Matemática Básica - 1
Prof. Valdir
1. POTENCIAÇÃO
n
Seja a a potência de um número, com base a ∈ IR e expoente n
∈ N, ocorre por definição:
n
a = a.a.a.a. ... . a (n > 1), sendo
• a → base
• n → expoente
n
• a → potência enésima de a
m
n
m+n
am
m −n
(a ≠ 0)
2. an = a
0
1
an
n
m n
5. (a ) = a
3
a = b → bn = a
De acordo com a expressão acima, verificamos que:
• n ∈ N*
• a é o radicando
• b é a raiz
Assim, consideramos:
(a ≠ 0)
m.n
n
3. 10 = 10000
-4
6. 10 = 0,0001
n
a) Sendo n par, temos que
n
4
2. 10 = 1000
-3
5. 10 = 0,001
2. RADICIAÇÃO
Considerando os números a, b e n, temos:
3. a = 1 (a ≠ 0)
4. a− =
2
1. 10 = 100
-2
4. 10 = 0,01
Assim, escrever um número em potência de 10 é colocar na forma da
n
notação científica que é m × 10 , sendo 1 ≤ m < 10 e n um número
inteiro.
Exemplos:
-4
5
1. 0,00015 = 1,5 × 10
2. 145000 = 1,45 × 10
Propriedades da potenciação:
1. a .a = a
Obs.: A potência de base 10 é muito utilizada na Física. Quando um
número é muito grande ou muito pequeno, recorre-se à potência de
10 para realizar algumas operações. Vejamos alguns exemplos:
n
b) Sendo n ímpar, temos que
Podemos escrever:
n
6. (a.b) = a .b
n
a existe em IR se a ≥ 0.
n
a sempre existe em ℜ.
n
an
a
7.   = n (b ≠ 0)
b
b
b) Sendo n um número ímpar, temos
Exercícios resolvidos:
Propriedades da radiciação:
a) Sendo n um número par, temos
01. Simplifique a expressão [29 ÷ (2 × 22 )3 ]−3 ÷ 2 .
Resolução:
2.
9 −3
n
an = a.
p
1.
2 3 −3
an = |a|.
q
ap = a q
q
a. b = a.b
q
a
q
b
q
q
−3
[2 ÷ (2 × 2 ) ] ÷ 2 = [2 ÷ 2 ] ÷ 2 = 1 ÷ 2 = 1÷ 2 = 1/ 2
9
9
3.
Resposta: 1/2
02. Resolva as expressão numérica e calcule o valor de p em cada
caso.
0, 00001.(0, 01)2 .10000
a) p =
0, 0001
4.
5.
=
( a)
q
p q
p
q
a
b
q
= ap
a =
p.q
a
Resolução:
p=
0, 00001.(0, 01)2 .10000 10-5.(10-2 )2 .104
=
=
10-4
0, 0001
10 −5.10 −4.10 4
=
= 10 −1
10 −4
-1
Resposta: 10
01. Calcule o valor da expressão
3
729 -
3 64
.
Resolução:
3
b) p = 103 + 10 4 + 105 , então:
729 -
3
64 =
3
27 - 4 = 3 – 2 = 1
Resposta: 1
Resolução:
p = 10 + 10 + 10 = 10 + 10.10 + 100.10
3
5
p = 111 . 10 = 1,11 . 10
3
Exercícios resolvidos:
4
5
5
Resposta: 1,11 x 10
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3
3
3
14
3 11
+
transformando-a em
125
5 25
um número de tipo a/b, sendo a e b inteiros.
02. Simplifique a expressão
3
1
x − (a+b)x + a.b = (x − a).(x − b)
2
Resolução:
3
=
Exemplo: x − 5.x + 6 = (x − 2).(x − 3)
2
14
3 11
+
=
125
5 25
3
14 2
+ =
125 5
3
3
14
15 - 11
+
=
125
25
14 + 50
=
125
3
3
14
4
+
=
125
25
64
4
=
125
5
4.5. Cubo perfeito
3
2
2
3
3
a + 3.a .b + 3.a.b + b = (a + b)
3
2
2
3
3
a − 3.a .b + 3.a.b − b = (a − b)
4.6. Soma e diferença de cubos
3
3
2
2
a + b = (a + b).(a − a.b + b )
3
3
2
2
a − b = (a − b).(a + a.b + b )
Resposta: 4/5
3. PRODUTOS NOTÁVEIS
Considerando três números reais a, b e c, os principais produtos
são:
3.1. Quadrado da soma de dois termos
2
2
2
(a + b) = a + 2.a.b + b
Exercícios resolvidos:
x 2 - 1 x 2 + 2x + 1
+
, para x ≠ 1 e x ≠ x -1
x+1
1, obtém-se uma expressão da forma E = a.x + b sendo a e b números
reais. Determine o valor de a + b.
01. Simplificando a expressão E =
3.2. Quadrado da diferença de dois termos
2
2
2
(a − b) = a − 2.a.b + b
Resolução:
x 2 - 1 x 2 + 2x + 1
(x + 1).(x - 1) (x + 1)2
E=
+
⇒ E=
+
⇒
x -1
x+1
x -1
x +1
3.3. Produto da soma pela diferença
2
2
(a + b).(a − b) = a − b
E = (x + 1) + (x + 1) ⇒ E = 2x + 2
3.4. Quadrado da soma de três termos
2
2
2
2
(a + b + c) = a + b + c + 2.a.b + 2.a.c + 2.b.c
Assim, fazendo ax + b ≡ 2x + 2 , teremos:
a = 2 e b = 2.
3.5. Cubo da soma de dois termos
3
3
2
2
3
(a + b) = a + 3.a .b + 3.a.b + b
Resposta: a = b = 2
3.6. Cubo da diferença de dois termos
3
3
2
2
3
(a − b) = a − 3.a .b + 3.a.b − b
5. RACIONALIZAÇÃO
Consideremos uma fração cujo denominador seja um número
irracional. Racionalizar o denominador consiste em encontrar uma
fração equivalente cujo denominador seja um número racional.
Exercícios resolvidos:
2
2
2
01. Se x + y = 17 e xy = 16, calcule valor de (x + y) .
Resolução:
2
2
Exercícios resolvidos:
01. Racionalize os denominadores em cada item.
2
2
2
(x + y) = x + 2xy + y = x + y + 2xy = 17 + 2.16 = 49
a)
Resposta: 49
15
2 10
Resolução:
4. FATORAÇÃO
A fatoração de uma expressão consiste em escrevê-la na forma
de produto de duas ou mais expressões. Os casos mais importantes
são:
15
2 10
4.1. Fator comum
2
3
2
a.x + a.x − a.x = a.x(1 + x − x )
Respsota:
4.2. Agrupamento
a.x + a.y + b.x + b.y = a.(x + y) + b.(x + y) = (a + b).(x + y)
b)
Obs.: Caso o trinômio não seja um quadrado perfeito, ele pode ser
fatorado utilizando uma equação polinomial na forma fatorada.
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15
2 10
×
10
10
=
15 10
3 10
=
2.10
4
3 10
4
3
5
32
4.3. Diferença de dois quadrados
2
2
a − b = (a + b).(a − b)
4.4. Trinômio quadrado perfeito
2
2
2
a + 2.a.b + b = (a + b)
2
2
2
a − 2.a.b + b = (a − b)
=
Resolução:
3
5
3
2
⋅
5
5
33
3
Resposta:
=
3
5
3 5 33
=
3
5
33
33
2
c)
3
7. SISTEMAS DE UNIDADES
3 −1
7.1. Unidades de comprimento
Resolução:
3.( 3 + 1)
( 3 − 1).( 3 + 1)
=
3.( 3 + 1)
=
3 −1
3.( 3 + 1)
=
2
3 +3
2
km
-3
10
2
Resposta:
dam
-1
10
m
1
dm
1
10
cm
2
10
mm
3
10
2
dm
2
10
2
cm
4
10
2
mm
6
10
3
7.2. Unidades de área
km
-6
10
3 +3
2
hm
-2
10
2
hm
-4
10
2
m
1
3
m
1
dm
3
10
3
cm
6
10
3
mm
9
10
l
1
dl
1
10
cl
2
10
ml
3
10
g
1
dg
1
10
cg
2
10
mg
3
10
dam
-2
10
2
7.3. Unidades de volume
3
6. SIMPLIFICAÇÃO DE RAÍZES DO TIPO
A ± B , A e B racionais,
Queremos transformar a expressão
x ± y , x e y racionais.
em outra equivalente do tipo
x + y ⇒( A+ B ) =( x + y ) ⇒
2
2
x + y = A
4.x.y ⇒ 
4.x.y = B
Resolvendo o sistema, teremos os valores de x e y.
A+ B =x+y+
x=
A + A2 − B
2
ey=
A − A2 − B
2
Dessa forma, conclui-se que x e y serão números racionais se
2
A – B for um quadrado perfeito.
Exercícios resolvidos:
01. Sendo n um número inteiro, calcule o seu valor na igualdade
2 + 3 = 5+2 n .
Resolução:
Elevando os dois membros ao quadrado, teremos:
(
2+ 3
)
2
=
(
5+2 n
)
2
⇒ 2+2 6 +3 = 5+2 n ⇒
5+2 6 = 5+2 n
Comparando os dois membros, teremos:
n=6
Resposta: n = 6
3
hm
-6
10
dam
-3
10
3
7.4. Unidades de capacidade
kl
-3
10
A + B , teremos:
Assim, para o caso
A+ B =
km
-9
10
A± B
hl
-2
10
dal
-1
10
Observações importantes:
3
-3
1 cm → 1 ml = 10 l
3
1 dm → 1 l
3
1 m → 1 kl = 1000 l
7.5. Unidades de massa
kg
-3
10
hg
-2
10
dag
-1
10
7.6. Conversão de algumas unidades do cotidiano (não decore!)
1 tonelada → 1000 kg
1 polegada → 2,54 cm = 25,4 mm
1 pé → 30,48 cm = 12 polegadas
1 braça → 2,2 m
1 légua → 6 km
1 milha → 1,609 km
1 jarda → 0,9144 m = 3 pés
2
1 hectare → 10.000 m (área do quadrado de 100 m de lado)
2
1 alqueire → 48.400 m (área do quadrado de 220 m de lado)
1 onça → 28,3495 gramas
1 libra → 453,59 gramas (≅ massa da bola de futebol)
Obs.: 1 alqueire → 80 litros de área: unidade muito utilizada no
campo.
Exercícios resolvidos:
01. O mercúrio é um e metal líquido de densidade extremamente
alta e é muito próxima de 13,5 kg/ l . Calcule a densidade do
mercúrio em g/ ml .
Resolução:
13, 5
kg
1000g
g
= 13, 5
= 13, 5
ℓ
1000mℓ
mℓ
Resposta: 13,5 g/m l
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3
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