EXPLORANDO AS “CALHAS” DO COLÉGIO PARA APLICAR A
MODELAGEM MATEMÁTICA NAS AULAS DE GEOMETRIA ESPACIAL
Antonio Marcos Haliski1
[email protected]
Sani de Carvalho Rutz da Silva2
[email protected]
Resumo:
O presente estudo traz o relato de uma experiência utilizando a Modelagem Matemática
com vistas à aprendizagem de conteúdos da Geometria Espacial, realizada com a 3ª série
do Ensino Médio. O procedimento adotado teve como objetivo partir de uma situação
problema, explorando o espaço físico do colégio, aproveitando-se deste para trabalhar os
conteúdos de forma contextualizada, propiciando, assim, um ambiente investigativo no
qual os alunos puderam interagir ativamente com o objeto de estudo de uma forma criativa,
reflexiva e crítica. A aplicação da Modelagem evidenciou, com base em contextualizar os
conteúdos matemáticos, uma relação mais estreita entre o saber científico e a prática, bem
como verificar a sua aplicabilidade.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Ensino-Aprendizagem; Contextualização.
INTRODUÇÃO
Partindo do pressuposto de que atualmente só a aula tradicional não é suficiente e
eficaz para fazer o aluno interessar-se pelos conteúdos matemáticos, o que resulta em um
maior índice de reprovação nesta disciplina, há a necessidade do educador buscar
estratégias para melhor explorar as aplicações da Matemática. Baseando-se nesta
afirmação, os PCNs (Parâmetros Curriculares Nacionais) ressaltam a importância e a
necessidade da utilização de metodologias capazes de priorizar a construção de estratégias
para a obtenção do conhecimento científico que desenvolva o espírito crítico e criativo
(BRASIL, 1998).
Pretendendo tornar a aprendizagem expressiva, para assim acontecer a aquisição
do conhecimento, com qualidade, e motive o aluno no interesse pela Matemática, o
1
Professor QPM do Estado do Paraná e mestrando do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia –
PPGECT – UTFPR.
2
Professora do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciência e Tecnologia – PPGET – UTFPR, Campus Ponta Grossa PR.
944
professor pode recorrer a algumas tendências metodológicas que norteiam o ensino desta
ciência. Dentre elas, citamos a Modelagem Matemática. Existem professores que fizeram
uso dessa metodologia e obtiveram resultados satisfatórios, também há uma variedade de
materiais como dissertações, teses, artigos e livros que falam sobre essas experiências em
sala de aula e que podem ser usados como suporte de direcionamento. Dentre os autores de
maior destaque, destacam-se: BASSANEZZI, 2004, BARBOSA 2001, 2003, 2004,
BIENBENGUT 1999, BIEMBENGUT & HEIN 2000, entre outros.
Deste modo, cabe aos profissionais da educação o papel de fazer com que essa
metodologia venha a fazer parte do currículo para, assim, o aluno poder participar
ativamente desse processo da educação no ensino da Matemática. O professor, tendo essa
autonomia de buscar práticas diferenciadas em suas aulas, deve ter audácia pelo novo,
tanto para si, como para o aluno. O aluno gosta de desafios, desse modo, isso pode ser
oportunizado nesta caminhada para a obtenção do conhecimento matemático de maneira
inovadora, motivadora e entendível, de forma contextualizada.
Utilizando-se dessa metodologia, pode-se aproveitar o conhecimento prévio que o
aluno apresenta, ou seja, o conhecimento do cotidiano também será utilizado na troca de
diálogo nessa interação com o objeto de estudo. “A ampla gama de conhecimentos
construídos no ambiente escolar ganham sentido quando há interação contínua e
permanente entre o saber escolar e os demais saberes, correlacionando o que o aluno
aprende na escola e o que ele traz para a escola” (BRASIL, 1998, p.43). A intenção é criar
relacionamentos entre escola, aluno, comunidade e outros que possam propiciar
aprendizagem satisfatória do conteúdo.
Ao mencionar o termo “aprendizagem”, a Modelagem Matemática pode propiciar
ao aluno o desenvolvimento de atividades que podem contribuir com a construção do
conhecimento, por meio da escolha do tema que lhes agrade, podendo, assim, interagirem
com o meio em que estão inseridos.
Sendo assim, esse artigo mostra um trabalho desenvolvido num Colégio Estadual
do município de Colombo-PR, com uma turma da 3ª série do Ensino Médio, na qual o
conteúdo que estava programado era a Geometria Espacial. Nesse sentido, possibilitou
utilizar-se da Modelagem Matemática, explorando o espaço físico do Colégio, em
específico as “calhas”, durante a explanação dos conteúdos.
945
Modelagem Matemática, como uma forma de contextualizar o ensino de Matemática
enfocando aos interesses dos alunos
De acordo com os PCNs, a função da escola é proporcionar um conjunto de
práticas preestabelecidas com propósito de contribuir para que os alunos se apropriem
tanto de conteúdos, como também de relações sociais e culturais de maneira crítica
reflexiva e construtiva, com objetivo de criar cidadãos com competências e dignidade para
uma sociedade mais digna (BRASIL 1998). Possibilitar o ensino da Matemática com temas
contextualizados despertará no educando a reflexão e senso crítico como um ser ativo na
sociedade em que vive. Matemática crítica, como Skovsmose ( 2001) cita, são condições
para obter o conhecimento, sendo que o conceito de crítica indica demanda sobre autoreflexões e reações.
Aulas trabalhadas pelo método de ensino tradicional3, em específico a
Matemática, normalmente são por meio de fórmulas e com listas de exercícios repetitivos
que abrem uma lacuna de indagações para o aluno em relação onde aplicar aquele método.
Isso também deixa, por muitas vezes, o professor angustiado pela dificuldade em trazer
exemplos cotidianos. Desta forma, dificulta para o aluno utilizar-se de temas
contextualizados para refletir sobre o uso desses conteúdos.
Ensinar Matemática de uma forma crítica, de acordo com Skvosmose (2001), é
fazer os alunos praticarem interpretações de uma realidade de forma que sejam capazes de
se organizarem e opinarem racionalmente com possibilidade de mudanças sociais e
políticas da qual fazem parte. O autor ainda enfatiza que a educação deve desempenhar
ativamente o seu papel para combater a disparidade social, porém que, naturalmente, ela
ainda não tem essa capacidade de mudança como outras forças sociais (SKVOSMOSE,
2001). Corroborando com esse pensar, os PCNs reforçam que é necessário um ensino com
qualidade, que seja capaz de formar cidadãos que interfiram criticamente na realidade para
transformação desta e não apenas para o mercado de trabalho (BRASIL, 1998).
3
De acordo com Alro & Skovsmose (2006), aulas tradicionais são aquelas em um ambiente escolar no qual os livros-texto
ocupam o papel central e o professor atua trazendo novos conteúdos para que os alunos resolvam os exercícios, sendo corrigidos para
encontrar erros, estas são características gerais das aulas.
946
Enfatizando-se a Educação Matemática, essa pode ser um método ferramental no
processo, como transformador da sociedade, estimulando o indivíduo para atuar de forma
transformadora, para melhorar o ambiente em que vive. Isso pode acontecer com
participação em desenvolvimento de atividades e/ou projetos como caminho da
aprendizagem.
Diante do contexto, utilizar-se da perspectiva da Modelagem Matemática,
possibilita a abordagem de conteúdos matemáticos, de modo que os alunos participem
efetivamente neste processo. Os alunos devem ser conduzidos para um cenário de
investigação, a fim de se tornarem participantes ativos do processo de investigação (ALRO
& SKOVSMOSE, 2001). Os autores ainda enfatizam a importância do direcionamento
que o educador precisa dar, para que os educandos sintam-se interessados em trabalhar de
forma cooperativa em um ambiente propício para a aprendizagem de conteúdos
matemáticos.
Assim, o diálogo se torna fundamental. Essa é uma das condições
necessárias para que os alunos sejam críticos, refletindo no decorrer do andamento dos
trabalhos ou projetos.
Loiola (2002), em sua tese de doutorado, ressalta que ao optar em trabalhar com a
Modelagem Matemática, o educador possui várias perspectivas na Matemática e na
Educação Matemática. Desta forma, por não haver uma uniformidade quanto a definição
de Modelagem Matemática, a autora alude na utilização da denominação perspectiva de
Modelagem Matemática.
Observa-se que a autora enfatiza o que alguns autores pensam sobre a Modelagem
Matemática utilizada no Ensino. Assim, diante do que foi citado acima, Bean (2001)
afirma que a essência da Modelagem Matemática é definida como um processo de criação
de um modelo matemático, com hipóteses e simplificações, focalizando o processo
matemático. Enquanto a Modelagem Matemática no Ensino está na problematização de
uma situação real, definida como um processo de criar um modelo matemático baseado em
hipóteses e aproximações, como metodologia para conectar a Matemática aos interesses do
aluno, sendo a segunda definição adotada no presente trabalho.
Devido a importância que o objeto de estudo possui, mais algumas considerações
são feitas por estudiosos quando trata-se do Ensino da Matemática utilizando-se a
Modelagem, pois sendo esta uma das tendência no ensino, como forma de potencializar e
947
despertar no educando o gosto por esta ciência. Entre os que defendem e usam esse método
nas suas práticas pedagógicas, cita-se Bassanezzi, que define a Modelagem Matemática da
seguinte maneira:
A Modelagem Matemática no Ensino como a arte de expressar, formular,
resolver, elaborar expressões através da linguagem matemática, situações do
cotidiano e servindo posteriormente para outras áreas. Vários campos se utilizam
da modelagem para suas pesquisas, entre elas: Física, Química, Biologia,
Astrofísica, entre outros (p.16, 2004).
Observa-se que o autor enfatiza a Modelagem como um processo de obtenção de
um modelo matemático. Por outro lado, Loiola (2002) define um modelo matemático como
uma situação simplificada e abstrata de uma situação concreta que tem por objetivo
compreender e prever a situação estudada.
Assim, pode-se dizer que ao obter um modelo diante de uma situação-problema,
utilizando-se de teorias, interpreta-se este modelo para chegar a uma conclusão próxima de
uma realidade. Ao empregar a Matemática naquela situação, obtém-se um modelo,
podendo ser melhorado e representado por um objeto ou fato concreto, como um desenho,
um mapa, etc.
Nesse processo da Modelagem, para obtenção de um modelo, Bassanezzi diz:
Quando procuramos agir/refletir sobre uma porção da realidade na tentativa de
explicar, compreender ou modificá-la, o processo usual é selecionar no sistema
em estudo, argumentos ou parâmetros considerados essenciais, formalizando-os
por meio de um processo artificial denominado modelo (p.173, 2004).
Portanto, a construção de um modelo segundo o autor é fundamental para se
chegar a uma solução de uma situação-problema da realidade através da Modelagem. Para
Biembengut (1999), um modelo matemático neste processo não é um objeto, este pode ser
obtido por meio de expressões algébricas, numéricas, tabelas, gráficos, equações
algébricas, que nem sempre condizem com a realidade, mas se tem uma visão simplificada
da situação pesquisada.
No entanto, contribuindo com o Ensino da Matemática, a Modelagem é uma
perspectiva dotada de um método que pode facilitar o ensino-aprendizagem. Nesse
948
processo, ela é uma alternativa a mais, na qual os alunos participam ativamente,
trabalhando com assuntos de seus interesses, que fazem parte dos seus cotidianos, portanto,
estabelecendo um elo entre a matemática escolar e a matemática do dia-a-dia. Conforme
Biembengut & Hein:
A Modelagem Matemática é uma alternativa de ensino-aprendizagem na qual a
Matemática trabalhada com os alunos parte de seus próprios interesses e o
conteúdo desenvolvido tem origem no tema a ser problematizado nas
dificuldades do dia-a-dia, nas situações de vida. Valoriza o aluno no contexto
social que o mesmo está inserido, proporcionando-lhe condições para ser uma
pessoa crítica e capaz de superar suas dificuldades ( p. 28, 2000).
Esses autores dão ênfase à escolha do tema, que deve partir dos educandos, que
poderão optar por assuntos de sua vivência. D`Ambrósio apud Bean (2001) reforça a
Modelagem como sendo um processo muito rico de enfrentar situações reais e culminando
em soluções efetivas dos problemas vividos e não numa simples resolução formal de um
problema artificial.
Nesse entender, ao contextualizar o Ensino da Matemática, o professor estará
propiciando ao educando situações que venham a contribuir no seu crescimento pessoal,
sendo uma das alternativas para motivá-lo neste processo do ensino e aprendizagem, do
qual faz parte, criando, assim, um ambiente de estudo.
Corroborando com este pensar, para Barbosa (p.6, 2001), “a Modelagem é um
ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são convidados a indagar e/ou investigar, por
meio da matemática, situações oriundas de outras áreas da realidade”.
Observa-se que para Barbosa (2001, 2003, 2004), genericamente, Modelagem é a
aplicação da Matemática para resolver problemas oriundos de outras áreas do
conhecimento.
Abordando situações dentro de um contexto social, pode-se conduzir o aluno a
sentir-se motivado e interessado pelo tema de uma maneira diferente do habitual, ou seja, a
Modelagem propicia a compreensão do papel sociocultural da Matemática (BARBOSA,
949
2004). O autor cita as várias maneiras de implementar a Modelagem Matemática no
currículo, chamando de “casos4”, os quais estão no quadro a seguir.
Tarefas
no
processo
de
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Elaboração da situação-problema
Professor
Professor
Professor/aluno
Simplificação
Professor
Professor/aluno
Professor/aluno
Dados qualitativos e quantitativos
Professor
Professor/aluno
Professor/aluno
Resolução
Professor/aluno
Professor/aluno
Professor/aluno
Modelagem (Barbosa 2004)
No caso 1, o professor apresenta um problema, com dados suficientes, cabendo
aos alunos apenas a investigação sem precisar sair da sala.
Para o caso 2, o professor apresenta um problema, cabendo aos alunos fazerem a
investigação fora da sala de aula, para coleta de dados suficientes para a resolução do
problema.
Finalizando, com o caso 3, trata-se de projetos desenvolvidos a partir de temas
não matemáticos escolhidos por professor ou alunos. Desde a formulação do problema,
coleta de dados, até a resolução do problema é o papel dos alunos.
De acordo com o quadro acima, Barbosa enfatiza a responsabilidade do professor
em conduzir as atividades, desde o caso 1 até o 3. Diante das perspectivas apresentadas
sobre a Modelagem Matemática no Ensino, o professor precisa ter conhecimento de alguns
procedimentos, tais como: escolher o tema partindo do interesse dos próprios alunos, fazer
pesquisa para coletas de dados, familiarizar-se com o assunto a ser trabalhado, entrevistar
pessoas da área escolhida, desenvolver o trabalho em grupo, considerar o tempo disponível
que o modelo exigirá, a quantidade de alunos envolvidos, o conhecimento prévio e a
flexibilidade do currículo. Objetivando, assim, garantir a aquisição e a construção do
conhecimento.
Contribuindo para a prática pedagógica do professor, Biembengut & Hein (2000)
destacam que a interação com uma situação real gera um modelo matemático, dividindo-se
em três etapas: interação, matematização e conclusão do modelo. E cada etapa dessas é
sub-dividida em duas sub-etapas.
4
Para evitar repetições, quando citar casos, refere-se as tarefas no processo da Modelagem. Encontrado em Barbosa, J. C.
Modelagem Matemática: O que é? Por que? Como? Vertati, n.4, p. 73-80, 2004.
950
Na interação ocorre o reconhecimento e uma familiarização com o problema que
pretende-se estudar, seja por livros, revistas ou profissionais da área. Já através da
matematização, haverá a formulação e a resolução do problema, que é a tradução da
situação-problema para a linguagem matemática. E, finalmente, para a conclusão do
modelo é necessário uma avaliação para analisar em que nível este se aproxima da
situação-problema, para então validar esse modelo.
Nesse processo de validação de modelo, D`Ambrósio apud Bean (2001) diz que
na Modelagem reduz-se o objeto ou sistema da realidade vivida para facilitar a aplicação
da Matemática para uma melhor compreensão. Nessa simplificação, perde-se parte da
realidade, portanto, ele deve voltar para a situação inicial da realidade, para então validar
este modelo e suas interpretações.
Desenvolvimento das atividades
Levando em consideração o quadro5 exposto por Barbosa (2004), para o trabalho
a seguir, aderiu-se à metodologia do caso 2. Isso deu-se em razão da grande dificuldade em
escolher um tema por parte dos alunos, através do processo da Modelagem Matemática,
para conectar a Matemática aos seus interesses.
Assim, esse trabalho foi desenvolvido com uma turma da 3ª série do Ensino
Médio, do período matutino, no Colégio Estadual de Colombo, Paraná. O conteúdo que
estava sendo aplicado era Geometria Espacial. Após várias aulas com exercícios referentes
a prisma, pirâmide, paralelepípedo, cilindro e esfera, fez-se um diálogo com os alunos para
que eles escolhessem algum tema de interesse relacionado ao conteúdo trabalhado e foi
proposto, ainda, que em duas semanas retornar-se-ia ao assunto para colocá-lo em prática
(caso 2). Ocorreram muitas dificuldades na escolha do tema. Assim, o professor escolheu
alguns assuntos que estavam no ambiente escolar. Foram citados cinco assuntos e iniciouse da seguinte maneira: dividiu-se a turma em cinco grupos, dos quais citaremos um
trabalho com relevância dentro do contexto, no caso, as calhas do colégio, apresentado por
um grupo que denominou-se grupo 1.
O colégio possui calhas somente nas laterais do corredor, que fica entre os blocos
que compõe o mesmo, sendo aproximadamente 87m de calha em cada lado, ou seja, 174m
5
Tarefas no processo de Modelagem (Barbosa 2004)
951
no total. O tema foi proposto o intuito de problematizar uma situação real para gerar
discussões que pudessem ser respondidas através de cálculos matemáticos explorando as
calhas. Então, ao analisá-las, indagou-se sobre a função delas. Das respostas dadas, área e
volume em litros foram citados. Tendo formato de paralelepípedo, como poderia construílas, de tal forma que aumentassem suas capacidades de volume. Sendo assim, gerou-se um
problema, agora caberia aos educando responder matematicamente.
Utilizando-se de uma trena, calcularam as dimensões (comprimento, largura e
altura) de uma parte que corresponde todas as calhas. Essa tinha as medidas de 15,3m de
comprimento, 8cm de largura e alturas de 15 e 21cm (quando planificada, a largura mede
44cm e 15,3m de comprimento). Várias discussões aconteceram entre os alunos para
chegarmos a resolução a seguir, de acordo com o grupo 1:
A capacidade atual dessa parte da calha é de 183,6 litros, considerando como um
paralelepípedo. Através dos cálculos, observa-se que os alunos chegaram a 260,1 e 342,72
litros, por tentativa. Utilizando-se do processo “deles”, divisão, os alunos encontraram as
medidas 11cm (1,1dm) para altura em ambos os lados. Assim, o volume seria de V=a.b.c
Æ V = 153dm . 1,1dm . 2,2dm = 370,26 litros6.
O grupo apresentou para a turma, como também abriu espaço para
questionamentos, reflexões e sugestões. Diante do modelo encontrado por eles como
“divisão”, para achar as medidas, foi necessário validar este, pelo processo da Modelagem.
6
Utilizando-se das medidas em decímetro, obtém-se a resposta em litros, pois 1000cm3 = 1dm3 = 1 litro.
952
Assim, foi utilizado outro processo em que obteve-se uma função quadrática, a qual
possibilitou rever conteúdos aprendidos em anos anteriores:
V = a .b .c
a = 153dm;
V = 153 .( 4 , 4 − 2 x ). x
b = ( 4,4 - 2x)dm;
c= x
(dm = decímetro)
V = 673 , 2 x − 306 x 2
Diante de uma função quadrática, explorando-se conceito de máximo e mínimo
através do xv (xis do vértice).
xv =
⎧ a = − 306
−b
→⎨
2 .a
⎩ b = 673 , 2
→ xv =
−b
− 673 , 2
→ xv =
→ x v = 1,1dm
2 .a
2 .( − 306 )
Portanto, têm-se as três dimensões para a calha, sendo: largura = 2,2dm, altura
1,1dm e comprimento 153dm. Assim, utilizando-se da fórmula V = a.b.c, V = 153 dm .
2,2dm . 1,1dm = 370,26 litros. Utilizando-se do conceito de máximo e mínimo de uma
função quadrática, validou-se o “modelo deles” pelas medidas iguais encontradas. Com o
novo formato de calha a diferença é de 370,26 - 183,6 = 186,66 litros.
Novamente, alguns alunos questionaram o fato de não deixar um dos lados mais
alto (eles conheciam a calha), assim, poderia cair água fora da calha. Os alunos perceberam
que 3cm mais alto de um lado, seria suficiente para resolver a situação como mostra a
figura a seguir:
V = a.b.c
a = 153dm; b = ( 4,1 - 2x)dm; c = x
V = 153 .( 4,1 − 2 x ). x
(dm = decímetro)
V = 627 ,3 x − 306 x 2
⎧ a = − 306
−b
xv =
→⎨
2 .a
⎩b = 627 ,3
xv =
−b
− 627 ,3
→ xv =
→ x v = 1,025 dm = 10 , 25 cm
2 .a
2 .( − 306 )
953
Portanto, as dimensões para calha, largura = 2,05dm; altura = 1,025dm e
comprimento = 153dm → V = a.b.c → V = 153dm . 2,05dm . 1,025dm → V ≅ 321,5
litros.
Como o volume corresponde a uma parte da calha, 15,3m, e sendo um total de
174m, bastou fazer a proporção pelo método da divisão e encontrando aproximadamente
11 vezes o volume dessa calha. Logo, 11 x 321,5 litros ≅ 3536,5 litros que comportariam
as novas calhas e 183,6 x 11 ≅ 2019,6 litros as calhas, atual. Dando uma diferença de
aproximadamente 1517 litros.
Através da Modelagem, percebeu-se a importância da Matemática nas ações
rotineiras, embora com os cálculos não tenham gerado nenhuma ação, ou seja, não vai
mudar a calha existente, o processo foi válido para mostrar a aplicabilidade dos conceitos
matemáticos, criando um ambiente de aprendizagem com criatividade, reflexões e críticas.
Considerações finais
Em virtude do que foi mencionado neste estudo, tendo como suporte a utilização
da Modelagem Matemática, a qual oportunizou o direcionamento dos educandos para uma
investigação matemática partido de uma situação-problema analisando o volume das calhas
do colégio, os alunos envolveram-se com o tema, interagiram entre eles, podendo
contribuir expondo seus conhecimentos prévios, objetivando uma troca de ideias que
propicia-se o enriquecimento do trabalho e a sua principal finalidade – a construção de
novos conhecimentos. No decorrer desse trabalho, com o procedimento adotado (que fora
mencionado nesse relato) analisou-se o comportamento dos educandos, concluindo-se que
na diversidade pode-se inferir o conhecimento, chegando-se a uniformidade, ou seja, os
educandos responderão, de uma forma geral, ao objetivo proposto, que era ministrar
conteúdos matemáticos, através da sua aplicabilidade, utilizando-se a Modelagem
Matemática.
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