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LICENCIATURA EM PEDAGOGIA
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PROBLEMA MATEMÁTICO NAS SÉRIES INICIAIS NÃO É
Por: Lúcia Regina Caillaux de Souza Duarte de Oliveira
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SOMENTE SOLUÇÃO, É ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO
Orientador
Profª. MS Maria da Conceição Maggioni Poppe
Rio de Janeiro
2012
1
AVM FACULDADE INTEGRADA
LICENCIATURA EM PEDAGOGIA
PROBLEMA MATEMÁTICO NAS SÉRIES INICIAIS NÃO É
SOMENTE SOLUÇÃO, É ESTRATÉGIA DE RESOLUÇÃO
Apresentação de monografia a AVM Faculdade
Integrada como requisito parcial para obtenção do
grau em Licenciatura em Pedagogia.
Por: Lucia Regina Caillaux de Souza Duarte de
Oliveira
2
AGRADECIMENTOS
....aos meus alunos que nesses 31
anos de magistério me permitiram e me
permitem ensiná-los, buscando sempre
estratégias para tornar a cada aula um
momento diferente e prazeroso.
3
DEDICATÓRIA
...dedico a todos os professores que em
seu dia a dia lutam por um ensino de
qualidade, ainda que não reconhecidos
pelo seu trabalho e que acreditam que
uma sociedade justa se consolida na
educação.
... dedico ao meu pai, Waldemiro de
Souza e ao meu marido, Marcelo Duarte,
meus grandes incentivadores.
4
RESUMO
Um dos principais objetivos do ensino da Matemática é ajudar o aluno
a pensar produtivamente, desenvolvendo seu raciocínio lógico para solucionar
questões que surjam no seu dia a dia. Para que o aluno se interesse pela
resolução de um problema, ele precisa sentir-se desafiado, envolvido na
situação apresentada. A metodologia da resolução de situações-problema é o
fio condutor do ensino da Matemática, permitindo o desenvolvimento da
capacidade de enfrentar situações novas e tomar decisões, tanto quanto
possível, precisas. Para resolver problemas, é necessário desenvolver
estratégias que se apliquem a variadas situações. Com esse objetivo, os
problemas propostos precisam ter algumas características que aproximem de
situações reais, tornando-os mais envolventes para os alunos. Assim, devem
ser incluídos problemas com múltiplas soluções, outros com dados não
significativos e até mesmo problemas não convencionais, em que a solução
depende menos de cálculos de que raciocínio lógico ou capacidade de análise
e observação. As soluções – problemas permitem serem resolvidas através de
cálculo mental, registro com desenhos ou outro modo à escolha do aluno. A
diversidade de soluções de uma mesma situação-problema promove a
liberdade a que o aluno tem direito para escolher um entre tantos caminhos
para encontrar a solução da situação proposta. Para vários matemáticos,
ensinar a Matemática é oferecer aos alunos um vasto acervo de situações
matemáticas diversificadas nos aspectos contextuais, conceituais ou
procedimentais, nas quais as tarefas solicitadas vão além dos esquemas
clássicos de decorar e aplicar regras. O foco de todo o trabalho é levar o aluno
a raciocinar com autenticidade.
.
5
METODOLOGIA
As considerações feitas ao longo deste trabalho têm a intenção de
destacar a importância da resolução de problemas como estratégia didática
para um ensino que desencadeia no aluno um comportamento de pesquisa,
estimula a curiosidade e prepara o aluno para lidar com situações novas sendo
motivado a pensar, conhecer, ousar e solucionar problemas.
Diante da importância de se trabalhar no processo de ensino e
aprendizagem a resolução de problemas e sendo o professor a “peça”
fundamental deste processo, a monografia recebeu seu tema.
Na elaboração da proposta de trabalho muitos questionamentos foram
feitos. Inicialmente utilizando as próprias experiências e frustrações a respeito
do assunto levantado, observando os resultados dos alunos na prática dos
trabalhos que envolvem problemas. No segundo momento, buscando
informações com diferentes profissionais objetivando entender o processo de
resolução de problemas. O que lamentavelmente apresentou um grupo
resistente aos problemas que levam ao raciocínio, acomodados na prática de
estratégias e respostas iguais.
Norteando o projeto surgiu a primeira leitura, Revista Nova Escola,
março de 2002, página 22. onde Kátia Smole e Maria Ignez escreveram : “ Tem
professor que, na correção dos problemas, só olha as respostas”.É óbvio que a
estratégia adotada pelo estudante para resolver o problema tem o mesmo peso
(ou até mais) do que o resultado obtido. No mesmo artigo, listaram dez crenças
que precisam ser evitadas como: problemas têm sempre solução, são sempre
expressos em forma de texto, todos os dados estão no enunciado, a resposta é
sempre única, a resolução deve ser rápida e uma questão não pode gerar
dúvida. Mas o que mais me chamou a atenção foi a frase final “ Esqueça, ou
melhor , inverta essas falsidades... Valorize o raciocínio, não a resposta
correta”.
O “pontapé” de uma longa pesquisa na busca de estratégias e respostas
que certificassem a ideia do ensino da Matemática através dos problemas
estava dado..
6
Do ponto de vista metodológico e conceitual, foram incorporadas
contribuições em consonância com idéias de pensadores como Ausubel,
Bruner, Coll, Brousseau, Lerner, Perrenoud, Vygotsky, Piaget, entre outros;
resultantes de pesquisas realizadas no âmbito da história da matemática, bem
como os objetivos pontuados pelos Parâmetros Curriculares Nacionais.
A partir de textos que abordam a história da Matemática, foi possível
identificar e comparar informações acerca de conceitos e procedimentos
utilizados no passado e no presente, reconhecendo semelhanças e diferenças
entre os vários momentos na evolução da metodologia na resolução dos
problemas. Dessa forma, as obras lidas, ampliaram o conhecimento,
esclareceram algumas dúvidas, fizeram compreender a importância do ensino
da Matemática através de novos rumos e serviram como instrumento de
resgate da identidade matemática.
Ao entender a resolução de problemas como perspectiva metodológica,
foi importante apresentar diferentes formas de buscar a solução de um
problema e os diferentes tipos de problemas. As situações-problema anexadas
ao projeto fazem parte de uma grande coletânea realizada em diversos livros
didáticos adotados em diferentes escolas da rede particular de ensino no
município do Rio de Janeiro. Ressaltando que cada um expressa concepções
referentes ao processo de ensino e de aprendizagem, partilhadas pelos
diferentes autores.
Para formalizar os assuntos abordados na atualidade, receberam
destaque as obras de alguns autores que estão ditando as regras do ensino da
Matemática nas melhores escolas do Rio de Janeiro. São considerados
“papas” da Matemática, como Roberto Dante, Ênio Silveira e Kátia Smole
O assunto abordado nesta monografia é inesgotável, assim como os
estudos realizados durante o processo de construção da mesma. A cada
momento uma ideia nova chega aos nossos ouvidos. Em cada obra didática
novos caminhos e estratégias são expressos, aguçando aos “loucos por
Matemática” a busca de um caminho sempre prazeroso e significativo no
processo da aprendizagem da Matemática.
7
SUMÁRIO
CAPÍTULO I
I – PROBLEMAS MATEMÁTICOS
1.1 – Conceituando problema matemático
1.2 – A importância de um problema matemático
1.3 – As primeiras ideias sobre resolução de problemas
1.4 – A perspectiva metodológica da resolução de problemas
1.4.1 – A perspectiva metodológica e a comunicação
CAPÍTULO II
II – PROBLEMAS, EXERCÍCIOS E SITUAÇÕES-PROBLEMA NO ENSINO DA
MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS LIVROS DIDÁTICOS
2.1 – A diferença entre exercício e problema
2.2 – Problemas e situações-problemas
2.3 – Problemas para o ensino da matemática e para o desenvolvimento da
matemática
2.4 – Características do rpoblemas
2.5 – Diferentes tipos de problemas
2.5.1 – Problemas sem solução
2.5.2 – Problemas com múltiplas soluções
2.5.3 – Problemas com excesso de dados
2.5.4 – Problemas de lógica
2.5.5 – Problemas de base algorítmica
2.5.6 – Problemas de investigação
2.5.7 – Problemas de estratégia
CAPÍTULO III
III – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
3.1 – Estratégias de resolução
3.2 – Estratégias didáticas para o ensino de matemática através da resolução
de problemas
8
3.3 – Etapas de resolução de problemas
3.3.1 – Segundo George Polya
3.3.2 – Segundo Kátia Smole
3.3.3 – Segundo Roberto Dante
3.3.4 – Segundo Oscar Guelli
CONCLUSÃO
BIBLIOGRAFIA
ÍNDICE
FOLHA DE AVALIAÇÃO
9
CAPÍTULO 1
PROBLEMAS MATEMÁTICOS
A matemática faz parte da vida de todas as pessoas desde muito cedo.
Ao organizar brincadeiras, jogar com os amigos, planejar atividades diárias –
como determinar o tempo de lazer e o de estudo, calcular a quantia necessária
para pequenas despesas, pensar em determinado trajeto, a criança realiza
medições, comparações, operações, observação de formas. Localização no
espaço, entre outras. Todas essas noções intuitivas chegam à sala de aula por
meio de relatos das experiências vivenciadas pelas crianças. Cabe ao
professor organizar, sistematizar e ampliar os conceitos e procedimentos
informais que a criança traz, ressignificando - os a partir do saber matemático
em suas diferentes concepções: Matemática como linguagem, como ciência e
como meio para resolver problema. .
A Matemática como meio para resolver problemas contribui para a
construção e o desenvolvimento de uma série de estratégias e conhecimentos
que auxiliam na resolução de situações do cotidiano ou de problemas
relacionados a outras áreas do conhecimento. Problemas neste caso, referemse não apenas a problemas convencionais enquanto estratégia previsível para
aplicação de conhecimentos construídos, mas a situações que desafiam a
criança a buscar soluções elaborando hipóteses, discutindo ideias e
comparando resultados.
1.1 – Conceituando problema matemático
A definição de “problema matemático” varia de acordo com o
pensamento de cada um dos autores. Alguns consideram importante que os
problemas admitam várias soluções. Outros acreditam que um problema deve
ter resposta bem definida e somente um caminho para sua resolução.
Em relação à estruturação dos problemas, há os que defendem a ideia
de que o verdadeiro problema deve ser mal-estruturado e outros que acreditam
que é função do professor estruturar os problemas para eliminar a
10
complexidade. Dentre os professores também há concepções diferentes,
alguns
admitem
que
os
problemas
contextualizados
facilitam
o
desenvolvimento do raciocínio e os que defendem que problemas devem ter
linguagem diretamente matemática.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, o ponto de
partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No
processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e métodos matemáticos
devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de
situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia
para resolvê-las. Dessa forma os PCN definem “Um problema matemático é
uma situação que demanda a realização de uma seqüência de ações ou
operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de
início, mas é possível construí-la.”
O problema matemático é o meio pelo qual o processo matemático se
desenvolve. Um problema tem papel relevante, pois está relacionado à
quantidade de ideias novas que traz à matemática e à capacidade de
impulsionar os diversos ramos da Matemática, sobretudo àqueles em que ele
não está diretamente relacionado.
No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples,
estimula a curiosidade do aluno, aprimora seu raciocínio, aguça a criatividade
fazendo com que o mesmo se interesse pela Matemática.
Segundo Newell & Simon (1972), “um problema matemático é uma
situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho
das ações necessárias para concretizar a sua ação”. Em Matemática, existe
um problema quando há um resultado – conhecido ou não – a ser demonstrado
utilizando a teoria matemática. Um problema é mais valioso à medida que
quem está se propondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de
inventar estratégias e criar idéias. Quem resolve pode até saber o objetivo a
ser atingido, mas ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não
dispõe dos meios para atingir tal objetivo.
De acordo com Smole, Diniz e Cândido (2000), “Para uma criança, assim
como para um adulto, um problema é toda situação que ela enfrenta e não
encontra solução imediata que lhe permita ligar os dados de partida ao objetivo
a atingir. A noção de problema comporta a característica da abordagem de
11
resolução de problemas que propomos é considerar como problema toda
situação que permita algum questionamento ou investigação”.
Ênio Silveira (2001), define que “um problema matemático é toda
situação que requer a descoberta de informações matemáticas desconhecidas
para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a invenção de uma demonstração de
um resultado matemático dado. O fundamental é que o aluno conheça o
objetivo a chegar, mas só estará enfrentando um problema se ele ainda não
tem os meios para atingir tal objetivo”.
Se os alunos conseguem interpretar a proposta do enunciado da
questão, sabendo estruturar algumas ou todas as situações apresentadas,
desenvolvendo várias estratégias de resolução incluindo a verificação das
mesmas e do resultado, tem em mãos um problema matemático, mas se “é
uma atividade de treinamento no uso de alguma habilidade/conhecimento
matemático já conhecido pelo aluno, como a aplicação de um algoritmo
conhecido, de uma fórmula conhecida” (Silveira, 2001), os alunos têm em mãos
um exercício que exige apenas a aplicação de um procedimento sem a
necessidade de criar estratégias para resolvê-lo.
1.2 – A importância de um problema matemático
A importância da aplicação de um problema está no fato de “possibilitar
aos alunos mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a capacidade para
gerenciar as informações que estão a seu alcance dentro e fora da sala de
aula. Assim, os alunos terão oportunidades de ampliar seus conhecimentos
acerca de conceitos e procedimentos matemáticos bem como do mundo em
geral e desenvolver sua autoconfiança” Schoenfeld (PCN, 1998).
Segundo Roberto Dante (1991), “é possível por meio da resolução de
problemas desenvolver no aluno iniciativa, espírito explorador, criatividade,
independência e a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso
inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas
soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela”.
Resolver um problema é um assunto cada vez mais presente nas
discussões sobre o processo de ensino-aprendizagem de matemática.
12
Para alguns autores, a resolução de problemas pode ser descrita dentro
de três concepções que não se excluem: como meta, como processo ou como
habilidade básica.
Como meta, todo ensino se estrutura inicialmente para fornecer
informações e conceitos que o aluno precisará para resolver um determinado
problema.
Considerando
a
resolução
de
problemas
como
aplicação
de
conhecimentos previamente adquiridos a situações novas, o ensino estruturase em ensinar a resolver problemas como sinônimo de aprender Matemática.
Essa concepção se tornou mais significativa, principalmente após a publicação
dos trabalhos de George Polya ( 1897-1985 / filósofo e matemático húngaro)
fazendo com que educadores prestassem mais atenção aos procedimentos e
estratégias desenvolvidas pelos alunos para resolver problemas.
Já a resolução de problemas como habilidade básica é entendida como
uma competência mínima que o indivíduo deve adquirir para que possa inserirse no mundo do conhecimento e do trabalho. Nessa perspectiva, o aluno deve
aprender a resolver diferentes tipos de problemas, considerando-se tanto
aqueles que envolvam conteúdo específico ou não, quanto método de
resolução.
1.3 – As primeiras ideias sobre resolução de problemas matemáticos
Inicialmente, a atividade de resolver problemas recai na questão
filosófica de “pensar sobre o pensamento”; neste sentido, os filósofos gregos
como Sócrates e Platão trazem algumas contribuições.
Para Sócrates, o indivíduo já detém o conhecimento a ser usado para
resolver o problema e, portanto, a atividade de resolver problemas não passa
de mera ‘recordação’; para exemplificar seu método, certa vez Sócrates fez um
escravo demonstrar o Teorema de Pitágoras ‘apenas’ lhe fazendo algumas
perguntas.
Podemos notar, portanto, que o fato de Sócrates fazer perguntas já era
um encaminhamento na solução do problema, o que ao nosso ver já tira em
grande parte o mérito do escravo na resolução pois ele contou com a ajuda das
perguntas elaboradas por Sócrates.
13
As primeiras ideias um pouco mais positivas e razoáveis a respeito de
resolução de problemas vem com o filósofo e matemático francês Descartes
(1596 - 1650). O importante em Descartes são suas ideias sobre ‘pensamento
produtivo’ que tinham um papel importante no seu ambicioso projeto de
construção de um método geral de resolução de problemas. Segundo seu
método, seria possível resolver qualquer problema, oservando as três fases:

reduzir todo problema algébrico a um problema contendo apenas
equação(ões);

reduzir todo problema matemático a um problema algébrico; e

reduzir qualquer problema a um problema matemático.
Descartes objetiva reduzir todo problema que existe no mundo a um
problema matemático; mais que isso, a ideia de Descartes era completar o
projeto de resolver problemas citado acima e ainda usufruir de seus benefícios.
Fica evidente que a ideia de reduzir todo problema a um problema matemático,
nem sempre é possível.
No entanto, Descartes apresenta algumas ideias de valor e relevância
relacionadas ao ensino e que podem ser aplicadas a resolução de problemas
como, por exemplo:

“É necessário método para descobrir as leis da natureza”, ressaltando
a importância da sistematização.

“As únicas coisas que devemos aceitar são aquelas que ou podemos
ver com clareza ou podemos deduzir com certeza”, relevante a
importância da argumentação.

“Se chegarmos a um ponto onde não conseguimos entender o que está
acontecendo, devemos fazer uma pausa e não prosseguir em um
trabalho inútil”. É importante mantermos controle sobre o trabalho a ser
realizado para que não seja em vão.
É importante citar Descartes, pois algumas de suas sugestões para o
ensino e a resolução de problemas antecipam ideias de George Polya.
Após Descartes, encontramos ideias originais acerca de resolução de
problemas na escola Gestaltista de psicologia com o psicólogo e cientista
político inglês Graham Wallas (1858 - 1932)
14
A visão Gestaltista de Wallas fornece uma visão interessante da solução de
um problema e representa um passo importante como contraposição às ideias
de Descartes. Para Wallas inicia-se um trabalho exaustivo sobre o que se pode
fazer para resolver o problema, após ter feito todas as tentativas o problema é
deixado de lado e enviado para o subconsciente. Em um momento qualquer, a
resposta surge e a correção passa por uma verificação.
As fases de resolução proposta por Wallas, fundamentadas em noções
gerais do funcionamento da mente, não tiveram grande valia como uma
estratégia de resolução de problemas.
Uma mudança radical de posição em relação às ideias de Descartes ou de
Wallas é encontrada na escola behavorista com o psicólogo americano B. F.
Skinner (1904 – 1990). Ele propõe, de fato, a completa exclusão do conceito
de mente da teoria do conhecimento.
A teoria behaviorista popularizada por Skinner continua conduzindo a
maioria das práticas educacionais cognitivistas afirmando que a melhor
maneira de aprender é construindo o seu próprio conhecimento. Desta forma,
as salas de aula construtivistas devem proporcionar um ambiente onde os
estudantes confrontam-se com problemas cheios de significado porque estão
vinculados ao contexto de sua vida real.
Esta abordagem contrasta com as salas de aula behavioristas, onde os
estudantes estão passivamente envolvidos em receber toda a informação
necessária a partir do professor e do livro texto. Ao invés de inventar soluções
e construir o conhecimento durante estes processos, os estudantes são
ensinados a procurar a "resposta certa" segundo o método do professor.
Segundo esta ideia, os estudantes não precisam nem verificar se o método
usado na solução dos problemas tem sentido.
Na década de 1950, Malba Tahan, o consagrado autor do clássico O
Homem que Calculava, escreveu numerosos artigos e livros, entre eles o
Didática da Matemática, nos quais denunciou um afastamento do ensino da
Matemática das situações do mundo real. A prtir de 1961, até o final dos anos
1980, o ensino da matemática afastou-se ainda mais das aplicações, por
influência do movimento chamado Matemática Moderna. No entanto, a partir de
1980, muitos países reorientaram seus currículos, dando destaque às
aplicações, aos projetos e à interdisciplinaridade.
15
O respeitado matemático Henry Pollak publicou, em 1987, um estudo a
respeito de “ qual Matemática a escola deveria prover aos indivíduos para que
fossem capazes de intervir matematicamente no mundo do trabalho”, em que
listou habilidades e destrezas que o indivíduo deveria ter ao final de um curso
fundamental:

ser capaz de propor problemas com as operações adequadas;

conhecer técnicas diversas para propor e resolver problemas;

compreender as implicações matemáticas de um problema;

poder trabalhar em grupo sobre um problema;

ver a possibilidade de aplicar idéias matemáticas a problemas
comuns e complexos;

estar preparado para enfrentar problemas abertos, já que a maioria
dos problemas reais não estão bem formulados;

acreditar na utilidade e validade das matemáticas.
BENAIM (Apud Silveira.1995) salienta o paradoxo existente entre a filosofia
tradicional e a filosofia construtivista. Ao contrário da atividade tradicional de
valorizar a memorização das "respostas corretas", os professores consideram o
conhecimento "pré-existente" para mediar o processo de construção do
conhecimento. Além disso, o professor encoraja os estudantes para
desenvolverem seus próprios processos de busca de novos desafios. Como o
conhecimento é adquirido sem um roteiro definido e dificilmente existe uma
única solução para um problema, as abordagens metodológicas requeridas são
mais reflexivas.
.
“Resolver problemas é uma habilidade prática, como nadar,
esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio de
imitação e prática. (...) se você quer aprender a nadar você tem
de ir à água e se você quer se tornar um bom ‘resolvedor de
problemas’, tem que resolver problemas”.
George Polya
George Polya foi o primeiro matemático a apresentar uma heurística de
resolução de problemas específica para a matemática. Por isso, Polya
representa uma referência no assunto, uma vez que suas idéias representam
16
uma grande inovação em relação às ideias de resolução de problemas
existentes até então (Descartes, Wallas, Skinner). Muitas de suas idéias são
razoáveis até os dias atuais, servindo de alicerce para trabalhos de outros
pesquisadores contemporâneos a Polya nesta área como Schoenfeld e
Thompson.
Em seus estudos, Jean Piaget mostrou como os indivíduos avançam de
um estágio de conhecimento para outros mais amplos e complexos,
vivenciando situações de conflito cognitivo ou obstáculos ( situações-problema)
na interação com os objetos de aprendizagem. Esses obstáculos levam o
sujeito a reorganizar seus conhecimentos anteriores ou a buscar novas
informações para ultrapassá-los, motivando-o a pesquisar e trocar ideias sobre
esses conhecimentos.
Piaget também evidenciou a existência de maneiras características de
entender um objeto de conhecimento. Essa contribuição de Piaget reforça
ainda mais a ideia de que os problemas matemáticos devem ser apresentados,
sem o “ensinamento” prévio das etapas e ferramentas necessárias para sua
resolução. Dessa forma, os alunos são levados a reorganizar seus
conhecimentos anteriores e/ou buscar novas informações e procedimentos
para resolver a situação-problema.
1.4 – A perspectiva metodológica da resolução de problemas
Na perspectiva da resolução de problemas, a essência está em saber
problematizar e não formular perguntas sem clareza dos objetivos a serem
alcançados, simplesmente por não se ter mais o que perguntar.
Problematizando as situações, geralmente ações como questionar as
soluções e a própria situação-problema começam a fazer parte da rotina das
aulas e, geralmente, o aluno é levado a um processo de metacognição. Essa
atitude requer uma forma mais elaborada de raciocínio, esclarece dúvidas,
aprofunda a reflexão e liga-se à ideia de que a aprendizagem depende de se
estabelecer o maior número de relações entre o que se sabe e o que está se
aprendendo.
Outra característica da perspectiva metodológica da resolução de
problemas é a não separação entre conteúdo e metodologia. Na prática da
17
resolução de problemas é essencial o planejamento das atividades e do
encaminhamento dos questionamentos, pois não há metodologia de ensino
sem que esteja sendo trabalhado algum conteúdo.
Nessa perspectiva, não importa a situação a ser resolvida; a motivação
dos alunos está na participação da elaboração de idéias e procedimentos e na
percepção que eles têm de estar se apropriando do conhecimento.
Quando
se
assume
que
essa
perspectiva
metodológica
está
estritamente relacionada à aprendizagem dos conteúdos, mais uma das
características acerca do que é resolução de problemas aparece: a
necessidade do recurso à comunicação.
1.4.1 – A perspectiva metodológica e a comunicação
É por meio da comunicação que se pode interferir nas dificuldades
encontradas ou permitir que o aluno avance mais, propondo outras perguntas
ou mudando a forma de abordagem.
No momento em que se associa a perspectiva metodológica de
resolução de problemas à comunicação está favorecendo a aprendizagem e o
envolvimento da tarefa e ainda, verifica-se que o aluno, enquanto resolve uma
situação - problema, aprende Matemática e desenvolve procedimentos, modos
de pensar e habilidades básicas como verbalizar, ler , interpretar e produzir
textos, adquirindo confiança em seu modo de pensar e autonomia para
investigar e resolver problemas.
A perspectiva metodológica da resolução de problemas não é simples de
ser realizada, exige tempo, um bom planejamento, segurança do professor em
relação ao seu conhecimento matemático e à forma adequada de utilização da
metodologia.
18
CAPÍTULO 2
PROBLEMAS, EXERCÍCIOS, SITUAÇÕES PROBLEMA
NO ENSINO DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS LIVROS
DIDÁTICOS
Tradicionalmente, os problemas são utilizados pelo professor para
verificar se os alunos aprenderam ou não algum conceito ou procedimento
ensinado como um momento de avaliação.
Tão importante quanto o que se ensina e aprende é como se ensina e
aprende (COLL.1987,p.30). Por isso as orientações apresentadas aos
professores possibilitam a construção e a reelaboração de conceitos,
metodologias e saberes didáticos, levando-os a perceber que o conhecimento
não deve ser imposto ao aluno, mas problematizado, de maneira que aquilo
que os alunos já sabem seja o ponto de partida para as discussões e reflexões
no processo de ensino aprendizagem. Essa abordagem favorece o fazer
pedagógico, por tornar claro ao professor quais são seus reais objetivos do
trabalho proposto.
2.1 – A diferença entre exercício e problema
A diferença entre um problema e um exercício é que o exercício serve
para praticar um determinado algoritmo ou processo, serve para exercitar.
O processo desenvolve o raciocínio lógico. É uma situação que exige
iniciativa, criatividade e o conhecimento de algumas estratégiaspara a sua
resolução.
Para melhor compreender essa diferença faz-se necessário a análise de
algumas coleções de livros didáticos.
Ao analisar a Coleção Matemática/ Fundamental I - Ênio Silveira
observa-se que o autor intitula uma de suas seções como “Problemas
envolvendo...” no caso, as reticências fazem referência ao conteúdo estudado.
Após exaustivos exercícios de fixação, o autor fecha os capítulos com
19
“problemas” que exigem apenas a aplicabilidade dos conteúdos estudados sem
nenhum raciocínio para sua execução.
“3. Alberto distribuiu 1212 garrafas de suco em embalagens de 12
unidades cada. Quantas embalagens foram necessárias?” (Coleção
Matemática – Ênio Silveira - volume 4 - página 151/3ªedição - 2010)
O aluno tem clareza do algoritmo a ser utilizado para execução da
tarefa, pois os exercícios que o antecedem fazem referência e treinamento ao
algoritmo da divisão.
Utilizando dessa mesma prática para exercitar e fixar conteúdos através
dos problemas podemos citar algumas coleções destinadas ao Fundamental I :
A Conquista da Matemática - Giovanni & Giovanni Jr. ; Akpalô – Linos Galdone;
Matemática Pode Contar Comigo – José Roberto Bonjorno; Matemática –
Oscar Guelli.
Em oposição a prática do “exercício problema” encontramos autores
como Bigode & Gimenez, Roberta Taboada & Ângela Leite, Kátia Smole &
Maria Ignez Diniz, Luiz Roberto Dante, Manhúcia Perelberg Liberman & Lucília
Bechara Sanchez que partindo de situações concretas, estimulam o aluno a
levantar hipóteses sobre os assuntos a serem estudados. Permitem que
conceitos espontâneos, trazidos de sua própria experiência, sejam organizados
e transformados em saber, onde o aluno poderá questionar, raciocinar e buscar
soluções com base na articulação entre os saberes que traz de suas vivências
e os novos conceitos a que estará tendo acesso. Nessa concepção de
resolução de problema, o aluno atua como sujeito do processo de ensino e
aprendizagem, participando na elaboração e reelaboração do seu próprio
conhecimento.
As autoras Roberta Taboada e Ângela Leite na Coleção Aprendendo
Juntos – volume 4 – página 76 / 3ªedição. 2010, inicia o capítulo da divisão
com uma situação do cotidiano dos alunos. O objetivo das autoras, nesse
momento, é socializar as estratégias para resolver os problemas propostos na
atividade. Somente no segundo momento é utilizado o algoritmo da divisão.
Esse tratamento com os problemas são observados em toda a sua obra.
20
“Na cidade de Lucas, A Festa das Nações deste ano acontecerá em três
períodos, manhã, tarde e noite. Ele e outras 263 pessoas já se
inscreveram para trabalhar nas 22 barracas definidas. Quantas pessoas
trabalharão em cada barraca, se deve ficar o mesmo número de pessoas
em cada uma?”
Através dessa situação, o aluno é levado a verificar se a estimativa realizada
está correta e assim ser encaminhado para a divisão.
2.2 - Problemas e situações-problema
Na década de 1990, a resolução de problemas ganha a dimensão de
ser, em si, metodologia para o ensino da matemática. Essa perspectiva
envolve, entre outras situações: utilizar um problema detonador ou um desafio
para desencadear o ensino e a aprendizagem de conhecimentos matemáticos;
trabalhar com problemas abertos; usar a problematização ou a formulação de
problemas em projetos.
Tomando como base esta concepção, entendeu-se necessário romper
com a ideia de que os problemas propostos aos alunos tenham que ser sempre
de aplicação de conteúdos, com resposta numérica e única, apresentados em
textos curtos, que envolvem a aplicação direta de um ou mais algoritmos, cujos
dados necessários para sua resolução sempre aparecem no texto de forma
explícita; enfim, os problemas chamados convencionais.
Quando o único material levado para sala de aula para trabalhar apenas
com resolução de problemas são os problemas convencionais, pode-se
21
induzir os alunos a uma postura de insegurança diante de situações que exijam
algum desafio maior. Sem ter lidado com um tipo de situação semelhante
aquela, é compreensível que muitos deles ou esperem a resposta do colega ou
do professor, ou resolvam o problema mecanicamente, sem ter de fato,
compreendido o que fizeram e, consequentemente, sem confiança na resposta
obtida.
As situações-problema não possuem solução imediata e exigem que o
aluno relacione os conhecimentos que possui para utilizá-los na busca de
soluções. Tais situações podem se apresentar como atividades planejadas,
jogos, busca e seleção de informações, resolução de problemas não
convencionais e mesmo convencionais, desde que permitam o processo
investigativo.
Durante essas atividades os alunos permanecem envolvidos ativamente
na aprendizagem, refletindo a cada desafio e interferindo na forma e no ritmo
da tarefa.
2. 3 – Problemas para o ensino da matemática e para o desenvolvimento
da matemática
Um problema deve contribuir para o desenvolvimento dos vários ramos
da Matemática e permitir o amadurecimento das habilidades de resolver
problemas. As tentativas de resolvê-los devem produzir idéias e problemas que
fertilizam inúmeros campos da Matemática.
Como ensino da Matemática, é importante que o problema tenha
enunciado acessível e de fácil compreensão; que exercite o pensar matemático
do aluno; exija criatividade na resolução; possa servir de introdução ou
consolidação de importantes conceitos matemáticos; e, sobretudo, não seja
muito fácil ou muito difícil e sim natural e interessante.
O ensino de Matemática torna-se muito mais interessante à medida que
se utiliza de bons problemas ao invés de se basear apenas em exercícios que
remetem a reprodução de fórmulas e se distanciam da realidade do aluno.
22
2.4 - Características dos problemas
Os problemas devem desafiar a curiosidade, estimular a pesquisa e
motivar a busca por novas estratégias que serão utilizadas permitindo o
desenvolvimento das habilidades, tais como o pensar, raciocinar, questionar,
criar estratégias e compartilhar ideias para encontrar uma solução ao
problema.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), “enfatizam que o fato de o
aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o
problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a
formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas
abertos que admitem diferentes respostas em função de certas condições,
evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera
reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói
conhecimentos”.
Resnick, ( apud, Silveira 2001) apontou uma classificação para os
problemas:

Sem algoritmização: o caminho da resolução é desconhecido, ao menos
em boa parte.

Complexos: precisam de vários pontos de vista.

Exigentes: a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora
o caminho possa ser curto, ele tende a ser difícil.

Necessitam de lucidez e paciência: um problema começa com uma
aparente desordem de idéias e é preciso adotar padrões que permitirão
construir o caminho até a solução.

Nebulosos: nem sempre todas as informações necessárias estão
aparentes; por outro lado, pode existir conflito entre as condições
estabelecidas pelo problema.

Não há resposta única: normalmente ocorre de existirem várias
maneiras de se resolver um dado problema; no entanto, pode acontecer
de não existir uma melhor solução ou até de não haver solução– ou
seja, resolver um problema não é o mesmo que achar a resposta.
23
Phillipe Perrenoud em seu livro Dez novas competências para ensinar
(páginas 42 e 43), apresenta as características de uma situação-problema
segundo Astolfi:
“Astolfi define as 10 características de uma situaçãoproblema deste modo:
1.
Uma situação-problema é organizada em torno da
resolução de um obstáculo pela classe, obstáculo previamente
bem identificado.
2.
O estudo organiza-se em torno de uma situação de caráter
concreto, que permita efetivamente ao aluno formular hipóteses e
conjecturas(...)
3.
Os alunos veem a situação que lhes é proposta como um
verdadeiro enigma a ser resolvido, no qual estão em condições
de investir. Esta é a condição para que funcione a devolução: o
problema, ainda que inicialmente proposto pelo professor, tornase `questão dos alunos`.
4.
Os alunos não dispõem, no início, dos meios de solução
buscada, devido à existência do obstáculo a transpor para chegar
a ela. É a necessidade de resolver que leva o aluno a elaborar ou
a se apropriar coletivamente dos instrumentos intelectuais
necessários à construção de uma solução.
5.
A situação deve oferecer resistência suficiente, levando o
aluno a nela investir seus conhecimentos anteriores disponíveis,
assim como suas representações, de modo que ela leve a
questionamentos e à elaboração de novas ideias.
6.
Entretanto, a solução não deve ser percebida como fora de
alcance pelos alunos, não sendo a situação-problema uma
situação de caráter problemático. A atividade deve operar em
uma zona próxima, propícia ao desafio intelectual a ser resolvido
e á interiorização das `regras do jogo`.
7.
A antecipação dos resultados e sua expressão coletiva
precedem a busca efetiva da solução, fazendo parte do jogo o
“risco” assumido por cada um.
24
8.
O trabalho da situação-problema funciona, assim, como um
debate científico dentro da classe, estimulando os conflitos
sociocognitivos potenciais.
9.
A validação da solução e sua sanção não são dadas de
modo externo pelo professor, mas resultam do modo de
estruturação da própria situação.
10.
O re-exame coletivo do caminho percorrido é a ocasião
para um retorno reflexivo, de caráter metacognitivo; auxilia os
alunos a conscientizar-se das estratégias que executaram de
forma heurística e a estabilizá-las em procedimentos disponíveis
para novas situações-problema.”
Esta proposta de trabalho, portanto, dá mais ênfase à explicitação e
socialização de conhecimentos por parte dos alunos e professor e aos
processos de aprendizagem do que á expectativa do acerto no “produto final”
e/ou avaliação. Importa mais a participação ativa e reflexiva dos alunos durante
todo o processo de realização e socialização das atividades do que sua
produção isolada em flashes do processo.
2.5 – Diferentes tipos de problemas
2.5.1 - Problemas sem solução
Quantos livros cada livraria e
papelaria receberam?
Projeto ECO Matemática – volume 4 – Lourdes Amaral – página 18 / 1ªedição-2011
25
Os dados numéricos informados não são suficientes para que o aluno
chegue a resposta. Mesmo assim, o aluno de alguma forma irá buscar a
resposta, pois o mesmo é treinado a encontrar uma solução. Nessa situação é
importante trabalhar a percepção do aluno em detectar a falta de dados
numéricos.
2.5.2 - Problemas com múltiplas soluções
Saber Matemático – Kátia Smole & Maria Ignez Diniz – volume 4 – página 170 / 2008
O momento de correção deste tipo de problema é ímpar. O problema,
em questão, é tão importante pois os alunos podem observar os diferentes
caminhos realizados para atingir a resposta. Inclusive estimula aos alunos a
crítica a respeito do caminho mais fácil, mais rápido, mais difícil, mais longo;
levando – os a defesa de sua escolha.
26
comparação com os outros colegas e desencadeia discussões sobre as
decisões tomadas em sua solução com todo o grupo. A lógica trabalha com as
diferentes habilidades matemáticas já aprendidas e absorvidas pelo aluno.
Perante ao problema de lógica, o aluno precisa aplicá – las. Atualmente, os
professores precisam trabalhar exaustivamente os problemas de lógica, pois os
mesmos são encontrados em diferentes provas de concurso.
Linguagens da Matemática – Eliane Reame & Priscila Montenegro – volume 4 - página 143 / 1ªedição. 2009
28
2.5.5 - Problemas de base algoritmica
Projeto Prosa – Matemática 4 – Daniela Padovan & Isabel Guerra – página 219 / 2009
Algoritmo é uma sequência de passos pré estabelecidos que são
utilizados para a execução de uma tarefa, cujo o objetivo é bem definido. Isso
não significa que a aplicação de um algoritmo garanta uma resolução correta. É
precio considerar cada situação. No problema acima, cada aluno desenvolve
sua habilidade de cálculo mental , faz conexões entre os diferentes fatos
fundamentais e escolha sua posição inicial de resolução. Nesse problema o
cálculo inicial é escolhido aleatoriamente pelo aluno. A importância desse tipo
de problema é a capacidade de permitir que novos problemas sejam gerados
através dos cálculos pré – existentes.
29
2.5.6 – Problemas de investigação
Linguagens da Matemática – Eliane Reame & Priscila Montenegro – volume 4 – página 73/ 1ª
edição. 2009
Esses
problemas
precisam
ser
introduzidos
através
de
um
levantamento de hipóteses. No primeiro momento, a participação do professor
é fundamental, pois conduzirá os passos iniciais de uma investigação: as
perguntas. Com a bagagem de perguntas, deduções e suposições os alunos
serão capazes de solucionar o problema. Cabe ressaltar que nesse caso, a
verificação da resposta é muito importante, pois abre uma série de soluções
diferentes.
2.5.7 – Problemas de estratégia
30
Saber Matemático – Kátia Smole & Maria Ignez Diniz – volume 4 – página 193 / 2008
Projeto Buriti Matemática 4 – página 36 - 1ºedição. 1998
As situações acima têm como objetivo levar aos alunos a refletir sobre
os procedimentos de resolução, analisando – os e levando – os a percepção
visual dos dados que levam a resposta.
.
A diversidade de problemas permite que os alunos argumentem com
colegas e professor sobre as causas que levaram ao acerto ou erro nas
diferentes situações, desenvolvendo habilidades relativas à prática de escrita e
à prática discursiva.
Os PCNs apontam que os problemas propostos precisam ter algumas
características que os aproximem de situações reais, tornando-os mais
envolventes para os alunos. Assim, devem ser incluídos problemas com
múltiplas soluções, outros com dados não significativos e até mesmo
31
problemas não convencionais, em que a solução depende menos de cálculo
que de raciocínio ou capacidade de análise.
CAPÍTULO 3
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
NO ENSINO DA MATEMÁTICA
Para que o aluno possa construir o conhecimento será necessário que,
diante do enunciado de um problema, ele conheça cada expressão verbal
utilizada. Em seguida deverá ser capaz de traduzir cada dado apresentado
verbalmente em dados concretos do mundo em que ela vive. Por último
precisará entender as relações lógicas constantes do problema para então
relacionar os dados entre si e realizar as operações necessárias à solução.
Tudo isto supõe o desenvolvimento de certas capacidades do aluno as quais
poderão ou não estar presentes.
Um outro fator importante, que deve estar dentro do leque de
preocupações de um professor durante a resolução de problemas, é se o aluno
possui ou não pré-requisitos para execução do problema proposto.
“É relativamente recente a atenção ao fato de que o aluno é agente da
construção do seu conhecimento, pelas conexões que estabelece com seu
conhecimento prévio num contexto de resolução de problemas” (PCN, 1998).
Assim, devemos propor situações que os estudantes tenham condições de
resolver. Caso contrário, poderemos estar nutrindo sentimentos de aversão à
matemática.
O professor deve levar seu aluno a superar os procedimentos
padronizados, próprios de uma didática desvinculada de situações reais, é
possível consolidar essa nova relação do aluno com o conhecimento adquirido
na resolução de problemas.
32
De acordo com Roberto Dante (1991), “devemos propor aos estudantes
várias estratégias de resolução de problemas, mostrando-lhes que não existe
uma única estratégia, ideal e infalível. Cada problema exige uma determinada
estratégia. A resolução de problemas não deve se constituir em experiências
repetitivas, através da aplicação dos mesmos problemas (com outros números)
resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes
problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para
resolver um mesmo problema. Isso facilitará a ação futura dos alunos diante de
um problema novo”.
Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros
dos alunos, observando o caminho usado para chegar à solução do problema.
Essa observação servirá para compreender o raciocínio dos alunos e preparar
as discussões em torno da resolução desses problemas, com o intuito de
conceber processos de resolução diferentes dos já aprendidos.
Segundo Polya (1978), “o professor que deseja desenvolver nos alunos
o espírito solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em
suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas
oportunidades de imitar e de praticar. Além disso,quando o professor resolve
um problema em aula, deve dramatizar um pouco as suas ideias e fazer a si
próprio as mesmas indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio
desta orientação, o estudante acabará por descobrir o uso correto das
indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o
simples conhecimento de um fato matemático qualquer”.
Todo professor quando começa a trabalhar com resolução de problemas
que exijam habilidades matemáticas deve ter objetivos concretos que
favoreçam seus alunos na produção de determinadas transformações, isto é,
que estes adquiram certos conhecimentos e capacidades.
O ensino e os métodos didáticos empregados, devem estar em função
destes objetivos.
3.1 – Estratégias de resolução
O objetivo das estratégias didáticas é incentivar os professores a
estimular o desejo dos alunos em participar da resolução de problemas
33
podendo criar suas próprias estratégias para encontrar a solução de um
problema, criar competências, bem como desenvolver habilidades.
É importante ressaltar que nenhuma estratégia tem o papel de fórmula
mágica ou regra que deve ser seguida em sequência de etapas uma atrás da
outra.
O sucesso dessas atividades dependerão do trabalho a ser realizado
considerando a habilidade de comunicação e expressão oral e escrita,de
cálculo e raciocínio lógico, favorecendo o desenvolvimento do pensamento,
levando o aluno a conhecer, questionar, transformar, produzir e compartilhar
ideias.
3.2 - Estratégias didáticas para o ensino da Matemática através da
resolução de problemas
Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), consideram que a
resolução de problemas,como eixo organizador do processo de ensino e
aprendizagem de Matemática, pode ser fundamentada nos seguintes
princípios:

a situação-problema é o ponto de partida da atividade matemática e não
a definição.No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, ideias e
métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de
problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem
desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las;

o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de
forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há
problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que
lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

aproximações sucessivas de um conceito são construídas para resolver
um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que
aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações,
rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na
História da Matemática;

um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por
meio de uma série de retificações e generalizações. Assim, pode-se
afirmar que o aluno constrói um campo de conceitos que toma sentido
34
num campo de problemas, e não um conceito isolado em resposta a um
problema particular;

a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida
em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação
para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode
apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas..
3.3 - Etapas de resolução de problemas
3.3.1 - Segundo George Polya
O processo de resolução de problemas está dividido em quatro etapas.
É importante ressaltar que as etapas não fazem uma sequência única, somente
de ida. Em diferentes situações será necessário retornar ou pular etapas.
As quatro etapas de resolução de problemas segundo Polya são:
1ª etapa: compreensão do problema
O primeiro passo é entender o problema.
É importante fazer perguntas. Identificar as informações mais
importantes.
2ª etapa: construção de uma estratégia de resolução
O aluno começa a traçar seu esquema de resolução por desenho ou
algoritmo, não se esqueça de levar em conta todos os dados e todas as
condições.
3ª etapa: executando a estratégia
A etapa mais fácil do processo de resolução de um problema. Contudo,
a maioria dos alunos erram na aplicação dos algoritmos.
4ª etapa: revisando a solução
O aluno deve examinar a solução obtida, verificando os resultados e
estabelecendo relações com as perguntas feitas.
A revisão da solução é a etapa mais importante segundo Polya, pois
esta etapa propicia uma depuração e uma abstração da solução do problema:

Depuração: o objetivo é verificar a argumentação usada, procurando
simplificá-la; pode-se chegar ao extremo de buscar outras maneiras de
resolver o problema, possivelmente mais simples, mas menos intuitivas
e só agora acessíveis ao resolvedor.
35

Abstração: agora, o objetivo é refletir no processo de resolução
procurando descobrir a essência do problema e do método de
resolução empregado; tendo-se sucesso , poder-se-á resolver outros
problemas mais gerais ou de aparência bastante diferente. Ela
representa a possibilidade de aumento do poder de resolução.
3.3.2 – Segundo Kátia Smole
A resolução de problemas é uma atividade cognitiva que envolve a
construção de ideias e procedimentos. Diante de uma situação sem
solução evidente o aluno precisa analisar e compreender o que se pede e
as relações envolvidas, decidir sobre a melhor estratégia para resolvê –
la, tornar decisões, argumentar, se expressar e fazer registros, ou seja,
ele mobiliza informações adquiridas, procedimentos adquiridos e os
combina na busca da resolução. Todo esse processo deve acontecer em
um ambiente em que os alunos propõem, exploram e investigam
problemas que provêm tanto de situações reais quanto de situações
lúdicas ou de investigações relacionada à própria matemática. Esse é um
momento positivo que encoraja os alunos a propor soluções, explorar
possibilidades, levantar hipóteses, justificar seu raciocínio e validar
suas próprias conclusões.
3.3.3 – Segundo Roberto Dante
Em toda a coleção do autor encontramos um anexo que deixa claro,
como o autor define a resolução dos problemas.
Para Roberto Dante a resolução de problemas deve ter por meta:

fazer o aluno pensar;

desenvolver o raciocínio lógico do aluno;

ensinar o aluno a enfrentar situações novas;

levar o aluno a conhecer as primeiras aplicações da Matemática;

tornar as aulas mais interessantes e motivadoras.
36
E como um manual para professores e alunos, em sua coleção,
estabelece cinco etapas que o aluno pode observar diante de uma situaçãoproblema. Enfatiza também que não é uma regra a ser seguida e sim, um meio
de auxiliar a execução.
Etapa 1 – compreensão do problema
Leitura e interpretação cuidadosa do problema.
Marcação dos dados numéricos a serem utilizados e da pergunta.
Etapa 2 – elaboração de um plano de solução
Nessa etapa o aluno será capaz de identificar o tipo de problema e
como será realizado, através de algoritmo, desenhos, diagramas, tabelas ou
gráficos.
Etapa 3 – execução do plano
O aluno deverá efetuar todos os cálculos indicados no plano ou executar
as estratégias pensadas de formas diversas para resolver o problema. O
cuidado deve ser com a execução dos algoritmos.
Etapa 4 – verificação ou retrospectiva
O aluno deverá fazer o caminho inverso através da prova real para
encontrar o dado inicial e ter a certeza de seu acerto.
Etapa 5 – emissão da resposta
A resposta deverá ser completa, contendo todos os dados da pergunta.
3.3.4 – Segundo Oscar Guelli
A Matemática surgiu com o desenvolvimento e o progresso da
humanidade, mas ao mesmo tempo contribuiu fortemente para isso.
Por isso, um dos principais objetivos da coleção de Oscar Guelli é o
desenvolvimento das habilidades básicas dos alunos para resolver problemas
que refletem situações do mundo real.
Em sua coleção há preocupação de dar importância tanto ao enunciado
de um problema quanto à sua resolução, interpretação e análise dos
resultados.
Para resolver um problema é sugerido alguns passos:

faça um resumo do problema;

planeje mentalmente como irá resolver o problema;

execute os cálculos.
37
A sequência de passos apresentada é somente uma sugestão de
trabalho e tem como objetivo fazer com que o aluno reflita com mais atenção
sobre o problema que está resolvendo. Não deve ser interpretada pelo
professor como fórmula fixa a ser aplicada a qualquer problema. O professor
pode retirar da sequência de passos o que achar mais adequado ou, até
mesmo, deixar os alunos resolverem os problemas efetuando as operações por
etapas, sem nenhum formalismo.
De todo modo, o mais importante é fazer os alunos compreenderem que
existem vários caminhos para se resolver um problema, e deixá-los escolher o
jeito em que se sintam mais seguros e confiantes.
A resolução de problemas não deve ser utilizada apenas como forma de
controlar se os alunos dominaram essa ou aquela técnica, esse ou aquele
conceito. No dia a dia, os indivíduos têm e terão sempre de enfrentar
problemas, alguns conhecidos e outros novos. O importante é que todos
tenham o direito de vivenciar situações matemáticas na escola que possam ser
úteis no cotidiano.
38
CONCLUSÃO
Os alunos de hoje precisam de muito mais que uma infinidade de
informações
memorizadas;
precisam
de
procedimentos
de
busca
e
interpretação de informações, precisam comunicar suas ideias, precisam
conhecer técnicas e dominar estratégias para a resolução de problemas, entre
outras coisas. Ou seja, além de conteúdos conceituais, o processo de ensino e
aprendizagem deve contemplar também os conteúdos procedimentais e os
atitudinais. Fazendo referência aos conteúdos procedimentais, pode - se dizer
que: aprender um procedimento significa ser capaz de utilizá-lo em diversas
situações e de diferentes maneiras para resolver os problemas colocados e
atingir as metas fixadas.
Dessa forma, os alunos serão convidados, com muita freqüência, a
resolver problemas que ainda não lhes foram “ensinados”, com o objetivo de
colocarem em jogo o maior número de informações que possuem,
socializando-as com os colegas e aprendendo a aprender juntos. Depois de
resolvê-los, os alunos devem comparar suas estratégias de resolução com as
dos colegas para, finalmente, validar (ou não) seus procedimentos,
construindo, dessa forma, “verdades provisórias” e compartilhadas pelo grupo
de alunos sobre conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas.
O problema não deve mais ser visto como um exercício para o aluno
aplicar ou reproduzir de forma mecânica o que aprendeu, mas como um
contexto, para ele construir conceitos por meio de aproximações sucessivas,
rupturas, transferências e generalizações. Dessa forma, construindo um campo
de conceitos que faz sentido para um campo de problemas.
Enfim, é muito mais importante o processo de resolução do problema do
que a apresentação da resposta correta, pois esta não garante que os alunos
tenham se apropriado de um conceito ou procedimento. Entretanto, a análise
da resposta em confronto com a situação proposta é uma ação fundamental na
39
resolução de problemas, representando um importante recurso para “fazer
Matemática” na sala de aula.
O professor tem, portanto, um novo papel em sala de aula, de
fundamental importância: é o organizador, consultor e mediador desse rico
processo de construção de conhecimentos. Será o responsável por presentear
problemas ao grupo de alunos, incentivar a criação de estratégias e
procedimentos de resolução, estimular a troca de idéias entre eles e a reflexão
acerca de regularidades observadas e descobertas feitas, polemizar e
apresentar aos alunos as semelhanças e diferenças entre o que construíram e
o saber social convencional, entre outras coisas. Segundo Perrenoud, ao
ensinar, o professor deve todo o tempo “agir na urgência” e “decidir na
incerteza”, uma vez que seu domínio sobre as situações de ensino propostas é
determinante para o sucesso das aprendizagens.
O ensino da Matemática atual volta-se muito mais para o processo do
que para o produto, dando lugar a uma Matemática de experimentação e
reconstrução. A Matemática de processo supõe respeitar o tempo e forma de
pensar de cada aluno, fornecendo espaço e material para a criação e troca de
ideias. É indispensável o confronto de ideias para progredir com segurança na
aquisição de conhecimentos.
40
BIBLIOGRAFIA
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TABOADA, Roberta; Ângela Leite. Aprender Juntos 4. Editora SM. 3ª edição.
2010.
42
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO............................................................................................ 2
AGRADECIMENTO............................................................................................ 3
DEDICATÓRIA ...................................................................................................4
RESUMO.............................................................................................................5
METODOLOGIA .................................................................................................6
SUMÁRIO ...........................................................................................................8
CAPÍTULO I
I – PROBLEMAS MATEMÁTICOS ...................................................................10
1.1 – Conceituando problema matemático ..................................................11
1.2 – A importância de um problema matemático .......................................12
1.3 – As primeiras ideias sobre resolução de problemas ............................13
1.4 – A perspectiva metodológica da resolução de problemas................... 17
1.4.1 – A perspectiva metodológica e a comunicação ........................18
CAPÍTULO II
II – PROBLEMAS, EXERCÍCIOS E SITUAÇÕES-PROBLEMA NO ENSINO DA
MATEMÁTICA ATRAVÉS DOS LIVROS DIDÁTICOS ....................................19
2.1 – A diferença entre exercício e problema .............................................20
2.2 – Problemas convencionais e situações-problemas .............................21
2.3 – Problemas para o ensino e desenvolvimento da matemática............22
2.4 – Características dos problemas ..........................................................23
2.5 – Diferentes tipos de problemas ...........................................................25
2.5.1 – Problemas sem solução ........................................................25
2.5.2 – Problemas com múltiplas soluções..... ..................................26
2.5.3 – Problemas com dados não significativos................................27
43
2.5.4 – Problemas de lógica ..............................................................27
2.5.5 – Problemas de base algoritmica..............................................29
2.5.6 – Problemas de investigação .................................................. 30
2.5.7 – Problemas de estratégia ...................................................... 30
CAPÍTULO III
III – RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS ...............................................................32
3.1 – Estratégias de resolução ..................................................................33
3.2 – Estratégias didáticas para o ensino de matemática através da
resolução de problemas ...................................................................................34
3.3 – Etapas de resolução de problemas ..................................................35
3.3.1 – Segundo Polya .....................................................................35
3.3.2 – Segundo Kátia Smole ..........................................................36
3.3.3 – Segundo Roberto Dante ..................................................... 36
3.3.4 – Segundo Oscar Guelli ......................................................... 37
CONCLUSÃO .................................................................................................39
BIBLIOGRAFIA ..............................................................................................40
ÍNDICE ...........................................................................................................42
44
FOLHA DE AVALIAÇÃO
Nome da Instituição:
Título da Monografia:
Autor:
Data da entrega:
Avaliado por:
Conceito:
45
46