ILHA SOLTEIRA
XII Congresso Nacional de Estudantes de Engenharia Mecânica - 22 a 26 de agosto de 2005 - Ilha Solteira - SP
Paper CRE05-OA19
ANÁLISE E CLASSIFICAÇÃO DE EXTREMOS EM SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES
ESTÁVEIS E CONTÍNUOS DE TERCEIRA ORDEM COM UM ZERO REAL E UM PÓLO REAL
DE MULTIPLICIDADE DOIS
†
Dário Monte Alegre*, Célia Aparecida dos Reis
*
†
Departamento de Engenharia Mecânica, Departamento de Matemática, Faculdade de Engenharia,
Campus de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, UNESP
Av. Brasil, 56, Centro, Ilha Solteira, SP, Brasil, CEP: 15385-000
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Introdução
Atualmente os sistemas de controle automático se encontram difundidos em todas as sociedades
desenvolvidas. Tais sistemas agem como elemento catalisador na promoção do desenvolvimento e do
progresso. O controle automático é essencial no estudo de sistemas de veículos espaciais, guiamento de
mísseis, pilotagem de aviões, robóticos e outros, além de ser aplicado em modernos processos industriais e
de fabricação, sistemas biológicos, biomédicos, econômicos e socioeconômicos (Franklin, 1991; Dorf, 1995;
Ogata, 1998).
Existem alguns problemas como o de controle do eixo de máquinas ferramentas e os de controle de um
robô, os quais necessitam seguir uma trajetória pré-definida, onde a resposta a degrau não pode apresentar
extremos. Desta forma, o estudo de condições que permitam avaliar extremos, sobre-sinal e reação reversa
na resposta a degrau é de grande importância na teoria de controle, segundo Ogata (1998), El-Khoury (1993),
Howell (1997), Rachid (1995), Leon de la Barra (1994), Reis (2004, 2005), Silva (2001), Vidyasagar (1986).
Muitas contribuições teóricas recentes têm sido feitas no sentido de clarificar a influência dos zeros e
das localizações de pólos e zeros da planta na parte transiente da resposta a degrau (El-Khoury, 1993;
Rachid, 1995; Howell, 1997; Goodwin, 1999; León de la Barra, 1994, 1994-a; Lin e Fang, 1997; Mita e
Yoshida, 1981; Reis, 2004, 2005; Silva, 2001; Vidyasagar (1986)).
Neste trabalho, efetua-se uma análise dos pontos críticos, extremos, sobre-sinal e reação reversa em
sistemas de controle lineares estáveis, contínuos no tempo, de terceira ordem, com um zero real e um pólo
real de multiplicidade dois. Acredita-se que as caracterizações obtidas são de importância na teoria de
controle, já que permitem uma visão mais esclarecida das condições que possibilitam avaliar pontos críticos,
extremos, sobre-sinal e reação reversa em sistemas de controle lineares contínuos no tempo, além de
clarificar um pouco mais a influência dos zeros e localizações de pólos e zeros da planta, na parte transiente
da resposta a degrau. Além disso, as análises efetuadas, têm permitido a obtenção de extensões para sistemas
de ordem elevada.
Resultados Obtidos
Considera-se o sistema de controle linear estável, contínuo no tempo, monovariável, com um zero real e
um pólo real de multiplicidade dois, descrito, na forma de pólos e zeros, pela função de transferência:
G( s ) =
− λ 21 λ 2
(s − z)
z
( s − λ1 ) 2 ⋅ ( s − λ 2 )
(1)
sendo que z, é o zero de G(s), λj, j = 1, 2 são os pólos de G(s), λj ≠ λi, λj ≠ z, ∀ i, j = 1, 2.
Considera-se que o tempo t pertença ao intervalo [0, +∞) e que λ1 < λ2 < 0. Têm-se então, os
seguintes resultados principais, os quais fornecem condições necessárias e suficientes para a determinação de
extremos da resposta a uma entrada degrau unitário y(t), para a função de transferência dada por (1).
Lema
1:
A
resposta
y(t)
y( t ) = 1 + c1 e λ1t + c 2 te λ1t + c 3 e λ2t
c2 =
λ12
z
(λ2 − z )
(λ1 − λ2 )2
da
função
sendo
de
transferência
dada
(λ 2 − z )
c1 = −1 −
,
z (λ1 − λ 2 )2
λ12
por
(1),
tem
a forma
λ λ (λ1 − z )
e
c2 = 1 2
z (λ1 − λ 2 )
.
Teorema 1: y(t) apresenta extremos se e somente se λ1 < λ 2 < z < 0 ou λ1 < λ 2 < 0 < z .
Teorema 2: y(t) apresenta sobre sinal se e somente se λ1 < λ2 < z < 0 , e ainda, y(t) apresenta reação reversa
inicial se e somente se λ1 < λ2 < 0 < z .
Corolário: y(t) não apresenta sobre-sinal e nem reação reversa se e somente se λ1 < z < λ 2 < 0 ou
z < λ1 < λ 2 < 0 .
Conclusão
Foram determinadas condições necessárias e suficientes para a determinação de sobre-sinal e condições
necessárias e suficientes para a determinação de reação reversa inicial em uma tal classe de sistemas.
Acredita-se que, com os resultados obtidos, foi dado um passo importante para um melhor entendimento
da influência das posições relativas de pólos e zeros para a ocorrência de pontos críticos e extremos, para a
análise e determinação de sobre-sinal e reação reversa, em sistemas de controle lineares e contínuos no
tempo.
Referências Bibliográficas
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