1
2
Sumário (8ª aula)
Exercício 1
Exercícios estatística descritiva
l
l
Um barco de investigação das pescas capturou
1000 peixes com os seguintes resultados:
Peso (g)
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
387
285
173
95
47
13
3
4
Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
n
387
285
173
95
47
13
a) Qual é a frequência relativa dos peixes com peso entre 250g
e 500g?
387
285
173
95
47
13
a) Qual é a frequência relativa dos peixes com peso entre 250g
e 500g?
R. 95/1000 = 9,5%
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6
Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
n
387
285
173
95
47
13
b) Sendo que o peixe apenas tem interesse económico se tiver mais
que 250 g de peso, qual é a frequência relativa acumulada dos
peixes sem interesse económica?
387
285
173
95
47
13
b) Sendo que o peixe apenas tem interesse económico se tiver mais
que 250 g de peso, qual é a frequência relativa acumulada dos
peixes sem interesse económica?
R. (387+285+173)/1000 = 84,5%
1
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Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
n
387
285
173
95
47
13
c) Sendo que num barco de pesca a rede apenas captura peixes
com peso superior a 250g, qual será neste caso a frequência
relativa de peixes com peso entre 1000g e 2000g?
387
285
173
95
47
13
c) Sendo que num barco de pesca a rede apenas captura peixes
com peso superior a 250g, qual será neste caso a frequência
relativa de peixes com peso entre 1000g e 2000g?
R. 13/(95+47+13) = 8,4%
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Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
n
387
285
173
95
47
13
d) Calcule o desvio padrão do peso dos peixes.
387
285
173
95
47
13
d) Calcule o desvio padrão do peso dos peixes.
Média=(387x25+285x75+173x125+95x375+47x750+ 13x1500)/1000
Média=151,7g
11
12
Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
387
285
173
95
47
d) Calcule o desvio padrão do peso dos peixes.
S^2=(387x(25-151,7)^2+285x(75-151,7)^2+173x(175 -151,7)^2
+95x(375 -151,7)^2 +47x(750 -151,7)^2 + 13x(1500 -151,7)^2)
/1000
S^2 =53177,11g^2; S =230,6g
l
13
No ano passado, o mesmo barco de investigação das pescas
capturou no mesmo local 1000 peixes com os seguintes resultados:
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
388
296
169
88
43
16
e.1) Quanto variou, em média, o peso dos peixes durante este ano?
2
13
14
Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
n
388
296
169
88
43
16
e.1) Quanto variou, em média, o peso dos peixes durante este ano?
Média=(388x25+296x75+169x175+88x375+43x750+ 16x1500)/1000
Média=150,7g
388
296
169
88
43
16
e.2) Quanto variou, em média, o peso dos peixes com interesse
económico (>250g)?
É =(95x375+47x750+ 13x1500)/(95+47+13) = 367,8g
Era =(88x375+43x750+ 16x1500)/(88+43+16) = 376,0g
Variou 151,7-150,7 = 1 g
Variou 367,8-376,0 = -8,2 g
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Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
388
296
169
88
43
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g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
f) Sendo que cada peixe aumenta 10g por mês, estes mesmos 1000
peixes quanto pesariam, em média, passado um ano?
388
296
169
88
43
16
f) Sendo que cada peixe aumenta 10g por mês, estes mesmos 1000
peixes quanto pesariam, em média, passado um ano?
Média=(388x25+296x75+169x175+88x375+43x750+ 16x1500)/1000
Média=150,7g
Deveria passar a ser 150,7 + 120 = 270,7 g
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Exercício 1
Exercício 1
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
n
388
296
169
88
43
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f) Sendo que cada peixe aumenta 10g por mês, estes mesmos 1000
peixes, qual seria a variância do peso? E o desvio padrão do
peso?
388
296
169
88
43
16
f) Sendo que cada peixe aumenta 10g por mês, estes mesmos 1000
peixes, qual seria a variância do peso? E o desvio padrão do
peso?
Era: S^2=(388x(25-150,7)^2+296x(75-150,7)^2+169x(125 -150,7)^2
+88x(375 -150,7)^2 +43x(750 -150,7)^2 + 16x(1500 -150,7)^2)
/1000
S^2 =56927,6g^2; S =238,6g
3
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Exercício 1
Exercício 2
g [0; 50] ]50; 100] ]100; 250] ]250; 500] ]500; 1000] ]1000; 2000]
n
388
296
20
169
88
43
l
16
f) Sendo que cada peixe aumenta 10g por mês, estes mesmos 1000
peixes, qual seria a variância do peso? E o desvio padrão do
peso?
É: Somamos uma constante (120g): mantém-se a variância e o
desvio padrão.
g
O retorno de dois investimentos de 100 000€ face a 7
cenários que se consideram com igual probabilidade foi a
seguinte (em milhares de euros)
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
I1
137
121
237
145
79
145
112
I2
155
142
127
120
131
73
145
S^2 =56927,6g^2; S =238,6g
a) Determine, usando a definição, o coeficiente de correlação
linear entre estes dois investimentos.
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Exercício 2
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Exercício 2
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
I1
137
121
237
145
79
145
112
I1
137
121
237
145
79
145
112
I2
155
142
127
120
131
73
145
I2
155
142
127
120
131
73
145
a) Determine, usando a definição, o coeficiente de correlação
linear entre estes dois investimentos.
Primeiro, tenho que calcular as médias e desvio padrão de
cada variável. I1
Primeiro, tenho que calcular as médias e desvio padrão de
cada variável.
Média = (137+121+237+145+79+145+112)/7 = 139,4 €
S^2=((137-139,4)^2+(121-139,4)^2+(237-139,4)^2+(145-139,4)^2+
(79-139,4)^2+(145-139,4)^2+(112-139,4)^2)/7 = 2047,4 €^2
S=45,2€
Segundo, calculo a Covariância
Terceiro, calculo a covariância
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Exercício 2
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Exercício 2
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
I1
137
121
237
145
79
145
112
I1
137
121
237
145
79
145
112
I2
155
142
127
120
131
73
145
I2
155
142
127
120
131
73
145
Primeiro, tenho que calcular as médias e desvio padrão de
cada variável. I2
Média= (137+121+237+145+79+145+112)/7 = 127,6€
S^2=((155-127,6)^2+(142-127,6)^2+(127-127,6)^2+(120-127,6)^2+
(131-127,6)^2+(73-127,6)^2+(145-127,6)^2)/7 = 616,0 €^2
S=24,8€
Segundo, calculo a Covariância
Cov = ((137-139,4)x(155-127,6)+(121-139,4)x(237-127,6) + …)/7 =
= −202,8€^2
4
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Exercício 2
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Exercício 2
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
I1
137
121
237
145
79
145
112
I1
137
121
237
145
79
145
112
I2
155
142
127
120
131
73
145
I2
155
142
127
120
131
73
145
b) Sendo que o investidor quer reduzir a probabilidade de perder
dinheiro, decidiu optar pelo investimento que tem uma média
menos o desvio padrão maior. Qual deles é?
Terceiro, calculo o coeficiente de correlação
r = − 202,8/(45,2x24,8) = -0,18
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Exercício 2
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Exercício 2
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
I1
137
121
237
145
79
145
112
I1
137
121
237
145
79
145
112
I2
155
142
127
120
131
73
145
I2
155
142
127
120
131
73
145
b) Sendo que o investidor quer reduzir a probabilidade de perder
dinheiro, decidiu optar pelo investimento que tem uma média
menos o desvio padrão maior. Qual deles é?
I1, média= 139,4; S= 45,2; média − S = 94,2
I2, média=127,6; S=24,8; média − S = 102,8
Variância
S^2 = 0,5^2xS^2(I1)+2x0,5x0,5xCov(I1,I2)+ 0,5^2xS^2(I2)
0,25x 2047,4 +0,5x(-202,8)+0,25x 616,0
= 564,25
S = 23,65 €
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Exercício 2
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Exercício 2
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
g
S1
S2
S3
S4
S5
S6
S7
I1
137
121
237
145
79
145
112
I1
137
121
237
145
79
145
112
I2
155
142
127
120
131
73
145
I2
155
142
127
120
131
73
145
S = 23,7 €
Média = 0,5xmédia(I1)+0,5xMédia(I2)
Média = 0,5x139,4+0,5x127,6 = 133,5€
Média − S = 133,5-23,7 = 109,8 €
c) “Seria bom se alguém entrasse com 100000€ e ficasses com
metade de cada investimento”.
Calcule o retorno médio de 100000€ investidos desta forma
(metade em cada investimento), o desvio padrão e compare a
média menos o desvio padrão com a mesma diferença para
cada investimento sozinho.
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