CURSO DE CAPACITAÇÃO
O USO DE FERRAMENTAS TECNOLÓGICAS E AS POSSIBILIDADES
PEDAGÓGICAS NA FORMAÇÃO DOS DOCENTES NA REDE
MUNICIPAL DE GURUPI – TO
A UTILIZAÇÃO DO SOFTWARE GEOGEBRA COMO FERRAMENTA DE ENSINO
EDUCACIONAL: APLICAÇÕES AO ENSINO DA MATEMÁTICA.
AULA 05: Comandos e operações na
janela CAS (Computer Algebra System)
31/08/13
GURUPI – TO
2013
Pág.: 2
JANELA CAS
Refere uma ferramenta inserida no software a partir da
versão 4.2, denominada como Sistema de Computação Simbólica
(Computer Algebra System ou CAS, em inglês) é uma ferramenta
que
permite
realizar
várias
tarefas
matemáticas
utilizando
valores numéricos ou simbólicos.
As tarefas matemáticas típicas de um CAS incluem: cálculos
aritméticos,
simplificações
substituições
de
símbolos
equações
e
sistemas
cálculos
matriciais,
de
de
em
expressões,
equações
cálculos
expressões
lineares
de
algébricas,
resoluções
e
derivadas
de
não
lineares,
e
integrais,
resoluções de equações diferenciais ordinárias e parciais, e
dentre outras operações.
Quando ativar a janela CAS, está abrirá entre a janela de
Álgebra e a janela de Visualização (geométrica) e também uma
nova barra de ícones é apresentada:
Para visualizar a função de cada comando, passe com o
mouse em cima de cada ícone. Para maiores informes sobre as
rotinas da janela CAS, acesse o ícone ajuda ao lado da caixa
de entrada. Se a janela CAS não estiver ativa, não aparecerão
as rotinas/comandos destinados ao CAS.
Abordaremos
alguns
exemplos
(operações
numéricas
e
algébricas, MDC e MMC, fatoração de números e de polinômios,
resolução de equações, resolução de sistemas de equações) que
podem
ser
utilizados
na
janela
CAS
em
conjunto
com
as
ferramentas (barra de ícones) para obter o conjunto solução.
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OPERAÇÕES NUMÉRICAS E ALGÉBRICAS
Em
qualquer
linha
da
janela
CAS
pode
ser
realizado
qualquer operação numérica e/ou algébrica.
Vejamos algumas aplicações:
Determinar adição 2 e 3/5
Caso deseja obter o resultado no formato decimal, basta
clicar no número de entrada, ou no canto da célula que se
encontra o número de identificação, e em seguida clique no
ícone
;
Simplifique a expressão:
2 𝑥+1
10
−
3 2−𝑥
5
+
3𝑥
8
EXEMPLO: Determine o valor numérico da expressão acima quando
x=2.
Rotina:
Caso deseja aproveitar a equação já digitada na linha
correspondente para atribuir um valor numérico a variável, use
o comando:
Substituir[$1,x,2]
tecle ENTER
Obteve o resultado ½ ? OK!
Observe que há uma “bolinha” ao lado do número de saída,
que em geral sempre está vazada. Se você clicar nela, isto é,
selecionar, observe que:
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a) Se a operação ou valor que se encontra na célula for
numérico,
será
criado
um
seletor
na
janela
de
visualização;
b) Se a operação contiver valores algébricos, a mesma será
representada
como
geometricamente
na
uma
janela
função,
de
sendo
álgebra
e
expressa
também
de
visualização.
Quando o cálculo realizado está vinculado a outra célula, em
geral não será possível selecioná-la.
Caso deseja utilizar a linha digitada ou o resultado de
saída para uma próxima célula em branco, basta utilizar os
seguintes comandos:

Clique na célula em branco e em seguida acionar a barra
de espaço, aparecerá o resultado de saída da célula
anterior;

Clique na célula em branco e em seguida acionar a tecla
=, aparecerá o valor de entrada da célula anterior;

Clique na célula em branco e em seguida acionar tecla
), aparecerá o resultado de saída da célula anterior
entre parênteses;
Vejamos:
Na linha 1, determine a raiz quadrada de 36
{digite
sqrt(36), tecle ENTER}
Se desejar que o resultado de saída apareça também na Lina 2,
basta clicar na linha 2 e acionar a barra de espaço uma vez.
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Se desejar que na célula 2 mostre o valor inicial de entrada,
basta apenas digitar =
Esse
comando
na célula seguinte
serve
apenas
para
buscar
a
entrada
/
resultado apenas da célula anterior (células Consecutivas).
Para utilizar valores de células distantes, devemos utilizar
os comandos # ou $, situação esta descrita mais adiante.
Para poupar esforço de digitação de uma mesma expressão
várias
vezes,
é
conveniente
criar
uma
variável
para
representá-la.
Seja
a
expressão
(a-6)*(a+3),
e
esta
seja
utilizada
posteriormente em outra operação, façamos o uso do comando de
atribuição (:=)
b:=(a-6)(a+3)
Assim quando desejar utilizar a sentença (a-6)(a+3) basta
digitar b.
Desejando calcular o polinômio ((a-6)(a+3))²-((a-6)(a+3))
podemos utilizar a rotina b^2-b
Para
apagar
o
valor
atribuído
a
variável
b
digite
apagar[b]
NOTA1: Para facilitar as operações o evitar a digitação de uma
operação anterior, ou um comando de execução de cálculo podese utilizar algumas sintaxe (comandos)# ou $
SINTAXE
#
#3
##
Vínculo
DESCRIÇÃO
Referência
anterior
para
o
resultado
calculado
na
linha
Não
Referência para o resultado calculado na linha 3
Não
Referência
anterior
Não
para
o
comando
digitado
na
linha
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Referência para o comando digitado da linha 3
Referência para o resultado calculado na linha
anterior
Referência para o resultado calculado na linha 3
Referencia para o comando digitado na linha
anterior
Referencia para o comando digitado da linha 5
#3#
$
$3
$$
$3$
Leia-se:
$ -> cifrão;
Não
Sim
Sim
Sim
Sim
# -> sustenido;
Portanto, quando não necessita criar um vínculo de uma
célula em relação a outra, utiliza-se o símbolo sustenido (#).
Se deseja criar um vínculo usa a sintaxe cifrão ($).
FATORAÇÃO DE NÚMEROS E DE POLINÔMIOS
Fatorar um número consiste em escrevê-lo como produto de
dois ou mais fatores primos; e quando se trata de polinômios
consiste em representá-lo por meio de produtos de polinômios.
Alguns tipos de fatoração usual em polinômios:

Evidência do fator comum;

Agrupamento;

Diferença de dois quadrados;

Quadrado de uma soma ou diferença;
Vejamos algumas aplicações:
Fatorar os números:
a) 90
Faça você a fatoração dos números seguintes
b) 1024
c) 970
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Na linha seguinte, digite 1024. Na próxima linha digite:
Fatorar[#2],
tecle
ENTER.
Na
linha
seguinte
digite:
Fatorar[$2], tecle ENTER
Observou que os resultados foram os mesmos? Ok!
Troque o número 1024 por um outro, a exemplo 9000. Tecle
ENTER
Veja que célula em que você digitou $1 manteve o vínculo,
isto é, toda vez que modificar o número da célula de origem, a
sua
fatoração
(ou
qualquer
outra
operação)
é
recalculada,
situação que não ocorre quando usamos a sintaxe #.
Fatoração de polinômios
O programa (Geogebra) utilizará o(s) tipo(s) de fatoração
que seja conveniente/adequado.
Na linha de entrada da janela CAS digite o seguinte
polinômio;
𝒂𝒙+𝒃𝒙
(Obs: para o software entender que variável a está
multiplicando a variável x, deve ser inserido um espaço entre as
variáveis, ou utilizar o símbolo de multiplicação (*). Caso digite
as variáveis juntas (sem espaço ou sem o símbolo *), o programa
entende como se fosse uma única variável).
Continuando...
...em seguida na linha 2 digite: Fatorar[$1]
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EXEMPLO:
Use o comando Fatorar[...] (Lembre-se: Use um espaço entre
as variáveis ou entre elas deve inserir o símbolo *)
Fatoração de polinômios

8 𝑎 𝑥³ − 4 𝑎² 𝑥²

𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦

𝑥 2 − 64

9𝑥² + 6𝑥𝑦 + 𝑦²
EXERCÍCIO:
Use o Geogebra para mostrar que
𝑎𝑑−𝑏𝑐 𝑝𝑠−𝑟𝑞 = 𝑎𝑝+𝑏𝑟 𝑐𝑞+
𝑑 𝑠−(𝑎 𝑞+𝑏 𝑠)(𝑐 𝑝+𝑑 𝑟) para todo 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑝, 𝑞, 𝑟, 𝑠 reais.
MAXIMO DIVISOR COMUM (MDC) E MINIMO MULTIPLO COMUM
(MMC)
Definições:
Dados dois números inteiros a e b não nulos, define-se o máximo
divisor comum - MDC, como sendo o maior inteiro que divide simultaneamente
a e b.O MDC de dois números será indicado por MDC (a, b).
Considera-se
dois
números
inteiros
a
e
b
não
nulos,
define-se
o
mínimo múltiplo comum - MMC, indicado por MMC (a,b) , como sendo o menor
inteiro positivo, múltiplo comum de a e b.
Obs: para obter o MDC e o MMC acima de dois valores inteiros,
é necessário criar uma lista de números na caixa de entrada
primeiramente.
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Exemplos:
a)
Um
enxadrista
quer
decorar
uma
parede
retangular,
dividindo-a em quadrados, como se fosse um tabuleiro de
xadrez. A parede mede 4,40 metros por 2,75 metros. Qual o
menor número de quadrados que ele pode colocar na parede?
Para facilitar
centímetros.
4,40m -> 440cm
o
cálculo
vamos
e
2,75m ->275cm
passar
de
metros
para
Deveremos então achar o máximo divisor comum - MDC entre essas
dimensões. Essa é a única forma de achar a dimensão do lado de
cada quadrado, que caberá exatamente na parede sem sobra de
espaço.
Temos:
Conclui-se que teremos 40 quadrados com 55cm de lados.
NOTA2: Quando deseja encontrar o MDC ou MMC entre dois números
basta você digitar o comando normalmente, com descreve o
exemplo acima. Agora se há mais de dois valores números
numéricos, devemos criar uma lista na caixa de entrada.
b) Ao preparar dois bolos de chocolate, sendo um com 180
gramas e o outro com 102 gramas, quantos pedaços iguais e de
maior tamanho que podemos contar os dois bolos?
Resp.: 47 pedaços de 6 gramas
c) Um receituário médico indica que um paciente deve tomar uma
dose de xarope de 8h em 8h, um comprimido de 12h em12h e uma
injeção de 18h em 18h. Considerando que no sábado tomou os 3
medicamentos juntos, qual o próximo dia que coincidirá a
ingestão dos três medicamentos novamente?
Resp.: Três dias depois, ou seja, na Terça feira.
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RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Um caixa eletrônico só trabalha com notas de 10 e de 25 reais.
Se alguém saca 260 reais e leva 11 notas. Quantas notas de
cada espécie ele leva?
ROTINA 1: (Resolvendo numericamente)
Vá ao menu inserir e clique exibir janela CAS (Ctrl+Shift+K)
Na primeira linha, digite a equação que representa o valor
total do saque; (10x+25Y=260) tecle ENTER.
Na segunda linha, digite a equação que representa a quantidade
notas de 10 e 25 reais; (x+y=11) tecle ENTER.
Logo
em
pressionada
seguida,
e
pressione
clique
na
linha
a
tecla
1
e
“Shift”,
linha
2,
mantendo
após
ambas
estiverem selecionadas,solte a tecla “shift” e clique no ícone
resolver numericamente (
)
ROTINA 2: (resolvendo geometricamente)
Digite na primeira linha a equação: (ex;
eq_1:=10x+25y=260)
Na segunda linha a equação eq_2:=x+y=11
Selecione as células que contém a equação eq_1 e eq_2 e clique
no ícone resolver numericamente.
Poderemos obter a solução por meio de par ordenado; na
caixa de entrada digite: interseção[eq_1,eq_2]
O programa irá apresentar um par ordenado que representa o
conjunto solução deste exercício.
Você poderá visualizar a solução na parte geométrica, onde
as duas retas interceptam.
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RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DE 1º ou 2ºGRAU
Podemos obter o conjunto solução de qualquer equação, seja
ela contendo valores númericos e algébricos ou apenas equações
literais.
Observe:
Determine o conjunto solução da equação 2𝑥 + 4 = 0
ROTINA
Digite a equação e em seguida 2x+4=0, e em seguida clique
em no ícone
(resolver numericamente).
Determine o valor de x equação 2 𝑥 𝑎 + 5 𝑎 𝑐 = 0
Vejamos que aqui temos mais de uma variável, então devemos
informar qual é a variável que desejamos isolar, que neste
caso, se desejar obter a solução em função da variável x,
segue:
ROTINA
Digite na linha da janela CAS
(você poderá inserir um
espaço entre as variáveis, pois o software reconhece que é um produto ou
usar o símbolo * entre elas)
Soluções[2*x*a+5*a*c,x] em seguida tecle ENTER
VAMOS A RESOLUÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS PARA TREINAMENTO:
(Use a Janela CAS para resolver)
01)Calcular o menor número que dividido por por 12, 15 e 18
deixa sempre o resto 7. Resp.:187
02) Três sarrafos de madeira tem respectivamento, 78cm, 1,17m
e 1,43m. Deseja-se cortá-los em pedaços de mesmo comprimento,
de forma que, cada parte, seja, a maior possível. Sendo assim,
serão encontrados
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a-(
c-(
) 24 pedaços de 11 cm
) 20 pedaços de 13 cm
03)Determine as
𝐹 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
raízes
(x’
b-(
d-(
e
) 26 pedaços de 13cm
) 23 pedaços de 12cm
x”)da
função
definida
04)Determine o valor de m em função de x na equação
𝑚 (𝑥−1)
𝑥+𝑚
4
por
+
𝑥−𝑚
3
=
2
Sugestão: Use o comando
Resolver[(x+m)/4+(x-m)/3-(m*(x-1))/2,x]
05)Determine o conjunto
𝑥 + 2𝑦 = 8
equações
2𝑥 − 𝑦 = 1
solução
do
sistema
definido
pelas
06)Seja a função 𝑓 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 + 8, determine:
a)as suas raízes
b)o valor de F(2)
c)o valor de x para que F(x)=8
Obs: ao tentar obter as raízes o software apresentará apenas o
resultado {}. Isto mostra que a solução é vazia no reais.
Agora pode-se obter a solução em C, basta informar o comando
“raizescomplexas[função]”
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