É POSSÍVEL MODELAGEM MATEMÁTICA COM INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO?
Ednilson Sérgio Ramalho de Souza1
Mário José Siqueira da Silva2
Francisco Hermes Santos da Silva3
RESUMO
Neste trabalho discutimos a possível relação entre modelagem matemática e
informática na educação como conhecimentos inter-relacionados à prática
docente, que favorece um ensino - aprendizagem da matemática de qualidade.
Vimos também que a informática na educação é mais uma tendência da
educação matemática e que a propomos como parte integrante do processo de
modelagem matemática.
ABSTRACT
This paper discussed the possible relationship between mathematics modeling
and computer in education, knowledge and inter-related to teaching practice,
which favors an education - learning of mathematics in quality. We also saw that
the computer education is more a trend of mathematics education and propose
that as part of the process of mathematical modeling.
1
Mestrando em Educação em Ciências e Matemáticas do Programa de Pós-Graduação em
Educação em Ciências e Matemáticas – PPGECM – do Núcleo de Pesquisas e Desenvolvimento
da Educação Matemática e Científica – NPADC da Universidade Federal do Pará- UFPA.
2
Mestrando em Educação em Ciências e Matemáticas do Programa de Pós-Graduação em
Educação em Ciências e Matemáticas – PPGECM – do Núcleo de Pesquisas e Desenvolvimento
da Educação Matemática e Científica – NPADC da Universidade Federal do Pará- UFPA.,
Especialista em Informática na Educação e Educação em Ciências e Matemáticas/UNAMA,
Atualmente é Professor efetivo da SEMEC/Belém e SEDUC/Pa.
3
Dr. em Educação Matemática – Psicologia da Matemática – pela FE-UNICAMP e professor do
Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemáticas – PPGECM – do Núcleo
de Pesquisas e Desenvolvimento da Educação Matemática e Científica – NPADC da
Universidade Federal do Pará- UFPA.
Palavras-chaves: Educação Matemática, Modelagem Matemática, Mídias
Informáticas, Informática na Educação.
Keywords: Mathematics Education, Mathematical Modeling, Computer Media,
Information Technology in Education.
INTRODUÇÃO
O objetivo central deste artigo é buscar relações e aplicações matemáticas
que envolvam a modelagem matemática e a informática na educação
simultaneamente em prol de uma aprendizagem significativa, ou seja, subsidiar
os processos de ensino e aprendizagem especificamente da matemática. Então
para isso desenvolveremos uma tripla abordagem, onde teceremos um olhar
sobre o que representa modelagem matemática e suas possibilidades no ensino
de matemática, em seguida discorreremos sobre os pontos relevantes do o uso
da informática/computador na educação e por último trataremos as duas
anteriores como recursos, onde uma auxilia a outra e as duas o ensino da
matemática.
Antes de buscarmos respostas a essa intrigante pergunta que é o tema do
artigo, temos que primeiro entendê-las como recursos independentes que são no
ensino e aprendizagem da matemática, então responder a tal questionamento
significa determinar que caminho devemos tomar em busca do mesmo, pois falar
de possibilidades na educação é do ponto vista prático ter uma aprendizagem
significativa.
Então olhemos para a modelagem matemática e informática na educação,
não como duas teorias dissociáveis da prática matemática, e sim como
elementos construtores do processo de ensino e aprendizagem significativa da
mesma.
O QUE É MODELAGEM MATEMÁTICA?
Antes de responder a essa pergunta, temos que, primeiramente, responder
a outras duas: O que é um modelo? E o que é um modelo matemático?
MODELO
Biembengut e Hein (2003) dizem que a formulação de modelos
interpretativos dos fenômenos naturais e sociais é inerente ao ser humano. Os
mesmos autores citando Granger (1969) dizem que
“o modelo é uma imagem que se forma na mente, no momento
em que o espírito racional busca compreender e expressar de
forma intuitiva uma sensação, procurando relacioná-la com algo
já conhecido, efetuando deduções” (BIEMBENGUT & HEIN,
2003, p. 11).
Bassanezi (2004) diz que se cria o modelo quando se procura refletir sobre
uma porção da realidade, na tentativa de explicar, de entender ou de agir sobre
ela (a realidade). Assim, entendemos por modelo a representação de uma
estrutura cognitiva que foi compreendida, desenvolvida e expressa de alguma
forma, que possamos relacioná-las com o mundo ao nosso redor, através de
predições, explicações, manipulações, formulações.
MODELO MATEMÁTICO
Se usarmos um conjunto de símbolos e relações matemáticas a fim de
traduzir um fenômeno ou problema real, estaremos utilizando um modelo
matemático (Biembengut e Hein, 2001), pois, como afirma Bassanezi
“um modelo matemático é um conjunto consistente de equações
ou estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a algum
fenômeno – este pode ser físico, biológico, social, psicológico,
conceitual ou outro modelo matemático” (BASSANEZI, 2004).
Segundo Kneller (1980, apud Pinheiro, 2001) a construção de modelos e
teorias utiliza a Matemática de três maneiras:
a)
Construir um formalismo matemático e posteriormente interpretá-lo
fisicamente;
b)
Buscar entre as funções matemáticas já conhecidas uma que
atenda a uma idéia ou hipótese física, o que significa dizer que o cientista
tem uma previsão sobre o comportamento de determinado fenômeno e
busca
uma
forma
de
representar
matematicamente
seu
modelo
interpretativo;
c)
Construir
uma
função
matemática
que
represente
matematicamente o fenômeno físico.
Estamos, agora, em condições de responder a pergunta O que é
modelagem matemática?
De acordo com D’Ambrósio “modelagem é um processo muito rico de
encarar situações e culmina com a solução efetiva do problema real e não com a
simples resolução formal de um problema artificial” (1986 apud Júnior e Espírito
Santo, 2004).
Para Biembengut e Hein modelagem matemática é a “arte de expressar
por intermédio de linguagem matemática situações problema de nosso meio”
(2003, p. 8).
Na visão de Bassanezi a modelagem possui duas funções principais:
obtenção e validação de modelos
“Modelagem matemática é um processo dinâmico utilizado para
obtenção e validação de modelos matemáticos. É uma forma de
abstração e generalização com a finalidade de previsão de
tendências. A modelagem consiste, essencialmente, na arte de
transformar situações da realidade em problemas matemáticos
cujas soluções devem ser interpretadas na linguagem usual”
(BASSANEZI, 2004, p. 24).
No entender de Chaves e Espírito Santo (2004)
“Modelagem Matemática é um processo que transforma, uma
situação/questão escrita na linguagem corrente e/ou proposta
pela realidade, em linguagem simbólica da matemática, fazendo
aparecer um modelo matemático que, por ser uma representação
significativa do real, se analisado e interpretado segundo as
teorias matemáticas, devolve informações interessantes para a
realidade que se está questionando”. (p. 579).
Desta maneira, entendemos por modelagem matemática o ato de abstrair,
da realidade a nossa volta, um modelo matemático representativo desta
realidade,
que
nos
permita
compreender
melhor
a
relação
entre
os
acontecimentos e o mundo; através de análises, reflexões, deduções, predições.
Este modelo deverá ser testado de diferentes maneiras para verificar em que
grau corresponde à realidade analisada.
Podemos também entendê-la, como toda ação matemática representativa
de uma dada realidade, tendo como finalidade, compreender a essência do
objeto estudado objetivamente a partir de uma construção pautada em recursos
matemáticos, que permita a descrição e inferência de mundo.
Ensinar matemática tendo como recurso a modelagem não é algo pronto,
que se encontra nas literaturas ou livros didáticos e que será utilizado num dia
determinado pelo planejamento do professor, pois não devemos esquecer que
para uma determinada realidade tal modelagem poderá representar um processo
realmente significativo de aprendizagem para o aluno; porém, em outras, isso
poderá não funcionar da mesma forma devido a diferentes variáveis.
A modelagem matemática como estratégia poderá fazer sim a diferença no
ensino – aprendizagem da matemática de forma significativa, desde que se tenha
a consciência necessária das limitações não recorrendo a desenvolvimentos de
projetos em que o próprio professor não tenha o total domínio dos passos que irá
seguir.
Para entendermos claramente e objetivamente sobre o contexto em que a
modelagem matemática se enquadra como uma estratégia de ensino, temos que
buscar subsídios nas literaturas e autores que tem a pesquisa e aplicação da
mesma no ensino da matemática, como não apenas mais uma teoria distante da
prática, mas sim também como um recurso, cujo potencial é inesgotável, porém
precisando ainda, ser explorado como fonte de auxilio ao ensino e aprendizagem
da matemática.
A DINÂMICA DO PROCESSO DE MODELAGEM MATEMÁTICA
De acordo com Biembengut e Hein (2003) o processo de modelagem
matemática pode ser realizado em três fases: Interação, Matematização e Modelo
Matemático.
a)
Interação: É o reconhecimento da situação-problema e a familiarização
com o assunto a ser modelado. A situação-problema torna-se cada vez mais
clara, à medida que se vai interagindo com os dados.
b)
Matematização: Formulação do problema (hipótese) e resolução do
problema em termos do modelo. É aqui que se dá a “tradução” da situação
problema para a linguagem matemática. O objetivo principal deste momento do
processo de modelar é chegar a um conjunto de expressões aritméticas,
fórmulas, equações algébricas, gráficos, ou representações, ou programa
computacional, que levem à solução ou permitam a dedução de uma solução.
c)
Modelo Matemático: Interpretação da solução e validação do modelo
(avaliação). Para concluir o modelo, torna-se necessária uma avaliação para
verificar em que nível ele e aproxima da situação-problema representada e, a
partir daí, verificar também o grau de confiabilidade na sua utilização.
O
ensino
de
matemática
por
modelos
matemáticos
tem
como
fundamentação verificar uma dada realidade, onde se propõe simulações do
cotidiano e aplicações que favoreçam um olhar mais apurado da realidade com
vista à inserção de idéias implícitas à cidadania.
A figura 1 proposta por Biembengut (1999) mostra a dinâmica da
modelagem matemática.
Fig. 1- Dinâmica da modelagem matemática (BIENBENGUT, 1999)
MODELAGEM MATEMÁTICA E SIMULAÇÃO
Como fora visto anteriormente, o produto final da dinâmica da modelagem
é um modelo, e este poderá ser representado por um gráfico, uma equação
algébrica, uma função, etc. Para que estes sejam mais significativos ao aluno é
necessário durante toda a construção desse modelo ter como suporte o
computador como forma de estruturação para a busca do referido modelo;
imaginemos que durante o processo de modelagem obtêm-se vários dados e
variáveis distintas que necessitem ser tabuladas, para isso é essencial utilizarmos
simultaneamente à dinâmica da modelagem e o computador para essa tabulação.
Como afirma Cox (2003),
“Dentre as características dos instrumentos em estudo, destacase a plasticidade – os computadores são programáveis, portanto,
podem ser úteis a diversos fins: podem servir como máquinas de
escrever ou calcular, auxiliar a gerência escolar, armazenar bases
de dados para consulta, tutorar estudos, estabelecer malhas de
comunicação entre pessoas distantes.” (p. 19)
Contando com a singular capacidade plástica que o computador oferece e
de posse do modelo já estruturado, é possível dinamizarmos e/ou otimizarmos a
aula com o uso de recursos informáticos, podendo estes serem um software ou
até mesmo um aplicativo, desde que seja adequado à situação proposta servindo
para simularmos, e assim mostrar ao aluno algumas particularidades as quais
servirão para melhor compreender a situação-problema em questão.
INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
Para Almeida (2000, p. 19), informática na educação.
“É um novo domínio da ciência que em seu próprio conceito trás
embutida a idéia de pluralidade, de inter-relação e de intercâmbio
crítico entre saberes e idéias desenvolvidas por diferentes
pensadores. Por ser uma concepção que ainda está em fase de
desenvolver seus argumentos, quanto mais nos valemos de
teorias fundamentadas em visões de homem e de mundo
coerentes, melhor será para observarmos e analisarmos
diferentes fatos, eventos e fenômenos, com o objetivo de
estabelecer relações entre elas”.
Na citação anterior, Almeida deixa claro que a informatização é algo que
vem permeando todos os ramos da sociedade contemporânea, aproximando os
conhecimentos desenvolvidos por esta sociedade, tendo a finalidade de
possibilitar,
através
dessa
informatização
a
socialização
dos
vários
conhecimentos desenvolvidos nos diferentes contextos.
Segundo Borges Neto informática na educação
“Se caracteriza pelo uso pleno da informática como um
instrumento a mais para o professor utilizar em suas aulas. Aqui,
o professor especialista deve utilizar os recursos informáticos
disponíveis, explorando as potencialidades oferecidas pelo
computador e pelos softwares, aproveitando o máximo possível
suas capacidades para simular, praticar ou evidenciar situações,
geralmente, de impossível apreensão desta maneira por outras
mídias. Nesse modelo, a informática exerce o papel de agente
colaborador e meio didático na propagação com conhecimento,
posta à disposição da educação, através do qual o professor
interage com seus alunos na construção do conhecimento
objetivado.” (1999, apud PERRIER & ESPIRITO SANTO, 2005,
p. 334).
Historicamente a evolução da tecnologia teve um crescimento significativo
a partir da segunda grande guerra, onde em busca de recursos bélicos mais
sofisticados, o homem acabara por desenvolver tecnologias que trouxeram
mudanças significativas para a sociedade.
A evolução das tecnologias, em especial o computador, vem causando
ainda, mudanças radicais na forma de pensar e agir do homem contemporâneo,
pois não se concebe mais o mesmo sem essa tecnologia. O mundo globalizado
gira em torno de um sistema informatizado, onde a inserção desses aparatos
tecnológicos tornou a vida deste homem, de certa forma mais dinâmica, trazendo
consigo novas exigências acerca de sua utilização e de seus conhecimentos.
“O que é verdadeiro para os indivíduos é ainda mais verdadeiro
para as nações. A força competitiva de uma nação no mundo
moderno é diretamente proporcional a sua capacidade de
aprendizagem, ou seja, uma combinação das capacidades de
aprendizagem dos indivíduos e das instituições da
sociedade”(PAPERT,1994, p. 5)
A informática (computador) está cada vez, mais presente na vida cotidiana
das pessoas como algo que vem trazendo mudanças significativas em todos os
setores da sociedade em especial a educação.
No sistema educacional, uma das primeiras aplicações pedagógicas do
computador fora implantada como uma máquina de ensinar skineriana, ou seja,
dentro de uma abordagem totalmente instrucionista4, porém fora com Seymour
Papert que a mesma ganhou uma nova conotação e impulso, onde com base no
processo de descrição – execução – reflexão – depuração, passou-se a ter uma
abordagem construcionista5.
A partir das idéias de Papert, começou-se a buscar novas formas de ter o
computador como uma ferramenta pedagógica, que possibilitasse realmente um
ensino-aprendizagem mais dinâmico e capaz de tornar o aluno um individuo, com
efetiva participação na construção do próprio conhecimento, porém essa inserção
na escola não ocorreu como se esperava, pois a grande resistência dos
professores a tornou difícil. Os argumentos diversos contra a utilização dos
computadores eram do tipo:
“Se meu aluno utilizar a calculadora, como ele aprenderá a fazer
conta?” “Se o estudante do ensino médio aperta uma tecla do
computador e o gráfico da função já aparece, como ele
conseguirá, de fato, aprender a traçá-lo?” (BORBA &
PENTEADO, 2001, p. 12).
Há também aqueles que vêem a inserção da informática na educação
como algo que possa realmente transformar as rígidas concepções de parte de
alguns educadores, tornando-os mais flexíveis e estimulados às mudanças e ao
aperfeiçoamento, que permitirá ao mesmo, através da sua prática, fazer
educação de forma mais interessante no sentido de poder contribuir
significativamente com o processo de ensino-aprendizagem. A inserção da
informática trás novas significações ao professor, pois muitos advogam o uso do
computador devido à motivação e o dinamismo que o mesmo poderá trazer às
aulas.
Na chegada dos computadores à educação, uma dúvida assombrou
grande parte dos professores, que se questionavam se com a chegada desses
novos atores os mesmos seriam substituídos, como acontecera, por exemplo,
nos bancos com os caixas que foram substituídos pelo caixa eletrônico. Cremos
que hoje esta pergunta está respondida, pois não se pode educar uma pessoa,
sem a figura humana do professor, porque no processo educacional estão
envolvidas varias situações implícitas como: afetividade, reciprocidade, valores
4
O computador pode ser usado na educação como máquina de ensinar ou como máquina para ser
ensinada. O uso do computador como máquina de ensinar consiste na informatização dos métodos de
ensino tradicionais. Do ponto de vista pedagógico esse é o paradigma instrucionista.
5
Construcionismo é uma reconstrução teórica a partir do construtivismo piagetiano, feita por
Seymour Papert (1994)
pessoais, respeito, percepção a um olhar social, etc,, coisas que jamais o
computador poderá fazer ou perceber. Por isso faz grande diferença no contexto
educacional a figura do professor, mas é necessário que este tenha também prédisposição às mudanças com relação às tecnológicas educacionais.
Sabemos que inserir os computadores na escola não é apenas construir
um espaço diferenciado, são necessárias mudanças em toda a estrutura escolar
passando pelo corpo técnico e direção que precisam entender a importância
dessa inserção e do aparato para o desenvolvimento cognitivo do aluno, porém
deve-se começar com investimentos na qualificação do corpo docente, pois é a
partir desses, que tal recurso ganha significado.
O professor precisa romper as amarras do comodismo, da
espera interminável pelas decisões administrativas e políticas, e
avançar em seus propósitos de construção e fazeres em nome
da educação escolar. O professor precisa ousar. (COX, 2003, p.
114)
Dando este primeiro passo, começaremos a pensar de que forma
poderemos utilizar o recurso computador em prol do processo de ensino aprendizagem. Este pensar não seria apenas no momento do tão criticado
planejamento e sim em encontros constantes entre o corpo docente e o técnico
para se ter parâmetro de como tal recurso está contribuindo com o processo
educativo.
Percebemos que cada vez mais, o uso dos computadores na educação
tem-se afastado do objetivo principal que é ser um recurso pedagógico para as
necessidades da disciplina do professor, o que não tem acontecido nas escolas,
pois vemos o mesmo sendo utilizado para atividades das secretarias escolares e
também como disciplina escolar com direito a horário estabelecido por turma,
pois se dessa forma o for, o recurso tecnológico perde sua finalidade principal
que é auxiliar o professor no processo de ensino-aprendizagem.
O fato de as turmas terem horários previamente determinados para
utilizarem o laboratório de informática, nos deixa claro que, não há relação entre
o que o professor de sala de aula ensina e o que o professor do laboratório de
informática desenvolve, na verdade são dois conjuntos disjuntos, pois as
atividades da sala de informática não partem das necessidades das aulas das
disciplinas ministradas pelos professores.
Em contra partida, há também a resistência e obstáculos por parte do
professor que não se habilita a modificar suas aulas e isso acontece porque a
escola não tem sequer autonomia para gerenciar o desenvolvimento das
atividades dos laboratórios, pois se tivessem poderiam desenvolver programas de
forma a amparar a realidade específica da própria escola e não de ser extensão
dos NIED’S (Núcleos de informática educacional - Municípios) e NTE’S (Núcleo
de Tecnologias educacionais - Estados) que tem objetivos amplos que às vezes
pode não ter nada haver com certas realidades escolares.
O sentimento partilhado por professores é de que aceitar o novo traria
possibilidades desconhecidas, as quais. (BORBA & PENTEADO, 2001, P64)
chamam de ‘zona de risco’, pois aspectos como incerteza e imprevisibilidade,
geradas num ambiente informatizado, fazem com que os professores desistam
quando percebem essa tal zona, porém é difícil negarmos que potencialmente
esta zona poderá estimular, provocar e impulsionar o desenvolvimento do
processo ensino-aprendizagem, mesmo que este caminho, seja árduo para o
professor, pois seria mais simples ao mesmo utilizar as tecnologias informáticas
para as velhas rotinas sem a preocupação de ter que utilizá-las como um recurso
educacional.
As tecnologias chegaram à escola, mas não houve uma consolidação
maciça da sua aplicação em detrimento de uma ação significativa. Claro que
vários projetos que foram desenvolvidos, deram bons frutos, mas está claro que o
professor ainda não criou uma identidade que lhe permita fazer da informatização
uma poderosa ferramenta de ensino – aprendizagem. O sistema educacional
parece tão indiferente às tecnologias que
“Imagine um grupo de viajantes do tempo de um século anterior,
entre eles um grupo de cirurgiões e outro de professores
primários, cada qual ansioso para ver o quanto as coisas
mudaram em sua profissão a cem anos ou mais do futuro.
Imagine o espanto de os cirurgiões entrando numa sala de
operações de um hospital moderno.
(...) Os professores viajantes do tempo responderiam de uma
forma muito diferente a uma sala de aula de primário moderna.
Eles poderiam sentir-se intrigados com relação a alguns poucos
objetos estranhos. Poderiam perceber que algumas técnicas
padrão mudaram - e provavelmente discordariam entre si quanto
se as mudanças que observaram foram para melhor ou para
pior, mas perceberiam plenamente a finalidade da maior parte do
que se estava tentando fazer e poderiam, com bastante
facilidade, assumir a classe”. (PAPERT, 1994, p. 9).
Essa colocação de Papert deixa claro que, algumas áreas passaram por
mudanças extraordinárias como a medicina, telecomunicação, etc., onde talvez
não seja mais possível o seu desenvolvimento sem recursos da tecnologia. Já a
escola é um exemplo notadamente de área que não sofrera tantas mudanças,
mas que ainda assim, tem nas tecnologias, uma aliada indispensável na busca da
construção significativa de conhecimentos.
INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
COMO
TENDÊNCIA DA EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
BORBA & PENTEADO (2001), afirmam que “a informática se constituiu em
uma das principais tendências da Educação Matemática”. Então como se pensar
nos dias atuais em uma matemática dissociada do uso de recursos da
informática? É contraditório que professores de matemática resistam a algo que
poderá tornar suas aulas mais dinâmicas e produtivas permitindo ao aluno maior
tempo para discutir os processos matemáticos envolvidos em cálculos com
algoritmos imensos e complexos.
“Usualmente a ênfase para o ensino das funções se dá via
álgebra. Assim, é comum encontrarmos em livros didáticos um
grande destaque para a expressão analítica de uma função e
quase nada para os aspectos gráficos ou tabulares. Tal destaque
muitas vezes está ligado à própria mídia utilizada. Sabemos que
é difícil a geração de diversos gráficos num ambiente em que
predomina o uso de lápis e papel e, então, faz sentido se buscar
um novo recurso em prol de tais representações” (BORBA &
PENTEADO, 2001, p.29).
Percebe-se então que a utilização de recursos tecnológicos como o
computador, no ensino – aprendizagem da matemática nos permite desenvolver
representações gráficas que são melhores exploradas por este recurso,
permitindo ao aluno refletir sobre o comportamento de toda estrutura
desenvolvida.
Imagine que um professor de matemática esteja mostrando gráficos da
função quadrática, o quadro branco ou outro qualquer deverá ser com certeza a
primeira fonte de demonstração desse professor (aula expositiva) para o aluno,
porém para que este aluno perceba claramente o comportamento do gráfico
dessa função através da variação dos seus coeficientes é necessário, que o
professor construa vários gráficos no referido quadro (lousa) o que tornaria
inviável uma discussão a respeito de tal comportamento do gráfico dessa função,
pois com o pouco tempo disponível, não conseguiria sequer desenhá-los no
quadro. Neste caso, a utilização de um recurso tecnológico seria um auxiliador
com grande potencial nessa atividade, além de ser um elemento motivador,
podendo atrair maior atenção por parte dos alunos, deixando claro que a
ferramenta computador poderá sim, ser um importante aliado na construção de
novas possibilidades de conhecimento.
MODELAGEM MATEMÁTICA E INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO
Vimos que o uso de recursos computacionais é imprescindível ao se fazer
a validação de um modelo matemático. Neste enfoque, o uso dos computadores
revela-se um ponto-chave para se trabalhar com a modelagem em sala de aula.
A escolha da tecnologia informática, em especial o computador, deverá ser
utilizada, baseada em alguns fatores como: praticidade, exeqüibilidade,
acessibilidade. A utilização de um recurso informático deve possibilitar ao aluno,
compreender as estruturas matemáticas de maneira prática e dinâmica, isto é,
utilizando-a efetivamente; deve também executar as tarefas essenciais à
simulação de modelos matemáticos com o objetivo de que através do recurso, o
aluno consiga perceber e interagir com a realidade à sua volta.
Essas simulações, dependendo de qual estrutura estivermos abordando,
poderão ser viabilizadas através de softwares como, por exemplo, o FORTRAN,
PASCAL, SLAM, GPSS e outros (Silva, 2006), ou aplicativos como Cabri
Geométrico, Modellus, GeoGebra, Word, Excel, PowerPoint, Movie Maker, etc.
De acordo com SILVA (2006) para implementarmos o uso de modelos
matemáticos de simulações através do uso do computador é importante termos
claramente as seguintes recomendações:
“i) Reconhecer o problema: identificar todos os fatores e
aspectos relevantes na formulação do modelo. ii) Formular o
problema: relacionar, selecionar, analisar os fatos e os objetivos
de estudo. iii) Obter e analisar dados do sistema: atribuir valores
às variáveis de entrada. iv) Formular e desenvolver o modelo:
representação gráfica (fluxogramas) e “tradução” para relações
lógicas e matemáticas. v) Verificar e validar o modelo:
comparação dos dados gerados em relação aos dados reais
(verificar até que ponto o modelo é aceitável). vi) Documentar o
modelo: elaboração de relatórios que contemplem todos os
procedimentos realizados. vii) Definir tipos de experimentos:
condições para realizar o experimento (confiabilidade). viii)
Estabelecer as condições de uso: aplicação do modelo”(SILVA,
2006, pp 6-7).
Percebe-se, então, a grande utilidade que a informática oferece para
consolidar todo o processo da modelagem matemática. É principalmente na fase
da validação do modelo que o professor poderá lançar mão de todo o
instrumental tecnológico, ou melhor, das tecnologias da informação: calculadoras
científicas, calculadoras gráficas e especialmente o computador.
Fig 2. Modelo de simulação para empréstimo.
6
Todos estes recursos podem ser utilizados para mostrar ao discente,
simulações que lhe garantam melhor compreensão daquilo que o modelo
representa em relação à realidade analisada; isto é, através da variação dos
parâmetros de entrada, o aluno verifica qual alteração ocorrerá nos parâmetros
de saída e, assim, poderá fazer relações com a situação real em foco.
Por exemplo, se após um procedimento de modelagem conseguiu-se o
seguinte modelo M = VE
x
(1+P)T que representa o total a pagar (montante) de
um certo empréstimo bancário, pode-se fazer uma simulação deste modelo
matemático através de um modelo informático próprio do aplicativo Excel, onde o
6
Modelo desenvolvido pelos autores a partir do aplicativo Excel.
professor estimulará o aluno a manipular o aplicativo passando este modelo para
o Excel e também a atribuir valores na tabela, onde o mesmo verificará qual o
valor a ser pago por este empréstimo facilitando ainda determinar a parcela se
for o caso, como mostra a tabela da figura 2.
Na situação descrita pela tabela da fig. 2 é possibilitado ao aluno perceber
que, através de um modelo matemático de simulação, pode-se fazer estimativas
ou previsões dos valores a pagar (montante), determinando também nesta
atividade desenvolvida com o aplicativo Excel as idéias de JUROS e PARCELAS,
pois é natural nas pessoas quando fazem um empréstimo, perguntar o número
de parcelas e quanto irá pagar de juros. Essa idéia permite ao aluno exercer
melhor controle e fiscalização do serviço (empréstimo) que possa estar sendo
oferecido, a ele, ou alguém da família, tendo como conseqüência uma visão mais
acurada da realidade a sua volta constituindo assim a sua cidadania.
Borba e Penteado (2001) fazem o relato de uma experiência em Educação
Matemática onde foi utilizada uma calculadora gráfica como tecnologia em sala
de aula. Na primeira experiência foi utilizado, além da calculadora, um
equipamento (um sensor) que, acoplado a ela, permite medir a distância desse
sensor a um alvo qualquer. Solicitou-se a dois estudantes que movimentassem o
sensor e imaginassem uma representação gráfica para esse movimento. Depois
os estudantes teriam que comparar o gráfico da calculadora com relação ao
gráfico imaginado por eles. Este experimento mostrou que é relevante coordenar:
movimento do próprio corpo, a representação cartesiana desse movimento e a
tecnologia envolvida.
Numa outra experiência foi realizado um estudo do gráfico da função y =
ax2 + bx + c por uma turma de Biologia. O uso da calculadora gráfica permitiu
perceber como os diferentes coeficientes de polinômios influenciam os gráficos
de funções, ou seja, que alteração ocorre no gráfico quando um determinado
coeficiente é alterado.
Finalmente,
os
autores
citados
relatam
um
exemplo
envolvendo
modelagem. O tema escolhido foi germinação de sementes de Melão, e o grupo
se propôs a explicar qual a interferência da temperatura em relação ao percentual
de sementes que germinam. Os dados coletados são os mostrados na tabela 1.
A partir desses dados, os alunos chegaram ao seguinte modelo
matemático: Y = 0,15 (x – 27)2 + 98.
Tabela1. Germinação de sementes (BORBA & PENTEADO, 2001, P.40)
Temperatura °C
Germinação %
20
90,72
25
97,43
30
95,76
35
90,76
Com o uso da calculadora gráfica, foi possível representar graficamente o
modelo encontrado, pois sem ela, fatalmente os alunos teriam grandes
dificuldades de construção deste gráfico, o que não permitiria aos estudantes
interpretarem o fenômeno descrito.
germinação
y = 0,15 (x - 27)2 + 98
100
95
90
85
20
25
30
35
teperatura °C
Figura 3 - germinação x temperatura. (adaptado no Excel)
Segundo Borba e Penteado (2001),
“O trabalho com a modelagem e com o enfoque experimental
sugere que há pedagogias que se harmonizam com as mídias
informáticas de modo a aproveitar as vantagens de suas
potencialidades. Essas vantagens podem ser vistas como sendo
a possibilidade de experimentar, de visualizar e de coordenar de
forma dinâmica as representações algébricas, tabulares, gráficas
e movimentos do próprio corpo.” (BORBA & PENTEADO, 2001,p.
42).
Deste modo, as tecnologias informáticas surgem como recursos
pedagógicos que auxiliam os processos de modelagem matemática dinamizandoos em prol dos possíveis resultados. Este auxílio verifica-se principalmente, mas
não exclusivamente, quando há a necessidade de se validar tal modelo
matemático, ou seja, de experimentá-lo para que se possa verificar a sua
fidelidade em relação ao objeto de estudo modelado.
CONSIDERAÇÕS FINAIS
É importante entendermos que a informática não é a panacéia dos
problemas do ensino-aprendizagem da matemática, pois o computador por si só
não poderá educar ninguém, pois “os novos ‘modos de aprender’ são ainda uma
incógnita para a maioria dos professores” (PERRIAULT, 1996 apud BELLONI,
2005, p28). Porém cremos que a partir de tudo que fora exposto, onde
destacamos em determinadas situações pontos positivos e negativos acerca da
utilização do computador na educação e em especial no ensino da matemática,
ficando realmente claro que essa tendência da educação matemática que é a
informática na educação tende realmente a trazer contribuições significativas
para o ensino da matemática podendo também ser aplicada à modelagem
matemática, pois o fato de a informática se valer de estruturas matemáticas como
a lógica, algoritmos e etc., já nos permite compreender que as possibilidades de
termos nos softwares e aplicativos informáticos o uso de simulações a partir de
argumentos matemáticos nos deixa claro que poderá facilitar tal aprendizagem.
Podemos dizer também que o uso da modelagem matemática como
metodologia pedagógica entra em perfeita consonância com as mídias
informáticas, uma vez que é através destas que se pode simular a realidade a
nossa volta. Tabulando dados, fazendo gráficos, experimentando, o pesquisador
estará utilizando a dinâmica necessária ao processo da modelagem. Por outro
lado, o fato das mídias pertencerem ao cotidiano do aluno favorece com que este
desenvolva atividades frente ao computador, não de forma construcionista
(apenas aluno X computador), mas sim mediada pelo professor.
Temos que ser críticos ao ponto de entendermos que apenas ilustrações
perfeitas e coloridas na tela do computador não representam garantia de sucesso
para o ensino da matemática, pois entendemos que este sucesso depende mais
do professor, que ora representa o facilitador das relações que serão
desenvolvidas e discutidas entre ele e os alunos, que do computador, permitindo
neste caso uma via de mão dupla, não centralizando as ações na sala de aula. É
importante tomarmos todo o cuidado de não transformarmos a inserção dos
novos recursos como inovações derivo - repetitivas7, a fim de se tornarem
obsoletas para o sistema de educação.
7
Entendemos como um novo recurso, porem sendo utilizado para fazer a mesma atividade que
um “velho recurso” fazia. Um exemplo apenas para ilustrar a idéia: A utilização do computador
somente para digitação de textos é algo que pode ser feito por uma máquina de datilografia, onde
fica clara a diferença de qualidade.
O título do artigo é na verdade uma pergunta É POSSÍVEL MODELAGEM
MATEMÁTICA COM INFORMÁTICA NA EDUCAÇÃO?
As idéias do pesquisador e matemático Seymour Papert foram
fundamentais na discussão da inserção do computador na sala de aula, pois
através do construcionismo, buscava o ensino - aprendizagem numa relação
aluno – computador.
Se olharmos a modelagem como estratégia de ensino, veremos que na
grande maioria de situações em que se tem a modelagem, é possível utilizar a
informática, ora como recurso, ora como forma de permitir ao aluno perceber
melhor os acontecimentos, agora se é significativo o que o aluno vive, só é
possível responder quando tivermos essas duas práticas juntas.
No delinear do artigo é possível percebermos grandes semelhanças entre
os dois saberes abordados com relação a zona de risco, citada por (BORBA &
PENTEADO, 2001, P. 64), onde ao invadir o desconhecido, o professor se vê
num total desconforto e receio de levar adiante o que pretende ensinar aos
alunos e essa mesma idéia percebemos também no ensino da matemática por
modelagem, onde o professor por não prever o que poderá acontecer acaba
buscando caminhos já conhecidos. .
Podemos tomar como uma situação onde fica claro a zona de risco, por
exemplo um professor de matemática ensinando função exponencial e
desenvolvendo dentro desta a redução de tempo de vida de elementos químicos.
Se este docente estiver trabalhando apenas os cálculos do tempo de vida de
cada elemento, não precisará nada mais do que alguns simples dados para
chegar no resultado esperado, porém se o mesmo estiver trabalhando este
mesmo assunto tendo a modelagem como estratégia, terá que se aprofundar em
alguns estudos químicos que fogem a sua “competência”, ou seja o professor
estará invadindo uma área desconhecida para si (Zona de Risco), precisando
também buscar respostas. Neste momento há uma construção coletiva onde não
só o aluno aprende com o professor, mas sim todos aprendem coletivamente,
construindo algo que será melhor explorado por todos, pois assim teremos um
envolvimento da classe na busca do conhecimento matemático inserido em
outros contextos.
O grande número de Softwares relacionados ao ensino da matemática,
mesmo não sendo específico da modelagem, por si só já representam um modelo
pronto, com vista a objetivos educacionais, então não temos como dissociar
informática na educação e modelagem matemática, pois as duas podem
caminhar juntas na construção do conhecimento.
REFERÊNCIAS
BASSANEZI, Rodney C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática:
uma nova estratégia. 2 ed. São Paulo: Contexto, 2004.
BELLONI, Maria L. O que é Mídia – Educação. Polêmicas do nosso tempo.2 ed.
Campinas, SP: Autores associados, 2005.
BIEMBENGUT, Maria. S; Hein, Nelson. Modelagem matemática no ensino. São
Paulo: Contexto, 2003.
BORBA, Marcelo de Carvalho; Penteado, Miriam G. Informática e Educação
Matemática. 2 ed. Belo Horizonte: Autêntica, 2001.
COX, kenia k. Informática na educação escolar: polêmicas do nosso tempo.
São Paulo: Autores Associados, 2003.
PAPERT, Seymou. A máquina das crianças: Repensando a escola na era da
informática. Porto Alegre: Artes médicas, 1994
SILVA, Luiz. C. Modelagem e Simulação. Boletim técnico da Universidade
Federal do Espírito Santo, Espírito Santo, n 2, jun. 2006.
SOARES, Narciso.das Neves ;Espírito Santo, Adilson, O. A modelagem
Matemática na prática de ensino de matemática: Uma alternativa de ensino
– aprendizagem. In: Anais do VII congresso Norte/Nordeste de Educação em
Ciências e matemáticas: Conhecimento complexo e multiculturalidade, Belém, 8 a
11 de dez. 2004.