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O JOGO DA VIDA
Paulo Sérgio Matias Júnior (Uni-FACEF)
Amaury Carlos Silveira Moura (Uni-FACEF)
Thales Freitas da Costa (Uni-FACEF)
Orientador: Prof. Dr. Antônio Carlos da Silva Filho (Uni-FACEF)
1. INTRODUÇÃO
Os autômatos celulares foram originalmente introduzidos por von Neumann e
Ulam em 1948 e são exemplos de sistemas dinâmicos discretos que podem ser
simulados exatamente no computador. Um autômato celular pode ser visualizado
como um tabuleiro de xadrez, onde cada casa pode assumir diferentes cores
dependendo do estado em que se encontra. Este estado é determinado por leis que
indicam o estado subseqüente de cada casa baseado no estado atual da casa e de
suas vizinhanças. Um dos autômatos celulares mais intrigantes foi inventado em
1970 pelo matemático John Conway e recebeu o nome de “Jogo da Vida”. Atribui-se
o valor “1” (também chamada “viva”) ou “0” (também chamada “morta”) a cada
célula. Lembrando que cada célula tem oito vizinhos imediatos, determina-se a soma
dos valores das oito células vizinhas. As regras para este jogo são bastante simples:
(a) uma célula “viva” permanece “viva” se a soma for igual a 2 ou 3; (b) uma célula
“morta” passará a ser “viva” somente se a soma for igual a 3. O “Jogo da Vida” é um
exemplo de uma “máquina de calcular universal”.
2. MATERIAIS E MÉTODOS
Os autômatos estão sendo modelados no computador, usando o programa
“Matlab”. Este trabalho investigará os diferentes padrões que emergem para o
autômato em função das condições iniciais para cada célula. Variaremos a
probabilidade “p” de ocupação de células vivas entre 0 e 1 e analisaremos os vários
comportamentos resultantes para o sistema.
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3. RESULTADOS
Os resultados ainda são parciais. Os programas já estão praticamente
finalizados. Um primeiro objetivo é verificar se, dada uma probabilidade de
ocupação, p, os estados finais resultantes da dinâmica do sistema irão depender ou
não das condições iniciais.
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 10%
Porcentagem média final de ocupação = 1,98%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 1. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 10%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 20%
Porcentagem média final de ocupação = 3,66%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 2. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 20%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
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Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 30%
Porcentagem média final de ocupação = 3,29%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 3. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 30%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 40%
Porcentagem média final de ocupação = 3,72%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 4. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 40%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
486
487
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 50%
Porcentagem média final de ocupação = 3,92%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 5. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 60%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 60%
Porcentagem média final de ocupação = 3,12%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 6. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 60%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
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488
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 70%
Porcentagem média final de ocupação = 1,90%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 7. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 70%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 80%
Porcentagem média final de ocupação = 0,23%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 8. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 80%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
488
489
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 90%
Porcentagem média final de ocupação = 0,00%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 9. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação = 90%. Resultado para
100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação de 10% a 90%
Porcentagem média final de ocupação para cada probabilidade inicial
100 Redes com 300 gerações cada (para cada probabilidade)
5
porcentagem media de ocupação
4
3
2
1
0
-1
1
2
3
4
5
probabilidade : 10
6
7
8
9
Fig. 10. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação de 10% a 90%.
Resultado para a média de 100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações
para cada uma.
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Rede 30 x 30 --- Probabilidade Inicial de Ocupação de 1% a 100%
Porcentagem média final de ocupação para cada probabilidade inicial
100 Redes com 300 gerações cada (para cada probabilidade)
5
probabilidade final de ocupação
4
3
2
1
0
-1
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 11. Rede 30x30 com Probabilidade inicial de ocupação de 1% a 100%.
Resultado para a média de 100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações
para cada uma.
Rede 100 x 100 --- Probabilidade Inicial de Ocupação = 10%
Porcentagem média final de ocupação = 2,70%
15
porcentagem final de ocupação
10
5
0
-5
0
10
20
30
40
50
vida
60
70
80
90
100
Fig. 12. Rede 100x100 com Probabilidade inicial de ocupação = 10%. Resultado
para 100 condições iniciais diferentes, com 300 atualizações para cada uma.
4 ANÁLISE E CONCLUSÃO
O trabalho está em andamento, mas já pudemos obter alguns resultados
preliminares. Numa rede 30x30 com condições fechadas de contorno, a maioria das
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probabilidades de ocupação dos sítios com configurações iniciais aleatórias leva a
uma ocupação final entre 3% e 4%.
BIBLIOGRAFIA
WOLFRAM, S. A New Kind of Science, Wolfram Media, Inc., 2002.
L.R. EMMENDORFER, L. R., RODRIGUES, l. A. D. Um modelo de Autômatos
Celulares para o Espalhamento Geográfico de Epidemias.
Tendências em
Matemática Aplicada e Computacional, v.2, p. 73-80, 2001.
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