PGMEC
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS
UNIDIMENSIONAIS POR
TRANSFORMADA INTEGRAL
GENERALIZADA UTILIZANDO A
TÉCNICA DE DOMÍNIO ENVOLVENTE
LEANDRO MARTINS DA SILVA
SETEMBRO DE 2010
LEANDRO MARTINS DA SILVA
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS
POR TRANSFORMADA INTEGRAL
GENERALIZADA UTILIZANDO A TÉCNICA DE
DOMÍNIO ENVOLVENTE
Dissertação apresentada ao Programa de Pósgraduação em Engenharia Mecânicada UFF
como parte dos requisitos para a obtenção do
título de Mestre em Ciências em Engenharia
Mecânica
Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)
U NIVERSIDADE F EDERAL F LUMINENSE
N ITERÓI , S ETEMBRO DE 2010
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS
POR TRANSFORMADA INTEGRAL
GENERALIZADA UTILIZANDO A TÉCNICA DE
DOMÍNIO ENVOLVENTE
Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de
MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA
na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma final
pela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:
Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
(Orientador)
Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio (D.Sc.)
Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF
Renato Machado Cotta (Ph.D.)
Universidade Federal do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ
Agradecimentos
Gostaria primeiramente de agradecer ao professor Leandro Alcoforado Sphaier por ter
me aceitado como seu orientado, foram as suas recomendações, paciência e dedicação
que me guiaram ate esse ponto.
Gostaria também de agradecer a minha família, em especial a Marilu Martins
Machado, minha mãe, que cuidou e me educou de modo a que eu pudesse estar aqui
hoje. Não esquecendo, ainda, do suporte que me foi dado por ela todos os dias onde,
sem ele, seria impossível estar aqui.
Gostaria, ainda, de agradecer a Tuane da Silva Zardo, pessoa que tanto amo, que
compartilhou comigo todos esses dias, bons e ruins. Acredito que sem o seu apoio e
compreensão, não concluiria este trabalho.
Finalmente, gostaria de agradecer a Deus, por ter me dado esta oportunidade.
iv
Resumo
A Técnica da Transformada Integral Generalizada (GITT) é um método híbrido analíticonumérico capaz de resolver uma variedade de problemas de equações diferenciais parciais, e ao longo das últimas décadas se mostrou bastante efetiva para a solução de
diversos problemas de convecção-difusão. Apesar de grandes avanços no desenvolvimento da GITT, a solução de problemas definidos em domínios móveis ainda é problemática. Atualmente, para lidar com essa classe de problemas, apenas o método da
tranformação integral generalizada onde o problema de autovalor é definido acompanhando o dóminio móvel é utilizado. Neste contexto, este trabalho utiliza uma
nova metodologia para abordar problemas em domínios móvel, denominada a Técnica de Domínio Envolvente (TDE). Esta metodologia propõe utilizar uma base de
autofunções auxiliares definidas em um domínio regular fixo, que envolve o domínio
original para escrever a solução do problema estudado. Assim, com esta nova técnica, todas as dificuldades inerentes ao domínio móvel são tratadas dentro da equação
diferencial e não no problema de autovalor. Apesar do potencial avanço associado
a esta nova metodologia, diversas complicações são geradas ao utilizar um problema
de autovalor em um domínio diferente do problema original. Desta forma, o objetivo
deste trabalho é de avaliar a aplicabilidade da TDE em um cenário mais simples, unidimensional. Apesar de domínios móvel não aparecerem em problemas 1D, a TDE
pode ser utilizada para resolver problemas deste tipo para assim verificar inicialmente
se é viável a aplicação desta metodologia. Assim sendo, a solução de problemas de
autovalor unidimensionais e problemas de difusão unidimensionais incluindo problemas em domínio em movimento, são formalmente apresentadas e problemas testes são
implementados e analisados de modo a demonstrar a aplicabilidade da TDE.
Palavras-chave: Transformação Integral, GITT, Domínio Móvel
v
Abstract
The Generalized Integral Transform Technique (GITT) is a hybrid analitical-numerical
method capable of solving a variety of partial differential equations problems, and during the last few decades is has been show to be very effective for handling several
convection-diffusion problems. In spite of the advancements in the development of
the GITT, the solution of problems defined within moving boundaries is still problematic. Currently, one main method is employed for tackling these type of problems:
Setting the eigenvalue problem to follow the moving domain. In this context, this
work employs a new methodology for handling problems in irregular domains, called
the Enclosing Domain Approach (EDA). This methodology proposes that an eigenfunction basis defined within a regular fixed domain that encloses the moving one
be used for the solution of the a given problem. As a result all difficulties inherent
to the moving domain are treated within the differential equation itself instead of in
the eigenvalue problem. Despite the potential advancements associated with this new
method, numerous complications are introduced while using an eigenvalue problem
defined within a domain that is different from the original one. Hence, the objective of
this study is to evaluate the applicability of the EDA within a simpler one-dimensional
scenario. Although moving domains are not in fact present in 1D problems, the EDA
can be applied for solving 1D problems in order to initially verify the suitability of
such methodology. Thus, the solution of one-dimensional eigenvalue problems and
diffusion problems, including problems within moving boundaries are formally presented, test-case problems are implemented and the obtained results are analyzed in
order to demonstrate the applicability of the EDA.
Key-words: Integral transform, Irregular Domains, Diffusion Problem
vi
Sumário
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vi
Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xv
1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2. Problemas de autovalor unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1
Problema de autovalor unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.1
Par de Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.1.2
Transformação do problema original . . . . . . . . . . . . . . .
12
Simplificação da Matriz S . . . . . . . . . . . . . . .
15
3. Problemas de difusão unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.1.2.1
3.1
Problema de difusão unidimensional generalizado . . . . . . . . . . . .
18
3.2
Solução através da técnica de domínio envolvente . . . . . . . . . . . .
20
3.2.1
Transformação do problema de difusão unidimensional generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Simplificação da Matriz S . . . . . . . . . . . . . . .
25
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.2.1.1
4.1
4.2
4.3
Problema de autovalor unidimensional em domínio móvel . . . . . . .
28
4.1.1
Par de Transformação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.1.2
Transformação do problema original . . . . . . . . . . . . . . .
31
Problema de difusão unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.2.1
Solução tradicional por GITT . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
Solução através da Técnica de Domínio Envolvente . . . . . . . . . . .
34
vii
Sumário
viii
4.3.1
Transformação do problema de difusão . . . . . . . . . . . . . .
34
5. Problemas testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.1
Solução de problemas de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
5.1.1
Definição do problema teste simplificado . . . . . . . . . . . . .
40
Solução de problemas de difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
5.2.1
Problema em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . . .
48
5.2.2
Problema em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . . . .
52
Solução de problemas de autovalor em domínio móvel . . . . . . . . .
55
5.3.1
Definição do problema teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6. Resultados e discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
5.2
5.3
6.1
Problema de autovalor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
6.2
Problema de difusão em coordenadas cartesianas . . . . . . . . . . . . .
71
6.3
Problema de difusão em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . . .
88
6.4
Problema de autovalor com domínio móvel . . . . . . . . . . . . . . . .
93
7. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
A. Resultados do problema de autovalor unidimensional . . . . . . . . . . . 102
B. Resultados do problema de difusão unidimensional . . . . . . . . . . . . . 127
C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional . . . . . 150
Lista de Tabelas
6.1
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
68
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8
67
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7
66
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6
65
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5
64
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4
63
69
Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Erro para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.10 Erro para o caso 1 com a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
6.9
6.11 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . .
74
6.12 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . .
75
6.13 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . .
76
6.14 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
77
Lista de Tabelas
x
6.15 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
6.16 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
6.17 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . .
80
6.18 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . .
81
6.19 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . .
82
6.20 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para casos
3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
6.21 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
6.22 Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
6.23 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.24 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.25 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, r b = 0.75 , t ∗ = 1 e t ∗ = 10− 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
89
6.26 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, r b = 0.75 e t ∗ = 10− 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
6.27 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, r b = 0.9 , t ∗ = 1 e t ∗ = 10− 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
91
6.28 Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos
1 com r = 0.5, r b = 0.9 e t ∗ = 10− 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Lista de Tabelas
xi
6.29 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = t , b(t ) = 1/2 + t e t = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.30 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
A.1 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.2 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
A.3 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.4 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.5 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.6 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.7 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.8 Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.9 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.10 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A.11 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
A.12 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Lista de Tabelas
xii
A.13 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.14 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.15 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
A.16 Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.17 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
A.18 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
A.19 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.20 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com
a = 0.25 e b = 0.75. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
A.21 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A.22 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
A.23 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
A.24 Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com
a = 0.1 e b = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
B.1 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 128
B.2 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 129
Lista de Tabelas
xiii
B.3 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
B.4 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B.5 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 132
B.6 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 133
B.7 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 134
B.8 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para casos
3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
B.9 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
B.10 Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
B.11 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . 138
B.12 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 139
B.13 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . 140
B.14 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
B.15 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
B.16 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75 . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Lista de Tabelas
xiv
B.17 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . 144
B.18 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 145
B.19 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . 146
B.20 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para casos
3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
B.21 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
B.22 Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos
3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
C.1 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = t , b(t ) = 1/2 + t e t = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
C.2 Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com
a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Nomenclatura
f (x)
Função da condição inicial
T̄ n (t )
Potencial Transformado
P̄ n (t )
Função termo independente
B, B∗
a, b
operador de condição de contorno
contorno no problema original
d
parametros do problema de autovalor
k
Coeficiente do termo difusivo
N
norma das autofunções
J0
Função de Bessel de ordem zero do 1º tipo
Vetores e tensores
Ai , j
Matriz coeficientes
Bi , j
Matriz coeficientes
Di ,j
Matriz coeficientes
Si , j
Matriz coeficientes
Símbolos Gregos
α∗ , β∗
parâmetros da condição de contorno
α, β
parâmetros da condição de contorno
δi , j
delta de Kronecker
Ψn
autofunção original
Ωi
autofunção auxiliar
µn
autovalores do problema original
γi
autovalores do problema auxiliar
ϕ(t )
Parâmetros do problema de difusão generalizado
σ(t )
Parâmetros do problema de difusão generalizado
xv
Nomenclatura
Ω∗i (x)
Autofunção auxiliar normalizada
w(x)
Função peso
φ(x)
Função da condição de contorno
Ψe (x)
Autofunção original extendida
xvi
Capítulo 1
Introdução
No decorrer dos anos, a solução de problemas de difusão lineares ou não lineares
definidos em domínios regulares ou irregulares vem sendo obtida por meio de métodos
puramente numéricos, que estão se mostrando eficientes e flexíveis ao lidar com esses
tipos de problemas. Paralelamente a isso, um número crescente de esquemas de controle de erro tem sido propostos e testados a fim de aprimorar a exatidão das soluções
para esses métodos. Mesmo assim, quando consideradas as aplicações multidimensionais através de problemas definidos ou não em domínios irregulares, o controle de
erro global automático e as estimativas de erro dentro dos esquemas propostos apresentam sérias dificuldades, que são inerentes a natureza discreta destes tipos de métodos.
No outro extremo, encontra-se a solução de casos simples de problemas de difusão
que é obtida pelos métodos analíticos, que proporcionam soluções melhores e mais
rápidas do ponto de vista computacional.
Neste contexto, diferentes metodologias vêm sendo propostas, que tentam combinar a exatidão dos métodos analíticos com a flexibilidade dos métodos numéricos. Tais
estratégias são chamadas de métodos híbridos, devido sua natureza analítica e solução
numérica.
Neste sentido a Técnica da Transformação Integral Generalizada (GITT1 ) [1–3] foi
apresentada. Essa técnica, que é uma extensão natural da técnica da transformada inte1
A abreviação vem do inglês Generalized Integral Transform Technique
1
1. Introdução
2
gral clássica (CITT 2 ) [4], é baseada na expansão do potencial estudado em termos de
autofunções ortogonais. Assim, a solução é obtida pela transformação integral de todas
as variáveis independentes menos uma, reduzindo então, a equação diferencial parcial
em um sistema de equações diferenciais ordinárias, que é resolvido numericamente e,
em alguns casos, analiticamente.
Dentre as aplicações bem sucedias do GITT podem ser citados: o trabalho de
Guerrero e Cotta [5], que apresentou a solução e resultados para a validação de problemas bi-dimensionais de escoamento em regime permanente descritos pela equação
de Navier-Stokes utilizando uma formulação com funções de corrente; o trabalho de
Guerrero e Cotta [6], que apresentou a formulação e a solução de problemas de escoamento turbulento em canais de paredes paralelas; o trabalho de Pereira et al. [7], que
apresentou a formulação e solução de problemas de escoamento turbulento em canais
de geometria cilíndrica; e o trabalho de da Silva J. S. Guerrero et al. [8] que apresentou a formulação e solução de problemas de escoamento de fluidos incompreensíveis
em placas paralelas e comparou a convergência da solução para o método híbrido e o
método numérico das diferenças finitas.
Ainda no campo de escoamento de fluidos, o trabalho de Maia et al. [9] apresentou
a solução dos potenciais de temperatura em um escoamento de um fluido não newtoniano utilizando o modelo de Power-Law em um duto de perfil de área elíptica. Entretanto, para contornar a dificuldade de se lidar com o domínio elíptico, foi proposto
uma mudança de variáveis para tornar o problema cartesiano. Já o trabalho de Ribeiro
et al. [10] apresentou o estudo de escoamento de fluidos não newtonianos sujeitos a
reações químicas dentro de placas paralelas.
No trabalho de Liu et al. [11], o problema de difusão unidimensional em meios
porosos heterogêneos contendo termos de absorção e decaimento lineares ou não lineares foi estudado. Os autores demonstraram que, para o problema selecionado, a
solução obtida é analítica, quando considerados somente os termos lineares. Uma vez
considerados os termos não lineares a solução passa a ser híbrida, com a solução da
2
A abreviação vem do inglês Classical Integral Transform Technique
1. Introdução
3
variável temporal obtida numericamente. A solução numérica foi, então, comparada
quanto aos tipos de termos não lineares e pelo tempo necessário para obter a solução.
Portanto, inúmeras outras aplicações podem ser citadas, como o estudo de dispersão de poluentes na atmosfera [12], onde um modelo advectivo e difusivo bidimensional transiente que descreve a dispersão de poluentes na atmosfera é apresentado,
o estudo do transporte de contaminantes dentro de mídias porosas heterogênias [13],
onde um modelo advectivo com dispersão e coeficientes de transporte dependentes da
posição é apresentado, etc.
Alguns estudos foram elaborados, também, no campo de domínios infinitos como
o demonstrado em de Almeida et al. [12]. Neste trabalho, o problema de difusão com
efeitos convectivos definidos em domínios semi-infinitos foi estudado, sendo que duas
metodologias de solução foram propostas: A primeira definiu o problema de autovalor
associado à transformação integral em um domínio finito de tamanho ², truncando,
portanto, o domínio semi-infinito. Já a segunda metodologia utilizou uma função de
mapeamento de modo a transformar o domínio infinito em um domínio finito definido
em uma nova variável. Deste modo, ambos os métodos foram aplicados com sucesso,
demonstrando assim a flexibilidade do GITT.
Ao observar esse crescente número de aplicações, foi necessário desenvolver maneiras
de tornar a solução de problemas multidimensionais mais eficientes quanto ao custo
computacional. Essas soluções são normalmente descritas na forma de somatórios duplos ou triplos sendo, portanto, truncadas em cada direção. Assim, com essa prática, o
número de termos calculados da solução aumentava proporcionalmente ao número de
direções, o que torna a solução proibitiva em muitos casos.
Assim, em Almeida e Cotta [14], ao estudar a aplicação do GITT em problemas de
difusão e convecção aplicados a reservatórios de petróleo, a metodologia de ordenamento de autovalores foi proposta. Os autores, no caso, perceberam que a maneira mais
eficiente de computar os autovalores em cada direção é, antes, ordená-los de modo a
computar, primeiro, as combinações que exerciam um maior peso para a solução.
Após, em Cotta e Mikhailov [15], duas regras de ordenamento para somatórios du-
1. Introdução
4
plos e triplos, desenvolvidas no programa Mathematica [16], foram propostas. Essas
regras foram elaboradas de modo a promover o reordenamento automático de autovalores e a eliminação de equações redundantes na solução de equações diferencias
ordinárias truncadas.
Entretanto, no caso de computar a solução analítica de problemas multi dimensionais com autovalores ordenados, se a precisão requerida for aumentada toda a solução
deverá ser recalculada com uma novo valor para a ordem de truncamento. Para contornar esse problema, Corrêa et al. [17] apresentou a idéia de que caso a solução com
N termos não atingisse a precisão requerida, então somente os termos N + 1 seriam
avaliados e somados à solução até que a precisão fosse atingida.
No campo de problemas não lineares, a contribuição de Macêdo et al. [18] foi no
sentido de apresentar uma nova estratégia de filtragem, denominada pelos autores de
filtro instantâneo local. Essa estratégia consiste em definir um filtro que apresenta dependência tanto no tempo quando no espaço, sendo, este, extraída da forma linearizada
ou analítica do problema original. Deste modo, o filtro é resolvido analiticamente pelo
método da transformada integral clássica e, para cada subdomínio de tempo, atualizando a informação do potencial de temperatura no termo que traz a não linearidade.
Assim, os efeitos das não linearidades, que são, entre outros, responsáveis pelo efeito
de piora da convergência, são reduzidos e, então, uma melhor convergência é obtida.
Mais recentemente, o trabalho de Gondim et al. [19] traz a solução de problemas
de difusão com efeitos convectivos não linear e transiente utilizando a metodologia
de filtro instantâneo local. Assim, ao apresentar os resultados da solução proposta,
empregando, como caso teste, em um problema de convecção laminar transiente dentro
de um canal de placas paralelas com o escoamento em desenvolvimento térmico, ficou
claro que a utilização do filtro proposto trouxe uma excelente convergência para o
problema.
Assim, uma vez obtido significavos avanços na convergência e eficiência no GITT,
se fez necessário comparar a solução de problemas de difusão e escoamento pelos
métodos híbridos com os métodos puramente numéricos. Neste contexto, em [20] o
1. Introdução
5
problema de escoamento em placas paralelas com escoamento cineticamente desenvolvido porém em desenvolvimento térmico foi estudado e uma comparação entre o
GITT e o método de volume finitos (MVF) foi realizado. Este estudo foi estendido
em [21], onde foi considerado o problema com fluidos não newtoniano. Conforme a
metodologia apresentada, para ambos os métodos, o problema proposto foi manipulado de modo a obter um sistema de equações diferenciais ordinárias linear, sendo esta
resolvida analiticamente. Assim, ao comparar a convergência dos métodos, os autores
identificaram uma superioridade do GITT em relação ao MVF, uma vez que para o
primeiro são necessárias 25 termos para obter uma convergência de quatro dígitos enquanto no segundo método são necessários seiscentas divisões no domínio para obter
a mesma convergência. Apesar desses resultados, este campo de pesquisa esta em desenvolvimento e novos estudos são necessários para uma melhor comparação entre os
métodos ser obtida.
Mesmo com os recentes avanços, aplicar a GITT para resolver problemas lineares ou não lineares definidos por equações parciais diferencias pode se tornar problemático, uma vez que é preciso operar matematicamente as equações antes de aplicar
o método. Esta característica do GITT se torna uma desvantagem quando comparado
aos métodos puramente numéricos, que são compilados em pacotes e possuem interface amigável com o usuário. De modo a contornar esse problema, o trabalho de
Sphaier et al. [22] apresentou um esquema de solução unificado de problemas definidos
por equações diferencias parciais através de métodos híbridos. Tal algoritmo, denominado pelos autores de "UNIT"3 , provê uma plataforma de desenvolvimento para obter
a solução destes tipos de problemas de maneira simplificada, onde o objetivo dos autores é construir uma ferramenta de simulação computacional por métodos híbridos
para problemas físicos e de engenharia.
Paralelamente a estes avanços, o campo de problemas definidos em domínios irregulares começaram a ser desenvolvidos com o estudo de aletas com perfil variável
[23], o estudo do escoamento forçado laminar em dutos com seção triangular [24], o
3
A abreviação vem do inglês Unified Integral Transform
1. Introdução
6
estudo do escoamento forçado laminar em dutos com seção hexagonal [25], o estudo
do escoamento cineticamente desenvolvido porém em deselvolvimento térmico dentro
de dutos com área de seção triangular [26] e com o estudo do escoamento de fluidos
newtonianos em dutos de seção regular porém variável na extensão do duto [27].
Neste contexto, o trabalho de Barbuto e Cotta [28] apresentou a solução de problemas de difusão bidimensionais elípticos definidos em um domínio irregular, onde o
caso em que uma das coordenadas do domínio estava definida em relação a outra, de
modo a definir, por exemplo, dois problemas de autovalor, um em domínio regular e
a outra mapeado o domínio irregular. Assim, a metodologia foi testada no estudo do
escoamento em dutos de seção isósceles triangular, duto de seção elíptica e em dutos
de seção circular.
Em Sphaier e Cotta [29], uma formulação generalizada para problemas de difusão
multidimensional em domínios irregulares é apresentada. Primeiramente, a metodologia propôs mapear o contorno irregular de modo a obter funções do tipo: x− > x ,
y− > y(x) e z− > z(x, y). Desta forma, os problemas de autovalor foram definidos
com base no contorno mapeado em cada direção, que por sua vez, tornaram possível
definir a transformada integral e a fórmula inversa. Deste modo, o trabalho propôs
resolver um problema de difusão bidimensional em coordenadas cilíndricas, definido
como uma porção de um circulo com o ângulo variável φ, mapeando o contorno em
coordenadas cartesianas. A partir deste teste foi possível verificar que as melhores
taxas de convergência foram obtidas nos casos em que o ângulo φ assumia os valores
de φ = 90 e φ = 180. Nestes casos, as funções de mapeamento eram mais simples que
nos outros casos, portanto, indicando que o tipo de função interfere na performance da
solução.
Entretanto, esta solução, apesar de matematicamente correta, pode levar a um
esforço computacional elevado, quando consideradas funções de mapeamento complexas. Para tanto, em [30], uma extensão dessa metodologia foi proposta: Subdividir
a função de mapeamento em finitas funções lineares de modo a calcular a matriz que
leva as informações de contorno analiticamente. Deste modo, foi possível reduzir o
1. Introdução
7
custo computacional utilizado na solução. Ainda, é importante observar que, nesta
metodologia o domínio não é discretizado, uma vez que a solução final permanece
analítica e explicita em todo o domínio.
Apesar dos avanços passados, a solução de problemas definidos em domínios irregulares é ainda problemática, uma vez que a metodologia atual é baseada em domínios
utilizando as funções de mapeamento do contorno, como descrito anteriormente. Dentre outras dificuldades, tal pratica inviabiliza a solução quando são considerados funções
de mapeamento complexo ou domínios que não podem ser mapeados da maneira proposta. Para contornar esse problema uma nova metodologia é aqui proposta: definir o
problema de autovalor em um domínio regular que envolve o domínio irregular original. Assim, todas as dificuldades inerentes ao contorno arbitrário são tratadas dentro
do sistema de equações diferenciais ordinárias e não no problema de autovalor.
Desta maneira e primeiramente, este trabalho visa estudar o caso de escrever o
próprio problema de autovalor definido em um domínio irregular como uma expansão
em termos de um problema de autovalor auxiliar, sendo este ultimo definido em um
domínio regular que envolve o domínio original. Para tanto, quatro problemas teste
de autovalor unidimensional foram selecionados e comparados, que correspondem a
diferentes combinações de condição de contorno para o problema original. Ainda, de
modo a verificar a convergência dos diferentes tipos de combinação de condição de
contorno do problema auxilar, quatro casos testes foram escolhidos e comparados. É
importante lembrar que esse estudo foi apresentado de maneira simplificada em [31],
onde um problema teste e quatro casos testes foram analisados.
Em seguida, a mesma metodololia é aplicada na solução de problemas de difusão
com efeitos convectios unidimensional. Neste caso, quatro problemas teste simplificados unidimensionais são selecionados, sendo três deles em coordenadas cartesianas e
um em coordenadas cilíndricas. Cada problema teste foi escolhido com uma combinação de condições de contorno e condição inicial única, sendo que para cada problema teste foram selecionados três casos testes, para os problemas cartesianos, e um
caso teste, para os problemas cilíndricos. Desta forma, será possível analisar os difer-
1. Introdução
8
entes tipos de combinação de condição de contorno para determinar a melhor aplicação
em cada caso. Assim, de maneira similar ao anterior, esse estudo foi apresentado de
maneira simplificada em [32], onde somente um problema teste cartesiano e três casos
testes foram analisados.
Por fim, os problemas de autovalor e difusão com domínio em movimento são estudados e uma solução com base na presente metodologia é apresentada. Tais problemas
foram recentemente resolvidos pelo GITT, conforme apresentado em [3]. Assim, como
teste, um problema simplificado é escolhido e tanto a solução via o método da transformada integral generalizada e o presente método são apresentados e comparados.
Capítulo 2
Problemas de autovalor unidimensionais
O propósito deste capítulo é apresentar uma metodologia alternativa para a solução
de problemas de autovalor unidimensionais. Utilizando o método da transformação
integral é possível escrever as autofunções dos problemas de autovalor como uma expansão com base em um problema de autovalor auxiliar, sendo este último definido
em um domínio que envolve o domínio original. Desta forma, será definido o problema de autovalor original, o problema de autovalor auxiliar, o par de transformação
proposto, a simplificação da matriz que contém as informações de contorno e toda a
análise matemática decorrente da transformação do problema original.
2.1
Problema de autovalor unidimensional
O problema de autovalor unidimensional generalizado é amplamente conhecido como
o problema de Sturm-Liouville [33], e é definido como:
µ
¶
dΨ(x)
d
k(x)
+ (µ2 w(x) − d (x)) Ψ(x) = 0,
dx
dx
para
a ≤ x ≤ b,
(2.1)
B Ψ(x) = 0,
para
x = a,
(2.2)
B Ψ(x) = 0,
para
x = b,
(2.3)
9
2. Problemas de autovalor unidimensionais
10
Onde o operador da condição de contorno B é definido como:
µ
¶
∂
B ≡ α(x) + β(x) k(x)
.
∂x
(2.4)
Esse problema possui a seguinte propriedade de ortogonalidade:
Z
b
a
w(x) Ψn (x) Ψm (x) dx = δn,m N (µn ),
(2.5)
Onde Ψm e Ψn são autofunções que correspondem respectivamente aos autovalores
µm e µn , δn,m é o delta de Kronecker e N (µn ) é a norma, definida como:
Z
N (µn ) ≡
b
a
w(x) Ψn (x)2 dx.
(2.6)
A solução desse problema é analítica e direta em alguns casos e pode ser obtida de
várias maneiras. Entretanto, neste trabalho, uma rota alternativa é proposta: usar um
problema de autovalor auxiliar para escrever a solução do problema de autovalor original. Essa solução é definida como uma expansão com base em autofunções definidas
em um domínio que envolve o domínio original. Essa solução é chamada de técnica
do domínio envolvente (TDE).
Sendo Ω(x) e γi as autofunções auxiliares e os autovalores correspondentes, respectivamente. Já autofunções normalizadas são obtidas aplicando a seguinte modificação:
Ω(x)
Ω∗ (x) = p
,
N (γn )
(2.7)
o problema de autovalor auxiliar normalizado pode ser escrito como:
µ
¶
d
dΩ∗ (x)
k(x)
+ (γ2 w(x) − d (x)) Ω∗ (x) = 0,
dx
dx
para
0 ≤ x ≤ 1,
(2.8)
B∗ Ω∗ (x) = 0,
para
x = 0,
(2.9)
B∗ Ω∗ (x) = 0,
para
x = 1,
(2.10)
2. Problemas de autovalor unidimensionais
11
Onde a propriedade de ortogonalidade é descrita como:
1
Z
0
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx = δi , j ,
(2.11)
Neste caso, as autofunções auxiliares (Ω∗i (x)) são ortogonais no domínio envolvente,
porém não são no intervalo a ≤ x ≤ b , onde é assumido que 0 ≤ a < b ≤ 1, de modo
que o domínio original é envolvido pelo domínio do problema auxiliar.
O operador B∗ é definido como:
µ
¶
d
∗
∗
B ≡ α (x) + β (x) k(x)
,
dx
∗
(2.12)
A função peso w(x), o coeficiente difusivo k(x) e a função d (x) são considerados
os mesmos utilizados no problema original. O estudo da utilização destas funções
diferentes do problema original está fora do escopo deste trabalho.
2.1.1
Par de Transformação
O objetivo da presente metodologia é usar a base provida pelas autofunções auxiliares
para escrever uma expressão para a autofunção original, da seguinte forma:
Ψ(x) =
∞
X
i =1
Ψ̄i Ω∗i (x),
para
a ≤x ≤b.
(2.13)
A expressão acima é chamada de fórmula de inversão. Baseado na expressão anterior e
na propriedade de ortogonalidade das autofunções auxiliares, a seguinte fórmula para
a transformação integral é obtida:
Ψ̄i =
1
Z
0
w(x) Ψ(x) Ω∗i (x) dx .
(2.14)
Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada no
mesmo domínio do problema original. Aqui, a transformação tradicional será chamada
de transformação integral em domínio coincidente. Na forma descrita pela equação
(2.14) a transformação será chamada de transformação integral em domínio envol-
2. Problemas de autovalor unidimensionais
12
vente.
Na transformada integral em domínio envolvente (2.14), a autofunção Ψ(x) não é
válida para x > b e x < a . Para contornar esse problema, a função Ψ(x) estendida é
definida, permitindo que a função seja reduzida para o limite de integração original:
Ψi ,e (x) = Ψ(x),
a ≤x ≤b,
para
Ψi ,e (x) = 0,
para
x<a
ou
x >b.
(2.15)
(2.16)
Introduzindo essa definição na equação da transformação integral em domínio envolvente (2.14), a seguinte expressão é obtida:
Ψ̄i =
a
Z
0
w(x) Ψe (x) Ω∗i (x) dx +
b
Z
a
w(x) Ψe (x) Ω∗i (x) dx +
Z 1
+
w(x) Ψe (x) Ω∗i (x) dx
(2.17)
b
Nesta equação o primeiro e o último termo do lado da direita são nulos. Portanto, o
termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser reescrito, sem perda
da generalidade, como:
Ψ̄i =
2.1.2
Z
b
a
w(x) Ψ(x) Ω∗i (x) dx .
(2.18)
Transformação do problema original
O problema de autovalor original é transformado utilizando a base fornecida pelo problema de autovalor auxiliar. Para tanto, o operador
Rb
a
( ) Ω∗i (x) dx é aplicado à equação
(2.1), obtendo:
Z
b
a
µ
¶
Z b
dΨ(x) ∗
d
k(x)
Ωi (x) dx + µ2
w(x) Ψ(x) Ω∗i (x) dx +
dx
dx
a
Z b
−
d (x) Ψ(x)Ω∗i (x) dx = 0 . (2.19)
a
2. Problemas de autovalor unidimensionais
13
O termo que leva em consideração os efeitos de difusão (primeiro termo da esquerda)
pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green. Esta, por conseguinte,
é definida, na forma unidimensional como [34]:
Z
xf
¯x
u(x) v (x) dx = (u(x) v (x) − v(x) u (x))¯x0f +
00
x0
0
0
Z
xf
v(x) u 00 (x) dx.
(2.20)
x0
Portanto, o termo é transformado de modo a obter a seguinte expressão:
Z
b
a
µ
¶
µ
¶
Z b
dΩ∗i (x)
dΨ(x) ∗
d
d
k(x)
Ωi (x) dx =
k(x)
Ψ(x) dx +
dx
dx
dx
a dx
£
¤¯x=b
0
+ k(x) (Ψ(x)0 Ω∗i (x) − Ψ(x) Ω∗i (x)) ¯x=a . (2.21)
Nesta equação, as informações de contorno estão contidas no último termo da direita,
que pode ser simplificado pelas condições de contorno do problema original. Desta
forma, as condições de contorno do problema auxiliar não devem ser utilizadas, uma
vez que o contorno do domínio envolvente (x = 0 e x = 1) não é idêntico ao contorno
original (x = a e x = b ).
No caso do segundo termo do lado da direita, a simplificação pode ser obtida utilizando o problema de autovalor auxiliar, fazendo, por exemplo:
µ
¶
dΩ∗i (x)
d
k(x)
= −(γ2i w(x) − d (x)) Ω∗i (x).
dx
dx
(2.22)
Entretanto, simplificações deste tipo serão evitadas neste ponto da análise, de modo a
manter a generalidade do estudo.
A fórmula de inversão (2.13) é, então, substituída nas equações (2.19) e (2.21), e
as seguintes expressões são obtidas:
∞
X
j =1
"Z
(
b
a
Ã
!
Z b
dΩ∗j (x)
d
∗
2
k(x)
Ωi (x) dx + µ
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx +
dx
dx
a
¸
Z b
∗
∗
−
d (x) Ωi (x) Ω j (x) dx Ψ̄ j = 0, (2.23)
a
2. Problemas de autovalor unidimensionais
"
∞ Z
X
j =1
b
a
14
Ã
!
#
µ
¶
Z b
∗
dΩ∗j (x)
dΩ
(x)
d
d
i
k(x)
Ω∗i (x) dx −
k(x)
Ω∗j (x) dx Ψ̄ j =
dx
dx
dx
a dx
∞
X
£
¤¯¯x=b
0
0
=
Ψ̄ j k(x) (Ω∗j (x) Ω∗i (x) − Ω∗j (x) Ω∗i (x)) ¯
. (2.24)
x=a
j =1
Então, os seguintes coeficientes podem ser introduzidos:
Ai , j =
Ã
!
dΩ∗j (x)
d
k(x)
Ω∗i (x) dx,
dx
dx
b
Z
a
b
Z
Bi , j =
a
Z
Di ,j =
Si , j
b
a
(2.25)
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(2.26)
d (x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(2.27)
£
¤¯¯x=b
∗0
∗
∗
∗0
= k(x) (Ω j (x) Ωi (x) − Ω j (x) Ωi (x)) ¯
.
x=a
(2.28)
Portanto, as equações (2.23) e (2.24) podem ser escritas como:
∞ ¡
X
¢
A j ,i + µ2 B j ,i − D j ,i Ψ̄ j = 0,
(2.29)
∞
X
¢
A j ,i − A i , j Ψ̄ j =
S j ,i Ψ̄ j .
(2.30)
j =1
∞ ¡
X
j =1
j =1
Na forma matricial, as equações acima são equivalentes a:
¡
¢
A + µ2 B − D Ψ̄ = 0,
(2.31)
¢
A − A T − S Ψ̄ = 0.
(2.32)
¡
2. Problemas de autovalor unidimensionais
15
Entretanto, a segunda equação implica que:
A = A T + S,
(2.33)
Desta forma permite que a equação (2.31) seja reescrita como:
¡
¢
A T + S + µ2 B − D Ψ̄ = 0.
(2.34)
Esse sistema representa um problema de autovetor algébrico, o qual pode ser usado
para determinar o problema de autovetor original µ e as autofunções transformadas
(dados pelos autovetores do problema algébrico). Então, a seguinte matriz pode ser
definida:
¡
¢
M = B −1 A T + S − D ,
(2.35)
Assim, o sistema (2.34) pode ser reescrito na forma tradicional como:
¡
¢
M − µ2 I Ψ̄ = 0.
(2.36)
A equação (2.36) proporciona o cálculo direto dos autovalores µi , que são avaliados
pela raiz quadrada dos autovalores do tensor M . Já as autofunções Ψi (x) são determinadas usando a fórmula de inversão (2.13), onde para cada autovalor µi , a correspondente autofunção é reconstruída usando os componentes do autovetor associado Ψ̄.
2.1.2.1
Simplificação da Matriz S
A matriz S , na forma apresentada anteriormente, não leva em consideração as informações sobre as condições de contorno do problema original. Se tal informação for
considerada, os coeficientes da matriz podem ser simplificados:
2. Problemas de autovalor unidimensionais
16
Primeiro, as condições de contorno, descritas em (2.2) e (2.3) são reescritas como:
β(x) k(x) Ψ0 (x)
,
α(x)
α(x) Ψ(x)
Ψ0 (x) = −
.
β(x) k(x)
Ψ(x) = −
(2.37)
(2.38)
Em seguida, as equações são, então, aplicadas na equação (2.28), de modo a obter as
seguintes expressões:
0
[k(x) (Ψ0 (x) Ω∗i (x) − Ψ(x) Ω∗i (x))]|x=b
x=a =
·
µ
= − k(x) Ψ(x)
¶¸¯x=b
¯
α(x)
∗
∗0
Ωi (x) + Ωi (x) ¯¯
. (2.39)
β(x) k(x)
x=a
0
[k(x)(Ψ0 (x) Ω∗i (x) − Ψ(x) Ω∗i (x)]|x=b
x=a =
¶¸¯x=b
·
µ
¯
β(x) k(x) ∗ 0
0
∗
, (2.40)
Ωi (x) ¯¯
= k(x) Ψ (x) Ωi (x) +
α(x)
x=a
onde a primeira equação deve ser empregada para β 6= 0 e a segunda equação para α 6=
0. Ainda, as duas expressões podem ser combinadas utilizando a regra das proporções,
da seguinte forma:
0
[k(x)(Ψ0 (x) Ω∗i (x) − Ψ(x) Ω∗i (x))]|x=b
x=a =
"
¡
¢ #¯x=b
k(x) (Ψ0 (x) − Ψ(x)) α(x) Ω∗i (x) + β(x) k(x) Ω∗i 0 (x) ¯¯
=
, (2.41)
¯
¯
α(x) + β(x) k(x)
x=a
Conforme explicado anteriormente, não é possível utilizar as condições de contorno
do problema de autovalor auxiliar para simplificar a matriz que contém as informações
do contorno, uma vez que o problema de autovalor auxiliar é definido em um contorno
diferente do problema original.
2. Problemas de autovalor unidimensionais
17
Então, a fórmula de inversão (2.18) é utilizada, obtendo:
∞
X
j =1
£
¤¯¯x=b
0
0
Ψ̄ j (x) k(x) (Ω∗j (x) Ω∗i (x) − Ω∗j (x) Ω∗i (x)) ¯
=
x=a
¢ #¯x=b
¡
"
∞
k(x) (Ω∗j 0 (x) − Ω∗j (x)) α(x) Ω∗i (x) + β(x) k(x) Ω∗i 0 (x) ¯¯
X
=
Ψ̄ j (x)
. (2.42)
¯
¯
α(x) + β(x) k(x)
j =1
x=a
Assim, os coeficientes da matriz S i , j podem ser reescritos como:
"
Si , j =
¡
¢ #¯x=b
k(x) (Ω∗j 0 (x) − Ω∗j (x)) α(x) Ω∗i (x) + β(x) k(x) Ω∗i 0 (x) ¯¯
,
¯
¯
α(x) + β(x) k(x)
(2.43)
x=a
Para os casos em que se tem condições de contorno de Dirichlet ou Neumann em um
dos contornos, isto é, para α(x) 6= 0 ou β(x) 6= 0, as seguintes expressões alternativas
podem ser utilizadas:
µ
Si , j =
Si , j
0
k(x) Ω∗j (x)
µ
Ω∗i (x)
µ
µ
∗
= − k(x) Ω j (x)
¶¶¯x=b
¯
β(x) k(x) ∗ 0
,
Ωi (x) ¯¯
+
α(x)
x=a
¶¶¯x=b
¯
α(x)
∗
∗0
Ωi (x) + Ωi (x) ¯¯
,
β(x) k(x)
x=a
para α(x) 6= 0 ,
(2.44)
para β(x) 6= 0 . (2.45)
Portanto, como pode ser observado, a formulação matemática para a solução de problemas de autovalor unidimensinais utilizando a técnica do domínio envolvente foi formalmente apresentada, abrindo caminho, então, para o teste da metodologia.
Capítulo 3
Problemas de difusão unidimensionais
Neste capítulo, a técnica do domínio envolvente (TDE) é utilizada para obter a solução
de problemas de difusão unidimensionais generalizados. Para tanto, será definido o
par de transformação aplicado à solução do problema. Tal transformação, tem como
base as autofunções auxiliares, sendo estas, por sua vez, definidas em um domínio
que envolve o domínio original. Deste modo, toda a análise matemática decorrente da
solução do problema de difusão unidimensional, pelo método do domínio envolvente,
é descrita de modo a obter a forma mais simplificada possível.
3.1
Problema de difusão unidimensional generalizado
O problema de difusão linear unidimensional pode ser escrito como:
µ
¶
∂
∂T (x, t )
∂T (x, t )
ϕ(t ) w(x)
=
k(x)
+
∂t
∂x
∂x
¡
¢
+ σ(t ) w(x) − d (x) T (x, t ) + P (x, t ),
para
a ≤ x ≤ b, (3.1)
B T (x, t ) = φ(a, t ),
para
x = a,
(3.2)
B T (x, t ) = φ(b, t ),
para
x = b,
(3.3)
a ≤ x ≤ b.
(3.4)
T (x, 0) = f (x),
para
18
3. Problemas de difusão unidimensionais
19
Onde o operador da condição de contorno é definido como:
¶
∂
B ≡ α(x) + β(x) k(x)
.
∂x
µ
(3.5)
A solução exata é obtida pela transformação integral clássica [33] e pode ser escrita
como:
∞
X
1
T̄n (t ) Ψn (x)
n=1 N (µn )
T (x, t ) =
(3.6)
onde Ψn (x) e µn são autofunções e autovalores do problema de Sturm-Liouville, esse
problema foi definido pela equação (2.1).
Os potenciais transformados (T̄n (t )) são obtidos na solução do sistema desacoplado:
ϕ(t )
¢
dT̄n (t ) ¡ 2
+ µn − σ(t ) T̄n (t ) = ḡ n (t ),
dt
T̄n (0) = f¯n ,
(3.7)
(3.8)
para n = 1, . . . , ∞. A condição inicial transformada e os termos transformados são
dados por:
f¯n =
Z
ḡ n (t ) =
b
a
Z
b
a
w(x) f (x) Ψn (x) dx,
·
µ
¶¸x=b
Ψn (x) ± k(x) Ψ0n (x)
P (x, t )Ψn (x) dx + φ(x, t )
.
α(x) + β(x)
x=a
(3.9)
(3.10)
A solução do sistema transformado é facilmente obtido por:
T̄n (t ) = f¯n +
¡
t
Z
0
¢
ḡ n (τ) eγn (τ) e−γn (t ) dτ,
(3.11)
no qual:
γn (t ) =
t
Z
0
µ2n − σ(τ)
ϕ(τ)
dτ.
(3.12)
Portanto, a solução analítica para o problema de difusão generalizado, dado por (3.1),(3.2),(3.3)
3. Problemas de difusão unidimensionais
20
e (3.4)), é obtido diretamente uma vez que o problema de autovalor, definido pelas
equações (2.1),(2.2) e (2.3)), é conhecido.
3.2
Solução através da técnica de domínio envolvente
O objetivo da presente metodologia é utilizar a base de autofunções auxiliares (2.8),
(2.9) e (2.10), definidas em um domínio que envolve o domínio original, para escrever
a forma da solução do problema de difusão unidimensional, como mostrado abaixo:
T (x, t ) =
∞
X
i =1
T̄i (t ) Ω∗i (x),
para
a ≤x ≤b.
(3.13)
Esse expressão é chamada de fórmula de inversão.
O problema de autovalor auxiliar normalizado (2.8,2.9 e 2.10) possui a seguinte
propriedade de ortogonalidade:
Z
0
1
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx = δi , j .
(3.14)
Desta forma, a seguinte transformada integral pode ser escrita:
Z
T̄i (t ) =
0
1
w(x) T (x, t ) Ωi (x) dx .
(3.15)
Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada no
mesmo domínio do problema original. Esta transformação, como apresentada anteriormente, é chamada de transformação integral em domínio coincidente. Novamente,
na forma descrita pela equação (3.15) a transformação será chamada de transformação
integral em domínio envolvente.
Na expressão apresentada acima, a função T̄i (t ) não é definida para x > b e x <
a . Para contornar esse problema, uma função T (x, t ) estendida é criada, de modo a
permitir a redução do limite de integração, aplicado ao domínio envolvente, para o
3. Problemas de difusão unidimensionais
21
domínio original:
Te (x, t ) = T (x, t ),
Te (x, t ) = 0,
a ≤x ≤b,
para
x<a
para
ou
x >b.
(3.16)
(3.17)
Introduzindo a definição acima na fórmula da transformada integral (3.15), a seguinte
expressão pode ser obtida:
Z
T̄i (t ) =
0
a
w(x) Te (x, t ) Ω∗i (x) dx +
Z b
Z 1
∗
+
w(x) Te (x, t ) Ωi (x) dx +
w(x) Te (x, t ) Ω∗i (x) dx
a
(3.18)
b
Nesta equação o primeiro e o último termo do lado da direita são nulos. Portanto,
o termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser reescrito, sem a
perda da generalidade, como:
Z
T̄i (t ) =
3.2.1
b
a
w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx .
(3.19)
Transformação do problema de difusão unidimensional generalizado
Utilizando a base de autofunções auxiliares definida no item anterior, o problema de
difusão unidimensional generalizado, dado pelas equações (3.1), (3.2), (3.3) e (3.4)), é
transformado aplicando o seguinte operador
ϕ(t )
Z
b
∂T (x, t ) ∗
Ωi (x) dx =
∂t
Z b
Z
∗
=
P (x, t ) Ωi (x) dx +
Rb
a
( ) Ω∗i (x) dx , de forma a obter:
w(x)
a
µ
¶
∂T (x, t ) ∗
∂
k(x)
Ωi (x) dx +
∂x
a
a ∂x
Z b
Z b
∗
+ σ(t )
w(x) T (x, t ) Ωi (x) dx −
d (x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx. (3.20)
a
b
a
O termo que leva em consideração os efeitos de difusão de calor (primeiro termo da
esquerda) pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green, que pode ser
3. Problemas de difusão unidimensionais
22
escrita na forma unidimensional como [34]:
Z
xf
x0
¯x
u(x) v (x) dx = (u(x) v (x) − v(x) u (x))¯x0f +
00
0
0
Z
xf
v(x) u 00 (x) dx.
(3.21)
x0
Assim, a seguinte expressão pode ser obtida:
Z
b
a
µ
¶
µ
¶
Z b
∂Ω∗i (x)
∂
∂T (x, t ) ∗
∂
k(x)
Ωi (x) dx =
k(x)
T (x, t ) dx +
∂x
∂x
∂x
a ∂x
·
µ
¶¸x=b
∂T (x, t ) ∗
∗0
+ k(x)
Ωi (x) − T (x, t ) Ωi (x)
(3.22)
∂x
x=a
Nesta equação, as informações do contorno estão contidas no último termo à direita,
que pode ser simplificado pelas condições de contorno do problema original. Desta
forma, as condições de contorno do problema auxiliar não devem ser utilizadas, uma
vez que o contorno do domínio envolvente (x = 0 e x = 1) não é idêntico ao contorno
original (x = a e x = b ).
No caso do primeiro termo do lado direito, a simplificação pode ser obtida utilizando o problema de autovalor auxiliar, fazendo, por exemplo:
µ
¶
dΩ∗i (x)
d
k(x)
= −(γ2i w(x) − d (x)) Ω∗i (x).
dx
dx
(3.23)
Entretanto, para manter a generalidade do estudo, simplificações deste tipo serão evitadas neste ponto da análise.
Após, a fórmula de inversão (3.13) é substituída nas equações (3.22) e (3.20), obtendo:
∞
X
j =1
ϕ(t )
µZ
b
a
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx
¶
T̄ j0 (t ) =
Ã
!
∂Ω∗j (x)
∂
= P̄ i (t ) +
k(x)
Ω∗i (x) dx +
∂x
∂x
a
j =1
¶
Z b
Z b
∗
∗
∗
∗
+ σ(t )
w(x) Ωi (x) Ω j (x) dx −
d (x) Ωi (x) Ω j (x) dx T̄ j (t ), (3.24)
Ã
∞ Z
X
a
b
a
3. Problemas de difusão unidimensionais
Ã
∞ Z
X
j =1
b
a
23
Ã
!
∂Ω∗j (x)
∂
k(x)
Ω∗i (x) dx +
∂x
∂x
µ
¶
¶
Z b
∂Ω∗i (x) ∗
∂
k(x)
Ω j (x) dx T̄ j (t ) =
−
∂x
a ∂x
³
´i¯x=b
∞ h
X
¯
0
0
=
k(x) Ω∗j (x) Ω∗i (x) − Ω∗j (x) Ω∗i (x) ¯
T̄ j (t ), (3.25)
x=a
j =1
onde
Z
P̄ i (t ) =
b
a
P (x, t ) Ω∗i (x) dx.
(3.26)
Neste ponto, é útil, definir os coeficientes abaixo:
b
Z
Ai , j =
a
b
Z
Bi , j =
a
Z
Di ,j =
b
a
Ã
!
∂Ω∗j (x)
∂
k(x)
Ω∗i (x) dx,
∂x
∂x
(3.27)
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(3.28)
d (x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(3.29)
£
¤¯¯x=b
0
0
S i , j = k(x) (Ω∗j (x) Ω∗i (x) − Ω∗j (x) Ω∗i (x)) ¯
.
x=a
(3.30)
Então, ao introduzir os coeficientes, dado pelas equações (3.27), (3.28), (3.29) e (3.30),
as equações (3.24) e (3.25) são reescritas como:
ϕ(t )
∞
X
j =1
B i , j T̄ j0 (t ) =
∞ ¡
X
j =1
∞ ¡
X
¢
A i , j + σ(t ) B i , j − D i , j T̄ j (t ) + P̄ i (t ),
(3.31)
j =1
∞
X
¢
A i , j − A j ,i T̄ j (t ) =
S i , j T̄ j (t ) + b̄ i (t ),
(3.32)
j =1
onde o termo b̄i (t ) corresponde ao termo independente da condição de contorno. Este
termo será explicado mais adiante na análise da matriz que contém as informações de
contorno.
3. Problemas de difusão unidimensionais
24
O sistema acima, na forma matricial, é equivalente a:
¡
¢
0
ϕ(t ) B T̄ (t ) = A + σ(t ) B − D T̄ (t ) + P̄ (t ),
(3.33)
¢
A − A T − S T̄ (t ) = b̄(t ).
(3.34)
¡
Ainda, a equação (3.34) implica que:
A T̄ (t ) = (A T + S) T̄ (t ) + b̄(t ).
(3.35)
e a equação (3.33) pode ser reescrita como:
¡
¢
0
ϕ(t ) B T̄ (t ) = A T + S + σ(t ) B − D T̄ (t ) + P̄ (t ) + b̄(t ).
(3.36)
Essa equação deverá, então, ser resolvida com a seguinte condição inicial:
T̄ (0) = f¯,
(3.37)
onde, os coeficientes de f¯ são obtidos pela seguinte expressão:
f¯i =
Z
b
a
w(x) f (x)Ω∗i (x) dx.
(3.38)
Com algumas operações matriciais, a equação (3.36) pode ser reescrita como:
0
T̄ (t ) = B −1 M T̄ (t ) + ḡ (t ),
(3.39)
onde M e ḡ são definidos como:
¢
1 ¡ T
A + S + σ(t ) B − D ,
ϕ(t )
¡
¢
1
ḡ (t ) =
B −1 P̄ (t ) + b̄(t ) .
ϕ(t )
M=
(3.40)
(3.41)
O sistema, dado pelas equações (3.39) e (3.37), proporciona uma solução analítica em
3. Problemas de difusão unidimensionais
25
forma fechada:
µ
T̄ (t ) = C (t ) f¯ +
Z
t
C
−1
¶
(τ) ḡ (t ) dτ ,
(3.42)
0
onde as matrizes envolvidas são descritas na forma de uma matriz exponencial [34]:
¡
¢
C (t ) = exp −B −1M t
e
¡
¢
C −1 (t ) = exp B −1M t
(3.43)
Apesar da solução acima estar apresentada em uma forma analítica fechada, a avaliação da matriz exponencial poderá ser problemática para altas ordens de truncamento
1.
Portanto, uma solução numérica direta para equações diferenciais (3.36) e (3.37) é
implementada, utilizando a função NDSolve do programa Mathematica [16] e comparada com a solução analítica. Uma vez que o potencial transformado é obtido, o
campo de temperatura é avaliado usando a fórmula de inversão (3.13).
3.2.1.1
Simplificação da Matriz S
A matriz S , na forma apresentada anteriormente, não leva em consideração as informações sobre as condições de contorno do problema de difusão. Se tais informações
forem levadas em consideração, os coeficientes da matriz podem ser simplificados:
Primeiro, reescrevemos as condições de contorno, descritas em (3.2) e (3.3), como:
¶
µ
1
∂T (x, t )
,
T (x, t ) = φ(x, t ) − β(x) k(x)
∂x
α(x)
¢
∂T (x, t ) ¡
1
= φ(x, t ) − α(x) T (x, t )
.
∂x
β(x) k(x)
(3.44)
(3.45)
Utilizando as equações (3.44) e (3.45), os coeficientes da matriz S podem ser reescritos
como:
µ
¶¯x=b
¯
k(x) ∂T (x, t )
∂T (x, t ) ∗ 0
∗
∗0
α(x) Ωi (x) − φ(x, t )Ωi (x) + β(x) k(x)
Ωi (x) ¯¯
, (3.46)
α(x)
∂x
∂x
x=a
1
A ordem de truncamento é o número de termos utilizado no cálculo da solução
3. Problemas de difusão unidimensionais
26
k(x) ¡
φ(x, t ) α(x) Ω∗i (x) − α(x) T (x, t ) Ω∗i (x) +
β(x) k(x)
¢¯x=b
0
− T (x, t ) β(x) k(x) Ω∗i (x) ¯x=a , (3.47)
onde a primeira equação deve ser empregada para α 6= 0 e a segunda equação para β 6=
0. Ainda, as duas expressões podem ser combinadas utilizando a regra das proporções,
da seguinte forma:
µ
∂T (x, t )
k(x)
0
α(x) Ω∗i (x) − φ(x, t )Ω∗i (x) +
α(x) + β(x) k(x)
∂x
∂T (x, t ) ∗ 0
+ β(x) k(x)
Ωi (x) + φ(x, t ) α(x) Ω∗i (x) − α(x) T (x, t ) Ω∗i (x) +
∂x
¢¯x=b
0
− T (x, t ) β(x) k(x) Ω∗i (x) ¯x=a . (3.48)
Essa equação pode, ainda, ser reescrita como:
k(x)
α(x) + β(x) k(x)
·µ
¸¯
¶
¢ ¯x=b
¡
∂T (x, t )
∗
∗0
+
− T (x, t ) α(x) Ωi (x) + β(x) k(x)Ωi (x) ¯¯
∂x
x=a
¯
¢¤¯x=b
£
¡ ∗
k(x)
∗0
+
, (3.49)
φ(x, t ) Ωi (x) − Ωi (x) ¯¯
α(x) + β(x) k(x)
x=a
onde o primeiro termo contém as informações da parte homogênea do contorno e o
segundo termo contém as informações da parte não homogênea. Portanto, a matriz
S i , j e o termo independente b̄ i (t ), são reescritos como:
Si , j
k(x)
=
α(x) + β(x) k(x)
"Ã
∂Ω∗j (x)
∂x
!
−
Ω∗j (x)
¡
α(x) Ω∗i (x)
¢¤¯x=b
0
+ β(x) k(x)Ω∗i (x) ¯x=a , (3.50)
¯
£
¡ ∗
¢¤¯x=b
k(x)
∗0
b̄ i (t ) =
φ(x, t ) Ωi (x) − Ωi (x) ¯¯
.
α(x) + β(x) k(x)
x=a
(3.51)
Para os casos em que se tem condições de contorno de Dirichlet ou Neumann em um
dos contornos, isto é α(x) 6= 0 ou β(x) 6= 0, pode-se utilizar uma expressão alternativa
3. Problemas de difusão unidimensionais
27
da seguinte maneira:
Si , j
µ
µ
¶¶¯x=b
¯
β(x) k(x) ∗ 0
∗0
∗
= k(x) Ω j (x) Ωi (x) +
Ωi (x) ¯¯
,
α(x)
x=a
¯x=b
¯
k(x)
∗0
b̄ i (t ) = −
φ(x, t ) Ωi (x)¯¯
,
α(x)
x=a
Si , j
µ
µ
∗
= − k(x) Ω j (x)
para α(x) 6= 0 ,
¶¶¯x=b
¯
α(x)
∗
∗0
Ωi (x) + Ωi (x) ¯¯
,
β(x) k(x)
x=a
¯x=b
¯
k(x)
∗
b̄ i (t ) =
φ(x, t ) Ωi (x)¯¯
,
β(x) k(x)
x=a
para α(x) 6= 0 ,
(3.52)
(3.53)
para β(x) 6= 0 (3.54)
para β(x) 6= 0.
(3.55)
Portanto, a formulação formal da solução de problemas unidimensionais pela técnica do domínio envolvente foi apresentada. Essa formulação envolveu a definição do
par de transformação inerentes à metodologia, a análise matemática da transformação
do problema original e a análise dos coeficientes que compõem a solução. Desta forma
o solução de problemas de difusão pode ser facilmente obtida pela simplificação da
formulação e dos coeficientes apresentados, conforme os requisitos do problema estudado.
Capítulo 4
Problemas unidimensionais em domínio móvel
O propósito deste capítulo é apresentar uma metodologia alternativa para a solução de
problemas unidimensionais em domínios em movimento. Serão considerados problemas de autovalor assim como problemas de difusão. Assim, conforme a metodologia
apresentada nos capítulos anteriores, o problema a ser estudado, o par de transformação
proposto e análise matemática decorrente da transformação integral serão apresentados.
4.1
Problema de autovalor unidimensional em domínio móvel
O problema de autovalor unidimensional generalizado em domínio móvel [3], e é
definido como:
µ
¶
d
dΨ(x, t )
k(x)
+ (µ2 (t ) w(x) − d (x)) Ψ(x, t ) = 0,
dx
dx
em
a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (4.1)
e
B Ψ(x, t ) = 0,
em
x = a(t ),
(4.2)
B Ψ(x, t ) = 0,
em
x = b(t ),
(4.3)
28
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
29
onde o operador da condição de contorno B é definido como:
¶
∂
B ≡ α(x) + β(x) k(x)
.
∂x
µ
(4.4)
Esse problema possui a seguinte propriedade de ortogonalidade:
Z
b(t )
a(t )
w(x) Ψn (x, t ) Ψm (x, t ) dx = δn,m N (µn ),
(4.5)
Onde Ψm e Ψn são autofunções que correspondem respectivamente aos autovalores
µm e µn , δn,m é o delta de Kronecker e N (µn ) é a norma, definida como:
Z
N (µn ) ≡
b(t )
a(t )
w(x) Ψn (x, t )2 dx.
(4.6)
A solução desse problema é analítica e direta em alguns casos e pode ser obtida de
várias maneiras. Entretanto, neste trabalho, uma rota alternativa é proposta: usar um
problema de autovalor auxiliar para escrever a solução do problema de autovalor original. Essa solução é definida como uma expansão com base em autofunções definidas
em um domínio que envolve o domínio original. Essa solução é chamada de técnica
do domínio envolvente (TDE).
É importante observar que, diferentemente das autofunções originais, as autofunções
auxiliares Ω∗ (x) não dependem do tempo e, portanto, são definidas pelas equações
(2.8), (2.9) e (2.10).
4.1.1
Par de Transformação
O objetivo da presente metodologia é usar a base provida pelas autofunções auxiliares
para escrever uma expressão para a autofunção original, da seguinte forma:
Ψ(x, t ) =
∞
X
i =1
Ψ̄i (t ) Ω∗i (x),
para
a(t ) ≤ x ≤ b(t ) .
(4.7)
A expressão acima é chamada de fórmula de inversão. Baseado na expressão anterior e
na propriedade de ortogonalidade das autofunções auxiliares, a seguinte fórmula para
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
30
a transformação integral é obtida:
Ψ̄i (t ) =
Z
1
0
w(x) Ψ(x, t ) Ω∗i (x) dx .
(4.8)
Essa transformação é diferente da transformação integral tradicional, que é operada
no mesmo domínio do problema original. Como mencionado anteriormente, a transformação tradicional é chamada de transformação integral em domínio coincidente.
Na forma descrita pela equação (4.8) a transformação é chamada de transformação
integral em domínio envolvente.
Na transformada integral em domínio envolvente (4.8), a autofunção Ψ(x, t ) não
é definida para x > b(t ) e x < a(t ). Para contornar esse problema, a função Ψ(x, t )
estendida é definida, permitindo que a função seja reduzida para o limite de integração
original:
Ψe (x, t ) = Ψ(x),
Ψe (x, t ) = 0,
a(t ) ≤ x ≤ b(t ) ,
para
x < a(t )
para
ou
x > b(t ) .
(4.9)
(4.10)
Introduzindo essa definição na equação da transformação integral em domínio envolvente (4.8), a seguinte expressão é obtida:
Ψ̄i (t ) =
Z
0
a(t )
w(x) Ψe (x, t ) Ω∗i (x) dx
Z
+
b(t )
a(t )
w(x) Ψe (x, t ) Ω∗i (x) dx +
Z
+
1
b(t )
w(x) Ψe (x, t ) Ω∗i (x) dx
(4.11)
Nesta equação o primeiro e o último termos do lado da direita são nulos. Portanto, o
termo da transformação integral em domínio envolvente pode ser rescrito, sem perda
da generalidade, como:
Ψ̄i =
Z
b(t )
a(t )
w(x) Ψ(x) Ω∗i (x) dx .
(4.12)
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
4.1.2
31
Transformação do problema original
O problema de autovalor original é transformado aplicando o operador
R b(t )
a(t )
( ) Ω∗i (x) dx
na equação (4.1), obtendo:
Z
b(t )
a(t )
µ
¶
Z b(t )
d
dΨ(x) ∗
2
k(x)
Ωi (x) dx + µ
w(x) Ψ(x) Ω∗i (x) dx +
dx
dx
a(t )
Z b(t )
−
d (x) Ψ(x)Ω∗i (x) dx = 0 . (4.13)
a(t )
Como pode ser observado, a transformação da equação (4.1) é identica ao apresentado anteriormente, salvo o domínio móvel. Portanto, somente os coeficientes,
introduzidos pelas equações (2.25), (2.26), (2.27) e (2.28), serão modificados, sendo
portanto, rescritos como:
Z
Ai , j =
b(t )
a(t )
b(t )
Z
Bi , j =
a(t )
Z
Di ,j =
Ã
!
dΩ∗j (x)
d
k(x)
Ω∗i (x) dx,
dx
dx
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
b(t )
a(t )
(4.14)
(4.15)
d (x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(4.16)
£
¤¯¯x=b(t )
0
0
S i , j = k(x) (Ω∗j (x) Ω∗i (x) − Ω∗j (x) Ω∗i (x)) ¯
.
x=a(t )
(4.17)
Assim, a equação transformada pode ser rescrita na forma vetorial como:
¡
¢
A T + S + µ2 (t ) B − D Ψ̄(t ) = 0.
(4.18)
Esse sistema representa um problema de autovetor algébrico, o qual pode ser usado
para determinar a solução os autovalores originais µn (t ) e as autofunções transformadas (dados pelos autovetores do problema algébrico). Então, a seguinte matriz pode
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
32
ser definida:
¡
¢
M = B −1 A T + S − D ,
(4.19)
Assim, o sistema (4.18) pode ser reescrito na forma tradicional como:
¡
¢
M − µ2 (t ) I Ψ̄(t ) = 0.
(4.20)
A equação (4.20) proporciona o cálculo direto dos autovalores µn , que são avaliados pela raiz quadrada dos autovalores do tensor M . Já as autofunções Ψn (x, t ) são
determinadas usando a fórmula de inversão (4.7), onde para cada autovalor µn (t ), a
autofunção correspondente é reconstruída usando os componentes do autovetor associado Ψ̄n (t ).
4.2
Problema de difusão unidimensional
O problema de difusão unidimensional com domínio em movimento pode ser escrito
como:
µ
¶
∂T (x, t )
∂
∂T (x, t )
ϕ(t ) w(x)
=
k(x)
+
∂t
∂x
∂x
¡
¢
+ σ(t ) w(x) − d (x) T (x, t ) + P (x, t ),
para
a(t ) ≤ x ≤ b(t ), (4.21)
B T (x, t ) = φ(a, t ),
para
x = a(t ),
(4.22)
B T (x, t ) = φ(b, t ),
para
x = b(t ),
(4.23)
T (x, 0) = f (x),
para
a(t ) ≤ x ≤ b(t ).
(4.24)
Onde o operador da condição de contorno é definido como:
¶
∂
B ≡ α(x) + β(x) k(x)
.
∂x
µ
(4.25)
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
4.2.1
33
Solução tradicional por GITT
Utilizando a base de autofunções definidas pela equação (4.1), o seguinte par de transformação é definido:
T (x, t ) =
(4.26)
b(t )
Z
T̄i (t ) =
∞ T̄ (t ) Ψ (x, t )
X
i
i
,
N
(µ
i)
i =1
a(t )
T (x, t )Ψi (x, t ) dx.
(4.27)
Assim, o problema de difusão é transformado levando ao seguinte sistema de equações
diferenciais ordinárias acopladas:
∞
X
dT̄i (t )
+ µ2i (t ) T̄i (t ) −
a i∗, j T̄ j (t ) = ḡ i (t )
dt
j =1
Z b(0)
T̄i (0) = f¯i =
f (x) Ψ(x, 0) dx
(4.28)
(4.29)
a(0)
Onde ai∗, j e ḡ i (t ) são definidos como:
∂Ψi (x, t )
dx,
∂t
(4.30)
ḡ i (x) = ḡ i∗ (t ) + F̄ b,i (t ) − F̄ a,i (t ),
(4.31)
a i∗, j
Z
=
b(t )
a(t )
Ψ j (x, t )
onde ḡ i ∗, F̄b,i (t ) e F̄ a,i (t ) são definidos como:
ḡ i∗ (t ) =
Z
b(t )
a(t )
¶¯b(t )
¯
∂Ψi (x, t )
∂T (x, t )
P (x, t ) Ψi (x, t ) dx +
Ψi (x, t ) −
T (x, t ) ¯¯
, (4.32)
∂x
∂x
a(t )
µ
F̄ b,i (t ) = b 0 (t ) w(b(t )) Ψi (b(t ), t ) T (b(t ), t ),
(4.33)
F̄ a,i (t ) = a 0 (t ) w(a(t )) Ψi (a(t ), t ) T (a(t ), t ),
(4.34)
A solução da equação (4.28) pode ser obtida numericamente utilizando, por exemplo,
a função NDSolve do Mathematica [16].
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
4.3
34
Solução através da Técnica de Domínio Envolvente
O objetivo da presente metodologia é usar as autofunções auxiliares, definidas em um
domínio que envolve o domínio original. Elas são descritas pelo problema de SturmLiouville (eqs. (2.8)–(2.10)). Assim o par de transformação é definido pelas equações
(3.13) e (3.15).
4.3.1
Transformação do problema de difusão
O problema da difusão com domínio móvel, definido pela equação (4.22) é transformado aplicando o operador
R b(t )
a(t )
( ) Ω∗ (x) d x , obtendo:
Z b(t )
∂T (x, t ) ∗
ϕ(t )
w(x)
Ωi (x) dx =
P (x, t ) Ω∗i (x) dx +
∂t
a(t )
a(t )
µ
¶
Z b(t )
Z b(t )
∂T (x, t ) ∗
∂
+
k(x)
Ωi (x) dx + σ(t )
w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx +
∂x
∂x
a(t )
a(t )
Z b(t )
−
d (x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx, (4.35)
b(t )
Z
a(t )
O termo que leva em consideração os efeitos de difusão (primeiro termo da direita)
pode ser transformado utilizando a segunda fórmula de Green, que pode ser escrita na
forma unidimensional como [34]:
xf
Z
x0
¯x
u(x) v (x) dx = (u(x) v (x) − v(x) u (x))¯x0f +
00
0
0
Z
xf
v(x) u 00 (x) dx
(4.36)
x0
Assim temos:
Z
b(t )
a(t )
µ
¶
µ
¶
Z b(t )
∂Ω∗i (x)
∂T (x, t ) ∗
∂
∂
k(x)
Ωi (x) dx =
k(x)
T (x, t ) dx +
∂x
∂x
∂x
a(t ) ∂x
·
µ
¶¸x=b(t )
∂T (x, t ) ∗
∗0
+ k(x)
Ωi (x) − T (x, t ) Ωi (x)
. (4.37)
∂x
x=a(t )
O último termo da direita pode ser simplificado utilizando as condições de contorno
do problema de difusão original, sendo esta análise análoga ao apresentado no capitulo
anterior. Já o segundo termo no lado da direita da equação acima pode ser simplificado
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
35
com informações do problema auxiliar escolhido, isto é, fazendo:
µ
¶
dΩ∗ (x)
d
k(x)
= −(γ2 w(x) − d (x)) Ω∗ (x).
dx
dx
(4.38)
Entretanto, para manter a generalidade do estudo, simplificações deste tipo serão evitadas neste ponto da análise.
O primeiro termo da esquerda da equação (4.35) pode ser simplificado utilizando
a regra de Leibniz [34]:
Z b(t )
¢
∂T (x, t ) ∗
∂ ¡
ϕ(t )
w(x)
Ωi (x) dx = ϕ(t )
w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx =
∂t
a(t )
a(t ) ∂t
Z b(t )
¡
¢
∂
= ϕ(t )
w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx − w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) x=b(t ) b 0 (t ) +
∂t a(t )
¡
¢
+ w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) x=a(t ) a 0 (t ). (4.39)
Z
b(t )
Substituindo a equação (4.39) em (4.35), a seguinte expressão pode ser obtida:
∂
ϕ(t )
∂t
Z
b(t )
a(t )
w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx =
µ
¶
∂T (x, t ) ∗
∂
=
k(x)
Ωi (x) dx +
∂x
a(t )
a(t ) ∂x
Z b(t )
Z b(t )
∗
+ σ(t )
w(x) T (x, t ) Ωi (x) dx −
d (x) T (x, t ) Ω∗i (x) dx +
Z
b(t )
P (x, t ) Ω∗i (x) dx +
Z
b(t )
a(t )
+ w(x) T (x, t ) Ω∗i (x)
¡
a(t )
¢
¢
b 0 (t ) − w(x) T (x, t ) Ω∗i (x) x=a(t ) a 0 (t ), (4.40)
¡
x=b(t )
A formula de inversão, dada pela equação (3.13), é substituída nas equações acima,
obtendo:
Ã
!
∂Ω∗j (x)
∂
k(x)
Ω∗i (x) dx +
ϕ(t )
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx T̄ j0 (t ) = P̄ i (t ) +
∂x
∂x
a(t
)
a(t
)
j =1
j =1
´
i
h³
´
³
∞
X
b 0 (t ) − w(x) Ω∗j (x) Ω∗i (x)
a 0 (t ) +
+
T̄ j (t ) w(x) Ω∗j (x) Ω∗i (x)
∞
X
µZ
b(t )
Ã
∞ Z
X
¶
x=a(t )
x=b(t )
j =1
+ σ(t )
Z
b(t )
a(t )
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx
b(t )
Z
−
b(t )
a(t )
d (x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx
¶
T̄ j (t ), (4.41)
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
Ã
∞ Z
X
j =1
b(t )
a(t )
36
Ã
!
!
µ
¶
Z b(t )
∗
∂Ω∗j (x)
(x)
∂Ω
∂
∂
i
k(x)
Ω∗i (x) dx −
k
Ω∗j (x) dx T̄ j (t ) =
∂x
∂x
∂x
∂x
a(t )
h
³
´i¯x=b(t )
∞
X
¯
0
0
=
k(x) Ω∗j (x) Ω∗i (x) − Ω∗j (x) Ω∗i (x) ¯
T̄ j (t ), (4.42)
x=a(t )
j =1
onde
Z
P̄ i (t ) =
b(t )
a(t )
P (x, t ) Ω∗i (x) dx.
(4.43)
Neste ponto, é útil, definir os coeficientes abaixo:
b(t )
Z
Ai , j =
a(t )
b(t )
Z
Bi , j =
a(t )
Z b(t )
Di ,j =
a(t )
Ã
!
∂Ω∗j (x)
∂
k(x)
Ω∗i (x) dx,
∂x
∂x
(4.44)
w(x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(4.45)
d (x) Ω∗i (x) Ω∗j (x) dx,
(4.46)
£
¤¯¯x=b(t )
∗0
∗
∗
∗0
S i , j = k(x) (Ω j (x) Ωi (x) − Ω j (x) Ωi (x)) ¯
.
x=a(t )
³
´
³
´
Hi , j = w(x) Ω∗j (x) Ω∗i (x)
b 0 (t ) − w(x) Ω∗j (x) Ω∗i (x)
x=b(t )
(4.47)
x=a(t )
a 0 (t )
(4.48)
Então, ao introduzir os coeficientes dado pelas equações (4.44)–(4.48), as equações
(4.41) e (4.42) podem ser reescritas como:
ϕ(t )
∞
X
j =1
B i , j T̄ j0 (t ) =
∞ ¡
X
j =1
∞ ¡
X
¢
A i , j + σ(t ) B i , j − D i , j + Hi , j T̄ j (t ) + P̄ i (t ),
(4.49)
j =1
∞
X
¢
A i , j − A j ,i T̄ j (t ) =
S i , j T̄ j (t ) + b̄ i (t ),
(4.50)
j =1
onde o temo b̄i (t ) corresponde ao termo independente da condição de contorno. Para
condições homogêneas de primeiro tipo no problema original, o coeficiente Hi , j será
zero porque T (a(t ), t ) = T (b(t ), t ) = 0. Nestas condições, esse acoplamento em t é
nulo.
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
37
O sistema acima, na forma vetorial, é equivalente a:
¡
¢
0
ϕ(t ) B T̄ (t ) = A + σ(t ) B − D + H T̄ (t ) + P̄ (t ),
(4.51)
¢
A − A T − S T̄ (t ) = b̄(t ).
(4.52)
¡
Ainda, a equação (4.52) implica que:
A T̄ (t ) = (A T + S) T̄ (t ) + b̄(t ),
(4.53)
Assim, a equação (4.51) pode ser reescrita como:
¡
¢
0
ϕ(t ) B T̄ (t ) = A T + S + σ(t ) B − D + H T̄ (t ) + P̄ (t ) + b̄(t ),
(4.54)
Essa equação deverá, então, ser resolvida com a seguinte condição inicial:
T̄ (0) = f¯,
(4.55)
Onde os coeficientes de f¯ são dados por:
f¯i =
Z
b(t )
a(t )
w(x) f (x)Ω∗i (x) dx
(4.56)
Diferentemente da solução do problema de difusão em domínio fixo pela Técnica do
Domínio Envolvente, todas as matrizes de coeficientes dependem do tempo. Este fato
acaba com a possibilidade de uma solução analítica utilizando exponenciais de matrizes visto que a inversão do matriz B precisaria ser feito de forma simbólica, o que
é inviável até para baixas ordens de truncamento. A solução para este sistema tem
que ser feita numericamente sem utilizar a inversão numérica de B como feito para
domínios fixos. Testes foram feitos utilizando a função NDSolve do programa Mathematica [16], porém devido ao acoplamento na derivada temporal gerado pela matriz B ,
a solução numérica não foi possível, nem para baixas ordens de truncamento. Assim,
o teste da solução do problema de difusão com o domínio móvel não foi realizado,
4. Problemas unidimensionais em domínio móvel
38
sendo deixado como trabalho futuro para implementação utilizando uma rotina em
outro sistema operacional, como por exemplo a IVPAG do IMSL.
Capítulo 5
Problemas testes
Uma vez apresentada a solução formal para problemas de autovalor unidimensionais,
problemas de difusão unidimensionais e de problemas de difusão unidimensionais com
o domínio em movimento, os problemas testes utilizados na análise dos resultados
destas soluções são apresentados. Desta forma, para cada formulação proposta, um
conjunto de problemas teste e casos teste será definido.
Para o teste da solução de problemas de autovalor unidimensionais, este capítulo
apresenta quatro problemas, que correspondem a um versão simplificada do problema
de autovalor original com diferentes combinações de condições de contorno. Ainda,
dentro de cada problema teste, serão definidos quatro casos particulares que correspondem às diferentes combinações de contorno do problema de autovalor auxiliar.
No caso do teste da solução de problemas de difusão unidimensionais, três problemas escritos em coordenadas cartesianas e um problema escrito em coordenadas cilíndricas são escolhidos, sendo que cada problema é proposto com uma combinação única
de condições de contorno e condições iniciais. Para os problemas escritos no sistema
cartesiano, serão definidos três casos particulares que correspondem às diferentes combinações de contorno do problema de autovalor auxiliar. Entretanto, para o problema
escrito em coordenadas cilíndricas, será apresentado somente um caso particular.
Por fim, para o teste da solução de problemas de autovalor unidimensionais com
o domínio em movimento, somente um problema teste com quatro casos teste serão
39
5. Problemas testes
40
apresentados. Desta forma, as formas matemáticas dos coeficientes e equações serão
definidas de modo à facilitar a implementação dos mesmos no ambiente de desenvolvimento.
5.1
Solução de problemas de autovalor
5.1.1
Definição do problema teste simplificado
De maneira a testar a presente metodologia para a solução de problemas de autovalor unidimensionais, uma versão simplificada do problema original (Equação de
Helmholtz) foi selecionado:
Ψ00 (x) + µ2 Ψ(x) = 0,
para
a ≤ x ≤ b,
(5.1)
Desta forma, são definidas quatro diferentes combinações de condição de contorno
para o problema de autovalor original, como descrito abaixo.
• Problema teste 1: Condições de contorno de Dirichlet em ambos os lados.
Ψ(x) = 0,
para
x = a,
(5.2)
Ψ(x) = 0,
para
x = b,
(5.3)
• Problema teste 2: Condições de contorno de Dirichlet e Neumann.
Ψ(x) = 0,
para
x = a,
(5.4)
Ψ0 (x) = 0,
para
x = b,
(5.5)
• Problema teste 3: Condições de contorno de Dirichlet e Robin.
Ψ(x) = 0,
para
x = a,
(5.6)
Ψ(x) + Ψ0 (x) = 0,
para
x = b,
(5.7)
5. Problemas testes
41
• Problema teste 4: Condições de contorno de Neumann e Robin.
Ψ‘(x) = 0,
para
x = a,
(5.8)
Ψ(x) + Ψ0 (x) = 0,
para
x = b,
(5.9)
Os problemas teste 1 e 2 possuem solução analítica bem conhecida, que pode ser escrita
como:
Ψn (x) = sin(µn (x − a)),
µn =
nπ
.
b−a
Ψn (x) = sin(µn (x − a)),
µn =
onde
(5.10)
(5.11)
onde
(n − 1/2) π
.
b−a
(5.12)
(5.13)
Onde as equações (5.10) e (5.11) deverão ser utilizadas para o problema teste 1 e as
equações (5.12) e (5.13) deverão ser utilizadas para o problema teste 2. No caso do
problema teste 3, a solução pode ser escrita como:
Ψn (x) = sin(µn (x − a)),
(5.14)
onde µn é obtido pela solução da equação transcendental:
sin(µn (b − a)) + µn cos(µn (b − a)) = 0.
(5.15)
Para o problema teste 4, a solução pode ser escrita como:
Ψn (x) = cos(µn (x − a)),
(5.16)
5. Problemas testes
42
onde µn é obtido pela solução da equação transcendental:
cos(µn (b − a)) − µn sin(µn (b − a)) = 0.
(5.17)
Assim, o problema de autovalor auxiliar normalizado e similar ao problema original é
escolhido:
00
Ω∗ (x) + γ2 Ω∗ (x) = 0,
para
0 ≤ x ≤ 1,
(5.18)
B∗ Ω∗ (x) = 0,
para
x = 0,
(5.19)
B∗ Ω∗ (x) = 0,
para
x = 1,
(5.20)
onde o operador B∗ é definido como:
µ
¶
d
∗
∗
B ≡ α (x) + β (x) k(x)
.
dx
∗
(5.21)
Para os problemas teste escolhido e independentemente do tipo de condição de contorno selecionado, os coeficientes (2.25), (2.26) e (2.27), podem ser simplificados,
obtendo:
b
Z
Bi , j =
a
Ω∗j (x) Ω∗i (x) dx,
(5.22)
A i , j = −γ2j B i , j ,
(5.23)
D i , j = 0,
(5.24)
Os coeficientes onde estão contidos as informações do contorno (2.43), são reescritos
conforme o contorno do problema teste escolhido:
ix=b
h
0
S i , j = (Ω∗j (x) − Ω∗j (x)) Ω∗i (x)
,
(5.25)
x=a
h
i
0
0
S i , j = (Ω∗j (x) − Ω∗j (x)) Ω∗i (x)
x=b
h
i
0
− (Ω∗j (x) − Ω∗j (x)) Ω∗i (x)
x=a
,
(5.26)
5. Problemas testes
43
h
i
0
0
S i , j = (Ω∗j (x) − Ω∗j (x))(Ω∗i (x) + Ω∗i (x))
h
i
0
− (Ω∗j (x) − Ω∗j (x))Ω∗i (x)
x=b
x=a
,
(5.27)
Si , j
h
i
0
0
= (Ω∗j (x) − Ω∗j (x))(Ω∗i (x) + Ω∗i (x))
h
x=b
i
0
0
− (Ω∗j (x) − Ω∗j (x))Ω∗i (x)
x=a
,
(5.28)
onde as equações (5.25), (5.26), (5.27) e (5.28), se referem aos problemas teste 1, 2, 3
e 4, respectivamente.
Para os problemas teste propostos, quatro diferentes casos são selecionados, os
quais compreendem quatro combinações diferentes de contorno para o problema de
autovalor auxiliar. Desta forma, as diferentes condições de contorno e as autofunções
auxiliares resultantes, para cada caso selecionado, são descritas abaixo.
• Caso 1: Ω∗ (0) = Ω∗ (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 sin(γi x),
γi = i π,
i = 1, 2, . . .
(5.29)
• Caso 2: Ω∗ 0 (0) = Ω∗ (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 cos(γi x),
γi = (i − 1/2) π,
i = 1, 2, . . .
(5.30)
γi = (i − 1/2) π,
i = 1, 2, . . .
(5.31)
• Caso 3: Ω∗ (0) = Ω∗ 0 (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 sin(γi x),
• Caso 4: Ω∗ 0 (0) = Ω∗ 0 (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 cos(γi x),
Ωi (x) = 1,
γi = i π,
γi = 0,
(para
i = 1, 2, . . .
(5.32)
n = 0)
(5.33)
Para todos os problemas teste, cada um dos casos selecionados irá produzir valores
diferentes para os coeficientes de B i , j , como descrito abaixo:
5. Problemas testes
44
• Casos 1 e 3:
b
Z
Bi , j = 2
sin(γi x) sin(γ j x) dx =
a
·
=
b
Z
B i ,i = 2
a
sin((γi − γ j )x)
γi − γ j
−
sin((γi + γ j )x)
γi + γ j
sin(2γi x)
sin (γi x) dx = (b − a) −
2γi
·
2
¸x=b
(5.34)
x=a
¸x=b
(5.35)
x=a
• Casos 2 e 4:
Z
Bi , j = 2
b
a
cos(γi x) cos(γ j x) dx =
·
=
Z
B i ,i = 2
b
a
sin((γi + γ j )x)
γi + γ j
sin((γi − γ j )x)
+
γi − γ j
sin(2γi x)
cos (γi x) dx = (b − a) +
2γi
b
Z
B i ,0 = 2
a
Z
B 0, j = 2
·
2
sin(γi x)
cos(γi x) dx = 2
γi
·
b
a
·
cos(γ j x) dx = 2
B 0,0 = (b − a)
(5.36)
x=a
¸x=b
(5.37)
x=a
¸x=b
sin(γ j x)
γj
¸x=b
(5.38)
x=a
¸x=b
(5.39)
x=a
(5.40)
Já os coeficientes da matriz S i , j variam de acordo com o problema teste e com os casos
selecionados, como descrito abaixo:
• Problema teste 1
5. Problemas testes
45
1. Casos 1 e 3:
S i , j = 2 γ j (sin(γi b) cos(γ j b) − sin(γi a) cos(γ j a)) +
− 2 (sin(γ j b) sin(γi b) − sin(γ j a) sin(γi a)) (5.41)
S i ,i = 2 γi (sin(γi b) cos(γi b) +
− sin(γi a) cos(γi a)) − 2 (sin(γi b)2 − sin(γi a)2 ) (5.42)
2. Casos 2 e 4:
S i , j = −2 γ j (cos(γi b) sin(γ j b) − cos(γi a) sin(γ j a)) +
− 2 (cos(γi b) cos(γ j b) − cos(γi a) cos(γ j a)) (5.43)
S i ,i = −2 γi (cos(γi b) sin(γi b) +
− cos(γi a) sin(γi a)) − 2 (cos(γi b)2 − cos(γi a)2 ) (5.44)
S i ,0 = − 2 (cos(γi b) − cos(γi a))
S 0, j = −2 γ j (sin(γ j b) − sin(γ j a)) − 2 (cos(γi b) − cos(γi a))
S 0,0 = 0
(5.45)
(5.46)
(5.47)
• Problema teste 2
1. Casos 1 e 3:
S i , j = + 2 γi γ j cos(γ j b) cos(γi b) − 2 γi sin(γ j b) cos(γi b) +
− 2 γ j cos(γ j a) sin(γi a) + 2 sin(γ j a) sin(γi a) (5.48)
5. Problemas testes
46
S i ,i = + 2 (γi cos(γi b))2 +
− 2 γi sin(γi b) cos(γi b) − 2 γi cos(γi a) sin(γi a) + 2 sin(γi a)2 (5.49)
2. Casos 2 e 4:
S i , j = + 2 γ j γi sin(γ j b) sin(γi b) + 2 γi cos(γ j b) sin(γi b) +
+ 2 γ j sin(γ j a) cos(γi a) + 2 cos(γ j a) cos(γi a) (5.50)
S i ,i = + 2 (γi sin(γi b))2 + 2 γi cos(γi b) sin(γi b) +
+ 2 γi sin(γi a) cos(γi a) + 2 cos(γi a)2 (5.51)
S i ,0 = + 2 γi sin(γi b) + 2 cos(γi a)
(5.52)
S 0, j = + 2 γ j (sin(γ j a) + 2 cos(γ j a))
(5.53)
S 0,0 = 2
(5.54)
• Problema teste 3
1. Casos 1 e 3:
S i , j = 2 γ j cos(γ j b) sin(γi b) + 2 γi γ j cos(γ j b) cos(γi b) +
− 2 sin(γ j b) sin(γi b) − 2 γi sin(γ j b) cos(γi b) +
− 2 γ j cos(γ j a) sin(γi a) + 2 sin(γ j a) sin(γi a) (5.55)
S i ,i = + 2 (γi cos(γi b))2 − 2 sin(γi b)2 +
− 2 γi cos(γi a) sin(γi a) + 2 sin(γi a)2 (5.56)
5. Problemas testes
47
2. Casos 2 e 4:
S i , j = −2 γ j sin(γ j b) cos(γi b) − 2 cos(γ j b) cos(γi b) +
+ 2 γi γ j sin(γ j b) sin(γi b) + 2 γi cos(γ j b) sin(γi b) +
+ 2 γ j sin(γ j a) cos(γi a) + 2 cos(γ j a) cos(γi a) (5.57)
S i ,i = − 2 cos(γi b)2 + 2 γ2i sin(γi b)2 +
+ 2 γi sin(γi a) cos(γi a) + 2 cos(γi a)2 (5.58)
S i ,0 = − 2 cos(γi b) + 2 γi sin(γi b) + 2 cos(γi a)
(5.59)
S 0, j = − 2 γ j sin(γ j b) − 2 cos(γ j b) + 2 γ j sin(γ j a) + 2 cos(γ j a) (5.60)
S 0,0 = 0
(5.61)
• Problema teste 4
1. Casos 1 e 3:
S i , j = 2 γ j cos(γ j b) sin(γi b) + 2 γi γ j cos(γ j b) cos(γi b) +
− 2 sin(γ j b) sin(γi b) − 2 γi sin(γ j b) cos(γi b) +
− 2 γi γ j cos(γ j a) cos(γi a) + 2 γi sin(γ j a) cos(γi a) +
(5.62)
S i ,i = 2 (γi cos(γi b))2 − 2 sin(γi b)2 +
− 2 (γi cos(γi a))2 + 2 γi sin(γi a) cos(γi a) (5.63)
5. Problemas testes
48
2. Casos 2 e 4:
S i , j = −2 γ j sin(γ j b) cos(γi b) − 2 cos(γ j b) cos(γi b) +
+ 2 γi γ j sin(γ j b) sin(γi b) + 2 γi cos(γ j b) sin(γi b) +
− 2 γ j γi sin(γ j a) sin(γi a) + 2 γi cos(γ j a) sin(γi a) (5.64)
S i ,i = − 2 cos(γi b)2 + 2 γ2i sin(γi b)2 +
− 2 γ2i sin(γi a)2 + 2 γi cos(γi a) sin(γi a) (5.65)
S i ,0 = − 2 cos(γi b) + 2 γi sin(γi b) + 2 γi sin(γi a)
(5.66)
S 0, j = − 2 γ j sin(γ j b) − 2 cos(γ j b)
(5.67)
S 0,0 = −2
(5.68)
5.2
Solução de problemas de difusão
5.2.1
Problema em coordenadas cartesianas
De maneira a ilustrar a presente metodologia de solução de problemas de difusão unidimensional, uma versão simplificada do problema de difusão unidimensional generalizado é considerado:
∂T (x ∗ , t ∗ )
∂2 T (x ∗ , t ∗ )
=
,
∂t ∗
∂x 2
para
a ≤ x ∗ ≤ b,
(5.69)
onde
t∗ =
tα
.
(b − a)2
(5.70)
5. Problemas testes
49
Este problema tem uma solução analítica bem conhecida e pode ser escrita como:
∗
∞
X
∗
T (x , t ) =
¡R 1
0
f (x ∗ ) Ψn (x ∗ ) dx
n=1
¢
N (µn )
¡
¢
exp −µ2n t ∗ Ψn (x ∗ ).
(5.71)
Uma vez conhecidas as condições de contorno, o problema é resolvido facilmente.
Desta forma, com o intuito de enriquecer o estudo, serão considerados, analisados
e comparados três combinações de contorno e condição inicial diferentes, definidos
como descrito abaixo.
• Problema teste 5
T (0, t ∗ ) = φ(0, t ∗ ) = 0,
para
x ∗ = 0,
(5.72)
T (1, t ∗ ) = φ(1, t ∗ ) = 0,
para
x ∗ = 1,
(5.73)
T (x ∗ , 0) = 1,
para
0 ≤ x ∗ ≤ 1,
(5.74)
• Problema teste 6
T (0, t ∗ ) = φ(0, t ∗ ) = 0,
para
x ∗ = 0,
(5.75)
∂T (1, t )
= φ(1, t ∗ ) = 0,
∂x
para
x ∗ = 1,
(5.76)
para
0 ≤ x ∗ ≤ 1,
(5.77)
∗
T (x ∗ , 0) = 1,
• Problema teste 7
T (0, t ∗ ) = φ(0, t ∗ ) = 0,
para
x ∗ = 0,
(5.78)
T (1, t ∗ ) = φ(1, t ∗ ) = 0,
para
x ∗ = 1,
(5.79)
T (x ∗ , 0) = x ∗ ,
para
0 ≤ x ∗ ≤ 1,
(5.80)
Onde as autofunções (Ψn (x ∗ )), os autovalores µn e a norma N (µn ), para os problemas
teste 5, 6 e 7, podem ser escritos como:
5. Problemas testes
50
• Para o problema teste 5 e 7
Ψn (x ∗ ) = sin(µn x ∗ )
Z 1
N (µn ) =
Ψn (x ∗ )2 dx ∗
(5.82)
µn = n π
(5.83)
Ψn (x ∗ ) = sin(µn x ∗ )
Z 1
N (µn ) =
Ψn (x ∗ )2 dx ∗
(5.84)
(5.81)
0
• Para o problema teste 6
(5.85)
0
1
µn = (n − ) π
2
(5.86)
De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de
autovalor auxiliar (com autofunções normalizadas) similar as do problema original é
escolhido:
Ω00 (x) + γ2 Ω(x) = 0,
para
0 ≤ x ≤ 1,
(5.87)
B∗ Ω = 0,
para
x = 0,
(5.88)
B∗ Ω = 0,
para
x = 1,
(5.89)
Onde o operador B∗ é definido como:
µ
¶
d
∗
∗
B ≡ α (x) + β (x) k(x)
.
dx
∗
(5.90)
Apesar da equação (5.87) ser definida de maneira similar ao problema original, o
domínio é definido de modo a obter 0 ≤ a ≤ x ≤ b ≤ 1, onde a ≤ x ≤ b é o domínio
do problema original e 0 ≤ x ≤ 1 é o domínio do problema envolvente. Assim, diferentes combinações de condições de contorno para Ωi (x) são analisados e comparados,
conforme descrito abaixo:
5. Problemas testes
51
• Caso 1: Ω(0) = Ω(1) = 0.
Ωi (x) =
p
2 sin(γi x),
γi = n π,
n = 1, 2, . . .
(5.91)
• Caso 2: Ω0 (0) = Ω(1) = 0.
Ωi (x) =
p
2 cos(γi x),
γi = (n − 1/2) π,
n = 1, 2, . . .
(5.92)
γi = (n − 1/2) π,
n = 1, 2, . . .
(5.93)
• Caso 3: Ω(0) = Ω0 (1) = 0.
Ωi (x) =
p
2 sin(γi x),
Neste ponto é interessante observar que, diferentemente da análise da metodologia
proposta na solução de problemas de autovalor unidimensionais generalizado, o caso
4, onde o contorno em ambos os lados são considerados do segundo tipo (Neumann),
não é considerado.
No caso dos coeficientes dados pelas equações (3.27), (3.28) e (3.29), independente
do tipo de condição de contorno utilizado, são simplificados, fornecendo:
Z
Bi , j =
b
a
Ω j Ωi dx,
(5.94)
A i , j = −γ2j B i , j ,
(5.95)
D i , j = 0,
(5.96)
Já o coeficiente S i , j , dado pela equação (3.50), varia de acordo com o tipo de contorno escolhido para o problema teste. Desta forma, para os problemas teste 5 e 7, o
coeficiente pode ser escrito como:
h
ix=b
S i , j = (Ω0j − Ω j )Ωi
.
x=a
(5.97)
5. Problemas testes
52
Já para o problema teste 6, o coeficiente S i , j pode ser escrito como:
i
h
S i , j = (Ω0j − Ω j )Ω0i
x=b
h
i
− (Ω0j − Ω j )Ωi
x=a
.
(5.98)
Quando levado em conta o contorno do problema de autofunção auxiliar normalizado,
os coeficientes (3.27, 3.28, 3.29 e 3.50) são simplificados novamente. No caso do
problema teste 5 e 7, os coeficientes são dados pelas equações (5.1.1 e 5.1.1). Já no
caso do problema teste 6, os coeficientes são dados pelas equações (5.1.1 e 5.1.1).
5.2.2
Problema em coordenadas cilíndricas
O problema de difusão unidimensional simplificado na forma cilíndrica, pode ser escrito como:
µ
¶
∂
∂T (r, t ∗ )
∂T (r, t ∗ )
=
r
,
∂t ∗
∂r
∂r
para
r a ≤ r ≤ rb ,
(5.99)
Onde t ∗ = t α. Este problema é facilmente obtido fazendo as seguintes transformações
na equação do problema da difusão unidimensional generalizado (3.1) na forma cartesiana:
w(x) = r
d (x) = 0
k(x) = r
P (x, t ) = 0
x 7→ r
(5.100)
σ(t ) = 0
(5.101)
Este problema tem uma solução analítica bem conhecida e esta pode ser escrita como:
∗
T (r, t ) =
∞
X
n=1
¡ R rb
ra
r f (r ) Ψn (r ) dr
N (µn )
¢
¡
¢
exp −µ2n t ∗ Ψn (r ).
(5.102)
5. Problemas testes
53
Assim, o problema de autovalor correspondente é escrito como:
µ
¶
dΨ(r )
d
r
+ µ2 r Ψ(r ) = 0,
dr
dx
para
ra ≤ x ≤ rb ,
(5.103)
B Ψ(r ) = 0,
para
r = ra,
(5.104)
B Ψ(r ) = 0,
para
r = rb ,
(5.105)
onde o operador B é definido como:
µ
¶
d
B ≡ α(r ) + β(r ) r
.
dr
∗
(5.106)
Sendo que o operador de contorno é descrito na equação (2.4). Similarmente ao problema cartesiano, uma vez conhecido as condições de contorno, o problema é resolvido
facilmente. Desta forma, serão apresentados dois problemas testes que compreendem
duas combinações de contorno diferente, definidos como:
• Problema teste 8
T (r b , t ∗ ) = φ(r b , t ∗ ) = 0,
T (r, 0) = 1,
para
r = rb ,
(5.107)
para
0 ≤ r ≤ rb ,
(5.108)
Sendo que os problemas testes foram definidos considerando a condição de contorno
no centro do cilindro como:
¯
¯
¯T (0, t ∗ )¯ < ∞
(5.109)
que implica que o potencial T no raio zero não pode ser infinito. Assim, as autofunções
(Ψn (r )) e norma (N (µn )) para os problemas teste 8, pode ser escrito como:
Ψn (r ) = J 0 (µn r )
N (µn ) =
¢
1 2¡
r J 0 (µn r ) + J 1 (µn r )
2
(5.110)
(5.111)
5. Problemas testes
54
Onde J ν (µn r ) é a função de Bessel de ordem ν de primeiro tipo [34]. Os autovalores
µn são obtidos pela solução da seguinte equação:
J 0 (µn r b ) = 0.
(5.112)
De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de
autofunções auxiliares normalizado e similar ao problema original é escolhido:
00
0
r Ω∗ (r ) + Ω∗ (r ) + γ2 r Ω∗ (r ) = 0,
para
0 ≤ r ≤ 1,
(5.113)
B∗ Ω∗ (r ) = 0,
para
r = 0,
(5.114)
B∗ Ω∗ (r ) = 0,
para
r = 1,
(5.115)
Onde o operador B∗ é definido como:
µ
¶
d
∗
∗
B ≡ α (r ) + β (r ) r
.
dr
∗
(5.116)
Apesar da equação (5.113) ser definida de maneira similar ao problema original, o
domínio é definido de modo a obter 0 ≤ r a ≤ r ≤ r b ≤ 1, onde r a ≤ r ≤ r b é o
domínio do problema original e 0 ≤ r ≤ 1 é o domínio do problema envolvente. No
caso particular para r = 0 a condição de contorno nas coordenadas cilíndricas deve ser:
| Ω∗ (0)| < ∞
(5.117)
Assim, um caso de condições de contorno para Ω∗i (r ) é apresentado:
• Caso 1: Ω∗ (1) = 0.
J o (γi r )
Ω∗i (r ) = p
N (γi )
J o (γi ) = 0,
i = 1, 2, . . .
(5.118)
5. Problemas testes
55
Independente do tipo de condição de contorno utilizado nos problemas teste, os coeficientes dados pelas equações (3.27), (3.28) e (3.29) são simplificados, fornecendo:
rb
Z
Bi , j =
0
r Ω j (r ) Ωi (r ) dr
(5.119)
A i , j = −γ2j B i , j
(5.120)
D i , j = 0,
(5.121)
Assim, quando considerado o caso teste, os coeficientes da matriz B i , j e S i , j podem
ser reescritas como:
Bi , j
1
=
N (γi )
rb
Z
0
r J 0 (γi r ) J 0 (γ j r ) dr,
(5.122)
S i , j = (J 00 (γ j r b ) − J 0 (γ j r b ))J 0 (γi r b ) − (J 00 (γ j r a ) − J 0 (γ j r a ))J 0 (γi r a )
(5.123)
S i ,i = (J 00 (γi r b ) − J 0 (γi r b ))J 0 (γi r b ) − (J 00 (γi r a ) − J 0 (γi r a ))J 0 (γi r a )
(5.124)
5.3
5.3.1
S i ,0 = 0
(5.125)
S 0, j = (J 00 (γ j r b ) − J 0 (γ j r b )) − (J 00 (γ j r a ) − J 0 (γ j r a ))
(5.126)
S 0,0 = 0
(5.127)
Solução de problemas de autovalor em domínio móvel
Definição do problema teste
De maneira a ilustrar a presente metodologia, uma versão simplificada do problema de
autovalor unidimensional com domínio em movimento generalizado, aqui chamado de
5. Problemas testes
56
problema teste 9, é considerado:
∂2
Ψn (x, t ) + µ2n Ψn (x, t ) = 0
∂x 2
para
a(t ) ≤ x ≤ b(t ),
(5.128)
Ψ(a(t ), t ) = 0
para
x = a(t ),
(5.129)
Ψ(b(t ), t ) = 0
para
x = b(t ),
(5.130)
A solução deste problema é analítica e é escrita da seguinte forma:
Ψn (x, t ) = sin(µn (x − a(t ))),
µn =
(5.131)
nπ
.
b(t ) − a(t )
(5.132)
De maneira a resolver o problema utilizando a metodologia proposta, um problema de
autofunções auxiliares normalizadas e similar ao problema original é escolhido:
Ω00 (x) + γ2 Ω(x) = 0,
para
0 ≤ x ≤ 1,
(5.133)
B∗ Ω = 0,
para
x = 0,
(5.134)
B∗ Ω = 0,
para
x = 1,
(5.135)
Onde o operador B∗ é definido como:
µ
¶
d
∗
∗
B ≡ α (x) + β (x) k(x)
.
dx
∗
(5.136)
Apesar da equação (5.133) ser definida de maneira similar ao problema original, o
domínio é definido de modo a obter 0 ≤ a(t ) ≤ x ≤ b(t ) ≤ 1, onde a(t ) ≤ x ≤ b(t )
é o domínio do problema original e 0 ≤ x ≤ 1 é o domínio do problema envolvente.
Assim, diferentes combinações de condições de contorno para Ωi (x) são analisados e
comparados, conforme descrito abaixo:
• Caso 1: Ω∗ (0) = Ω∗ (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 sin(γi x),
γi = i π,
i = 1, 2, . . .
(5.137)
5. Problemas testes
57
• Caso 2: Ω∗ 0 (0) = Ω∗ (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 cos(γi x),
γi = (i − 1/2) π,
i = 1, 2, . . .
(5.138)
γi = (i − 1/2) π,
i = 1, 2, . . .
(5.139)
• Caso 3: Ω∗ (0) = Ω∗ 0 (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 sin(γi x),
• Caso 4: Ω∗ 0 (0) = Ω∗ 0 (1) = 0.
Ω∗i (x) =
p
2 cos(γi x),
γi = i π,
Ωi (x) = 1,
γi = 0,
i = 1, 2, . . .
(para
n = 0)
(5.140)
(5.141)
No caso dos coeficientes dados pelas equações (4.14), (4.15), (4.16) e (4.17), independente do tipo de condição de contorno utilizado, são simplificados, fornecendo:
b(t )
Z
Bi , j =
a(t )
Ω j Ωi dx,
(5.142)
A i , j = −γ2j B i , j ,
(5.143)
D i , j = 0,
(5.144)
h
S i , j = (Ω0j − Ω j )Ωi
ix=b
x=a
.
(5.145)
Para o casos teste selecionado, cada um dos casos selecionados irão produzir valores
diferentes para os coeficientes de B i , j , como descrito abaixo:
• Casos 1 e 3:
Z
Bi , j = 2
b(t )
a(t )
Z
B i ,i = 2
sin(γi x) sin(γ j x) dx
b(t )
a(t )
sin2 (γi x) dx
(5.146)
(5.147)
5. Problemas testes
58
• Casos 2 e 4:
Z
Bi , j = 2
b(t )
cos(γi x) cos(γ j x) dx
a(t )
Z
B i ,i = 2
B i ,0 = 2
B 0, j = 2
b(t )
(5.148)
cos2 (γi x) dx
(5.149)
cos(γi x) dx
(5.150)
cos(γ j x) dx
(5.151)
a(t )
Z b(t )
a(t )
Z b(t )
a(t )
B 0,0 = (b(t ) − a(t )).
(5.152)
Assim, o mesmo ocorre com os coeficientes da matriz S i , j , como descrito abaixo:
• Casos 1 e 3:
S i , j = 2 γ j (sin(γi b(t )) cos(γ j b(t )) − sin(γi a(t )) cos(γ j a(t ))) +
− 2 (sin(γ j b(t )) sin(γi b(t )) − sin(γ j a(t )) sin(γi a(t ))) (5.153)
S i ,i = 2 γi (sin(γi b) cos(γi b) +
− sin(γi a(t )) cos(γi a(t ))) − 2 (sin(γi b)2 − sin(γi a(t ))2 ) (5.154)
• Casos 2 e 4:
S i , j = −2 γ j (cos(γi b(t )) sin(γ j b(t )) − cos(γi a(t )) sin(γ j a(t ))) +
− 2 (cos(γi b(t )) cos(γ j b(t )) − cos(γi a(t )) cos(γ j a(t ))) (5.155)
S i ,i = −2 γi (cos(γi b(t )) sin(γi b(t )) +
− cos(γi a(t )) sin(γi a(t ))) − 2 (cos(γi b(t ))2 − cos(γi a(t ))2 ) (5.156)
5. Problemas testes
59
S i ,0 = − 2 (cos(γi b(t )) − cos(γi a(t )))
(5.157)
S 0, j = −2 γ j (sin(γ j b(t )) − sin(γ j a(t ))) − 2 (cos(γi b(t )) − cos(γi a(t )))
(5.158)
S 0,0 = 0
(5.159)
Assim, foram apresentados os problemas testes e casos testes para todas as soluções
apresentadas nos capítulos anteriores, exceto para o caso do problema de difusão
unidimensional com o domínio móvel. Desta forma, soluções para todos os problemas aqui apresentados foram implementadas no ambiente de desenvolvimento Mathematica [16] utilizando computação simbólica e numéricas e os resultados produzidos
foram analisados e comparados, como apresentado no capítulo seguinte.
Capítulo 6
Resultados e discussão
A solução de problemas de autovalor unidimensionais e difusão unidimensionais pela
TDE, apresentada nos capítulos anteriores, foi implementada no programa Mathematica [16] e é agora apresentada. Assim, de modo a obter uma melhor compreensão dos
resultados, a análise foi realizada levando em conta duas fases: a primeira teve como
objetivo analisar a convergência dos resultados e a segunda, teve como objetivo, uma
análise comparativa entre os problemas testes e os casos selecionados.
Para isso, serão apresentados as seguintes variáveis: A ordem de truncamento, a
precisão de trabalho e o domínio do problema. A ordem de truncamento, aqui representada como i max é o numero de autovalores e autovetores utilizado no cálculo da
solução. Já a precisão de trabalho, aqui representada como WP (WorkingPrecision1 )
é o número de dígitos decimais usado nos computadores na realização dos cálculos
matemáticos. É sabido que a precisão padrão dos computadores é de aproximadamente
dezesseis casa decimais (para representação em ponto flutuante com 16 bits), entretanto, nem sempre essa precisão foi o suficiente para obter um resultado satisfatório.
Por último, o domínio do problema original é variado para se obter basicamente dois
casos: um domínio envolvente próximo ao domínio original (a = 0.1 e b = 0.9) e um
domínio envolvente longe do domínio original (a = 0.25 e b = 0.75). Ainda, devido às
1
Esta variável é definida no Mathematica controlando o número de dígitos decimais utilizados em
operações aritméticas computacional.
60
6. Resultados e discussão
61
características de cada problema estudado, novas variáveis serão definidas e analisadas
e, se for o caso, comparadas.
6.1
Problema de autovalor
Os resultados do problema de autovalor unidimensional serão apresentados na forma
de tabelas, onde somente os primeiros dez autovalores são calculados e comparados
com a solução exata, obtidas pela equação (5.10) e (5.12), para diferentes ordens de
truncamento (i max ) e diferentes valores de precisão (WorkingPrecision – WP).
As Tabelas 6.1, 6.2, 6.3 e 6.4 apresentam resultados calculados para os casos 1,2,3
e 4, respectivamente, usando o contorno como: a = 0.25 e b = 0.75. Como pode ser
observado, os primeiros autovalores convergem mais rápido que os últimos. Ainda,
é observado que com o aumento da ordem de truncamento, a precisão requerida também é aumentada. Portanto, é observada uma convergência com ambas as ordens de
truncamento e precisão.
Em seguida, as tabelas 6.5, 6.6, 6.7 e 6.8 apresentam resultados dos cálculos para os
mesmos quatro casos, sendo a = 0.1 e b = 0.9. Analisando esses resultados novamente,
observa-se que para garantir a convergência de grandes ordens de truncamento, uma
maior precisão numérica é requerida. Ainda, conforme a tabela anterior, os primeiros
autovalores convergem mais rápidos que os últimos.
Comparando a taxa de convergência resultante dos quatro problemas teste, é observado que todos os casos apresentam o mesmo comportamento com respeito à ordem de
truncamento. Entretanto, diferentes valores de precisão são requeridos para cada caso.
Para a = 0.25 e b = 0.75, o caso 4 apresenta a pior taxa de convergência com respeito à
precisão. Isso pode ser visto uma vez que para 40 autovalores calculados, é necessário
uma precisão numérica de cinqüenta casas decimais para obter a convergência dos dez
primeiros autovalores. Já o caso 1, possuiu uma taxa de convergência ruim, entretanto
um pouco melhor que o caso 4. Os casos 2 e 3 apresentam taxas de convergência
similares com respeito à precisão, com o caso 2 tendo a melhor performance.
Repetindo a analise para a = 0.1 e b = 0.9, é observado que menor disparidade
6. Resultados e discussão
62
entre os casos, entretanto, pode ser observado que o caso 4, novamente, é a pior opção.
Além disso, comparando os resultados dos dois diferentes domínios (dados por a e b )
é observado que o domínio com a = 0.25 e b = 0.75 necessita de maiores valores de
precisão para se obter a convergência. Isso sugere que usando o domínio envolvente
próximo do domínio do problema real pode levar a uma melhor convergência.
O caso com o domínio envolvente próximo ao domínio original (a = 0.1 e b = 0.9)
apresenta uma taxa de convergência que pode ser separada em duas partes. A primeira
é utilizando uma ordem de truncamento baixa, isto é, para i max ≤ 25. Neste caso,
mesmo com uma precisão de vinte casas decimais, não é possível verificar uma convergência para o primeiro autovalor . Agora, analisando uma ordem de truncamento
alta, isto é i max ≥ 25, pode-se observar que a precisão necessária para obter a convergência dos dez primeiros autovalores é baixa (W P = 20) quando comparada com o
caso do domínio envolvente longe do domínio original. Já o caso com o domínio envolvente longe do domínio original (a = 0.25 e b = 0.75) é exatamente o contrário do
discorrido acima. Para pequenas ordens de truncamento é possível observar uma convergência relativamente boa para os primeiros autovalores, sendo que utilizando uma
precisão maior. Tal comportamento pode ser observado nas tabelas 6.9, 6.10, onde são
apresentado os erros para dos primeiros dez autovalores, usando o contorno original
afastado do domínio envolvente (a = 0.25 e b = 0.75) e o contorno original próximo
ao domínio envolvente (a = 0.1 e b = 0.9), respectivamente. Portanto, esses dados
sugerem que para um dado problema, uma análise qualitativa pode ser feita com um
pequeno custo computacional se utilizado um domínio envolvente longe do domínio
original. Já no caso de uma analise quantitativa, os dados sugerem que se utilizando
um domínio envolvente próximo ao domínio original obtém-se melhores resultados.
Para os problemas teste 2,3 e 4, que foram definidos anteriormente, não foram
observados grandes discrepâncias ao observado para o problema teste 1, de modo que
não é possível determinar se um problema teste é melhor que outro ou se um caso teste
é sempre melhor que outro, independentemente do problema teste escolhido. Assim,
os resultados desses problemas testes estão apresentados no apêndice A.
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
10
20
15
20
20
25
20
25
25
25
30
30
25
30
30
30
35
35
30
35
35
35
40
40
35
40
40
40
45
Exato
i max
µ2
157.914
157.914
157.914
0.00000
157.914
157.914
0.00000
631.655
157.914
157.914
141.347
157.914
157.914
157.914
157.914
140.236
128.314
157.914
138.933
124.098
157.914
157.914
µ1
45.1740
39.4785
39.4785
0.00000
146.278
39.4784
0.00000
157.914
39.4784
21.0530
15.5066
39.4784
38.3729
38.7866
39.4784
15.6147
14.2651
39.4784
16.3457
13.8189
39.4784
39.4784
430.263
355.307
355.307
0.00000
399.829
355.306
0.00000
1421.22
355.306
171.012
157.914
355.306
357.132
354.758
355.306
157.914
157.914
355.306
157.914
157.914
355.306
355.306
µ3
631.655
631.655
631.655
0.00000
631.655
631.655
0.00000
2526.62
526.473
631.655
592.704
631.655
631.655
631.655
631.655
406.538
357.453
631.655
398.654
343.365
631.655
631.655
µ4
791.499
987.775
987.775
0.00000
752.438
986.960
0.00000
3947.84
631.655
794.453
631.655
986.960
996.811
989.977
986.960
631.655
631.655
986.960
631.655
631.655
986.960
986.960
µ5
1870.17
2838.00
2838.00
0.00000
1421.22
1934.44
0.00000
−3.2×107
1421.22
1421.22
1421.22
1934.44
1421.22
1421.22
1934.44
1421.22
1421.22
1934.44
1421.22
1421.22
1934.44
1934.44
−3.7×106
986.961
1278.33
1103.34
1421.22
1218.13
1216.39
1421.22
1276.61
991.396
1421.22
781.245
670.846
1421.22
1421.22
µ7
1428.35
1427.89
1427.89
0.00000
1177.78
1421.22
0.00000
µ6
1905.14
1752.42
1622.11
2526.62
Complexo
Complexo
2526.62
Complexo
1568.08
2526.62
1846.90
1523.94
2526.62
2526.62
−7.8×107
4131.51
4131.72
4131.72
0.00000
1558.95
2527.36
0.00000
µ8
1934.44
Complexo
2200.33
3197.75
Complexo
Complexo
3197.75
Complexo
2164.52
3197.75
2522.28
2147.03
3197.75
3197.75
1.4×108
-10214.8
-11282.8
-11282.8
0.00000
2217.67
3201.50
0.00000
µ9
Tab. 6.1: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.25 e b = 0.75.
2526.62
Complexo
2526.62
3947.84
1934.86
1935.08
3947.84
1847.84
2526.62
3947.84
2526.62
2526.62
3947.84
3947.84
4.4×108
-17395.1
-17410.3
-17410.3
0.00000
2527.55
4257.65
0.00000
µ10
6. Resultados e discussão
63
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
10
20
15
20
20
25
15
25
20
25
25
30
15
30
20
30
25
35
20
35
25
35
30
40
25
40
30
40
35
Exato
i max
µ2
157.914
157.914
157.914
158.513
157.914
157.914
Complexo
157.308
157.914
Complexo
161.357
157.914
181.682
170.573
157.914
Complexo
160.347
157.914
168.375
157.840
157.914
157.914
39.4785
39.4785
39.4785
41.0026
39.4784
39.4784
Complexo
37.0887
39.4784
Complexo
33.5367
39.4784
91.3830
85.2149
39.4784
Complexo
33.4499
39.4784
83.3932
39.3985
39.4784
39.4784
µ4
355.306 631.656
355.306 631.656
355.306 631.656
362.807 531.261
355.306 631.655
355.306 631.655
384.495 Complexo
355.472 633.063
355.306 631.655
364.694 Complexo
369.527 485.432
355.306 631.655
344.387 564.878
310.121 524.265
355.306 631.655
340.455 Complexo
378.815 449.241
355.306 631.655
303.568 516.647
355.435 631.716
355.306 631.655
355.306 631.655
µ3
988.289
988.289
988.289
693.264
986.960
986.960
Complexo
986.791
986.960
Complexo
673.386
986.960
724.503
690.203
986.960
Complexo
663.243
986.960
683.333
986.934
986.960
986.960
µ5
1445.59
1445.60
1445.60
962.556
1421.22
1421.22
Complexo
1422.47
1421.22
Complexo
985.955
1421.22
1040.72
966.537
1421.22
Complexo
993.985
1421.22
955.221
1421.23
1421.22
1421.22
µ6
2847.55
2847.55
2847.55
1268.27
1934.44
1934.44
Complexo
1936.07
1934.44
Complexo
1292.48
1934.44
1329.26
1293.09
1934.44
Complexo
1269.98
1934.44
1285.02
1934.49
1934.44
1934.44
µ7
µ9
4591.13 -11188.2
4591.12 -11188.2
4591.12 -11188.2
1521.44 1875.95
2527.64 3211.02
2527.64 3211.02
1284.07 2244.81
2509.97 3195.94
2526.62 3197.75
1159.25 Complexo
1531.65 1908.99
2526.62 3197.75
1553.06 2123.19
1533.70 1840.69
2526.62 3197.75
1094.50 Complexo
1514.56
1901.3
2526.62 3197.75
1527.76 1933.17
2526.63 3197.77
2526.62 3197.75
2526.62 3197.75
µ8
Tab. 6.2: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com a = 0.25 e b = 0.75.
µ1
-20924.4
-20924.4
-20924.4
2582.95
4265.45
4265.45
2464.15
Complexo
3947.84
Complexo
2327.62
3947.84
2602.45
2306.27
3947.84
Complexo
2365.77
3947.84
2365.58
3947.93
3947.84
3947.84
µ10
6. Resultados e discussão
64
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
10
20
15
20
20
25
15
25
20
25
25
30
15
30
20
30
25
35
20
35
25
35
30
40
25
40
30
40
35
Exato
i max
µ2
157.914
157.914
157.914
160.086
157.914
157.914
174.641
158.314
157.914
Complexo
161.354
157.914
178.790
170.571
157.914
Complexo
160.346
157.914
168.375
157.919
157.914
157.914
39.4785
39.4785
39.4785
38.6644
39.4784
39.4784
89.5080
36.6261
39.4784
Complexo
33.5397
39.4784
94.0018
85.2178
39.4784
Complexo
33.4512
39.4784
83.3945
39.4768
39.4784
39.4784
µ4
355.306 631.656
355.306 631.656
355.306 631.656
362.555 529.058
355.306 631.655
355.306 631.655
323.034 536.539
354.733 631.013
355.306 631.655
368.849 Complexo
369.529 485.441
355.306 631.655
344.758 563.233
310.121 524.270
355.306 631.655
320.479 Complexo
378.814 449.246
355.306 631.655
303.568 516.650
355.297 631.665
355.306 631.655
355.306 631.655
µ3
988.286
988.286
988.286
694.100
986.960
986.960
701.244
986.346
986.960
Complexo
673.379
986.960
723.504
690.199
986.960
Complexo
663.240
986.960
683.330
986.953
986.960
986.960
µ5
1445.67
1445.67
1445.67
962.579
1421.22
1421.22
988.377
1421.08
1421.22
Complexo
985.965
1421.22
1040.21
966.537
1421.22
Complexo
993.988
1421.22
955.223
1421.22
1421.22
1421.22
µ6
2843.31
2843.31
2843.31
1267.03
1934.44
1934.44
1302.31
1931.47
1934.44
Complexo
1292.49
1934.44
1327.29
1293.09
1934.44
Complexo
1269.99
1934.44
1285.02
1934.45
1934.44
1934.44
µ7
µ9
4598.02
-11379.6
4598.01
-11379.6
4598.01
-11379.6
1526.430 1858.45
2527.640 3211.03
2527.640 3211.03
1483.40
1962.77
2513.25
3218.03
2526.62
3197.75
1195.53 Complexo
1531.65
1909.00
2526.62
3197.75
1551.82
2077.80
1533.69
1840.65
2526.62
3197.75
1156.36 Complexo
1514.55
1901.31
2526.62
3197.75
1527.76
1933.18
2526.61
3197.76
2526.62
3197.75
2526.62
3197.75
µ8
Tab. 6.3: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com a = 0.25 e b = 0.75.
µ1
-20672.9
-20672.9
-20672.9
2617.51
4265.22
4265.22
2368.9
Complexo
3947.84
Complexo
2327.64
3947.84
2125.26
2306.30
3947.84
Complexo
2365.77
3947.84
2365.58
3947.83
3947.84
3947.84
µ10
6. Resultados e discussão
65
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
20
20
25
20
30
25
25
25
30
25
35
30
30
30
35
30
40
35
30
35
35
35
40
35
45
40
35
40
40
40
45
40
50
Exato
i max
µ2
157.914
157.914
157.914
0.00000
157.929
157.914
54.4207
161.282
157.914
228.040
181.361
157.914
58.6220
50.2357
157.914
162.407
57.6807
49.1781
157.914
154.071
158.292
157.914
157.914
157.914
µ1
39.4784
39.4784
39.4784
0.00000
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
355.306
355.306
355.306
0.00000
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
228.907
200.245
355.306
-294.321
230.039
195.608
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
µ3
462.612
631.655
631.655
0.00000
579.800
631.655
440.617
631.343
631.655
523.084
431.917
631.655
355.306
355.306
631.655
355.306
355.306
355.306
631.655
629.829
631.055
488.246
631.655
631.655
µ4
631.656
991.157
991.157
0.00000
631.673
986.960
780.577
986.960
986.960
913.851
767.766
986.960
843.555
755.221
986.960
Complexo
518.566
436.430
986.960
717.867
717.213
631.655
986.960
986.960
µ5
1454.72
1438.79
1438.79
0.00000
986.960
1421.22
986.960
1419.57
1421.22
986.960
986.960
1421.22
986.960
986.960
1421.22
Complexo
986.960
986.960
1421.22
986.960
986.960
986.960
1421.22
1421.22
µ6
4693.00
3151.59
3151.58
0.00000
1364.18
1934.44
1187.76
1934.44
1934.44
1314.41
1179.77
1934.44
1235.91
1170.42
1934.44
Complexo
1287.03
1164.96
1934.44
1420.60
1430.17
1353.18
1934.44
1934.44
µ7
7079.47
4587.22
4587.22
0.00000
1421.18
2529.18
1597.77
2531.11
2526.62
1702.49
1663.21
2526.62
Complexo
1655.58
2526.62
Complexo
1742.94
1653.63
2526.62
Complexo
1784.95
1421.22
2526.62
2526.62
µ8
-17260.3
-13811.2
-13811.2
0.00000
1934.44
3206.93
1934.44
3197.75
3197.75
1934.44
1934.44
3197.75
Complexo
1934.44
3197.75
986.960
Complexo
1934.44
3197.75
Complexo
1934.44
1934.44
3197.75
3197.75
µ9
Tab. 6.4: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com a = 0.25 e b = 0.75.
µ10
-20874.3
-20802.4
-20802.4
0.00000
2546.74
4382.92
2213.75
3981.01
3947.84
2771.26
2164.30
3947.84
1682.74
2041.51
3947.84
1508.39
Complexo
2214.51
3947.84
1761.45
2527.32
2510.83
3947.84
3947.84
6. Resultados e discussão
66
µ2
64.3669
64.3669
64.3669
61.7999
61.7999
61.7999
61.6873
61.6873
61.6873
61.6795
61.6852
61.6852
113.673
61.6851
61.6851
1172.81
61.6851
61.6851
0.00000
61.6856
61.6850
61.685
µ1
18.5866
18.5866
18.5866
15.4371
15.4371
15.4371
15.4224
15.4224
15.4224
15.4811
15.4213
15.4213
40.4698
15.4213
15.4213
986.960
15.4213
15.4213
0.00000
12.6519
15.4213
15.4213
-89.5586
-89.5586
-89.5586
138.904
138.904
138.904
138.799
138.799
138.799
138.234
138.791
138.791
204.035
138.791
138.791
1639.92
138.791
138.791
0.00000
119.455
138.791
138.791
µ3
151.764
151.764
151.764
247.054
247.054
247.054
246.746
246.746
246.746
246.739
246.741
246.741
407.534
246.740
246.740
1902.37
246.740
246.740
0.00000
246.739
246.740
246.740
µ4
252.976
252.976
252.976
385.702
385.702
385.702
385.543
385.543
385.543
385.414
385.532
385.532
728.753
385.531
385.531
2091.16
385.531
385.531
0.00000
555.167
385.531
385.531
µ5
399.137
399.137
399.137
555.440
555.440
555.440
555.170
555.170
555.170
555.175
555.166
555.166
732.376
555.165
555.165
2789.95
555.165
555.165
0.00000
577.725
555.165
555.165
µ6
-400.153
-400.153
-400.153
755.699
755.699
755.699
755.645
755.645
755.645
755.632
755.642
755.642
986.960
755.642
755.642
3078.92
755.642
755.642
0.00000
964.269
755.642
755.642
µ7
560.301
560.301
560.301
986.960
986.960
986.960
986.960
986.960
986.960
986.960
986.960
986.960
1049.71
986.960
986.960
3264.16
986.960
986.960
0.00000
986.960
986.960
986.960
µ8
760.649
760.649
760.649
1249.28
1249.28
1249.28
1249.13
1249.13
1249.13
1249.1
1249.12
1249.12
1168.44
1249.12
1249.12
3304.89
1249.12
1249.12
0.00000
1442.37
1249.12
1249.12
µ9
Tab. 6.5: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.1 e b = 0.9.
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
10
20
15
20
20
25
10
25
15
25
20
30
10
30
15
30
20
35
10
35
15
35
20
40
10
40
15
40
20
Exato
i max
986.96
986.96
986.96
1544.84
1544.84
1544.84
1542.15
1542.15
1542.15
1542.12
1542.13
1542.13
1861.93
1542.13
1542.13
3454.66
1542.13
1542.13
0.00000
1542.13
1542.13
1542.13
µ10
6. Resultados e discussão
67
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
10
20
15
20
20
25
10
25
15
25
20
30
10
30
15
30
20
35
10
35
15
35
20
40
10
40
15
40
20
Exato
i max
µ2
-63.6883
-63.6883
-63.6883
61.7466
61.7466
61.7466
61.6871
61.6871
61.6871
61.6851
61.6851
61.6851
61.6850
61.6850
61.6850
108.668
61.6850
61.6850
122.390
61.6850
61.6850
61.6850
µ1
17.4998
17.4998
17.4998
15.4364
15.4364
15.4364
15.4219
15.4219
15.4219
15.4213
15.4213
15.4213
15.4211
15.4213
15.4213
50.4849
15.4213
15.4213
51.0333
15.4213
15.4213
15.4213
66.5607
66.5607
66.5607
138.902
138.902
138.902
138.795
138.796
138.796
138.791
138.791
138.791
138.791
138.791
138.791
212.020
138.791
138.791
Complexo
138.791
138.791
138.791
µ3
146.397
146.397
146.397
246.900
246.900
246.900
246.746
246.746
246.746
246.740
246.740
246.740
246.740
246.740
246.740
314.497
246.740
246.740
Complexo
246.740
246.740
246.740
µ4
µ6
µ7
µ8
µ9
254.781 392.374 563.037 759.556 1094.27
254.781 392.374 563.037 759.556 1094.27
254.781 392.374 563.037 759.556 1094.27
385.717 555.290 755.761 987.037 1249.33
385.717 555.290 755.761 987.037 1249.33
385.717 555.290 755.761 987.037 1249.33
385.538 555.170 755.642 986.962 1249.13
385.537 555.170 755.643 986.961 1249.13
385.537 555.170 755.643 986.961 1249.13
385.532 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.532 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.532 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.534 555.169 755.653 986.954 1249.11
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
477.972 625.542 844.621 1043.62 1308.46
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
443.473 614.086 825.124 1033.09 1294.16
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
385.531 555.165 755.642 986.960 1249.12
µ5
Tab. 6.6: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com a = 0.1 e b = 0.9.
-2448.56
-2448.56
-2448.56
1544.59
1544.59
1544.59
1542.14
1542.14
1542.14
1542.13
1542.13
1542.13
1542.13
1542.13
1542.13
1568.97
1542.13
1542.13
1555.43
1542.13
1542.13
1542.13
µ10
6. Resultados e discussão
68
µ2
65.0525
65.0525
65.0525
61.7448
61.7448
61.7448
61.6871
61.6871
61.6871
61.6851
61.6851
61.6851
61.6850
61.6850
61.6850
108.667
61.6850
61.6850
122.389
61.6850
61.6850
61.6850
µ1
16.6794
16.6794
16.6794
15.4359
15.4359
15.4359
15.4219
15.4219
15.4219
15.4213
15.4213
15.4213
15.4211
15.4213
15.4213
50.4850
15.4213
15.4213
51.0338
15.4213
15.4213
15.4213
-126.964
-126.964
-126.964
138.899
138.899
138.899
138.795
138.795
138.795
138.791
138.791
138.791
138.791
138.791
138.791
212.020
138.791
138.791
Complexo
138.791
138.791
138.791
µ3
144.706
144.706
144.706
246.896
246.896
246.896
246.746
246.746
246.746
246.740
246.740
246.740
246.740
246.740
246.740
314.495
246.740
246.740
Complexo
246.740
246.740
246.740
µ4
253.481
253.481
253.481
385.712
385.712
385.712
385.538
385.537
385.537
385.532
385.532
385.532
385.534
385.531
385.531
477.974
385.531
385.531
443.479
385.531
385.531
385.531
µ5
391.582
391.582
391.582
555.287
555.287
555.287
555.170
555.170
555.170
555.165
555.165
555.165
555.169
555.165
555.165
625.538
555.165
555.165
614.080
555.165
555.165
555.165
µ6
562.552
562.552
562.552
755.760
755.760
755.760
755.642
755.643
755.643
755.642
755.642
755.642
755.653
755.642
755.642
844.625
755.642
755.642
825.128
755.642
755.642
755.642
µ7
759.530
759.529
759.529
987.037
987.037
987.037
986.962
986.961
986.961
986.960
986.960
986.960
986.954
986.960
986.960
1043.61
986.960
986.960
1033.08
986.960
986.960
986.960
µ8
1095.61
1095.61
1095.61
1249.33
1249.33
1249.33
1249.13
1249.13
1249.13
1249.12
1249.12
1249.12
1249.11
1249.12
1249.12
1308.47
1249.12
1249.12
1294.16
1249.12
1249.12
1249.12
µ9
Tab. 6.7: Problema teste 1 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com a = 0.1 e b = 0.9.
WP
10
10
10
15
10
20
15
10
15
15
15
20
20
10
20
15
20
20
25
10
25
15
25
20
30
10
30
15
30
20
35
10
35
15
35
20
40
10
40
15
40
20
Exato
i max
-2318.00
-2318.00
-2318.00
1544.57
1544.57
1544.57
1542.14
1542.14
1542.14
1542.13
1542.13
1542.13
1542.13
1542.13
1542.13
1568.95
1542.13
1542.13
1555.43
1542.13
1542.13
1542.13
µ10
6. Resultados e discussão
69
dos autovalores
o casos
WP Tab. µ6.8:
µ2 teste 1µ-3Convergência
µ4
µ5
µpara
µ7 4 com aµ=
µ90.9.
1 Problema
6
8 0.1 e b =
10
10 15.4422 61.7092 138.838 246.74 385.847 556.311 794.983 1072.08 -1559.16
10
15 15.4422 61.7092 138.838 246.74 385.847 556.311 794.983 1072.08 -1559.16
10
20 15.4422 61.7092 138.838 246.74 385.847 556.311 794.983 1072.08 -1559.16
15
10 15.4214 61.6944 138.792 246.74 385.533 555.201 755.687 987.295 1249.41
15
15 15.4214 61.686 138.792 246.74 385.533 555.194 755.688 987.293 1249.41
15
20 15.4214 61.686 138.792 246.74 385.533 555.194 755.688 987.293 1249.41
20
10 13.1034 61.6838 145.534 246.74 390.386 555.17 758.952 986.963 1250.6
20
15 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.532 555.165 755.643 986.962 1249.13
20
20 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.532 555.165 755.643 986.962 1249.13
25
10
62.926 66.5679 246.74 302.313 554.054 611.358 986.576 1012.93 1513.1
25
15 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.961 1249.12
25
20 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.961 1249.12
30
10
—
—
—
—
—
—
—
—
—
30
15 15.4213 61.6847 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.96 1249.12
30
20 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.96 1249.12
35
10 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
35
15 15.4211 138.789 246.74 246.872 385.532 675.772 755.641 1089.42 1249.12
35
20 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.96 1249.12
40
10 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
40
15 13.6667 61.864
246.74
281.68
555.22 605.148 986.936 1004.05 1504.53
40
20 15.4213 61.685 138.792 246.74 385.531 555.165 755.642 986.96 1249.12
40
25 15.4213 61.685 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.96 1249.12
Exato
15.4213 61.685 138.791 246.74 385.531 555.165 755.642 986.96 1249.12
i max
-2388.64
-2388.64
-2388.64
1543.94
1543.94
1543.94
1541.93
1542.13
1542.13
1535.59
1542.13
1542.13
—
1542.13
1542.13
0.00000
1585.22
1542.13
0.00000
1542.2
1542.13
1542.13
1542.13
µ10
6. Resultados e discussão
70
6. Resultados e discussão
71
Tab. 6.9: Erro para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75.
i max WP µ1 µ2 µ3
µ5 µ6
µ7
µ8
Caso 1 Com a = 0.25 a b = 0.75.
10
10
10
15
15
15
20
20
20
µ4
µ9
µ10
10 14.42 0 21.09 0 19.8 0.5 3.32 63.51 419.43 540.62
15 0 0 0
0 0.08 0.46 46.7 63.52 452.83 541.
0 0.08 0.46 46.7 63.52 452.83 541.
20 0 0 0
20 0 0 0
0
0
0
0 0.02 0.11 7.84
0
0
0
0 0.02 0.11 7.84
25 0 0 0
30 0 0 0
0
0
0
0 0.02 0.11 7.84
20 0 0 0 16.63 36. 30.55 26.53 24.6 39.5 36.
25 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
30 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
Tab. 6.10: Erro para o caso 1 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP µ1 µ2
µ4 µ5 µ6 µ7 µ8
Caso 1 Com a = 0.1 a b = 0.9.
10
10
10
15
15
15
20
20
20
6.2
10
15
20
10
15
20
10
15
20
µ3
µ9 µ10
0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.35
0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.35
0.2 0.04 1.64 0.38 0.34 0.28 1.52 0.43 0.39 0.35
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Problema de difusão em coordenadas cartesianas
A temperatura calculada utilizando a Técnica do Domínio Envolvente é apresentada
em tabelas e comparado com a solução exata, obtida da equação (3.27). O resultado
foi calculado para diferentes ordens de truncamento (i max ) e números de dígitos utilizados nos cálculos (WP). Foram ainda utilizado três diferentes valores para o t ∗ , de
modo a simular as situações de equilíbrio e de regime transiente. Entretanto, o erro
nos autovalores calculados e seus autovetores associados é significativamente maior
para os dois últimos autovalores. Portanto, quando a matriz exponencial é avaliada,
os últimos dois autovalores (e seus autovetores associados) precisam ser descartados.
Quando isso não é feito, o erro é amplificado pelas exponenciais. Portanto, um uma
6. Resultados e discussão
72
ordem de truncamento pequena foi usada no cálculo da solução final (envolvendo o
calculo da matriz exponencial), chamado de i d . Essas duas ordens de truncamento
diferente são chamadas de ordem de truncamento do problema de autovalor (i max ) e a
ordem de truncamento do problema de difusão (i d ).
As tabelas 6.11, 6.12 e 6.13 apresentam os resultados para os casos 1 e 2 do problema teste 5, usando a = 0.25, b = 0.75 e x = 0.5, sendo que t ∗ = 1, t ∗ = 0.01 e
t ∗ = 10−4 para as tabelas 6.11, 6.12 e 6.13, respectivamente. Como pode ser observado,
para todas as tabelas, o caso 1 precisa de um número de dígitos de precisão (WP) maior
ou igual que a ordem de truncamento, para obter o potencial de temperatura. Esse fato,
porém, não se mantém quando considerado o caso 2 sugerindo, então, que o este possui uma melhor convergência que o caso 1. Já nas tabelas 6.11, 6.12 e 6.13, a mesma
análise feita nas tabelas citadas anteriormente é realizada, porém somente o caso 3 é
representado. Como pode ser observado, em relação à taxa de convergência, o caso 3
possui um comportamento similar ao caso 2.
As tabelas 6.17, 6.20, 6.18, 6.21, 6.19 e 6.22 apresentam os resultados para os
casos 1, 2 e 3, usando a = 0.1, b = 0.9 e x = 0.5, sendo que t ∗ = 1 para as tabelas
6.17 e 6.20, t ∗ = 0.01 para as tabelas 6.18 e 6.21 e t ∗ = 10−4 para as tabelas 6.19 e
6.22. Como pode ser observado, a taxa de convergência para todos os casos são muito
semelhantes, sugerindo, então, que o tipo de caso escolhido não interfere na solução
quando considerado o contorno original próximo ao contorno do domínio envolvente.
Para todos os casos e tipos de contorno analisados ate agora, quando comparado
a variação da variável t ∗ , como esperado, para valores pequenos, isto é, em regime
transiente, a solução piora. No caso de valores grandes t ∗ , isto é, em regime regime
permanente, a solução se comporta de maneira melhor. Os resultados obtidos estão
de acordo com os observados no item anterior, onde a solução com um domínio de
envolve o problema é próximo ao domínio do problema original, apresenta melhor
taxa de convergência.
As tabelas 6.23 e B.9, apresentam os resultados para os casos 1, 2 e 3 do problema
teste 6, usando a = 0.25, b = 0.75, x = 0.5 e t ∗ = 1. Como pode ser observados, o prob-
6. Resultados e discussão
73
lema teste 6 apresenta o mesmo comportamento apresentado pelo problema teste 5,
exceto na taxa de convergência do caso 1, que agora, é superior ao caso 2 e 3. Este fato
sugere que para o cada tipo de problema teste existe um caso de condições de contorno
que oferece uma taxa de convergência ótima. Desta forma, como o comportamento do
problema teste 6 é similar ao problema teste 5, as demais tabelas referentes ao primeiro
estão apresentadas no apêndice B.
De forma análoga, as tabelas referentes ao problema teste 7, que apresenta um
comportamento idêntico ao apresentado pelo problema teste 5, estão apresentadas no
apêndice B.
Tab. 6.11: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
Complexo
9.15518×10−18 9.15518×10−18 9.15518×10−18 9.15518×10−18 9.15518×10−18 9.15518×10−18
26
24
—
9.14246×10−18 9.14246×10−18 9.14246×10−18 9.14246×10−18 9.14246×10−18 9.14246×10−18
—
Complexo
9.13473×10−18 9.13473×10−18 9.13473×10−18 9.13473×10−18 9.13473×10−18
30
28
34
32
—
Complexo
9.12969×10−18 9.12969×10−18 9.12969×10−18 9.12969×10−18 9.12969×10−18
38
36
—
—
1.78×101430594 9.12620×10−18 9.12620×10−18 9.12620×10−18 9.12620×10−18
42
40
—
—
Complexo
9.12310×10−18 9.12369×10‘−18 9.12369×10−18 9.12369×10−18
—
—
—
Complexo
9.12183×10−18 9.12183×10−18 9.12183×10−18
46
44
50
48
—
—
—
—
9.12041×10−18 9.12041×10−18 9.1204110−18
54
52
—
—
—
—
Complexo
9.11930×10−18 9.11930×10−18
—
—
—
—
—
Complexo
9.11841×10−18
58
56
—
—
—
—
—
Complexo
9.11769×10−18
62
60
Caso 2
−18
−18
−18
22
20
9.15659×10
9.15659×10
9.15659×10
9.15659×10−18 9.15659×10−18 9.15659×10−18 9.15659×10−18
−18
−18
−18
26
24
9.14329×10
9.14329×10
9.14329×10
9.14329×10−18 9.14329×10−18 9.14329×10−18 9.14329×10−18
30
28
—
9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18
34
32
—
9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18
38
36
—
9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18
42
40
—
—
Complexo
9.12388×10−18 9.12388×10−18 9.12388×10−18 9.12388×10−18
46
44
—
—
Complexo
9.12197×10−18 9.12197×10−18 9.12197×10−18 9.12197×10−18
50
48
—
—
Complexo
9.12052×10−18 9.12052×10−18 9.12052×10−18 9.12052×10−18
54
52
—
—
—
9.11938×10−18 9.11938×10−18 9.11938×10−18 9.11938×10−18
58
56
—
—
—
Complexo
9.11848×10−18 9.11848×10−18 9.11848×10−18
62
60
—
—
—
—
9.11775×10−18 9.11775×10−18 9.11775×10−18
Sol. Analítico 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18
6. Resultados e discussão
74
Tab. 6.12: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
Complexo 0.849246 0.849246 0.849246 0.849246 0.849246 0.849246
—
0.84822
0.84822
0.84822
0.84822
0.84822 0.84822
26
24
30
28
—
Complexo 0.847594 0.847594 0.847594 0.847594 0.847594
—
Complexo 0.847184 0.847184 0.847184 0.847184 0.847184
34
32
38
36
—
—
6×1014305 0.846899 0.846899 0.846899 0.846899
42
40
—
—
Complexo 0.846693 0.846695 0.846695 0.846695
—
—
Complexo Complexo Complexo 0.846542 0.846542
46
44
—
—
—
Complexo Complexo 0.846426 0.846426
50
48
54
52
—
—
—
—
Complexo 0.846335 0.846335
—
—
—
—
—
Complexo 0.846262
58
56
62
60
—
—
—
—
—
Complexo 0.846204
Caso 2
22
20
0.849358 0.849358 0.849358 0.849358 0.849358 0.849358 0.849358
26
24
0.848287 0.848287 0.848287 0.848287 0.848287 0.848287 0.848287
30
28
—
0.847638 0.847638 0.847638 0.847638 0.847638 0.847638
34
32
—
0.847213 0.847213 0.847213 0.847213 0.847213 0.847213
38
36
—
0.84692
0.84692
0.84692
0.84692
0.84692 0.84692
42
40
—
—
Complexo 0.84671
0.84671
0.84671 0.84671
46
44
—
—
Complexo 0.846554 0.846554 0.846554 0.846554
50
48
—
—
Complexo 0.846435 0.846435 0.846435 0.846435
54
52
—
—
—
0.846342 0.846342 0.846342 0.846342
58
56
—
—
—
Complexo 0.846268 0.846268 0.846268
62
60
—
—
—
Complexo 0.846208 0.846208 0.846208
Sol. Analítico
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
6. Resultados e discussão
75
Tab. 6.13: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
Complexo 0.822459 0.822459 0.822459 0.822459 0.822459 0.822459
—
0.610171 0.610171 0.610171 0.610171 0.610171 0.610171
26
24
30
28
—
Complexo 1.30226
1.30226
1.30226
1.30226 1.30226
—
Complexo 1.50113
1.50113
1.50113
1.50113 1.50113
34
32
142
38
36
—
—
8×10
0.47731
0.47731
0.47731 0.47731
42
40
—
—
Complexo 0.621135 0.620725 0.620725 0.620725
—
—
Complexo Complexo Complexo 1.76757 1.76757
46
44
—
—
—
Complexo Complexo 0.878331 0.878331
50
48
54
52
—
—
—
—
Complexo 0.425844 0.42585
—
—
—
—
Complexo Complexo 1.51656
58
56
62
60
—
—
—
—
Complexo 1.0048
1.00491
Caso 2
22
20
0.835304 0.835304 0.835304 0.835304 0.835304 0.835304 0.835304
26
24
0.648361 0.648361 0.648361 0.648361 0.648361 0.648361 0.648361
30
28
—
1.28583
1.28583
1.28583
1.28583
1.28583 1.28583
34
32
—
1.45228
1.45229
1.45229
1.45229
1.45229 1.45229
38
36
—
0.507101 0.507113 0.507113 0.507113 0.507113 0.507113
42
40
—
—
Complexo 0.665836 0.665836 0.665836 0.665836
46
44
—
—
Complexo 1.71495
1.71495
1.71495 1.71495
50
48
—
—
Complexo 0.866896 0.866897 0.866897 0.866897
54
52
—
—
—
0.476916 0.476913 0.476913 0.476913
58
56
—
—
—
Complexo 1.48989
1.48992 1.48992
62
60
—
—
—
Complexo 0.989052 0.989085 0.989085
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
6. Resultados e discussão
76
Tab. 6.14: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 3
−18
−18
−18
22
20
9.15659×10
9.15659×10
9.15659×10
9.15659×10−18 9.15659×10−18 9.15659×10−18 9.15659×10−18
−18
−18
−18
9.14329×10
9.14329×10
9.14329×10
9.14329×10−18 9.14329×10−18 9.14329×10−18 9.14329×10−18
26
24
30
28
—
9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18 9.13527×10−18
34
32
—
9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18 9.13005×10−18
—
9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18 9.12646×10−18
38
36
42
40
—
—
Complexo
9.12388×10−18 9.12388×10−18 9.12388×10−18 9.12388×10−18
—
—
Complexo
9.12197×10−18 9.12197×10−18 9.12197×10−18 9.12197×10−18
46
44
50
48
—
—
Complexo
9.12052×10−18 9.12052×10−18 9.12052×10−18 9.12052×10−18
—
—
—
9.11938×10−18 9.11938×10−18 9.11938×10−18 9.11938×10−18
54
52
58
56
—
—
—
9.11848×10−18 9.11848×10−18 9.11848×10−18 9.11848×10−18
62
60
—
—
—
—
9.11775×10−18 9.11775×10−18 9.11775×10−18
Sol. Analítico 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18 9.11279×10−18
6. Resultados e discussão
77
Tab. 6.15: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.849358 0.849358 0.849358 0.849358 0.849358 0.849358 0.849358
0.848287 0.848287 0.848287 0.848287 0.848287 0.848287 0.848287
26
24
—
0.847638 0.847638 0.847638 0.847638 0.847638 0.847638
30
28
34
32
—
0.847213 0.847213 0.847213 0.847213 0.847213 0.847213
38
36
—
0.84692 0.84692
0.84692 0.84692 0.84692 0.84692
—
—
Complexo 0.84671 0.84671 0.84671 0.84671
42
40
46
44
—
—
Complexo 0.846554 0.846554 0.846554 0.846554
—
—
Complexo 0.846435 0.846435 0.846435 0.846435
50
48
54
52
—
—
—
0.846342 0.846342 0.846342 0.846342
58
56
—
—
—
0.846268 0.846268 0.846268 0.846268
—
—
—
Complexo 0.846208 0.846208 0.846208
62
60
Sol. Analítico 0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
0.8458
6. Resultados e discussão
78
Tab. 6.16: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.835367 0.835367 0.835367 0.835367 0.835367 0.835367 0.835367
0.648361 0.648361 0.648361 0.648361 0.648361 0.648361 0.648361
26
24
—
1.28579 1.28579
1.28579 1.28579 1.28579 1.28579
30
28
34
32
—
1.45229 1.45229
1.45229 1.45229 1.45229 1.45229
38
36
—
0.507087 0.507133 0.507133 0.507133 0.507133 0.507133
—
—
Complexo 0.665826 0.665826 0.665826 0.665826
42
40
46
44
—
—
Complexo 1.71494 1.71495 1.71495 1.71495
—
—
Complexo 0.866902 0.866902 0.866902 0.866902
50
48
54
52
—
—
—
0.476828 0.476829 0.476829 0.476829
58
56
—
—
—
1.49058 1.49061 1.49058 1.49058
—
—
—
Complexo 0.988555 0.988594 0.988594
62
60
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
6. Resultados e discussão
79
Tab. 6.17: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
2.56167×10−7
2.56167×10−7
2.56167×10−7
2.56167×10−7
2.56167×10−7
2.56167×10−7
2.56167×10−7
26
24
2.55978×10−7
2.55978×10−7
2.55978×10−7
2.55978×10−7
2.55978×10−7
2.55978×10−7
2.55978×10−7
—
—
—
—
—
—
—
30
28
−7
−7
−7
−7
−7
−7
2.55788×10
2.55788×10
2.55788×10
2.55788×10
2.55788×10
2.55788×10
2.55788×10−7
34
32
38
36
2.55743×10−7
2.55743×10−7
2.55743×10−7
2.55743×10−7
2.55743×10−7
2.55743×10−7
2.55743×10−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
42
40
2.55713×10
2.55713×10
2.55713×10
2.55713×10
2.55713×10
2.55713×10
2.55713×10−7
2.55690×10−7
2.55691×10−7
2.55691×10−7
2.55691×10−7
2.55691×10−7
2.55691×10−7
2.55691×10−7
46
44
−7
50
48
2.55674×10
—
—
—
—
—
—
54
52
0.
2.55662×10−7
2.55662×10−7
2.55662×10−7
2.55662×10−7
2.55662×10−7
2.55662×10−7
0.
2.55652×10−7
2.55652×10−7
2.55652×10−7
2.55652×10−7
2.55652×10−7
2.55652×10−7
58
56
−7
−7
−7
−7
−7
—
2.55644×10
2.55644×10
2.55644×10
2.55644×10
2.55644×10
2.55644×10−7
62
60
Caso 2
−7
−7
−7
22
20
2.56194×10
2.56194×10
2.56194×10
2.56194×10−7
2.56194×10−7
2.56194×10−7
2.56194×10−7
−8
−8
−8
−8
−8
−8
26
24
-3.12171×10
-3.12171×10
-3.12171×10
-3.12171×10
-3.12171×10
-3.12171×10
-3.12171×10−8
30
28
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
34
32
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
38
36
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10−7
42
40
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
−6
−6
−6
−6
−6
−6
46
44
−1.07118×10
−1.07118×10
−1.07118×10
−1.07118×10
−1.07118×10
−1.07118×10
−1.07118×10−6
50
48
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
54
52
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
58
56
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10−7
62
60
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
Sol. Analítico 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7
6. Resultados e discussão
80
Tab. 6.18: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
0.991892
0.991892 0.991892 0.991892 0.991892 0.991892 0.991892
0.991224
0.991224 0.991224 0.991224 0.991224 0.991224 0.991224
26
24
30
28
—
—
—
—
—
—
—
0.990866
0.990866 0.990866 0.990866 0.990866 0.990866 0.990866
34
32
38
36
0.990808
0.990808 0.990808 0.990808 0.990808 0.990808 0.990808
42
40
0.990774
0.990774 0.990774 0.990774 0.990774 0.990774 0.990774
0.99075
0.99075
0.99075
0.99075
0.99075
0.99075
0.99075
46
44
0.990733
—
—
—
—
—
—
50
48
54
52
4.533910141 × 105798 0.99072
0.99072
0.99072
0.99072
0.99072
0.99072
0.
0.99071
0.99071
0.99071
0.99071
0.99071
0.99071
58
56
62
60
—
0.990701 0.990701 0.990701 0.990701 0.990701 0.990701
Caso 2
22
20
0.991714
0.991714 0.991714 0.991714 0.991714 0.991714 0.991714
26
24
0.716275
0.716275 0.716275 0.716275 0.716275 0.716275 0.716275
30
28
0.990939
0.990939 0.990939 0.990939 0.990939 0.990939 0.990939
34
32
0.990864
0.990864 0.990864 0.990864 0.990864 0.990864 0.990864
38
36
0.990802
0.990802 0.990802 0.990802 0.990802 0.990802 0.990802
42
40
0.990778
0.990778 0.990778 0.990778 0.990778 0.990778 0.990778
46
44
-0.363257
-0.363256 -0.363256 -0.363256 -0.363256 -0.363256 -0.363256
50
48
0.99073
0.99073
0.99073
0.99073
0.99073
0.99073
0.99073
54
52
0.990721
0.990721 0.990721 0.990721 0.990721 0.990721 0.990721
58
56
0.990708
0.990708 0.990708 0.990708 0.990708 0.990708 0.990708
62
60
0.990703
0.990703 0.990703 0.990703 0.990703 0.990703 0.990703
Sol. Analítico
0.990645
0.990645 0.990645 0.990645 0.990645 0.990645 0.990645
6. Resultados e discussão
81
Tab. 6.19: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
0.995066
0.995066 0.995066 0.995066 0.995066 0.995066 0.995066
1.00875
1.00875 1.00875 1.00875 1.00875 1.00875 1.00875
26
24
30
28
—
—
—
—
—
—
—
1.00648
1.00648 1.00648 1.00648 1.00648 1.00648 1.00648
34
32
38
36
0.996128
0.996128 0.996128 0.996128 0.996128 0.996128 0.996128
42
40
0.994631
0.994631 0.994631 0.994631 0.994631 0.994631 0.994631
0.998614
0.998614 0.998614 0.998614 0.998614 0.998614 0.998614
46
44
1.00126
—
—
—
—
—
—
50
48
54
52
1.2784×1055
1.00101 1.00101 1.00101 1.00101 1.00101 1.00101
−3.42956×1075 0.999989 0.999989 0.999989 0.999989 0.999989 0.999989
58
56
62
60
—
0.999702 0.999702 0.999702 0.999702 0.999702 0.999702
Caso 2
22
20
0.995706
0.995706 0.995706 0.995706 0.995706 0.995706 0.995706
26
24
9.78048
9.78048 9.78048 9.78048 9.78048 9.78048 9.78048
30
28
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
34
32
1.00502
1.00502 1.00502 1.00502 1.00502 1.00502 1.00502
38
36
0.996592
0.996592 0.996592 0.996592 0.996592 0.996592 0.996592
42
40
0.995661
0.995661 0.995661 0.995661 0.995661 0.995661 0.995661
46
44
1.29216
1.29215 1.29215 1.29215 1.29215 1.29215 1.29215
50
48
1.00109
1.00109 1.00109 1.00109 1.00109 1.00109 1.00109
54
52
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
58
56
0.99997
0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997
62
60
0.999755
0.999755 0.999755 0.999755 0.999755 0.999755 0.999755
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
6. Resultados e discussão
82
Tab. 6.20: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para casos 3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 3
−7
−7
−7
22
20
2.56194×10
2.56194×10
2.56194×10
2.56194×10−7
2.56194×10−7
2.56194×10−7
2.56194×10−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−3.16252×10
−3.16252×10
−3.16252×10
−3.16252×10
−3.16252×10
−3.16252×10
−3.16252×10−7
26
24
30
28
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
2.55839×10−7
34
32
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
2.55791×10−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10
2.55738×10−7
38
36
42
40
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
2.55717×10−7
−6
−6
−6
−6
−6
−6
−3.69648×10
−3.69648×10
−3.69648×10
−3.69648×10
−3.69648×10
−3.69648×10
−3.69648×10−6
46
44
50
48
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55672×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
2.55663×10−7
54
52
−7
−7
−7
−7
−7
−7
58
56
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10
2.55651×10−7
62
60
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
2.55645×10−7
Sol. Analítico 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7 2.55589×10−7
6. Resultados e discussão
83
Tab. 6.21: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.991712 0.991712 0.991712 0.991712 0.991712 0.991712 0.991712
0.44343 0.44343 0.44343 0.44343 0.44343 0.44343 0.44343
26
24
0.990939 0.990939 0.990939 0.990939 0.990939 0.990939 0.990939
30
28
34
32
0.990863 0.990863 0.990863 0.990863 0.990863 0.990863 0.990863
38
36
0.990802 0.990802 0.990802 0.990802 0.990802 0.990802 0.990802
0.990778 0.990778 0.990778 0.990778 0.990778 0.990778 0.990778
42
40
46
44
-3.04225 -3.04225 -3.04225 -3.04225 -3.04225 -3.04225 -3.04225
0.99073 0.99073 0.99073 0.99073 0.99073 0.99073 0.99073
50
48
54
52
0.990721 0.990721 0.990721 0.990721 0.990721 0.990721 0.990721
58
56
0.990708 0.990708 0.990708 0.990708 0.990708 0.990708 0.990708
0.990703 0.990703 0.990703 0.990703 0.990703 0.990703 0.990703
62
60
Sol. Analítico 0.990645 0.990645 0.990645 0.990645 0.990645 0.990645 0.990645
6. Resultados e discussão
84
Tab. 6.22: Problema teste 5 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.995658 0.995658 0.995658 0.995658 0.995658 0.995658 0.995658
18.4614 18.4614 18.4614 18.4614 18.4614 18.4614 18.4614
26
24
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
1.0124
30
28
34
32
1.00502 1.00502 1.00502 1.00502 1.00502 1.00502 1.00502
38
36
0.996593 0.996593 0.996593 0.996593 0.996593 0.996593 0.996593
0.995662 0.995662 0.995662 0.995662 0.995662 0.995662 0.995662
42
40
46
44
1.86282 1.86282 1.86282 1.86282 1.86282 1.86282 1.86282
1.00109 1.00109 1.00109 1.00109 1.00109 1.00109 1.00109
50
48
54
52
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
1.0008
58
56
0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997 0.99997
0.999755 0.999755 0.999755 0.999755 0.999755 0.999755 0.999755
62
60
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
6. Resultados e discussão
85
Tab. 6.23: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
0.0000452043 0.0000452043 0.0000452043 0.0000452043 0.0000452043 0.0000452043 0.0000452043
26
24
0.0000454162 0.0000454162 0.0000454162 0.0000454162 0.0000454162 0.0000454162 0.0000454162
30
28
—
0.000045571 0.000045571 0.000045571 0.000045571 0.000045571 0.000045571
—
0.0000456891 0.0000456891 0.0000456891 0.0000456891 0.0000456891 0.0000456891
34
32
38
36
—
0.0000457822 0.0000457822 0.0000457822 0.0000457822 0.0000457822 0.0000457822
42
40
—
—
0.0000458574 0.0000458574 0.0000458574 0.0000458574 0.0000458574
—
—
0.0000459195 0.0000459195 0.0000459195 0.0000459195 0.0000459195
46
44
50
48
—
—
0.0000459716 0.0000459716 0.0000459716 0.0000459716 0.0000459716
54
52
—
—
0.0000460159 0.0000460159 0.0000460159 0.0000460159 0.0000460159
—
—
—
0.0000460541 0.0000460541 0.0000460541 0.0000460541
58
56
—
—
—
0.0000460873 0.0000460873 0.0000460873 0.0000460873
62
60
Caso 2
22
20
0.0000451538 0.0000451538 0.0000451538 0.0000451538 0.0000451538 0.0000451538 0.0000451538
26
24
6.50×1037739336 0.0000453804 0.0000453804 0.0000453804 0.0000453804 0.0000453804 0.0000453804
30
28
—
0.0000455444 0.0000455444 0.0000455444 0.0000455444 0.0000455444 0.0000455444
34
32
—
0.0000456685 0.0000456685 0.0000456685 0.0000456685 0.0000456685 0.0000456685
38
36
—
Complexo
0.0000457657 0.0000457657 0.0000457657 0.0000457657 0.0000457657
42
40
—
—
0.0000458439 0.0000458439 0.0000458439 0.0000458439 0.0000458439
46
44
—
—
0.0000459083 0.0000459083 0.0000459083 0.0000459083 0.0000459083
50
48
—
—
0.0000459621 0.0000459621 0.0000459621 0.0000459621 0.0000459621
54
52
—
—
—
0.0000460078 0.0000460078 0.0000460078 0.0000460078
58
56
—
—
—
0.000046047 0.000046047 0.000046047 0.000046047
62
60
—
—
—
0.0000460812 0.0000460812 0.0000460812 0.0000460812
Sol. Analítico 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672
6. Resultados e discussão
86
Tab. 6.24: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 3
22
20
0.0000452588 0.0000452588 0.0000452588 0.0000452588 0.0000452588 0.0000452588 0.0000452588
26
24
0.0000454542 0.0000454542 0.0000454542 0.0000454542 0.0000454542 0.0000454542 0.0000454542
—
0.0000455991 0.0000455991 0.0000455991 0.0000455991 0.0000455991 0.0000455991
30
28
34
32
—
0.0000457108 0.0000457108 0.0000457108 0.0000457108 0.0000457108 0.0000457108
—
Complexo
0.0000457994 0.0000457994 0.0000457994 0.0000457994 0.0000457994
38
36
42
40
—
—
0.0000458714 0.0000458714 0.0000458714 0.0000458714 0.0000458714
46
44
—
—
0.0000459311 0.0000459311 0.0000459311 0.0000459311 0.0000459311
—
—
0.0000459813 0.0000459813 0.0000459813 0.0000459813 0.0000459813
50
48
—
—
—
0.0000460242 0.0000460242 0.0000460242 0.0000460242
54
52
58
56
—
—
—
0.0000460613 0.0000460613 0.0000460613 0.0000460613
62
60
—
—
—
0.0000460936 0.0000460936 0.0000460936 0.0000460936
Sol. Analítico 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672 0.0000465672
6. Resultados e discussão
87
6. Resultados e discussão
6.3
88
Problema de difusão em coordenadas cilíndricas
A temperatura calculada pela solução do problema cilíndrico utilizando a Técnica
do Domínio Envolvente é apresentada em tabelas e comparado com a solução exata, obtida da equação (5.102). O resultado foi calculado para diferentes ordens de
truncamento (i max ) e números de dígitos utilizados nos cálculos (WP). Foram ainda
utilizados três diferentes valores para o t ∗ , de modo a simular as situações de equilíbrio
e de regime transiente. Entretanto, as mesmas dificuldades quando ao erro nos autovalores calculados e seus autovetores associados são encontrados aqui . Portanto, um
uma ordem de truncamento menor foi usada no cálculo da solução final (envolvendo
o cálculo da matriz exponencial), chamado de i d . Essas duas ordens de truncamento
diferente são chamadas de ordem de truncamento do problema de autovalor (i max ) e a
ordem de truncamento do problema de difusão (i d ).
As tabelas 6.25, 6.28 apresentam os resultados para o caso 1, usando r b = 0.75
e r = 0.5, sendo que a primeira tabela apresenta os valores de t ∗ = 1, t ∗ = 0.01 e a
segunda apresenta os valores para t ∗ = 10−4 . Como pode ser observado, somente foram
apresentados os resultados para trinta (30) termos. Os resultados com uma ordem de
truncamento maior resulta em um custo computacional elevado que impossibilitou a
geração de todos os dados.
As tabelas 6.27, 6.28 apresentam os resultados para o caso 1, usando r b = 0.9
e r = 0.5, sendo que a primeira tabela apresenta os valores de t ∗ = 1, t ∗ = 0.01 e
a segunda apresenta os valores para t ∗ = 10−4 . Todas as observações feitas para as
tabelas anteriores são mantidas para estas tabelas. Entretanto, de um modo geral, a
convergência para o caso do domínio original próximo ao domínio envolvente é melhor
que o caso com o domínio original longe do domínio envolvente, o que vai de acordo
com o apresentado até agora.
Para o caso estudado e os tipos de contorno analisados ate agora, quando comparado a variação da variável t ∗ , como esperado, para valores pequenos, isto é, em
regime transiente, a solução piora. No caso de valores grandes t ∗ , isto é, em regime
regime permanente, a solução se comporta de maneira melhor.
Tab. 6.25: Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos 1 com r = 0.5, r b = 0.75 , t ∗ = 1 e t ∗ = 10− 2
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
∗
Caso 1 com t = 1
22
20
0.0000249565 0.0000249565 0.0000249565 0.0000249565 0.0000249565 0.0000249565 0.0000249565
26
24
0.0000249407 0.0000249407 0.0000249407 0.0000249407 0.0000249407 0.0000249407 0.0000249407
0.0000249309 0.0000249309 0.0000249309 0.0000249309 0.0000249309 0.0000249309 0.0000249309
30
28
Sol. Analítico 0.0000249013 0.0000249013 0.0000249013 0.0000249013 0.0000249013 0.0000249013 0.0000249013
Caso 1 com t ∗ = 10− 2
22
20
0.908985
0.908985
0.908985
0.908985
0.908985
0.908985
0.908985
0.90788
0.90788
0.90788
0.90788
0.90788
0.90788
0.90788
26
24
30
28
0.907183
0.907183
0.907183
0.907183
0.907183
0.907183
0.907183
Sol. Analítico
0.905081
0.905081
0.905081
0.905081
0.905081
0.905081
0.905081
6. Resultados e discussão
89
Tab. 6.26: Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos 1 com r = 0.5, r b = 0.75 e t ∗ = 10− 4
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1 com t ∗ = 10− 4
22
20
1.03606 1.03606 1.03606 1.03606 1.03606 1.03606 1.03606
26
24
0.979155 0.979155 0.979155 0.979155 0.979155 0.979155 0.979155
0.997958 0.997958 0.997958 0.997958 0.997958 0.997958 0.997958
30
28
Sol. Analítico 1.00044 1.00044 1.00044 1.00044 1.00044 1.00044 1.00044
6. Resultados e discussão
90
Tab. 6.27: Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos 1 com r = 0.5, r b = 0.9 , t ∗ = 1 e t ∗ = 10− 2
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
∗
Caso 1 com t = 1
22
20
0.000764787 0.000764787 0.000764787 0.000764787 0.000764787 0.000764787 0.000764787
26
24
0.000764432 0.000764432 0.000764432 0.000764432 0.000764432 0.000764432 0.000764432
0.000764223 0.000764223 0.000764223 0.000764223 0.000764223 0.000764223 0.000764223
30
28
Sol. Analítico 0.00076364 0.00076364 0.00076364 0.00076364 0.00076364 0.00076364 0.00076364
Caso 1 com t ∗ = 10− 2
22
20
0.994746
0.994746
0.994746
0.994746
0.994746
0.994746
0.994746
0.994225
0.994225
0.994225
0.994225
0.994225
0.994225
0.994225
26
24
30
28
0.994024
0.994024
0.994024
0.994024
0.994024
0.994024
0.994024
Sol. Analítico
0.993693
0.993693
0.993693
0.993693
0.993693
0.993693
0.993693
6. Resultados e discussão
91
Tab. 6.28: Problema teste 8 - Convergência do campo de temperatura para o casos 1 com r = 0.5, r b = 0.9 e t ∗ = 10− 4
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1 com t ∗ = 10− 4
22
20
0.990898 0.990898 0.990898 0.990898 0.990898 0.990898 0.990898
26
24
1.00383 1.00383 1.00383 1.00383 1.00383 1.00383 1.00383
1.0126
1.0126
1.0126
1.0126
1.0126
1.0126
1.0126
30
28
Sol. Analítico 0.997915 0.997915 0.997915 0.997915 0.997915 0.997915 0.997915
6. Resultados e discussão
92
6. Resultados e discussão
6.4
93
Problema de autovalor com domínio móvel
Os resultados do problema de autovalor unidimensional com domínio móvel serão apresentados na forma de tabelas, onde somente os primeiros dez autovalores são calculados e comparados com a solução exata, obtidas pela equação (5.131), para diferentes
ordens de truncamento (i max ), diferentes valores de precisão (WP) e diferentes tempos.
As tabelas 6.29 e C.1 apresentam os resultados calculados para o caso 1, usando
o contorno como a(t ) = t e b(t ) = 1/2 + t , sendo que para a tabela 6.29 t = 0 e para
tabela C.1 t = 0.5. Deste modo, a diferença b(t ) − a(t ) é constante para qualquer valor
utilizado no tempo. Assim, pode ser observado que os resultados encontrados estão
de acordo com o apresentado anteriormente na solução de problemas de autovalor
unidimensionais. A única diferença é o número de dígitos necessário para obter a
solução que, neste caso, aumentou significativamente. Tal fato reforça a idéia que o
tamanho do contorno em relação ao contorno envolvente afeta significativamente a
convergência da solução, mas a posição relativa deste contorno original em relação ao
contorno envolvente parece não afetar a taxa convergência.
As tabelas C.2 e 6.30 apresentam os resultados calculados para o caso 1, usando o
contorno como a(t ) = 0 e b(t ) = t , sendo que para a tabela C.2 t = 0.5 e para tabela 6.30
t = 0.9. Mais uma vez os resultados vão de acordo com o apresentado anteriormente,
sendo que no caso representado pela tabela 6.30, a convergência é melhor porque o
domínio original é próximo ao domínio envolvente. Assim, o leitor poderá consultar
as tabelas C.1 e C.2 no apêndice C.
µ1
39.4784
39.4784
39.4784
0.
39.4784
39.4784
19.7992
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
19.6083
15.8206
39.4784
39.4784
10 20
10 25
10 30
15 20
15 25
15 30
20 40
20 45
20 50
25 55
25 60
25 65
30 65
30 70
30 75
35 80
35 85
35 90
40 80
40 85
40 90
Exato
131.636
157.914
157.914
0.
157.914
157.914
39.4784
157.914
157.914
157.914
157.914
157.914
148.928
157.914
157.914
157.914
157.914
157.914
39.4784
39.4784
157.914
157.914
µ2
157.914
355.306
355.306
0.
183.501
183.745
157.914
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
157.914
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
135.703
140.806
355.306
355.306
µ3
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
355.306 476.232
631.655 795.375 986.96 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.71 2003.18 3518.9 13904.2
-70612.4
631.655 986.96
1421.71 2003.18 3518.9 13904.2
-70612.4
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
355.306 460.607
631.655 796.879 986.96
1189.2
1421.22
355.306 461.248
631.655 797.389 986.96 1189.24
1421.22
171.24 355.306
441.427 631.655 787.5
986.96
1421.22
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 Complexo Complexo 986.96 1421.22 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
355.306 404.346
631.655 755.604 986.96 1178.67
1421.22
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 Complexo Complexo 986.96 1421.22 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
157.914 355.306
384.88 631.655 723.833 986.96
1159.07
157.914 355.306
382.786 631.655 726.89
986.96
1156.27
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.960
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
µ4
Tab. 6.29: Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a(t ) = t , b(t ) = 1/2 + t e t = 0.
i max WP
6. Resultados e discussão
94
µ1
12.7682
12.7682
12.7682
12.1933
12.1933
12.1933
12.185
12.185
12.185
12.1847
12.1847
12.1847
12.7972
12.1847
12.1847
476.473
12.1847
12.1847
0.
12.1847
12.1847
12.1847
i max WP
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
50.6991
50.6991
50.6991
48.7712
48.7712
48.7712
48.7401
48.7401
48.7401
48.7337
48.7388
48.7388
43.7462
48.7388
48.7388
986.96
48.7388
48.7388
0.
48.7388
48.7388
48.7388
µ2
113.078
113.078
113.078
109.727
109.727
109.727
109.665
109.665
109.665
109.675
109.662
109.662
104.809
109.662
109.662
1101.44
109.662
109.662
0.
109.662
109.662
109.662
µ3
-175.67
-175.67
-175.67
195.052
195.052
195.052
194.959
194.959
194.959
194.956
194.955
194.955
273.938
194.955
194.955
1309.5
194.955
194.955
0.
194.955
194.955
194.955
µ4
199.385
199.385
199.385
304.735
304.735
304.735
304.622
304.622
304.622
304.618
304.618
304.618
397.616
304.617
304.617
1779.71
304.617
304.617
0.
304.617
304.617
304.617
µ5
309.384
309.384
309.384
438.764
438.764
438.764
438.653
438.653
438.653
438.651
438.649
438.649
543.737
438.649
438.649
2027.79
438.649
438.649
0.
438.649
438.649
438.649
µ6
443.008
443.008
443.008
597.135
597.135
597.135
597.053
597.053
597.053
597.056
597.05
597.05
717.549
597.05
597.05
2976.77
597.05
597.05
0.
597.05
597.05
597.05
µ7
600.27
600.27
600.27
779.855
779.855
779.855
779.822
779.822
779.822
779.862
779.821
779.821
986.96
779.821
779.821
3214.04
779.821
779.821
0.
779.821
779.821
779.821
µ8
781.295
781.295
781.295
986.96
986.96
986.96
986.96
986.96
986.96
986.96
986.96
986.96
1000.48
986.96
986.96
3356.87
986.96
986.96
0.
986.96
986.96
986.96
µ9
986.96
986.96
986.96
1218.56
1218.56
1218.56
1218.47
1218.47
1218.47
1218.49
1218.47
1218.47
1308.69
1218.47
1218.47
3382.53
1218.47
1218.47
0.
1218.47
1218.47
1218.47
µ10
Tab. 6.30: Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.9.
6. Resultados e discussão
95
Capítulo 7
Conclusões
Neste trabalho foi apresentado uma rota alternativa para resolver problemas em domínios
irregulares. O método proprõe escrever o problema estudado na forma de uma expansão na base de um problema de autovalor auxiliar definido em um domínio que envolve
o domínio original. Esta metodologia é aqui chamada de Técnica do Domínio Envolvente (TDE).
Assim, foram apresentados a formulação da solução de problemas de autovalor
unidimensionais, problemas de difusão unidimensionais e problemas de autovalor e
difusão unidimensionais com domínio móvel. Em cada solução foi definido o problema geral estudado, a forma da solução analítica ou numérica associada, o par de
transformação proposto, a transformação do problema geral com base na metodologia
proposta e a análise dos coeficientes inerentes à transformação integral.
Com o objetivo de enriquecer a comparação dos resultados, uma série de problemas testes e casos testes foram definidos como uma combinação única de condição de
contorno e condição inicial. Assim, tais problemas e casos foram implementados no
programa Mathematica [16] e foram apresentados na forma de tabelas e gráficos. Os
casos e problemas teste foram comparados com seus valores exatos conhecidos e uma
análise de convergência foi realizada. De modo geral, a taxa de convergência não só
depende da ordem de truncamento, mais também do número de casas decimais usado
no cálculo computacional (WP). Os resultados mostram, também, a tendência natu96
7. Conclusões
97
ral em que grandes autovalores ou potencias de temperatura requerem maior ordem
de precisão e de modo geral. Para todos os casos testados, e para ambos domínios, o
comportamento quanto a ordem de truncamento é o mesmo. Apesar disso, um comportamento diferente foi observado quando a precisão (WP), para cada caso e problema
teste. De maneira geral, os resultados sugerem que para cada combinação de condição
de contorno do problema original há um contorno do problema auxiliar, sendo este
de tipo diferente do problema original, onde uma melhor precisão pode ser obtida. O
domínio no qual o contorno foi defino próximo ao contorno envolvente apresenta uma
melhor taxa de convergência com a precisão (WP). Também, as autofunções auxiliares
baseadas em condições de contorno mistas, isto é, condições de Dirichlet em uma das
pontas e Neumann na outra, apresentam melhores resultados no caso da solução do
problema de autovalor. No caso do problema de difusão com domínio móvel apesar da
solução ter sido formalmente apresentada a implementação foi comprometida pois a
função NDSolve do programa Mathematica [16] não foi capaz de resolver a equação.
Assim, uma extensão natural para este trabalho é utilizar uma rotina mais robusta de
solução de equações diferenciais ordinárias.
É importante observar que por esta metodologia ser nova, o teste de sua aplicabilidade no problema unidimensional se fez necessária antes de a mesma ser aplicada em
problemas multidimensionais. Assim, um extensão natural deste trabalho é estender
a metodologia a problemas multidimensionais. Ficou evidente também, ao lidar com
o problema em domínio móvel, que uma rotina mais robusta de solução de equações
diferenciais ordinárias é necessária.
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98
7. Conclusões
99
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7. Conclusões
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7. Conclusões
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2009.
[32] L. M. da Silva e L. A. Sphaier. Integral transform solution of one-dimensional
diffusion problems using ana enclosing domain technique. In VI Congresso Nacional de engenharia mecânica (CONEM), Campina Grande, PB, Brazil, 2010.
[33] M. D. Mikhailov e M. N. Özişik. Unified Analysis and Solutions of Heat and
Mass Diffusion. Dover Publications, INC., 31 East 2nd Street, Mineola, N.Y.,
11501, 1st edition, 1984.
[34] M. D. Greenberg. Advanced Engineering Mathematics. Prentice Hall, Upper
Saddle River, NJ, 2nd edition, 1998.
Apêndice A
Resultados do problema de autovalor unidimensional
102
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 15
30 20
30 25
35 20
35 25
35 30
40 25
40 30
40 35
40 40
Exato
i max WP
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
−1.06907×106
−1.06907×106
−1.06907×106
9.86961 88.8264
246.74
483.611
799.44 1199.88 1794.54
3470.24 -13608.
9.86961 88.8264
246.74
483.611
799.44 1199.89 1794.54
3470.23 -13608.
9.86961 88.8264
246.74
483.611
799.44 1199.89 1794.54
3470.23 -13608.
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.68 2855.55
3623.07
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.68 2855.56
3623.11
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.68 2855.56
3623.11
47.4034 200.463
350.653
480.986
624.117 987.903 1327.04
1830.92 1972.01 2560.97-736.416 i
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
85.9573 Complexo Complexo Complexo Complexo 688.205 1003.42
1437.76 1930.62
Complexo
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
46.9238 210.301
329.751
394.986
644.047 988.184 Complexo Complexo 1937.19
2469.41
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
59.946 Complexo Complexo 398.816
601.899 644.859 997.822
1442.34 1930.49
2354.65
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
46.617
227.65
277.573
373.555
660.675 984.69 Complexo Complexo 1936.51
Complexo
9.87512 88.8197
246.733
483.611
799.431 1194.23 1667.96
2220.66 2852.32
3562.92
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
9.8696 88.8264
246.74
483.611
799.438 1194.22 1667.96
2220.66 2852.32
3562.93
µ1
Tab. A.1: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.25 e b = 0.75.
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
103
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
Tab. A.2: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com a = 0.25 e b = 0.75.
10 10 9.86962 88.8265 246.74
483.612
799.444
1212.1
1751.56
4198.81 -18498.7
10 15 9.86962 88.8265 246.74
483.612
799.444
1212.11
1751.56
4198.78 -18498.7
10 20 9.86962 88.8265 246.74
483.612
799.444
1212.11
1751.56
4198.78 -18498.7
15 10 -40.0646 56.1343 Complexo Complexo 663.673
835.4
1104.73
1491.78 1696.24
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2861.48
15 15 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2861.48
15 20 9.8696 88.8264 246.74
20 15 4.49025 62.7096 243.874
339.698
604.172
814.152
1107.19
1349.26 1710.49
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
20 20 9.8696 88.8264 246.74
20 25 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
25 15 19.8918 110.261 270.554
353.799
539.069
987.075 Complexo Complexo 1746.92
25 20 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
25 25 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
30 20 11.7942 116.848
231.4
395.48
584.541
832.695 Complexo Complexo 1693.78
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
30 25 9.8696 88.8264 246.74
30 30 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
35 25 53.143 111.374 195.378
373.089 Complexo Complexo 922.251
1214.83
1667.5
35 30 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
35 35 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
440 30 9.92008 108.464 228.308
378.857
537.097
824.505
941.281
1088.22 1669.22
40 35 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
40 40 9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
Exato
9.8696 88.8264 246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66 2852.32
i max WP
-887224.
-887224.
-887224.
2115.85
3601.47
3601.47
2081.86
3562.93
3562.93
2097.21
3562.93
3562.93
2013.88
3562.93
3562.93
2176.94
3562.93
3562.93
1937.51
3562.93
3562.93
3562.93
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
104
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
Tab. A.3: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com a = 0.25 e b = 0.75.
10 10 9.86962
88.8265
246.74
483.611
799.49
1196.28
1931.65
3223.81 -11993.2
10 15 9.86962
88.8265
246.74
483.611
799.49
1196.28
1931.65
3223.81 -11993.2
10 20 9.86962
88.8265
246.74
483.611
799.49
1196.28
1931.65
3223.81 -11993.2
15 10 9.86962
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.97
2220.61
2854.53
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.77
2853.71
15 15
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.77
2853.71
15 20
20 10 51.2607
115.734
260.636
351.695
552.995
774.068
1198.27
1546.72
1909.26
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
20 15
20 20
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
25 15 Complexo Complexo 342.049 Complexo Complexo 600.932
917.87
1272.87 Complexo
25 20
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
25 25
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
30 20 -36.8077 Complexo Complexo Complexo Complexo 553.476 Complexo Complexo 1578.09
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
30 25
30 30
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
35 20 Complexo Complexo Complexo Complexo 518.876 Complexo Complexo Complexo Complexo
35 25
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
35 30
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
40 30 8.43202
85.5236
245.542
482.95
798.66
1194.03
1668.52
2219.04 Complexo
40 35
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
40 40
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
Exato
9.8696
88.8264
246.74
483.611
799.438
1194.22
1667.96
2220.66
2852.32
i max WP
3694.68
3685.57
3685.57
2323.46
3562.93
3562.93
Complexo
3562.93
3562.93
Complexo
3562.93
3562.93
1729.78
3562.93
3562.93
Complexo
3562.93
3562.93
3562.93
µ10
−1.64555×106
−1.64555×106
−1.64555×106
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
105
µ1
9.8696
9.8696
9.8696
9.86953
9.8696
9.8696
5.6442
9.8696
9.8696
32.641
9.8696
9.8696
47.4828
9.8696
9.8696
41.5253
9.8696
9.8696
11.2551
9.8696
9.8696
9.8696
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 15
25 20
25 25
30 20
30 25
30 30
35 20
35 25
35 30
40 30
40 35
40 40
Exato
88.8264
88.8264
88.8264
88.8264
88.8264
88.8264
49.2846
88.8264
88.8264
100.274
88.8264
88.8264
130.896
88.8264
88.8264
155.888
88.8264
88.8264
84.4527
88.8264
88.8264
88.8264
µ2
246.74
246.74
246.74
246.74
246.74
246.74
164.408
246.74
246.74
211.6
246.74
246.74
213.053
246.74
246.74
206.192
246.74
246.74
246.074
246.74
246.74
246.74
µ3
483.611
483.611
483.611
483.611
483.611
483.611
355.702
483.611
483.611
247.353
483.611
483.611
436.129
483.611
483.611
358.078
483.611
483.611
483.072
483.611
483.611
483.611
µ4
799.562
799.562
799.562
799.438
799.438
799.438
630.354
799.438
799.438
616.839
799.438
799.438
536.453
799.438
799.438
627.796
799.438
799.438
800.64
799.438
799.438
799.438
µ5
µ7
µ8
µ9
µ10
−1.38432×106
−1.38432×106
−1.38432×106
1208.43 1864.71
3850.12 -16499.8
1208.43 1864.71
3850.11 -16499.8
1208.43 1864.71
3850.11 -16499.8
1194.22 1667.96
2220.8
2860.
3659.14
1194.22 1667.96
2220.8
2860.07
3659.46
1194.22 1667.96
2220.8
2860.07
3659.46
949.381 Complexo Complexo 1420.99 1886.42-174.641 i
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
682.978 1079.84
1420.33
1718.07
2141.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
657.268 1011.8
1418.69
1590.44
2092.98
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
696.003 803.27
1404.82
1520.09
2070.27
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.25 -1238.61 1668.61 Complexo
Complexo
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
1194.22 1667.96
2220.66
2852.32
3562.93
µ6
Tab. A.4: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com a = 0.25 e b = 0.75.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
106
µ1
6.57389
6.57389
6.57389
3.94386
3.94386
3.94386
3.85799
3.85799
3.85799
3.85546
3.85546
3.85546
3.85532
3.85532
3.85532
3.85531
3.85531
3.85531
3.85532
3.85531
3.85531
3.85531
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
41.1659
41.1659
41.1659
34.7558
34.7558
34.7558
34.7019
34.7019
34.7019
34.6979
34.6979
34.6979
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
µ2
99.0405
99.0405
99.0405
96.5015
96.5015
96.5015
96.3853
96.3853
96.3853
96.383
96.383
96.383
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
µ3
194.339
194.339
194.339
189.003
189.003
189.003
188.915
188.915
188.915
188.911
188.911
188.911
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.911
188.91
188.91
188.91
µ4
-223.415
-223.415
-223.415
312.394
312.394
312.394
312.286
312.286
312.286
312.281
312.281
312.281
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
µ5
318.499
318.499
318.499
466.721
466.721
466.721
466.497
466.497
466.497
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
µ6
471.033
471.033
471.033
651.718
651.718
651.718
651.558
651.558
651.558
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
µ7
666.728
666.728
666.728
867.882
867.882
867.882
867.455
867.455
867.455
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
µ8
886.945
886.945
886.945
1114.93
1114.93
1114.93
1114.2
1114.2
1114.2
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
µ9
-12140.6
-12140.6
-12140.6
1392.56
1392.56
1392.56
1391.8
1391.8
1391.8
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
µ10
Tab. A.5: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
107
µ1
µ2
µ3
µ4
µ6
µ7
µ8
312.582 471.382
661.67
1015.37
312.582 471.382
661.67
1015.37
312.582 471.382
661.67
1015.37
312.288 466.559
651.844
867.885
312.288 466.559
651.844
867.885
312.288 466.559
651.844
867.885
312.28 466.496
651.555
867.462
312.281 466.496
651.555
867.462
312.281 466.496
651.555
867.462
312.28 466.493
651.548
867.446
312.28 466.493
651.548
867.446
312.28 466.493
651.548
867.446
312.188 Complexo Complexo 917.482
312.28 466.493
651.548
867.446
312.28 466.493
651.548
867.446
319.493 473.548 Complexo Complexo
312.28 466.493
651.548
867.446
312.28 466.493
651.548
867.446
394.209 -437.154 Complexo Complexo
312.28 466.493
651.548
867.446
312.28 466.493
651.548
867.446
312.28 466.493
651.548
867.446
µ5
-2143.17
-2143.17
-2143.17
1115.46
1115.46
1115.46
1114.2
1114.2
1114.2
1114.19
1114.19
1114.19
1121.87
1114.19
1114.19
Complexo
1114.19
1114.19
Complexo
1114.19
1114.19
1114.19
µ9
Tab. A.6: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com a = 0.1 e b = 0.9.
10 10 7.99614
39.0408 98.3079 189.235
10 15 7.99615
39.0408 98.3079 189.235
10 20 7.99615
39.0408 98.3079 189.235
15 10
3.9572
34.772 96.4234 188.916
3.9572
34.772 96.4234 188.916
15 15
3.9572
34.772 96.4234 188.916
15 20
20 10 3.85937
34.7008 96.3842 188.911
3.8591
34.7008 96.3842 188.911
20 15
20 20
3.8591
34.7008 96.3842 188.911
25 10 3.85546
34.698 96.3829 188.91
25 15 3.85548
34.6979 96.3829 188.91
25 20 3.85548
34.6979 96.3829 188.91
30 10
-1.4119
64.7028 102.135 201.331
34.6978 96.3829 188.91
30 15 3.85532
30 20 3.85532
34.6978 96.3829 188.91
35 10 -6.59501 98.1941 107.217 246.194
35 15 3.85531
34.6978 96.3829 188.91
35 20 3.85531
34.6978 96.3829 188.91
40 10 Complexo Complexo 200.143 291.474
40 15 3.85531
34.6978 96.3829 188.91
40 20 3.85531
34.6978 96.3829 188.91
Exato
3.85531
34.6978 96.3829 188.91
i max WP
-8562.06
-8562.06
-8562.06
1392.79
1392.79
1392.79
1391.8
1391.8
1391.8
1391.77
1391.77
1391.77
1421.45
1391.77
1391.77
Complexo
1391.77
1391.77
Complexo
1391.77
1391.77
1391.77
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
108
µ1
4.17344
4.17344
4.17344
3.8592
3.8592
3.8592
3.85547
3.85547
3.85547
3.85532
3.85532
3.85532
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85532
3.85531
3.85531
3.85531
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
36.9152
36.9152
36.9152
34.7326
34.7326
34.7326
34.6991
34.6991
34.6991
34.6979
34.6979
34.6979
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
µ2
101.561
101.561
101.561
96.4617
96.4617
96.4617
96.3861
96.3861
96.3861
96.383
96.383
96.383
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
µ3
-127.48
-127.48
-127.48
189.06
189.06
189.06
188.915
188.915
188.915
188.911
188.911
188.911
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
µ4
194.623
194.623
194.623
312.434
312.434
312.434
312.287
312.287
312.287
312.281
312.281
312.281
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
µ5
320.522
320.522
320.522
466.684
466.684
466.684
466.498
466.498
466.498
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
µ6
471.614
471.614
471.614
651.638
651.638
651.638
651.552
651.552
651.552
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
µ7
657.622
657.622
657.622
867.472
867.472
867.472
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
µ8
868.262
868.262
868.262
1114.21
1114.21
1114.21
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
µ9
-83122.9
-83122.9
-83122.9
1392.68
1392.68
1392.68
1391.78
1391.78
1391.78
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
µ10
Tab. A.7: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
109
µ1
3.85772
3.85772
3.85772
3.85535
3.85535
3.85535
3.85532
3.85532
3.85532
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
3.85531
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
34.7109
34.7109
34.7109
34.6983
34.6984
34.6984
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
34.6978
µ2
96.4788
96.4788
96.4788
96.3837
96.3837
96.3837
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
96.3829
µ3
189.067
189.067
189.067
188.914
188.914
188.914
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
188.91
µ4
312.668
312.668
312.668
312.288
312.288
312.288
312.281
312.281
312.281
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
312.28
µ5
468.274
468.274
468.274
466.502
466.502
466.502
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
466.493
µ6
653.749
653.749
653.749
651.59
651.59
651.59
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
651.548
µ7
945.88
945.88
945.88
867.506
867.506
867.506
867.447
867.447
867.447
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
867.446
µ8
-1923.98
-1923.98
-1923.98
1114.34
1114.34
1114.34
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
1114.19
µ9
µ10
-65364.5
-65364.5
-65364.5
1392.65
1392.65
1392.65
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
1391.77
Tab. A.8: Problema teste 2 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
110
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 15
30 20
30 25
35 20
35 25
35 30
40 20
40 25
40 30
Exato
i max WP
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
13.4924 92.7694
250.719
487.6
803.433
1203.93 1803.21 3473.37
13.4924 92.7694
250.719
487.6
803.433
1203.93 1803.21 3473.36
13.4924 92.7694
250.719
487.6
803.433
1203.93 1803.21 3473.36
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.68
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.68
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.68
40.2031 182.702
347.668 427.64 655.249
985.308 1360.15 1469.6
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
31.3113 130.11
328.903 371.275 685.675
966.272 1067.12 1512.47
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
40.0782 183.131
329.541 375.427 655.897
983.406 1273.43 1440.04
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
45.9959 Complexo Complexo 387.532 Complexo Complexo 998.677 1445.95
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
51.263 Complexo Complexo 449.698 667.61
770.986 1153.17 Complexo
13.4651 92.7678
250.715 487.596 803.428
1198.22 1671.97 2224.66
13.4842 92.7468
250.723 487.598 803.425
1198.22 1671.97 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22 1671.96 2224.66
µ1
-13598.2
-13598.2
-13598.2
2859.56
2859.57
2859.57
1920.33
2856.31
2856.31
1877.85
2856.31
2856.31
1933.34
2856.31
2856.31
1930.45
2856.31
2856.31
Complexo
2856.31
2856.31
2856.31
µ9
Tab. A.9: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 1 com a = 0.25 e b = 0.75.
-540884.
-540884.
-540884.
3628.51
3628.55
3628.55
Complexo
3566.93
3566.93
1915.06
3566.93
3566.93
2487.39
3566.93
3566.93
2378.47
3566.93
3566.93
1958.95
3566.93
3566.93
3566.93
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
111
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 15
20 20
20 25
25 15
25 20
25 25
30 20
30 25
30 30
35 25
35 30
35 35
40 30
40 35
40 40
Exato
i max WP
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
13.4924 92.7694
250.719
487.601
803.436 1216.44 1758.86 4202.67
13.4924 92.7694
250.719
487.601
803.436 1216.51 1758.9 4202.05
13.4924 92.7694
250.719
487.601
803.436 1216.51 1758.9 4202.05
9.85077 83.5339
420.079 Complexo Complexo 842.211 1076.66 1814.04
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
14.6953 61.3269
251.822
338.971
609.226 818.746 1107.94 1345.38
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
34.8594 Complexo Complexo 313.272
507.683 793.319 1167.46 1298.31
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
31.042 81.9897
247.16
272.407
419.813 803.251 969.159 1388.61
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
36.7241 122.447
225.721
371.971
590.031 642.532 903.058 1176.47
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
15.8556 109.753
232.102
382.449
534.667 830.156 936.13 1085.13
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
13.4924 92.7693
250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
µ1
-18476.4
-18475.7
-18475.7
Complexo
2865.61
2865.61
1713.07
2856.31
2856.31
1759.69
2856.31
2856.31
1694.62
2856.31
2856.31
1676.86
2856.31
2856.31
1678.09
2856.31
2856.31
2856.31
µ9
Tab. A.10: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com a = 0.25 e b = 0.75.
-449343.
-449344.
-449344.
Complexo
3606.49
3606.49
2080.6
3566.93
3566.93
2109.94
3566.93
3566.93
2102.52
3566.93
3566.93
2075.95
3566.93
3566.93
1937.15
3566.93
3566.93
3566.93
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
112
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
Tab. A.11: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com a = 0.25 e b = 0.75.
µ1
10 10 13.4924
92.7694
250.719
487.6
803.49
1200.27
1942.5
3227.85 -11989.2
10 15 13.4924
92.7694
250.719
487.6
803.49
1200.27
1942.5
3227.85 -11989.2
10 20 13.4924
92.7694
250.719
487.6
803.49
1200.27
1942.5
3227.85 -11989.2
15 10 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.78
2857.67
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.78
2857.7
15 15 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.78
2857.7
15 20 13.4924
20 10
-29.165 Complexo Complexo 385.078
544.602
791.948
1318.77 Complexo Complexo
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
20 15 13.4924
20 20 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
25 15 Complexo Complexo 333.532 Complexo Complexo 602.949
978.245
1273.25 Complexo
25 20 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
25 25 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
30 20 Complexo Complexo -339.87 Complexo Complexo 577.584 Complexo Complexo 1580.97
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
30 25 13.4924
30 30 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
35 20 Complexo Complexo Complexo Complexo 517.094 Complexo Complexo Complexo Complexo
35 25 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
35 30 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
40 30 13.5957
93.9106
249.894
486.683
802.594
1198.71
1672.46
2227.39 Complexo
40 35 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
40 40 13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
Exato
13.4924
92.7693
250.719
487.6
803.431
1198.22
1671.96
2224.66
2856.31
i max WP
-831309.
-831309.
-831309.
3691.44
3691.52
3691.52
Complexo
3566.93
3566.93
Complexo
3566.93
3566.93
Complexo
3566.93
3566.93
1763.08
3566.93
3566.93
Complexo
3566.93
3566.93
3566.93
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
113
µ1
13.4924
13.4924
13.4924
13.4923
13.4924
13.4924
47.3153
13.4924
13.4924
46.7914
13.4924
13.4924
50.9328
13.4924
13.4924
49.773
13.4924
13.4924
14.576
13.4924
13.4924
13.4924
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 15
25 20
25 25
30 20
30 25
30 30
35 20
35 25
35 30
40 30
40 35
40 40
Exato
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
92.7694 250.719
487.601
803.57 1212.46 1875.1 3853.12
-16490.
92.7694 250.719
487.601
803.57 1212.46 1875.1 3853.19
-16490.
92.7694 250.719
487.601
803.57 1212.46 1875.1 3853.19
-16490.
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.8
2864.01
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.8
2864.09
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.8
2864.09
164.041 375.868 Complexo Complexo 630.63 1326.55 Complexo Complexo
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
98.0566 Complexo Complexo 585.319 665.34 1046.61 1419.99
1772.78
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
114.501 225.584 Complexo Complexo 650.959 1011.15 1419.01
1707.98
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
102.476 Complexo Complexo 540.174 695.904 1066.91 1403.14
1565.21
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.3443 250.917
487.662
804.197 1199.99 1670.55 -1691.16 2226.43
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
92.7693 250.719
487.6
803.431 1198.22 1671.96 2224.66
2856.31
µ2
Tab. A.12: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com a = 0.25 e b = 0.75.
i max WP
-699863.
-699863.
-699863.
3665.47
3665.54
3665.54
Complexo
3566.93
3566.93
2087.18
3566.93
3566.93
2052.48
3566.93
3566.93
2053.06
3566.93
3566.93
2855.1
3566.93
3566.93
3566.93
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
114
µ1
7.6116
7.6116
7.6116
6.04988
6.04988
6.04988
5.99529
5.99529
5.99529
5.99386
5.99386
5.99386
5.99378
5.99378
5.99378
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
42.5777
42.5777
42.5777
37.1806
37.1806
37.1806
37.1378
37.1378
37.1378
37.1345
37.1345
37.1345
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
µ2
101.418
101.418
101.418
98.9638
98.9638
98.9638
98.8611
98.8611
98.8611
98.8589
98.8589
98.8589
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
µ3
196.395
196.395
196.395
191.493
191.493
191.493
191.402
191.402
191.402
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
µ4
-218.711
-218.711
-218.711
314.885
314.885
314.885
314.778
314.778
314.778
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
µ5
321.44
321.44
321.44
469.228
469.228
469.228
468.992
468.992
468.992
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
µ6
473.724
473.724
473.724
654.222
654.222
654.222
654.055
654.055
654.055
654.045
654.045
654.045
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
µ7
669.738
669.738
669.738
870.384
870.384
870.384
869.952
869.952
869.952
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
µ8
889.661
889.661
889.661
1117.43
1117.43
1117.43
1116.7
1116.7
1116.7
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
µ9
-5971.19
-5971.19
-5971.19
1395.04
1395.04
1395.04
1394.3
1394.3
1394.3
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
µ10
Tab. A.13: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
115
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
Tab. A.14: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com a = 0.1 e b = 0.9.
10 10 8.63525
40.3602
100.169 191.523 315.314 474.595
664.744
1019.55 -1974.39
10 15 8.63525
40.3602
100.169 191.523 315.314 474.595
664.744
1019.54 -1974.39
10 20 8.63525
40.3602
100.169 191.523 315.314 474.595
664.744
1019.54 -1974.39
15 10 6.05292
37.1877
98.8866
191.4 314.786 469.065
654.356
870.39
1117.95
37.1877
98.8866
191.4 314.786 469.065
654.356
870.39
1117.95
15 15 6.05292
37.1877
98.8866
191.4 314.786 469.065
654.356
870.39
1117.95
15 20 6.05292
20 10 5.99594
37.1365
98.8597 191.398 314.773 468.991
654.051
869.96
1116.7
37.1365
98.8597 191.398 314.773 468.991
654.051
869.96
1116.7
20 15 5.99594
20 20 5.99594
37.1365
98.8597 191.398 314.773 468.991
654.051
869.96
1116.7
25 10 5.99398
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.045
869.943
1116.68
25 15 5.99387
37.1345
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.045
869.943
1116.68
25 20 5.99387
37.1345
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.045
869.943
1116.68
30 10 -1.40282 102.547
190.587 228.411 319.99 Complexo Complexo 933.472
1134.2
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
30 15 5.99378
30 20 5.99378
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
35 10 -14.0919 Complexo Complexo 258.901 346.43 474.675 Complexo Complexo Complexo
35 15 5.99377
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
35 20 5.99377
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
40 10 Complexo Complexo 195.214 294.423 390.198 -686.468 Complexo Complexo Complexo
40 15 5.99377
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
40 20 5.99377
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
Exato
5.99377
37.1344
98.8588 191.398 314.773 468.988
654.044
869.943
1116.68
i max WP
-4404.21
-4404.21
-4404.21
1395.25
1395.25
1395.25
1394.3
1394.3
1394.3
1394.27
1394.27
1394.27
1432.32
1394.27
1394.27
Complexo
1394.27
1394.27
Complexo
1394.27
1394.27
1394.27
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
116
µ1
6.41965
6.41965
6.41965
5.99876
5.99876
5.99876
5.99398
5.99398
5.99398
5.99378
5.99378
5.99378
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
39.3749
39.3749
39.3749
37.1707
37.1707
37.1707
37.1357
37.1357
37.1357
37.1345
37.1345
37.1345
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
µ2
104.079
104.079
104.079
98.938
98.938
98.938
98.8621
98.8621
98.8621
98.8589
98.8589
98.8589
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
µ3
-127.438
-127.438
-127.438
191.548
191.548
191.548
191.403
191.403
191.403
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
µ4
197.087
197.087
197.087
314.926
314.926
314.926
314.779
314.779
314.779
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
µ5
322.963
322.963
322.963
469.177
469.177
469.177
468.993
468.993
468.993
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
µ6
474.086
474.086
474.086
654.134
654.134
654.134
654.048
654.048
654.048
654.045
654.045
654.045
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
µ7
659.905
659.906
659.906
869.967
869.967
869.967
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
µ8
870.719
870.719
870.719
1116.71
1116.71
1116.71
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
µ9
-42422.6
-42422.6
-42422.6
1395.22
1395.22
1395.22
1394.28
1394.28
1394.28
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
µ10
Tab. A.15: Problema teste 3 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
117
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
5.99866
5.99866
5.99866
5.99382
5.99382
5.99382
5.99377
5.99378
5.99378
5.99377
5.99377
5.99377
5.99376
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
5.99377
37.1497
37.1497
37.1497
37.1351
37.1351
37.1351
37.1342
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
37.1344
98.9643
98.9643
98.9643
98.8597
98.8597
98.8597
98.859
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
98.8588
191.562
191.562
191.562
191.401
191.401
191.401
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
191.398
315.152
315.152
315.152
314.78
314.78
314.78
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
314.773
470.722
470.722
470.722
468.997
468.997
468.997
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
468.988
656.262
656.262
656.262
654.085
654.085
654.085
654.045
654.045
654.045
654.044
654.044
654.044
654.045
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
654.044
947.605
947.605
947.605
870.005
870.005
870.005
869.944
869.944
869.944
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
869.943
-1920.62
-1920.62
-1920.62
1116.84
1116.84
1116.84
1116.69
1116.69
1116.69
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
1116.68
-33432.6
-33432.6
-33432.6
1395.18
1395.18
1395.18
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
1394.27
Tab. A.16:
dosµautovalores
4 com
e 9b = 0.9. µ10
i max WP
µ1 Problema
µ2 teste 3µ-3Convergência
µ4
µ6 para o casos
µ7
µ8 a = 0.1 µ
5
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
118
µ1
1.70707
1.70707
1.70707
1.7073
1.70705
1.70705
44.4605
1.70705
1.70705
43.2537
1.70705
1.70705
45.5431
1.70705
1.70705
44.8643
1.70705
1.70705
42.2247
1.70207
1.70705
1.70705
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 15
25 20
25 25
30 15
30 20
30 25
35 20
35 25
35 30
40 25
40 30
40 35
Exato
µ3
µ4
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
132.678 365.45-2.2732 i 365.45+2.2732 i
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
133.92
342.329
357.065
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
102.213
248.793
359.254
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
128.054
300.804
357.091
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
136.328
315.779
361.266
43.3583
161.873
359.291
43.3572
161.881
359.291
43.3572
161.881
359.291
µ2
µ6
µ7
µ9
3232.76
3232.83
3232.83
2180.88
3201.75
3201.75
2038.88
3201.75
3201.75
2218.84
3201.75
3201.75
Complexo
3201.75
3201.75
1979.75
3201.75
3201.75
3201.75
µ10
2107.53 -505489. 1.05365×106
2107.53 -505489. 1.05365×106
2107.53 -505489. 1.05365×106
µ8
635.656 990.955
1493.4
635.656 990.955
1493.4
635.656 990.955
1493.4
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.66
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.64
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.64
711.572 993.395
1076.48 1293.24 1939.28
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
685.948 947.928
979.09 1475.61 1927.08
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
499.512 Complexo Complexo 1539.53 1936.14
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
647.881 837.197
986.286 1461.18 1930.42
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.748 983.134
1061.12 1441.56 1914.8
635.645 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
635.646 990.955
1425.22 1938.44 2530.62
µ5
Tab. A.17: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.25 e b = 0.75.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
119
µ1
1.70256
1.70706
1.70706
1.7071
1.70705
1.70705
25.937
1.70705
1.70705
35.2525
1.70705
1.70705
35.089
1.70705
1.70705
38.5028
1.70705
1.70705
40.4912
1.70705
1.70705
1.70705
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 15
20 20
20 25
25 15
25 20
25 25
30 20
30 25
30 30
35 20
35 25
35 30
40 30
40 35
40 40
Exato
43.3577
43.3572
43.3572
43.3572
43.3572
43.3572
123.684
43.3572
43.3572
Complexo
43.3572
43.3572
Complexo
43.3572
43.3572
Complexo
43.3572
43.3572
Complexo
43.3572
43.3572
43.3572
µ2
161.881
161.881
161.881
161.881
161.881
161.881
181.008
161.881
161.881
Complexo
161.881
161.881
Complexo
161.881
161.881
Complexo
161.881
161.881
Complexo
161.881
161.881
161.881
µ3
µ5
µ6
µ7
µ8
359.29 635.653
991.95 1500.03 2198.99
359.291 635.652
991.804 1499.92 2205.77
359.291 635.652
991.804 1499.92 2205.77
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
438.102 Complexo Complexo 1158.47 1378.39
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
349.161 572.855
664.01 1075.75 Complexo
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
336.205 566.76
675.651 1129.57 1392.91
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
436.576 Complexo Complexo 1138.57 1373.62
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
390.052 Complexo Complexo 1032.32 1335.79
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
359.291 635.646
990.955 1425.22 1938.44
µ4
-415939.
-415941.
-415941.
2531.11
2531.12
2531.12
1543.23
2530.62
2530.62
Complexo
2530.62
2530.62
1568.51
2530.62
2530.62
1482.96
2530.62
2530.62
1494.41
2530.62
2530.62
2530.62
µ9
Tab. A.18: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 2 com a = 0.25 e b = 0.75.
i max WP
3235.89
3236.47
3236.47
2211.47
3201.75
3201.75
2310.35
3201.75
3201.75
2243.41
3201.75
3201.75
2117.82
3201.75
3201.75
2153.18
3201.75
3201.75
3201.75
µ10
1.63812×106
1.63811×106
1.63811×106
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
120
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 15
20 20
20 25
25 15
25 20
25 25
30 20
30 25
30 30
35 25
35 30
35 35
40 35
40 40
40 45
Exato
i max WP
µ3
1.69754
43.3585
161.881
1.70707
43.3572
161.881
1.70707
43.3572
161.881
12.4549
138.506
177.091
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
53.6406
167.28
187.394
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
32.225
156.028
192.176
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
72.2575 178.453-16.4339 i 178.453+16.4339 i
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
12.8668
129.98
170.465
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
1.91922
46.2309
162.219
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
1.70705
43.3572
161.881
µ2
359.285
359.291
359.291
437.929
359.291
359.291
-317.628
359.291
359.291
426.998
359.291
359.291
-313.936
359.291
359.291
394.758
359.291
359.291
359.225
359.291
359.291
359.291
µ4
635.652
635.652
635.652
633.839
635.646
635.646
638.638
635.646
635.646
632.502
635.646
635.646
396.726
635.646
635.646
630.562
635.646
635.646
635.751
635.646
635.646
635.646
µ5
991.57
991.873
991.873
796.973
990.955
990.955
749.798
990.955
990.955
751.167
990.955
990.955
646.784
990.955
990.955
737.337
990.955
990.955
990.97
990.955
990.955
990.955
µ6
1497.53
1497.67
1497.67
1202.46
1425.22
1425.22
1020.21
1425.22
1425.22
1007.27
1425.22
1425.22
689.222
1425.22
1425.22
1145.09
1425.22
1425.22
1424.99
1425.22
1425.22
1425.22
µ7
2213.57
2213.13
2213.13
1420.89
1938.44
1938.44
1432.3
1938.44
1938.44
1400.03
1938.44
1938.44
1419.03
1938.44
1938.44
1422.93
1938.44
1938.44
1938.48
1938.44
1938.44
1938.44
µ8
µ9
-790801.
-790800.
-790800.
1721.26
2531.14
2531.14
1540.7
2530.62
2530.62
1552.12
2530.62
2530.62
1455.27
2530.62
2530.62
1642.76
2530.62
2530.62
2530.64
2530.62
2530.62
2530.62
Tab. A.19: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 3 com a = 0.25 e b = 0.75.
µ1
864223.
864223.
864223.
2509.21
3235.88
3235.88
1966.35
3201.75
3201.75
2198.83
3201.75
3201.75
2029.56
3201.75
3201.75
2078.18
3201.75
3201.75
3202.03
3201.75
3201.75
3201.75
µ10
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
121
µ1
µ2
µ3
µ4
µ5
µ6
µ7
µ8
-658059.
-658059.
-658059.
2530.84
2530.77
2530.77
Complexo
2530.62
2530.62
1714.9
2530.62
2530.62
1581.39
2530.62
2530.62
1504.57
2530.62
2530.62
2530.63
2530.62
2530.62
2530.62
µ9
Tab. A.20: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o caso 4 com a = 0.25 e b = 0.75.
10 10 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646
991.1
1545.81 2200.01
10 15 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646
991.1
1545.81 2200.01
10 20 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646
991.1
1545.81 2200.01
15 10 1.70662
43.3569 161.881 359.291 635.646 990.942
1425.22 1938.46
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.45
15 15 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.45
15 20 1.70705
20 10 Complexo Complexo 165.13 387.05 629.794 Complexo Complexo 1421.01
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
20 15 1.70705
20 20 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
25 15 32.5285
123.909 159.196 262.592 615.29 678.596
1080.56 1420.31
25 20 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
25 25 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
30 20 19.3402
155.442 169.145 412.84 524.628 632.025
999.975 1418.37
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
30 25 1.70705
30 30 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
35 20 41.5251
155.902 206.581 358.077 627.994 701.216
799.914 1420.92
35 25 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
35 30 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
40 30 1.50755
43.4307 161.913 360.708 635.618 990.704
1425.22 1938.47
40 35 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
40 40 1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
Exato
1.70705
43.3572 161.881 359.291 635.646 990.955
1425.22 1938.44
i max WP
3258.24
3258.32
3258.32
Complexo
3201.75
3201.75
2145.25
3201.75
3201.75
2082.8
3201.75
3201.75
2070.78
3201.75
3201.75
-2789.07
3201.75
3201.75
3201.75
µ10
1.36551×106
1.36551×106
1.36551×106
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
122
µ1
4.45465
4.45465
4.45465
1.02386
1.02386
1.02386
0.980963
0.980963
0.980963
0.977789
0.977789
0.977789
0.978867
0.977716
0.977716
0.978047
0.97771
0.97771
0.977746
0.97771
0.97771
0.97771
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
20.5094
20.5094
20.5094
17.9355
17.9355
17.9355
17.7942
17.7942
17.7942
17.7915
17.7915
17.7915
17.7914
17.7913
17.7913
17.7914
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
µ2
68.683
68.683
68.683
64.1965
64.1965
64.1965
64.1516
64.1516
64.1516
64.1481
64.1481
64.1481
64.1478
64.1481
64.1481
64.1479
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
µ3
141.845
141.845
141.845
141.303
141.303
141.303
141.275
141.275
141.275
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
µ4
249.262
249.262
249.262
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
µ5
389.444
389.444
389.444
388.094
388.094
388.094
388.026
388.026
388.026
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
µ6
572.532
572.532
572.532
557.805
557.805
557.805
557.67
557.67
557.67
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
µ7
775.082
775.082
775.082
758.856
758.856
758.856
758.149
758.149
758.149
758.139
758.139
758.139
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
µ8
-5234.36
-5234.36
-5234.36
990.083
990.083
990.083
989.492
989.492
989.492
989.459
989.459
989.459
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
µ9
µ10
14099.5
14099.5
14099.5
1253.68
1253.68
1253.68
1251.64
1251.64
1251.64
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
Tab. A.21: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
123
µ1
2.03217
2.03217
2.03217
1.00302
1.00302
1.00302
0.978669
0.978669
0.978669
0.98148
0.977751
0.977751
1.00847
0.977712
0.977712
0.977838
0.97771
0.97771
0.977794
0.97771
0.97771
0.97771
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 15
40 20
40 25
Exato
21.1817
21.1817
21.1817
17.854
17.854
17.854
17.7937
17.7937
17.7937
17.7902
17.7914
17.7914
17.7784
17.7913
17.7913
17.7911
17.7913
17.7913
17.7912
17.7913
17.7913
17.7913
µ2
66.3101
66.3101
66.3101
64.1922
64.1922
64.1922
64.1495
64.1495
64.1495
64.148
64.1481
64.1481
64.1466
64.1481
64.1481
64.1481
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
µ3
142.153
142.153
142.153
141.284
141.284
141.284
141.275
141.275
141.275
141.274
141.274
141.274
141.272
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
µ4
249.563
249.563
249.563
249.233
249.233
249.233
249.231
249.231
249.231
249.23
249.231
249.231
249.23
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
µ5
389.63
389.63
389.63
388.081
388.081
388.081
388.026
388.026
388.026
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
µ6
568.498
568.498
568.498
557.799
557.799
557.799
557.667
557.667
557.667
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
µ7
776.785
776.785
776.785
758.548
758.548
758.548
758.149
758.149
758.149
758.138
758.139
758.139
758.139
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
µ8
-3489.26
-3489.26
-3489.26
990.152
990.152
990.152
989.475
989.475
989.475
989.458
989.459
989.459
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
µ9
µ10
87318.1
87318.1
87318.1
1252.56
1252.56
1252.56
1251.64
1251.64
1251.64
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
Tab. A.22: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 2 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
124
µ1
2.8914
2.8914
2.8914
1.03912
1.03912
1.03912
0.973342
0.980077
0.980077
0.969167
0.977812
0.977812
44.5208
0.977714
0.977714
45.2517
0.97771
0.97771
38.141
0.97771
0.97771
0.97771
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
21.3198
21.3198
21.3198
17.8715
17.8715
17.8715
17.7971
17.7944
17.7944
17.7962
17.7914
17.7914
67.4084
17.7913
17.7913
71.6822
17.7913
17.7913
66.2938
17.7913
17.7913
17.7913
µ2
66.365
66.365
66.365
64.2052
64.2052
64.2052
64.1501
64.15
64.15
64.148
64.1481
64.1481
185.7
64.1481
64.1481
185.176
64.148
64.148
162.032
64.148
64.148
64.148
µ3
142.337
142.337
142.337
141.29
141.29
141.29
141.275
141.275
141.275
141.275
141.274
141.274
243.581
141.274
141.274
244.685
141.274
141.274
250.309
141.274
141.274
141.274
µ4
249.447
249.447
249.447
249.234
249.234
249.234
249.231
249.231
249.231
249.228
249.231
249.231
419.932
249.231
249.231
412.159
249.231
249.231
366.489
249.231
249.231
249.231
µ5
389.168
389.168
389.168
388.071
388.071
388.071
388.028
388.026
388.026
388.025
388.025
388.025
544.301
388.025
388.025
542.017
388.025
388.025
553.696
388.025
388.025
388.025
µ6
566.817
566.817
566.817
557.785
557.785
557.785
557.666
557.666
557.666
557.663
557.661
557.661
562.735
557.661
557.661
719.154
557.661
557.661
649.772
557.661
557.661
557.661
µ7
775.559
775.558
775.558
758.525
758.525
758.525
758.151
758.148
758.148
758.139
758.139
758.139
-836.012
758.138
758.138
-823.779
758.138
758.138
953.749
758.138
758.138
758.138
µ8
9790.75
9790.75
9790.75
990.145
990.145
990.145
989.475
989.475
989.475
989.459
989.459
989.459
974.828
989.458
989.458
971.614
989.458
989.458
1028.98
989.458
989.458
989.458
µ9
µ10
-41484.
-41484.
-41484.
1252.56
1252.56
1252.56
1251.64
1251.65
1251.65
1251.62
1251.62
1251.62
1085.19
1251.62
1251.62
1102.15
1251.62
1251.62
1385.29
1251.62
1251.62
1251.62
Tab. A.23: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 3 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
125
µ1
0.977934
0.977934
0.977934
0.977713
0.977713
0.977713
0.97771
0.97771
0.97771
0.977211
0.97771
0.97771
0.977779
0.97771
0.97771
0.97731
0.97771
0.97771
0.977659
0.97771
0.97771
0.97771
10 10
10 15
10 20
15 10
15 15
15 20
20 10
20 15
20 20
25 10
25 15
25 20
30 10
30 15
30 20
35 10
35 15
35 20
40 10
40 15
40 20
Exato
17.7946
17.7946
17.7946
17.7914
17.7914
17.7914
17.7913
17.7913
17.7913
17.791
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
17.7917
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
17.7913
µ2
64.2148
64.2148
64.2148
64.1486
64.1486
64.1486
64.1481
64.1481
64.1481
64.1481
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
64.148
µ3
141.397
141.397
141.397
141.279
141.279
141.279
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
141.274
µ4
250.058
250.058
250.058
249.236
249.236
249.236
249.231
249.231
249.231
249.23
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
249.231
µ5
388.72
388.72
388.72
388.047
388.047
388.047
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
388.025
µ6
560.696
560.696
560.696
557.673
557.673
557.673
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
557.661
µ7
759.12
759.12
759.12
758.156
758.156
758.156
758.139
758.139
758.139
758.138
758.138
758.138
758.139
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
758.138
µ8
-31486.
-31486.
-31486.
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
989.458
µ9
µ10
67558.6
67558.6
67558.6
1251.78
1251.78
1251.78
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
1251.62
Tab. A.24: Problema teste 4 - Convergência dos autovalores para o casos 4 com a = 0.1 e b = 0.9.
i max WP
Apêndice A. Resultados do problema de autovalor unidimensional
126
Apêndice B
Resultados do problema de difusão unidimensional
127
Tab. B.1: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
0.913334
0.913334 0.913334 0.913334 0.913334 0.913334 0.913334
0.914597
0.914597 0.914597 0.914597 0.914597 0.914597 0.914597
26
24
30
28
—
0.91558 0.91558 0.91558 0.91558 0.91558 0.91558
—
0.916361 0.916361 0.916361 0.916361 0.916361 0.916361
34
32
38
36
—
0.916995 0.916995 0.916995 0.916995 0.916995 0.916995
42
40
—
—
0.917518 0.917518 0.917518 0.917518 0.917518
—
—
0.917958 0.917958 0.917958 0.917958 0.917958
46
44
—
—
0.918332 0.918332 0.918332 0.918332 0.918332
50
48
54
52
—
—
0.918653 0.918653 0.918653 0.918653 0.918653
—
—
—
0.918933 0.918933 0.918933 0.918933
58
56
62
60
—
—
—
0.919178 0.919178 0.919178 0.919178
Caso 2
22
20
0.913026
0.913026 0.913026 0.913026 0.913026 0.913026 0.913026
377386
26
24
7.9×10
0.914367 0.914367 0.914367 0.914367 0.914367 0.914367
30
28
—
0.915401 0.915401 0.915401 0.915401 0.915401 0.915401
34
32
—
0.916218 0.916218 0.916218 0.916218 0.916218 0.916218
38
36
—
Complexo 0.916879 0.916879 0.916879 0.916879 0.916879
42
40
—
—
0.917422 0.917422 0.917422 0.917422 0.917422
46
44
—
—
0.917877 0.917877 0.917877 0.917877 0.917877
50
48
—
—
0.918262 0.918262 0.918262 0.918262 0.918262
54
52
—
—
—
0.918593 0.918593 0.918593 0.918593
58
56
—
—
—
0.91888 0.91888 0.91888 0.91888
62
60
—
—
—
0.919132 0.919132 0.919132 0.919132
Sol. Analítico
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
128
Tab. B.2: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
0.916828 0.916828 0.916828 0.916828 0.916828 0.916828 0.916828
0.836274 0.836274 0.836274 0.836274 0.836274 0.836274 0.836274
26
24
30
28
—
1.18513 1.18513 1.18513 1.18513 1.18513 1.18513
—
1.17826 1.17826 1.17826 1.17826 1.17826 1.17826
34
32
38
36
—
0.722439 0.722439 0.722439 0.722439 0.722439 0.722439
42
40
—
—
0.90051 0.90051 0.90051 0.90051 0.90051
—
—
1.35776 1.35776 1.35776 1.35776 1.35776
46
44
—
—
0.862634 0.862634 0.862634 0.862634 0.862634
50
48
54
52
—
—
0.790723 0.790721 0.790721 0.790721 0.790721
—
—
—
1.26181 1.26179 1.26179 1.26179
58
56
62
60
—
—
—
0.942995 0.942984 0.942984 0.942984
Caso 2
22
20
0.957407 0.957407 0.957407 0.957407 0.957407 0.957407 0.957407
26
24
2.50×103767 0.945409 0.945409 0.945409 0.945409 0.945409 0.945409
30
28
—
1.13865 1.13865 1.13865 1.13865 1.13865 1.13865
34
32
—
1.02793 1.02793 1.02793 1.02793 1.02793 1.02793
38
36
—
Complexo 0.81657 0.81657 0.81657 0.81657 0.81657
42
40
—
—
1.03978 1.03978 1.03978 1.03978 1.03978
46
44
—
—
1.18955 1.18955 1.18955 1.18955 1.18955
50
48
—
—
0.829848 0.829848 0.829849 0.829849 0.829849
54
52
—
—
—
0.95544 0.955443 0.955443 0.955443
58
56
—
—
—
1.17064 1.1705 1.17049 1.17049
62
60
—
—
—
0.896608 0.896586 0.896526 0.896526
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
129
Tab. B.3: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f WP=20
WP=30
WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.913762 0.913762 0.913762 0.913762 0.913762 0.913762 0.913762
0.914898 0.914898 0.914898 0.914898 0.914898 0.914898 0.914898
26
24
—
0.915804 0.915804 0.915804 0.915804 0.915804 0.915804
30
28
34
32
—
0.916534 0.916534 0.916534 0.916534 0.916534 0.916534
38
36
—
Complexo 0.917133 0.917133 0.917133 0.917133 0.917133
—
—
0.917631 0.917631 0.917631 0.917631 0.917631
42
40
46
44
—
—
0.918051 0.918051 0.918051 0.918051 0.918051
—
—
0.91841 0.91841 0.91841 0.91841 0.91841
50
48
54
52
—
—
—
0.91872 0.91872 0.91872 0.91872
58
56
—
—
—
0.918991 0.918991 0.918991 0.918991
—
—
—
0.919229 0.919229 0.919229 0.919229
62
60
Sol. Analítico 0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
0.9229
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
130
Tab. B.4: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f WP=20
WP=30
WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.891645 0.891645 0.891645 0.891645 0.891645 0.891645 0.891645
0.759091 0.759091 0.759091 0.759091 0.759091 0.759091 0.759091
26
24
—
1.2047
1.2047
1.2047
1.2047
1.2047
1.2047
30
28
34
32
—
1.29181 1.29181 1.29181 1.29181 1.29181 1.29181
38
36
—
Complexo 0.667164 0.667164 0.667164 0.667164 0.667164
—
—
0.790031 0.790031 0.790031 0.790031 0.790031
42
40
46
44
—
—
1.4711
1.4711
1.4711
1.4711
1.4711
—
—
0.901185 0.901184 0.901185 0.901185 0.901185
50
48
54
52
—
—
—
0.667772 0.667772 0.667772 0.667772
58
56
—
—
—
1.31894 1.31895 1.31895 1.31895
—
—
—
0.986898 0.98698 0.98698 0.98698
62
60
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
131
Tab. B.5: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
0.0186529 0.0186529 0.0186529 0.0186529 0.0186529 0.0186529 0.0186529
26
24
0.0187665 0.0187665 0.0187665 0.0187665 0.0187665 0.0187665 0.0187665
30
28
0.0188496 0.0188496 0.0188496 0.0188496 0.0188496 0.0188496 0.0188496
0.0188299 0.0188299 0.0188299 0.0188299 0.0188299 0.0188299 0.0188299
34
32
38
36
0.0188623 0.0188623 0.0188623 0.0188623 0.0188623 0.0188623 0.0188623
42
40
0.0188685 0.0188685 0.0188685 0.0188685 0.0188685 0.0188685 0.0188685
0.018894 0.018894 0.018894 0.018894 0.018894 0.018894 0.018894
46
44
50
48
0.0189216 0.0189216 0.0189216 0.0189216 0.0189216 0.0189216 0.0189216
54
52
0.0189151 0.0189151 0.0189151 0.0189151 0.0189151 0.0189151 0.0189151
0.0189283 0.0189283 0.0189283 0.0189283 0.0189283 0.0189283 0.0189283
58
56
0.0189312 0.0189312 0.0189312 0.0189312 0.0189312 0.0189312 0.0189312
62
60
Caso 2
22
20
0.0186438 0.0186438 0.0186438 0.0186438 0.0186438 0.0186438 0.0186438
26
24
0.0187422 0.0187422 0.0187422 0.0187422 0.0187422 0.0187422 0.0187422
30
28
0.0187893 0.0187893 0.0187893 0.0187893 0.0187893 0.0187893 0.0187893
34
32
0.0188243 0.0188243 0.0188243 0.0188243 0.0188243 0.0188243 0.0188243
38
36
0.0188503 0.0188503 0.0188503 0.0188503 0.0188503 0.0188503 0.0188503
42
40
0.0188702 0.0188702 0.0188702 0.0188702 0.0188702 0.0188702 0.0188702
46
44
0.0188876 0.0188876 0.0188876 0.0188876 0.0188876 0.0188876 0.0188876
50
48
0.0189011 0.0189011 0.0189011 0.0189011 0.0189011 0.0189011 0.0189011
54
52
0.0189131 0.0189131 0.0189131 0.0189131 0.0189131 0.0189131 0.0189131
58
56
0.0189233 0.0189233 0.0189233 0.0189233 0.0189233 0.0189233 0.0189233
62
60
0.0189319 0.0189319 0.0189319 0.0189319 0.0189319 0.0189319 0.0189319
Sol. Analítico 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
132
Tab. B.6: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
0.994288 0.994288 0.994288 0.994288 0.994288 0.994288 0.994288
0.994615 0.994615 0.994615 0.994615 0.994615 0.994615 0.994615
26
24
30
28
0.994849 0.994849 0.994849 0.994849 0.994849 0.994849 0.994849
0.99479 0.99479 0.99479 0.99479 0.99479 0.99479 0.99479
34
32
38
36
0.994859 0.994859 0.994859 0.994859 0.994859 0.994859 0.994859
42
40
0.994865 0.994865 0.994865 0.994865 0.994865 0.994865 0.994865
0.994921 0.994921 0.994921 0.994921 0.994921 0.994921 0.994921
46
44
0.994991 0.994991 0.994991 0.994991 0.994991 0.994991 0.994991
50
48
54
52
0.994968 0.994968 0.994968 0.994968 0.994968 0.994968 0.994968
0.994998 0.994998 0.994998 0.994998 0.994998 0.994998 0.994998
58
56
62
60
0.995002 0.995002 0.995002 0.995002 0.995002 0.995002 0.995002
Caso 2
22
20
0.993687 0.993687 0.993687 0.993687 0.993687 0.993687 0.993687
26
24
0.994389 0.994389 0.994389 0.994389 0.994389 0.994389 0.994389
30
28
0.994639 0.994639 0.994639 0.994639 0.994639 0.994639 0.994639
34
32
0.994757 0.994757 0.994757 0.994757 0.994757 0.994757 0.994757
38
36
0.994824 0.994824 0.994824 0.994824 0.994824 0.994824 0.994824
42
40
0.994869 0.994869 0.994869 0.994869 0.994869 0.994869 0.994869
46
44
0.994907 0.994907 0.994907 0.994907 0.994907 0.994907 0.994907
50
48
0.994936 0.994936 0.994936 0.994936 0.994936 0.994936 0.994936
54
52
0.994963 0.994963 0.994963 0.994963 0.994963 0.994963 0.994963
58
56
0.994985 0.994985 0.994985 0.994985 0.994985 0.994985 0.994985
62
60
0.995005 0.995005 0.995005 0.995005 0.995005 0.995005 0.995005
Sol. Analítico 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
133
Tab. B.7: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
0.984504 0.984504 0.984504 0.984504 0.984504 0.984504 0.984504
1.00017 1.00017 1.00017 1.00017 1.00017 1.00017 1.00017
26
24
30
28
1.01012 1.01012 1.01012 1.01012 1.01012 1.01012 1.01012
1.0055
1.0055
1.0055
1.0055
1.0055
1.0055
1.0055
34
32
38
36
0.997111 0.997111 0.997111 0.997111 0.997111 0.997111 0.997111
42
40
0.99578 0.99578 0.99578 0.99578 0.99578 0.99578 0.99578
0.999227 0.999227 0.999227 0.999227 0.999227 0.999227 0.999227
46
44
1.00132 1.00132 1.00132 1.00132 1.00132 1.00132 1.00132
50
48
54
52
1.00084 1.00084 1.00084 1.00084 1.00084 1.00084 1.00084
0.999865 0.999865 0.999865 0.999865 0.999865 0.999865 0.999865
58
56
62
60
0.999674 0.999674 0.999674 0.999674 0.999674 0.999674 0.999674
Caso 2
22
20
0.980144 0.980144 0.980144 0.980144 0.980144 0.980144 0.980144
26
24
0.994904 0.994904 0.994904 0.994904 0.994904 0.994904 0.994904
30
28
1.00585 1.00585 1.00585 1.00585 1.00585 1.00585 1.00585
34
32
1.00361 1.00361 1.00361 1.00361 1.00361 1.00361 1.00361
38
36
0.998028 0.998028 0.998028 0.998028 0.998028 0.998028 0.998028
42
40
0.997304 0.997304 0.997304 0.997304 0.997304 0.997304 0.997304
46
44
0.999809 0.999809 0.999809 0.999809 0.999809 0.999809 0.999809
50
48
1.00114 1.00114 1.00114 1.00114 1.00114 1.00114 1.00114
54
52
1.00058 1.00058 1.00058 1.00058 1.00058 1.00058 1.00058
58
56
0.999802 0.999802 0.999802 0.999802 0.999802 0.999802 0.999802
62
60
0.999716 0.999716 0.999716 0.999716 0.999716 0.999716 0.999716
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
134
Tab. B.8: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para casos 3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 3
22
20
0.0187261 0.0187261 0.0187261 0.0187261 0.0187261 0.0187261 0.0187261
26
24
0.018771 0.018771 0.018771 0.018771 0.018771 0.018771 0.018771
0.0188084 0.0188084 0.0188084 0.0188084 0.0188084 0.0188084 0.0188084
30
28
34
32
0.0188365 0.0188365 0.0188365 0.0188365 0.0188365 0.0188365 0.0188365
0.0188592 0.0188592 0.0188592 0.0188592 0.0188592 0.0188592 0.0188592
38
36
42
40
0.0188781 0.0188781 0.0188781 0.0188781 0.0188781 0.0188781 0.0188781
46
44
0.0188932 0.0188932 0.0188932 0.0188932 0.0188932 0.0188932 0.0188932
0.0189064 0.0189064 0.0189064 0.0189064 0.0189064 0.0189064 0.0189064
50
48
0.0189173 0.0189173 0.0189173 0.0189173 0.0189173 0.0189173 0.0189173
54
52
58
56
0.0189269 0.0189269 0.0189269 0.0189269 0.0189269 0.0189269 0.0189269
62
60
0.0189353 0.0189353 0.0189353 0.0189353 0.0189353 0.0189353 0.0189353
Sol. Analítico 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057 0.019057
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
135
Tab. B.9: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.995185 0.995185 0.995185 0.995185 0.995185 0.995185 0.995185
0.994871 0.994871 0.994871 0.994871 0.994871 0.994871 0.994871
26
24
0.994817 0.994817 0.994817 0.994817 0.994817 0.994817 0.994817
30
28
34
32
0.99483 0.99483 0.99483 0.99483 0.99483 0.99483 0.99483
38
36
0.99486 0.99486 0.99486 0.99486 0.99486 0.99486 0.99486
0.994893 0.994893 0.994893 0.994893 0.994893 0.994893 0.994893
42
40
46
44
0.994922 0.994922 0.994922 0.994922 0.994922 0.994922 0.994922
0.99495 0.99495 0.99495 0.99495 0.99495 0.99495 0.99495
50
48
54
52
0.994974 0.994974 0.994974 0.994974 0.994974 0.994974 0.994974
58
56
0.994995 0.994995 0.994995 0.994995 0.994995 0.994995 0.994995
0.995014 0.995014 0.995014 0.995014 0.995014 0.995014 0.995014
62
60
Sol. Analítico 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322 0.995322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
136
Tab. B.10: Problema teste 6 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.993776 0.993776 0.993776 0.993776 0.993776 0.993776 0.993776
1.00572 1.00572 1.00572 1.00572 1.00572 1.00572 1.00572
26
24
1.01172 1.01172 1.01172 1.01172 1.01172 1.01172 1.01172
30
28
34
32
1.00497 1.00497 1.00497 1.00497 1.00497 1.00497 1.00497
38
36
0.996974 0.996974 0.996974 0.996974 0.996974 0.996974 0.996974
0.995928 0.995928 0.995928 0.995928 0.995928 0.995928 0.995928
42
40
46
44
0.999073 0.999073 0.999073 0.999073 0.999073 0.999073 0.999073
1.00106 1.00106 1.00106 1.00106 1.00106 1.00106 1.00106
50
48
54
52
1.00075 1.00075 1.00075 1.00075 1.00075 1.00075 1.00075
58
56
0.999944 0.999944 0.999944 0.999944 0.999944 0.999944 0.999944
0.999754 0.999754 0.999754 0.999754 0.999754 0.999754 0.999754
62
60
Sol. Analítico
1.
1.
1.
1.
1.
1.
1.
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
137
Tab. B.11: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
0.
4.57759×10−18 4.57759×10−18 4.57759×10−18 4.57759×10−18 4.57759×10−18 4.57759×10−18
26
24
—
4.57123×10−18 4.57123×10−18 4.57123×10−18 4.57123×10−18 4.57123×10−18 4.57123×10−18
—
−6.20×10541895 4.56736×10−18 4.56736×10−18 4.56736×10−18 4.56736×10−18 4.56736×10−18
30
28
34
32
—
0.
4.56484×10−18 4.56484×10−18 4.56484×10−18 4.56484×10−18 4.56484×10−18
38
36
—
—
−4.66×101429933 4.56310×10−18 4.56310×10−18 4.56310×10−18 4.56310×10−18
42
40
—
—
−1.35×102369040 4.56185×10−18 4.56185×10−18 4.56185×10−18 4.56185×10−18
—
—
—
Complexo
4.56091×10−18 4.56091×10−18 4.56091×10−18
46
44
50
48
—
—
—
—
4.56020×10−18 4.56020×10−18 4.56020×10−18
54
52
—
—
—
—
−2.18×105985104 4.55965×10−18 4.55965×10−18
—
—
—
—
—
4.55920×10−18 4.55920×10−18
58
56
—
—
—
—
—
4.55884×10−18 4.55884×10−18
62
60
Caso 2
−18
−18
−18
22
20
4.57798×10
4.57798×10
4.57798×10
4.57798×10−18 4.57798×10−18 4.57798×10−18 4.57798×10−18
−18
−18
−18
26
24
4.57145×10
4.57145×10
4.57145×10
4.57145×10−18 4.57145×10−18 4.57145×10−18 4.57145×10−18
30
28
—
4.56751×10−18 4.56751×10−18 4.56751×10−18 4.56751×10−18 4.56751×10−18 4.56751×10−18
34
32
—
4.56494×10−18 4.56494×10−18 4.56494×10−18 4.56494×10−18 4.56494×10−18 4.56494×10−18
38
36
—
4.56317×10−18 4.56317×10−18 4.56317×10−18 4.56317×10−18 4.56317×10−18 4.56317×10−18
42
40
—
—
4.56189×10−18 4.56189×10−18 4.56189×10−18 4.56189×10−18 4.56189×10−18
46
44
—
—
4.56095×10−18 4.56095×10−18 4.56095×10−18 4.56095×10−18 4.56095×10−18
50
48
—
—
4.56023×10−18 4.56023×10−18 4.56023×10−18 4.56023×10−18 4.56023×10−18
54
52
—
—
—
4.55967×10−18 4.55967×10−18 4.55967×10−18 4.55967×10−18
58
56
—
—
—
4.55922×10−18 4.55922×10−18 4.55922×10−18 4.55922×10−18
62
60
—
—
—
4.55886×10−18 4.55886×10−18 4.55886×10−18 4.55886×10−18
Sol. Analítico 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
138
Tab. B.12: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
−2.09×101498
0.424623
0.424623
0.424623
0.424623
0.424623 0.424623
—
0.42411
0.42411
0.42411
0.42411
0.42411 0.42411
26
24
5421
30
28
—
−2.18×10
0.423797
0.423797
0.423797
0.423797 0.423797
—
−1.79×1010199
0.423592
0.423592
0.423592
0.423592 0.423592
34
32
14302
38
36
—
—
−5.64×10
0.42345
0.42345
0.42345 0.42345
42
40
—
—
−4.64×1023691 0.423348
0.423347
0.423347 0.423347
—
—
Complexo
Complexo
0.423271
0.423271 0.423271
46
44
—
—
—
Complexo
0.423213
0.423213 0.423213
50
48
54
52
—
—
—
Complexo −4.14×1059856 0.423167 0.423167
—
—
—
—
—
0.423131 0.423131
58
56
62
60
—
—
—
—
—
0.423102 0.423102
Caso 2
22
20
0.424654
0.424654
0.424654
0.424654
0.424654
0.424654 0.424654
26
24
0.424128
0.424128
0.424128
0.424128
0.424128
0.424128 0.424128
30
28
—
0.423809
0.423809
0.423809
0.423809
0.423809 0.423809
34
32
—
0.4236
0.4236
0.4236
0.4236
0.4236
0.4236
38
36
—
0.423455
0.423455
0.423455
0.423455
0.423455 0.423455
42
40
—
—
0.423351
0.423351
0.423351
0.423351 0.423351
46
44
—
—
0.423274
0.423274
0.423274
0.423274 0.423274
50
48
—
—
0.423215
0.423215
0.423215
0.423215 0.423215
54
52
—
—
—
0.423169
0.423169
0.423169 0.423169
58
56
—
—
—
0.423133
0.423133
0.423133 0.423133
62
60
—
—
—
0.423103
0.423103
0.423103 0.423103
Sol. Analítico
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
139
Tab. B.13: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
−1.89×!1016
0.411224
0.411224
0.411224
0.411224 0.411224 0.411224
—
0.305088
0.305088
0.305088
0.305088 0.305088 0.305088
26
24
56
30
28
—
−3.93×10
0.651135
0.651135
0.651135 0.651135 0.651135
—
−1.35×10103
0.750563
0.750563
0.750563 0.750563 0.750563
34
32
146
38
36
—
—
−2.76×10
0.238653
0.238653 0.238653 0.238653
42
40
—
—
−1.52×10238 0.310394
0.310365 0.310365 0.310365
—
—
Complexo Complexo 0.883784 0.883784 0.883784
46
44
—
—
—
Complexo 0.439165 0.439165 0.439165
50
48
54
52
—
—
—
Complexo −1.38×10604 0.212922 0.212924
—
—
—
Complexo Complexo 0.758297 0.758299
58
56
62
60
—
—
—
—
Complexo 0.502412 0.502421
Caso 2
22
20
0.402015
0.402015
0.402015
0.402015
0.402015 0.402015 0.402015
26
24
0.283419
0.283419
0.283419
0.283419
0.283419 0.283419 0.283419
30
28
—
0.666864
0.666864
0.666864
0.666864 0.666864 0.666864
34
32
—
0.779425
0.779425
0.779425
0.779425 0.779425 0.779425
38
36
—
0.210976
0.210976
0.210976
0.210976 0.210976 0.210976
42
40
—
—
0.286569
0.286569
0.286569 0.286569 0.286569
46
44
—
—
0.926586
0.926586
0.926586 0.926586 0.926586
50
48
—
—
0.435557
0.435558
0.435558 0.435558 0.435558
54
52
—
—
—
0.178295
0.178294 0.178294 0.178294
58
56
—
—
—
0.786379
0.786376 0.786376 0.786376
62
60
—
—
—
0.505076
0.505139 0.505139 0.505139
Sol. Analítico
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
140
Tab. B.14: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 3
−18
−18
−18
22
20
4.57860×10
4.57860×10
4.57860×10
4.57860×10−18 4.57860×10−18 4.57860×10−18 4.57860×10−18
−18
−18
−18
4.57183×10
4.57183×10
4.57183×10
4.57183×10−18 4.57183×10−18 4.57183×10−18 4.57183×10−18
26
24
30
28
—
4.56775×10−18 4.56775×10−18 4.56775×10−18 4.56775×10−18 4.56775×10−18 4.56775×10−18
34
32
—
4.56511×10−18 4.56511×10−18 4.56511×10−18 4.56511×10−18 4.56511×10−18 4.56511×10−18
—
4.56329×10−18 4.56329×10−18 4.56329×10−18 4.56329×10−18 4.56329×10−18 4.56329×10−18
38
36
42
40
—
—
4.56198×10−18 4.56198×10−18 4.56198×10−18 4.56198×10−18 4.56198×10−18
—
—
4.56102×10−18 4.56102×10−18 4.56102×10−18 4.56102×10−18 4.56102×10−18
46
44
50
48
—
—
4.56028×10−18 4.56028×10−18 4.56028×10−18 4.56028×10−18 4.56028×10−18
—
—
—
4.55971×10−18 4.55971×10−18 4.55971×10−18 4.55971×10−18
54
52
58
56
—
—
—
4.55925×10−18 4.55925×10−18 4.55925×10−18 4.55925×10−18
62
60
—
—
—
4.55889×10−18 4.55889×10−18 4.55889×10−18 4.55889×10−18
Sol. Analítico 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18 4.55639×10−18
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
141
Tab. B.15: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.424704 0.424704 0.424704 0.424704 0.424704 0.424704 0.424704
0.424159 0.424159 0.424159 0.424159 0.424159 0.424159 0.424159
26
24
—
0.423829 0.423829 0.423829 0.423829 0.423829 0.423829
30
28
34
32
—
0.423613 0.423613 0.423613 0.423613 0.423613 0.423613
38
36
—
0.423465 0.423465 0.423465 0.423465 0.423465 0.423465
—
—
0.423359 0.423359 0.423359 0.423359 0.423359
42
40
46
44
—
—
0.42328 0.42328 0.42328 0.42328 0.42328
—
—
0.42322 0.42322 0.42322 0.42322 0.42322
50
48
54
52
—
—
—
0.423173 0.423173 0.423173 0.423173
58
56
—
—
—
0.423135 0.423135 0.423135 0.423135
—
—
—
0.423105 0.423105 0.423105 0.423105
62
60
Sol. Analítico 0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
0.4229
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
142
Tab. B.16: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.25 e b=0.75
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.433308 0.433308 0.433308 0.433308 0.433308 0.433308 0.433308
0.364945 0.364945 0.364945 0.364945 0.364945 0.364945 0.364945
26
24
—
0.618951 0.618951 0.618951 0.618951 0.618951 0.618951
30
28
34
32
—
0.672862 0.672862 0.672862 0.672862 0.672862 0.672862
38
36
—
0.296144 0.296144 0.296144 0.296144 0.296144 0.296144
—
—
0.379265 0.379265 0.379265 0.379265 0.379265
42
40
46
44
—
—
0.788363 0.788363 0.788363 0.788363 0.788363
—
—
0.431336 0.431335 0.431335 0.431335 0.431335
50
48
54
52
—
—
—
0.29855 0.298541 0.298541 0.298541
58
56
—
—
—
0.704254 0.704373 0.704373 0.704373
—
—
—
0.482433 0.482345 0.482345 0.482345
62
60
Sol. Analítico
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
143
Tab. B.17: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
1.28083×10−7 1.28083×10−7 1.28083×10−7 1.28083×10−7 1.28083×10−7 1.28083×10−7 1.28083×10−7
26
24
1.27989×10−7 1.27989×10−7 1.27989×10−7 1.27989×10−7 1.27989×10−7 1.27989×10−7 1.27989×10−7
—
—
—
—
—
—
—
30
28
−7
−7
−7
−7
−7
−7
1.27894×10
1.27894×10
1.27894×10
1.27894×10
1.27894×10
1.27894×10
1.27894×10−7
34
32
38
36
1.27871×10−7 1.27871×10−7 1.27871×10−7 1.27871×10−7 1.27871×10−7 1.27871×10−7 1.27871×10−7
42
40
1.27856×10−7 1.27856×10−7 1.27856×10−7 1.27856×10−7 1.27856×10−7 1.27856×10−7 1.27856×10−7
1.27845×10−7 1.27845×10−7 1.27845×10−7 1.27845×10−7 1.27845×10−7 1.27845×10−7 1.27845×10−7
46
44
50
48
—
—
—
—
—
—
—
54
52
0.
1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7
0.
1.27826×10−7 1.27826×10−7 1.27826×10−7 1.27826×10−7 1.27826×10−7 1.27826×10−7
58
56
—
1.27822×10−7 1.27822×10−7 1.27822×10−7 1.27822×10−7 1.27822×10−7 1.27822×10−7
62
60
Caso 2
−7
−7
22
20
1.28111×10
1.28111×10
1.28111×10−7 1.28111×10−7 1.28111×10−7 1.28111×10−7 1.28111×10−7
−7
−7
26
24
1.43291×10
1.43291×10
1.43291×10−7 1.43291×10−7 1.43291×10−7 1.43291×10−7 1.43291×10−7
30
28
1.27917×10−7 1.27917×10−7 1.27917×10−7 1.27917×10−7 1.27917×10−7 1.27917×10−7 1.27917×10−7
34
32
1.27895×10−7 1.27895×10−7 1.27895×10−7 1.27895×10−7 1.27895×10−7 1.27895×10−7 1.27895×10−7
38
36
1.27870×10−7 1.27870×10−7 1.27870×10−7 1.27870×10−7 1.27870×10−7 1.27870×10−7 1.27870×10−7
42
40
1.27859×10−7 1.27859×10−7 1.27859×10−7 1.27859×10−7 1.27859×10−7 1.27859×10−7 1.27859×10−7
46
44
1.97262×10−7 1.97262×10−7 1.97262×10−7 1.97262×10−7 1.97262×10−7 1.97262×10−7 1.97262×10−7
50
48
1.27835×10−7 1.27835×10−7 1.27835×10−7 1.27835×10−7 1.27835×10−7 1.27835×10−7 1.27835×10−7
54
52
1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7 1.27831×10−7
58
56
1.27825×10−7 1.27825×10−7 1.27825×10−7 1.27825×10−7 1.27825×10−7 1.27825×10−7 1.27825×10−7
62
60
1.27823×10−7 1.27823×10−7 1.27823×10−7 1.27823×10−7 1.27823×10−7 1.27823×10−7 1.27823×10−7
Sol. Analítico 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
144
Tab. B.18: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 1
22
20
0.495947
0.495947 0.495947 0.495947 0.495947 0.495947 0.495947
0.495612
0.495612 0.495612 0.495612 0.495612 0.495612 0.495612
26
24
30
28
—
—
—
—
—
—
—
0.495433
0.495433 0.495433 0.495433 0.495433 0.495433 0.495433
34
32
38
36
0.495404
0.495404 0.495404 0.495404 0.495404 0.495404 0.495404
42
40
0.495387
0.495387 0.495387 0.495387 0.495387 0.495387 0.495387
0.495375
0.495375 0.495375 0.495375 0.495375 0.495375 0.495375
46
44
—
—
—
—
—
—
—
50
48
54
52
−2.71×105801 0.49536 0.49536 0.49536 0.49536 0.49536 0.49536
0.
0.495355 0.495355 0.495355 0.495355 0.495355 0.495355
58
56
62
60
—
0.495351 0.495351 0.495351 0.495351 0.495351 0.495351
Caso 2
22
20
0.49598
0.49598 0.49598 0.49598 0.49598 0.49598 0.49598
26
24
0.510265
0.510265 0.510265 0.510265 0.510265 0.510265 0.510265
30
28
0.495479
0.495479 0.495479 0.495479 0.495479 0.495479 0.495479
34
32
0.495435
0.495435 0.495435 0.495435 0.495435 0.495435 0.495435
38
36
0.495403
0.495403 0.495403 0.495403 0.495403 0.495403 0.495403
42
40
0.49539
0.49539 0.49539 0.49539 0.49539 0.49539 0.49539
46
44
0.566212
0.566212 0.566212 0.566212 0.566212 0.566212 0.566212
50
48
0.495365
0.495365 0.495365 0.495365 0.495365 0.495365 0.495365
54
52
0.49536
0.49536 0.49536 0.49536 0.49536 0.49536 0.49536
58
56
0.495355
0.495355 0.495355 0.495355 0.495355 0.495355 0.495355
62
60
0.495352
0.495352 0.495352 0.495352 0.495352 0.495352 0.495352
Sol. Analítico
0.495322
0.495322 0.495322 0.495322 0.495322 0.495322 0.495322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
145
Tab. B.19: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para os casos 1 e 2 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 1
22
20
0.497542
0.497542 0.497542 0.497542 0.497542 0.497542 0.497542
0.504377
0.504377 0.504377 0.504377 0.504377 0.504377 0.504377
26
24
30
28
—
—
—
—
—
—
—
0.503238
0.503238 0.503238 0.503238 0.503238 0.503238 0.503238
34
32
38
36
0.498064
0.498064 0.498064 0.498064 0.498064 0.498064 0.498064
42
40
0.497316
0.497316 0.497316 0.497316 0.497316 0.497316 0.497316
0.499307
0.499307 0.499307 0.499307 0.499307 0.499307 0.499307
46
44
—
—
—
—
—
—
—
50
48
54
52
−7.65×1057 0.500503 0.500503 0.500503 0.500503 0.500503 0.500503
−1.02×1078 0.499994 0.499994 0.499994 0.499994 0.499994 0.499994
58
56
62
60
—
0.499851 0.499851 0.499851 0.499851 0.499851 0.499851
Caso 2
22
20
0.496672
0.496672 0.496672 0.496672 0.496672 0.496672 0.496672
26
24
0.0377204 0.0377204 0.0377204 0.0377204 0.0377204 0.0377204 0.0377204
30
28
0.509726
0.509726 0.509726 0.509726 0.509726 0.509726 0.509726
34
32
0.504161
0.504161 0.504161 0.504161 0.504161 0.504161 0.504161
38
36
0.497566
0.497566 0.497566 0.497566 0.497566 0.497566 0.497566
42
40
0.496569
0.496569 0.496569 0.496569 0.496569 0.496569 0.496569
46
44
0.483765
0.483765 0.483765 0.483765 0.483765 0.483765 0.483765
50
48
0.500811
0.500811 0.500811 0.500811 0.500811 0.500811 0.500811
54
52
0.500647
0.500647 0.500647 0.500647 0.500647 0.500647 0.500647
58
56
0.499995
0.499995 0.499995 0.499995 0.499995 0.499995 0.499995
62
60
0.499809
0.499809 0.499809 0.499809 0.499809 0.499809 0.499809
Sol. Analítico
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
146
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
Caso 3
WP=60
WP=70
WP=80
22
20
1.28083×10−7
1.28083×10−7
1.28083×10−7
1.28083×10−7
1.28083×10−7 1.28083×10−7 1.28083×10−7
−7
−7
−7
−7
−4.74545×10
−4.74545×10
−4.74545×10
−4.74545×10
−4.74545×10−7
−4.74545×10−7
−4.74545×10−7
26
24
30
28
1.27921×10−7
1.27921×10−7
1.27921×10−7
1.27921×10−7
1.27921×10−7
1.27921×10−7
1.27921×10−7
1.27896×10−7
1.27896×10−7
1.27896×10−7
1.27896×10−7
1.27896×10−7
1.27896×10−7
1.27896×10−7
34
32
−7
−7
−7
−7
−7
−7
38
36
1.27868×10
1.27868×10
1.27868×10
1.27868×10
1.27868×10
1.27868×10
1.27868×10−7
1.27857×10−7
1.27857×10−7
1.27857×10−7
1.27857×10−7
1.27857×10−7
1.27857×10−7
1.27857×10−7
42
40
−6
−6
−6
−6
−6
−6
46
44
−4.03097×10
−4.03097×10
−4.03097×10
−4.03097×10
−4.03097×10
−4.03097×10
−4.03097×10−6
1.27836×10−7
1.27836×10−7
1.27836×10−7
1.27836×10−7
1.27836×10−7
1.27836×10−7
1.27836×10−7
50
48
54
52
1.27832×10−7
1.27832×10−7
1.27832×10−7
1.27832×10−7
1.27832×10−7
1.27832×10−7
1.27832×10−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
1.27825×10
1.27825×10
1.27825×10
1.27825×10
1.27825×10
1.27825×10
1.27825×10−7
58
56
1.27822×10−7
1.27822×10−7
1.27822×10−7
1.27822×10−7
1.27822×10−7
1.27822×10−7
1.27822×10−7
62
60
Sol. Analítico 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7 1.27794×10−7
1.27794×10−7
1.27794×10−7
I max I maxd i f
Tab. B.20: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para casos 3 com x=0.5, t ∗ = 1, a=0.1 e b=0.9
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
147
Tab. B.21: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−2 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f
WP=20
WP=30
WP=40
WP=50
WP=60
WP=70
WP=80
Caso 3
22
20
0.495733 0.495733 0.495733 0.495733 0.495733 0.495733 0.495733
-0.081195 -0.081195 -0.081195 -0.081195 -0.081195 -0.081195 -0.081195
26
24
0.495461 0.495461 0.495461 0.495461 0.495461 0.495461 0.495461
30
28
34
32
0.495429 0.495429 0.495429 0.495429 0.495429 0.495429 0.495429
38
36
0.495399 0.495399 0.495399 0.495399 0.495399 0.495399 0.495399
0.495387 0.495387 0.495387 0.495387 0.495387 0.495387 0.495387
42
40
46
44
-3.7485
-3.7485
-3.7485
-3.7485
-3.7485
-3.7485
-3.7485
0.495366 0.495366 0.495366 0.495366 0.495366 0.495366 0.495366
50
48
54
52
0.495361 0.495361 0.495361 0.495361 0.495361 0.495361 0.495361
58
56
0.495354 0.495354 0.495354 0.495354 0.495354 0.495354 0.495354
0.495351 0.495351 0.495351 0.495351 0.495351 0.495351 0.495351
62
60
Sol. Analítico 0.495322 0.495322 0.495322 0.495322 0.495322 0.495322 0.495322
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
148
Tab. B.22: Problema teste 7 - Convergência do campo de temperatura para o casos 3 com x=0.5, t ∗ = 10−4 , a=0.1 e b=0.9
I max I maxd i f WP=20
WP=30 WP=40 WP=50 WP=60 WP=70 WP=80
Caso 3
22
20
0.499027 0.499027 0.499027 0.499027 0.499027 0.499027 0.499027
18.8805 18.8805 18.8805 18.8805 18.8805 18.8805 18.8805
26
24
0.502678 0.502678 0.502678 0.502678 0.502678 0.502678 0.502678
30
28
34
32
0.50086 0.50086 0.50086 0.50086 0.50086 0.50086 0.50086
38
36
0.499026 0.499026 0.499026 0.499026 0.499026 0.499026 0.499026
0.499093 0.499093 0.499093 0.499093 0.499093 0.499093 0.499093
42
40
46
44
1.40888 1.40888 1.40888 1.40888 1.40888 1.40888 1.40888
0.500275 0.500275 0.500275 0.500275 0.500275 0.500275 0.500275
50
48
54
52
0.500151 0.500151 0.500151 0.500151 0.500151 0.500151 0.500151
58
56
0.499975 0.499975 0.499975 0.499975 0.499975 0.499975 0.499975
0.499946 0.499946 0.499946 0.499946 0.499946 0.499946 0.499946
62
60
Sol. Analítico
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Apêndice B. Resultados do problema de difusão unidimensional
149
Apêndice C
Tabelas de resultados do problema de autovalor
unidimensional
150
µ1
39.4784
39.4784
39.4784
0.
39.4784
39.4784
19.7992
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
19.6083
15.8206
39.4784
39.4784
i max WP
10 20
10 25
10 30
15 20
15 25
15 30
20 40
20 45
20 50
25 55
25 60
25 65
30 65
30 70
30 75
35 80
35 85
35 90
40 80
40 85
40 90
Exato
131.636
157.914
157.914
0.
157.914
157.914
39.4784
157.914
157.914
157.914
157.914
157.914
148.928
157.914
157.914
157.914
157.914
157.914
39.4784
39.4784
157.914
157.914
µ2
157.914
355.306
355.306
0.
183.501
183.745
157.914
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
157.914
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
135.703
140.806
355.306
355.306
µ3
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
355.306 476.232
631.655 795.375 986.96 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.71 2003.18 3518.9 13904.2
-70612.4
631.655 986.96
1421.71 2003.18 3518.9 13904.2
-70612.4
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
355.306 460.607
631.655 796.879 986.96
1189.2
1421.22
355.306 461.248
631.655 797.389 986.96 1189.24
1421.22
171.24 355.306
441.427 631.655 787.5
986.96
1421.22
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 Complexo Complexo 986.96 1421.22 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
355.306 404.346
631.655 755.604 986.96 1178.67
1421.22
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 Complexo Complexo 986.96 1421.22 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
157.914 355.306
384.88 631.655 723.833 986.96
1159.07
157.914 355.306
382.786 631.655 726.89
986.96
1156.27
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.960
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
µ4
Tab. C.1: Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a(t ) = t , b(t ) = 1/2 + t e t = 0.5.
Apêndice C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional
151
µ1
39.4784
39.4784
39.4784
0.
39.4784
39.4784
19.7992
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
39.4784
19.6083
15.8206
39.4784
39.4784
10 20
10 25
10 30
15 20
15 25
15 30
20 40
20 45
20 50
25 55
25 60
25 65
30 65
30 70
30 75
35 80
35 85
35 90
40 80
40 85
40 90
Exato
131.636
157.914
157.914
0.
157.914
157.914
39.4784
157.914
157.914
157.914
157.914
157.914
148.928
157.914
157.914
157.914
157.914
157.914
39.4784
39.4784
157.914
157.914
µ2
157.914
355.306
355.306
0.
183.501
183.745
157.914
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
157.914
355.306
355.306
355.306
355.306
355.306
135.703
140.806
355.306
355.306
µ3
µ5
µ6
µ7
µ8
µ9
µ10
355.306 476.232
631.655 795.375 986.96 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.71 2003.18 3518.9 13904.2
-70612.4
631.655 986.96
1421.71 2003.18 3518.9 13904.2
-70612.4
0.
0.
0.
0.
0.
0.
0.
355.306 460.607
631.655 796.879 986.96
1189.2
1421.22
355.306 461.248
631.655 797.389 986.96 1189.24
1421.22
171.24 355.306
441.427 631.655 787.5
986.96
1421.22
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 Complexo Complexo 986.96 1421.22 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
355.306 404.346
631.655 755.604 986.96 1178.67
1421.22
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 Complexo Complexo 986.96 1421.22 Complexo Complexo
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
157.914 355.306
384.88 631.655 723.833 986.96
1159.07
157.914 355.306
382.786 631.655 726.89
986.96
1156.27
631.655 986.96
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
631.655 986.960
1421.22 1934.44 2526.62 3197.75
3947.84
µ4
Tab. C.2: Problema teste 9 - Convergência dos autovalores para o casos 1 com a(t ) = 0, b(t ) = t e t = 0.5.
i max WP
Apêndice C. Tabelas de resultados do problema de autovalor unidimensional
152