Breve introdução aos plasmas
quânticos
Fernando Haas
UFPR




Colaboradores:
P. K. Shukla e B. Eliasson (Bochum, Alemanha)
M. Marklund e G. Brodin (Umea, Suécia)
G. Manfredi e P.-A. Hervieux (Strasbourg,
França)
A. Bret (Ciudad Real, Espanha)
Efeitos quânticos em plasmas


Altas densidades ou dimensões pequenas:
comprimento de onda de de Broglie
comparável a distância média entre partículas
ou outra largura característica (ex.:
dispositivos eletrônicos nanoscópicos, etc.)
Efeitos estatísticos: spin, estatística de
Fermi-Dirac, comportamento ferromagnético;
plasmas frios ou sob intenso campo
magnético (ex.: pulsares, magnetares)

Plasma quântico  estado genérico da
matéria ionizada sob altas densidades e/ou
baixas temperaturas (ou ainda: sistemas de
partículas carregadas confinadas em regiões
diminutas)

Obs.: parâmetros do núcleo do sol ~ ICF
(inertial confinement fusion)
Parâmetro de degenerescência
X
TF
=
T
2 2/3
n
=
m kBT
X > 1  estatistica de Fermi- Dirac
Alguns plasmas quânticos




Plasmas gerados na interação laser-sólido :
nova geração de lasers ultra-intensos
Dispositivos eletrônicos ultra-pequenos
Objetos astronômicos ultra-densos (ex.:
plasmas em anãs brancas ou estrelas de
nêutrons)
Gás de elétrons em um metal (Klimontovitch
e Silin, 1952; Lindhard, 1954; Nozieres e
Pines, 1958)  rede cristalina  fundo
iônico homogêneo

Parâmetro de acoplamento clássico
gC =
E potencial
Ecinetica
2 1/ 3
en
~
 0 kBT

Parâmetro de acoplamento quântico
Ecinetica
gQ
=
~
E potencial
E Fermi
E Fermi
~
m e²
2
1/ 3
  0n
  1  Ferm i Dirac
  1  Maxwell  Boltzm ann
g Q  1  fortem enteacoplado( FD)
g C  1  fortem enteacoplado( MB)
Notas históricas




Nozieres e Pines (60’s): abordagem por
variáveis coletivas, segunda quantização,
plasmas de estado sólido
Silin, Vedenov, Klimontovich (60’s): equação
de Wigner não colisional
Dinâmica (propagação de ondas): restrita a
teorias lineares
Última década: modelos hidrodinâmicos 
fenômenos não lineares
Modelando plasmas quânticos

Modelos microscópicos:
função de onda de N-corpos  matriz
densidade  função de Wigner f(x,v,t)

Modelos macroscópicos:
equações hidrodinâmicas
A função de Wigner
m
s
s 
 im vs 
f ( x, v, t ) 
ds exp
  x  , x  , t 

2
2
2 
   

Momentos da função
de Wigner (estado
puro)
n   f ( x, v, t ) |  ( x, t ) |2
,
i   
 
J   f ( x, v, t )vdv  

2  x
x



Sistema de Wigner-Poisson
(plasma eletrostático)
f
f
+v
=  dv´ K(v' v, x,t) f(v' , x, t),
t
x
E
e
e
= (n0   fdv) 
(n0 - n(x,t )).
x ε0
0
Limite clássico  equação de Vlasov
para f(x,v,t)
f
f eE f
v 
0
t
x m v


Obs.: a função de Wigner não é uma função
distribuição de probabilidades (pode assumir
valores negativos etc.)
Em todo caso: f(x,v,t) fornece as densidades
de carga, de corrente, de energia etc.
Variáveis hidrodinâmicas
n =  f dv ,
1
u =  fv dv ,
n


P = m  fv 2 dv  nu2 .
Modelo hidrodinâmico quântico para plasmas
eletrostáticos [Manfredi e Haas, 2002]
n 
+ (nu)= 0,
t x
u
u
1 p e
 2    2 n / x 2 

,
+u = 
 E+
2

t
x
m n x m
2m x 
n

E e
= (n0  n),
x ε0
p = p(n).
p  0  versao hidrodinamica para a equacao de Schrodinger
(Madelung,1926)
Potencial de Bohm  fenômenos
ondulatórios
2
2

   n / x 


2

2m x 
n 
2

Aproximação de campo
médio:
f N (1,2,..., N )  f (1)  f (2)  ... f ( N )

Relação de dispersão, ondas
lineares de alta freqüência
(perturbações ~ exp[i(kx-wt)]):
2 4
3

T

k
 2   p2  B k 2 
,
2
m
4m

plasm anao degenerado
Se for completamente degenerado:
 BT  EF
Propagação de ondas lineares: instabilidade
do duplo feixe (Haas, Manfredi e Feix, 2000)
Parâmetro medindo os efeitos ondulatórios
(instabilidade do feixe duplo):
H=
ωp
2
0
mu
Estados estacionários
d
(ni ui )  0,
dx
i  1, 2
2
2
2


d
n
/
dx
dui
dp
1
eE  d 
i
i
, pi ~ ni3 ,
ui

  2

dx
m ni dx m 2m dx 
ni

2
dE e 

  n0   ni .
dx  0 
i 1

Estados estacionários
Hidrodinâmica quântica para plasmas
magnetizados

n
+   (nu) = 0,
t

u  
1
e    2  2 n 
,
+ u  u =  p  (E + u  B) + 2  
t
mn
m
2m  n 
mais equações de Maxwell e equação de estado

[p = p(n)]
Magnetohidrodinâmica quântica [Haas (2005)]
Papel do potencial de Bohm






Destruição de soluções do tipo sóliton
Dispersão de ordem mais alta
Inexistência de colapso de pacotes de onda
de Langmuir (q-Zakharov 2D e 3D)
Tunelamento
Difusão do pacote de ondas
Dispositivos eletrônicos quânticos [ex: diodo
túnel resonante]: resistência diferencial
negativa (dI/dV < 0)
Efeitos da estatística de Fermi-Dirac




Equação de estado para um gás de Fermi
inclusão fenomenológica
Princípio : equação de Pauli  efeitos
relativísticos de ordem mais baixa (Marklund
e Brodin, 2007)
Termo de forca quântica de spin, efeitos
ferromagnéticos
Aplicação a magnetars (B ~ 10^9 T)
Experimentos



Femtosecond pump-probe spectroscopy
(thin metal films, metallic nanostructures)
X-ray Thomson scattering (Glenzer and
Redmer, 2009)  frequency shifts on high
frequency waves dispersion relation
keV free electron lasers (Gregori and
Gericke, 2009)  frequency shifts on low
frequency waves dispersion relation

Limite teórico para o tamanho de dispositivos
plasmônicos, devido ao “alargamento
efetivo” da camada de transição devido a
efeitos quânticos (Marklund et al. 2008)
Efeitos relativísticos




Asenjo e Mahajan (2010)  hidrodinâmica
quântica relativística a partir da equação de
Dirac
Zhu e Ji (2010)  efeitos quânticos
relativísticos para a aceleração do tipo
“wakefield” em lasers
Tito Mendonça (2011)  sistema de WignerMaxwell relativístico
Eliasson e Shukla (2011) Dirac-Maxwell
Referências



Haas, F.: Quantum plasmas – an
hydrodynamic approach (Springer, New York,
2011)
Shukla, P. K. and Eliasson, B.: Nonlinear
collective interactions in quantum plasmas
with degenerate electron fluids. Rev. Mod.
Phys. 83, 885 (2011)
Haas, F.: An introduction to quantum plasmas
(BJP, in print)
Para concluir





Vimos em que situações efeitos quânticos
são relevantes em plasmas
Consideramos alguns modelos: WignerPoisson,equações hidrodinâmicas
Analisamos o papel do potencial de Bohm
Algumas aplicações: ondas lineares e não
lineares
Extensões: efeitos de spin e relativísticos