Análise de Medidas Repetidas:
Áreas de Uso
• São freqüentemente usadas em pesquisas
científicas em áreas agrícolas, biológicas,
médicas, geográficas, demográficas dentre
outras.
Medidas Repetidas: Suposições
• As observações para cada unidade
experimental devem ser expressas em
unidades comparáveis;
• As observações devem se distribuir
normalmente com variância constante entre
2 observações dentro de cada unidade
experimental;
Medidas Repetidas: Suposições
• Requer que as unidades experimentais
sejam independentes.
Disposição dos Dados
Grupos
Unidade
Experimental
1
1
Condições de Avaliação
1
2 K
p
y11 p
y111 y 112 K
1
2
y 121
M
M
M
M
M
1
n1
y 1n 1 1
y 1n 1 2
2
1
y 211
y 212
2
2
y 221
y 222
M
M
2
M
M
n2
M
M
y 2n 21
g
1
y g11
g
2
y g 21
M
g
M
M
ng
K
y 122
M
M
y 2n2 2
y g12
y g 22
M
y gn g 1 y gn g 2
M
K
K
K
K
y12 p
M
y1n1 p
y 21 p
y 22 p
M
y 2 n2 p
M KM
y g1 p
K
yg2p
M KM
y gn g p
Análise Univariada: Modelo
yijk = m + ai + d j(i) + bk + abik + eijk
Análise Univariada: Modelo
m:
representa a média geral;
a : representa o efeito do i-ésimo tratamento;
d : representa o efeito aleatório da j-ésima unidade
experimental dentro do i-ésimo tratamento;
b : representa o efeito da k-ésima condição de avaliação;
ab : representa o efeito de interação entre o i-ésimo
tratamento e a k-ésima condição de avaliação;
i
j (i )
k
ik
e ijk : representa o erro aleatório da observação y ijk ,
Onde,
d j (i ) Ç NID (0, s )
2
d
e ijk Ç NID (0,s )
2
e
E ( yijk ) = m + a i + b k + ab ik
V(yijk ) = S
e
é1
êr
2ê
=
s
å
êM
( pxp)
ê
ër
r
1
M
r
r L rù
r L rúú
M
M ú
ú
r M 1û
S : é a matriz de variâncias e covariâncias, também conhecida como matriz
uniforme;
r : representa a correlação entre dois elementos quaisquer dentro do mesmo
vetor resposta;
s 2 = s d2 + s e2
Anova e Teste de Efeitos
• A tabela de Anova é composta por dois
tipos de erros: entre sujeitos e dentro de
sujeitos;
• Esta Análise Univariada de Perfis admite
uma estrutura de Covariâncias Uniforme
dada pela matriz S, significando que todos
os pares de observações sobre o mesmo
sujeito têm igual correlação;
Anova e Teste de Efeitos
• Para os testes dos efeitos dentro de sujeitos a
matriz S deve seguir um certo padrão,
conhecido como covariância do tipo H (Huynh
e Feldt);
• O teste de esfericidade testa este padrão. Se a
esfericidade é aceita a matriz S segue o padrão
exigido, podendo-se usar o teste F tradicional
para testar os efeitos dentro de sujeitos;
Anova e Teste de Efeitos
• Se o teste de esfericidade é rejeitado,
dependendo da probabilidade de rejeição,
pode-se usar o Epsilon de Greenhouse e
Geisser ou Epsilon de Huynh-Feldt para se
ter um F ajustado para testar cada efeito
dentro de sujeitos.
Tabela Anova Univariada
Fonte de Variação GL
SQ
QM
F
QM_Grupo/QM_E(A)
Grupo
g -1
SQ_Grupo
QM_Grupo
Erro (A)
n-g
SQ_E(A)
QM_E(A)
Cond.Avaliação
p-1
SQ_Cond.Aval. QM_Cond.Aval. QM_Cond.Aval./QM_E(B)
Cond.Aval*Grupo (g-1) (p-1) SQ_Cond*Grupo QM_Cond*Grupo QM_Cond*Grupo/QM_E(B)
Erro (B)
(n-g) (p-1) SQ_E(B)
Total
np - 1
QM_E(B)
Análise Multivariada de Perfis
• O tamanho da amostra se baseia no número
de unidades experimentais;
• O procedimento multivariado tem menos
sensibilidade do que o procedimento
univariado;
• Não exige o padrão da matriz de variâncias
e covariâncias requerido pelo perfil
univariado;
Análise Multivariada de Perfis
• A exemplo da univariada, exige que S deve
ser comum a todos os tratamentos, sendo
que as componentes aleatórias do erro
devem seguir uma distribuição normal;
• É assintoticamente equivalente a univariada
para os tamanhos de amostras encontrados
na prática;
Análise Multivariada de Perfis
• Só pode ser aplicada quando n-g p-1;
• No modelo para análise multivariada as
observações são expressas na forma
matricial.

Modelo Multivariado
• E(Y) (n x p) = X (n x g) b (g x p)
onde,
é y111
êy
ê 121
ê .
ê .
ê .
êy
ê 1n11
.
Y= ê
ê .
ê .
êy
ê g11
ê .
ê .
ê .
ê
êë y gng 1
y112
y122
.
.
.
y1n12
.
.
.
y1g12
.
.
.
y gng 2
. . .
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
.
.
.
. . .
y11 p ù é y11' ù
y12 p ú ê y12' ú
ú ê
ú
. ú ê . ú
. ú ê . ú
. ú ê . ú
y1n1 p ú ê y1' n1 ú
ú ê
ú
. ú ê . ú
=
. ú ê . ú
. ú ê . ú
y g1 p úú ê y g' 1 ú
ê
ú
. ú ê . ú
. ú ê . ú
. ú ê . ú
ú ê
ú
y gngp ûú ë y gng û
é1n1 0
ê 0 1n 2
ê.
.
X =ê
.
ê.
.
ê.
ê0 0
ë
é m 11 m 12
êm
m 22
ê 21
.
.
b =ê
.
ê .
ê .
.
êm
ë g1 m g 2
.
.
.
.
.
.
0ù
0ú
. ú
ú
. ú
. ú
. 1ng úû
.
.
.
.
.
.
.
.
. m 1 p ù é m 1' ù
. m 2 p ú ê m 2' ú
ú ê ú
. ú ê . ú
=
. ú ê . ú
. ú ê . ú
. m gp úû êë m g' úû
Y (n x p) : matriz de dados;
X (n x g) : matriz de especificação;
b (g x p) : matriz de parâmetros que definem a estrutura de variação do
comportamento médio da resposta. Os vetores linhas da matriz de
parâmetros acima representam o perfil médio de respostas para as
unidades experimentais do i-ésimo tratamento.
Análise Multivariada: Matriz de Variâncias e
Covariâncias
és
ê
s
ê 12
.
ê
S=
ê .
ê .
ê
êës 1 p
2
1
s 12
2
s2
.
.
.
s
2
p
. . . s 1p ù
ú
. . . s 2p ú
.
. ú
.
. ú
ú
.
.
2 ú
. . . s p úû
Onde,
sij : representa a covariância entre as observações medidas em
condições de avaliações distintas;
2
sj : é a variância das observações medidas na mesma condição de
avaliação.
Hipóteses
H0 : não existe interação entre Grupo*Condições de Avaliação (Perfis
paralelos)
é m 11
ê m 12
ê .
H0 :ê
ê .
ê .
êm 1 p 1
ë
 m 12 ù é m 21
 m 13 ú ê m 22
. . ú ê .
ú=ê
. . ú ê .
. . ú ê .
 m 1 p úû êëm 2 p 1
é m g1
 m 22 ù
êm
 m 23 ú
ê g2
ú
. .
ú = ...= ê .
. . ú
ê .
ê .
. . ú
êm
 m 2 p úû
ë g  p 1
 m g2 ù
 m g3 ú
ú
. . ú
. . ú
. . ú
 m gp úû
Hipóteses
H0 : não existe efeito de Grupo (Perfis Coincidentes)
é m g1 ù
é m 11 ù é m 21 ù
êm ú
ê m 12 ú ê m 22 ú
ê g2 ú
ê . ú ê . ú
. ú
ê
ê
ú
ê
ú
=
= ...=
H0 :
.
.
ê . ú
ê ú ê ú
ê . ú
ê . ú ê . ú
êm ú
êm 1 p ú êm 2 p ú
ë û ë û
ë gp û
Hipóteses
H0 : não existe efeito das Condições de Avaliação (Perfis Horizontais)
é m1 p ù
é m 11 ù é m 12 ù
êm ú
ê m 21 ú ê m 22 ú
ê 2p ú
ê . ú ê . ú
.
H 0 : ê ú = ê ú = ...= ê ú
ê . ú
ê . ú ê . ú
ê . ú
ê . ú ê . ú
êm ú
ê m g1 ú ê m g 2 ú
ë û ë û
ë gp û
Estatísticas de Testes Multivariados
•
•
•
•
O critério de Roy;
O critério de Wilks;
O traço de Hotelling-Lawley;
O traço de Pillai.
Análise de Medidas Repetidas: Modelos
Mistos
• É o procedimento mais difundido para análise
de medidas repetidas;
• Dentre as várias estruturas da matriz de
variâncias e covariâncias, tem-se o
Componente Simétrico (CS), Auto Regressivo
de 1ª Ordem, AR(1), e Não Estruturada (UN).
Modelos Mistos: Modelo
Y = Xb + Za + e
Onde,
Y : é o vetor de dados observados;
X : é matriz de planejamento para os efeitos fixos;
b : é o vetor de parâmetros associados aos efeitos fixos;
a : é o vetor de parâmetros associados aos efeitos aleatórios;
Z : é a matriz de planejamento para os efeitos aletórios;
e : é o vetor de erros aleatórios.
a ~ N( 0; s G ) e e ~ N( 0; s R );
2
2
a e e são não correlacionados;
G : matriz de covariâncias associada a a;
R : matriz de covariâncias associada a e;
éa ù é 0 ù
E ê ú = ê ú
ëe û ë0 û
e V éêa ùú = éêG
ëe û ë 0
V = Var(Y) = ZGZ’ + R
0ù
Rúû
Equações do Modelo Misto

X' R
 ^
 Z' R
^
1
1
  
X ' R Z  b   X ' R
= ^
^
^
1   
Z + G a   Z ' R
^
X
^
X
Z' R
1
1
^
^
1
1

y

y
Solução para os Efeitos Fixos e Aleatórios
Fixos:
1

b = X' V

^
^
^

X  X' V

1
1
Aleatórios:
^
^'
^
a =G Z V
1
y
 X b
y