2
1
r
r
h3
1
1
rsinθ
θ
dv
dxdydz
rdrdφ
φdz
r2sinθ
θdrdθ
θdφ
φ
Relações entre os sistemas de
coordenadas
Vectores de
base
Coeficientes
métricos
Volume
diferencial