Universidade Federal de Alfenas - UNIFAL
Disciplina: História da Matemática
Professora: Andrea Cardoso
Aluno: Wagner Vinícius Volpi
Introdução
• Trigonometria – trigonos (triângulos) + meiruns (medida) = medida dos
triângulos.
• Estudar os lados e ângulos de um triângulo.
• Astronomia, Agrimensura e Navegação.
• A trigonometria desenvolveu como resultado de uma interação contínua e
fértil entre a oferta e a demanda.
• Várias civilizações contribuíram de alguma forma para a trigonometria:
Egito, Babilônia, China, Grécia, Índia, Arábia e Pérsia.
• A Trigonometria somente tornará ciência analítica no século XVII d.C.
Trigonometria no Egito
•
Cálculo das razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes.
•
Papiro Rhind – 1650 a.C. – seqt.
•
Seqt: Razão entre afastamento horizontal e elevação vertical resultava em
como deveria ser a inclinação da face de uma pirâmide.
•
1500 a. C. - Associação de sombras projetadas por uma vara na vertical,
Gnômon, à sequencias numéricas, onde o comprimento da sombra era
relacionada com a hora do dia.
O mais antigo gnômon de que temos conhecimento e que chegou até nossos dias, está no
museu de Berlim.
• Utilizavam a relação 3 + 4 = 5 para obter ângulos retos durante a
construção de suas pirâmides – utilizando de corda de 13 nós.
Trigonometria na Babilônia
• Astronomia – razões religiosas, calendário e as épocas de plantio.
• Placa cuneiforme – Plimpton 322.
O Plimpton 322 recebe esse nome porque é o
número 322 na coleção GA Plimpton na
Universidade de Columbia, é uma tabela de
quatro colunas que, inicialmente, parece ser
registro de uma transação comercial. Entretanto,
ao ser analisado com mais cautela revelou algo
bem diferente: é uma lista de “secantes”.
A divisão do círculo em 360º, por exemplo, teve
origem na Babilônia, onde se convencionou dividir
um círculo em seis partes iguais, em que cada uma
equivalia a 60. Assim, o círculo passava a ter 360°,
que também designava o número de dias do ano
segundo o seu calendário.
Trigonometria na China
• Trigonometria primitiva foi encontrada no império de Chou Pei Suang
Ching – aproximadamente 1110 a.C.
• Medir distâncias, comprimentos e profundidades;
• “O conhecimento vem da sombra e a sombra vem do gnômon.” – Noção
de geometria plana primitiva – Segundo Milênio a.C.;
• 152 a. C. – Chuan Tsanom – “ Nove capítulos sobre a arte da Matemática.”
• 9º Capítulo – Triangulo Retângulo – conceitos: Empilhar quadrados e a
função tangente. Há indícios que a resolução destes problemas
assemelham-se com a dos Babilônicos.
• Existem evidências tanto do conhecimento das relações
trigonométricas quanto do conceito de ângulo e a forma de
medí-los, mas não há registros de como eram feitas as
medições e quais unidades de medidas utilizadas.
• Dois motivos: registros em bambu – material perecível;
• Imperador Shi Huang-ti ordenou em 213 a.C. uma lamentável
queima de livros, apesar de muitos livros terem sido
reconstituídos, muitos ainda indagam sobre autenticidades de
grande parte destes materiais bibliográficos
Trigonometria na Grécia
• A trigonometria teve um grande desenvolvimento na Grécia antiga –
preceptora a todas as outras nações.
• Trigonometria está diretamente relacionada com a geometria.
• Tales de Mileto (625? – 546? a. C.) – astronomia e geometria – medir a
altura da pirâmide de Quéops – semelhança de dois triângulos.
• Pitágoras de Samos (~580 a.C. - ~500 a.C.) – “discípulo de
Tales”:
• Demonstrou o teorema do triângulo retângulo: “.Em todo triângulo
retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à
soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos.”
• A trigonometria grega surgiu com a necessidade da astronomia, afim de
prever as efemérides celestes – calcular tempo e ser utilizada na
Navegação e Geografia.
• Trigonometria esférica – triângulos esféricos – Triângulos sobre uma
superfície esférica, com isso houve um desenvolvimento da trigonometria
plana.
Aristarco de Samos (310 a.C. – 230 a. C.)
• Astrônomo.
• Acreditava que todos os planetas, incluindo a Terra, giravam em torno do
Sol.
• Fases da Lua, quando a lua exibia um quarto iluminada, era possível
observar um triângulo retângulo.
Os escritos de Aristarco sobre esse
tema se perderam e somente
conhecemos suas ideias mencionados
por Arquimedes e Plutarco.
• Obra: “Tamanhos e distancias do Sol e da Lua”
Suas ideias estavam relacionadas nos
conceitos de semelhanças de triângulos,
noções de geometria simples e um pouco
de Algebra.
Eratóstenes de Cirene (276 a.C. – 194 a.C.)
• Matemático e Geográfico.
• Tutor do filho de Ptolomeu III e “coordenador” da biblioteca de Alexandria
no período que viveu em Atenas.
• Siena: 800km de Alexandria – ao meio dia do Solstício de verão, colunas
verticais não projetavam qualquer sombra e já em Alexandria na mesma
época havia projeção da sombra.
• Com isso deduziu que a Terra fosse redonda. Quanto maior fosse a
curvatura da Terra, maior seria a projeção da sombra e o Sol deveria estar
tão longe que seus raios de luz chegam paralelos.
• Chegou à um valor aproximado da medida da circunferência da Terra
utilizando a geometria plana: 40.000 Km. Atualmente sabemos que a
distancia da circunferência na linha do Equador é de 40.074 Km.
Hiparco de Nicéia (180 a.C. – 125 a.C.)
• Fortemente influenciado pela matemática Babilônica – Base 60 – dividiu a
circunferência em 360 partes – arco de 1 grau – 60 partes – arco de 1
minuto.
• Tabela de cordas: tabela trigonométrica com os valores das cordas de uma
série de ângulos entre 0º e 180º - correspondência entre o arco e sua
corda – utilizadas na astronomia.
• “Pai da trigonometria”
Criou o astrolábio, instrumento para
medir alturas.
Claudio Ptolomeu ( 85 d.C – 165 d.C.)
• Áreas de estudo: matemática, geografia, cartografia, dentre outras.
• Viveu em Alexandria.
• Sua obra mais importante “A Coleção Matemática” – Almagesto –
composto de 13 livros – apresenta e desenvolve argumentos a favor da
teoria geocêntrica do universo. Desenvolve também as ferramentas
matemáticas, a geometria elementar, usada na astronomia e bem como a
trigonometria.
• A trigonometria apenas aparece nos capítulos 10 – Tabela de cordas mais
aprimorada do que a de Hiparco e capítulo 11 – onde explica como tal
tabela pode ser calculada.
Segue um pequeno trecho do Almagesto
traduzido para o português
(...) Pois, se ela fosse côncava, as estrelas que
nascem apareceriam primeiro às pessoas do
Ocidente; e se fosse plana, as estrelas
nasceriam e se poriam para todas as pessoas
ao mesmo tempo; e se ela fosse uma pirâmide,
um cubo ou qualquer outra figura poligonal,
ela apareceria ao mesmo tempo para todos os
observadores na mesma linha reta. Mas
nenhuma dessas coisas parece acontecer (...)
está claro aqui que a curvatura da Terra,
cobrindo uniformemente as partes em direções
oblíquas, prova sua forma esférica de cada
lado. (...)
Almagesto:
1 - Uma tabela mais completa que a de Hiparco, com ângulos de
meio em meio grau, de 0º a 180º;
2 - a circunferência foi dividida em 360 partes – hoje chamadas graus –, o
diâmetro foi dividido em 120 partes e cada uma dessas divididas em 60
porções – minutos –, sendo essas, por sua vez, divididas em mais 60 partes –
segundos.
3 - Teorema de Ptolomeu: Um quadrilátero convexo
inscrito em um círculo, então a soma dos produtos dos
lados opostos é igual ao produto das diagonais.
4 – Equivalência das fórmulas (nos dias atuais) de seno da soma e seno da
diferença , isto é sen(a + b) e sem (a – b);
5 – O uso, também usando as cordas, do seno do arco metade:
Na Grécia Antiga o conceito de função propriamente dito não foi desenvolvido.
Tábua de cordas de Ptolomeu
Trigonometria Hindu
• Trigonometria aplicada para a Astronomia.
• No Século IV d.C., a Europa Ocidental entrou em crise com as constantes
dominações dos bárbaros germânicos e a queda do Império Romano, o
centro da cultura deslocou-se para a Índia – Siddhanta – sistemas de
Astronomia.
• Aritmética – ao contrário da grega que era muito geométrica.
Surya Siddhanta – Sistemas do Sol – 400 d.C. – poucas
explicações e nenhuma prova, pois acreditavam que a obra
foi escrita pelo Deus Surya e seria muita pretensão exigir
provas de um Deus.
• Jya – Utilização de uma tábua da metade da corda de um arco duplo –
Tábua do seno.
• No Surya, a relação usada era entre a metade da corda e a metade do
ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva – razão entre o
cateto oposto e a hipotenusa. Isto possibilitou a visão de um triângulo
retângulo na circunferência.
• 500 d. C – Aryabhata – calculava semi cordas e usava também o sistema
decimal.
• 505 d. C – Varahamihira – encontramos o equivalente de sen² θ + cos² θ = 1.
• Muitos matemáticos se dividiram através do tempo na literatura matemática
de Ptolomeu (Almagesto) e Surya dos hindus.
Conclusão
• Mesmo com instrumentos rudimentares as civilizações antigas tiveram
grandes feitos para a Trigonometria como observação, prática e
demonstrações, para séculos depois tornar-se uma ciência.
• A importância da Astronomia e das problemáticas cotidianas para a época
foram primordiais para construção de uma Trigonometria sólida e eficaz
nos dias atuais, conhecendo um pouco de sua evolução.
Referências
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aplicações contemporâneas. Disponível em:
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NASCIMENTO, Alessandra Zeman do. Uma sequencia de ensino para a construção de uma tabela
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