Capítulo 5
MATEMÁTICA FINANCEIRA
APLICADA
5.1 Sistemas de amortização
5.2 Descontos
5.3 Taxas efetivas de operações financeiras
Administração Financeira: uma abordagem prática (HOJI)
5.1
Sistemas de amortização
5.1 Sistemas de Amortização
Sistemas de amortização
 Sistema de amortização constante
 Sistema de amortização francês
 Sistema de amortização americano
5.1 Sistemas de Amortização
Sistema de amortização constante
Valor de amortização:
Valor de juros:
Valor de prestação:
Mês
(n)
0
1
2
3
4
5
constante
decrescente
decrescente
Saldo Devedor
Amortização
Juros
(Sn = Sn-1 + J - PMT) (A = C / n)
(J = S n-1 . i)
100.000,00
80.000,00
60.000,00
40.000,00
20.000,00
0,00
Totais
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
20.000,00
100.000,00
10.000,00
8.000,00
6.000,00
4.000,00
2.000,00
30.000,00
Prestação
(PMT = A + J)
30.000,00
28.000,00
26.000,00
24.000,00
22.000,00
130.000,00
5.1 Sistemas de Amortização
Sistema de amortização francês
Valor de amortização: crescente
Valor de juros:
decrescente
Valor de prestação:
constante
Mês
(n)
Saldo Devedor
(Sn = Sn-1 + J - PMT)
Amortização
(A = PMT - J)
Juros
(J = S n-1 . i)
Prestação
(PMT=A+J)
0
1
2
3
4
5
100.000,00
83.620,25
65.602,53
45.783,03
23.981,59
0,00
Totais
16.379,75
18.017,72
19.819,50
21.801,44
23.981,59
100.000,00
10.000,00
8.362,03
6.560,25
4.578,30
2.398,16
31.898,74
26.379,75
26.379,75
26.379,75
26.379,75
26.379,75
131.898,74
5.1 Sistemas de Amortização
Sistema Price
 Conhecido como Tabela Price.
 Utilizado em financiamento de imóveis.
 Taxa de juros dada em termos nominais,
geralmente período anual, com juros calculados
pelo regime de juros simples.
5.1 Sistemas de Amortização
Sistema de amortização americano
Valor de amortização:
Valor de juros:
Valor de prestação:
Mês
(n)
Saldo Devedor
(Sn = Sn-1 + J - PMT)
0
1
100.000,00
100.000,00
2
no final
constante
constante, e maior no final
Amortização
(A = C)
Juros
(J = Sn-1 . i)
Prestação
(PMT = A + J)

10.000,00
10.000,00
100.000,00

10.000,00
10.000,00
3
100.000,00

10.000,00
10.000,00
4
100.000,00
10.000,00
10.000,00
5
0,00
Totais
10.000,00
50.000,00
110.000,00
150.000,00

100.000,00
100.000,00
5.2
Descontos
5.2 Descontos
Descontos
•
Valor nominal  Valor atual = desconto (juro)
•
Valor nominal  desconto = valor descontado
•
•
•
Títulos: duplicata, nota promissória etc.
Recebe o valor líquido do título no ato do desconto
É empréstimo com pagamento antecipado de juro
5.2 Descontos
Principais modalidades de descontos:
a) Desconto comercial:
desconto "por fora"
b) Desconto bancário:
desconto comercial +
despesas bancárias
c) Desconto racional:
desconto "por dentro"
5.2 Descontos
Desconto comercial
EXEMPLO.
Um título no valor nominal de $ 10.000 é descontado à taxa de 20%
ao mês, 15 dias antes do seu vencimento.
Para se calcular o valor descontado, utiliza-se a seguinte fórmula:
Ac = N (1  i  n)
(equação 5.1)
Onde:
Ac = valor atual (comercial);
N = valor nominal;
i = taxa de desconto;
n = número de períodos antes do vencimento.
Ac = 10.000 [1  ( 0,2 / 30) x 15]
Ac = 10.000 x 0,9 = 9.000
5.2 Descontos
Desconto bancário
Ab = N [1  (i n + h)]
(equação 5.2)
Onde:
Ab = valor atual (bancário);
h = taxa de despesas bancárias (comissão).
Utilizando os mesmos dados do exemplo anterior, suponha-se que
exista uma taxa de despesas bancárias de 2,5%. O cálculo é feito
como segue:
Ab = 10.000 [1  (0,2 / 30 x 15 + 0,025)]
Ab = 10.000 [ 1  0,125]
Ab = 10.000 [0,875] = 8.750
5.2 Descontos
Desconto racional
Ar = N / (1 + i)n
(equação 5.3)
Utilizando os mesmos dados do primeiro exemplo, temos:
Ar = 10.000 / (1 + 0,2)
15/30
= 9.128,71
5.3
Taxas Efetivas de Operações Financeiras
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Reajuste de alíquota-base
Tr = Tb / (1  Tb)
(equação 5.4)
Onde:
Tr = alíquota reajustada;
Tb = alíquota normal (ou alíquota-base).
EXEMPLO.
Calcular o custo efetivo de um empréstimo externo no valor de
US$ 100.000, captado pelo prazo de um ano, com pagamento de
juro de 10% a.a. líquido no final da operação, sabendo-se que a
alíquota normal do IR é de 15%.
Cálculo da alíquota reajustada
Tr = [15% / (1  15%)]
Tr = 17,6471%
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Impacto dos impostos e outros encargos
EXEMPLO.
Calcular o custo efetivo de um empréstimo no valor
de $ 10.000, tomado durante o período de 4-1-19X7 a
3-2-19X7, nas seguintes condições:
 taxa de juros efetivos de 4% a.m., pagos no
vencimento do empréstimo;
 comissão de 1%, paga no vencimento do
empréstimo;
 IOF (imposto sobre operações financeiras)
pago no ato da captação do empréstimo,
calculado à taxa de 0,249% a.m.
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
CÁLCULOS:
1.
Valor bruto do empréstimo:
(-) IOF de 0,249% a.m.
(=) Valor líquido recebido:
$ 10.000,00
$
24,90
$ 9.975,10
2.
Valor bruto do empréstimo:
(+) Juros (4% a.m. x 30 dias)
(+) Comissão (1%)
(=) Valor total a pagar
$ 10.000,00
$
400,00
$
100,00
$ 10.500,00
3.
Custo efetivo
do empréstimo
= ($ 10.500,00 / $ 9.975,10)  1
= 0,0526 ou 5,26%
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Taxa overnight
Dia da
Taxa over
Taxa
Fator de juros
Dia
semana
(% a.a.)
do dia
acumulados
2-3-19X8
3-3-19X8
4-3-19X8
5-3-19X8
6-3-19X8
9-3-19X8
10-3-19X8
11-3-19X8
12-3-19X8
13-3-19X8
16-3-19X8
17-3-19X8
18-3-19X8
19-3-19X8
20-3-19X8
23-3-19X8
24-3-19X8
25-3-19X8
26-3-19X8
27-3-19X8
30-3-19X8
31-3-19X8
(2ª. feira)
(3ª. feira)
(4ª. feira)
(5ª. feira)
(6ª. feira)
(2ª. feira)
(3ª. feira)
(4ª. feira)
(5ª. feira)
(6ª. feira)
(2ª. feira)
(3ª. feira)
(4ª. feira)
(5ª. feira)
(6ª. feira)
(2ª. feira)
(3ª. feira)
(4ª. feira)
(5ª. feira)
(6ª. feira)
(2ª. feira)
(3ª. feira)
22,45%
22,45%
22,45%
22,45%
22,45%
22,45%
22,45%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,56%
22,40%
22,40%
22,40%
22,40%
22,40%
0,0804024%
0,0804024%
0,0804024%
0,0804024%
0,0804024%
0,0804024%
0,0804024%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0807590%
0,0802402%
0,0802402%
0,0802402%
0,0802402%
0,0802402%
1,000804024
1,001608694
1,002414011
1,003219976
1,004026589
1,004833850
1,005641761
1,006453907
1,007266709
1,008080168
1,008894283
1,009709056
1,010524487
1,011340576
1,012157325
1,012974733
1,013792801
1,014606270
1,015420392
1,016235167
1,017050596
1,017866679
A taxa é
calculada
diariamente e
válida somente
para dias úteis.
É calculada com
base em ano de
252 dias úteis.
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Cálculo de prazo médio ponderado
EXEMPLO.
Valor do empréstimo: US$ 100.000
Prazo:
2 anos
Amortização:
trimestral
Carência:
1 ano
Parcelas de
amortização (B)
C=AxB
1
2
3
4
5
6
7
8
0
0
0
20.000
20.000
20.000
20.000
20.000
0
0
0
80.000
100.000
120.000
140.000
160.000
Totais
100.000
600.000
Trimestre
(A)
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Dividindo a soma da coluna C pela soma da coluna B, temos:
Prazo médio ponderado = 600.000 / 100.000 = 6 trimestres ou 1,5
ano.
Graficamente, o fluxo de amortização é representado como segue:
0
1
2
3
4
20.000
Período de carência
(4 trimestres = 1 ano)
5
6
7
8
20.000 20.000 20.000 20.000
Período de amortização
(4 trimestres = 1 ano)
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Custo efetivo pelo método do saldo
médio simples ponderado
Valor do financiamento (A)
a) 40.158,74
b) 20.521,55
c) 100.000,00
160.680,29
Nº. de Saldo médio
dias (B) do mês (C)
3
4.015,87
30
20.521,55
20
66.666,67
91.204,09
Taxa de juros
Juros do
Nominal (D) Período (E) período (F)
2,00% a.m. 0,1982%
79,60
2,00% a.m. 2,0000%
410,43
2,50% a.m. 1,6598%
1.659,80
??
2.149,83
Formas de cálculos:





A = Valor inicial dos financiamentos (atualizados até o final do mês anterior)
B = Número de dias que o capital permaneceu na empresa durante o mês
C = A / número de dias existentes no mês x B
E = Taxa de juros efetiva do mês
F = A x E = juros efetivos do mês
Cálculo do custo médio mensal (CMM)
CMM =  F /  C =  Juros do Período /  Saldo Médio do Mês
CMM = $ 2.149,83 / $ 91.204,09 = 0,023572, ou 2,3572%
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Custo efetivo pelo método da TIR
Fluxo de caixa dos empréstimos
Data
N. de fluxo
31-3
1 a 2-4
3-4
4 a 9-4
10-4
11 a 29-4
30-4
Total
0
2
1
6
1
19
1
30
Valor
60.680,29
0,00
(40.238,34)
0,00
100.000,00
0,00
(122.591,78)
TIR = 0,0779349% a.d. ou 2,3647% a.m.
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Custo efetivo de operações em dólar
As operações indexadas a dólar são calculadas com
juros simples, mas devem ser analisadas em taxas
efetivas.
EXEMPLO.
Calcular o custo mensal de um empréstimo em dólar no valor de
US$ 100.000, captado em 31-5-19X6 pelo prazo de seis meses, com
taxa de juros de 12% a.a. pagável trimestralmente.
Custo
(1/3)
efetivo = [1 + (0,12 / 12 x 3)]
 1 = 0,00990163 = 0,990163% a.m.
0,990163% a.m. => 12,55% a.a.
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Rentabilidade efetiva de aplicações
financeiras
Prazo de recuperação (meses)
0
1
12
24
20,00
20,00
20,00
20,00
1,0000
1,0200
1,2682
1,5163
(=) IR-Fonte em valor presente
20,00
19,61
15,77
13,19
(+) Valor líquido em valor presente
80,00
80,00
80,00
80,00
(=) Valor total (em valor presente)
100,00
99,61
95,77
93,19
IR-Fonte em valores correntes
() Fator de juros
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
IRF
VT =  + VL
(1 + i) n
(equação 5.5)
Onde:
VT
IRF
i
n
VL
=
=
=
=
=
valor total em valor presente;
Imposto de renda retido na fonte, em valor corrente;
taxa de juros mensal;
95,00 = (20,00 / 1,02 n ) + 80,00
número de meses;
valor líquido em valor presente.
95,00 - 80,00 = (20,00 / 1,02 n )
15,00 x 1,02 n = 20,00
1,02 n = 20,00 / 15,00
1,02 n = 1,3333
log 1,02 n = log 1,3333
n log 1,02 = log 1,3333
n = log 1,3333 / log 1,02
n = 0,124928 / 0,008600
n = 14,5 meses
5.3 Taxas Efetivas de Operações Financeiras
Rentabilidade efetiva pelo método da TIR
Fluxo de caixa das aplicações
Data
Número
de fluxo
31-3
1-4 a 2-4
3-4
4-4 a 9-4
10-4
11-4 a 29-4
30-4
0
2
1
6
1
19
1
Valor
(60.680,29)
0,00
40.238,34
0,00
(100.000,00)
0,00
122.591,78
TIR = 0,0779349 a.d. ou 2,3674% a.m.