Uma Introdução ao Modelo Padrão das Partı́culas
Elementares e seu Formalismo
César P. Ferreira
Fernando M. Freitas
Instituto de Fı́sica ’Gleb Wataghin’
Universidade Estadual de Campinas
Campinas
05 de Julho de 2011
César P. Ferreira Fernando M. Freitas (IFGW)
Seminário Fı́sica Nuclear - F887B
05/07/11
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0. O Inı́cio de Tudo
Primeira apresentação da hipótese atomista: Demócrito - 400AC.
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0. O Inı́cio de Tudo
Primeira apresentação da hipótese atomista: Demócrito - 400AC.
Einstein interpreta, em 1905, o movimento browniano de grãos de
pólen como evidência para a existência de átomos
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1. Pré-Modelo Padrão: Constituintes
Em 1897, Thomson descobre o elétron através do uso de raios catódicos
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1. Pré-Modelo Padrão: Constituintes
Em 1897, Thomson descobre o elétron através do uso de raios catódicos
Modelo de Rutherford indica a existência de um núcleo que contém quase
toda a massa dos átomos. Rutherford dá o nome de próton ao núcleo do
átomo mais leve, o Hidrogênio.
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1. Pré-Modelo Padrão: Constituintes
Em 1897, Thomson descobre o elétron através do uso de raios catódicos
Modelo de Rutherford indica a existência de um núcleo que contém quase
toda a massa dos átomos. Rutherford dá o nome de próton ao núcleo do
átomo mais leve, o Hidrogênio.
Em 1914, Bohr propõe um modelo semi-clássico, baseando-se na existência
de prótons e elétrons, que explica satisfatoriamente as raias espectrais do
hidrogênio.
Chadwick, em 1932, faz a descoberta do nêutron.
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2. Os Constituintes do Modelo Padrão: O Fóton(γ)
Primeira indicação da existência do fóton ocorre com Planck, em
1900 ao quantizar a quantidade de energia que pode ser absorvida ou
emitida.
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2. Os Constituintes do Modelo Padrão: O Fóton(γ)
Primeira indicação da existência do fóton ocorre com Planck, em
1900 ao quantizar a quantidade de energia que pode ser absorvida ou
emitida.
Einstein propoõe em 1905 a quantização do campo eletromagnético
para explicar o efeito foto-elétrico (essa idéia não vai ter grande
aceitação na época).
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2. Os Constituintes do Modelo Padrão: O Fóton(γ)
Primeira indicação da existência do fóton ocorre com Planck, em
1900 ao quantizar a quantidade de energia que pode ser absorvida ou
emitida.
Einstein propoõe em 1905 a quantização do campo eletromagnético
para explicar o efeito foto-elétrico (essa idéia não vai ter grande
aceitação na época).
Em 1923 A. H. Compton verifica a diminuição do comprimento de
onda da luz espalhada por átomos(Espalhamento Compton).
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2. Os Constituintes do Modelo Padrão: O Fóton(γ)
Primeira indicação da existência do fóton ocorre com Planck, em
1900 ao quantizar a quantidade de energia que pode ser absorvida ou
emitida.
Einstein propoõe em 1905 a quantização do campo eletromagnético
para explicar o efeito foto-elétrico (essa idéia não vai ter grande
aceitação na época).
Em 1923 A. H. Compton verifica a diminuição do comprimento de
onda da luz espalhada por átomos(Espalhamento Compton).
Esses experimentos e resultados clássicos já conhecidos, levaram a
interpretação da luz como um misto de caracterı́sticas corpusculares e
ondulatórias.
Isto está em concordância com a dualidade onda-partı́cula da mecânica
quântica.
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3.Os Constituintes do Modelo Padrão: Méson π e o Múon
Em sua formulação
original, as partı́culas conhecidas não podiam explicar
a estabilidade nuclear, visto que os prótons que
compõem núcleo deveriam repelir-se, destruindo-o.
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3.Os Constituintes do Modelo Padrão: Méson π e o Múon
Em sua formulação
original, as partı́culas conhecidas não podiam explicar
a estabilidade nuclear, visto que os prótons que
compõem núcleo deveriam repelir-se, destruindo-o.
Para resolver este problema,
Yukawa propõe em 1934 a existência de uma
partı́cula intermediadora de uma força, conhecida
como força forte, que manteria o núcleo coeso.
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3.Os Constituintes do Modelo Padrão: Méson π e o Múon
Em sua formulação
original, as partı́culas conhecidas não podiam explicar
a estabilidade nuclear, visto que os prótons que
compõem núcleo deveriam repelir-se, destruindo-o.
Para resolver este problema,
Yukawa propõe em 1934 a existência de uma
partı́cula intermediadora de uma força, conhecida
como força forte, que manteria o núcleo coeso.
Como não temos indicações dessa força em
nosso dia-dia, ela deve ser de curto alcance. Para isso
a partı́cula de Yukawa deveria ter uma grande massa.
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3.Os Constituintes do Modelo Padrão: Méson π e o Múon
O estudo de raios cósmicos revelou a existência de dois tipos de partı́culas:
o Pı́on e o Múon
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3.Os Constituintes do Modelo Padrão: Méson π e o Múon
O estudo de raios cósmicos revelou a existência de dois tipos de partı́culas:
o Pı́on e o Múon
O Pı́on foi identificado como a partı́cula de Yukawa
O Múon é uma espécie de ’primo pesado’ do elétron.
Estas partı́culas foram chamadas de Mésons, pois possuem uma massa
mediana (entre o elétron e o próton).
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3.Os Constituintes do Modelo Padrão: Méson π e o Múon
O estudo de raios cósmicos revelou a existência de dois tipos de partı́culas:
o Pı́on e o Múon
O Pı́on foi identificado como a partı́cula de Yukawa
O Múon é uma espécie de ’primo pesado’ do elétron.
Estas partı́culas foram chamadas de Mésons, pois possuem uma massa
mediana (entre o elétron e o próton).
Posteriormente, um ’primo’ ainda mais pesado do elétron, o tau, foi
descoberto.
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4. Os Constituintes do Modelo Padrão: As Antipartı́culas
Em 1927, Dirac dscobriu a equação que leva seu nome ao fatorizar a
equação de Klein-Gordon.
(i~γ µ ∂µ − mc)Ψ = 0
(1)
Como suas soluções, a equação de Dirac admite uma partı́cula de
energia positiva, que interpretou como o elétron, e uma solução de
energia negativa, que chamamos de pósitron.
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4. Os Constituintes do Modelo Padrão: As Antipartı́culas
Em 1927, Dirac dscobriu a equação que leva seu nome ao fatorizar a
equação de Klein-Gordon.
(i~γ µ ∂µ − mc)Ψ = 0
(1)
Como suas soluções, a equação de Dirac admite uma partı́cula de
energia positiva, que interpretou como o elétron, e uma solução de
energia negativa, que chamamos de pósitron.
A equação de Dirac deu a primeira indicação das antipartı́culas. No
modelo padrão, para toda partı́cula existe uma antipartı́cula.
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5. Os Constituintes do Modelo Padrão: Os Neutrinos(ν)
A idéia do neutrino surge como consequência do espectro de energia dos
elétrons emitidos no decaimento Beta observado: n → p + e −
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5. Os Constituintes do Modelo Padrão: Os Neutrinos(ν)
A idéia do neutrino surge como consequência do espectro de energia dos
elétrons emitidos no decaimento Beta observado: n → p + e −
Porém, por conservação de energia e momento, o elétron deveria ter
sempre uma energia fixa num decaimento em 2 corpos!
Para explicar este espectro, Pauli propõe a existência de uma partı́cula
neutra e muito leve chamada Neutrino.
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Logo o decaimento Beta tornou-se n → p + e + ν̄
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Logo o decaimento Beta tornou-se n → p + e + ν̄
O neutrino foi detectado por Cowan e Reines através do decaimento
Beta inverso: ν̄ + p → n + e +
Cada Neutrino possui um anti-neutrino. Devido a certas leis de
conservação, descobriu-se que existem três tipos de Neutrinos,
denominados νe , νµ , ντ .
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Logo o decaimento Beta tornou-se n → p + e + ν̄
O neutrino foi detectado por Cowan e Reines através do decaimento
Beta inverso: ν̄ + p → n + e +
Cada Neutrino possui um anti-neutrino. Devido a certas leis de
conservação, descobriu-se que existem três tipos de Neutrinos,
denominados νe , νµ , ντ .
O elétron, múon e tau, e seus respectivos neutrinos, são hoje
classificados como Léptons.
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6. O Caminho Óctuplo
Na década de 50, um número imenso de partı́culas foi descobertas por
aceleradores. Porém não parecia haver nenhuma espécie de padrão
entre elas.
Em 1961, Murray Gell-Mann propôs um modelo teórico de
agrupamento das partı́culas, a que deu o nome de ’Caminho Óctuplo’:
(m) Octeto Bariônico (n) Decupleto Bariônico
(o) Octeto Mesônico
Figura: O caminho óctuplo para algumas partı́culas
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7. O Modelo de Quarks
O padrão apresentado pelas partı́culas elementares, no Caminho
Óctuplo, indica a existência de alguma estrutura interior comum a
estas partı́culas.
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7. O Modelo de Quarks
O padrão apresentado pelas partı́culas elementares, no Caminho
Óctuplo, indica a existência de alguma estrutura interior comum a
estas partı́culas.
Gell-Mann propôs que estas partı́culas eram feitas de elementos ainda
menores, chamados quarks.
Propôs, inicialmente, a existência de 3 tipos diferentes de Quarks.
Atualmente sabemos da existência de 6 tipos.
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7. O Modelo de Quarks
O número de quarks adicionais leva a uma extensão dos diagramas de
caminho óctuplo:
(a) Mésons
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(b) Bárions
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8. Os bósons intermediadores
Além do eletromagnetismo, o modelo padrão descreve outras duas
interações: A interação fraca e a nuclear forte.
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8. Os bósons intermediadores
Além do eletromagnetismo, o modelo padrão descreve outras duas
interações: A interação fraca e a nuclear forte.
Cada uma dessas interações é transportada por uma partı́cula
intermediadora.
No caso do eletromagnetismo, esta partı́cula é o fóton.
Para a interação fraca, os bósons W + , W − e Z 0 .
Para a força forte, existem 8 tipos de Glúons.
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8. Os bósons intermediadores
Além do eletromagnetismo, o modelo padrão descreve outras duas
interações: A interação fraca e a nuclear forte.
Cada uma dessas interações é transportada por uma partı́cula
intermediadora.
No caso do eletromagnetismo, esta partı́cula é o fóton.
Para a interação fraca, os bósons W + , W − e Z 0 .
Para a força forte, existem 8 tipos de Glúons.
A força eletromagnética é sentida por partı́culas que tenham carga elétrica.
Para sentir a força forte e emitirem/absorverem glúons, a partı́cula em
questão deve ter um novo tipo de carga, denominada carga de cor.
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9. O Modelo Padrão das Partı́culas Elementares
Figura: O Modelo Padrão das Partı́culas Elementares, sem o bóson de Higgs e
antipartı́culas.
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O formalismo não-relativı́stico
A formulação não-relativı́stica da teoria quântica baseia-se nas seguintes
associações e procedimentos:
Estados do sistema → vetores em um espaço de Hilbert(kets)
Observáveis → Operadores Hermitianos
Imposição de relações de comutação entre observáveis
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O formalismo não-relativı́stico
A formulação não-relativı́stica da teoria quântica baseia-se nas seguintes
associações e procedimentos:
Estados do sistema → vetores em um espaço de Hilbert(kets)
Observáveis → Operadores Hermitianos
Imposição de relações de comutação entre observáveis
Utilizando as relações:
∂
E → i~ ∂t
P → −i~∇
E=
p2
2m
+ V (~r )
Obtém-se a equação de Schrödinger para o sistema de uma partı́cula
não-relativı́stica:
(−
~2 2
∂Ψ(~r )
∇ + V (~r ))Ψ(~r ) = i~
2m
∂t
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A necessidade de um novo formalismo
A adoção do procedimento acima a um sistema quântico de uma partı́cula
relativı́stica, que obedece a relação E 2 = (mc 2 )2 + (pc)2 , leva a chamada
equação de Klein-Gordon:
(
1 ∂2
mc 2
) )Ψ = 0
− ∇2 + (
2
2
c ∂t
~
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A necessidade de um novo formalismo
A adoção do procedimento acima a um sistema quântico de uma partı́cula
relativı́stica, que obedece a relação E 2 = (mc 2 )2 + (pc)2 , leva a chamada
equação de Klein-Gordon:
(
1 ∂2
mc 2
) )Ψ = 0
− ∇2 + (
2
2
c ∂t
~
(3)
Esta equação admite a existência de estados de energia e densidades de
probabilidade negativos.
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A necessidade de um novo formalismo
A adoção do procedimento acima a um sistema quântico de uma partı́cula
relativı́stica, que obedece a relação E 2 = (mc 2 )2 + (pc)2 , leva a chamada
equação de Klein-Gordon:
(
1 ∂2
mc 2
) )Ψ = 0
− ∇2 + (
2
2
c ∂t
~
(3)
Esta equação admite a existência de estados de energia e densidades de
probabilidade negativos.
Este é um sistema relativı́stico de apenas uma partı́cula mas, pela
relatividade, o número de partı́culas pode variar(devido a relação
E = mc 2 ).
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A necessidade de um novo formalismo
A adoção do procedimento acima a um sistema quântico de uma partı́cula
relativı́stica, que obedece a relação E 2 = (mc 2 )2 + (pc)2 , leva a chamada
equação de Klein-Gordon:
(
1 ∂2
mc 2
) )Ψ = 0
− ∇2 + (
2
2
c ∂t
~
(3)
Esta equação admite a existência de estados de energia e densidades de
probabilidade negativos.
Este é um sistema relativı́stico de apenas uma partı́cula mas, pela
relatividade, o número de partı́culas pode variar(devido a relação
E = mc 2 ).
Precisa-se de uma teoria de muitas partı́culas.
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Formalismo de Teoria Quântica de Campos
Teoria Quântica de Campos(QFT) é uma teoria quântica relativı́stica.
Nela, os entes fı́sicos a serem quantizados não são mais partı́culas,
mas sim campos.
Partı́culas são interpretadas como excitações destes campos.
A dinâmica destes campos, φr , r=1,...,N, é descrita por uma
densidade Lagrangiana, L(φr , ∂µ φr ). A equação de movimento de
cada campo pode ser deduzida da aplicação desta densidade
Lagrangiana às equações de Euler-Lagrange para campos:
∂L
∂L
− ∂µ
=0
(4)
∂φr
∂µ φr
Caracterı́sticas fı́sicas dos campos, como Energia e Momento, saem
da aplicação da lagrangeana de interesse.
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Formalismo de Teoria Quântica de Campos
Na quantização destes campos:
De L define-se um momento conjugado ao campo, πr =
∂L
.
∂ φ˙r
φr e seus momentos conjugados são tratados como operadores.
Estabelecem-se relações de comutação entre φr e seus momentos:
[φr (~x , t), πs (~x 0 , t)] = i~δrs δ(~x − ~x 0 )
(5)
[φr (~x , t), φs (~x 0 , t)] = [πr (~x , t), πs (~x 0 , t)] = 0
(6)
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Formalismo de Teoria Quântica de Campos
Na quantização destes campos:
De L define-se um momento conjugado ao campo, πr =
∂L
.
∂ φ˙r
φr e seus momentos conjugados são tratados como operadores.
Estabelecem-se relações de comutação entre φr e seus momentos:
[φr (~x , t), πs (~x 0 , t)] = i~δrs δ(~x − ~x 0 )
(5)
[φr (~x , t), φs (~x 0 , t)] = [πr (~x , t), πs (~x 0 , t)] = 0
(6)
Este procedimento é conhecido como Segunda Quantização.
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Simetrias e leis de Conservação
Definição
Uma transformação T sobre os campos φr (x), é dita uma Simetria do
sistema se, sob esta transformação T, as equações de movimento de φr (x)
são invariantes.
Teorema de Noether
A toda simetria contı́nua de um sistema corresponde uma corrente
conservada.
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Simetrias e Leis de Conservação
Podemos citar algumas das mais importantes relações de Simetrias/Leis de
Conservação.
Translação Temporal → Conservação de Energia
Translação Espacial → Conservação de Momento Linear
Rotação no espaço → Conservação de Momento Angular
Transformação Global de Gauge sob U(1) em Campos Complexos →
Conservação de Carga(elétrica, Hypercharge, etc).
iq
φr → φr 0 = e iθ φr
+ 0 = e −iθ φ+ → Q = −
φ+
→
φ
~
r
r
r
Z
d 3 x[πr φr − πr+ φ+
r ]
(7)
θ∈R
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Simetrias e Leis de Conservação
Podemos citar algumas das mais importantes relações de Simetrias/Leis de
Conservação.
Translação Temporal → Conservação de Energia
Translação Espacial → Conservação de Momento Linear
Rotação no espaço → Conservação de Momento Angular
Transformação Global de Gauge sob U(1) em Campos Complexos →
Conservação de Carga(elétrica, Hypercharge, etc).
iq
φr → φr 0 = e iθ φr
+ 0 = e −iθ φ+ → Q = −
φ+
→
φ
~
r
r
r
Z
d 3 x[πr φr − πr+ φ+
r ]
(7)
θ∈R
Logo, campos reais descrevem partı́culas neutras.
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Campo real de Klein-Gordon, φ(x)
Para se estabelecer contato com as partı́culas, expande-se φ(x) em um
conjunto completo das equações de Klein-Gordon.
φ(x) = φpos (x) + φneg (x)
(8)
Onde:
φ
pos
X ~c 2 1/2
(x) =
a(~k)e −ikx
2Vwk
(9)
X ~c 2 1/2
(x) =
a+ (~k)e ikx
2Vwk
(10)
~k
φ
neg
~k
Os coeficientes da expansão, a(~k) e a+ (~k), são interpretados como
operadores.
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Campo real de Klein-Gordon, φ(x)
Das relações de comutação (4) e (5), é deduzido que:
[a(k~1 ), a+ (k~2 )] = δk~1 k~2
(11)
[a(k~1 ), a(k~2 )] = [a+ (k~1 ), a+ (k~2 )] = 0
(12)
Que são justamente as relações de comutação dos operadores criação e
aniquilação de um oscilador harmônico.
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Campo real de Klein-Gordon, φ(x)
Das relações de comutação (4) e (5), é deduzido que:
[a(k~1 ), a+ (k~2 )] = δk~1 k~2
(11)
[a(k~1 ), a(k~2 )] = [a+ (k~1 ), a+ (k~2 )] = 0
(12)
Que são justamente as relações de comutação dos operadores criação e
aniquilação de um oscilador harmônico.
Em particular, o operador N(~k) = a+ (~k)a(~k) possui como seus
auto-valores os números de ocupação n(~k) = 0, 1, 2, ...,
φ descreve bósons.
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Campo real de Klein-Gordon, φ(x)
Das relações de comutação (4) e (5), é deduzido que:
[a(k~1 ), a+ (k~2 )] = δk~1 k~2
(11)
[a(k~1 ), a(k~2 )] = [a+ (k~1 ), a+ (k~2 )] = 0
(12)
Que são justamente as relações de comutação dos operadores criação e
aniquilação de um oscilador harmônico.
Em particular, o operador N(~k) = a+ (~k)a(~k) possui como seus
auto-valores os números de ocupação n(~k) = 0, 1, 2, ...,
φ descreve bósons.
Interpreta-se N, a(~k) e a+ (~k) como operador de número, operador
aniquilação e operador criação de partı́culas com momento ~~k e energia
~wk .
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Pode-se então definir o chamado Estado de Vácuo, |0i
a(~k) |0i = 0, ∀~k
(13)
Como o estado sem nenhuma partı́cula. Estados excitados do vácuo são
construı́dos a partir da aplicação do operador criação a+ (~k) ao mesmo.
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Pode-se então definir o chamado Estado de Vácuo, |0i
a(~k) |0i = 0, ∀~k
(13)
Como o estado sem nenhuma partı́cula. Estados excitados do vácuo são
construı́dos a partir da aplicação do operador criação a+ (~k) ao mesmo.
O formalismo para o Campo complexo de Klein-Gordon é análogo. Porém:
φ e φ+ são tratados como campos independentes.
Expande-se φ em termos de operadores a(~k) e a+ (~k), enquanto φ+ é
expandido em operadores b(~k) e b + (~k).
φ cria e aniquila um tipo de partı́cula(carregadas positivamente)
φ+ cria/aniquila outro tipo de partı́cula(carregada negativamente).
Partı́culas atacadas por φ e φ+ são anti-partı́culas uma da outra.
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Campo de Dirac,Ψ(x)
Procedimento análogo ao campo de Klein-Gordon complexo. Expande-se
Ψ(x) em soluções de ondas planas da equação de Dirac:
Ψ(x) =
X mc 2 1/2
~k,r
VE~p
[cr (~p )ur (~p )(~k)e −ipx/~ + dr+ (~p )νr (~p )e ipx/~ ], r = 1, 2.
(14)
Onde ur e νr são espinores. Há também uma expansão análoga para o
campo conjugado a Ψ, Ψ̄(x) = Ψ+ γ 0 , onde γ µ são matrizes de
Dirac(matrizes 4x4).
O campo de Dirac descreve partı́culas fermiônicas. Porém o procedimento
usado até agora, aplicando relações de comutação entre os campos,
resulta em bósons(n(~k ∈ N)).
Pode-se descrever férmions usando-se relações de anti-comutação entre
os operadores criação/aniquilação cr+ , dr+ , cr , dr .
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Para um operador satisfazendo relações de anti-comutação, obtém-se:
{ar , as+ } = δrs ,
{ar , as } = {ar+ , as+ } = 0
(15)
Obtém-se (ar )2 = (ar+ )2 = 0, e deste modo:
Nr2 = ar+ ar ar+ ar = ar+ (1 − ar+ ar )ar = Nr → Nr (Nr − 1) = 0
(16)
E logo Nr possui como autovalores nr = 0, 1. Ou seja, obedece ao
princı́pio de exclusão de Pauli.
Impostas relações de anti-comutação sobre os operadores, Ψ passa a
descrever 2 tipos de férmions(partı́cula e anti-partı́cula) que podem ser
criados ou aniquilados. Todos os estados possı́veis para Ψ podem ser
construı́dos através de aplicação iterativa dos operadores criação c + e d +
sobre o estado de vácuo.
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O Princı́pio de Gauge
A Lagrangiana que origina a equação de Dirac, (i~γ µ ∂µ − mc)Ψ = 0, é
dada por:
LDirac = c Ψ̄(x) [i~γ µ ∂µ − mc] Ψ(x) = 0
(17)
E é conhecida como Lagrangiana Livre de Dirac, por descrever Ψ sem
interação com outros campos.
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O Princı́pio de Gauge
A Lagrangiana que origina a equação de Dirac, (i~γ µ ∂µ − mc)Ψ = 0, é
dada por:
LDirac = c Ψ̄(x) [i~γ µ ∂µ − mc] Ψ(x) = 0
(17)
E é conhecida como Lagrangiana Livre de Dirac, por descrever Ψ sem
interação com outros campos.
Esta Lagrangiana é invariante sob a transformação, Ψ → e iθ Ψ. Esta é
conhecida como uma transformação global de Gauge:
É global porque o parâmetro θ não depende das coordenadas do
espaço-tempo.
É dita uma transformação de gauge pois há uma liberdade entre se
descrever o sistema fı́sico de interesse pelo campo original ou pelo
campo transformado.
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O princı́pio de Gauge
Esta invariância garante conservação da carga elétrica, e como Ψ é um
campo complexo descreve partı́culas carregadas.
A força de transformações do tipo, que deixam a lagrangiana invariante, se
impõem quando se adota o chamado Princı́pio de Gauge:
Princı́pio de Gauge
Toda Lagrangiana que descreva um sistema fı́sico deve ser invariante local
de Gauge.
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O princı́pio de Gauge
Esta invariância garante conservação da carga elétrica, e como Ψ é um
campo complexo descreve partı́culas carregadas.
A força de transformações do tipo, que deixam a lagrangiana invariante, se
impõem quando se adota o chamado Princı́pio de Gauge:
Princı́pio de Gauge
Toda Lagrangiana que descreva um sistema fı́sico deve ser invariante local
de Gauge.
A Lagrangiana de Dirac não é invariante local de gauge. Porém, pode
passar a ser caso a Lagrangiana ’real’ seja dada por:
L = LDirac − q Ψ̄γ µ ΨAµ , θ(x) = −qλ(x)/~c
E Aµ se transforme como: Aµ (x) → Aµ (x) + ∂µ λ(x)
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O princı́pio de Gauge
Esta invariância garante conservação da carga elétrica, e como Ψ é um
campo complexo descreve partı́culas carregadas.
A força de transformações do tipo, que deixam a lagrangiana invariante, se
impõem quando se adota o chamado Princı́pio de Gauge:
Princı́pio de Gauge
Toda Lagrangiana que descreva um sistema fı́sico deve ser invariante local
de Gauge.
A Lagrangiana de Dirac não é invariante local de gauge. Porém, pode
passar a ser caso a Lagrangiana ’real’ seja dada por:
L = LDirac − q Ψ̄γ µ ΨAµ , θ(x) = −qλ(x)/~c
E Aµ se transforme como: Aµ (x) → Aµ (x) + ∂µ λ(x)
A invariância sobre transformações locais de gauge impõem termos novos
à Lagrangiana de campos livres, termos de interação com os chamados
Campos de Gauge.
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Referências Bibliográficas
F. Mandl and G. Shaw, “Quantum Field Theory” Chichester, UK:
Wiley(1984) 358p
M. E. Peskin and D. V. Schroeder, “An Introduction To Quantum
Field Theory,” Reading, USA: Addison-Wesley (1995) 842 p
D. J. Griffiths, “INTRODUCTION TO ELEMENTARY PARTICLES,”
NEW YORK, USA: WILEY (1987) 392p
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