SISTEMAS DE COORDENADAS ORTOGONAIS
Sistemas de Coordenadas Ortogonais .............................................................. 2
Fatores de Escala .............................................................................................. 2
Jacobianos da Transformação .......................................................................... 4
Operadores Vetoriais e Tensoriais ................................................................... 8
Exemplo ............................................................................................... 12
Equações de N-S em um Sistema Ortogonal de Coordenadas......................... 16
Aplicação - Coordenadas Ajustadas ao Corpo ................................................. 19
Propriedades de uma Curva no Plano 2-D ........................................... 20
Fatores de Escala para Coordenadas Ajustadas a uma Curva no
Plano ..................................................................................................... 22
Fatores de Escala para Corpos Axi-simétricos..................................... 25
Exemplo: Fatores de Escala para Superfície Cônica............................ 26
Referências ....................................................................................................... 28
Prof. Eugênio Spanó Rosa
FEM-DE UNICAMP
[email protected]
Coordenadas Ortogonais
Prof. Eugênio Spanó Rosa
Coordenadas Ortogonais
A equação de Navier-Stokes escrita na forma de operadores vetoriais e
tensoriais,



DV

 p   2 V   g
Dt
(1)
aplica-se a qualquer sistema de coordenadas. Para que se possa expandir os termos da Eq.
(1) em um sistema de coordenadas particular é necessário que se expresse os operadores:
divergente, rotacional e gradiente para o sistema específico. O objetivo deste tópico é
desenvolver as fórmulas necessárias para as transformações de coordenadas entre
sistemas ortogonais.
Fatores de Escala
Dado um sistema de coordenadas ortogonal, (1, 2, 3), sua representação
genérica é mostrada na Fig. 1
Fig. 1 - Sistemas de coordenas ortogonais.
O comprimento de um elemento de arco, (ds)2, é invariante ao sistema de coordenadas
utilizado. Para o sistema genérico,
adsf  h bd g  h bd g  h bd g
2
2
1
2
1
2
2
2
2
ou em notação indicial,
2
2
3
3
2
(2)
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adsf  h bd g
2
2
i
2
i
onde h1, h2 e h3 são os fatores de escala que dependem das três coordenadas (1, 2, 3).
Se as coordendas (1, 2, 3) são funções conhecidas de um sistema cartesiano (x,y,z)
então os fatores de escala h1, h2 e h3 são determinados por:
FG 1 IJ
Hh K
FG 1 IJ
Hh K
FG 1 IJ
Hh K
2
F  IJ  FG  IJ  FG  IJ
G
H x K H y K H z K
F  IJ  FG  IJ  FG  IJ
G
H x K H y K H z K
F  IJ  FG  IJ  FG  IJ
G
H x K H y K H z K
2
2
1
1
2
2
3
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
3
2
2
(3)
2
3
3
De modo inverso, se (x,y,z) são funções conhecidas de (1, 2, 3), então:
bh g  FGH x IJK  FGH y IJK  FGH z IJK
bh g  FGH x IJK  FGH y IJK  FGH z IJK
bh g  FGH x IJK  FGH y IJK  FGH z IJK
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
(4)
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Jacobianos da Transformação
Nota-se pelas Eqs. (3) e (4) que os fatores de escala são determinados a partir
do conhecimento da relação funcional entre o sistema (1, 2, 3) e o sistema cartesiano
(x,y,z) e de suas derivadas. De maneira genérica pode-se representar as relações
funcionais que associam pontos do espaço (1, 2, 3) para o espaço (x,y,z) como sendo:
x  f 1 ,  2 , 3
b
g
y  gb  ,  ,  g
z  hb ,  ,  g
1
2
3
1
2
3
(5)
desta maneira os planos definidos por 1 = constante, 2 = constante e 3 = constante no
espaço (x,y,z) determinam um sistema de coordenadas curvilíneas. De maneira análoga à
Eq. (5), pode-se também definir as relações funcionais que associam pontos do espaço
(x,y,z) para o espaço (1, 2, 3) :
1   x, y, x
b
g
 2  ( x, y, z )
b
3   x, y, z
(6)
g
Uma vez conhecendo-se as relações funcionais definidas pela Eq. (5) ou Eq. (6) pode-se
determinar suas derivadas e os fatores de escala. O procedimento de obtenção das
derivadas pode ser trivial dependendo da forma das Eqs. (5) ou (6) entretando, pode
haver casos onde o trabalho algébrico torna-se custoso e/ou a obtenção das relações que
levam de um plano a outro é mais fácil de se obter em um sentido, isto é, (x,y,z)  (1, 
2, 3) ou vice versa. Nestes casos torna-se justificável a aplicação de um método
específico para este procedimento de obtenção das derivadas.
Pode-se representar de modo genérico a relação funcional entre os sistemas
de coordenadas através das funções:
F 1 ,  2 , 3 , x, y, z  0
b
g
Gb  ,  ,  , x, y, zg  0
Hb  ,  ,  , x, y, zg  0
1
2
3
1
2
3
(7)
sendo que as funções F, G e H podem ser definidas a partir da Eq. (5),
F 1 ,  2 , 3 , x, y, z  0  f 1 ,  2 , 3  x
b
g b
g
Gb  ,  ,  , x, y, zg  0  gb  ,  ,  g  y
Hb  ,  ,  , x, y, zg  0  h b  ,  ,  g  z
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
ou a partir da Eq. (6),
4
(8)
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b
g
b g
Gb  ,  ,  , x, y, zg  0  ( x, y, z )  
Hb  ,  ,  , x, y, zg  0  b x, y, zg  
F 1 ,  2 , 3 , x, y, z  0   x, y, x  1
1
2
3
2
1
2
3
3
(9)
A escolha entre as definições estabelecidas pelas Eqs. (8) e (9) depende da facilidade
com que se obtêm as relações definidas pelas Eqs. (5) ou (6).
Tomando-se o diferencial das funções F, G e H tem-se que:
dF  F1d1  F2d 2  F3d3  Fx dx  Fydy  Fzdz  0
dG  G 1d1  G2d 2  G3d3  G x dx  G ydy  G zdz  0
(10)
dH  H1d1  H2d 2  H 3d3  H x dx  H ydy  H zdz  0
onde por questões de conveniência as derivadas parciais estão representadas por:
F
F1 
, etc
1
A equação (10) define um sistema linear de equações em termos dos
diferenciais (dx, dy, dz) e (d1, d2, d3). Tomando-se como variáveis independentes
(1, 2, 3), a Eq. (10) na forma matricial fica sendo:
Fx Fy Fz dx
F1d1  F2d2  F3d3
Gx
Hx
Gy
Hy
G z  dy   G 1d1  G2d 2  G3d3
H z dz
H1d1  H2d 2  H 3d3
(11a)
De modo análogo, caso as variáveis (x, y, z) sejam independentes,
Fx dx  Fydy  Fzdz
F1 F2 F3 d1
G 1 G2
G3  d2   G x dx  G ydy  G zdz
H1
H1
H1
d3
(11b)
H xdx  H ydy  H zdz
A solução dos sistemas (11a) ou (11b) pode ser obtida através da regra de Cramer. Esta
solução pode ser expressa em uma notação compacta definindo-se os determinantes
jacobianos. A notação assemelha-se a um operador diferencial mas está associada ao
cálculo do determinante formado pelas derivadas parciais das funções. Segue abaixo três
exemplos do uso da notação e seus determinantes associados:
5
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b
b
g
g
Fx
 Gx
Hx
 F, G, H
 x, y, z
b
g
Fy
Gy
Hy
F1
 F, G, H
 G 1
 1 ,  2 , 3
H 1
b
b
b
g
g
 F, G, H
 1 , y, z
F2
G 2
H2
g
Fz
Gz
Hz
F3
G 3
H 3
F1
 G 1
Fy
Gy
Fz
Gz
H 1
Hy
Hz
Em particular deve-se destacar os jacobianos (F,G,H)/(x,y,z) e (F,G,H)/(1, 2, 3)
que estão associados, respectivamente, às transformações
(x,y,z)  (1, 2, 3) e
(1, 2, 3)  (x,y,z). A transformação existe desde que
(F,G,H)/(x,y,z)  0
e (F,G,H)/(1, 2, 3)  0.
Tomando o sistema (11a), que leva a transformação do espaço (1, 2, 3) 
(x,y,z), tem-se que as derivadas associadas, expressas em termos dos jacobianos, são:
b g
b g
b g
b g
b F, G, H g
b x ,  , z g
y

b F, G, H g

b x, y, zg
b F, G, H g
b x, y,  g
z

b F, G, H g

b x, y, zg
 F, G, H
 1 , y, z
x

 F, G, H
1
 x, y, z
1
1
1
1
b g
b g
b g
b g
b F, G, H g
b x ,  , z g
y

b F, G, H g

b x, y, zg
b F, G, H g
b x, y,  g
z

b F, G, H g

b x, y, zg
 F, G, H
  2 , y, z
x

 F, G, H
2
 x, y, z
2
2
2
2
b g
b g
b g
b g
b F, G, H g
b x ,  , z g
y

b F, G, H g

b x, y, zg
b F, G, H g
b x, y,  g
z

b F, G, H g

b x, y, zg
 F, G, H
 3 , y, z
x

 F, G, H
3
 x, y, z
3
3
3
3
De maneira similar, tomando o sistema (11b), que leva a transformação do
espaço (x,y,z)  (1, 2, 3), tem-se que as derivadas associadas, expressas em termos
dos jacobianos, são:
6
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a f
b
g
a f
b
g
a F, G , H f
b , x,  g


a F, G , H f
x
b ,  ,  g
a F, G , H f
b ,  , xg


a F, G , H f
x
b ,  ,  g
 F, G , H
 x,  2 ,  3
1

 F, G , H
x
 1 ,  2 ,  3
2
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
3
a f
b
g
a f
b
g
a F, G , H f
b , y,  g


a F, G , H f
y
b ,  ,  g
a F, G , H f
b ,  , yg


a F, G , H f
y
b ,  ,  g
 F, G , H
 y,  2 ,  3
1

 F, G , H
y
 1 ,  2 ,  3
2
3
1
3
1
2
1
2
1
2
7
3
3
a f
b g
a f
b
g
a F, G , H f
b , z,  g


a F, G , H f
z
b ,  ,  g
a F, G , H f
b ,  , zg


a F, G , H f
z
b ,  ,  g
 F, G , H
 z,  2 ,  3
1

 F, G , H
z
 1 ,  2 ,  3
2
1
1
3
1
1
3
2
3
2
2
3
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Operadores Vetoriais e Tensoriais
A presente seção propõe-se apenas a mostrar algumas das formas dos operadores
vetoriais e tensoriais mais comuns na área de mecânica dos fluidos. O desenvolvimento
das fórmulas aqui apresentadas baseiam-se no cálculo tensorial e podem ser encontrado
nas referências listadas no final do capítulo.
 Gradiente de uma grandeza escalar  - o resultado da operação é um vetor:

  e1
1   1   1 
 e2
 e3
h1 1
h 2  2
h 3 3
(12)
onde e1, e2, e3 são vetores unitários nas direções (1, 2, 3). Em notação indicial, Eq.
(12) fica sendo:
a f  e h1 

i
i
i
(12a)
i
 Divergente de uma grandeza vetorial V - o resultado da operação é um escalar:

V 
  h 2 h 3 V1   h1h 3 V2   h1h 2 V3  
1




h 1h 2 h 3 
 3
1
 2

(13)
Em notação indicial a Eq. (13) fica sendo:



1  g Vi h i
, onde g  h1h 2 h 3
i
i g
V  
8
(13a)
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 Rotacional de uma grandeza vetorial V - o resultado da operação é um vetor:



h1 e1 h 2 e2 h3 e3
x V 
1

h1h 2h3 1
h1V1

2

3
h 2V2
h3V3
Em notação indicial a Eq. (15) fica sendo:
 
h h k Vk 
 x V    ijk i


g  j

i
(14)
(14a)
onde g é definido como na Eq. (13a) e ijk é o símbolo de Levi-Civita definido por:
 1 se (ijk) for uma permutação (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2)

 ijk   1 se (ijk) for uma permutação (3,2,1), (2,1,3), (1,3,2)

0 quando dois ou três índices se repetem
 Laplaciano de uma grandeza escalar  - o resultado da operação é um escalar:
  h 3h1     h1h 2  
1    h 2h 3  



 


 2      

h1h 2h 3  1  h1 1  2  h 2 2  3  h 3 3 
Em notação indicial a Eq. (16) fica sendo:
  g  
1
 2 

g i  i  h 2  i 
 i

 Gradiente de uma grandeza vetorial V - o resultado da operação é um tensor:
1 Vi
1 Vk h i

Vii  h    h h 

k i
i
i
k
i
k

V  
V  1 Vj  1 Vj h j para i  j
 ij h j i h i h j i
9
(15)
(15a)
(16)
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 Divergente de uma grandeza tensorial ij - o resultado da operação é um vetor:
  g 
h
1      h
1    h
(17)
    i  i   ij     ij ji  i   jj  j
g j  j  h i h j  j h j  h i   j j h i  h j  i
 Laplaciano de uma grandeza vetorial V - o resultado da operação é um vetor:
O laplaciano de uma grandeza vetorial pode ser calculado através da identidade
mostrada na Eq. (18). As operações que definem os termos (I) e (II) estão definidos
pelas Eqs. (13), (14) e (15).



(18)
 2 V    V  x x V
F
GH
I
JK
F
GH
I
I
JK
II
Passa-se agora a mostrar a forma dos termos (I) e (II). O termo (I) da Eq. (18) é:
   1   1   g V1  1   g V2  1   g V3  
 e1





   V  








 h 1 1  g 1  h1  g  2  h 2  g  3  h 3 
+
1   1   g V1  1   g V2  1   g V3  



e2
h 2  2  g 1  h 1  g  2  h 2  g  3  h 3 
+
1   1   g V1  1   g V2  1   g V3  


 e3

h 3  3  g 1  h1  g  2  h 2  g  3  h 3 
(18-I)
I
Em notação indicial a Eq. (18-I) fica sendo:
 
1   1   g V j 


   V  

 i h i i  j g  j  h j 
O termo (II) da Eq. (18) é:
10
(18a-I)
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
h1 e1


h 2 e2
h 3 e3

1

2

3

h1  
h 3V3   h 2V2 

3
g  2


h2  
h1V1   h 3V3 

1
g  3


h3  
h 2V2   h1V1 

 2
g  1

  1
x  x V  
g


II
(18-II)
a componente na direção e1 da Eq. (18-II) fica sendo:
h 1    h 3

g   2  g
 

h 2 V2    h1V1    

 2
 1
   3
 h2

 g

 
  





h
V
h
V

1 1
3 3   e1

1
  3
 
Em notação indicial a Eq. (18-I) toma a forma:
FH xx VIK


p
LM
MN
h p   ijk h k 
 ijk h k 
h jVj 
h p Vp
g  j
g  p
g  j
d i
d
iOPP
Q
(18a-II)
 Produto escalar entre um vetor e um tensor - o resultado da operação é um vetor:


VV 
V1 , V2 , V3 
1 V1
V h1
V h1
 2
 3
h1 1 h2 h1 2 h3h1 3
1 V2
V h1
 1
h1 1 h2 h1 2
1 V3
V h1
 1
h1 1 h3h1 3
1 V1 V2 h 2

h2 2 h1h2 1
1 V2
V h 2
V h2
 1
 3
h2 2 h1h2 1 h3h2 3
1 V3
V h2
 2
h2 2 h3h2 3
1 V1 V3 h3

h3 3 h1h3 1
1 V2
V h3
 3
h3 3 h2 h3 2
1 V3
V h3
V h 3
 1
 2
h3 3 h1h3 1 h2 h3 2
11
(19)
Coordenadas Ortogonais
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a componente na direção e1 da Eq. (19) é obtida fazendo-se o produto linha coluna entre
o vetor V e o tensor V,
LM
FG V   VIJ  MM V V  V V  V V  V V
H K M1h 44 4 44h 24 4 4h 4 43 h h
MM
VV1
N


1
1
1
2
1
1
2
1
3
1
1 2
2
3
3
2 1
h1 V1V3 h1 V3V3 h 3 V2 V2 h 2



 2 h 3h1 3 h1h 3 1 h1h 2 1

OP
PP e
PP 1
PQ

(20)
Exemplo
A transformação
x = r.cos(), y = r.sin(), z = z* permite passar de coordenadas
retangulares a coordenadas cilindricas polares. Nesta transformação calcule: a) os fatores
de escala; b) o gradiente de um escalar ; c) o divergente de um vetor V com
componentes nas direções r,,z* definidas por Vr, V e Vz*; d) o rotacional de um vetor
V; e) o gradiente de um vetor V; e g) o divergente de um tensor .
a)
para calcular os fatores de escala é necessário definir as relações funcionais
entre os sistemas de coordenadas conforme sugerido pela Eq. (8)
F  r, , z* , x, y, z   r  cos     x  0
G  r, , z* , x, y, z   r  sin     y  0
H  r, , z* , x, y, z   z*  z  0
as derivadas das funções F, G, H são:
bg
Fr  cos 
bg
 r  cosbg
G r  sin 
Hr  0
F   r  sin 
G
H  0
Fz*  0
G z*  0
H z*  1
Fx  1
Gx  0
Hx  0
Fy  0
G y  1
Hy  0
Fz  0
Gz  0
H z  1
bg
12
Coordenadas Ortogonais
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O jacobiano da transformação (r,,z*)  (x,y,z),
1 0 0
 F, G, H
 0 1 0  1
 x, y, z
0 0 1
b
b
g
g
a derivada parcial de x com relação a r, mantendo  e z* constantes, pode ser obtida
diretamente das definiçoes dos determinantes jacobianos,
0 0
cos 
sin  1 0
 F, G, H
0
0 1
 r , y, z
x


 cos 
 F, G, H
r
1
 x, y, z
b
b
b
b
bg
bg
g
g
g
g
bg
b g
as demais derivadas são calculadas usando-se o mesmo procedimento. Para referência
elas estão mostradas a seguir:
x
x
x
 cos 
  r  sin 
0

z*
r
y
y
y
 sin 
 r  cos 
0
r

z*
z
z
z
0
0
1

z*
r
bg
bg
bg
bg
A partir das derivadas pode-se determinar os fatores de escala através da Eq. (4),
2
2
2
x
y
z
2
hr 


1
r
r
r
b g FGH IJK
x I
b h g  FGH 
JK
FG IJ FG IJ
H K H K
F y I F z I
G J G J  r
H  K H  K
d h i  FGH zx IJK  FGH zy IJK  FGH zz IJK  1
2
2
2
2
2

2
2
z*
2
*
2
*
*
b) o gradiente de um escalar  é obtido usando-se a Eq. (12)
 
 1 
 
  er
 e
 ez* *
r
r 
z
c) o divergente de um vetor V é dado pela Eq. (13)

 rVz*
 V
1  rVr
V 


r

z*
r
LM b g b g d i OP
PQ
MN
b V g V 1 b V g d V i
=
 

r
r
r
r
13

r 
z*
*
z
Coordenadas Ortogonais
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d) o rotacional de um vetor V vêm da Eq. (14),

1 Vz* V  Vr Vz*  1 rV Vr 
x V 
 * er 


e  
e*
z
z*
r 
r
r
 z
r
IJ FG
K H
FG
H
IJ
K
e) o gradiente de um vetor V é obtido da Eq. (16),
Vr
1 Vr V

r
r 
r
LM
MM V
V  M
MM r
MN Vr


1 V Vr

r 
r
z
1 Vz
r 
FG
H
OP
P
V P
z P
P
V P
P
z Q
Vr
z

z
g) finalmente, o divergente de um tensor  vêm da Eq. (17),
  rr rr 1 r  rz     
  r  r  r   r  z    e 
r


  
 

1  r z   

     r  r 


    e 
z  
r r 
r
 r
  
  zr zr 1 z zz   




 
 e * 

z

z   
r r 
  r
14
IJ
K
Coordenadas Ortogonais
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Equações de N-S em um Sistema Ortogonal de Coordenadas
As equações de Navier-Stokes para um sistema de coordenadas curvilíneas
ortogonal ser escritas com o auxílio dos operadores vetoriais e tensoriais definidos nas
seções anteriores. Para referência, a equação de N-S na forma não-conservativa
utilizando a representação dos operadores é:


 V 

 V  GradV   DivTi, j
 t

onde o tensor das tensões Ti,j é dado por:

Ti, j   P   i, j   DivV  i, j  2D i, j


 e  são os coeficientes de viscosidade sendo  = -2/3 ; e o tensor das deformações,
Dij, por:
D i, j 


1
GradV  GradV
2 

T 
Com o auxílio dos operadores definidos pelas Eqs. (12) a (21) pode-se, após algum
trabalho, chegar a forma das componentes de velocidade da equação de Navier Stokes:
15
Coordenadas Ortogonais
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 V V V V V V V V V h V V h
V V h 
V V h
 1  1 1  2 1  3 1  1 2 1  2 2 2  1 3 2  3 3 3 
 t h1 1 h 2 2 h 3 3 h1 h 2  2 h1 h 2 1 h1 h 3 3 h1 h 3 1 

1  


h1h 2 h 3T11  
h1h1h 3T1 2  
h1h1h 2 T13  
 2




h1 h 2 h 3  1
 2
3


1 h 3
1 h1
1 h 2
T33
T11 
T 2  2 
h1h 3 1
h1h1 1
h1h 2 1
 V
V V2 V2 V2 V3 V2 V1 V2 h 2 V1 V1 h 1 V2 V3 h 2 V3 V3 h 3 







 2  1
h 1 1 h 2  2 h 3  3 h 1 h 2 1 h 1 h 2  2 h 2 h 3  3 h 2 h 3  2 
 t


 


h 2 h 2 h 3 T1 2 
h 1h 2 h 3 T 2 2 
h 1h 2 h 2 T 23 

 3
 2

h 1 h 22 h 3  1

1 h 3
1 h 2
1 h 1
T33
T 2 2 
T11 
h 2 h 3  2
h 2 h 2  2
h 1h 2  2
1






 V
V V3 V2 V3 V3 V3 V1 V3 h 3 V1 V1 h 1 V2 V3 h 3 V2 V2 h 2






 3  1
h 1 1 h 2  2 h 3  3 h 1 h 3 1 h 1 h 3  3 h 2 h 3  2 h 2 h 3  3
 t

 



h 2 h 3 h 3 T13 
h1h 3 h 3 T 23 
h 1h 2 h 3 T33 

 2
 3

h1 h 2 h 32  1

1 h 1
1 h 2
1 h 3
T11 
T 2 2 
T33
h1h 3  3
h 2 h 3  3
h 3 h 3  3
1


LM b
N


g
b

g

b


1


h2 h3V1 
h1h3V2 

h1h2 V3
t h1h 2 h3 1
2
3
16
gOP  0
Q



Coordenadas Ortogonais
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As componentes do tensor das tensões são:

 1 V1
V h1 
V h1
   DivV
 2
 3
T11  P  2
 h1 1 h1h 2  2 h1h 3  3 



   DivV

 1 V2
V h 2
V h 2
T 2 2  P  2
 1
 3
 h 2  2 h 1h 2 1 h 2 h 3  3
T33   P  2
FG 1 V  V
H h  h h
3
3
1 3
2
1
1
1
2
3
1
T23
1
FG 1 u  1 u
H h  h 
F 1 u  1 u
 G
H h  h 
F 1 u  1 u
 G
H h  h 
T12  
T13
3
1
1
3
3
2
2
2
3
2
3
3
17


IJ c
K

r
h3
V h3
 2
  DivV
1 h2 h3 2
IJ
K
u h
u h I


J
h h  h h  K
u h
u h I


J
h h 
h h  K

u 2 h 2
u h1
 1
h1h 2 1 h1h 2  2
3
3
1
1
1 3
1
1 3
3
3
3
2
2
3
2
2
2
3
3
h
Coordenadas Ortogonais
Prof. Eugênio Spanó Rosa
Aplicação - Coordenadas Ajustadas ao Corpo
Coordenadas ajustadas ao corpo referem-se a um sistema de coordenadas
ortogonais cujas direções principais são paralela e normal à superfície do corpo. Estes
sistemas são largamente aplicados no estudo de escoamentos típicos de camada limite
envolvendo superfícies com curvaturas pois permitem que as equações que descrevem o
movimento sejam simplificadas. Dado que as linhas de corrente, na vizinhança da
superfície, apresentam aproximadamente a mesma curvatura da superfície faz com que os
sistemas de coordenadas ajustadas ao corpo sejam candidatos naturais pois estes
descrevem um sistema ortogonal de curvas que são paralelas e normais a superfície do
corpo.
A Fig. 2 descreve, de maneira esquematizada, um sistema de coordenadas
ajustadas a superfície do aerófio. A coordenada  é medida a partir da origem ao longo do
corpo do aerofólio enquanto que a coordenada  é normal à superfície do corpo.
Usualmente define-se  = 0 para a superfície coincidente com a superfície do aerofólio.
A representação de um ponto Po no plano corresponde às coordenadas (o,o) sendo que
o refere-se a distância medida ao longo da superfície do aerofólio até encontrar o ponto
onde a normal, passando por Po, intercepta a superfície, já o é a distância normal da
superfície do aerofólio até ao ponto Po.
Fig. 2 - Sistema de coordenadas ajustados ao corpo de um aerofólio
A fim que se possa determinar os fatores de escala para sistemas de
coordenadas ajustadas ao corpo é necessário que se conheça as propriedades das
superfícies, mais especificamente, sua curvatura. Para tanto, na próxima seção apresentase uma breve revisão destes conceitos geométricos.
18
Coordenadas Ortogonais
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Propriedades de uma Curva no Plano 2-D
Uma curva no plano pode ser representada pela seu raio de curvatura, , ou pelo seu
recíproco, a curvatura, k = 1/. Na Fig. 3 é representada uma curva S no plano (x,y). O
raio de curvatura é definido como sendo o limite quando P  P' da razão entre o
comprimento de arco S e o ângulo , definido pelo ponto O onde as normais a S,
passando por P e P', se interceptam
S dS
  Lim0

(21)
 d
Analogamente, a curvatura é definida por:
k  Lim S0
 d

S dS
(22)
Fig. 3 - Representação de uma curva no plano (x,y) e de seu raio de curvatura, .
Considerando que a curva S é contínua, ela pode ser parametrizada em função
de x, como sugere a equação abaixo:
(23)
y x
bg
19
Coordenadas Ortogonais
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Uma vez que a curva S é parametrizada por x, seu comprimento de arco e o ângulo
podem também ser expressos pela parametrização em x; assim, Eqs. (21) e (22) podem
ser expressas por x como:
dS j
e
dx

d

e dxj
(24)
ed dxj
edS dxj
(25)
e
k
As derivadas dS/dx
notando-se que:
e
d/dx podem ser calculadas através da função (x). Assim,
b g
  tan 1 ' ;
então:
onde '=
b g
d d
''

tan 1 ' 
dx dx
1  '
d
dx
b g
(26)
2
Por sua vez, o comprimento de arco S pode ser expresso através dos diferenciais na
direção x e y,
2
dS2  dx 2  dy2  dx 2 1  dy dx
b
substituindo dy/dx pela definição da Eq. (23), tem-se que:
dS
2
 1  '
dx
b g
g
(27)
Substituindo-se Eqs. (26) e (27) nas Eqs. (24) e (25) encontra-se as definições de  e k
em função do parâmetro x:

e
k
b g
1  '
2 3/ 2
(28)
''
''
b g
1  '
2 3/ 2
(29)
As equações (28) e (29) mostram que para retas, ou seja, curvas com segunda derivadas
nulas, apresentam raio de curvatura infinito e curvatura nula. Já o sinal do raio de
curvatura ou da curvatura da curva é dado pelo sinal da segunda derivada da curva. Para
referência, a Fig. 4 mostra duas curvas y = x3 e y = Cos(x) e suas respectivas curvaturas.
20
Coordenadas Ortogonais
10
Prof. Eugênio Spanó Rosa
2
y = x3
k=
0
6x
_________
3/2
( 1 + 9x4 )
0
-4
0
4
-4
-10
0
4
-2
1
1
y = Cos(x)
k=
- Cos(x)
_______________
2
3/2
( 1 + Sin (x))
0
0
-4
0
4
-4
-1
0
4
-1
Fig. 4 - Representação das curvas: y = x3 e y = Cos(x) com suas respectivas curvaturas.
Fatores de Escala para Coordenadas Ajustadas a uma Curva no Plano
Considere uma curva S, conforme mostrada na Fig. 5, cujo vetor posição, r, descrevendo
a posição dos pontos da curva é parametrizado em função do comprimento de arco, . As
coordenadas do ponto P são representadas pelo par (xo,yo) no sistema cartesiano e pelo
par (o,o) no sistema de coordenadas ajustadas à curva. o é o comprimento de arco da
origem até ao ponto P' e o é a distância PP'.
As componentes do vetor posição r nas direções x e y são dados pelas
funções:

bg bg

bg

r   rx  i  ry  j
21
Coordenadas Ortogonais
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onde i e j são vetores unitários nas direções x e y, respectivamente.
y
P
yo

o
Curva S
o

P'
ry
r()
xo
r
x
x
Fig. 5 - Coordenada ajustadas à uma curva no plano.
Uma relação direta entre as coordenadas (x,y) e (,) é obtida através das relações
geométricas:
x  rx     Sin 
(30)
y  ry     Cos 
bg
bg
bg
bg
onde Cos( )= drx()/d.
Os fatores de escala são calculados a partir das derivadas de x e de y em relação a  e ,
conforme mostrado pelas Eqs. (3) e (4). A seguir passa-se ao cálculo das derivadas.
x d
d

rx    
sin 
 d
d
bg
bg
bg
b g dd
 cosb g  b1    k g
 cos     cos  
22
Coordenadas Ortogonais
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bg
bg
y d
d

ry    
cos 
 d
d
bg
b g dd
 sin b g  b1    k g
x
  sin b g

 sin     sin  
bg
y
  cos 

Os fatores de escala:
b
h   1    k
g
(31)
h   1
23
Coordenadas Ortogonais
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Fatores de Escala para Corpos Axi-simétricos
Considere S a superfície de um corpo sólido como mostra a Fig. 6. A posição
de um ponto P no espaço é descrita através da distância  paralela ao vetor normal a S e
do vetor posição r que indica a posição do ponto P' na superfície S.
Fig. 6 - Sistema de coordenadas ,  e  ajustados ao corpo.
As coordenadas ,  definem a superfície S através do vetor posição r,

a f
r  r , 
Então um ponto P pode ser definido pelo vetor posição R como:


a f

a f
R  r ,    n , 
onde n é o vetor normal a S em P'. As relações geométricas entre (x,y,z) e (,,) são
expressas por:
24
Coordenadas Ortogonais
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bg bg
bg bg
y  r b  g  sin b g    cosb g  sin b g
z  f b  g    sin b g
,
x  r   cos     cos   cos 
lembrando que
dro   
 sin   
d
e
df   
 cos    .
d
..
As derivadas:
x
 cos    sin     1    k 

y
 sin    sin     1    k 

z
 cos     1    k 




x
   r       cos      sin  

y
  r       cos      cos  
 
z
0


x
 cos     cos   

y
 cos     sin  

z
  sin   



h 
h 
h 
onde  é o ângulo que  faz com o eixo x.
Os fatores de escala:
h   1    k 
h   ro       cos   
(32)
h   1
Exemplo: Fatores de Escala para Superfície Cônica
Considere uma superfície cônica, conforme esquematizada na Fig. 7, cujo semi-ângulo é
 O sistema de coordenadas ajustadas a esta superfície é definido pelas variáveis (, , )
que correspondem, respectivamente, a distância medida ao longo da superfície, a posição
angular de um ponto na superfície e a distância de um ponto a superfície.
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Coordenadas Ortogonais
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x


r()


z
y
Fig. 7 - Sistema de coordenadas para uma Superfície Cônica.
Baseado na nomenclatura desenvolvida no caso anterior, pode-se definir o
raio de giração, r() e a projeção no eixo z, f() em função do semi-ângulo  do cone:
r     sin 
bg
bg
f b  g    cosb g
Além disto, a curvatura k = d/d  0. Substituindo-se estas funções nas expressões
desenvolvidas para os fatores de escala, Eq. (32), encontra-se:
h   1    k
 1
b
g
bg
bg
h   r     cos 

h   1
= 1
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bg
bg
  sin     cos 
Coordenadas Ortogonais
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Referências
[1] Golsdstein, S.; "Modern Developments in Fluid Dynamics", Dover (1965)
[2] Moore, F.K.; "Theory of Laminar Flows", Princeton Un. Press (1964)
[3] Rosenhead, L.; "Laminar Boundary Layers", Oxford (1963)
[4] Thompson, J.F., Warsi, Z.U.A. and Mastin, C.W.; "Numerical Grid Generation",
Elsiever Science Publishers (1985)
[5] Wylie, C.R.; "Advanced Engineering Mathematics", McGraw Hill (1961)
[6] Butkov, E.; "Física Matemática", Guanabara Dois (1978)
[7] Morse, P.M. and Feshbach, H.; "Methods of Theoretical Physics", McGraw-Hill
(1953)
[8] Warsi, Z.U.A., "Fluid Dynamics: Theoretical and Computational Approaches",
CRC (1993)
[9] Hsu, H.P.; "Análise Vetorial", Livros Técnicos e Científicos Ltda. (1972)
[10] Kaplan, W.; "Cálculo Avançado", Edgard Blucher (1972)
Referências [1] a [3] referem-se a forma e aplicação em mecânica dos fluidos dos
operadores vetoriais e tensoriais em coordenadas curvilíneas ortogonais. Referências [4]
a [8] tratam do cálculo tensorial e do desenvolvimento dos operadores em coordenadas
curvilíneas. Referência [9] e [10] abordam, respectivamente, propriedades de curvas no
espaço e determinantes jacobianos.
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